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TEOREMA MILITAR 
LISTA 45 – GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA 
PROF. CESAR ANNUNCIATO 
 
 
NÍVEL 1 – ESA/EEAR 
 
1. (EEAR 2018) Se A(x,y) pertence ao conjunto dos 
pontos do plano cartesiano que distam d ao ponto 
( )0 0,C x y , sendo d>2, então: 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2 2
0 0
2 2 2
0 0
2 2
0 0
0 0
) 0
)
) 2
)
a x x y y d
b x x y y d
c x x y y d
d y y d x x
− + − + =
− + − =
− + − =
− = −
 
 
2. (EEAR 2017) Seja ( ) ( )
2 2
1 6 25x y− + − = a 
equação reduzida de uma circunferência de centro 
C(a,b) e raio R. Assim, a+b+R é igual a: 
 
a) 18 
b) 15 
c) 12 
d) 9 
 
3. (ESA 2016) A equação da circunferência de centro 
(1,2) e raio 3 é: 
 
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
) 2 4 14 0
) 2 4 4 0
) 4 2 4 0
) 4 2 14 0
) 2 4 14 0
a x y x y
b x y x y
c x y x y
d x y x y
e x y x y
+ − − + =
+ − − − =
+ − − − =
+ − − − =
+ − − − =
 
 
4. (ESA 2013) Dada a equação da circunferência 
( ) ( )
2 2 2x a y b r− + − = , sendo (a,b) as coordenadas 
do centro e r a medida do raio, identifique a equação 
geral da circunferência de centro (2,3) e raio igual a 5 
é: 
 
2 2
2 2
2
2 2
2
) 25
) 4 12 0
) 4 16
) 4 6 12 0
) 6 9
a x y
b x y xy
c x x
d x y x y
e y y
+ =
+ − − =
− = −
+ − − − =
− = −
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. (EEAR 2016) Para que uma circunferência
2 2: 4 0x y mx y c + − − − = tenha centro C(1,2) e 
raio R=5, os valores de m e de c são, 
respectivamente: 
 
a) -1 e -10 
b) -2 e 25 
c) 1 e -20 
d) 2 e 20 
 
NÍVEL 2 – OFICIALATO 
 
1. (Acafe 2021) Analise as afirmações a seguir: 
 
I. A equação da reta s que é paralela a reta 
r : 3x 4y 2 0+ − = e passa pelo ponto A( 1, 6)− é 
s : 3x 4y 21 0.+ − = 
 
II. As retas v e t estão representadas no plano 
cartesiano a seguir e são perpendiculares. 
 
 
 
Se as coordenadas do ponto A são (m, n), então 
m n 2.+ = 
 
III. Se os pontos A, B e C pertencem à circunferência 
,λ então sua equação é 2 2: 45x 18y 63y 0.λ + − = 
 
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IV. A reta y x 2= + é secante à circunferência de 
equação 2 2x y 1.+ = 
 
Assinale a alternativa que contém todas as corretas 
 
a) I - II 
b) I - IV 
c) II - III 
d) I - III - IV 
 
2. (EsPCEx 2021) Sabendo-se que a equação 
2 22x ay bxy 4x 8y c 0+ − − + + = representa uma 
circunferência de raio 3, a soma a b c+ + é igual a 
 
a) 10.− 
b) 6.− 
c) 2.− 
d) 2. 
e) 6. 
 
3. (Ufpr 2020) Considere a circunferência B, cuja 
equação no plano cartesiano é 
2 2x y 8x 10y 21 0.+ − + + = Qual das equações abaixo 
descreve uma circunferência que tangencia B? 
 
a) 2 2(x 1) (y 2) 15.+ + − = 
b) 2 2(x 2) (y 2) 5.+ + + = 
c) 2 2(x 3) (y 1) 3.− + − = 
d) 2 2(x 7) (y 2) 10.− + − = 
e) 2 2(x 3) (y 2) 9.+ + + = 
 
 
 
 
 
 
4. (AFA 2020) O ponto da reta r : x 3y 10 0+ − = que 
está mais próximo da origem do sistema cartesiano é 
também exterior à circunferência 
2 2: 2x 2y 4x 12y k 4 0,λ + + − + − = com k . 
 
É correto afirmar que dentre os possíveis valores de k 
 
a) existem 8 elementos. 
b) três são números primos. 
c) há um elemento que é um quadrado perfeito. 
d) existem números negativos. 
 
5. (Ufrgs 2020) A área do quadrilátero formado pelos 
pontos de interseção da circunferência de equação 
2 2(x 1) y 4+ + = com os eixos coordenados é 
 
a) 3. 
b) 2 3. 
c) 3 3. 
d) 4 3. 
e) 12. 
 
6. (Ueg 2020) Sejam 1P e 2P os pontos de 
intersecção entre a circunferência de raio r 5= 
centrada na origem e a reta x y 1 0.− + = A distância 
entre 1P e 2P é igual a 
 
a) 6 
b) 2 3 
c) 2 2 
d) 3 2 
e) 3 3 
 
7. (EsPCEx 2020) As equações das retas paralelas à 
reta r : 3x 4y 1 0,+ − = que cortam a circunferência 
2 2: x y 4x 2y 20 0λ + − − − = e determinam cordas de 
comprimento igual a 8, são, respectivamente 
 
a) 3x 4y 5 0+ + = e 3x 4y 25 0.+ + = 
b) 3x 4y 5 0+ − = e 3x 4y 25 0.+ − = 
c) 3x 4y 5 0− + = e 3x 4y 25 0.− + = 
d) 3x 4y 5 0+ − = e 3x 4y 25 0.+ + = 
e) 3x 4y 5 0+ + = e 3x 4y 25 0.+ − = 
 
 
 
 
 
 
 
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8. (Fgv 2020) No plano cartesiano, a reta de equação 
3x 4y 0+ = determina, na circunferência 
2 2x y 4x 2y 20 0,+ − − − = uma corda cujo 
comprimento é: 
a) 2 22 
b) 2 18 
c) 2 20 
d) 2 21 
e) 2 19 
 
9. (AFA 2019) Considere no plano cartesiano os 
pontos A (2, 0) e B (6, 4)− que são simétricos em 
relação à reta r. 
 
Se essa reta r determina na circunferência 
2 2x y 12x 4y 32 0+ − − + = uma corda que mede n 
unidades de comprimento, então n pertence ao 
intervalo 
 
a) [4, 5[ 
b) [3, 4[ 
c) [2, 3[ 
d) [1, 2[ 
 
10. (AFA 2018) Considere no plano cartesiano a 
circunferência λ tangente à bissetriz dos quadrantes 
ímpares no ponto A(1,1). 
 
Sabendo que a reta t : x y 4 0− + = tangencia λ no 
ponto B, marque a opção correta. 
 
a) A soma das coordenadas de B é igual a 3. 
b) P( 1, 2)− é exterior a .λ 
c) O ponto de λ mais próximo da origem é 
Q(0, 2 2).− 
d) A bissetriz dos quadrantes pares é exterior a .λ 
 
11. (EsPCEx 2018) Uma circunferência tem centro no 
eixo das abscissas, passa pelo ponto (4, 4) e não 
intercepta o eixo das coordenadas. Se a área do 
círculo definido por essa circunferência é 17 ,π a 
abscissa de seu centro é 
 
a) 3. 
b) 4. 
c) 5. 
d) 6. 
e) 7. 
 
 
 
 
12. (Efomm 2017) Sejam as circunferências 
2 2
1c : x y 16 0+ − = e 
2 2
2c : (x 2) (y 2) 4.− + + = 
Considere A e B os pontos de intersecção dessas 
circunferências. Determine a distância entre A e B. 
 
a) 2 7 
b) 14 
c) 2 14 
d) 7 
e) 
7
2
 
 
13. (AFA 2017) Seja 2 2: 3x 3y 6x 12y k 0,λ + − − + = 
uma circunferência que no plano cartesiano tem 
intersecção vazia com os eixos coordenados. 
 
Considerando k , é correto afirmar que 
 
a) 
k k
P ,
3 3
 
 
 
 é interior a .λ 
b) existem apenas dois valores inteiros para k. 
c) a reta r : x k= intersecta .λ 
d) se c é o comprimento de ,λ então c 2π 
unidades de comprimento. 
 
14. (EsPCEx 2017) Seja C a circunferência de 
equação 2 2x y 2x 4y 2 0.+ + + + = Considere em C a 
corda MN cujo ponto médio é P( 1, 1).− − O 
comprimento de MN (em unidade de comprimento) é 
igual a 
 
a) 2 
b) 3 
c) 2 2 
d) 2 3 
e) 2 
 
15. (Efomm 2016) Quanto à posição relativa, 
podemos classificar as circunferências 
2 2(x 2) (y 3) 9− + − = e 2 2x y 8x 15 0+ − + = 
 
a) secantes. 
b) tangentes internas. 
c) tangentes externas. 
d) externas. 
e) internas. 
 
 
 
 
 
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16. (EsPCEx 2016) Considere a circunferência que 
passa pelos pontos (0, 0), (0, 6) e (4, 0) em um 
sistema de coordenadas cartesianas ortogonais. 
Sabendo que os pontos (0, 6) e (4, 0) pertencem a 
uma reta que passa pelo centro dessa circunferência, 
uma das retas tangentes a essa circunferência, que 
passa pelo ponto (3, 2),− tem por equação 
 
a) 3x 2y 13 0− − = 
b) 2x 3y 12 0− − = 
c) 2x y 8 0− − = 
d) x 5y 13 0− − = 
e) 8x 3y 18 0+ − = 
 
17. (AFA 2016) Considere os pontos A (4 , 2),− 
B (2 , 0) e todos os pontos P (x , y), sendo x e y 
números reais, tais que os segmentos PA e PB são 
catetos de um mesmo triângulo retângulo. 
É correto afirmar que, no plano cartesiano, os pontos 
P (x , y) são tais que 
 
a) são equidistantes de C (2 , 1)− 
b) o maior valor de x é 3 2+ 
c) o menor valor de y é 3− 
d) x pode ser nulo.18. (AFA 2015) Considere no plano cartesiano um 
triângulo equilátero ABC em que: 
 
- os vértices B, de abscissa positiva, e C, de abscissa 
negativa, estão sobre o eixo OX; 
- possui baricentro no ponto 
3
G 0,
3
 
  
 
 
 
Considere também, nesse mesmo plano cartesiano, a 
circunferência 1λ inscrita e a circunferência 2λ 
circunscrita ao triângulo ABC. 
 
Analise as proposições abaixo e escreva (V) para 
verdadeira e (F) para falsa. 
 
( ) A reta r, suporte do lado AB, passa pelo ponto 
( 1, b),− em que b é o dobro do oposto do 
coeficiente angular de r 
( ) O círculo delimitado por 2λ contém o ponto 
1
, 3
2
 
− 
 
 
( ) O ponto da bissetriz dos quadrantes ímpares de 
abscissa 
3
3
 pertence a 1λ 
 
A sequência correta é 
 
a) V - F - V 
b) F - F - V 
c) V - F - F 
d) F - V - F 
 
19. (AFA 2015) Considerando a circunferência de 
equação 2 2: x y 2x 4y 4 0,λ + + − − = é correto afirmar 
que 
 
a) λ é concêntrica com 2 2: (x 1) (y 2) 1α − + − = 
b) o ponto O(0,0) é exterior a λ 
c) a reta r : x y 3 0− + = é tangente a λ 
d) λ é simétrica da circunferência 
2 2: (x 1) (y 2) 9,β − + + = em relação ao ponto 
O(0,0). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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20. (Esc. Naval 2014) A equação da circunferência 
tangente às retas y x= e y x= − nos pontos (3, 3) e 
( 3, 3)− é 
 
a) 2 2x y 12x 18 0+ − + = 
b) 2 2x y 12y 18 0+ − + = 
c) 2 2x y 6x 9 0+ − + = 
d) 2 2x y 6y 9 0+ − + = 
e) 2 2x y 16x 20 0+ − + = 
 
21. (AFA 2014) A circunferência λ é tangente à reta 
3
r : y x
4
= também é tangente ao eixo das abscissas 
no ponto de abscissa 6. 
 
Dentre as equações abaixo, a que representa uma 
parábola que contém a origem do plano cartesiano e o 
centro de λ é 
 
a) 212(y x) x 0− + = 
b) 23y 12y 2x 0− + = 
c) 22y 3x 0− = 
d) 212y x 0− = 
 
22. (EsPCEx 2014) Sejam dados a circunferência 
2 2: x y 4x 10y 25 0λ + + + + = e o ponto P, que é 
simétrico de (–1, 1) em relação ao eixo das abscissas. 
Determine a equação da circunferência concêntrica à 
λ e que passa pelo ponto P. 
 
a) 2 2: x y 4x 10y 16 0λ + + + + = 
b) 2 2: x y 4x 10y 12 0λ + + + + = 
c) 2 2: x y 4x 5y 16 0λ − + − + = 
d) 2 2: x y 4x 5y 12 0λ + − − + = 
e) 2 2: x y 4x 10y 17 0λ − − − − = 
 
23. (EsPCEx 2013) Considere a circunferência 
( ) 2 2x y 4x 0λ + − = e o ponto ( )P 1, 3 . Se a reta t é 
tangente a λ no ponto P, então a abscissa do ponto 
de intersecção de t com o eixo horizontal do sistema 
de coordenadas cartesianas é 
 
a) –2 
b) 2 3+ 
c) 3 
d) 3 3+ 
e) 3 3 3+ 
 
24. (EsPCEx 2012) O ponto da circunferência 
+ + + + =2 2x y 2x 6y 1 0 que tem ordenada máxima é 
 
a) ( )−0, 6 
b) ( )− −1, 3 
c) ( )−1,0 
d) ( )2,3 
e) ( )−2, 3 
 
25. (AFA 2012) No plano cartesiano, a circunferência 
λ de equação 2 2x y 6x 10y k 0,+ − + + = com k , 
determina no eixo das ordenadas uma corda de 
comprimento 8.= 
 
Dessa forma, é correto afirmar que 
 
a) λ é tangente ao eixo Ox 
b) o raio de λ é igual a k 
c) ( )P k , 1 λ−  
d) λ é secante à reta x k= 
 
GABARITO NÍVEL 1 
 
1. B 
2. C 
3. B 
4. D 
5. D 
 
GABARITO NÍVEL 2 
 
Resposta da questão 1: 
 [A] 
 
Analisando as afirmativas: 
[I] Verdadeira. Coeficiente angular da reta s : 
s
3 1 3
3x 4y 2 0 y x m
4 2 4
+ − =  = − +  = − 
 
Equação da reta s : 
( )
3
y 6 x 1 4y 24 3x 3 3x 4y 21 0
4
− = − +  − = − −  + − = 
 
[II] Verdadeira. Equação da reta v : 
x y 1
0 2 1 0 x y 2 0
2 0 1
=  + − = 
 
Coeficiente angular da reta t : 
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( )t
1
x y 2 0 y x 2 m 1
1
+ − =  = − +  = − =
−
 
 
Equação da reta t : 
( )y 3 1 x 0 x y 3 0− = −  − + = 
 
Determinação do ponto A : 
m n 2 0 1 5
A ,
m n 3 0 2 2
1 5
m n 2
2 2
+ − =  
 −  
− + =  
 + = − + =
 
 
[III] Falsa. Coordenadas do centro da circunferência: 
2 2 5 2 7
C , C 0,
2 2 2
− + +   
=   
   
 
 
Raio da circunferência: 
( )
2
2 7 9 25 5
R 0 2 2 4 R
2 4 4 2
 
= − + − = + =  = 
 
 
 
Logo, a equação pedida é: 
( )
2 2
2 2 2
2 2
7 5 49 25
x 0 y x y 7y
2 2 4 4
4x 4y 28y 24 0
   
− + − =  + − + =   
   
 + − + =
 
 
[IV] Falsa. Resolvendo o sistema, obtemos: 
( )
( )
22 2
2 2
2
y x 2
x x 2 1 2x 2 2x 1 0
x y 1
2 2 4 2 1 8 8 0Δ
 = +
 + + =  + + =
+ =
= −   = − =
 
 
Como o discriminante é nulo, as curvas são tangentes 
entre si. 
 
Resposta da questão 2: 
 [B] 
 
Para que a equação represente uma circunferência, o 
termo xy deve ser nulo. Logo: 
b 0= 
 
Também temos que: 
( )
( )
( )
2 2
2 2
2
2
2
22
2
2x ay 4x 8y c 0
8 16 16
2 x 2x 1 a y y 2 c
a aa
4 16
2 x 1 a y 2 c
a a
a 4 8 c
x 1 y 1
2 a a 2
+ − + + =
 
− + + + + = + − 
 
 
− + + = + − 
 
  
− + + = + −       
 
 
Outra condição para que a equação represente uma 
circunferência é que: 
a 2= 
 
Dessa forma: 
( ) ( )
2
2 2 c
x 1 y 2 5
2
 
− + + = −  
 
 
 
Como o raio vale 3, devemos ter: 
c c
5 3 9 5 c 8
2 2
− =  − = −  = − 
 
Portanto: 
a b c 2 0 8 6+ + = + − = − 
 
Resposta da questão 3: 
 [B] 
 
Sejam as circunferências de centros em 1C e 2C , 
cujos raios são, respectivamente, 1r e 2r . Tais 
circunferências são tangentes se, e somente se, 
1 2 1 2d(C , C ) r r= + ou 1 2 1 2d(C , C ) | r r |,= − 
 
em que 1 2d(C , C ) é a distância entre 1C e 2C . 
Completando os quadrados, temos 
2 2 2 2 2x y 8x 10y 21 0 (x 4) (y 5) (2 5) .+ − + + =  − + + = 
 
Logo, o centro da circunferência B é (4, 5)− e seu 
raio é igual a 2 5. 
Sendo os raios das circunferências exibidas nas 
alternativas iguais a 15, 5, 3, 10 e 3, podemos 
concluir que a candidata mais forte a tangente é a de 
equação 2 2(x 2) (y 2) 5+ + + = (o único radical 
semelhante a 2 5 é 5). Com efeito, a distância 
entre os centros é 
2 2(4 2) ( 5 2) 3 5+ + − + = 
 
e a soma dos raios é igual a 2 5 5 3 5.+ = 
Portanto, segue que B e 
2 2(x 2) (y 2) 5+ + + = são 
tangentes exteriormente. 
 
Resposta da questão 4: 
 [B] 
 
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Coeficiente angular da reta r. 
r
r : x 3y 10 0
3y x 10
1 10
y x
3 3
1
m
3
+ − =
= − +
= − +
= −
 
 
Coeficiente angular da reta s. 
r s s s
1
m m 1 m 1 m 3
3
 
 = −  −  = −  = 
 
 
 
Equação da reta s. 
( )y 0 3 x 0
y 3x
− =  −
=
 
 
Coordenadas do ponto P. 
(r) x 3y 10
(s) y 3x
+ =

=
 
 
Resolvendo o sistema, encontramos x 1= e y 3.= 
Logo, P(1, 3). 
 
Condição para a existência da circunferência. 
2 2
2 2
2 2
: 2x 2y 4x 12y k 4 0
k 4
x y 2x 6y 0
2
k 4
x 2x 1 y 6y 9 10 
2
k 4
10 0 k 24
2
λ + + − + − = 
−
+ + − + = 
− +
+ + + − + + = +
− +
+   
 
 
Como P é exterior à circunferência, temos: 
2 22 1 2 3 4 1 12 3 k 4 0 k 16 +  +  −  + −    
 
Portanto o possíveis valores de k são: 
17,18,19, 20, 21, 22 e 23. 
 
Resposta: Opção correta é a [B], três são números 
primos (17,19 e 23). 
 
Resposta da questão 5: 
 [D] 
 
Tem-se que 
2 2 2 2 2(x 1) y 4 (x 1) y 2 .+ + =  + + = 
 
Logo, como a circunferência tem centro em ( 1, 0)− e 
raio 2, os pontos de interseção com o eixo das 
abscissas são ( 3, 0)− e (1, 0). 
Tomando x 0,= vem 
21 y 4 y 3.+ =  =  
 
Desse modo, os pontos de interseção com o eixo das 
ordenadas são (0, 3)− e (0, 3). 
A resposta é 
1
2 (1 ( 3)) ( 3 0) 4 3.
2
  − −  − = 
 
Resposta da questão 6: 
 [D] 
 
A equação da circunferência centrada na origem e de 
raio r 5= é 2 2x y 5.+ = Logo, as abscissasde 1P e 
2P são tais que 
2 2 2x (x 1) 5 x x 2 0
x 2 ou x 1.
+ + =  + − =
 = − =
 
 
Portanto, vem 1P ( 2, 1)= − − e 2P (1, 2),= o que implica 
em 
2 2
1 2d(P , P ) (1 2) (2 1)
3 2.
= + + +
=
 
 
Resposta da questão 7: 
 [E] 
 
Completando os quadrados, temos 
2 2 2 2 2x y 4x 2y 20 0 (x 2) (y 1) 5 .+ − − − =  − + − = 
 
Logo, o centro de λ é =C (2,1) e seu raio mede 5. 
Agora, é fácil ver que a distância de C às cordas de 
comprimento 8 é igual a 3. Daí, como as retas 
paralelas à reta r têm equação + + =3x 4y c 0, vem 
2 2
| 3 2 4 1 c |
3 |10 c | 15
3 4
c 25 ou c 5.
 +  +
=  + =
+
 = − =
 
 
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Portanto, as equações pedidas são + + =3x 4y 5 0 e 
+ − =3x 4y 25 0. 
 
Resposta da questão 8: 
 [D] 
 
Pontos de intersecção entre a reta e a circunferência: 
2
2
2
2
2 2
2
2
3x
3x 4y 0 y
4
3x 3x
x 4x 2 20 0
4 4
9x 3x
x 4x 20 0
16 2
16x 9x 64x 24x 320 0
25x 40x 320 0
5x 8x 64 0
8 64 1280 4 4 21
x
10 5
3 4 4 21 3 3 21
y
4 5 5
+ =  = −
   
+ − − − − − =   
   
+ − + − =
+ − + − =
− − =
− − =
 + 
= =
  − 
= − =  
 
 
4 4 21 3 3 21
,
5 5
 + − −
  
 
 e 
4 4 21 3 3 21
,
5 5
 − − +
  
 
 
 
Logo, o comprimento da corda vale: 
2 2
2 2 2
4 4 21 4 4 21 3 3 21 3 3 21
c
5 5 5 5
8 21 6 21 21 21
c 100 10
5 5 5 5
c 2 21
   + − − − − +
= − + −      
   
     −
= + =  =           
     
 =
 
 
 
Resposta da questão 9: 
 [A] 
 
Como os pontos ( )A 2, 0 e ( )B 6, 4− são simétricos 
em relação à reta r, o ponto M, médio do segmento 
AB, dado por 
( )0 42 6
M , ,
2 2
 + −+
  
 
 pertence à reta r. 
( )
AB
AB
AB
M 4, 2
4 0
m
6 2
4
m
4
m 1
−
− −
=
−
−
=
= −
 
 
Logo, o ponto ( )M 4, 2− é um ponto da reta r, que 
possui coeficiente angular igual a 1, pois é 
perpendicular à reta AB. 
Portanto, a equação da reta r é: 
( ) ( )y 2 1 x 4
y 2 x 4
y x 6
− − =  −
+ = −
= −
 
 
Os pontos que definem a corda que a reta r determina 
na circunferência cuja equação é 
2 2x y 12x 4y 32 0+ − − + = são dados pela solução do 
sistema não linear abaixo: 
( )
( )
2 2x y 12x 4y 32 0 i
y x 6 ii
 + − − + =

= −
 
 
Das equações (i) e (ii), 
( ) ( )
( ) ( )
22
2 2
2
2
2
x x 6 12x 4 x 6 32 0
x x 12x 36 12x 4x 24 32 0
2x 28x 92 0
x 14x 46 0
14 14 4 1 46
x
2 1
14 2 3
x
2
x 7 3
+ − − −  − + =
+ − + − − + + =
− + =
− + =
− −  − −  
=


=
= 
 
 
Assim, os pontos que definem a corda são: 
( )C 7 3,1 3+ + e ( )D 7 3,1 3 .− − 
 
Logo, 
( ) ( )
 
2 2
n 7 3 7 3 1 3 1 3
n 12 12
n 24
n 2 6
n 4,89
n 4, 5
= − − − + − − −
= +
=
=


 
 
Resposta da questão 10: 
 [C] 
 
Sendo y x 4= + a forma explícita da equação de t, 
podemos concluir que t e y x= são paralelas, uma 
vez que seus coeficientes angulares são iguais. Em 
consequência, se A e B são pontos de tangência a 
,λ então AB é um diâmetro de .λ 
Considere a figura. 
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A reta AB, perpendicular à reta y x,= tem por 
equação 
y 1 ( 1) (x 1) y x 2.− = −  −  = − + 
 
Logo, a abscissa do ponto B é tal que 
x 2 x 4 2x 2 x 1.− + = +  = −  = − 
 
Portanto, vem B ( 1, 3).= − 
O centro, C, de λ corresponde ao ponto médio do 
segmento AB, ou seja, 
1 1 1 3
C , (0, 2).
2 2
− + 
= = 
 
 
 
Daí, segue que o raio de λ mede 
2 2d(C, A) (1 0) (1 2) 2.= − + − = 
 
A equação de ,λ assim, é dada por 
2 2 2 2 2(x 0) (y 2) ( 2) x (y 2) 2.− + − =  + − = 
 
[A] Falsa. Na verdade, temos 1 3 2.− + = 
 
[B] Falsa. Seja 2 2f(x, y) x (y 2) 2.= + − − Tem-se que 
2 2f( 1, 2) ( 1) (2 2) 2 0.− = − + − −  
 
Por conseguinte, P( 1, 2)− é interior a .λ 
 
[C] Verdadeira. Com efeito, pois como C pertence ao 
eixo das ordenadas, e sendo r 2= o raio de ,λ 
temos 
C CQ (x , y r) (0, 2 2).= − = − 
 
[D] Falsa. A distância de C à reta x y 0+ = é dada 
por 
2 2
| 0 2 | 2
2.
21 1
+
= =
+
 
 
Portanto, λ e a bissetriz dos quadrantes pares são 
tangentes. 
 
Resposta da questão 11: 
 [C] 
 
Como a área do círculo é 17 ,π temos: 
2r 17 ,π π= onde r é a medida do raio do círculo. 
2r 17= 
 
Sendo ( )CC x , 0 o centro da circunferência, temos: 
( )
2 2
Cx x y 17− + = 
 
Como o ponto ( )4, 4 pertence à circunferência, temos: 
( )
( )
2 2
C
2
C
C C
4 x 4 17
4 x 1
4 x 1 ou 4 x 1
− + =
− =
− = − = −
 
 
De C4 x 1,− = 
Cx 3= 
 
De C4 x 1,− = − 
Cx 5= 
 
Assim, a circunferência têm equação ( )
2 2x 3 y 17− + = 
ou ( )
2 2x 5 y 17.− + = 
Observe que a circunferência ( )
2 2x 3 y 17− + = 
intercepta o eixo das ordenadas, pois a equação 
( )
2 20 3 y 17− + = admite solução real, já a 
circunferência ( )
2 2x 5 y 17− + = não intercepta o eixo 
das ordenadas, pois equação ( )
2 20 5 y 17− + = não 
admite solução real. 
Portanto, a abscissa do centro da circunferência é 5. 
 
Resposta da questão 12: 
 [B] 
 
Resolvendo um sistema com as equações das 
circunferências. 
 
2 2
2 2
x y 16
x 4x 4 y 4y 4 4
 + =

− + + + + =
 
 
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Fazendo a diferença entre a primeira e a segunda 
equações, temos: 
 
y x 5= − 
 
Substituindo o resultado acima na primeira equação, 
temos: 
22x 10x 9 0− + = 
5 7 5 7
x ou x =
2 2
5 7 5 7 5 7 5 7
x y B ,
2 2 2 2
5 7 5 7 5 7 5 7
x y A ,
2 2 2 2
+ −
=
 + − + + − +
=  =  =   
 
 − − − − − −
=  =  =   
 
 
 
Logo, a distância entre os pontos A e B será dada 
por: 
2 2
2 25 7 5 7 5 7 5 7
AB 7 7 14
2 2 2 2
   + − − + − −
= − + − = + =      
   
 
 
Resposta da questão 13: 
 [B] 
 
Colocando na equação geral da circunferência: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
2 2 2
3x 3y 6x 12y k 0
3 x 2x 3 y 4y k 0 3 x 2x 1 3 y 4y 4 15 k
15 k
x 1 y 2 R
3
+ − − + =
 − +  − + = →  − + +  − + = −
−
− + − = =
 
 
Assim, conclui-se que o centro da circunferência será 
em (1, 2) e que para que a mesma possua intersecção 
vazia com os eixos coordenados é necessário que: 
20 R 1 0 R 1
15 k
0 1 0 15 k 3 12 k 15 com k
3
  →  
−
  →  −  →   
 
 
Analisando as alternativas conclui-se que apenas a 
alternativa [B] é a correta, pois entre o intervalo 12 e 
15 há apenas dois números inteiros: 13 e 14. 
 
Resposta da questão 14: 
 [C] 
 
Determinando o centro A e o raio r da 
circunferência: 
2 2 2 2
2 2
x y 2x 4y 2 0 x 2x 1 y 4y 4 2 4 1
(x 1) (y 2) 3
+ + + + =  + + + + + = − + + 
+ + + =
 
 
Portanto, A( 1, 2)− − e r 3= 
 
 
 
Sabemos que AP 1,= pois são pontos que estão na 
mesma reta vertical. 
 
Utilizando o Teorema de Pitágoras podemos 
determinar o valor de PN: 
22 2PN 1 3 PN 2+ =  = 
 
Logo, MN 2 2.=  
 
Resposta da questão 15: 
 [A] 
 
Sejam 2 21 : (x 2) (y 3) 9λ − + − = e 
2 2
2 : x y 8x 15 0.λ + − + = É imediato que 1C (2, 3)= e 
1r 3.= Ademais, completando os quadrados na 
equação de 2,λ encontramos 
2 2
2 : (x 4) (y 0) 1.λ − + − = Daí, vem 2C (4, 0)= e 
2r 1.= 
 
A distância entre os centros de 1λ e 2λ é dada por 
 
2 2
1 2d(C , C ) (4 2) (0 3) 13.= − + − = 
 
Logo, como 1 2r r 4+ = e 1 2r r 2,− = temos 
 
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1 2 1 2 1 2| r r | d(C , C ) r r .−   + 
 
Portanto, podemos concluir que 1λ e 2λ são secantes. 
 
Resposta da questão 16: 
 [A] 
 
 
 
Centro da circunferência (ponto médio do diâmetro). 
( )
0 4 6 0
C , C 2,3
2 2
+ + 
=  = 
 
 
 
Cálculo do raio da circunferência. 
2 2(4 0) (6 0) 2 13
r 13
2 2
− + −
= = = 
 
Equação da reta tangente à circunferência.( )y 2 m x 3 mx y 3m 2 0+ = − − − − = 
 
Sabendo que a distância do centro à reta tangente é o 
raio, podemos escrever: 
( )2 2 2 2
2
2m 3 3m 2
13 ( m 5) 13 m 1 12m 10m 12 0 6m 5m 6 0
m 1
− − −
=  − − = +  − − =  − + =
+
 
 
Resolvendo a equação do segundo grau, obtemos: 
5 169 3 2
m m ou m
2 6 2 3

=  = = −

 
 
Se 
3
m
2
= a equação da reta será dada por 
3
y 2 (x 3) 3x 2y 13 0
2
+ =  −  − − = 
 
Se 
2
m
3
= − a equação da reta será dada por 
2
y 2 (x 3) 2x 3y 0
3
+ = −  −  + = 
 
Portanto, a alternativa [A] é a correta. 
 
Resposta da questão 17: 
 [B] 
 
Se PA e PB são catetos de um mesmo triângulo 
retângulo, então AB será a hipotenusa do mesmo. Se 
AB é a hipotenusa, então sabemos que oposto a ela 
encontra-se um ângulo reto. Se imaginarmos um arco 
oposto a este ângulo reto, concluímos que tal arco 
deve ter um ângulo deve ter 180 , pois sabe-se que a 
medida de um ângulo inscrito em uma circunferência é 
igual à metade da respectiva medida do ângulo central 
(ou arco correspondente). 
 
Daí, pode-se perceber que o conjunto de pontos 
P(x,y) tais que os segmentos PA e PB formem 
catetos de um mesmo triângulo retângulo é uma 
circunferência cujo diâmetro é igual à hipotenusa dos 
triângulos retângulos possíveis. A figura a seguir dá 
exemplo de dois triângulos retângulos possíveis 
(catetos identificados em vermelho). 
 
 
 
Sabendo-se disso tudo, pode-se calcular o raio da 
circunferência, que será igual a metade da hipotenusa 
AB. A hipotenusa pode ser calculada pela fórmula de 
distância entre dois pontos (A e B). Assim: 
( ) ( )
2 2 2 2dist AB 4 2 2 0 (2) ( 2) 8 2 2= − + − − = + − = = 
 
Assim, o raio da circunferência será: 
2 2
R 2
2
= = 
 
Do gráfico percebe-se facilmente que as coordenadas 
do centro da circunferência serão D(3, 1).− Outra 
maneira de se encontrar tais coordenadas seria 
deduzir a equação da reta e utilizar a fórmula da 
distância entre dois pontos, uma vez que tal distância 
é conhecida (no caso B e D ou A e D, que distam de 
R 2= entre si). 
 
 
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Analisando então as afirmativas da questão, temos os 
pontos P (x, y) são tais que: 
[A] Incorreto. O ponto C sugerido é um ponto 
qualquer dentro da circunferência e não 
corresponde ao centro da mesma, e portanto não é 
equidistante dos pontos P (x, y). 
[B] Correto. O maior valor de x corresponde a 
coordenada do centro da circunferência, ou seja 
D(3, 1),− somado ao raio da mesma, R 2,= 
indicado em azul na figura apresentada. Assim, o 
valor máximo de x é 3 2.+ 
[C] Incorreto. O maior valor de y corresponde a 
coordenada do centro da circunferência, ou seja
D(3, 1),− somado ao raio da mesma, R 2.= Assim, 
o valor máximo de y é 1 2 2,41.− − − 
[D] Incorreto, pois a circunferência não toca o eixo das 
coordenadas. 
 
Resposta da questão 18: 
 [A] 
 
Sabendo que G pertence à mediana relativa ao lado 
BC, segue que a origem, O, dos eixos cartesianos é o 
ponto médio do lado BC, e A pertence ao semieixo 
positivo das ordenadas. Além disso, temos 
1
GO AO,
3
=  o que implica em AO 3= e, portanto, 
A (0, 3).= Daí, 
2
BC AO
3
=  implica em BC 2,= 
resultando em B (1, 0)= e C ( 1, 0).= − 
 
A equação da reta r é dada por 
 
y tg120 x 3 3x 3.=   + = − + 
 
Logo, segue que ( 1, b) ( 1, 2 3).− = − Daí, temos 
3 ( 1) 3 2 3,−  − + = ou seja, r passa pelo ponto 
( 1, b).− 
 
A medida do raio de 2 corresponde à medida do 
segmento CG. Logo, como 
 
GO 2 3
CG
sen30 3
= =

 
 
e o centro de 2 é o ponto G, temos 
 
2
2
2
3 4
: x y .
3 3
 
 + − = 
 
 
 
Assim podemos concluir que 
1
, 3
2
 
− 
 
 é exterior a 
2, pois 
 
22
1 3 4
3 .
2 3 3
  
− + −    
   
 
 
Desde que G é o centro de 1 e seu raio é GO, vem 
 
2
2
1
3 1
: x y .
3 3
 
 + − = 
 
 
 
Seja P o ponto da bissetriz dos quadrantes ímpares, 
tal que a abscissa de P é 
3
.
3
 É imediato que 
3 3
P , .
3 3
 
=  
 
 Desse modo, temos 
 
2 2
3 3 3 1
,
3 3 3 3
   
+ − =   
   
 
 
ou seja, P pertence a 1. 
 
Resposta da questão 19: 
 [D] 
 
Completando os quadrados, segue que 
 
2 2 2 2
2 2
x y 2x 4y 4 0 (x 1) 1 (y 2) 4 4 0
(x 1) (y 2) 9.
+ + − − =  + − + − − − =
 + + − =
 
 
Logo, o centro de  é o ponto ( 1, 2),− distinto de 
(1, 2), que é o centro de 
 
Seja f a função dada por 
2 2f(x, y) (x 1) (y 2) 9.= + + − − Como f(0, 0) 4 0,= −  
tem-se que O é interior a . 
 
Tomando a equação explícita da reta r e a equação 
reduzida da circunferência , temos 
 
2 2 2(x 1) (x 3 2) 9 2(x 1) 9.+ + + − =  + = 
 
Donde podemos concluir que a reta r é secante à 
circunferência . 
 
O centro da circunferência  é o ponto (1, 2),− e seu 
raio é 3. Logo, como as circunferências  e  têm o 
mesmo raio e seus centros distam 5 do ponto O, 
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segue-se que  é simétrica de  em relação ao ponto 
O. 
 
Resposta da questão 20: 
 [B] 
 
As retas apresentadas são simétricas e cortam os 
quadrantes do plano cartesiano em 45 . Assim, 
traçando as respectivas retas e também retas 
perpendiculares (pois pontos de tangência numa 
circunferência são ligados ao centro por retas 
perpendiculares à reta tangente) pode-se concluir que 
o centro da circunferência está sobre o eixo y e tem 
coordenadas (0, 6); e raio igual a 3 2. Logo, sua 
equação será igual a: 
( ) ( ) ( )
22 2 2 2 2 2x y 6 3 2 x y 12y 36 18 x y 12y 18 0+ − = → + − + = → + − + = 
 
Resposta da questão 21: 
 [B] 
 
Com as informações do enunciado, pode-se desenhar: 
 
 
 
Percebe-se que: 
PC CT b Raio de (R)λ= = = 
2 22 2 2 2PO (x 0) (y 0) PO x y= − + − → = + 
 
Por semelhança de triângulos, sabe-se que: 
OPC OCT PO OT 6Δ Δ → = = 
Portanto, 
2 2 2 2 2PO x y x y 36= + → + = 
Mas P pertence à reta r, logo 
3
y x,
4
= ou seja: 
2
2 2 2 2 23 9 24x y 36 x x 36 x x 36 x
4 16 5
 
+ =  + =  + =  = 
 
 
3 3 24 72 18
y x y y
4 4 5 20 5
=  =  =  = 
Portanto, as coordenadas do ponto P são 
24 18
, .
5 5
 
 
 
 A 
distância entre o ponto P e o centro C é igual ao raio 
R da circunferência. Assim, pode-se escrever: 
2 2
2
2 2 2 2
2 2 2
24 18
R 6 b mas b R
5 5
24 18 6 18 36R 36 324 36R
R 6 R R R 0
5 5 5 5 5 25 25 5
36R 360 R 10
25R 50 R 2 b 2
5 25 5 25
   
= − + −  =   
   
−       
= − + −  = + − +  = + −       
       
=  =  =  =  =
 
 
Portanto, as coordenadas do centro C são ( )6, 2 . 
Assim, o que se pretende descobrir é uma parábola 
que contenha os pontos ( )C 6, 2 e a origem ( )O 0, 0 . 
Pelas alternativas percebe-se que a única parábola 
descrita que passa por ambos os pontos C e O é a 
23y 12y 2x 0,− + = pois: 
2
2
Ponto O 3 0 12 0 2 0 0
Ponto C 3 2 12 2 2 6 0 12 24 12 0
→  −  +  =
→  −  +  = → − + =
 
 
Resposta da questão 22: 
 [B] 
 
Determinando o centro C da circunferência dada: 
 
x2 + 4x + 4 + y2 + 10y + 25 = 25 + 4 + 25 
 
(x + 2)2 + (y + 5)2 = 4 
 
Logo, o centro é C(–2,–5). 
 
O ponto P simétrico do ponto (–1,1) em relação ao 
eixo x é P (–1, –1). 
 
Portanto, o raio R da circunferência pedida será a 
distância entre os pontos P e C. Temos, 
 
R2 = (–1 – (–2))2 + (–1 – (–5))2 = 17 
 
Logo, a equação da circunferência pedida será dada 
por : 
 
(x + 2)2 + (y + 5)2 = 17  x2 + y2 + 4x + 10y + 29 – 
17 = 0  x2 + y2 + 4x + 10y + 12 = 0 
 
Resposta da questão 23: 
 [A] 
 
Completando os quadrados, obtemos 
 
 2 2 2 2x y 4x 0 (x 2) y 4.+ − =  − + = 
 
Assim, o centro da circunferência é o ponto C(2, 0). 
O coeficiente angular da reta t é dado por 
 
TEOREMA MILITAR 
LISTA 45 –GEOMETRIA ANALÍTICA – ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA 
PROF. CESAR ANNUNCIATO 
 
 
 C P
C P
x x 2 1 1 1 3 3
.
y y 30 3 3 3 3
− −
− = − = − =  =
− − −
 
 
Desse modo, a equação de t é 
3
y 3 (x 1)
3
− =  − e, 
portanto, a abscissa do ponto de interseção de t com 
o eixo x é tal que 
 
 
3
0 3 (x 1) 3 x 1 x 2.
3
− =  −  − = −  = − 
 
Resposta da questão 24: 
 [C] 
 
Completando os quadrados, obtemos 
 
2 2 2 2
2 2
x 2x y 6y 1 0 (x 1) 1 (y 3) 9 1 0
(x 1) (y 3) 9.
+ + + + =  + − + + − + =
 + + + =
 
 
Logo, segue que o centro da circunferência é o ponto 
C( 1, 3)− − e o seu raio é r 9 3.= = 
O ponto de ordenada máxima é o ponto sobre a reta 
Cx 1,= − cuja ordenada é dada por Cy r 3 3 0,+ = − + = 
ou seja, ( 1, 0).− 
 
Resposta da questão 25: 
 [A] 
 
Determinando o centro (a,b) da circunferência, temos 
que: 
 
–2a = –6, então a = 3 
–2b = 10, então b = –5; logo, o centro da 
circunferência é o ponto C(3, –5). 
 
Esboçando a circunferência, temos: 
 
 
 
Calculando o raio, tem-se: 
 
R2 = 32 + 42 
 
R = 5, como o raio mede 5 unidades, a reta é 
tangente ao eixo x.