Geometria Anal_tica

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2013
Geometria analítica
Prof.ª Josiane Elias Nicolodi
Prof. Roberto Nicolodi
Copyright © UNIASSELVI 2013
Elaboração:
Prof.ª Josiane Elias Nicolodi
Prof. Roberto Nicolodi
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
516.3
N651g Nicolodi, Josiane Elias
 Geometria Analítica / Josiane Elias Nicolodi, Roberto Nicolodi. Indaial 
: Uniasselvi, 2013.
 
 215 p. : il 
 
 ISBN 978-85-7830-850-6
 1. Geometria Analítica. I. Centro Universitário Leonardo da Vinci.
Impresso por:
III
apresentação
As mudanças pelas quais o ensino da matemática passou ao longo 
dos tempos acabaram por refletir fortemente no ensino e aprendizagem dos 
conteúdos de matemática. Se analisarmos a situação da prática educativa 
dos anos 80 até a atualidade identificaremos problemas como: a grande 
ênfase dada à memorização e pouca preocupação com o desenvolvimento do 
pensamento matemático para a reflexão crítica e autocrítica do conhecimento, 
o que consecutivamente, ocasionou em altos índices de reprovação.
Por isso, o principal objetivo dessa disciplina é contribuir para a 
formação do raciocínio lógico dos conteúdos de geometria, abordando 
paralelamente a representação algébrica com a representação geométrica.
 A Geometria Analítica é uma parte da Matemática, que através de 
relações matemáticas, estabelece as relações existentes entre a Álgebra e a 
Geometria. Desse modo, uma reta, uma circunferência ou uma figura podem 
ter suas propriedades estudadas através de métodos algébricos.
Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no século XVII 
e devem-se ao filósofo e matemático francês René Descartes (1596-1650), 
inventor das coordenadas cartesianas (assim chamadas em sua homenagem), 
que permitiram a representação numérica de propriedades geométricas. No 
seu livro Discurso sobre o Método, escrito em 1637, aparece a célebre frase em 
latim Cogito ergo sum, ou seja: “Penso, logo existo”. 
Para tanto contamos com a sua dedicação, com o tempo para a leitura, 
realização das autoatividades sugeridas. Com o seu comprometimento de 
realmente utilizar a representação geométrica para comprovar a representação 
algébrica.
Vamos lá, chegou a hora de estudar!
Prof.ª Josiane Elias Nicolodi
Prof. Roberto Nicolodi
IV
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para 
você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há novidades 
em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é o 
material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um formato 
mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova diagramação 
no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também contribui para diminuir 
a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade 
de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto 
em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
 
Bons estudos!
UNI
V
VI
VII
UNIDADE 1 – ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO ............................................. 1
TÓPICO 1 – SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL ................................................................. 3
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 3
2 O SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL ................................................................................. 3
3 PARES ORDENADOS ........................................................................................................................ 5
4 OS QUADRANTES ............................................................................................................................. 7
5 BISSETRIZ DOS QUADRANTES ................................................................................................... 9
RESUMO DO TÓPICO 1 ....................................................................................................................... 11
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 12
TÓPICO 2 – ESTUDO DOS PONTOS ............................................................................................... 15
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 15
2 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS ............................................................................................. 15
3 PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO ........................................................................................... 20
4 CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS ............................................................. 24
5 A UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE WIN PLOT ............................................................................... 30
RESUMO DO TÓPICO 2 ....................................................................................................................... 36
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 37
TÓPICO 3 – A RETA ............................................................................................................................... 39
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 39
2 EQUAÇÕES DA RETA ....................................................................................................................... 39
3 ÂNGULOS ENTRE DUAS RETAS ................................................................................................... 46
4 DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA ............................................................................................ 51
RESUMO DO TÓPICO 3 ....................................................................................................................... 55
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 56
TÓPICO 4 – POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS .............................................................. 59
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 59
3 RETAS CONCORRENTES ................................................................................................................. 64
4 PERPENDICULARIDADE DE DUAS RETAS ............................................................................... 65
5 INTERSEÇÃO DE DUAS RETAS ..................................................................................................... 68
6 O SOFTWARE WIN PLOT NA PROJEÇÃO DE RETAS .............................................................. 70
LEITURA COMPLEMENTAR ..............................................................................................................74
RESUMO DO TÓPICO 4 ....................................................................................................................... 77
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 78
UNIDADE 2 – O ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA ...................................................................... 79
TÓPICO 1 – EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA .......................................................................... 81
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 81
2 EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA .............................................................................................. 81
sumário
VIII
3 POSIÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA NO PLANO CARTESIANO ............................................. 89
4 EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA ............................................................................... 91
6 O SOFTWARE WINPLOT NA REPRESENTAÇÃO DE CIRCUNFERÊNCIAS ...................... 99
RESUMO DO TÓPICO 1 ....................................................................................................................... 103
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 104
TÓPICO 2 – POSIÇÕES RELATIVAS ................................................................................................ 107
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 107
2 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PONTO E CIRCUNFERÊNCIA ............................................ 107
3 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA ................................................ 112
4 POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS ........................................................ 117
RESUMO DO TÓPICO 2 ....................................................................................................................... 126
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 128
TÓPICO 3 – CURIOSIDADES SOBRE A CIRCUNFERÊNCIA .................................................... 129
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 129
2 POLÍGONOS REGULARES INSCRITOS NA CIRCUNFERÊNCIA ........................................ 129
3 MEDIDA DO COMPRIMENTO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA .............................................. 132
4 ÁREA DO CÍRCULO .......................................................................................................................... 133
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................. 136
RESUMO DO TÓPICO 3 ....................................................................................................................... 139
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 140
UNIDADE 3 – O ESTUDO DAS CÔNICAS ..................................................................................... 143
TÓPICO 1 – PARÁBOLA ....................................................................................................................... 145
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 145
2 A PARÁBOLA ....................................................................................................................................... 146
3 EQUAÇÕES DA PARÁBOLA ........................................................................................................... 147
RESUMO DO TÓPICO 1 ....................................................................................................................... 159
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 160
TÓPICO 2 – ELIPSE ................................................................................................................................ 161
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 161
2 A ELIPSE ................................................................................................................................................ 161
3 EQUAÇÕES DA ELIPSE .................................................................................................................... 163
RESUMO DO TÓPICO 2 ....................................................................................................................... 175
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 177
TÓPICO 3 – HIPÉRBOLE ...................................................................................................................... 179
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 179
2 A HIPÉRBOLE ...................................................................................................................................... 180
 2.1 MEDIDA DO EIXO REAL ............................................................................................................. 181
 2.2 MEDIDA DO EIXO IMAGINÁRIO .............................................................................................. 182
3 EQUAÇÕES DA HIPÉRBOLE ........................................................................................................... 182
RESUMO DO TÓPICO 3 ....................................................................................................................... 192
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 193
TÓPICO 4 – APLICAÇÕES DA GEOMETRIA ANALÍTICA ........................................................ 195
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 195
2 A HISTÓRIA DA GEOMETRIA ANALÍTICA .............................................................................. 195
IX
3 APLICAÇÕES DA GEOMETRIA ANALÍTICA ............................................................................ 197
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................. 201
RESUMO DO TÓPICO 4 ....................................................................................................................... 206
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................ 207
REFERÊNCIAS ........................................................................................................................................ 211
X
1
UNIDADE 1
ESTUDO DA RETA NO SISTEMA 
CARTESIANO
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
Caro(a) acadêmico(a)! Com esta unidade, você será capaz de:
• conhecer as definições do Sistema Cartesiano Ortogonal;
• reconhecer as coordenadas do ponto;
• desenvolver o pensamento algébrico e a representação geométrica;
• identificar e aplicar o estudo dos pontos;
• verificar e aplicar as propriedades das equações da reta;
• adquirir noções sobre as posições relativas de duas retas.
Esta unidade está dividida emquatro tópicos. No final de cada um deles, você 
encontrará atividades que favorecerão a fixação dos assuntos apresentados. 
Bons estudos! 
TÓPICO 1 – SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL
TÓPICO 2 – ESTUDO DOS PONTOS
TÓPICO 3 – A RETA
TÓPICO 4 – POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
2
3
TÓPICO 1
UNIDADE 1
SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL
1 INTRODUÇÃO
A geometria é um dos ramos mais antigos da matemática, seus princípios 
baseiam-se nos estudos do ponto, da reta e do plano, que estão fundamentados em 
axiomas, postulados, definições e teoremas, compilados pelo filósofo e matemático 
grego Euclides, por volta do ano 300 a.C.
Nesta disciplina, nosso foco de estudos será uma área ainda mais específica 
da geometria, a geometria analítica. Área esta, também chamada geometria de 
coordenadas e de geometria cartesiana, em que o estudo da geometria é realizado 
por meio de um sistema de coordenadas e dos princípios da álgebra.
Desta forma, iniciaremos nossos estudos revendo os conceitos envolvidos 
no estudo do sistema cartesiano ortogonal.
2 O SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL
O Sistema de Coordenadas Cartesianas, Sistema Cartesiano Ortogonal, 
também conhecido como Plano Cartesiano, foi criado por René Descartes (1596-
1650), filósofo matemático francês e principal idealizador da Geometria Analítica. 
Em sua homenagem originou-se o nome cartesiano, pois Descartes em latim era 
Cartesius.
Como René Descartes associava a geometria à álgebra, o sistema cartesiano 
ortogonal foi a forma que ele inventou para representar expressões algébricas graficamente.
NOTA
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
4
Quando temos um sistema de eixos associado a um plano, que faz 
corresponder a cada ponto do plano um par ordenado e vice-versa, sendo esses 
eixos perpendiculares entre si em um ponto O, denominado origem, o denotamos 
como sistema cartesiano ortogonal.
Sendo assim, o sistema cartesiano ortogonal é formado por dois eixos 
perpendiculares (duas retas que formam ângulo de 90º entre si): um horizontal e 
outro vertical que se cruzam na origem das coordenadas (0,0). A reta horizontal é 
chamada de eixo x ou eixo das abscissas (x) e a reta vertical de eixo y ou de eixo das 
ordenadas (y). Esses eixos são enumerados com uma unidade de medida única e 
os números compreendem o conjunto dos números reais, como podemos observar 
na figura 1 do plano cartesiano. Nesta disciplina, você pode utilizar 1 cm como 
unidade de medida para a resolução das autoatividades.
FIGURA 1 – PLANO CARTESIANO
FONTE: Os autores
Atenção! Podemos observar na Figura 1 que a orientação positiva das retas é 
representada por uma seta.
UNI
A utilização mais simples do Plano Cartesiano é para representarmos 
graficamente a localização de pontos em um determinado plano, ou seja, pares 
ordenados conforme apresentado na próxima seção.
TÓPICO 1 | SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL
5
Você sabia?
Que podemos associar o Plano Cartesiano com a latitude e a longitude? Esses temas 
relacionados aos estudos geográficos e à criação do atual sistema de posicionamento, o GPS. 
O Sistema de Posicionamento Global permite que saibamos nossa localização exata na terra, 
desde que tenhamos em mãos um receptor de sinais GPS, informando a latitude, a longitude e 
a altitude com o auxílio de satélites em órbita da Terra. Os aviões são um exemplo da utilização 
do GPS, pois para não se colidirem são monitorados e informados em qual rota devem seguir 
sua viagem.
FONTE: Adaptado de: <http://www.mundoeducacao.com/matematica/plano-cartesiano.
htm>. Acesso em: 6 dez. 2013.
UNI
3 PARES ORDENADOS
A representação dos pontos no plano é feita através de pares ordenados, 
indicados entre parênteses, a abscissa (x) e a ordenada (y) respectivamente, e esse 
par ordenado (x, y) representa as coordenadas de um ponto, o qual é representado 
por uma letra maiúscula do alfabeto P(x, y).
Eixo das abscissas
P(x,y)
Eixo das ordenadas
FIGURA 2 – CLASSIFICAÇÃO DOS EIXOS
FONTE: Os autores
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
6
O valor da abscissa (o primeiro número do par ordenado) é a medida do 
deslocamento a partir da origem para a direita (se positivo), ou para a esquerda (se negativo) 
do eixo horizontal (eixo x). E o valor da ordenada (o segundo número do par ordenado) é a 
medida do deslocamento a partir da origem para cima (se positivo) ou para baixo (se negativo) 
no eixo vertical (eixo y).
IMPORTANTE
Vamos observar alguns exemplos de pares ordenados:
• o ponto A(4, 3) tem abscissa 4, ou seja, x = 4 e ordenada 3, ou seja, y = 3, no qual 
o símbolo (4, 3) representa um par ordenado;
• o ponto B(1, 2) tem abscissa 1 (x = 1) e ordenada 2 (y = 2); 
• o ponto C(-2, 4) tem abscissa -2 (x = -2) e ordenada 4 (y = 4);
• o ponto D(-3, -4) tem abscissa -3 (x = -3) e ordenada -4 (y = -4);
• o ponto E (3, -3) tem abscissa 3 (x = 3) e ordenada -3 (y = -3).
É importante destacarmos que os pontos M(2, 5) e N(5, 2) são pontos distintos, 
pois em um par ordenado a ordem dos números é relevante.
ATENCAO
Para representarmos esses pontos no sistema cartesiano ortogonal, traçamos 
retas suportes paralelas aos eixos x e y (representadas na Figura 3, por linhas 
tracejadas), e onde essas retas se encontram, marca-se o ponto (par ordenado). 
Vamos analisar o ponto A, observe na Figura 3, que traçamos inicialmente 
uma reta paralela ao eixo y sobre o valor da abscissa do ponto, nesse caso 4 e 
depois traçamos a outra paralela, agora em relação ao eixo x, sobre o valor da 
ordenada, ou seja, 3. Onde essas duas retas paralelas (devem ser representadas 
sempre com linhas tracejadas no sistema cartesiano ortogonal) se encontram é a 
região do plano em que está o ponto A (4, 3).
TÓPICO 1 | SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL
7
O mesmo acontece com os demais pontos do exemplo e com qualquer 
outro par ordenado em que os pontos não estão marcados sobre o eixo. Quando 
isso acontece os pontos estão localizados nos quadrantes e não é necessário traçar 
retas paralelas.
FIGURA 3 – EXEMPLOS DE PARES ORDENADOS
Fonte: Adaptado de: <http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/plano-cartesiano.htm>. 
Acesso em: 9 maio 2013.
Utilizamos o plano cartesiano na representação de gráficos de funções, onde os 
valores relacionados a x determinam o domínio e os valores de y, a imagem da função. A criação 
do Sistema de Coordenadas Cartesianas é considerada uma ferramenta muito importante na 
Matemática, que facilita a observação do comportamento das funções em alguns pontos 
considerados críticos e contribuiu para vários conceitos de cálculo, como limites, derivadas, 
integrais e outros.
NOTA
4 OS QUADRANTES
É a denotação utilizada para as quatro regiões do plano resultante da 
divisão do eixo x e do eixo y, conforme observamos na Figura 4.
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
8
Os quadrantes são dispostos em sentido anti-horário.
NOTA
FIGURA 4 – QUADRANTES
Fonte: Disponível em: <http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/plano-
cartesiano.htm>. Acesso em: 9 maio 2013.
 No sistema cartesiano ortogonal, o canto superior direito é a região 
do primeiro quadrante, à sua esquerda do outro lado do eixo das ordenadas (eixo 
y), é a região do segundo quadrante. Abaixo desse, temos a região do terceiro 
quadrante e à direita e, abaixo do primeiro, temos a região do quarto quadrante.
Para os pontos (pares ordenados) localizados no primeiro quadrante, os 
valores da abscissa e da ordenada serão sempre maiores do que zero (x > 0 e y > 0), 
no segundo quadrante o valor da abscissa é menor do que zero e o da ordenada 
maior do que zero (x < 0 e y > 0), no terceiro quadrante os valores da abscissa e da 
ordenada serão menores do que zero (x < 0 e y < 0) e no quarto quadrante o valor 
da abscissa é maior do que zero e o da ordenada menor do que zero (x > 0 e y < 0). 
Assim:
• no primeiro quadrante, todos os pontos possuem abscissa e ordenada positivas 
(x, y). Exemplo: A(4, 2);
TÓPICO 1 | SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL
9
• no segundo quadrante, todos os pontospossuem abscissa negativa e ordenada 
positiva (- x, y). Exemplo: B (-4, 2);
• no terceiro quadrante todos os pontos possuem abscissa e ordenada negativas 
(- x, - y). Exemplo: C(-4, -2), e
• no quarto quadrante todos os pontos possuem abscissa positiva e ordenada 
negativa (x, -y). Exemplo: D(4, -2).
Quando um ponto (par ordenado) está localizado sobre o eixo das abscissas (eixo 
x), o eixo das ordenadas (eixo y), ou sobre a origem do sistema, não se encontra em nenhum 
quadrante.
IMPORTANTE
5 BISSETRIZ DOS QUADRANTES
A bissetriz dos quadrantes é determinada por uma reta que intercepta o 
ponto (0,0) traçando a bissetriz dos quadrantes ímpares no 1º e 3º quadrante ou a 
bissetriz dos quadrantes pares no 2º e 4º quadrante, conforme a Figura 5. 
FIGURA 5 – BISSETRIZ DOS QUADRANTES
FONTE: Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/as-bissetrizes-dos-
quadrantes-1.htm>. Acesso em: 9 maio 2013.
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
10
Todos os pontos pertencentes à bissetriz dos quadrantes ímpares possuem 
abscissas iguais às ordenadas e vice-versa, B(b, b).
Todos os pontos pertencentes à bissetriz dos quadrantes pares possuem abscissas e ordenadas 
opostas e vice-versa, B(b, -b).
IMPORTANTE
Exemplo: Determinar o valor de a, para que o ponto A (2a-1, – a+2) pertença 
à bissetriz dos quadrantes ímpares.
Resolução: Sabemos que, se o ponto pertence à bissetriz dos quadrantes 
ímpares, então, possuem coordenadas (x, y) iguais. Desta forma,
2a – 1 = -a + 2 Isolando a no primeiro membro
2a + a = 2 + 1 Juntando os termos semelhantes
3a = 3 Dividindo ambos os membros por 3
3a/3 = 3/3 Efetuando a divisão
a = 1
Substituindo o valor de a nas coordenadas do ponto, temos:
A (2.1 – 1, - 1 + 2) → A (1, 1)
Portanto, as coordenadas do ponto serão A(1, 1).
11
Nesse tópico, você estudou o Sistema Cartesiano Ortogonal. Em seguida, 
a localização dos pontos e a posição dos mesmos de acordo com os quadrantes.
• O sistema cartesiano ortogonal é formado por dois eixos perpendiculares, o 
horizontal é chamado de eixo x ou eixo das abscissas (x) e o vertical de eixo y ou 
de eixo das ordenadas (y) que são enumerados compreendendo o conjunto dos 
números reais.
• A representação dos pontos no plano é feita através de pares ordenados (x, y), a 
abscissa (x) e a ordenada (y) respectivamente que representa as coordenadas de 
um ponto.
• Para representarmos esses pontos no sistema cartesiano ortogonal, traçamos 
retas paralelas aos eixos x e y (linhas tracejadas), e onde essas retas se encontram, 
marca-se o ponto (par ordenado). 
• Os pontos (pares ordenados), localizados no primeiro quadrante, têm os valores 
da abscissa e da ordenada maiores do que zero (x > 0 e y > 0), no segundo 
quadrante, o valor da abscissa é menor do que zero e o da ordenada maior 
do que zero (x < 0 e y > 0), no terceiro quadrante os valores da abscissa e da 
ordenada serão menores do que zero (x < 0 e y < 0), e no quarto quadrante o 
valor da abscissa é maior do que zero e o da ordenada menor do que zero (x > 0 
e y < 0).
RESUMO DO TÓPICO 1
12
AUTOATIVIDADE
Agora chegou a sua vez de colocar em prática o que foi estudo no 
Tópico 1. Lembre-se das orientações referentes à localização dos pontos no 
plano cartesiano.
1 Construa um plano cartesiano e localize os seguintes pontos (pares 
ordenados):
a) A(-4, 3)
b) B(-1, 1)
c) B(2, 1)
d) D(-1, 2)
e) E(3, -2)
j) J(3, 3/5)
k) K(1/2, -4)
l) L(-2,5, -3,3)
m) M(2, 0)
n) N(0, -3)
f) F(-1, -1)
g) G(3, 2)
h) H(-1, 3)
i) Um ponto I na 
origem do sistema
2 No exercício anterior:
a) Quais são os pontos que pertencem ao 1º quadrante? ______________________ 
b) Quais são os pontos que pertencem ao 2º quadrante? ______________________
c) Quais são os pontos que pertencem ao 3º quadrante? ______________________
d) Quais são os pontos que pertencem ao 4º quadrante? ______________________
3 Verifique se os pontos estão localizados nos quadrantes e identifique em 
qual quadrante?
a) A(2, 0)_____________________________________________________________
b) B(-1, -1)____________________________________________________________
c) C(0, 3)_____________________________________________________________
d) D(2, -3)____________________________________________________________
e) E(0, 0)_____________________________________________________________
f) F(-1, 0)_____________________________________________________________
g) G(0, -2)____________________________________________________________
4 No exercício anterior:
a) Quais pontos estão localizados sobre o eixo das abscissas? 
b) Quais pontos estão localizados sobre o eixo das ordenadas? 
13
5 Complete utilizando os símbolos = (igual) ou ≠ (diferente):
a) A(2,0)......... M(0,2) 
b) B(3, -1)......... N(3,-1) 
c) C(2,5)................ P(6/3,10/2) 
d) C(-2,1)............... Q(1,-2) 
e) E(-3,-2).......... R(-2,-3) 
6 Determine x e y nos pares ordenados, para que cada uma das igualdades 
sejam verdadeiras:
a) (x, y) = (1,-2) _______________________________________________________
b) (3, y) = (x, 1) _______________________________________________________
c) (x , -7) = (-1 , y) _____________________________________________________
d) (2x, -2) = ( 10, y) ____________________________________________________
e) (x, y +2) = (1, 7) _____________________________________________________
f) (3x, 2y) = (-15, -8) ___________________________________________________
g) (x, y - 5) = (0, 10) ____________________________________________________
h) (x + 1, y -1) = (2, 4) __________________________________________________
7 Determine as coordenadas de cada ponto do plano cartesiano a seguir:
14
8 Para que o ponto P(-3m +5, 2m+10) pertença à bissetriz dos quadrantes 
ímpares, m deverá ser:
a) - 1 
b) 5/3 
c) - 5 
d) 1 
9 Observe o sistema cartesiano a seguir onde as bissetrizes de cada quadrante 
estão representadas. 
a) O que caracteriza um ponto “A” situado sobre a bissetriz dos quadrantes 
ímpares? 
b) Se o ponto C(x, y) é um ponto situado sobre a bissetriz dos quadrantes pares, 
podemos afirmar que x + y = 0 sempre? Por quê? 
c) Calcule o valor de m, sabendo que o ponto B (2m² + 5, 7m) pertence à bissetriz 
dos quadrantes pares.
15
TÓPICO 2
ESTUDO DOS PONTOS
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
No tópico anterior, vimos a representação de um ponto no sistema 
cartesiano. Neste tópico vamos analisar as relações que podemos estabelecer entre 
dois ou mais pontos, como a distância entre dois pontos, o ponto médio de um 
segmento, a condição de alinhamento de três pontos e como utilizar o software 
Winplot para representar geometricamente essas relações.
No estudo dos pontos, temos o conceito de distância que perpassa vários 
conceitos da geometria analítica, pois nessa área da matemática temos a relação 
de elementos geométricos com os algébricos, sendo que o elemento básico da 
geometria é o ponto.
Sabemos que na geometria a menor distância entre dois pontos é dada por 
uma reta, já na geometria analítica esses pontos são representados por coordenadas 
no sistema cartesiano ortogonal, e por meio dessas coordenadas podemos encontrar 
o valor da distância entre os dois pontos.
Através dos estudos de Geometria Analítica, é possível estabelecer a 
relação entre a Álgebra e a Geometria, em situações que são envolvidos ponto, 
reta e figuras espaciais, pois quando representamos graficamente uma função, 
utilizamos de pontos, podemos ter retas ou até mesmo figuras em três dimensões.
2 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
Na disciplina de geometria, você estudou que a distância é a medida da 
separação de dois pontos e que por dois pontos passa apenas uma reta, vamos 
calcular a distância entre os pontos A e B no sistema cartesiano ortogonal.
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
16
FIGURA 6 – DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
FONTE: Adaptado de: <https://www.google.com.br/
search?q=com+a+dist%c3%a2ncia+entre+dois+pontos>. Acesso em: 10 
maio 2013.
Para calcular a distância entre doispontos recorremos ao teorema de 
Pitágoras.
Temos os pontos: A(xA, yA), com abscissa (xA) e ordenada (yA); e o ponto B(xB, 
yB), com abscissa (xB) e coordenada (yB), ligando esses dois pontos com uma 
reta, podemos formar o triângulo ABC retângulo em C, em que temos o lado BC 
(cateto), o lado AC (cateto) e o lado AB (hipotenusa).
UNI
FIGURA 7 – COMO CALCULAR A DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
FONTE: Adaptado de: <http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/
distancia-entre-dois-pontos.htm>. Acesso em: 10 maio 2013.
y
yB
yA
xA xB x
C
B
A
y
yB
yA
xA xB x
C
B
A
dAB
TÓPICO 2 | ESTUDO DOS PONTOS
17
Para calcular a distância entre os pontos A e B, vamos aplicar o teorema de 
Pitágoras no triângulo ABC (Figura 8), para descobrir o valor da hipotenusa do 
triângulo, ou seja, D que é a distância entre os pontos A e B.
FIGURA 8 – TRIÂNGULO ABC
FONTE: Os autores
Pelo Teorema de Pitágoras, temos que o quadrado da hipotenusa (D) é 
igual à soma dos quadrados dos catetos. Como o cateto BC é igual a distância de 
yB - yA, e o cateto AC é igual a distância de xB - xA , temos:
D² = (XB – XA)² + (YB – YA)²
√D² = √(XB – XA)² + (YB – YA)² aplicando a raiz quadrada em ambos os 
lados da igualdade: 
D = √(XB – XA)² + (YB – YA)²
ATENCAO
D = √(XB – XA)² + (YB – YA)² essa é a fórmula para o cálculo da 
distância entre dois pontos no sistema cartesiano ortogonal.
Utilizando essa fórmula, é possível determinar a distância entre dois pontos 
no Sistema Cartesiano Ortogonal, desde que seja conhecida as suas coordenadas.
Exemplo 1: Dados os pontos A (1, -2) e B (4, 2), determine a distância entre 
eles e represente geometricamente.
Solução: Temos xA = 1 e yA = -2, e xB = 4 e yB = 2.
Fórmula da distância entre dois pontos:
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
18
D = √(XB – XA)² + (YB – YA)²
Substituindo esses valores na fórmula da distância entre dois pontos temos:
D = √(4 – 1)² + [2 – (–2)]² 
Resolvendo as operações entre os parênteses:
D = √(3)² + (4)² 
Elevando os termos ao quadrado:
D = √9 + 16 
Somando os termos dentro da raiz quadrada:
D = √25 
Resolvendo a raiz quadrada:
D = 5
Logo a distância entre o ponto A e o ponto B é igual a 5 unidades de medida.
Representação geométrica:
FIGURA 9 – SOLUÇÃO DO EXEMPLO 1: DISTÂNCIA ENTRE PONTOS
FONTE: Os autores
Exemplo 2: Calcule a distância entre os pontos P(-1, 4) e Q (1, -4).
Solução: Temos xA = -1 e yA = 4, e xB = 1 e yB = - 4.
Substituindo na fórmula teremos: 
TÓPICO 2 | ESTUDO DOS PONTOS
19
D = √(XB – XA)² + (YB – YA)²
D = √[1 – (–1)]² + (–4 – 4)² 
Resolvendo as operações entre os parênteses:
D = √(–2)² + (–8)² 
Elevando os termos ao quadrado:
D = √4 + 64
Somando os termos dentro da raiz quadrada:
D = √68
Resolvendo a raiz quadrada, não temos um valor exato, portanto vamos 
fatorar em números primos o número 68;
68 2
34 2
17 17
1 2².17
Logo, 
Representação geométrica
√4 √17 2√17=
2√17D = unidades de medida, esse valor é a distância entre o ponto A
e o ponto B.
FIGURA 10 – SOLUÇÃO DO EXEMPLO 2: DISTÂNCIA ENTRE PONTOS
FONTE: Os autores
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
20
3 PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO
É o ponto que divide o segmento de reta exatamente ao meio, originando 
dois novos segmentos de reta, conforme podemos observar na Figura 11.
FIGURA 11 – PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO
FONTE: Adaptado de: <https://www.google.com.br/
search?q=divide+o+segmento+de+reta+exatamente+ao+meio&>. Acesso 
em: 10 maio 2013.
Seja M o ponto médio do segmento com extremidades A (xA,yA) e B (xB,yB), 
observamos na Figura 12, dois triângulos, AMN e ABP que são semelhantes, pois 
possuem os três ângulos respectivamente congruentes (iguais) (REIS, 2008).
FIGURA 12 – CÁLCULO DO PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO
FONTE: Disponível em: <http://www.feg.unesp.br/extensao/teia/aulas/
AulasModulo02-pdf/ApostilaVeraCarlos.PDF>. Acesso em: 10 maio 2013.
Portanto, pelo Teorema de Tales, o segmento AM é proporcional ao 
segmento AB e o segmento AN é proporcional ao segmento AP, logo:
TÓPICO 2 | ESTUDO DOS PONTOS
21
AB
na expressão
AM AN
AB AP
=
AM AN
AB AP
=
AB 2(AM)=Sendo pois M é o ponto Médio de
AB 2(AM)=Vamos subtituir
AM AN
2AM AP
=
Simplificando e multiplicando meios e extremos teremos:
1
2
AN
AP
=
Logo, AP = 2(AN)
Nota! Como foi visto na figura 12, o segmento AP é a distância do ponto A ao 
ponto P, e as coordenadas do ponto A são xA e yA e do ponto P xP = x B e yP = 
yA , e o segmento AN é a distância do ponto A ao ponto N, e as coordenadas do ponto N são 
xn = xM e yn= yA.
UNI
Temos: AP )(2 AN=
 )(2 ANAP xxxx −=− portanto se Bp xx = e MN xx = logo:
 )(2 AMAB xxxx −=− , aplicando a propriedade distributiva:
 AMAB xxxx 22 −=− , isolando os termos correspondentes:
 AAMB xxxx 22 −=− , resolvendo os termos correspondentes:
 AMB xxx −=− 2 , isolando o Mx :
 BAM xxx −−=− 2 , multiplicando ambos os lados da igualdade por (-1):
 BAM xxx +=2 Isolando o Mx :
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
22
 
2
BA
M
xx
x
+
=
essa é a fórmula para o cálculo da abscissa (x) do ponto 
médio (M), de forma análoga define-se a fórmula do cálculo da ordenada (y) do 
ponto médio (M):
2
BA
M
yy
y
+
=
Portanto M (
 
2
BA xx +
,
 
2
BA yy + )
Para encontrar as coordenadas do Ponto Médio utilizam-se as fórmulas:
 
2
BA
M
xxx +
=
 e 2
BA
M
yyy +
=
ATENCAO
Exemplo 1: Determine o ponto médio dos pontos A(4, -1) e B(-2, 5) e 
represente geometricamente:
Solução: Temos xA = 4 e yA = -1, e xB = -2 e yB = 5.
Substituindo nas fórmulas, teremos: 
 
2
BA
M
xxx +
=
2
BA
M
yyy +
=
 
1
2
2
2
)2(4
==
−+
=Mx
 
2
2
4
2
5)1(
==
+−
=My
Portanto, o ponto médio é: M (1,2).
Representação Geométrica:
TÓPICO 2 | ESTUDO DOS PONTOS
23
FIGURA 13 – MARCANDO O PONTO MÉDIO NO SISTEMA CARTESIANO DO EXEMPLO 1
FONTE: Os autores
Exemplo 2: O ponto A(-2, 3) é um dos extremos de um segmento cujo ponto 
médio é M(-1, -3). Quais são as coordenadas do outro extremo desse segmento B(x, 
y)? Represente geometricamente.
Solução: Acadêmico(a)! Note que agora temos o ponto médio e queremos 
determinar a extremidade deste segmento. Desta forma, temos: xA = -2 e yA = 3, e 
xM = -1 e yM = -3.
Substituindo nas fórmulas, teremos: 
 2 . (-1) = (-2) + Bx 
-2 = (-2) + Bx 
-2 + 2 = Bx 
 0 = Bx 
 
2
BA
M
xxx +
=
2
)2(1 Bx+−
=−
2
BA
M
yyy +
=
2
33 By+
=−
2 . (-3) = 3 + By 
- 6 = 3 + By 
- 6 – 3 = 
By 
- 9 = 
By
Portanto, as coordenadas do outro extremo, ponto B são x = 0 e y = -9, B (0, -9).
 
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
24
FIGURA 14 – MARCANDO O PONTO MÉDIO NO SISTEMA CARTESIANO DO EXEMPLO 2
FONTE: Os autores
4 CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS
Quando três pontos estão em linha reta, dizemos que eles são colineares, 
conforme podemos observar na Figura 15.
FIGURA 15 – PONTOS COLINEARES E NÃO COLINEARES
FONTE: Disponível em: <http://www.infoescola.com/matematica/ponto-reta-e-plano/>. Acesso 
em: 10 maio 2013.
TÓPICO 2 | ESTUDO DOS PONTOS
25
Com ABD~ BCE podemos escrever a relação:
xb-xa
xc-xb
=
yb-ya
yc-yb
 
Multiplicando meios e extremos, temos:
(xb - xa). (yc - yb) = (xc - xb). (yb - ya)
Equação este que podemos expressar na forma:
(xb – xa). (yc – yb) – (xc – xb). (yb – ya) = 0
Resolvendo os produtos, utilizando a propriedade distributiva da 
multiplicação, temos:
xb yc – xb yb – xa yc ₊ xa yb – (xc yb – xc ya – xb yb ₊ xb ya ) = 0
Observemos a Figura 16, onde temos os pontos A (xA, yA), B (xB, yB) e C (xC, 
yC), três pontos distintos em linha reta, ou seja, colineares (alinhados). Temos que 
os triângulos ABD e BCE são retângulos em D e E, respectivamente, bem como 
apresentam lados proporcionais, logo são semelhantes.
Acadêmico(a)! Vocêestudou a semelhança de triângulos na disciplina de 
Geometria, caso precise relembrar, busque seu Caderno de Estudos impresso ou vá até a Trilha 
de Aprendizagem da disciplina de Geometria e visualize na versão virtual.
UNI
FIGURA 16 – ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS
FONTE: Disponível em: <http://www.alunosonline.com.br/matematica/condicao-
de-alinhamento-de-tres-pontos.html>. Acesso em: 10 maio 2013.
A
B
C
D
E
YA
XA
YB
YC
XB XC
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
26
Juntando os termos semelhantes:
xbyc-xayc+xayb-xcyb+xcya-xbya=0 
Agrupando xa e ya temos:
(xayb-xayc)+(xcya-xbya)+(xbyc-xcyb)=0 
Colocando os termos comuns em evidência:
xa yb-yc +ya(xc-xb)+(xbyc-xcyb)=0 ( )
Que podemos escrever em forma de matriz:
 
0
1
1
1
=
cc
bb
aa
yx
yx
yx
Fazendo a regra de sinais:
xbyc – xbyb – xayc ₊ xayb – xcyb ₊ xcya ₊ xbyb – xbya = 0
Desta forma, concluímos que:
Três pontos A (xA, yA), B (xB, yB) e C (xC, yC), estão alinhados ou colineares, 
se e somente se, o determinante
 
 
0
1
1
1
=
cc
bb
aa
yx
yx
yx
 . Quando o determinante não for 
igual à zero, é porque os pontos A (xA, yA), B (xB, yB) e C (xC, yC), são vértices de 
triângulo.
Substituindo as coordenadas dos pontos na matriz 
 
0
1
1
1
=
cc
bb
aa
yx
yx
yx
 e 
aplicando a Regra de Sarrus, já vista no ensino médio, podemos verificar se o 
determinante dessa matriz é igual a zero, se for, os pontos são colineares, se não 
for igual a zero é porque os pontos não são colineares (formam um triângulo).
TÓPICO 2 | ESTUDO DOS PONTOS
27
LEMBRAR: Cálculo do determinante pela REGRA DE SARRUS:
 
 
0
1
1
1
=
cc
bb
aa
yx
yx
yx
 Repetem-se as duas primeiras colunas:
 
xa ya 1
xb yb 1
xc yc 1
xa
xb
xc
 
ya
yb
yc
=0
 Pela Regra de Sarrus, temos:
 xa·yb·1+ya·1·xc+1·xb·yc - xc·yb·1+yc·1·xa+1·xb·ya =0 ( () )
 Veja mais em: <http://www.alunosonline.com.br/matematica/regra-de-sarrus.html>.
UNI
Exemplo 1: Vamos verificar geometricamente e algebricamente (através do 
cálculo) se os pontos A (2, 5), B (3, 7) e C (5, 11), estão alinhados (são colineares):
Solução Geométrica: Vamos observar a localização dos pontos no sistema 
ortogonal cartesiano na Figura 17.
FIGURA 17 – SOLUÇÃO GEOMÉTRICA DO EXEMPLO 1: PONTOS ALINHADOS
FONTE: Os autores
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
28
Observamos no Sistema Cartesiano Ortogonal (Figura 16) que os pontos A, 
B e C estão alinhados e são colineares.
Solução Algébrica: Temos xa = 2 e ya = 5, xb = 3 e yb = 7, e xc = 5 
e yc = 11.
Substituindo na condição de alinhamento de três pontos
 
 
0
1
1
1
=
cc
bb
aa
yx
yx
yx
temos: 
0
1115
173
152
= 
calculando o determinante da matriz pela regra de Sarrus, teremos:
1º Passo: Repetimos as duas primeiras colunas da matriz original.
 
0
115
73
52
1115
173
152
=
2º Passo: Calculamos o valor da diagonal principal da matriz, multiplicando 
os elementos:
teremos Dp = (2.7.1) + (5.1.5) + (1.3.11) 
Dp = 14 + 25+ 33 = 72 
 
0
115
73
52
1115
173
152
=
3º Passo: Calculamos o valor da diagonal secundária da matriz, 
multiplicando os elementos:
teremos Ds = (1.7.5) + (2.1.11) + (5.3.1) 
Ds = 35 + 22+ 15 = 72 
 
0
115
73
52
1115
173
152
=
4º Passo: Subtraímos o valor da diagonal secundária do valor diagonal 
principal, para encontrar o valor do determinante da matriz, se ele for igual a zero 
os pontos estão alinhados: 
D = Dp - Ds = 72 -72 = 0
Portanto, os pontos A, B e C estão alinhados, ou seja, são colineares.
TÓPICO 2 | ESTUDO DOS PONTOS
29
Exemplo 2: Considerando os pontos A(2, 2), B(–2, –1) e C(–3, 1), verifique 
se eles estão alinhados e represente geometricamente.
Solução: Temos xa = 2 e ya = 2, xb = - 2 e yb = -1, e xc = -3 e yc = 1.
Substituindo na condição de alinhamento de três pontos, 
 
 
0
1
1
1
=
cc
bb
aa
yx
yx
yx
 
temos:
 
0
113
112
122
=
−
−− calculando o determinante da matriz pela regra de Sarrus, 
teremos:
1º Passo: Repetimos as duas primeiras colunas da matriz original
 
0
13
12
22
113
112
122
=
−
−−
−
−−
2º Passo: Calculamos o valor da diagonal principal da matriz, multiplicando 
os elementos:
teremos Dp = [2.(-1).1] + [2.1.(-3)] + [1.(-
2).1] 
Dp = -2 + (-6)+ (-2) = -10 
 
0
13
12
22
113
112
122
=
−
−−
−
−−
3º Passo: Calculamos o valor da diagonal secundária da matriz, 
multiplicando os elementos:
teremos Ds = [1.(-1).(-3)] + (2.1.1) + [2.(-2).1] 
Ds = 3 + 2+ (-4) = 1 
 
0
13
12
22
113
112
122
=
−
−−
−
−−
4º Passo: Subtraímos o valor da diagonal secundária do valor diagonal 
principal, para encontrar o valor do determinante da matriz, se ele for igual a zero 
os pontos estão alinhados:
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
30
D = Dp - Ds = -10 -1 = -11
Portanto, os pontos A, B e C não estão alinhados, ou seja, não são colineares.
Representação geométrica: 
FIGURA 18 – SOLUÇÃO DO EXEMPLO 2: PONTOS NÃO ALINHADOS
FONTE: Os autores
Observamos no Sistema Cartesiano Ortogonal (Figura 18) que os pontos A, 
B e C não estão alinhados, logo não são colineares.
5 A UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE WIN PLOT
O programa Winplot é uma excelente ferramenta computacional para 
fazer gráficos em duas dimensões (2D) e três dimensões (3D), de forma simples e 
clara, foi desenvolvido pelo Professor Richard Parris "Rick", por volta de 1985 e é 
totalmente gratuito. 
TÓPICO 2 | ESTUDO DOS PONTOS
31
Você pode baixar o programa Winplot gratuitamente, acessando a página: <http://
www.baixaki.com.br/download/winplot.htm>.
DICAS
Vamos utilizar o programa Winplot para traçar gráficos em duas dimensões 
(2D), ou seja, no sistema cartesiano ortogonal, selecionamos a opção 2 – dim, no 
menu janela.
FIGURA 19 – MENU WINPLOT 
FONTE: Disponível em: <http://www.mat.ufpb.br/sergio/winplot/
winplot.html>. Acesso em: 15 maio 2013.
Em seguida, o programa mostrará uma nova tela, como na Figura 20.
FIGURA 20 – TELA WINPLOT 
FONTE: Os autores
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
32
Na opção equação (menu superior do programa) vamos selecionar a opção 
ponto e em seguida (x, y), como na Figura 21.
FIGURA 21 – SELECIONAR PONTO NO WINPLOT
FONTE: Os autores
Depois para traçarmos pontos no Sistema Cartesiano Ortogonal com o 
programa Winplot, é somente digitar as informações das coordenadas, abscissa (x) 
e ordenada (y) do ponto na tela que abrirá no programa na sequência, e selecionar 
a opção OK.
FIGURA 22 – INSERINDO PONTOS NO WINPLOT
FONTE: Os autores
TÓPICO 2 | ESTUDO DOS PONTOS
33
O programa vai projetando os pontos no Sistema Cartesiano Ortogonal, 
conforme a Figura 23, e na tela “inventário” ficarão registradas as coordenadas dos 
pontos projetados.
FIGURA 23 – PONTOS NO SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL NO WINPLOT
FONTE: Os autores
Da mesma forma, é possível traçar segmentos de reta, inserindo as 
coordenadas dos pontos que são os extremos do segmento, selecionando no menu 
Equação a opção Segmento e (x,y), conforme a Figura 24.
FIGURA 24 – SEGMENTO DE RETA NO WINPLOT
FONTE: Os autores
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
34
Inserindo as coordenadas dos pontos na tela (Figura 25), aberta na sequência 
no programa, tem-se o segmento de reta (Figura 26).
FIGURA 25 – INSERINDO SEGMENTO DE RETA NO WINPLOT
FONTE: Os autores
FIGURA 26 – SEGMENTO DE RETA NO SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL NO 
WINPLOT
FONTE: Os autores
TÓPICO 2 | ESTUDO DOS PONTOS
35
Observe na Figura 27, que projetando os pontos no Winplot, no menu dois, 
selecionando a opção distância, o programa calcula a distância entre os pontos.
FIGURA 27 – DISTÂNCIA ENTRE OS PONTOS NO WINPLOT
A utilização desse programa é fácil, existe a opção ajuda em todas as partes 
do programa e as funções matemáticas podem ser inseridas de modo natural. 
FONTE: Os autores
Com o programa Winplot, você pode conferir, com a representação geométrica, 
se a solução do exercício está correta.
NOTA
36
RESUMO DO TÓPICO 2
Nesse tópico, você verificou a distânciaentre os pontos, o ponto médio e a 
condição de alinhamento de pontos.
Fórmula para o cálculo da distância entre dois pontos no sistema cartesiano 
ortogonal: 
 )²()²( ABAB yyxxD −+−=
Fórmula para o cálculo da abscissa (x) do ponto médio (M):
 
 
2
BA
M
xxx +
=
Fórmula do cálculo da ordenada (y) do ponto médio (M):
 
 
2
BA
M
yyy +
=
Coordenadas do Ponto Médio: 
 


 +
2
BA xxM
, 
 


+
2
BA yy
Para que três pontos estejam alinhados (colineares) o determinante da 
matriz 3x3 tem que ser igual a zero: 
0
1
1
1
=
yx
yx
yx
BB
AA
37
Você deverá colocar em prática o que foi estudo no Tópico 2. Lembre-se 
das orientações referentes a distância dos pontos, ponto médio e alinhamento 
dos pontos.
1 Calcule a distância entre os pontos:
a) A (2,3) e B (2, 5)_____________________________________________________
b) C (6,3) e D (2,7)_____________________________________________________
c) E (2,1) e F (-2,4) _____________________________________________________
2 Determine o ponto médio do segmento de extremidades:
a) A (2, 3) e B (8, 5)__________________ b) C (3, -2) e D (-1, -6)_________________ 
c) E (-2, -4) e F (5, 2) _________________ d) H (0, 7) e I (6, 0) ___________________ 
e) J (3, 2) e K (5, 4) __________________ f) P (-3, -4) e Q (-7, 0) _________________
3 Dados os pontos A (5, -2), B (3, 0), C (1 , -5) e D (-8, -1), determine as 
coordenadas dos pontos médios dos segmentos:
a) AB_______________________ b) AD___________________________
c) BD_______________________ d) AC __________________________ 
e) CD ______________________
4 Represente, no Sistema Cartesiano Ortogonal, os triângulos ABC e PQR. 
Determine as coordenadas dos pontos médios de cada lado dos triângulos e 
calcule o comprimento (distância) dos lados AC e PQ.
a) Δ ABC : A (3, 5), B (5, 9) e C (3, 7)
b) Δ PQR: P(2, 8), Q(2, 2) e R(6, 2)
5 Calcule os pontos médios dos lados dos triângulos com vértices:
a) Δ ABC: A (4, 0), B (0, 6) e C(8, 2) 
b) Δ EFG: E (2, -6), F(-4, 2) e G(0, 4) 
c) Δ JKL: J(-3, 6), K(1, -2) e L(5, 2)
6 Determine as coordenadas do ponto B sabendo que M (-1, -1) é o ponto médio 
de AB com A (-1, 1).
7 O ponto A (-4, 3) é um dos extremos de um segmento cujo ponto médio é M 
(-1, -3). Quais são as coordenadas do outro extremo desse segmento B (x, y).
AUTOATIVIDADE
38
8 Sabendo que os pontos A (x, y), B (-3, 2) e M (3, 5) são colineares, e M é o 
ponto médio de AB, determine as coordenadas do ponto A.
9 (UNIRIO) Uma universidade organizou uma expedição ao sítio arqueológico 
de Itaboraí, um dos mais importantes do Rio de Janeiro. Para facilitar a 
localização dos locais de escavação, foi adotado um sistema cartesiano de 
coordenadas. O objetivo da expedição é realizar escavações nos pontos A 
(0, 0),B (6, 18) e C (18, 6). Se o chefe da expedição pretende acampar em 
um ponto equidistante (situado a igual distância) dos locais de escavação 
determine as coordenadas do local do acampamento.
10 Um campo de futebol tem 60m de comprimento por 40m de largura. Construa 
um sistema de coordenadas e determine as coordenadas dos seguintes 
pontos: (REIS, 2008, p. 17)
a) dos quatro cantos do campo;
b) do centro do campo.
39
TÓPICO 3
A RETA
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Caro(a) acadêmico(a)! Você estudou nos tópicos anteriores as definições 
em relação ao ponto. Agora chegou a hora de conhecer as definições em relação 
à reta. No postulado básico da Geometria, temos que pôr dois ou mais pontos 
alinhados para poder passar uma reta, logo se faz necessário conhecer a equação 
da reta, compreender como os seus coeficientes são importantes para analisar o 
seu posicionamento no Sistema Cartesiano Ortogonal, possibilitando verificar sua 
inclinação e os pontos onde a reta intercepta (corta) os eixos do Sistema Cartesiano 
Ortogonal (eixo x e eixo y).
A seguir, vamos estudar as seguintes equações: equação geral da reta, 
equação reduzida e equação segmentária e também vamos verificar o ângulo 
formado entre as retas e a distância entre um ponto e uma reta.
2 EQUAÇÕES DA RETA
Conseguimos determinar a equação da reta do sistema cartesiano ortogonal 
quando são conhecidos: um ponto e o coeficiente angular da reta ou dois pontos 
da reta.
Coeficiente angular é número que mede a inclinação (ou declividade) de uma 
reta em relação ao eixo das abscissas. Logo, na equação reduzida da reta segundo a lei de 
formação: “y = mx + n”, dizemos que “m” é o coeficiente angular dessa reta. Ou então, dada a 
equação (geral) de uma reta: “ax + by + c = 0”, dizemos que “-a/b” é o coeficiente angular dessa 
reta.
NOTA
40
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
Essa equação pode receber as seguintes denotações: equação geral da reta, 
equação reduzida da reta e equação segmentária da reta. Cada denotação tem suas 
regularidades, como veremos.
• Equação geral da reta
a) Equação geral da reta quando é conhecido um ponto e o seu coeficiente angular.
FIGURA 28 – EQUAÇÃO GERAL DA RETA
FONTE: Disponível em: <http://www.infoescola.com/geometria-
analitica/equacoes-da-reta/>. Acesso em: 15 maio 2013.
Como podemos observar na Figura 28 o coeficiente angular (m) é obtido 
através das propriedades trigonométricas do triângulo retângulo, dado pela 
fórmula:
m = tg α
Sendo que 
tg =
cateto oposto
cateto adjacente
 
 logo podemos escrever:
Uma das formas de representar uma reta r do Sistema Cartesiano Ortogonal por 
meio de uma equação é conhecendo um ponto dessa reta e a sua inclinação (coeficiente 
angular).
ATENCAO
Temos a reta r (não vertical) que passa pelo ponto A (xA, yA) e tem coeficiente 
angular (m), para obter a equação dessa reta, é preciso o ponto P(x, y) tal que o 
ponto P seja diferente do ponto A (P ≠ A).
TÓPICO 3 | A RETA
41
 
A
A
xx
yym
−
−
= multiplicando meios e extremos:
 )( AA xxmyy −=− essa é a fórmula da equação geral da reta.
 
Exemplo1: Determine a equação geral da reta r que passa pelo ponto A (2, 
1), e tem coeficiente angular igual a 2 (m = 2). 
Solução1: Temos xA = 2, yA = 1 e m = 2.
Substituindo em )( AA xxmyy −=− teremos:
 )2(21 −=− xy , aplicando a propriedade distributiva temos:
 421 −=− xy , igualando a zero, teremos:
0421 =+−− xy , resolvendo os termos semelhantes:
 032 =+− xy , essa é a equação geral da reta que passa pelo A, com 
coeficiente angular igual a 2.
b) Equação geral da reta quando são conhecidos dois de seus pontos. 
Sabemos pelos estudos da geometria que por dois pontos distintos passa uma 
única reta. Assim também podemos determinar a equação da reta quando são conhecidos 
dois de seus pontos.
ATENCAO
 
0
1
1
1
=
BB
AA
yx
yx
yx
xyA + xBy + xAyB – xByA – xyB – xAy = 0 
x (yA – yB) + y(xB - xA) + (xAyB – xByA) = 0
42
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
Como xA, x B, yA e yB são valores reais, podemos fazer:
yA – yB = a
xB - xA= b
xAyB – xByA = c
Assim, teremos a fórmula da equação geral da reta: ax + by + c = 0.
ATENCAO
Exemplo 2: Determine a equação da reta que passa pelos pontos A (2, 5) e 
B (3, 7), e represente geometricamente:
Solução: Temos xA = 2, yA = 5 e xB = 3, yB = 7.
1º Passo: Substituir as coordenados dos pontos na fórmula e resolver: 
 
0
1
1
1
=
BB
AA
yx
yx
yx 
0
173
152
1
=
yx 
0
73
52
173
152
1
=
yxyx
temos na diagonal secundária:
DP= (1. 5. 3) + (x . 1 . 7) + (y . 2 .1) 
DP = 15 + 7x + 2y
E na diagonal principal Ds= (x. 5. 1) + (y . 1 . 3) + (1 . 2 .7) 
Ds = 5x + 3y + 14
Como temos DP - Ds = 0:
5x + 3y + 14 – (15 + 7x + 2y) = 0, resolvendo:
 -2x + y - 1= 0, essa é a equação geral da reta que passa pelos pontos A 
(2, 5) e B (3, 7).
TÓPICO 3 | A RETA
43
FIGURA 29 – REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO EXEMPLO 2: EQUAÇÃO DA 
RETA
FONTE: Os autores
Todas as retas no sistema ortogonal cartesiano apresentam uma equação na 
forma ax + by + c = 0, onde a, b e c são constantes, e a e b não são simultaneamente nulos.
IMPORTANTE
• Equação reduzida da reta
Para determinarmosa equação reduzida da reta, isolamos y, na equação 
geral da reta (ax + by + c = 0).
Na equação ax + by + c = 0, em que a, b e c são números reais, ao isolarmos 
y temos:
 
b
cx
b
ay −−=by = - ax - c 
Em que 
b
a
− é o coeficiente angular da reta (m) e 
b
c
− é o coeficiente linear 
(n) da reta. 
Sendo assim, y = mx + n é a forma reduzida da equação da reta.
44
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
Quando já temos a equação geral da reta, basta isolarmos y para termos a equação 
reduzida da reta.
NOTA
Exemplo: Vamos determinar a equação reduzida da reta, que passa pelos 
pontos A (2, 5) e B (3, 7):
Solução: Temos xA = 2, yA = 5 e xB = 3, yB = 7.
Já resolvemos esse exemplo anteriormente onde encontramos a equação 
geral dessa reta pela condição de alinhamento dos pontos. Agora vamos primeiro 
determinar o coeficiente angular usando a fórmula: 
 
A
A
xx
yym
−
−
= em x e y, nesse 
caso são xB e yB, logo:
 
2
1
2
23
57
==
−
−
=m
 considerando o ponto A (2, 5) e substituindo na fórmula
 )( AA xxmyy −=− , temos:
 )2(25 −=− xy resolvendo: 
 425 −=− xy isolando y:
y = 2x – 4 + 5, resolvendo:
y = 2x + 1, essa é a equação reduzida da reta que passa pelos pontos A (2, 5) e B (3, 
7), e tem coeficiente angular 2 e coeficiente linear 1.
O coeficiente linear (n) é a ordenada do ponto onde a reta intercepta (corta) o 
eixo das ordenadas (eixo y). 
IMPORTANTE
Equação segmentária da reta
Com essa forma de representação da equação da reta é possível verificar 
TÓPICO 3 | A RETA
45
claramente onde a reta intercepta o eixo da abscissa (eixo x) e o eixo da ordenada 
(eixo y), ou seja, sua visualização gráfica.
Vamos denotar os pontos onde a reta intercepta os eixos coordenados, 
como: A (0, q) e B (p, 0).
FIGURA 30 – EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA DA RETA
FONTE: Os autores
Com a condição de alinhamento dos pontos temos:
 
0
10
10
1
=
p
q
yx
 resolvendo encontramos a equação 
 
1=+
q
y
p
x
, onde p e q 
são os valores onde a reta intercepta os respectivos eixos, da abscissa (x) e eixo da 
ordenada (y).
Exemplo: Determine a equação segmentária da reta de equação geral 2x + 
3y - 12 = 0 e faça sua representação geométrica.
Solução: Sendo a equação 2x + 3y - 12 = 0, vamos passar a equação geral da 
reta para sua forma segmentária, isolando x e y.
2x + 3y = 12, depois dividimos tudo por 12:
 
12
12
12
3
12
2
=+
yx
, efetuando as simplificações temos:
 
1
46
=+
yx
, essa é a equação segmentária da reta, onde os pontos que 
interceptam os eixo y e x são: A (0, 4) e B (6,0).
y
x
r
A (0, q)
B (p, 0)
46
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
Representação geométrica:
FIGURA 31– SOLUÇÃO DO EXEMPLO: EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA
FONTE: Os autores
Sempre que não for indicado no texto, é porque a equação da reta está na sua 
forma geral, quando for equação reduzida ou equação segmentária estará especificado no 
texto.
ATENCAO
3 ÂNGULOS ENTRE DUAS RETAS
Vamos considerar duas retas distintas (r e s) e concorrentes do plano, 
não perpendiculares entre si e oblíquas aos eixos coordenados. Como podemos 
observar na Figura 32, temos um ângulo formado entre essas retas, denominado 
por α .
Duas retas são concorrentes se elas têm um ponto em comum. 
Retas oblíquas são retas que estão inclinadas.
UNI
TÓPICO 3 | A RETA
47
FIGURA 32 – ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS
FONTE: Disponível em: <http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/
angulo-formado-entre-duas-retas.htm>. Acesso em: 15 mai. 2013.
Para determinar o ângulo formado entre as retas ( α ), vamos utilizar a 
fórmula da tangente e o coeficiente angular das retas, no triângulo ABC, podemos 
observar:
FIGURA 33 – ÂNGULO FORMADO ENTRE RETAS
FONTE: Disponível em: <http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/
angulo-formado-entre-duas-retas.htm>. Acesso em: 15 out. 2013.
Temos 
srsr ααβαβα −=⇒+= tg β = tg ( sr αα − ) utilizando a 
igualdade trigonométrica, temos: 
tg
 
sr
sr
sr
sr
mm
mm
tg
tgtg
tgtg
.1.1 +
−
=⇒
+
−
= β
αα
αα
β
48
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
Como β é um ângulo agudo, tg β > 0 e β pode ser calculado pela 
expressão:
rs
rs
mm
mm
tg
.1+
−
=β
Quando uma reta for vertical e a outra oblíqua, ou seja, uma das retas é 
perpendicular ao eixo x, não temos coeficiente angular de uma das retas, pois a tg 
90º não existe. 
FIGURA 34 – ÂNGULOS COMPLEMENTARES
FONTE: Disponível em: <http://www.mundoeducacao.com.br/
matematica/angulo-formado-entre-duas-retas.htm>. Acesso em: 15 
out. 2013.
Caro acadêmico! Como você pode observar na figura 34, β e rα são ângulos 
complementares, assim podemos escrever que tg 
rtgα
β 1
= , consequentemente, 
 
rm
1
=β
.
Ângulos complementares são dois ângulos que somados totalizam 90º, isto é, 
um é complemento do outro.
IMPORTANTE
Logo, podemos determinar o ângulo (α ) com o coeficiente angular da reta 
r, usando a fórmula:
rm
tg 1
=β
TÓPICO 3 | A RETA
49
Exemplo 1: Determine o ângulo formado entre as retas r: x + y = 0 e s: 2x+ 
4y – 12 =0.
Solução: Para determinar o ângulo formado entre essas retas, precisamos 
do coeficiente angular, então vamos passar as equações da forma geral para reduzir 
e verificar o valor de m (coeficiente angular).
Temos a equação da geral da reta r: x + y = 0, logo a equação reduzida é y = 
-x, e o coeficiente angular dessa reta é -1 (mr = -1).
E a equação geral da reta s: 2x+ 4y – 12 =0, logo a equação reduzida será: 
 xy 2124 −= 
 
4
2
4
12 xy −=
 
 
2
3 xy −=
, portanto o coeficiente
 angular da reta s é 
2
1− mg=( 2
1− )
Agora que já conhecemos os valores dos coeficientes angulares, vamos 
substituir na fórmula do ângulo entre duas retas: 
rs
rs
mm
mm
tg
.1+
−
=β
 
)1.(2
11
)1(2
1
−−+
−−−
=βtg , resolvendo os sinais e a multiplicação, teremos:
 
2
11
12
1
+
+−
=βtg , resolvendo as frações, (lembre os denominadores diferentes)
 precisamos resolvê-las por fração equivalente: 
12
1 +−
 = 
 
2
1
2
2
2
1 =+−
 
2
3
2
1
=βtg , efetuando a divisão entra as frações (mantemos a fração do 
numerador e invertemos a fração do denominador, efetuando uma multiplicação 
entre elas):
3
1
3
1
6
2
3
2.
2
1
====βtg
Para determinarmos o ângulo α , fazemos arc tg 
3
1 , ou seja, 
aproximadamente 18º.
50
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
Na calculadora científica, você deve primeiro fazer 1 dividido por 3, depois 
selecionar a tecla da segunda função (2ndf ou Shift) e apertar no botão da tangente (tan).
UNI
Representação geométrica:
FIGURA 35– SOLUÇÃO DO EXEMPLO 1: ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS
FONTE: Os autores
Para determinar o ângulo através do Winplot, selecione intersecções no 
menu dois e marque a caixa referente ao ângulo de intersecção em graus, conforme 
na figura 30.
Exemplo 2: Determine o ângulo formado entre as retas r: y = 3x + 4 e s: y 
= - x + 4 e represente geometricamente.
Solução: Temos o coeficiente angular da reta r igual a 3 (mr = 3) e da reta 
s igual a -1 (ms = - 1), substituindo na fórmula do ângulo entre as retas, teremos:
rs
rs
mm
mm
tg
.1+
−
=α
)1.(31
)1(3
−+
−−
=αtg resolvendo os sinais e a multiplicação, teremos:
 
2
4
−
=αtg resolvendo a divisão:
 2−=αtg = 2 como temos a representação de módulo na fórmula, 
desconsideramos o sinal negativo.
TÓPICO 3 | A RETA
51
Para encontramos o ângulo α , fazemos arc tg 2, ou seja, aproximadamente 
63º.
A função arco tangente (arc tg) é a função trigonométrica inversa da tangente.
UNI
FIGURA 36 – SOLUÇÃO DO EXEMPLO 2: ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS
FONTE: Os autores
4 DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA
Para calcularmos a distância (dPr) entre um ponto P(xp, yp) e uma reta r: 
ax + by + c = 0, precisamos da equação da reta e das coordenadas do ponto, pois 
unindo o ponto à reta, através de um segmento que forma com a reta um ângulo 
reto (90º), é possível determinar a distância entre eles, como podemos visualizar 
na Figura 37, pois a distância entre ponto e reta é definida pela menor distância 
entre ambos, sendoque a menor distância é definida traçando um segmento entre 
o ponto e a reta, formando com esta, um ângulo reto.
52
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
FIGURA 37 – DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA
FONTE: Adaptado de: <http://alfaconnection.net/pag_avsm/gan0201.htm>. 
Acesso em: 15 out. 2013.
No triângulo PAB, temos sua área determinada por base vezes altura, 
divididos por 2.
A=
b·h
2
 
Substituindo pelas coordenadas da Figura 37, temos:
A=
dAB·d
2
 
Definindo e isolando d, obtemos:
d=
D
dAB
 1 
. 
• Cálculo da distância dAB 
A distância dAB , obtemos aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo 
retângulo formado.
a2=b2+c2 
dAB
2=(xA-xB)2+(yA-yB)2 
dAB = √ (xA-xB)2+(yA-yB)2 
Definindo yA-yB=a e xA-xB=b , substituindo:
dAB=a 2+b2 2 √
• Cálculo de D
dAB·d=D 
TÓPICO 3 | A RETA
53
Conforme você já estudou na disciplina de geometria, a área de um triângulo é 
obtida multiplicando ½ pelo módulo do determinante das coordenadas dos vértices.
ATENCAO
As coordenadas dos vértices do triângulo PAB, são: xP,yP ( ) , ( )xA,xA e ( )xB,yB 
respectivamente.
Calculando o determinante, temos:
xP yP 1
xA yA 1
xB yB 1
 
xP
xA
xB
 
yP
yA
yB
 
D = xP·yA·1+yP·1·xB+1·xA·yB ( ) – xB·yA·1+yB·1·xP+1·xA·yP ( )
Efetuando as multiplicações e aplicando a propriedade distributiva:
D=xPyA+xByP+xAyB-xByA-xPyB-xAyP 
Agrupando os termos semelhantes:
D=xPyA-xPyB+xByP-xAyP+xAyB-xByA 
Colocando xP e yP em evidência:
D=xP(yA-yB)+yP(xB-xA)+(xAyB-xByA) 
Definindo yA-yB=a, xB-xA=b e xAyB-xByA=c substituindo:
D=axP+byP+c 3 
Substituindo as equações 2 e 3 na primeira equação, temos:
Substituindo os valores da equação da reta e das coordenadas do ponto na 
fórmula determinamos a distância entre o ponto e a reta.
54
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
Exemplo 1: Vamos calcular a distância do ponto P(1,2) à reta r: x + 2y + 1 = 0.
Solução: Temos as coordenadas do ponto P, x1 = 1 e y1 = 2, e coeficientes 
da reta r, a = 1, b = 2 e c = 1. Substituindo na fórmula da distância entre o ponto e 
a reta 
 
²²
11
Pr ba
cbyax
d
+
++
= , teremos:
 
²2²1
11.21.1
+
++
=prd , resolvendo as multiplicações e as potências:
 
41
121
+
++
=prd , efetuando os cálculos de adição:
 
5
4
=prd
, racionalizando (multiplicando o numerador e o denominador pela raiz 
quadrada):
5
54
5
5.
5
4
==prd
Representação geométrica:
FIGURA 38 – SOLUÇÃO DO EXEMPLO 1: DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA
FONTE: Os autores
55
RESUMO DO TÓPICO 3
Nesse tópico, você conheceu as equações da reta, o ângulo formado entre 
as retas e a distância entre o ponto e uma reta.
• Equação geral da reta (ax + by + c = 0) quando é conhecido um ponto e o seu 
coeficiente angular é dada pela fórmula )( AA xxmyy −=− , onde m é o 
coeficiente angular, dado pela fórmula: 
 
A
A
xx
yym
−
−
= .
• Equação geral da reta (ax + by + c = 0) quando são conhecidos dois de seus 
pontos é determinada pela condição de alinhamento de pontos, 
 
0
1
1
1
=
BB
AA
yx
yx
yx
.
• Equação reduzida da reta (y = mx + n), onde m é o coeficiente angular da reta e 
n é o coeficiente linear da reta.
• Equação segmentária da reta 
 






=+ 1
q
y
p
x
, onde p e q são os valores que a reta 
intercepta os respectivos eixos, da abscissa (x) e eixo da ordenada (y).
• O ângulo formado entre as retas ( α ) é encontrado usando a fórmula da tangente 
rs
rs
mm
mm
tg
.1+
−
=β , m é o coeficiente angular das retas.
• A distância entre o ponto e a reta é dada pela fórmula 
 
²²
11
Pr ba
cbyax
d
+
++
= .
56
Agora, você deverá colocar em prática o que foi estudo no Tópico 3, 
relembrando também algumas definições dos tópicos 1 e 2.
1 Encontre a equação geral da reta que passa pelos pontos (2,3) e (1,5) e faça a 
representação geométrica.
2 Dada a equação da reta r: - x + y – 1 = 0 e as afirmações:
I – o ponto (1,1) pertence a r 
II – a reta passa na origem do sistema cartesiano
III – o coeficiente angular de r é –1 
IV – r intercepta a reta s: x + y – 2 = 0 no ponto P(1,2)
a) Apenas I é verdadeira. 
b) Apenas III é verdadeira.
c) Nenhuma é falsa.
d) Apenas I é falsa.
e) Nenhuma das alternativas.
 
3 Verifique a equação reduzida da reta que passa pelos pontos A(-3, 2) e B(5, 
-4), e confirme com a representação geométrica.
4 Quais são os coeficientes angular e linear da reta 2y - x + 8 = 0?
5 Determine a equação segmentária da reta, representada pelo gráfico:
AUTOATIVIDADE
57
6 Verifique a equação geral e reduzida da reta representada no gráfico:
7 Ache a equação segmentária da reta de equação -x + y – 9 = 0.
8 Calcule a distância do ponto P(1, 3) à reta 3x – 4y – 2 = 0.
9 Determine a distância do ponto P(1,3) à reta que passa pelos pontos (-1,1) e 
(3, 1).
10 Quais são os coeficientes angular e linear da reta y +3x – 6 = 0?
11 Determine a distância entre a reta(s): - 4x + y – 1 = 0 e o ponto P(1,-2):
12 Determine o ângulo formado entre as retas r e s: 
a) (r) 2x – 2y + 6 = 0 e (s) – 4x + 4y – 1 = 0
b) (r) – 4x + 2y - 1 = 0 e (s) 2x – 5y - 4= 0 
58
59
TÓPICO 4
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
As posições relativas correspondem a posições entre duas ou mais retas do 
plano. Duas retas podem ser paralelas, concorrentes, coincidentes ou concorrentes 
perpendiculares, como veremos nesse tópico.
Em algumas dessas situações, as retas possuem um ponto em comum, ou 
seja, um ponto de intersecção. Veremos também como determinar as coordenadas 
desse ponto.
2 RETAS PARALELAS
Sabemos que duas retas são paralelas quando não possuem nenhum ponto em 
comum, ou seja, são equidistantes durante toda sua extensão.
ATENCAO
Retas paralelas apresentam a mesma inclinação, ou seja, coeficientes 
angulares iguais, como podemos observar na Figura 39 as retas, r e s, no sistema 
cartesiano ortogonal.
60
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
FIGURA 39 – RETAS PARALELAS
FONTE: Os autores
Na linguagem matemática, quando duas retas são paralelas, temos que a 
reta r é paralela a s, se e somente se, o ângulo teta for igual ao ângulo alfa (r // s 
 αθ =⇔ ). Portanto, uma das formas de determinar se duas retas são paralelas, 
é verificando os coeficientes angulares, quando são iguais, as retas são paralelas. 
Exemplo 1: Verifique se as retas r: 2x + 3y – 7 = 0 e s: – 2x – 3y + 9 = 0 são 
paralelas, e faça sua representação geométrica.
Solução: Para isso, vamos determinar o coeficiente angular de cada uma 
das retas.
• Coeficiente angular da reta r (mr): 
2x + 3y – 7 = 0, vamos isolar y na equação da reta:
3
7
3
2
+
−
=
xy , logo mr = 
3
2− .
• Coeficiente angular da reta s (ms): 
– 2x – 3y + 9 = 0, isolando y na equação da reta:
 923 −=− xy
 
3
9
3
2
−
−
+
−
=
xy , resolvendo:
 3
3
2
+−=
xy , logo ms = 
3
2− .
Concluímos que os coeficientes angulares são iguais (mr = ms), portanto, as 
retas r: 2x + 3y – 7 = 0 e s: – 2x – 3y + 9 = 0 são paralelas.
TÓPICO 4 | POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
61
Representação geométrica:
FIGURA 40 – REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO EXEMPLO 1: RETAS PARALELAS
FONTE: Os autores
Exemplo 2: Determine a equação geral da reta t que passa pelo ponto P(2, 
2) e é paralela à reta r de equação x – y + 2 = 0. Faça a representação geométrica.
 
Solução: Para encontrarmos a equação da reta t, vamos usar a definição de retas 
paralelas, como a reta t é paralela à reta s, as duas têm o mesmo coeficiente angular, 
vamos determinar o coeficiente da reta r:
• Coeficiente angular da reta r (mr): 
x – y + 2 = 0, vamos isolar y na equação da reta:
– y = – x – 2 , multiplicando ambos os lados da igualdade por (- 1):
 y = + x + 2, portanto mr = 1.
62
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
• Equação da reta t:
Como as retas são paralelas, mt = mr, conhecendo o coeficiente angular da reta 
t (mt = 1) e um ponto, P(2, 2) da reta t, substituindo na fórmula)( AA xxmyy −=− 
temos a equação da reta t:
 )2(12 −=− xy , efetuando a propriedade distributiva:
 22 −=− xy , igualando a zero:
 022 =+−− xy , resolvendo:
 0=− xy , essa é a equação geral da reta t.
Representação geométrica:
FIGURA 41 – REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO EXEMPLO 2: RETAS PARALELAS
FONTE: Os autores
Exemplo 3: Verifique se as retas r: x + y – 1 = 0 e s: – 2x – y + 2 = 0 são 
paralelas e faça sua representação geométrica.
Solução: Vamos determinar o coeficiente angular de cada uma das retas.
• Coeficiente angular da reta r (mr):
TÓPICO 4 | POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
63
x + y – 1 = 0, vamos isolar y na equação da reta:
 1+−= xy , logo mr = -1.
• Coeficiente angular da reta s (ms): 
– 2x – y + 2 = 0, isolando y na equação da reta:
 22 −=− xy , multiplicando ambos os lados da igualdade por -1:
 22 +−= xy , logo ms = -2
Concluímos que os coeficientes angulares são diferentes (mr ≠ ms), portanto, 
as retas r: x + y – 1 = 0 e s: – 2x – y + 2 = 0 não são paralelas.
Representação geométrica:
FIGURA 42 – REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO EXEMPLO 3: RETAS CONCORRENTES OU 
NÃO PARALELAS
FONTE: Os autores
64
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
3 RETAS CONCORRENTES
Duas retas são concorrentes no sistema cartesiano ortogonal quando 
possuem um ponto P(x0, y0) em comum e coeficientes angulares diferentes, ou 
seja, se duas retas distintas e coplanares tiverem um único ponto em comum são 
denominadas concorrentes e seus gráficos concorrem neste ponto.
FIGURA 43 – RETAS CONCORRENTES
FONTE: Disponível em: <http://www.google.com.br/
imgres?imgurl=http://www.mundoeducacao.com.br>. Acesso em: 15 
maio 2013.
Dessa forma, como representado na Figura 43, a reta t é concorrente à reta r, 
se e somente se, o coeficiente angular da reta t for diferente do coeficiente angular 
da reta r (mT ≠ mr).
Duas retas são concorrentes quando seus coeficientes angulares são diferentes.
ATENCAO
Exemplo 1: Verifique se as retas r: 2x – y + 6 = 0 e s: 2x + 3y – 6 = 0 são 
concorrentes e represente geometricamente. 
Solução 1: Vamos determinar o coeficiente angular da reta r e da reta s.
• Coeficiente angular da reta r (mr): 
2x - y + 6 = 0, vamos isolar y na equação da reta:
 62 −−=− xy , multiplicando ambos os lados da igualdade por -1.
 62 += xy , logo mr = 2.
TÓPICO 4 | POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
65
• Coeficiente angular da reta s (ms): 
2x + 3y - 6 = 0, isolando y na equação da reta:
 623 +−= xy , dividindo por 3.
 
3
6
3
2
+−=
xy , logo ms = 
3
2
− .
Concluímos que os coeficientes angulares são diferentes (mr ≠ ms), portanto, 
as retas r: 2x – y + 6 = 0 e s: 2x + 3y – 6 = 0 são concorrentes.
Representação geométrica: 
FIGURA 44 – REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO EXEMPLO 1: RETAS CONCORRENTES
FONTE: Os autores
2x + 3y – 6 = 0
2x – y + 6 = 0
4 PERPENDICULARIDADE DE DUAS RETAS
Duas retas concorrentes são perpendiculares quando formam ângulo reto 
(90º), vamos considerar duas retas perpendiculares r e s, como na Figura 45.
66
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
FIGURA 45 – PERPENDICULARIDADE DE DUAS RETAS
FONTE: Disponível em: <http://www.google.com.br/imgres?imgurl=http://
www.brasilescola.com>. Acesso em: 15 maio 2013.
Consideremos as retas r e s, perpendiculares no ponto C, representadas em 
um plano cartesiano, conforme a Figura 46. Consideremos, também, o ângulo de 
inclinação da reta s como sendo β, então o ângulo de inclinação da reta r será 90° + 
β, pois é o ângulo externo ao triângulo formado pelo ponto de interseção das duas 
retas com o eixo Ox.
FIGURA 46 – PERPENDICULARIDADE DE DUAS RETAS
FONTE: Os autores
Dessa forma teremos: 
Coeficiente angular da reta s: ms = tg β 
Coeficiente angular da reta r: mr = tg (90° - β) 
Aplicando as fórmulas de adição de arcos é possível comparar o coeficiente 
angular das duas retas:
TÓPICO 4 | POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
67
Como ms = tg β e mr = - 1 / tg β, podemos dizer que: 
ms = -1 / mr ou ms . mr = -1 
Na linguagem matemática, duas retas são perpendiculares quando o 
ângulo formado entre elas é de 90º, representamos que a reta r é perpendicular à 
reta s pela simbologia: r ⊥ s, e o produto dos seus coeficientes angulares for igual 
a um negativo (mr . ms = -1).
Duas retas são perpendiculares quando o produto dos seus coeficientes angulares 
for igual a um negativo (mr . ms = -1).
ATENCAO
Exemplo 1: Determine se as r: x + 2y + 3 = 0 e s: - 16x + 8y + 10 = 0 são 
perpendiculares e confirme com a representação geométrica.
Solução 1: Vamos determinar o coeficiente angular da reta r e da reta s.
• Coeficiente angular da reta r (mr): 
x + 2y + 3 = 0, vamos isolar y na equação da reta:
 32 −−= xy , dividindo por 2:
 
2
3
2
−−=
xy , logo mr = 
 
2
1−
• Coeficiente angular da reta s (ms): 
- 16x + 8y + 10 = 0, isolando y na equação da reta:
 10168 −= xy , dividindo por 8:
 
8
10
8
16
−=
xy , simplificando:
 
4
52 −= xy , logo ms = 2.
68
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
Portanto, vamos verificar se mr . ms = -1, condição de perpendicularismo:
 1
2
22.
2
1
−=
−
=−
Logo, as retas r: x + 2y + 3 = 0 e s: - 16x + 8y + 10 = 0 são perpendiculares.
Representação geométrica: 
FIGURA 47 – REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO EXEMPLO 1: RETAS 
PERPENDICULARES
FONTE: Os autores
5 INTERSEÇÃO DE DUAS RETAS
Encontramos o ponto de interseção, ou seja, o ponto em comum entre duas 
retas, resolvendo o sistema linear formado pelas equações das retas. 
TÓPICO 4 | POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
69
Exemplo 1: Encontre o ponto de interseção entre as retas r: x + y – 1 = 0 e 
s: – 2x – y + 2 = 0 e confirme o resultado com a representação geométrica.
Solução: Temos as equações da reta r: x + y – 1 = 0 e da reta s: – 2x – y + 2 = 
0, vamos estabelecer o sistema de equações: 



=+
=+
0 2 y -2x - 
 0 1 -y x 
Vamos utilizar o método da substituição para resolver o sistema linear, mas você 
pode utilizar outro método que preferir para resolução de sistemas lineares.
IMPORTANTE
1º Passo: Isolar y em uma das equações, de preferência na equação mais simplificada.
x + y – 1 = 0
y = 1 – x
2º Passo: Substituir o valor isolado na outra equação.
– 2x – y + 2 = 0
- 2x – (1 – x) + 2 = 0
- 2x - 1 + x + 2 = 0
-2x + x -1 + 2 = 0
-x + 1 = 0
- x = -1
x = 1
3º Passo: Substituir o valor de x em na equação isolada que é o resultado do 1º 
passo.
y = 1 – x
y = 1 – 1 = 0
Portanto o ponto de interseção da reta r: x + y – 1 = 0 e s: – 2x – y + 2 = 0 é 
P(1, 0).
70
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
Representação geométrica:
FIGURA 48 – REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO EXEMPLO DE INTERSEÇÃO DE RETAS
FONTE: Os autores
6 O SOFTWARE WIN PLOT NA PROJEÇÃO DE RETAS
Como já vimos anteriormente, para traçar gráficos em duas dimensões (2D) 
com o Winplot, escolhemos a opção 2-dim no menu principal, e depois selecionamos 
a opção reta, conforme a Figura 49.
TÓPICO 4 | POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
71
FIGURA 49 – OPÇÃO RETA NO WINPLOT
FONTE: Os autores
Quando a opção reta for selecionada, o programa abrirá uma nova tela 
para você inserir as informações dos coeficientes (a, b e c) da equação da reta, veja 
na Figura 50.
FIGURA 50 – INFORMAÇÕES DA EQUAÇÃO DA RETA NO WINPLOT
FONTE: Os autores
72
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
Quando você clicar em Ok, a reta será projeta, e uma nova tela, inventário 
apresentará as informações da reta.
FIGURA 51 – PROJEÇÃO DA RETA NO WINPLOT
FONTE: Os autores
Você pode inserir uma ou mais retas no mesmo sistema cartesiano 
ortogonal.
FIGURA 52 – RETAS PARALELAS NO WINPLOT
FONTE: Os autores
TÓPICO 4 | POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
73
FIGURA 53 – RETAS CONCORRENTES NO WINPLOT
FONTE: Os autores
FIGURA 54 – RETAS PERPENDICULARES NO WINPLOT
FONTE: Os autores
74
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
Observe na Figura 55, que selecionando a opção interseção no menu Dois, 
o programa apresenta as coordenadas do ponto de intersecção(x, y) e também é 
possível saber o ângulo formado entre as retas, como você pode verificar no tópico 
anterior.
FIGURA 55 – PONTO DE INTERSECÇÃO DE RETAS NO WINPLOT
FONTE: Os autores
Agora é com você, descubra no programa Winplot o que é possível fazer 
para inserir informações adicionais na projeção ou até mesmo, mudar a cor da reta.
Aproveite essa ferramenta (Winplot) para conferir seus cálculos com a confirmação 
na representação geométrica.
IMPORTANTE
LEITURA COMPLEMENTAR
SURGIMENTO DA GEOMETRIA ANALÍTICA
Hygino H. Domingues
 
A Geometria, como ciência dedutiva, foi criada pelos gregos. Mas, apesar 
do seu brilhantismo faltava operacionalidade à geometria grega. E isto só iria ser 
conseguido mediante a Álgebra como princípio unificador. Os gregos, porém, não 
TÓPICO 4 | POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
75
eram muito bons em álgebra. Mais do que isso, somente no século XVII a álgebra 
estaria razoavelmente aparelhada para uma fusão criativa com a geometria.
Ocorre que o fato de haver condições para uma descoberta não exclui o 
toque de genialidade de alguém. E no caso da geometria analítica, fruto dessa 
fusão, o mérito não foi de uma só pessoa. Dois franceses, Pierre de Fermat (1601-
1665) e René Descartes (1596-1650), curiosamente ambos graduados em Direito, 
nenhum deles matemático profissional, são os responsáveis por esse grande avanço 
científico: o primeiro movido basicamente por seu grande amor, a matemática e o 
segundo por razões filosóficas. E, diga-se de passagem, não trabalharam juntos: a 
geometria analítica é um dos muitos casos, em ciência, de descobertas simultâneas 
e independentes.
Se o bem sucedido Pierre de Fermat, zeloso e competente conselheiro junto 
ao Parlamento de Toulouse, dedicava muitas de suas melhores horas de lazer à 
matemática, certamente não era porque faltasse, alguém em sua posição, outras 
maneiras de preencher o tempo disponível. Na verdade Fermat simplesmente não 
conseguia fugia à sua verdadeira vocação e, apesar de praticar matemática como 
hobby, nenhum de seus contemporâneos contribuiu tanto para o avanço desta 
ciência quanto ele. Além da geometria analítica, Fermat teve papel fundamental na 
criação do Cálculo Diferencial, do Cálculo de Probabilidades e, especialmente, da 
teoria dos números, ramo da matemática que estuda as propriedades dos números 
inteiros.
A contribuição de Fermat à geometria analítica encontra-se num pequeno 
texto intitulado Introdução aos Lugares Planos e Sólidos e data no máximo, de 
1636 mais que só foi publicado em 1679, postumamente, junto com sua obra 
completa. É que Fermat, bastante modesto, era avesso a publicar seus trabalhos. 
Disso resulta, em parte, o fato de Descartes comumente ser mais lembrado como 
criador da Geometria Analítica.
O interesse de Descartes pela matemática surgiu cedo, no “College de 
la Fleche”, escola do mais alto padrão, dirigida por jesuítas, na qual ingressará 
aos oito anos de idade. Mas por uma razão muito especial e que já revelava 
seus pendores filosóficos: a certeza que as demonstrações ou justificativas 
matemáticas proporcionam. Aos vinte e um anos de idade, depois de frequentar 
rodas matemáticas em Paris (além de outras) já graduado em Direito, ingressa 
voluntariamente na carreira das armas, uma das poucas opções “dignas” que se 
ofereciam a um jovem como ele, oriundo da nobreza menor da França. Durante os 
quase nove anos que serviu em vários exércitos, não se sabe de nenhuma proeza 
militar realizada por Descartes. É que as batalhas que ocupavam seus pensamentos 
e seus sonhos travavam-se no campo da ciência e da filosofia.
A Geometria Analítica de Descartes apareceu em 1637 no pequeno texto 
chamado A Geometria como um dos três apêndices do Discurso do método, obra 
considerada o marco inicial da filosofia moderna. Nela, em resumo, Descartes 
defende o método matemático como modelo para a aquisição de conhecimentos 
em todos os campos.
76
UNIDADE 1 | ESTUDO DA RETA NO SISTEMA CARTESIANO
A Geometria Analítica, como é hoje, pouco se assemelha às contribuições 
deixadas por Fermat e Descartes. Inclusive sua marca mais característica, um par 
de eixos ortogonais, não usada por nenhum deles. Mais, cada um a seu modo, 
sabiam que a ideia central era associar equações a curvas e superfícies. Neste 
particular, Fermat foi mais feliz. Descartes superou Fermat na notação algébrica.
FONTE: Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/historia/analitica.php>. Acesso em: 20 
maio 2013.
77
RESUMO DO TÓPICO 4
Nesse tópico, você conheceu as posições relativas de duas retas, como 
determinar o ponto de interseção de duas retas e como projetar retas no programa 
Winplot. 
• Para determinar se duas retas paralelas (//), verificamos se os coeficientes 
angulares das retas são iguais. 
• Duas retas são concorrentes quando possuem um ponto P(x0, y0) em comum e 
coeficientes angulares diferentes.
• Duas retas são perpendiculares ( ⊥ ) quando o produto dos seus coeficientes 
angulares for igual a um negativo (mr . ms = -1).
• Encontramos o ponto de interseção entre duas retas, resolvendo o sistema linear 
formado pelas equações das retas. 
78
AUTOATIVIDADE
Agora é sua vez de verificar se compreendeu o que foi estudado no 
Tópico 4, relembrando também algumas definições do Tópico 1, 2 e 3.
 
1 Verifique se as retas r: 4x - 2y – 3 = 0 e s: -10x + 5y + 9 = 0 são concorrentes ou 
paralelas.
2 Determine a equação da reta que passa pelo ponto P (-1,-3) e é perpendicular 
a reta s: -2x + 5y + 6 = 0 e faça a representação geométrica.
3 Determine o ponto de interseção entre as retas 3x + 2y + 3 = 0 e – x – y - 1=0.
4 Encontre a equação da reduzida da reta r, que passa pelo ponto P(2, -2) e é 
paralela à retas: 2x – 3y -6 = 0.
5 Determine a equação segmentária da reta que passa pelo ponto A(2, 1) e é 
paralela à reta 4x – y + 1 = 0.
6 Escreva a equação geral da reta que passa pelo ponto P(1, 5) e é perpendicular 
à reta de equação x + 3y - 12 = 0, e confirme o resultado com a representação 
geométrica.
7 Determine a equação da reta que passa pelo ponto (-2,5) e é paralela à reta s: y = 4x 
+ 3 e utilize o programa Winplot para confirmar o resultado com a representação 
geométrica.
8 Determine o valor de “m” para que as retas 2x + 3y - 1 = 0 e mx + 6y – 3 = 0 
sejam paralelas. 
9 Encontre as coordenadas dos pontos de intersecção das retas r: - 2x + y - 6 = 
0 e s: -2x - 3y + 6 = 0 e faça a representação geométrica utilizando o programa 
Winplot. 
10 (OSEC-SP) Qual é a posição relativa das retas r : x + 2y + 3 = 0 e s: 4x + 8y + 
10 = 0?
11 Determine o ponto de intersecção da reta que passa pelo ponto P (-1,-3) e é 
perpendicular a reta s: -2x + 5y + 6 = 0 e faça a representação geométrica.
12 Verifique se as retas r: 4x - 2y – 3 = 0 e s: 4x + 5y + 9 = 0 são concorrentes ou 
paralelas.
79
UNIDADE 2
O ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
Caro(a) acadêmico(a)! Com esta unidade, você será capaz de:
• adquirir noções sobre as circunferências;
• reconhecer as equações das circunferências;
• identificar as posições relativas das circunferências;
• estudar os conceitos e propriedades da circunferência no sistema cartesiano 
ortogonal;
• conhecer e analisar as curiosidades sobre as circunferências.
Esta unidade está dividida em três tópicos. No final de cada um deles, você 
encontrará atividades que favorecerão a fixação dos assuntos apresentados. 
Bons estudos! 
TÓPICO 1 – EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA
TÓPICO 2 – POSIÇÕES RELATIVAS
TÓPICO 3 – CURIOSIDADES SOBRE A CIRCUNFERÊNCIA
80
81
TÓPICO 1
EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Nessa unidade, você aprofundará seus conhecimentos sobre a circunferência, 
sua definição, suas propriedades, bem como as posições relativas a ponto, a reta e 
a outra circunferência.
Toda circunferência tem uma equação que a representa. Nesse tópico 
vamos conhecer os elementos da circunferência, sua posição no plano cartesiano, 
suas equações (reduzidae geral), bem como representá-la geometricamente com a 
utilização do software Winplot.
2 EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA
A circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes 
(a mesma distância) de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro 
da circunferência (C). Sendo que denomina-se raio (R) a medida da distância de 
qualquer ponto da circunferência ao centro (C) e essa distância (raio) é sempre 
constante.
A circunferência pode ser considerada uma linha curva fechada, onde a distância 
entre a extremidade e qualquer ponto possui medida igual, denominada diâmetro. Enquanto 
que o círculo é a figura plana delimitada pela circunferência, conforme podemos verificar na 
Figura 56.
IMPORTANTE
UNIDADE 2 | O ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
82
FIGURA 56 – CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA
FONTE: Disponível em: <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/
geometria/geom-circ/geom-circ.htm>. Acesso em: 30 maio 2013.
corda
diametro
raio
A
E
D
C
B
O
Para estabelecer a fórmula da equação da circunferência, tomemos uma 
circunferência de centro com coordenadas C(a, b) e um ponto qualquer com 
coordenadas P(x, y) pertencente à circunferência, conforme a figura 57. 
FIGURA 57 – CIRCUNFERÊNCIA
FONTE: Disponível em: <https://www.google.com.br/
search?q=circunfer%c3%8ancia&source>. Acesso em: 30 maio 2013.
P(x,y)
Utilizando a fórmula da distância de dois pontos (vista na unidade anterior), 
o centro (C) da circunferência e o ponto P, ou seja, o raio da circunferência, podemos 
escrever:
 )²()²(, byaxD PC −+−= ; (elevando ambos os lados da equação ao quadrado);
 )²)²()²(()²( , byaxD PC −+−= (resolvendo a raiz elevada ao quadrado). 
Teremos:
TÓPICO 1 | EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA
83
 )²()²(² , byaxD PC −+−=
Como a distância entre o centro (C) e o ponto P é a medida do raio da 
circunferência, vamos substituir PCD ,² por R², logo teremos )²()²(² byaxR −+−= .
Essa é a fórmula para equação reduzida da circunferência, ou seja, a expressão 
(x – a)² + (y – b)² = R². Para determinar a equação de uma circunferência, precisamos saber o 
seu centro C(a, b) e o seu raio (R).
ATENCAO
Exemplo 1: Determine a equação reduzida da circunferência com centro C 
(1, 2) e raio 2, e faça a representação geométrica.
Solução: Temos o centro da circunferência com as coordenadas, a = 1 e b = 
2 e a medida do raio da circunferência, R = 2, logo:
(x – a)² + (y – b)² = R² (fórmula da equação da circunferência).
(x – 1)² + (y – 2)² = 2² (substituindo os valores das coordenadas e do raio).
(x – 1)² + (y – 2)² = 4 (resolvendo a potência, 2²).
A equação da circunferência com centro C (1, 2) e raio 2, é: (x – 1)² + (y – 2)² 
= 4.
Representação geométrica
FIGURA 58 – CIRCUNFERÊNCIA DO EXEMPLO 1
FONTE: Os autores
UNIDADE 2 | O ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
84
Exemplo 2: Determine a equação da circunferência com centro no ponto 
C(2, 3) e que passa pelo ponto A(1, 1), e faça a representação geométrica.
Solução: Temos as coordenadas do centro da circunferência C(2, 3), a = 
2 e b = 3, e as coordenadas do ponto A(1, 1), x = 1 e y = 1, primeiramente vamos 
determinar a medida do raio da circunferência.
 )²()²(, byaxD PC −+−= (fórmula da distância entre dois pontos).
 )²31()²21(, −+−=PCD
 (substituindo os valores das coordenadas do 
centro e do ponto).
)²2()²1(, −+−=PCD (resolvendo as subtrações).
 541, =+=PCD (resolvendo as potências e a raiz).
A distância entre o centro C e o ponto A é a medida do raio da circunferência, 
logo R = 5 . Vamos determinar a equação reduzida dessa circunferência.
(x – a)² + (y – b)² = R² (fórmula da equação da circunferência).
(x – 2)² + (y – 3)² = ( 5 )² (substituindo os valores das coordenadas e do 
raio).
(x – 2)² + (y – 3)² = 5 (resolvendo a potência, ( 5 )² = 5).
Portanto, a equação da circunferência com centro no ponto C(2, 3), que 
passa pelo ponto A(1, 1), e tem raio igual a 5 é: (x – 2)² + (y – 3)² = 5.
Representação geométrica:
FIGURA 59 – CIRCUNFERÊNCIA DO EXEMPLO 2
FONTE: Os autores
TÓPICO 1 | EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA
85
Exemplo 3: Qual é a equação da circunferência com centro C(-1, -2) e raio 
3? Faça a representação geométrica.
Solução: Temos o centro da circunferência com as coordenadas, a = -1 e b = 
-2 e a medida do raio da circunferência, R = 3, logo:
(x – a)² + (y – b)² = R² (fórmula da equação da circunferência).
[x – (-1)]² + [y – (-2)]² = 3² (substituindo os valores das coordenadas e do 
raio).
(x + 1)² + (y + 2)² = 9 (resolvendo os sinais e a potência, 3²).
A equação da circunferência com centro C (-1, -2) e raio 3, é: (x + 1)² + (y + 
2)² = 9 .
Representação geométrica
FIGURA 60 – CIRCUNFERÊNCIA DO EXEMPLO 3
FONTE: Os autores
Exemplo 4: Determine a equação da circunferência com centro no ponto 
C(2, -3) e que passa pelo ponto A(1, -2). Confirme os resultados com a representação 
geométrica.
Solução: Temos as coordenadas do centro da circunferência C(2, -3), a = 2 
e b = -3, e as coordenadas do ponto A(1, -2), x = 1 e y = -2, primeiramente vamos 
determinar a medida do raio da circunferência
)²()²(, byaxD PC −+−= (fórmula da distância entre dois pontos);
 )]²3(2[)²21(, −−−+−=PCD (substituindo os valores das coordenadas 
do centro e do ponto);
UNIDADE 2 | O ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
86
)²1()²1(, ++−=PCD (resolvendo as potências e adições);
2, =PCD
A distância entre o centro C e o ponto A é a medida do raio da circunferência, 
logo R = 2 vamos determinar a equação reduzida dessa circunferência.
(x – a)² + (y – b)² = R² (fórmula da equação da circunferência);
(x – 2)² + [y – (-3)]² = ( 2 )² (substituindo os valores das coordenadas e do 
raio);
(x – 2)² + (y + 3)² = 2 (resolvendo os sinais e a potência).
Portanto, a equação da circunferência com centro no ponto C(2, -3), que 
passa pelo ponto A (1, -2), e tem raio igual a 2 é: (x – 2)² + (y + 3)² = 2.
Representação geométrica:
FIGURA 61 – CIRCUNFERÊNCIA DO EXEMPLO 4
FONTE: Os autores
Exemplo 5: Determine o centro e o raio da circunferência de equação (x - 4)² 
+ (y - 5)² = 9 e represente geometricamente. 
TÓPICO 1 | EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA
87
Solução: Comparando com a fórmula da equação da circunferência, (x – a)² 
+ (y – b)² = R², temos que as coordenadas do centro da circunferência são a = 4 e b = 
5, C(4, 5) e a medida do raio da circunferência será: R² = 9, R = 39 =
Representação geométrica:
FIGURA 62 – CIRCUNFERÊNCIA DO EXEMPLO 5
FONTE: Os autores
Exemplo 6: Qual o centro e o raio da circunferência de equação (x + 2)² + (y 
+ 1)² = 4 e represente geometricamente. 
Solução: Temos a fórmula da equação da circunferência igual a (x – a)² + (y 
– b)² = R², logo as coordenadas do centro da circunferência são a = -2 e b = -1, C(-2, 
-1) e a medida do raio da circunferência será: R² = 4, R = 24 = .
Representação geométrica:
UNIDADE 2 | O ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
88
FIGURA 63 – CIRCUNFERÊNCIA DO EXEMPLO 6
FONTE: Os autores
Exemplo 7: Qual é a equação da circunferência de centro C(-2, 3) que é 
tangente ao eixo dos y?
Solução: A circunferência está afastada da origem de três unidades no 
sentido positivo de y. O raio, portanto, vale 3.
FIGURA 64 – EXEMPLO 7
FONTE: Os autores
Equação reduzida é (x + 2)² + (y – 3)² = 3², temos (x + 2)² + (y – 3)² = 9. 
Exemplo 8: Qual é a equação da circunferência de centro C(-3, 4) e que 
passa pela origem do plano cartesiano?
TÓPICO 1 | EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA
89
Solução: Se a circunferência passa pela origem do sistema cartesiano, logo 
o ponto P(0, 0) pertence à circunferência, desta forma podemos determinar o raio.
FIGURA 65 – EXEMPLO 8
FONTE: Os autores
(x,y) = (-3,4)
(x – a)² + (y – b)² = R² (fórmula da equação da circunferência);
[0 – (-3)]² + (0 – 4)² = R² (substituindo os valores das coordenadas do ponto 
e do centro);
(3)² + (-4)² = R² (resolvendo os sinais e a potência).
9 + 16 = R²
25 = R²
R = 5.
Portanto, a equação reduzida da circunferência com centro no ponto C (- 3, 
4), que passa pela origem do plano cartesiano é: (x +3)² + (y – 4)² = 5², temos (x + 3)² 
+ (y– 4)² = 25. 
3 POSIÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA NO PLANO CARTESIANO
No sistema cartesiano ortogonal, a circunferência pode assumir posições 
diferentes, determinando assim equações particulares.
• O centro da circunferência na origem: neste caso, a = b = 0, a equação da 
circunferência será x² + y² = R² e C(0,0).
UNIDADE 2 | O ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
90
FIGURA 66 – CIRCUNFERÊNCIA COM CENTRO NA ORIGEM
FONTE: Os autores
• O centro da circunferência no eixo Ox: neste caso, y = 0, então não teremos o 
valor de b e a equação da circunferência será (x - a)² + y² = R² e centro C(a, 0).
FIGURA 67 – CIRCUNFERÊNCIA COM CENTRO NO EIXO OX
FONTE: Os autores
• O centro da circunferência no eixo Oy: neste caso, x = 0, então não teremos o 
valor de a e a equação da circunferência será x² + (y - b)² = R² e centro C(0,b).
TÓPICO 1 | EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA
91
FIGURA 68 – CIRCUNFERÊNCIA COM CENTRO NO EIXO OY
FONTE: Os autores
4 EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA
Para encontrarmos a equação geral da circunferência é preciso resolver os 
produtos notáveis (quadrados) da equação da circunferência.
IMPORTANTE
A equaçã (x – a)² + (y – b)² = R² é conhecida como equação reduzida da 
circunferência, desenvolvendo os quadrados, teremos:
Vamos resolver os produtos notáveis, como já vistos na disciplina de Introdução 
ao Cálculo: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2.
NOTA
(x² - 2ax + a²) + (y² - 2by +b²) = R²
022
22
22222
22222
=−++−−+
=+−++−
Rbabyaxyx
Rbbyyaaxx
(x – a)² + (y – b)² = R²
UNIDADE 2 | O ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
92
Com o objetivo de simplificar a equação, consideramos: a2−=α
, b2−=β e 222 Rba −+=γ , teremos a equação geral da circunferência: 
 022 =++++ γβα yxyx
Exemplo 1: Determine a equação geral da circunferência de centro C(3,2) e 
raio R = 6, represente geometricamente.
Solução: Temos o centro da circunferência com as coordenadas, a = 3 e b = 
2 e a medida do raio da circunferência, R = 6, substituindo na equação reduzida da 
circunferência teremos:
(resolvendo as potências);
 0364496 22 =−+−++− yyxx (reduzindo os temos semelhantes); 
0234622 =−−−+ yxyx , essa é a equação geral da circunferência de 
centro C(3,2) e raio R = 6.
Representação geométrica
FIGURA 69 – EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA DO EXEMPLO 1
FONTE: Os autores
Exemplo 2: Qual a equação geral da circunferência de centro C (-3,4) e raio 
R = 3, e faça a verificação com a representação geometricamente.
TÓPICO 1 | EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA
93
Solução: Temos o centro da circunferência com as coordenadas, a = -3 e b = 
4 e a medida do raio da circunferência, R = 3, substituindo na equação reduzida da 
circunferência teremos:
(resolvendo os sinais);
 (resolvendo as potências);
 0916896 22 =−+−+++ yyxx (reduzindo os termos semelhantes); 
0168622 =+−++ yxyx , essa é a equação geral da circunferência de 
centro C(-3,4) e raio R = 3.
Representação geométrica
FIGURA 70 – EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA DO EXEMPLO 2
FONTE: Os autores
Exemplo 3: Encontre o centro e o raio da circunferência de equação x² + y² 
= 2 e faça a representação geométrica. 
Solução: Pela equação dada no exemplo, percebemos que é uma 
circunferência com C em (0, 0). Não havendo necessidade de trabalhar com a 
fórmula geral. Neste caso, temos: x² + y² = R2, comparando as equações, temos 
R2 = 2. Logo, a medida do raio é R = 2 .
 
UNIDADE 2 | O ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
94
Representação geométrica
FIGURA 71 – EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA DO EXEMPLO 3
FONTE: Os autores
Exemplo 4: Determine o centro e o raio da circunferência de equação x² + 
y² - 6x - 4y - 36 = 0 e representação geométrica. 
Solução: Temos a fórmula 022 22222 =−++−−+ Rbabyaxyx , 
comparando com a equação da circunferência temos:
x ² + y ² - 2ax – 2by + a ² + b ² - R ² = 0
x ² + y ² - 6x - 4y - 36 = 0
Logo, -2a = - 6, portanto, a = 3 e -2b = - 4, logo b = 2, então o centro da 
circunferência é C(3, 2) e a medida do raio (R) será: 
+ a² + b² - R² = -36
+ 3² + 2² - R² = -36
+ 9 + 4 - R² = -36
- R² = -36 -13
- R² = - 49
R² = 49
R = 749 =
TÓPICO 1 | EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA
95
Representação geométrica
FIGURA 72 – EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA DO EXEMPLO 4
FONTE: Os autores
5 RECONHECENDO UMA EQUAÇÃO DE CIRCUNFERÊNCIA
Qualquer circunferência pode ser representada por uma equação da forma 
 022 =γ+β+α++ yxyx Mas não é toda equação dessa forma que representa uma 
circunferência.
ATENCAO
Temos as seguintes restrições para γ−+= 222 baR :
• Será uma circunferência se: 
UNIDADE 2 | O ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
96
Será um ponto se: 








 −−=−+=
2
,
2
C centro próprio o é ,0aou0R 22 βαγb
Será um conjunto vazio se: { 0a0 22 <−+< γbouR a equação não 
será satisfeita por nenhum ponto do plano.
Exemplo 1: Verificar se a equação x² + y² - 6x - 8y + 49 = 0, representa o 
gráfico de uma circunferência. 
Solução: como a fórmula da equação geral da circunferência é 
 022 =γ+β+α++ yxyx , vamos verificar se a equação x² + y² - 6x - 8y + 49 = 0, 
atende as restrições: 
 
Caso não atenda a uma das restrições é porque não é a equação de uma 
circunferência.
1º Passo: Vamos verificar a primeira restrição: 
 
0a0 222 >−+> γbouR 
para isso precisamos encontrar o valor das coordenadas do centro, de a e b.
 022 =γ+β+α++ yxyx
x ² + y ² - 6x - 8y + 49 = 0, logo 6−=α e 8−=β como 
 
2
-b e 
2
-a βα
==
 
2
)8(-b e 
2
)6(-a −
=
−
=
 
 4b e 3a ==
Substituindo em 
 0a 22 >−+ γb , saberemos se R > 0, logo:
 04943 22 >−+
 049169 >−+
 024 >− 
Como R² é negativo, a equação fornecida não representa uma circunferência 
e não tem representação geométrica. 
TÓPICO 1 | EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA
97
Exemplo 2: Verifique se a equação x² + 2y² - 6x + 4y - 9 = 0, pode ser 
considerada uma equação da circunferência.
Solução: É preciso verificar todas as condições, mas nesse caso pela segunda 
restrição (os coeficientes de x² e y² forem iguais) já identificamos que não é uma 
equação de circunferência, pois os coeficientes são diferentes de x² = 1 e de y² = 2.
Representação geométrica
FIGURA 73 – REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO EXEMPLO 2
FONTE: Os autores
Exemplo 3: Análise se a equação x² + 6x + 4y - 1 = 0 pode ser considerada 
uma equação da circunferência.
Solução: Novamente pela segunda restrição (os coeficientes de x² e y² 
devem ser iguais). Percebemos que não é uma equação de circunferência, pois os 
coeficientes são diferentes, de x² = 1 e de y² = 0, conforme podemos observar na 
Figura 69. 
A equação acima é a representação de uma parábola, já estuda por você, 
acadêmico, no ensino básico e na disciplina de Introdução ao Cálculo, que em 
breve, analisaremos com mais rigor.
UNIDADE 2 | O ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
98
FIGURA 74 – REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO EXEMPLO 3
FONTE: Os autores
Exemplo 4: Determine se a equação - x² - y² + 8x + - 7 = 0 pode ser considerada 
uma equação da circunferência.
Solução: Vamos verificar se a equação - x² - y² + 8x - 7 = 0 atende as restrições: 
1º Passo: Vamos verificar a primeira restrição: 0a0 222 >−+> γbouR
, para isso precisamos encontrar o valor das coordenadas do centro, de a e b.
 022 =γ+β+α++ yxyx
x² + y² - 8x - 7 = 0, logo 8−=α , 0=β e 7−=γ como 
2
-b e 
2
-a βα
== :
 
 
2
0-b e 
2
)8(-a =
−
=
 0b e 4a ==
 
Substituindo em 0a 22 >−+ γb , saberemos se R> 0, logo:
 0704 22 >−+
 0716 >−
 09 > 
2º Passo: como R² = 9 = 3, ou seja, R é positivo a equação fornecida representa 
uma circunferência.
TÓPICO 1 | EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA
99
3º Passo: vamos verificar a segunda restrição, que se refere ao coeficiente 
de x² e y² serem iguais, e nessa equação - x² - y² + 8x + - 7 = 0, são iguais, ou seja, x² 
= y² = -1. Portanto, por essa restrição também a equação fornecida representa uma 
circunferência.
4º Passo: vamos verificar a terceira restrição se o centro é C(a, b), com 
2
-b e 
2
-a βα
==
, para provar a primeira restrição já verificamos a terceira, em 
que C(4,0). Portanto, poressa restrição também a equação fornecida representa 
uma circunferência.
Logo, concluímos que a equação - x² - y² + 8x + - 7 = 0, é de uma circunferência. 
Vamos confirmar com a representação geométrica.
Representação geométrica
FIGURA 75 – REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO EXEMPLO 4
FONTE: OS AUTORES
6 O SOFTWARE WINPLOT NA REPRESENTAÇÃO DE 
CIRCUNFERÊNCIAS
O software Winplot também faz a representação de circunferências no 
sistema cartesiano, para isso você precisa clicar no menu janela e escolher a opção 
2 – dim. 
UNIDADE 2 | O ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
100
FIGURA 76 – MENU WINPLOT 
FONTE: Disponível em: <http://www.mat.ufpb.br/sergio/winplot/
winplot.html>. Acesso em: 15 maio 2013.
Como já vimos na Unidade 1, em seguida o programa mostrará uma nova 
tela, como na Figura 77.
FIGURA 77 – TELA WINPLOT 
FONTE: Os autores
Na opção equação (menu superior do programa) vamos selecionar a opção 
implícita como na Figura 78.
TÓPICO 1 | EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA
101
FIGURA 78 – SELECIONAR EQUAÇÃO NO WINPLOT
FONTE: Os autores
Depois para traçarmos a circunferência no sistema cartesiano ortogonal 
com o programa Winplot, é somente digitar as informações da equação na janela 
denominada como curva implícita pelo software. 
FIGURA 79 – DIGITANDO A EQUAÇÃO NO WINPLOT
FONTE: Os autores
UNIDADE 2 | O ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
102
Você pode digitar a equação reduzida ou geral da circunferência que o programa 
traça a circunferência.
ATENCAO
Para representar a potência você deve digitar o acento circunflexo (^), como 
na Figura 79. É possível também nessa janela mudar a cor e a espessura da linha 
da circunferência. 
Para marcar o centro e o raio da circunferência você deve usar as informações 
de ponto e reta, ou segmento de reta.
103
RESUMO DO TÓPICO 1
Nesse tópico, você observou a equação da circunferência. Em seguida, o 
reconhecimento de uma equação e a representação da circunferência no sistema 
cartesiano ortogonal com a utilização do software Winplot.
• A fórmula da equação da circunferência com centro em C(0, 0) é: x² + y² = R².
• A fórmula da equação reduzida da circunferência com centro em C(a, b) é: (x – 
a)² + (y – b)² = R². 
• A equação geral da circunferência é 022 =++++ γβα yxyx .
• Para comprovar se a equação é de uma circunferência precisa atender as 
seguintes restrições para γ−+= 222 baR
• Será uma circunferência se:
• Será um ponto se: 








 −−=−+=
2
,
2
C centro próprio o é ,0aou0R 22 βαγb
• Será um conjunto vazio se: { 0a0 22 <−+< γbouR a equação não será 
satisfeita por nenhum ponto do plano.
104
AUTOATIVIDADE
Agora chegou a sua vez de colocar em prática o que foi estudo no 
Tópico 1. Lembre-se das orientações referente às restrições da equação de uma 
circunferência. 
1 Determine a equação reduzida da circunferência que tem:
a) C(-2,5) e r = 3. 
b) C(1, -4) e r = 2.
c) C(1,2) e r = 4. 
d) C( -1, - 4) e r = 5.
2 Determine a equação reduzida da circunferência cujo centro coincide com a 
origem do sistema cartesiano e o raio mede 3 unidades. 
3 Determine as coordenadas de centro e raio da circunferência de equação 
2x²+ 2y² - 8x -16y + 38 = 0.
4 Determine a equação geral da circunferência: 
a) com centro C(0, -2) e raio r = 4; 
b) com centro C(-1, -4) e raio r = 7
c) com centro C(0, 0) e raio r = 1; 
d) com centro C(-3, 6) e diâmetro 8; 
5 Encontre o centro e o raio de cada equação e confirme com a representação 
geométrica: 
a) x²+ y² + 4x -8y = 0
b) 4x²+ 4y² - 8x + 8y - 28 = 0
c) x²+ y² - 10x - 4y + 25 = 0
6 Determine a equação geral das circunferências e faça a representação 
geométrica: 
a) ( x + 1)² + (y – 1)² = 3
b) ( x - 4)² + y² = 6
7 Qual das equações representa uma circunferência? 
a) x² - y² + 4x -8y = 0
b) x² + y² - 10x - 4y = 0
c) x² + y² + x + 4y + 10= 0
105
8 Verifique se a equação – x² - y² - 8x + 7 = 0 pode ser considerada uma equação 
da circunferência.
9 Determinar a equação da circunferência cujas extremidades de um diâmetro 
são os pontos A(0, -8) e B(6,0).
10 Achar a equação da circunferência que passa pelos pontos A(0, 1) e B(1, 4) e 
tem centro sobre a reta de equação x = 2.
11 Encontre a equação da circunferência de centro (3,2) que é tangente ao eixo 
X. 
12 Qual é a equação reduzida da circunferência que tem raio 3, tangecia o eixo 
das abscissas no ponto A(4,0) e está contida no 4º quadrante?
13 Por redução da equação dada à forma padrão, determine se representa ou 
não uma circunferência. Se for, encontre seu centro e raio.
a) x2+y2-8x+6y+29=0 
b) 2x2+2y2-6x+10y+7=0 
c) 4x2+4y2+28x-8y+53=0 
d) 16x2+16y2-64x+8y+177=0 
e)9x2+9y2+72x-12y+103=0 
106
107
TÓPICO 2
POSIÇÕES RELATIVAS
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Caro(a) acadêmico(a)! No tópico anterior estudamos como representar 
uma circunferência na forma analítica e na geométrica. Agora veremos as posições 
relativas ao sistema cartesiano ortogonal entre circunferências e pontos, entre duas 
circunferências e circunferências e retas.
Para compreendermos as posições relativas de um ponto, uma reta ou 
uma circunferência em relação a uma circunferência, vamos utilizar os cálculos de 
distância entre o ponto e o centro da circunferência e entre o centro da circunferência 
e a reta. 
2 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PONTO E CIRCUNFERÊNCIA
Um ponto pode assumir três posições diferentes em relação a uma 
circunferência: interno, pertencente à circunferência e externo. Para verificar a 
posição de um ponto no plano cartesiano em relação a uma circunferência vamos 
calcular a distância do ponto até o centro da circunferência ou então substituir as 
coordenadas do ponto na equação da circunferência e analisar o resultado obtido.
• O ponto é interno à circunferência 
Quando a distância do ponto ao centro da circunferência for menor que 
a medida do raio da circunferência ( RDPC < ), dizemos que o ponto é interno à 
circunferência.
UNIDADE 2 | O ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
108
FIGURA 80 – PONTO É INTERNO À CIRCUNFERÊNCIA 
FONTE: Os autores
C
R
A
• O ponto pertence à circunferência 
Quando a distância do ponto ao centro da circunferência for igual à medida 
do raio da circunferência ( RDPC = ), o ponto pertence à circunferência.
FIGURA 81 – PONTO PERTENCE À CIRCUNFERÊNCIA
FONTE: Os autores
C
R A
• O ponto é externo à circunferência. 
Quando a distância do ponto ao centro da circunferência for maior que a 
medida do raio da circunferência ( RDPC > ), o ponto é externo à circunferência.
C
R A
FIGURA 82 – PONTO É EXTERNO À CIRCUNFERÊNCIA 
FONTE: Os autores
TÓPICO 2 | POSIÇÕES RELATIVAS
109
Para verificar a posição relativa de um ponto em relação a uma 
circunferência, podemos calcular a distância entre o centro da circunferência e o 
ponto, ou então substituir as coordenadas do ponto na equação da circunferência 
e verificar a condição de igualdade da equação.
Exemplo 1: Verifique as posições relativas dos pontos A(2,3), B(3,3), C(2,1) 
e D(-1,-1) em relação a circunferência de equação: (x + 2)² + (y – 1)² = 16, e comprove 
com a representação geométrica.
Solução: Vamos substituir as coordenadas dos pontos na equação da 
circunferência para verificar a posição do ponto.
• Ponto A (2,3)
(x + 2)² + (y – 1)² = 16
(2 + 2)² + (3 – 1)² = 16
4² + 2² = 16
16 + 4 = 16
20> 16, logo o ponto A é externo a circunferência.
• Ponto B (3,3)
(x + 2)² + (y – 1)² = 16
(3 + 2)² + (3 – 1)² = 16
5² + 2² = 16
25 + 4 = 16
29 >16, logo o ponto B também é externo a circunferência.
• Ponto C (2,1)
(x + 2)² + (y – 1)² = 16
(2 + 2)² + (1 – 1)² = 16
4² + 0² = 16
16 + 0 = 16
16 = 16, logo o ponto C pertence à circunferência.
• Ponto D (-1,-1)
(x + 2)² + (y – 1)² = 16
(-1 + 2)² + (-1 – 1)² = 16
1² + (-2)² = 16
1 + 4 = 16
5< 16, logo o ponto C é interno à circunferência.
UNIDADE 2 | O ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
110
Representação geométrica
FIGURA 83 – POSIÇÃO DOS PONTOS À CIRCUNFERÊNCIA DO EXEMPLO 1
FONTE: Os autores
Exemplo 2: Verifique a posição relativa dos pontos A(2,1), B(0,0), C(-3,1) e 
D(-4,0) em relação a circunferênciade equação x² + y² + 4x - 8y = 0.
Solução: Vamos substituir as coordenadas dos pontos na equação da 
circunferência para verificar a posição do ponto.
• Ponto A (2,1)
x² + y² + 4x - 8y = 0.
2² + 1² + 4. 2 – 8. 1 = 0
4 + 1+ 8 – 8 = 0
5 > 0, portanto o ponto A é externo à circunferência.
• Ponto B (0,0)
x² + y ² + 4x - 8y = 0.
0² + 0² + 4. 0 – 8. 0 = 0
0 + 0+ 0 – 0 = 0
0 = 0, o ponto B pertence à circunferência.
• Ponto C (-3,1)
x² + y² + 4x - 8y = 0.
(-3)² + 1² + 4. (-3) – 8. 1 = 0
9 + 1+ (-12) – 8 = 0
-10 < 0, o ponto C interno à circunferência.
TÓPICO 2 | POSIÇÕES RELATIVAS
111
• Ponto D (-4,0)
x² + y² + 4x - 8y = 0.
(-4)² + 0² + 4. (-4) – 8. 0 = 0
16 + 0 + (-16) – 0 = 0
0 = 0, o ponto D pertence à circunferência.
Representação geométrica
FIGURA 84 – POSIÇÃO DOS PONTOS À CIRCUNFERÊNCIA DO EXEMPLO 2
FONTE: Os autores
Exemplo 3: Verifique a posição relativa do ponto A(1,1) em relação à 
circunferência de equação: (x - 2)² + (y – 2)² = 4, e confirme com a representação 
geométrica.
Solução: Vamos resolver esse exemplo utilizando a fórmula da distância de 
dois pontos, sendo assim vamos determinar o centro e o raio da circunferência de 
equação: (x - 2)² + (y – 2)² = 4. O centro tem coordenadas x = 2 e y = 2, C(2, 2) e raio 
será R² = 4, R = 24 =
Vamos calcular a distância do centro C(2, 2) da circunferência ao ponto A 
(1, 1), para verificar a posição do ponto.
 )²()²( ABAB yyxxD −+−=
 )²()²( CACACA yyxxD −+−=
 )²21()²21( −+−=CAD
UNIDADE 2 | O ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
112
42,12)²1()²1( ≅=−+−=CAD
Como a distância do centro ao ponto A, é menor que a medida do raio da 
circunferência ao ponto, o ponto A é interno a circunferência.
Representação geométrica 
FIGURA 85 – POSIÇÃO DO PONTO À CIRCUNFERÊNCIA DO EXEMPLO 3
FONTE: Os autores
3 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA
 Existem três posições possíveis entre uma circunferência e uma reta no 
sistema cartesiano ortogonal: a reta pode ser secante à circunferência, tangente à 
circunferência, ou externa à circunferência. 
Para determinar a posição da reta em relação à circunferência vamos 
calcular a distância entre a reta e o centro da circunferência utilizando a fórmula 
da distância da reta a um ponto. Quando a distância da reta ao centro for inferior à 
medida do raio da circunferência a reta é secante, quando a medida for igual à reta 
é tangente e quando a distância for maior que a medida do raio a reta é externa a 
circunferência.
• A reta é secante à circunferência
Conforme podemos observar na Figura 86, a reta será secante à circunferência 
TÓPICO 2 | POSIÇÕES RELATIVAS
113
quando possuir dois pontos em comum. Para verificar se a reta r é secante a 
circunferência, é preciso calcular a distância entre o centro da circunferência e a 
reta. Se a distância for menor que a medida do raio da circunferência a reta será 
secante. 
FIGURA 86 – RETA É SECANTE À CIRCUNFERÊNCIA
FONTE: Os autores
• A reta é tangente à circunferência
A reta é dita tangente à circunferência quando possui um ponto em comum. 
Para verificar se a reta r é tangente à circunferência, é preciso calcular a distância 
entre o centro da circunferência e a reta, se a distância for igual à medida do raio 
da circunferência, a reta será tangente. 
FIGURA 87 – RETA É TANGENTE À CIRCUNFERÊNCIA
FONTE: Os autores
• A reta é externa à circunferência
A reta é dita externa à circunferência quando não possuírem pontos em 
comum. Para verificar se a reta r é externa a circunferência, é preciso calcular a 
distância entre o centro da circunferência e a reta, se a distância for maior do que 
a medida do raio da circunferência a reta será externa. 
UNIDADE 2 | O ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
114
FIGURA 88 – RETA É EXTERNA À CIRCUNFERÊNCIA
FONTE: Os autores
Exemplo 1: Verifique qual a posição relativa da reta de equação x + y – 6 = 
0 e a circunferência (x + 1)² + y² = 25 e confirme com a representação geométrica.
Solução: Vamos verificar a posição da reta à circunferência, calculando a 
distância entre o centro (-1, 0) da circunferência e a reta, através da fórmula da 
distância entre um ponto e uma reta.
Temos o C(-1, 0), com coordenadas x1 = -1 e y1 = 0 e os coeficientes da 
equação da reta, a = 1, b = 1 e c = - 6, vamos substituir na fórmula da distância já 
estudada na unidade anterior:
 
²²
11
ba
cbyax
Dpr
+
++
=
Na equação da circunferência temos a medida do raio, R = 25, R = 525 = , logo 
como a distância entre o centro da circunferência é igual à medida do raio, temos que 
essa reta é tangente à circunferência.
TÓPICO 2 | POSIÇÕES RELATIVAS
115
FIGURA 89 – RETA É TANGENTE À CIRCUNFERÊNCIA
FONTE: Os autores
Exemplo 2: Determine a posição relativa da reta de equação 2x – y + 1 = 0 e 
a circunferência x² + y² – 2x = 0, e confirme com a representação geométrica.
Solução: Vamos verificar o centro da circunferência: x² + y² – 2x = 0 e o raio
Temos: -2ax = -2x, -2by = 0 γ−+= 222 baR
 -2a= -2 b = 0 1001 222 =−+=R
 a = 1
 C(1, 0)
Agora vamos calcular a distância do centro da circunferência à reta: 2x – y 
+ 1 = 0, a = 2, b = -1 e c = 1.
 
²²
11
ba
cbyax
Dpr
+
++
=
 34,1
5
53
5
3
5
3
)²1(²2
10).1()1.(2
≅===
−+
+−+
=CprD
Como a distância (d = 1,34) entre o centro da circunferência e a reta é maior 
que a medida do raio da circunferência (R = 1), a reta é externa à circunferência (d 
< R).
UNIDADE 2 | O ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
116
Representação geométrica
FIGURA 90 – RETA É EXTERNA À CIRCUNFERÊNCIA
FONTE: Os autores
Exemplo 3: Qual é a posição da reta 2x + y - 1 = 0 em relação à circunferência 
de equação x² + y² = 9.
Solução: temos o centro da circunferência C(0, 0) e o raio, R = .39 =
Agora vamos calcular a distância do centro da circunferência à reta: 
 
²²
11
ba
cbyax
Dpr
+
++
=
Como a distância (D = 0,45) entre o centro da circunferência e a reta é menor 
que a medida do raio da circunferência (R = 3), a reta é interna à circunferência (d 
> R).
TÓPICO 2 | POSIÇÕES RELATIVAS
117
FIGURA 91 – A RETA É INTERNA À CIRCUNFERÊNCIA
FONTE: Os autores
4 POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS
Veremos que duas circunferências podem ser tangentes, secantes, interna, 
externa ou concêntricas, para isso vamos precisar calcular a distância ente os 
centros das circunferências, ou seja, a distância entre dois pontos.
• Circunferências tangentes externas 
Acesse <http://www.geogebratube.org/student/m12204> e verifique a animação 
feita em relação à posição de circunferências com o software Geogebra.
DICAS
Duas circunferências são ditas tangentes externas quando possuem somente 
um ponto em comum e uma é exterior à outra. Para isso acontecer a distância 
entre os centros das duas circunferências deve ser equivalente (igual) à soma das 
medidas de seus raios (DOC = R1 + R2), conforme observamos na Figura 92. 
UNIDADE 2 | O ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
118
FIGURA 92 – CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES EXTERNAS 
FONTE: Os autores
Exemplo: Verifique se a posição relativa das circunferências de equações: (x 
- 2)² + (y - 1)² = 4 e (x + 2)² + (y - 1)² = 4, no plano cartesiano é considerada tangentes 
externas.
Solução: primeiramente vamos determinar o centro e o raio de cada 
circunferência, depois vamos calcular a distância entre os centros e verificar a 
posição das circunferências.
(x - 2)² + (y - 1)² = 4 (x + 2)² + (y - 1)² = 4 
O(2, 1) R1 = 24 = C(-2, 1) R2 = 24 =
Calculando a distância entre os centros das circunferências, temos:
 )²()²( OCOCOC yyxxD −+−=
 416²0)²4()²11()]²2)2[( ==+−=−+−−=OCD
Agora, vamos verificar se as circunferências são tangentes externas:
DOC = R1 + R2 = 2 + 2 = 4
Como a distância entre os centros das circunferências é igual à soma da 
medida dos raios das circunferências, elas são tangentes externas.
R1
O
R2
c
TÓPICO 2 | POSIÇÕES RELATIVAS
119
Representação geométricaFIGURA 93 – EXEMPLO DE CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES EXTERNAS 
FONTE: Os autores
Como você pode observar na Figura 93, as circunferências são tangentes 
externas, ou seja, possuem um único ponto em comum e uma é externa à outra.
• Circunferências tangentes internas 
Isso ocorre quando duas circunferências possuem apenas um ponto em 
comum e uma está no interior da outra. Para que isso ocorra, a distância entre os 
centros das circunferências é igual à diferença (subtração) dos dois raios (DOC = 
R1 - R2).
FIGURA 94 – CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES INTERNAS 
FONTE: Os autores
Exemplo: Determine a posição relativa das circunferências de equações: 
(x - 2)² + (y - 1)² = 4 e ²
5
13





 −x + (y - 1)² = 2, no plano cartesiano e comprove com a 
UNIDADE 2 | O ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
120
representação geométrica.
Solução: Primeiramente vamos determinar o centro e o raio de cada 
circunferência, depois vamos calcular a distância entre os centros e verificar a 
posição das circunferências.
(x - 2)² + (y - 1)² = 4 
 
²
5
13





 −x + (y - 1)² = 2 
O(2, 1) R1 = 24 = C( 




 1,
5
13
 = C(2.6; 1) e R2 = 43,12 ≅
Calculando a distância entre os centros das circunferências, temos:
 )²()²( OCOCOC yyxxD −+−=
6,036,0²0)²6,0()²11()]²2)6,2[( ==+=−+−=OCD
Agora, vamos verificar a posição relativa das circunferências:
DOC = R1 + R2 = 2 + 1,43 = 3,43, a medida da distância entre os centros das 
circunferências e diferente da soma da medida dos raios das circunferências, então 
elas não são tangentes externas.
DOC = R1 - R2 = 2 - 1,43 = 0,6 a medida da distância entre os centros das 
circunferências é igual à diferença da medida dos raios das circunferências, então 
elas são tangentes internas.
Representação geométrica
FIGURA 95 – EXEMPLO DE CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES INTERNAS
FONTE: Os autores
Observando a Figura 95, é possível notar que as circunferências possuem 
apenas um ponto em comum e uma está no interior da outra, por isso são tangentes 
internas.
TÓPICO 2 | POSIÇÕES RELATIVAS
121
• Circunferências externas
Quando duas circunferências não possuem pontos em comum são 
consideradas externas, para isso acontecer, a distância entre os centros das 
circunferências deve ser maior que a soma das medidas de seus raios (DOC > R1 + 
R2).
FIGURA 96 – CIRCUNFERÊNCIAS EXTERNAS
FONTE: Os autores
Exemplo: Determine a posição relativa das circunferências de equações: 
(x - 2)² + (y - 1)² = 4 e (x + 2)² + (y - 1)² = 2, sabendo que a distância entre os centros 
das circunferências é igual a 4, comprove com a representação geométrica.
Solução: vamos determinar o raio de cada circunferência para verificar a 
posição das circunferências.
(x - 2)² + (y - 1)² = 4 (x +2)² + (y - 1)² = 2
O(2, 1) e R1 = 2 C(-2, 1) e R2 = 1,43
Como a distância entre os centros das circunferências é igual a 4.
 4=OCD
A posição relativa das circunferências será:
DOC = R1 + R2 = 2 + 1,43 = 3,43, a medida da distância entre os centros das 
circunferências e diferente da soma da medida dos raios das circunferências, a 
medida da distância é maior que a soma da medida dos raios, logo as circunferências 
são externas (DOC > R1 + R2).
UNIDADE 2 | O ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
122
Representação geométrica
FIGURA 97 – EXEMPLO DE CIRCUNFERÊNCIAS EXTERNAS
FONTE: Os autores
• Circunferências secantes
Duas circunferências são secantes quando possuem dois pontos em comum. 
Para isso, a distância entre os centros das circunferências deve ser maior que o 
módulo da diferença das medidas de seus raios e menor que a soma dos raios (|R1 
- R2 |< DOC < R1 + R2).
FIGURA 98 – CIRCUNFERÊNCIAS SECANTES
FONTE: Os autores
Exemplo: A circunferência (x - 2)² + (y - 1)² = 4 é secante à circunferência x² 
+ (y - 1)² = 2?
Solução: vamos determinar o centro e o raio de cada circunferência:
(x - 2)² + (y - 1)² = 4 x² + (y - 1)² = 2 
O(2, 1) R1 = 24 = C(0, 1) e R2 = 43,12 ≅
Calculando a distância entre os centros das circunferências, temos:
TÓPICO 2 | POSIÇÕES RELATIVAS
123
 )²()²( OCOCOC yyxxD −+−=
 24²0)²2()²11()]²2)0[( ==+−=−+−=OCD
Agora, vamos verificar se as circunferências são secantes:
|R1 - R2| < DOC < R1 + R2
|2 – 1,43| < 2 < 2 + 1,43
0,57 < 2 < 3,43
logo as circunferências são secantes.
Representação geométrica
FIGURA 99 – EXEMPLO DE CIRCUNFERÊNCIAS SECANTES
FONTE: Os autores
• Circunferências internas
 
Quando duas circunferências não possuem pontos em comum e uma está 
localizada no interior da outra são consideradas internas. Para que isso ocorra a 
distância entre os centros das circunferências deve ser menor que o módulo da 
diferença entre os raios (DOC < |R1 - R2|).
FIGURA 100 – CIRCUNFERÊNCIAS INTERNAS
FONTE: Os autores
UNIDADE 2 | O ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
124
Exemplo: Verifique a posição das circunferências (x - 2)² + (y - 1)² = 9 e (x -1)² 
+ (y - 1)² = 1 e faça representação geométrica.
Solução: vamos determinar o raio de cada circunferência para verificar a 
posição das circunferências.
(x - 2)² + (y - 1)² = 9 (x -1)² + (y - 1)² = 1 
O(2, 1) e R1 = 3 C(1, 1) e R2 = 1
Calculando a distância entre os centros das circunferências, temos:
 )²()²( OCOCOC yyxxD −+−=
 
 11²0)²1()²11()²21( ==+−=−+−=OCD
A posição relativa das circunferências será: 
DOC < |R1 - R2|
1 < |3 - 1| 
1 < 2 portanto, as circunferências são internas.
Representação geométrica
FIGURA 101 – EXEMPLO DE CIRCUNFERÊNCIAS INTERNAS
FONTE: Os autores
• Circunferências concêntricas 
Duas circunferências são consideradas concêntricas quando possuem o 
centro em comum. Nesse caso, a distância entre os centro é igual a zero (DOC = 0).
TÓPICO 2 | POSIÇÕES RELATIVAS
125
FIGURA 102 – CIRCUNFERÊNCIAS CONCÊNTRICAS
FONTE: Os autores
 Exemplo: Qual deve ser o centro da circunferência concêntrica a 
circunferência de equação (x - 2)² + (y - 1)² = 4 (faça representação geométrica)?
Solução: para as circunferências serem concêntricas a distância entre 
os centros tem que ser nula, ou seja, as circunferências precisam ter as mesmas 
coordenadas para o centro.
Vamos verifica o centro da circunferência (x - 2)² + (y - 1)² = 4:
C(2, 1) e R = 2
Portanto, para circunferência ser concêntrica a essa tem que ter o centro em 
C(2, 1).
Representação geométrica
FIGURA 103 – EXEMPLO DE CIRCUNFERÊNCIAS CONCÊNTRICAS  
FONTE: Os autores
O
126
RESUMO DO TÓPICO 2
Nesse tópico verificamos a posição relativa de um ponto, reta ou 
circunferência em relação a uma circunferência.
• O ponto é interno à circunferência quando a distância do ponto ao centro da 
circunferência for menor que a medida do raio da circunferência ( RDPC < )
• O ponto pertence à circunferência quando a distância do ponto ao centro da 
circunferência for igual à medida do raio da circunferência ( RDPC = )
• O ponto é externo à circunferência quando a distância do ponto ao centro da 
circunferência for maior que a medida do raio da circunferência ( RDPC > )
• A reta é secante a circunferência quando ambas possuírem dois pontos em 
comum e a distância entre o centro da circunferência e a reta for menor que a 
medida do raio da circunferência ( RDrC < )
• A reta é tangente à circunferência quando ambas possuírem um ponto em 
comum e a distância entre o centro da circunferência e a reta for igual à medida 
do raio da circunferência à reta ( RDrC = )
• A reta é externa à circunferência quando ambas não possuírem pontos em 
comum e a distância entre o centro da circunferência e a reta for maior do que a 
medida do raio da circunferência à reta ( RDrC > )
• As circunferências são tangentes externas quando as duas circunferências 
possuem somente um ponto em comum e uma é exterior à outra (DOC = R1 + R2). 
• As circunferências são tangentes internas, quando duas circunferências possuemapenas um ponto em comum e uma está no interior da outra (DOC = R1 - R2).
• As circunferências são externas, quando duas circunferências não possuem 
pontos em comum (DOC > R1 + R2).
• As circunferências são secantes quando possuem dois pontos em comum (|R1 - 
R2 |< DOC < R1 + R2).
127
• As circunferências são internas quando não possuem pontos em comum e uma 
está localizada no interior da outra são consideradas internas (DOC < |R1 - R2|).
• As circunferências são concêntricas quando possuem o centro em comum. (DOC = 0).
128
AUTOATIVIDADE
Agora chegou a sua vez de colocar em prática o que foi estudo no Tópico 
2, lembre-se das orientações referente à posição do ponto, reta e circunferência 
em relação à circunferência.
1 Mostre que o ponto P(7, 0) é exterior à circunferência x2 + y2 - 6x + 4y + 9 = 0.
2 Mostre que o ponto P(-2, 1) é interior à circunferência x2 + y2 + 8x + 4y – 16 = 0.
3 Verifique às posições relativas dos pontos A(-2,2), B(-4,1), D(1,1), E(- 4, -1) em 
relação à circunferência de equação (x + 1)² + (y + 1)² = 9 e faça a representação 
geométrica.
4 Qual é a posição de cada um dos pontos a seguir em relação à circunferência 
x² + y² – 3x + 4y – 9 = 0?
a) (1, -4) 
b) (4, 5) 
c) (1, 1) 
5 Qual é a posição de cada uma das retas a seguir em relação à circunferência 
x² + y²+ 6x - 2y + 6 = 0?
a) 3x + y + 2 = 0 
b) 4x + 3x + 5 = 0 
c) 4x – y – 8 = 0
6 Dê a posição relativa dos pares de circunferências e comprove com a 
representação geométrica.
a) x ² + y ² – 3x + 4y – 9 = 0 e x ² + y ² – 6x + 2y – 6 = 0
b) x ² + y ² – 6x + 2y – 6 = 0 e x ² + y ² – 6x + 2y – 10 = 0
c) (x – 3)² + (y – 2) ² = 9 e (x – 7) ² + (y – 5) ² = 4
d) x ² + y ² – 6x - 6y – 7 = 0 e x ² + y ² – 10x - 6y + 12 = 0
e) x ² + y ² – 3x + 4y – 9 = 0 e x ² + y ² – 8x + 6y + 21 = 0
7 Dadas as circunferências λ e σ, de equações: λ: x ² + y ² = 9 e σ: (x – 7)² + y² = 
16, verifique a posição relativa entre elas.
129
TÓPICO 3
CURIOSIDADES SOBRE A CIRCUNFERÊNCIA
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Você verificou nos tópicos anteriores as equações das circunferências e suas 
posições relativas. Neste tópico vamos verificar algumas curiosidades relacionadas 
às circunferências, como: traçar polígonos regulares, medir o comprimento de uma 
circunferência e a área do círculo e o que é o número PI.
2 POLÍGONOS REGULARES INSCRITOS NA 
CIRCUNFERÊNCIA
Partindo de qualquer circunferência é possível traçar polígonos regulares, 
pois todo polígono regular está inscrito em uma circunferência. Não sabemos ao 
certo o motivo pelo qual se estabeleceu que a circunferência seria dividida em 
360 graus. Existem pelo menos duas possibilidades: a primeira delas é a de que 
o número teria sido estabelecido por uma civilização que acreditava que a terra 
era o centro do universo e cujo calendário teria 360 dias. De acordo com a suposta 
civilização, o Sol caminharia, então, um grau por dia, totalizando os 360 graus da 
circunferência. A outra possibilidade é a de que os babilônios usavam 60 como base 
para seus cálculos. Por esse motivo, os gregos teriam dividido o raio do círculo em 
60 partes. 
Polígono regular é todo polígono convexo que apresenta duas características: 
todos os seus lados têm a mesma medida (são congruentes) e todos os seus ângulos internos 
têm a mesma medida, este conceito você já viu na disciplina de geometria, caso haja dúvidas, 
volte ao caderno e releia este assunto.
ATENCAO
130
UNIDADE 2 | O ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
Um polígono está inscrito em uma circunferência quando todos seus 
vértices são pontos da circunferência e todos os seus lados estão dento do círculo 
definido pela circunferência. Qualquer polígono regular pode ser inscrito numa 
circunferência, podemos dizer que o polígono está inscrito na circunferência ou 
que a circunferência circunscreve o polígono.
O centro de um polígono regular inscrito na circunferência é igual ao centro 
da circunferência, por isso para traçar um polígono regular você deve inicialmente 
traçar uma circunferência com o compasso, com o raio qualquer.
FIGURA 104 – CIRCUNFERÊNCIA
FONTE: Os autores
 Em seguida, definir quantos lados deve ter o polígono que você quer 
desenhar inscrito na circunferência. Por exemplo, vamos traçar um polígono com 
5 lados iguais. Para isso, vamos dividir 360º (pois a circunferência representa 360º) 
por 5 (número de lados do polígono regular que desejamos traçar), temos então 
que 360º dividido por 5 será é igual a 72º.
Com auxílio de um transferidor vamos identificar quantas vezes essa 
medida (72º) cabe na circunferência, ou seja, vamos dividir a circunferência por 72º 
e marcar com pontos (C, G, J, I e H) essas divisões efetuadas sobre a circunferência. 
Depois é somente ligar os pontos (C, G, J, I e H) originados pela divisão e teremos 
um polígono regular de 5 lados.
FIGURA 105 – POLÍGONO DE 5 LADOS
FONTE: Disponível em: <http://www.artesnaescola.
net/downloads/espaco/geometria/05-ficha%20
circunferencia-12.pdf>. Acesso em: 10 mar. 2014.
TÓPICO 3 | CURIOSIDADES SOBRE A CIRCUNFERÊNCIA
131
Trace as diagonais desse polígono e verifique o que formou!
FIGURA 106 – DIAGONAIS DO POLÍGONO DE 5 LADOS
FONTE: Disponível em: <http://www.artesnaescola.net/downloads/
espaco/geometria/05-ficha%20circunferencia-12.pdf>. Acesso em: 10 
mar. 2014.
Dessa mesma forma, você pode traçar qualquer polígono regular como, por 
exemplo, de 17 lados e fazer isso em uma madeira colocando pregos nos vértices 
do polígono e traçar as diagonais com linha, como na Figura 107.
FIGURA 107 – DIAGONAIS DO POLÍGONO TRAÇADAS COM LINHA
FONTE: Disponível em: <https://www.google.com.br/
search?q=diagonais+do+polígono+com+linhas&hl>. Acesso em: 10 
mar. 2014.
Leia mais em JOGOS E MATERIAIS MANIPULATIVOS NO ENSINO DA MATEMÁTICA 
PARA O ENSINO FUNDAMENTAL, disponível em <http://www.pucrs.br/edipucrs/erematsul/
minicursos/jogosemateriaismanipulativos.pdf>.
DICAS
132
UNIDADE 2 | O ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
3 MEDIDA DO COMPRIMENTO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA
Para determinarmos o perímetro de uma região, somamos as medidas dos 
lados, mas como vamos determinar o perímetro se for uma região circular?
No caso das regiões circulares, para determinar a medida do comprimento 
utilizamos a medida do raio, mas somente isso não é suficiente. Precisamos da 
relação comprimento/diâmetro das regiões circulares, um valor constante de 
aproximadamente 3,14, o número “pi”, que é representado pelo símbolo π, essa 
notação surgiu no início do sec. 1700 e foi adotada e popularizada pelo importante 
livro Análise Infinitesimal, escrito por Euler c. 1750.
Como sugestão para a futura prática pedagógica, conheça mais sobre o número pi, 
leia mais em: <https://www.unimep.br/phpg/bibdig/pdfs/2006/RYXMQMJTVEXB.pdf>.
DICAS
O número “pi” representa o valor da razão entre a circunferência de 
qualquer círculo e seu diâmetro. É a mais antiga constante matemática que se 
conhece. É um número irracional, com infinitas casas decimais e não periódico.
Para qualquer que seja a região circular, quando dividimos o comprimento pela 
medida do diâmetro, encontraremos o valor correspondente a 3,14 aproximadamente, o 
número pi. Faça o teste!
IMPORTANTE
Devido a essa descoberta, o comprimento ou perímetro, de uma região 
limitada por uma circunferência, pela descoberta do número PI, temos que o 
comprimento da circunferência dividido pelo diâmetro será igual a PI:
 
π=
d
C
C = d. π, com d é o diâmetro da circunferência é 2 vezes a medida do raio 
da circunferência (2R)
C = 2R π = C = 2 π R
Portanto, o comprimento da circunferência é calculado através da 
expressão matemática C = 2. π.R, em que C é o comprimento da região circular, π 
aproximadamente igual a 3,14 e R a medida do raio da região circular. 
TÓPICO 3 | CURIOSIDADES SOBRE A CIRCUNFERÊNCIA
133
Exemplo 1: O comitê olímpico brasileiro dispõe de uma pista circular 
utilizada para competições de ciclismo e patinação. Qual é o comprimento dessa 
pista, sabendo que o raio da circunferência da pista tem1570 metros (utilize π = 
3,14).
Solução: temos a medida do raio da circunferência e de π, vamos determinar 
o comprimento da circunferência.
C = 2. π.R
C = 2.3,14.1570
C = 250m
Portanto, a pista de competições de ciclismo e patinação tem 250 metros de 
comprimento.
Exemplo 2: O diâmetro de uma bola de futebol oficial é de aproximadamente 
22 cm, qual o comprimento aproximado da circunferência dessas bolas (utilize π 
= 3,14).
Solução: temos a medida do diâmetro da circunferência que é duas vezes a 
medida do raio e de π, vamos determinar o comprimento da circunferência.
Cálculo do valor do raio da circunferência
R = 
 
2
D
R = 22/2 = 11 cm
Cálculo do comprimento da circunferência
C = 2 π R.
C = 2.3,14.11
C = 69, 08 cm
Portanto, o comprimento de uma bola oficial é de aproximadamente 69, 08 cm.
4 ÁREA DO CÍRCULO
Em matemática, a área de uma superfície é o número de unidades de área que 
ela contém.
IMPORTANTE
134
UNIDADE 2 | O ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
FIGURA 108 – ÁREA DE UMA SUPERFÍCIE
FONTE: Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81rea>. 
Acesso em: 10 mar. 2014.
Existem várias formas e demonstrações para chegarmos a fórmula do 
cálculo da área de um círculo. O círculo pode ser determinado de acordo com o 
aumento do número de lados de um polígono regular inscrito na circunferência, 
como vimos anteriormente. Quanto mais lados o polígono apresentar, mais 
próximo de um círculo está.
Círculo é a região da circunferência com sua região interna.
NOTA
FIGURA 109 – CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA
FONTE: Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/circulo-
ou-circunferencia.htm>. Acesso em: 10 mar. 2014.
Circulo
Circunferência
A área do círculo é diretamente proporcional ao raio, para calcularmos a 
área do círculo utilizamos a expressão matemática A = π.R², em que A representa 
a área, π é aproximadamente igual a 3,14 e R a média do raio da circunferência.
Exemplo 1: Calcule o valor aproximado da área de uma praça circular com 
8 metros de raio (utilize π =3,14).
TÓPICO 3 | CURIOSIDADES SOBRE A CIRCUNFERÊNCIA
135
FIGURA 110 – PRAÇA CIRCULAR
Fonte: Disponível em: <https://static.wixstatic.com/
media/80abb9_85139723f3234ace8cae01ab89d087c7~mv2_d_2048_1360_s_2.
jpg_srz_600_322_85_22_0.50_1.20_0.00_jpg_srz>. Acesso em: 10 mar. 2014.
Solução: como a praça tem 8 metros de raio à área será:
 A = π.R²
A = 3,14.8²
A = 3,14.64
A = 200, 96 metros quadrados (m²)
Exemplo 2: Na Figura 46, o segmento OA mede 10 cm e o segmento OB 
mede 4 cm, calcule a área da coroa circular (região limitada externamente) (utilize 
π = 3,14).
FIGURA 111 – CÁLCULO DE ÁREA DO CÍRCULO
FONTE: Disponível em: <http://exercicios.brasilescola.com/matematica/
exercicios-sobre-comprimento-area-circunferencia.htm#resposta-3897>. 
Acesso em: 10 mar. 2014.
Solução: 
Calculamos a área de um círculo com raio ROA
A1 = π. (ROA)2
A1 = 3,14 . 102
A1 = 314 cm2
Agora calculamos a área do círculo com raio ROB
136
UNIDADE 2 | O ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
A2 = π. (ROB)2
A2 = π. 42
A2 = 3,14 . 16
A = 50, 24 cm2
A área da coroa é dada por:
A = A1 - A2
A = 314 - 50, 24
A = 263, 76 cm2
Leia mais sobre área e perímetro de um círculo, em: <http://www.sbm.org.br/docs/
coloquios/SE-1.02.pdf>, acesse e verifique também como os conceitos de área e perímetro do 
círculo, são abordados nos livros didáticos.
DICAS
LEITURA COMPLEMENTAR
A ÁREA DO CÍRCULO PELOS EGÍPCIOS
Uma característica interessante, entre muitas outras, que podemos 
destacar ao estudar História da Matemática é a diversidade na abordagem de um 
determinado conceito. Ou seja, como alguns povos e/ou matemáticos atacaram um 
determinado problema. Um exemplo é a determinação do valor numérico de pi. 
Eves (1995, p. 141 – 148), por exemplo, apresenta uma cronologia, que se estende 
do Papiro Rhind (cerca de 1650 a.C.) até 1996, quando D. H. Bailey, da NASA, 
determinou o valor de pi com 29 360 000 dígitos! Outra obra que demonstra a 
diversidade deste tópico é o livro Pi: a source book, que reúne setenta artigos sobre 
este número, compilados em cerca de oitocentas páginas. Associado a esta tópico, 
temos o problema do cálculo da área do círculo. Neste post apresentaremos o 
cálculo aproximado feito pelos egípcios, registrado no Papiro Rhind.
Uma das principais fontes para analisar o desenvolvimento da matemática 
dos egípcios é o papiro Rhind, datado aproximadamente em 1650 a.C. Este 
documento apresenta 85 problemas, redigidos em escrita hierática pelo escriba 
Ahmes, segundo Eves (1995).
TÓPICO 3 | CURIOSIDADES SOBRE A CIRCUNFERÊNCIA
137
O papiro Rhind é uma fonte primária rica sobre a matemática egípcia antiga; 
descreve os métodos de multiplicação e divisão dos egípcios, o uso que faziam 
das frações unitárias, seu emprego da regra da falsa posição, sua solução para o 
problema da determinação da área do círculo e muitas aplicações da matemática a 
problemas práticos (p. 70).
A determinação da área do círculo, como citado acima, encontra-se no 
problema 50, da seguinte maneira:
Problema 50: Um campo circular tem 9 khet de diâmetro. Qual é a sua área? 
Tira 1/9 do diâmetro do seu diâmetro, isto é 1 Khet. O resto é 8 Khet. Multiplica 8 
por 8; o que faz 64. Por isso, contém 64 setat de terra.
Observa-se que a solução apresentada é uma receita e não mostra o processo 
utilizado. Mas o problema 48, deste mesmo papiro, nos dá uma pista, como mostra 
Gillings (1982, p. 139-143):
Problema 48: Compara a área do círculo e do quadrado circunscrito. O 
círculo de diâmetro 9: 64 setat, o quadrado de lado 9: 81 setat.
Além disso, o desenho feito no papiro, no problema 48, aproxima-se de um 
octógono. Assim, a determinação da área do círculo pelos egípcios pode ter origem 
nessa correspondência. A seguir vamos analisar o problema 50 e esta associação 
feita com o problema 48.
Partes do papiro Rhind
Considere um quadrado com lado medindo 9 unidades e um círculo 
inscrito. Triseccione cada um dos lados e forme um octógono. Note que a área 
determinada pelo octógono aproxima-se da área delimitada pelo círculo. Este fato 
também pode ser observado, considerando as faltas e os excessos, a partir de um 
dos cantos.
138
UNIDADE 2 | O ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA
A área do octógono (A) pode ser calculada a partir da área do quadrado, 
retirando os quatro triângulos retângulos isósceles, dos cantos. Portanto, A = 81 – 
18 = 63.
Voltando ao problema 50, temos que a área de um campo circular de 
diâmetro 9 seria igual a 64. Mas, 64 é próximo do resultado obtido acima para a 
área do octógono, ou seja, 63, e 64 pode ser obtido facilmente em função do valor 
9. Dessa forma, a solução apresentada pode ter sido dada a partir deste processo. 
Podemos verificar a potencialidade deste método por uma aproximação de 
$\pi$, considerando que a área do círculo como 63 e depois como 64.
Portanto, para 63, obtemos pi. = 3,111...
 para 64, obtemos pi. = 3,1604...
Essas aproximações demonstram que quão potencial foi método utilizado 
pelos egípcios. 
Referências
 
BERGGREN, L.; BORWEIN, J.; BORWEIN, P. Pi: a source book. 3 ed. New York: 
Springer, 2004.
 
EVES, H. Introdução à história da matemática. Campinas, SP: Editora da 
UNICAMP, 1995.
 
GILLINGS, R. J. Mathematics in the time of the pharaohs. New York: Dover, 1982.
FONTE: Disponível em: <http://matematica100limite.blogspot.com.br/2011/09/area-do-circulo-
pelos-egipcios.html>. Acesso em: 27 jun. 2013.
139
RESUMO DO TÓPICO 3
Nesse tópico, você observou algumas curiosidades sobre a circunferência 
e o círculo.
• Um polígono está inscrito em uma circunferência quando todos seus vértices são 
pontos da circunferência e todos os seus lados estão dentro do círculo definido 
pela circunferência.
• O comprimento ou perímetro, de uma região limitada por uma circunferência é 
calculado através da expressão matemática C = 2. π.R, em que C é o comprimento 
da região circular, π aproximadamente igual a 3,14 e R a medida do raio da 
região circular. 
• A área do círculo é calculadausando a expressão matemática A = π.R², em que 
A representa a área, π é aproximadamente igual a 3,14 e R a média do raio da 
circunferência.
140
Vamos finalizar mais um tópico, com algumas atividades sobre 
comprimento de circunferências e área de regiões circulares.
1 Qual é o comprimento de uma circunferência que tem raio igual a 10,4 cm? 
(Utilize π = 3,14).
2 Calcule a área do círculo que tem diâmetro igual a 8 cm (Utilize π = 3,14).
3 Calcule a área de uma coroa circular onde o raio menor mede 4 cm e o raio 
maior é o triplo do raio menor (Utilize π = 3,14).
4 Calcule o perímetro e a área de um círculo de raio 12 cm (Utilize π = 3,14).
5 Determine a área de um círculo sabendo que a circunferência desse círculo 
tem comprimento igual a 15 π cm.
6 Calcule a área da região limitada por duas circunferências concêntricas, 
uma com raio 10 cm e a outra com raio 6 cm.
AUTOATIVIDADE
FIGURA 112 – CIRCUNFERÊNCIAS CONCÊNTRICAS
FONTE: Disponível em: <http://www.uel.br/projetos/
matessencial/geometria/areas/circ-a.htm>. Acesso em: 10 
mar. 2014.
10
6
7 Um jardim de formato circular com 6 metros de raio tem a metade de sua 
área removida para reduzir as despesas. Para isto foi cortada uma borda de 
largura uniforme em toda a sua volta. Qual é a largura desta borda?
8 No sistema cartesiano ortogonal, uma circunferência tem centro no ponto 
(2,1) e passa pelo ponto (5,-3). Qual é o comprimento da circunferência?
141
FIGURA 113 – COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIAS 
FONTE: Disponível em: <http://www.uel.br/projetos/matessencial/
geometria/areas/circ-a.ht>. Acesso em: 10 mar. 2014.
y
x
(5, -3)
(2,1)
142
143
UNIDADE 3
O ESTUDO DAS CÔNICAS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir desta unidade você será capaz de:
• reconhecer as secções cônicas;
• identificar as equações e representações geométricas das cônicas;
• estudar os conceitos e propriedades das secções cônicas;
• perceber a presença de formas geométricas nos objetos do cotidiano;
• conhecer as aplicações da geometria analítica
Esta unidade está dividida em três tópicos. No final de cada um deles, você 
encontrará atividades que favorecerão a fixação dos assuntos apresentados. 
Bons estudos! 
TÓPICO 1 – PARÁBOLA
TÓPICO 2 – ELIPSE
TÓPICO 3 – HIPÉRBOLE
TÓPICO 4 – APLICAÇÕES DA GEOMETRIA ANALÍTICA
144
145
TÓPICO 1
PARÁBOLA
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
Na Unidade 2, você estudou a equação da circunferência, as posições 
relativas e algumas curiosidades em relação às circunferências. Nesta unidade 
daremos continuidade ao estudo das cônicas, buscando a compreensão geométrica 
e analítica das parábolas, elipses e hipérboles, bem como suas aplicações.
 
Inicialmente vamos conhecer um pouco da história dessas curvas cônicas. 
Você já ouviu falar em Apolônio? Apolônio nasceu na cidade de Perga, região da 
Panfília (atualmente Turquia) em 262 a.C., viveu aproximadamente até 190 a.C. e, 
foi ele quem iniciou essa importante descoberta.
Apolônio foi contemporâneo de Arquimedes que viveu, aproximadamente, 
entre 287 e 212 a.C. e, juntamente com Euclides (aprox. 325 a 265 a.C.) formando 
a tríade considerada como a dos maiores matemáticos gregos da antiguidade. 
Estudou com os discípulos de Euclides em Alexandria e foi astrônomo notável. 
Sua obra-prima, Secções Cônicas, foi composta por 8 volumes (aproximadamente 
400 proposições).
Neste tópico vamos estudar uma dessas curvas: a parábola. As parábolas 
fazem parte do nosso cotidiano, embora, muitas vezes, não as percebemos. Você 
já viu este conteúdo quando fez o estudo das funções quadráticas. Porém, agora, 
veremos alguns elementos até então desconhecidos. 
As antenas parabólicas, por exemplo, que há um tempo era um objeto muito 
comum nas residências, utilizam uma superfície denominada paraboloide, que se 
origina ao girar a parábola em torno do seu eixo de simetria. Este paraboloide 
serve para refletir as ondas eletromagnéticas emitidas por satélites, para o foco da 
parábola, onde se encontra o aparelho receptor, que as converterá em um sinal que 
a TV transformará em ondas. 
É possível observar também a aplicação da propriedade das parábolas 
nos faróis dos carros, nos holofotes, fornos solares, em lanternas e muitos outros 
objetos do nosso dia a dia.
UNIDADE 3 | O ESTUDO DAS CÔNICAS
146
2 A PARÁBOLA
Na Grécia Antiga, as cônicas eram obtidas secionando um cone por um 
plano, como visto na Figura 114, que é a curvatura formada entre os pontos E, A e 
F descreve uma parábola.
FIGURA 114 – CONE INTERCPTADO POR UMA PLANO
FONTE: Disponível em: <http://cmup.fc.up.pt/cmup/activities/
paldiv/conicas.html>. Acesso em: 27 mar. 2013.
A parábola é o conjunto dos pontos do plano equidistantes de um ponto 
fixo P(x,y) e de uma reta, que não contém o ponto. Vamos entender melhor este 
assunto conhecendo os elementos de uma parábola, conforme você observa na 
Figura 115.
FIGURA 115 – PARÁBOLA
FONTE: Os autores
TÓPICO 1 | PARÁBOLA
147
Elementos da Parábola
Vértice: é o ponto V. Note que V é o ponto médio da distância FH.
Foco: é o ponto F.
Diretriz: é a reta d.
Eixo: é a reta e, perpendicular à reta d e que passa pelo vértice da parábola.
Parâmetro: é a distância p, do foco à diretriz.
A reta perpendicular à diretriz que contém o vértice e o foco da parábola é o eixo 
de simetria da parábola e a distância VF é denominada distância focal, que é a distância do 
foco ao vértice, ou do vértice à diretriz ( VF = p/2), em p é o parâmetro da parábola, a distância 
do foco a reta diretriz. 
NOTA
3 EQUAÇÕES DA PARÁBOLA
As particularidades das equações da parábola estão intrinsicamente 
relacionadas à sua representação no sistema cartesiano ortogonal. 
Caro acadêmico! Como você já estudou anteriormente, a parábola pode 
apresentar a concavidade voltada para cima, para baixo. Agora, verá que ela 
também pode apresentar a concavidade virada para esquerda e para direita, o que 
reflete diretamente na sua equação. Veremos estas e outras abordagens a seguir.
PRIMEIRO CASO – VÉRTICE NA ORIGEM
• Equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origem
Para que a parábola tenha eixo horizontal e vértice na origem, a ordenada 
do foco da parábola deve ser nula F(c, 0), considerando um ponto qualquer da 
parábola P(x, y), teremos que a distância desse ponto até o foco será igual à 
distância do ponto até sua projeção na diretriz ( 'PPPF = ), conforme Figura 116.
UNIDADE 3 | O ESTUDO DAS CÔNICAS
148
FIGURA 116 – EQUAÇÃO DA PARÁBOLA COM VÉRTICE NA 
ORIGEM DO SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL
FONTE: Os autores
P(x,y)
F xV
P1
d y
Utilizando a fórmula da distância entre dois pontos no sistema cartesiano 
ortogonal teremos a equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na 
origem, em que c é a distância focal.
O foco da parábola tem coordenadas F(c, 0), a equação da reta diretriz x = 
-c, assim sendo, chama-se equação reduzida da parábola à equação em que P(x,y), 
um ponto qualquer da parábola é equidistante de F e d. Isto é: d(P,F) = d(P,d), 
nesse caso temos:
 
PdPF dd =
 
²2²²²2²
)²(²)²(
)²()²()²0()²(
)²()²()²()²(
ccxxyccxx
cxycx
yycxycx
yyxxyyxx
p
dPdpFPFp
++=++−
+=+−
−++=−+−
−+−=−+−
Eliminando os termos semelhantes, chegamos à equação y² = 4cx.
A fórmula da equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origem 
é y² = 4cx.
ATENCAO
TÓPICO 1 | PARÁBOLA
149
Temos duas situações diferentes em relação às principais características da 
parábola quando o eixo de simetria é o eixo das ordenadas (eixo y), a parábola 
pode ter a concavidade voltada para direita ou para esquerda, como você pode 
observar no Quadro 1:
QUADRO 1 – CARACTERÍSTICAS DA PARÁBOLA QUANDO O EIXO DE SIMETRIA É O EIXO DAS 
ABSCISSAS 
FONTE: Os autores
Nas cônicas temos excentricidade que é um parâmetro associado a 
qualquer cônica, que mede o seu desvio em relação a uma circunferência, nas parábolas a 
excentricidade (e) que indica a razão das distâncias de qualquer um dos seus pontos ao foco e 
à diretriz é sempre igual a1 (e = 1).
IMPORTANTE
Exemplo: Determine a equação reduzida da parábola de foco no ponto 
F(3,0) e vértice na origem, comprovando com a representação geométrica.
Solução: Como o foco tem coordenadas x = 3 e y = 0, a distância focal (c) 
será igual a 3 devido ao vértice da parábola ter coordenadas igual a zero, pois está 
na origem do sistema cartesiano ortogonal. 
Teremos: y² = 4cx.
 y² = 4 x
 y² = 12x
UNIDADE 3 | O ESTUDO DAS CÔNICAS
150
Representação geométrica
FIGURA 117– RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1 DA PARÁBOLA COM VÉRTICE NA ORIGEM DO 
SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL
FONTE: Os autores
• Equação da parábola de eixo vertical e vértice na origem
Como a parábola tem vértice na origem, as coordenadas do vértice são nula 
V(0,0) e com eixo vertical, portanto, a equação ficará em função de x, logo sua 
equação reduzida é x² = 4cy. Nessa situação, a parábola pode ter concavidade volta 
para cima ou para baixo, conforme o quadro 2.
QUADRO 2 – CARACTERÍSTICAS DA PARÁBOLA QUANDO O EIXO DE SIMETRIA É O 
EIXO DAS ORDENADAS
FONTE: Os autores
TÓPICO 1 | PARÁBOLA
151
Exemplo: Qual é a equação da parábola de foco no ponto F(0,4) e vértice na 
origem? (Faça a representação Geométrica).
Solução: Temos x² = 4cy, como c é a distância do foco ao vértice, c = 4.
 x² = 4 4 y
 x² = 16y 
Representação geométrica
FIGURA 118 – RESOLUÇÃO DO EXEMPLO DA PARÁBOLA DE EIXO VERTICAL E VÉRTICE NA 
ORIGEM 
FONTE: Os autores
• Equação da parábola de eixo horizontal e vértice no ponto (h, k)
Pode acontecer do vértice da parábola não estar na origem do sistema 
cartesiano ortogonal conforme a Figura 119, mas num ponto qualquer (h, k), 
teremos a equação de uma cônica com translação, ou seja de uma parábola com 
translação, nesse caso com concavidade voltada para a direita será: (y - k)2 = 4c(x - 
h) e da reta diretriz x = h – c, eixo y = k e Foco (h + c, k).
UNIDADE 3 | O ESTUDO DAS CÔNICAS
152
FIGURA 119 – EQUAÇÃO DA PARÁBOLA DE EIXO HORIZONTAL E 
VÉRTICE NO PONTO (H, K)
FONTE: Disponível em: <http://www.passei.com.br/topico.
php?file=matematica/parabola.html>. Acesso em: 27 fev. 2014.
Ou se a concavidade estiver voltada para a esquerda do sistema cartesiano 
ortogonal a equação da parábola será: (y - k)2 = - 4c(x - h), e a equação da reta 
diretriz x = h + c, eixo y = k e Foco (h - c, k).
 
Exemplo 1: Determine a equação da parábola de vértice no ponto V(2,0) e 
foco no ponto F(4, 0), confirme o resultado com a representação geométrica.
Solução: A distância focal é VF = 2- 4 = 2, e o parâmetro da parábola 
nesse caso será VF = p/2, logo:
 VF = p/2
2 = p/2
2.2 = p
p=4 
P = 4, é o parâmetro da parábola, a medida da distância do foco a reta 
diretriz. Como vimos, a distância focal é c = 2.
Para encontrar a equação da parábola vamos substituir as coordenadas do 
vértice (2,0) e o valor da distância focal na fórmula: (y – k)2 = 4c(x - h)
(y - 0)2 = 4●2(x - 2)
y2 = 8 (x - 2)
E para encontrar a equação da reta diretriz vamos substituir os valores na 
equação x = y - c. logo x = 2 - 2 = 0, ou seja, x = 0.
TÓPICO 1 | PARÁBOLA
153
Representação geométrica
FIGURA 120 – RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1 DA PARÁBOLA DE EIXO HORIZONTAL E VÉRTICE 
NO PONTO (H, K)
FONTE: Os autores
Como podemos observar na representação geométrica a reta diretriz 
coincide com o eixo y.
Exemplo 2: Determine o vértice, o parâmetro, o foco e a equação da diretriz 
da parábola de equação y² = -4(x – 3), demonstre geometricamente.
Solução: Vamos iniciar determinado o vértice, comparando a equação y² 
= - 4(x – 3) com a fórmula (y - k)2 = 4c(x - h), observamos que o valor da ordenada 
do vértice é nula, portanto temos V(3, 0), parábola de eixo horizontal.
Para determinar o parâmetro (p) temos: 4c = -4, o sinal de menos, indica 
que a concavidade está voltada para a esquerda, portanto, temos c = 1 (distância 
focal), logo o parâmetro será VF = p/2, 1 = p/2, p = 2.
UNIDADE 3 | O ESTUDO DAS CÔNICAS
154
A equação da reta diretriz x = h + c, logo x = 3 + 1, x = 4.
O eixo é y = 0 e Foco (h - c, k), portanto F(3-1, 0), F(2, 0).
Representação geométrica
FIGURA 121 – RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 2 DA PARÁBOLA DE EIXO HORIZONTAL E VÉRTICE NO 
PONTO (H, K)
FONTE: Os autores
Exemplo 3: Determine a equação da parábola de vértice (2, 4) e diretriz x 
= - 4, e comprove os resultados com a representação geométrica.
Solução: A diretriz é uma reta vertical e está à esquerda do vértice, pois a 
abscissa x desse vértice é 2. Isto implica uma concavidade voltada para a direita. A 
distância focal é igual a distância entre o vértice e a diretriz, portanto, c = | - 4 – 2| 
= 6. 
Substituindo esses valores na fórmula da parábola de eixo horizontal e 
vértice no ponto (x0, y0), temos: (y - k)² = 4c(x - h)
 (y - 4)² = 4.6(x - 2)
 (y - 4)² = 24(x - 2)
TÓPICO 1 | PARÁBOLA
155
Representação geométrica
FIGURA 122 – RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 3 DA PARÁBOLA DE EIXO VERTICAL E VÉRTICE NO 
PONTO (H,K)
FONTE: Os autores
• Equação da parábola de eixo vertical e vértice no ponto (h, k)
Analogamente, quando o vértice da parábola não está na origem, mas no ponto 
(h, k), a equação da parábola de eixo vertical, diretriz horizontal e concavidade voltada 
para baixo, será: (x - h)² = - 4c(y - k), a equação da reta diretriz y = k + c, o eixo x = h e o 
Foco (h, k - c).
E quando a concavidade estiver voltada para cima do sistema cartesiano 
ortogonal a equação da parábola será: (x - h)2 = 4c(y - k), e a equação da reta diretriz 
y = k - c, eixo x = h e Foco (h, k + c).
UNIDADE 3 | O ESTUDO DAS CÔNICAS
156
Exemplo 1: Qual a equação da parábola de foco no ponto F(0, -4) e vértice 
no ponto V(0,1)(faça a representação geométrica)?
Solução: Como o foco tem coordenadas x = 0 e y = - 4, a concavidade da 
parábola está voltada para baixo. Vamos determinar a distância focal, VF = 1- 4- 
= 5, portanto c = 5 e o parâmetro da parábola, VF = p/2, 5 = p/2, p = 10 é a distância 
do foco a reta diretriz.
A equação da reta diretriz (y = h + c) será y = 1 + 5 = 6, logo a equação da reta 
diretriz será y = 6.
Agora substituindo na fórmula teremos: (x - h)² = -4c(y - k)
(x - 0)² = - 4. 5(y – (1))
x² = - 20 (y - 1)
Representação geométrica
FIGURA 123 – RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1 DA PARÁBOLA DE EIXO VERTICAL E VÉRTICE NO 
PONTO 
FONTE: Os autores
Exemplo 2: Determine a equação da parábola que apresentam foco F(3, 2); 
e diretriz y - 4 = 0.
Solução: Como a diretriz tem equação y - 4 = 0, ou seja y = 4, a concavidade 
da parábola está voltada para baixo do sistema cartesiano ortogonal e o parâmetro 
distância do foco a reta diretriz será igual a 2.
Portanto, o c (VP), será VP = p/2, VP = 2/2 = 1, substituindo na expressão do 
Foco (h, k + c), vamos determinar a ordenada do vértice da parábola: 
F(3, 2) = F(h, k + c)
V(3, 2 +1) 
V(3, 3)
TÓPICO 1 | PARÁBOLA
157
A equação da parábola: (x - h)2 = - 4c(y - k)
 (x - 3)2 = - 4.1(y - 3)
 (x - 3)2 = - 4(y – 3)
O eixo da parábola: x = h, x = 3.
Representação geométrica
FIGURA 124 – RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 2 DA PARÁBOLA DE EIXO VERTICAL E VÉRTICE NO 
PONTO (H,K) 
FONTE: Os autores
• Equação Geral da Parábola
Desenvolvendo o produto notável que aparece na equação reduzida e 
igualando a equação à zero, determinamos a equação geral da parábola. Veja os 
exemplos a seguir:
Exemplo 1: Escreva a equação a seguir em sua forma geral.
(x - 3)2 = - 4y + 12 
Solução: (x - 3)2 = - 4y + 12. Desenvolvendo a potência, através dos produtos 
notáveis
x2 – 6x + 9 = - 4y + 12 Igualando a equação a zero
x2 – 6x + 9 + 4y – 12 = 0 Juntando os termos semelhantes
x2 – 6x + 4y – 3 = 0 Equação Geral da Parábola
Exemplo 2: Escreva a equação a seguir em sua forma geral.
(y - 4)² = 24(x - 2) 
UNIDADE 3 | O ESTUDO DAS CÔNICAS
158
Solução: (y - 4)² = 24(x - 2) Desenvolvendo a potência, através dos produtos 
notáveis e propriedadedistributiva
y2 – 8y + 16 = 24x – 48 Igualando a equação a zero
y2 – 8y + 16 - 24x + 48 = 0 Juntando os termos semelhantes 
y2 – 8y - 24x + 64 = 0 Equação Geral da Parábola
Atenção! É fundamental que você compreenda bem o processo de 
transformar a equação na forma reduzida para a forma geral e vice-versa, para 
isto, você precisará muito dos produtos notáveis e da fatoração do trinômio 
quadrado perfeito.
Você deve ter observado que para descobrir as coordenadas de vértice e 
foco e para definirmos a distância focal, precisamos ter a equação da parábola 
em sua forma reduzida. Desta forma, quando tivermos a equação da parábola em 
sua forma geral, precisaremos escrevê-la em sua forma reduzida. Aprenda como 
realizar este processo a seguir.
Exemplo 3: Escreva a seguinte equação de parábola em sua forma reduzida:
x2 – 6x + 5y – 11 = 0 
Solução: x2 – 6x + 5y – 11 = 0 
1º passo: O termo que está elevado ao quadrado é o x, desta forma os 
monômios que tiverem a incógnita x deixaremos no primeiro membro da igualdade 
e, os demais elementos, no segundo membro.
x2 – 6x = - 5y + 11
2º passo: Completar o trinômio quadrado perfeito do primeiro membro. 
Lembre que: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2. Neste caso, para descobrir o termo b, basta dividir 
6 por 2, logo, b = 3. Para completar o trinômio precisamos acrescentar b2 (que é 
o termo faltante) no primeiro membro da equação e, para manter a igualdade, 
acrescentamos b2 no outro membro.
x2 – 6x + 9 = - 5y + 11 + 9
Observe que x2 – 6x + 9 = (x – 3)2. Reescrevendo,
(x – 3)2 = - 5y + 11 + 9
3º passo: Junte os termos semelhantes
(x – 3)2 = - 5y + 20
4º passo: Colocar o coeficiente de y em evidência. Neste caso, - 5.
(x – 3)2 = - 5(y + 4) Equação reduzida da parábola
Com a equação reduzida você pode determinar os elementos desta 
parábola, como vértice, foco e equação diretriz.
159
Nesse tópico, você conheceu as equações da parábola de acordo com sua 
representação no sistema cartesiano ortogonal. 
• A parábola de eixo horizontal e vértice na origem pode ter concavidade voltada 
para a direita, sua equação será y² = 4cx, o foco F(c, 0) e a reta diretriz x = - c, em 
que c é a distância focal. Ou para esquerda com equação a y² = - 4cx, o foco F(-c, 
0) e a reta diretriz x = c e o vértice de ambas situações tem coordenadas igual a 
zero V(0,0).
• Equação da parábola de eixo horizontal e vértice no ponto (h, k) pode apresentar 
concavidade voltada para a direita será: (y - k)² = 4c(x - h), com reta diretriz x 
= h – c, eixo y = k e Foco (h + c, k) ou concavidade voltada para a esquerda do 
sistema cartesiano ortogonal, a equação da parábola será: (y - k)² = - 4c(x - h), 
com reta diretriz x = h + c, eixo y = k e Foco (h - c, k).
• A parábola de eixo vertical e vértice na origem pode ter concavidade voltada 
para cima, sua equação será x² = 4cy, o foco F(0, c) e a reta diretriz y = - c, em que 
c é a distância focal. Ou para baixo com equação a x ² = - 4cy, o foco F(0, - c) e a 
reta diretriz y = c e o vértice de ambas situações tem coordenadas igual a zero 
V(0,0).
• Equação da parábola de eixo vertical e vértice no ponto (h, k) pode apresentar 
concavidade voltada para baixo será: (x - h)² = -4c(y - k), com reta diretriz y = 
k + c, eixo x = h e Foco (h, k - c) ou concavidade voltada para cima no sistema 
cartesiano ortogonal, a equação da parábola será: (x - h)² = 4c(y - k), com reta 
diretriz y = k - c, eixo x = h e Foco (h, k + c).
RESUMO DO TÓPICO 1
160
Agora chegou a sua vez de colocar em prática o que foi estudo no 
Tópico 1, lembre-se das orientações referentes à equação da parábola no 
sistema cartesiano ortogonal.
1 Determine o eixo principal e a concavidade da parábola, cuja equação é:
a) x² – 4y = 0
b) 8x² – 16x + 24y – 32 = 0 
c) 4y² – 12y + 3x – 16 = 0
2 Determine o vértice, o parâmetro, o foco e a equação da diretriz da parábola 
cuja equação é:
a) (x - 2)² = - 16(y + 2)
b) (y - 1)² = - 4x
c) (x - 2)² = - 8y
d) (x - 1)² = 12(y - 1)
3 Determine a equação das parábolas que apresentam os seguintes focos e diretrizes:
a) F(-3,-2); y + 4 = 0
b) F(0,-3); y – 3 = 0
c) F(5,0); x – 2 = 0
d) F(-1,0); x – 1 = 0
4 Obtenha a equação da parábola de vértice V(2,-1), com eixo de simetria 
paralelo ao eixo y, passando pelo ponto P(-2,-3).
5 Das equações a seguir, verifique qual se refere à equação de uma parábola 
de eixo coincidente com a reta y = 0:
a) y = x² + 1
b) x = y² + 1
c) y – x² = 0
d) x² - y² = 1
e) xy = 1 + 3y
6 Determine as coordenadas do vértice, a distância focal, as coordenadas do 
foco e a equação reduzida da parábola, cuja equação é 2x² – 4x + y – 8 = 0.
7 Escreva a equação da parábola de vértice (2, 5) e diretriz x = - 8. 
 
8 Descubra as coordenadas do vértice, a distância focal, as coordenadas do 
foco e a equação reduzida da parábola da equação y² + 4x + 2y + 9 = 0.
AUTOATIVIDADE
161
TÓPICO 2
ELIPSE
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
Nesse tópico, você conhecerá outra importante curva cônica, a elipse. Assim 
como a parábola, a elipse pode estar representada no sistema cartesiano ortogonal 
com centro na origem ou não, para isso será necessário conhecer a definição da 
elipse, as regularidades das suas equações e representações geométricas.
A elipse possui uma importante aplicação na Astronomia, pois os planetas 
descrevem movimentos elípticos em órbita do sol, estando localizados nos focos 
da elipse. Essa teoria foi descoberta e comprovada por Johannes Kepler (1571 – 
1630), grande astrônomo alemão. No tópico 4, veremos um pouco mais sobre a 
história e aplicação da elipse.
2 A ELIPSE
É o lugar geométrico de um plano onde a soma da distância de sua 
extremidade a dois pontos fixos, chamados de focos, F1 e F2, resulta em uma 
constante 2a, onde 2a > 2c, como você pode observar na Figura 125. 
Elementos da elipse:
• F1 e F2 → são os focos
• C → Centro da elipse
• 2c → distância focal
• 2a → medida do eixo maior
• 2b → medida do eixo menor
• c/a → excentricidade
• Há uma relação entre os valores a, b e c→ a² = b² + c²
162
UNIDADE 3 | O ESTUDO DAS CÔNICAS
FIGURA 125 – ELEMENTOS DA ELIPSE
FONTE: Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/elipse.htm>. 
Acesso em: 7 fev. 2014.
Chamamos de excentricidade (a razão entre a distância do foco da elipse a 
origem pela medida do eixo maior) o número real e, tal que: e = c/a. Pela definição 
de elipse, 2c < 2a, então c < a e, consequentemente, 0 < e < 1. Quando os focos 
são muito próximos, ou seja, c é muito pequeno, a elipse se aproxima de uma 
circunferência.
Vamos voltar à Figura 125 e observar uma relação importante no estudo da 
elipse, pelo teorema de Pitágoras, no triângulo B2CF2, temos: a² = b² + c².
Observe que a, b e c representam, respectivamente, as medidas da metade do 
eixo maior, metade do eixo menos e metade da distância focal.
IMPORTANTE
Quando a elipse tem o centro na origem do sistema cartesiano ortogonal, 
podemos observar algumas características apresentadas no Quadro 3:
TÓPICO 2 | ELIPSE
163
QUADRO 3 – CARACTERÍSTICAS DA ELIPSE COM CENTRO NA ORIGEM
FONTE: Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm26/elipse.htm>. Acesso em: 7 
fev. 2014.
3 EQUAÇÕES DA ELIPSE
A equação da elipse está relacionada à sua representação geométrica no 
sistema cartesiano ortogonal, quando o centro está ou não na origem e os focos 
estão sobre o eixo da abscissa (eixo x) ou quando estão sobre o eixo da ordenada 
(eixo y), veremos a seguir a denotação dessas equações.
164
UNIDADE 3 | O ESTUDO DAS CÔNICAS
• Elipse com centro na origem, eixo maior horizontal e focos sobre o eixo x.
A equação da elipse pode ser encontrada, explorando a propriedade de 
simetria dos diversos pontos, os quais mantêm a soma das duas distâncias para 
os focos sempre será igual para todos os pontos da curva. Sejam P(x,y) um ponto 
qualquer: F1(- c, 0) e F2(c, 0), os focos da elipse, conforme observamos no Quadro 
3, temos dois lados simétricos onde a distância ao foco de cada lado é c, a altura 
é b, e uma distância entre o foco e oponto b que é a, o que nos leva a dizer que 
=2a, é 2a é uma constante, temos: 
=2a
Sendo a elipse centrada nos eixos, temos os pontos: F1(- c, 0) e F2(c, 0) e 
P(x,y).
O que nos leva a:
elevando os dois termos da equação ao quadrado:
juntando os termos semelhantes:
, dividindo tudo por 4:
, elevando os dois termos da equação ao
quadrado:
, aplicando a propriedade
distributiva:
, colocando os termos em
evidência:
, como:
B1
F2
b a
cC
TÓPICO 4 | APLICAÇÕES DA GEOMETRIA ANALÍTICA
165
Temos a² = b² + c², b² = a² - c², substituindo temos:
(a² - c²)x² + a²y² = a² (a² – c²)
b²x² + a²y² = a²b²
Logo: b²x²+a²y²= a²b², portanto, vamos dividir por a²b²:
b²x²
a²b²
+
 a²y²
a²b²
 = 1, efetuando as simplificações:
 
1
²
²
²
²
=+
b
y
a
x
 → Equação reduzida da Elipse com C(0, 0) e eixo maior sobre o eixo x.
A medida do eixo maior ‘a’ está dividindo x² o que indica que a elipse tem 
o foco no eixo x.
Exemplo 1: Determine a equação reduzida da elipse com focos sobre o eixo 
x, com eixo maior medindo 6 e eixo menor 4 e faça a representação geométrica.
Solução: temos que 2a = 6 → a =3 e 2b = 4 → b = 2
A equação reduzida da elipse (fórmula genérica) será: 
 
1
²
²
²
²
=+
b
y
a
x
 
1
²2
²
²3
²
=+
yx
 
1
4
²
9
²
=+
yx
Representação geométrica
FIGURA 126 – EXEMPLO 1 DA ELIPSE COM FOCOS SOBRE O EIXO X
FONTE: Os autores
166
UNIDADE 3 | O ESTUDO DAS CÔNICAS
Exemplo 2: Determine as coordenadas dos focos da elipse de equação 9x² + 
25y² = 225 e demonstre geometricamente.
Solução: Vamos dividir ambos os membros da equação por 225, para que 
tenhamos a equação igual 1, como na fórmula da equação da elipse (fórmula 
genérica) 1
²
²
²
²
=+
b
y
a
x teremos:
9x ² + 25y ² = 225
 
225
225
225
²25
225
²9
=+
yx
 
1
9
²
25
²
=+
yx
Sendo assim, temos que a² = 25 e b² = 9, portanto a = 5 e b = 3, e utilizando o 
teorema de Pitágoras encontramos o valor de c.
a² = b² + c²
5² = 3² + c²
25 – 9 = c²
16 = c²
c = 4
Portanto, as coordenadas dos focos são: F1(4,0) e F2(-4,0).
Representação geométrica
FIGURA 127 – EXEMPLO 2 DA ELIPSE COM FOCOS SOBRE O EIXO X
FONTE: Os autores
TÓPICO 2 | ELIPSE
167
Exemplo 3: Determine a excentricidade da elipse de equação 16x ² + 25y 
² – 400 = 0 e fazer a representação geométrica da elipse.
Solução: Vamos primeiramente colocar a equação da elipse na sua forma 
reduzida.
16x ² + 25y ² – 400 = 0
16x ² + 25y ² = 400 (comparando com a fórmula genérica, vamos dividir 
tudo por 400)
 
400
400
400
²25
400
²16
=+
yx
 
1
16
²
25
²
=+
yx
Portanto, a² = 25 e b² = 16, logo a = 5 e b = 4, substituindo em a² = b² + c²:
5² = 4² + c²
 25 = 16 + c²
25 – 16 = c²
9 = c²
c =3
Como a excentricidade é: e = c/a 
 e= 3/5 = 0,60
Representação geométrica
FIGURA 128 – EXEMPLO 3 DA ELIPSE COM FOCOS SOBRE O EIXO X
FONTE: Os autores
168
UNIDADE 3 | O ESTUDO DAS CÔNICAS
• Elipse com centro na origem, eixo maior vertical e com focos sobre o eixo y
Agora as coordenadas dos focos da elipse assumem valor somente para 
ordenada, F1(0, -c) e F2(0, c). Assim, a equação reduzida da elipse com centro na 
origem do sistema cartesiano ortogonal e com focos sobre o eixo y será:
 
1
²
²
²
²
=+
b
x
a
y
FIGURA 129 – ELIPSE COM FOCOS SOBRE O EIXO Y
FONTE: Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/
elipse.htm>. Acesso em: 7 fev. 2014.
-b b
-a
-c
c
a
x
y
A medida do eixo maior ‘a’ nesse caso está dividindo y², o que indica que 
a elipse tem o foco no eixo y.
Exemplo 1: Determine a equação reduzida da elipse sabendo que um dos 
focos é F1(0, 2) e que o eixo menor mede 4 e faça a verificação com a representação 
geométrica.
Solução: temos as coordenadas do foco F1(0, -2), com isso encontramos o 
valor de c, ou seja, c = 2 e o foco está sobre o eixo y.
A outra informação é referente ao eixo menor da elipse, portanto 2b = 4, b 
= 2.
Usando a relação do teorema de Pitágoras, pois como coce pode observar 
na figura 130, temos um triângulo podemos determinar o valor do eixo maior (a):
a² = b²+c²
a² = 2² + 2²
a² = 8, a = =8 = 2, 83
Assim, a equação reduzida da elipse será:
TÓPICO 2 | ELIPSE
169
Assim, a equação reduzida da elipse será:
 
1
²
²
²
²
=+
b
x
a
y
 
1
²2
²
²8
²
=+
xy
 
1
4
²
8
²
=+
xy
Representação geométrica
FIGURA 130 – EXEMPLO 1 DA ELIPSE COM FOCOS SOBRE O EIXO Y
FONTE: Os autores
Exemplo 2: Encontre a equação da elipse representada na figura.
170
UNIDADE 3 | O ESTUDO DAS CÔNICAS
FIGURA 131 – ELIPSE
FONTE: Os autores
12
5
y
x
Solução: Temos na figura a medida do eixo menor, b = 5 e a medida da 
distância focal, c = 12, substituindo no Teorema de Pitágoras podemos determinar 
a medida de a.
a² = b² + c²
a² = 5² + 12²
a² = 25 + 144
a² = 169
a = 13
Agora, substituindo na fórmula da equação da elipse encontramos a 
equação dessa elipse da figura: 
 
1
²
²
²
²
=+
b
x
a
y
 
1
²5
²
²13
²
=+
xy
 
1
25
²
169
²
=+
xy
• Elipse com centro fora da origem e eixo maior paralelo ao eixo x
As elipse também podem sofrer uma translação do seu centro no sistema 
cartesiano ortogonal como as parábolas, e sua equação de centro em (h, k) e eixo 
maior paralelo ao eixo x será: 
1
²
)²(
²
)²(
=
−
+
−
b
ky
a
hx
TÓPICO 2 | ELIPSE
171
FIGURA 132 – ELIPSE CENTRO FORA DA ORIGEM E EIXO MAIOR PARALELO 
AO EIXO X
FONTE: Os autores
Como a elipse sofreu uma translação do centro, teremos o centro 
coordenadas C (h,k), os focos da elipse serão: (±c,0)+(h,k).
Exemplo 1: Determine o centro, o eixo maior, o eixo menor, a distância 
focal, as coordenadas dos focos e a excentricidade da elipse 
 
1
9
)2(
16
)1( 22
=
+
+
+ yx
confirme os resultados com a representação geométrica.
Solução: Vamos retirar as informações que temos na equação 
1
9
)2(
16
)1( 22
=
+
+
+ yx , com parando-a com a fórmula 1
²
)²(
²
)²(
=
−
+
−
b
ky
a
hx
• Centro C(h, K) = C (-1, -2);
• a² = 16, a = 4, o eixo maior é 2a, portanto o eixo maior mede 8;
• b² = 9, b = 3, o eixo menor é 2b, logo o eixo menor mede 6;
• A distância focal é 2c, vamos usar o teorema de Pitágoras para determinar c:
a² = b² + c²
4² = 3² + c²
16 – 9 = c²
7 = c²
c = 7 , portanto, a distância focal é 2
 7 .
• Como a elipse tem o eixo maior paralelo ao eixo as coordenadas dos focos (±c, 
0)+(h, k)
F1(-
 7 +(-1), 0 + (-2)) e F2(
 7 + (-1),0+ (-2))
F1(-3,64, -2) e F2(1,64,-2)
A excentricidade da elipse é; e = c/a, e = 7 /4 = 0,66.
172
UNIDADE 3 | O ESTUDO DAS CÔNICAS
Representação geométrica:
FIGURA 133– ELIPSE CENTRO FORA DA ORIGEM E EIXO MAIOR PARALELO AO EIXO X
FONTE: Os autores
• Elipse com centro fora da origem e eixo maior paralelo ao eixo y
A Equação da elipse de centro em (h, k) e eixo maior paralelo ao eixo y é:
 
1
²
)²(
²
)²(´
=
−
+
−
a
ky
b
hx
FIGURA 134 – ELIPSE COM CENTRO FORA DA ORIGEM E EIXO MAIOR 
PARALELO AO EIXO Y
FONTE: Os autores
y
k
C= (h,k)
h
x
A
A
C
1
1
2
2
F
F
TÓPICO 2 | ELIPSE
173
Como a elipse sofreu uma translação do centro, teremos o centro 
coordenadas C (h,k), os focos da elipse serão: (0, ±c)+(h,k).
Exemplo 1: Determine a equação da elipse que possui as seguintes 
características, e faça a representação geométrica:
I) eixo maior paralelo ao eixo y;
II) C = (4, -2);
III) e = ½ ;
IV) eixo menor igual a 6.
Solução: Vamos iniciar com a IV característica, que o eixo menor é igual a 
6, logo 2b =6, b =3.
 Com a III características, podemos encontrar o valor de a e c, pois refere-se 
a excentricidade da elipse, e = ½ , como e = c/a, temos:
e = c/a
½ = c/a
a = 2c
Usando o Teorema de Pitágoras, podemos determinar o valor a e c:
a² = b² + c²
(2c)² = 3² + c²
4c² = 9 + c²
4c² - c² = 9
3c² = 9
c²= 9/3
c² = 3
c = 3 , como a = 2c, a = 2 3
Com a I característica verificamos que a elipse tem o eixo maior paralelo 
ao eixo y, portanto a fórmula da equação da elipse é: 
1
²
)²(
²
)²(
=
−
+
−
a
ky
b
hx
substituindo o valores do centro (característica II) 
e de a e b, temos:
1
²
)²(
²
)²(
=
−
+
−
a
ky
b
hx
 
1
²)32(
))²2((
²3
)²4(
=
−−
+
− yx
1
12
)²2(9
)²4(
=
+
+
− yx
Se desenvolvermos os quadrados, vamos encontrar a equação geral da 
elipse
174
UNIDADE 3 | O ESTUDO DAS CÔNICAS
03
312
²
9
8
9
²
01
3
1
312
²
9
16
9
8
9
²
01)44²(
12
1)168²(
9
1
=+++−
=−++++−
=−++++−
yyxx
yyxx
yyxx
, resolvendo os termos semelhantes:
, resolvendo o mínio múltiplo comum,
4x² -32x +3y² + 12y + 108 = 0, essa é a equação geral da elipse.
Representação geométrica
FIGURA 135 – EXEMPLO DE ELIPSE COM CENTRO FORA DA ORIGEM E EIXO MAIOR PARALELO 
AO EIXO Y
FONTE: Os autores
175
Nesse tópico, você conheceu as equações da elipse de acordo com sua 
representação no sistema cartesiano ortogonal. 
• Elementos da elipse:
• F1 e F2 → são os focos
• C → Centro da elipse
• 2c → distância focal
• 2a → medida do eixo maior
• 2b → medida do eixo menor
• c/a → excentricidade
• Há uma relação entre os valores a, b e c→ a² = b² + c²
• A equação da elipse de eixo maior horizontal e focos sobre o eixo x é 
1
²
²
²
²
=+
b
y
a
x
,com focos: F1(- c, 0) e F2(c , 0).
• A equação da elipse com eixo maior vertical e com focos sobre o eixo y é: 
1
²
²
²
²
=+
b
x
a
y , com focos: F1(0, -c) e F2(0 , c).
• A equação da elipse de centro em (h, k) e eixo maior paralelo ao eixo y é: 
 
1
²
)²(
²
)²(
=
−
+
−
a
ky
b
hx .
• A equação da elipse de centro em (h, k) e eixo maior paralelo ao eixo x é: 
 
1
²
)²(
²
)²(
=
−
+
−
b
ky
a
hx
.
• Características da elipse com centro fora da origem:
RESUMO DO TÓPICO 2
176
QUADRO 4 – ELIPSE COM CENTRO FORA DA ORIGEM
FONTE: Disponível em: <HTTP://WWW.EDUC.FC.UL.PT/ICM/ICM99/ICM26/ELIPSE.HTM>. Acesso 
em: 7 mar. 2014.
177
AUTOATIVIDADE
Agora chegou a sua vez de colocar em prática o que foi estudo no 
Tópico 2, lembre-se das orientações referentes à equação da elipse no sistema 
cartesiano ortogonal.
1 Determine a distância focal da elipse 9x ² +25y ² – 225 = 0.
2 Calcular a distância focal e a excentricidade da elipse 25x ² + 169y ² = 4225. 
3 Os vértices de uma elipse são os pontos (4, 0) e (-4, 0) e seus focos são os 
pontos (3, 0) e (-3, 0), determine a equação dessa elipse.
4 Determine o centro, o eixo maior, o eixo menor, a distância focal, as 
coordenadas dos focos e a excentricidade das elipses.
a) 
 
1
925
22
=+
yx
b) 
c) 
5 A equação 9x² + 4y² - 18x – 16y – 11 = 0 é de uma elipse. Os semieixos maior 
e menor medem:
a) 4 e 3 b) 4 e 2 c) 4 e 1 d) 3 e 2 e) 3 e 1
6 Na figura, tem-se a elipse de equação 
1
312
22
=+
yx inscrita no retângulo 
ABCD. O perímetro do retângulo é:
178
a) 24 b) 18 c) 312 d) 36 e) 33
7 Determine a equação reduzida da elipse de cada equação a seguir:
a) 3x² + 4y² - 8y – 8 = 0
b) x² + 4y² - 6x – 8y – 3 = 0
c) x² + 4y² + 2x – 12y + 6 = 0
179
TÓPICO 3
HIPÉRBOLE
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
Aplicações das hipérboles não são tão fáceis de serem encontradas no 
nosso cotidiano, assim com a parábola. No entanto, alguns cometas podem ter 
órbitas hiperbólicas em vez de elípticas. 
Os cometas em órbita elípticas em torno da Terra podem ser vistos várias 
vezes, pois sempre retornam a um ponto da órbita, como o cometa Halley, só que 
os cometas em órbitas hiperbólicas aparece uma única vez e jamais retornam.
FIGURA 136 – COMETAS EM ÓRBITAS HIPERBÓLICAS
FONTE: Disponível em: <https://www.google.com.br/
search?q=os+cometas+em+órbita+elípticas+em+torno+da+terra>. Acesso em: 7 fev. 
2014.
UNIDADE 3 | O ESTUDO DAS CÔNICAS
180
Nesse tópico vamos conhecer a definição da hipérbole, seus elementos, 
suas equações e sua representação geométrica.
2 A HIPÉRBOLE
É o conjunto dos pontos tais que o módulo das distâncias (2a) a dois pontos 
fixos (F1 e F2) seja menor que a distância (2c) entre os pontos (0 < 2a < 2c). A esses 
pontos fixos chamamos de focos e a constante (2c) é o comprimento do eixo real 
(transverso), o eixo que contém os focos.
FIGURA 137 – HIPERBOLE
FONTE: Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/
hiperbole.htm>. Acesso em: 7 fev. 2014.
A excentricidade da hipérbole é determinada da mesma forma da 
excentricidade da elipse, o quociente entre a semidistância focal (c) e o semieixo 
transverso (a). Ou seja, a razão entre a distância c do centro de simetria da cônica 
ao foco, e a distância a do centro ao vértice Este quociente é sempre superior a 1 
dado que 0< a< c. 
A excentricidade não se altera com a translação do centro da hipérbole.
IMPORTANTE
TÓPICO 3 | HIPÉRBOLE
181
Elementos da hipérbole
• Focos: F1 e F2 → são os focos da hipérbole
• Centro: O → é o centro da hipérbole
• Distância Focal: 2c 
• Eixo real: 2a → medida do eixo real ou transverso
• Eixo imaginário: 2b → medida do eixo imaginário ou conjugado
• Excentricidade: c/a 
Existe uma relação entre a, b e c → c² = a² + b²
IMPORTANTE
FIGURA 138 – ELEMENTOS DA HIPÉRBOLE 
FONTE: Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/
hiperbole.htm>. Acesso em: 7 fev. 2014.
2.1 MEDIDA DO EIXO REAL
O eixo real é a reta que passa pelos focos e intercepta a hipérbole nos pontos 
A1 e A2, o segmento de reta A1A2 denotamos como eixo real ou eixo transverso da 
hipérbole, a distância de A1 a A2, (A1A2 = 2a), logo o semieixo real que é a distância 
de A1 ao centro (O), ou a distância de A2 ao centro (O) é igual a “a”, conforme 
verificamos na Figura 139.
UNIDADE 3 | O ESTUDO DAS CÔNICAS
182
FIGURA 139 – MEDIDA DO EIXO REAL
FONTE: Os autores
2.2 MEDIDA DO EIXO IMAGINÁRIO
O eixo imaginário ou conjugado é o segmento de reta real B1B2, cuja a 
medida é 2b, e o semieixo imaginário é b. 
FIGURA 140 – MEDIDA DO EIXO IMAGINÁRIO
FONTE: Os autores
3 EQUAÇÕES DA HIPÉRBOLE
A hipérbole pode ter os focos sobre o eixo x ou sobre o eixo y, e sua equação 
varia em cada um dos casos, vamos verificar a equação para cada representação 
geométrica. 
TÓPICO 3 | HIPÉRBOLE
183
• Hipérbole com focos sobre o eixo x
A hipérbole com centro na origem do sistema cartesiano ortogonal e focos 
sobre o eixo x, as coordenadas dos focos serão: F1(-c, 0) e F2(c, 0), como na figura 
140, definimos como hipérbole o conjunto dos pontos do plano, tais que o módulo 
da diferença das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a, portanto 
sua equação reduzida será:
Sendo a elipse centrada nos eixos, temos os pontos: F1(- c, 0) e F2(c, 0) e 
P(x,y).
O que nos leva a:
 elevando os dois 
termos da equação ao quadrado:
, dividindo tudo por 4:
, elevando os dois termos da equação ao
quadrado:
, aplicando a propriedade
distributiva:
, colocando os termos
em evidência:
como:
Como c²= a²+ b², então b² = c²- a², substituindo temos:
Dividindo por - a2b2 , obtemos:
 
1
²
²
²
²
=−
b
y
a
x
UNIDADE 3 | O ESTUDO DAS CÔNICAS
184
QUADRO 5 – CARACTERÍSTICAS DA HIPÉRBOLE COM FOCOS SOBRE O EIXO X
Equação reduzida 1
²
²
²
²
=−
b
y
a
x
Focos (-c, 0); (c, 0)
Vértices (-a, 0); (a, 0)
Eixo real 2a
Eixo imaginário 2b
Diretrizes
Excentricidade
Assíntotas
 
FONTE: Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm26/hiperbole.htm>. Acesso 
em: 7 mar. 2014.
FONTE: Os autores
Exemplo: Determine a equação reduzida da hipérbole com eixo real 8, 
focos F1(-5 , 0) e F2(5, 0), e faça a confirmação com a representação geométrica.
Solução: Temos a medida do eixo real e podemos determinar a medida de 
a, logo 2a = 8, a = 4.
Com as coordenadas dos focos podemos encontrar o valor de c, F1 (-c, 0) 
= F1(-5 , 0), c= 5. Usando a relação determinamos o valor de b para estabelecer a 
equação:
c² = a² + b²
5² = 4² + b²
TÓPICO 3 | HIPÉRBOLE
185
25 = 16 + b²
25 – 16 = b²
b² = 9, b = 3
Assim a equação reduzida será: 
 
1
²
²
²
²
=−
b
y
a
x
 
1
²3
²
²4
²
=−
yx
 
1
9
²
16
²
=−
yx
FIGURA 141 – EXEMPLO DE HIPÉRBOLE COM FOCOS SOBRE O EIXO X
FONTE: Os autores
• Hipérbole com focos sobre o eixo y
O eixo real da hipérbole coincide com o eixo y, os focos estão sobre o eixo 
y e terão coordenadas F1(0, -c) e F2(0, c), quando a hipérbole estiver com centro na 
origem do sistema cartesiano ortogonal, sua equaçãoreduzida será:
 
1
²
²
²
²
=−
a
x
b
y
UNIDADE 3 | O ESTUDO DAS CÔNICAS
186
FIGURA 142 – HIPÉRBOLE COM FOCOS SOBRE O EIXO Y
FONTE: Disponível em: <http://www.brasilescola.com/
matematica/hiperbole.htm>. Acesso em: 7 mar. 2014.
QUADRO 6 – CARACTERÍSTICAS DA HIPÉRBOLE COM FOCOS SOBRE O EIXO Y
FONTE: Os autores 
Equação reduzida
Focos (0, -c); (0, c)
Vértices (0, -b); (0, b)
Eixo real 2b
Eixo imaginário 2ª
Diretrizes
Excentricidade
Assíntotas
FONTE: Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm26/hiperbole.htm>. Acesso 
em: 7 mar. 2014.
TÓPICO 3 | HIPÉRBOLE
187
Exemplo: Encontre a equação reduzida da hipérbole que possui focos com 
coordenadas: F1(0, -10) F2(0, 10) e eixo imaginário medindo 10, comprove com a 
representação geométrica.
Solução: Temos que o valor de c, F1 (0, -c) = F1 (0, -10), c = 10 e o valor do 
eixo imaginário, 2a=10, a=5.
Utilizando a relação determinamos o valor de b, e encontramos a equação:
c² = a² + b²
10² = 5² + b²
100 = 25 + b2
100 - 25 = b²
b² = 75, b = 75
Assim, a equação reduzida da hipérbole será dada por:
 
1
²
²
²
²
=−
a
x
b
y
 
1
)²75(
²
²5
²
=−
xy
 
1
75
²
25
²
=−
xy
Representação geométrica
FIGURA 143 – EXEMPLO DE HIPÉRBOLE COM FOCOS SOBRE O EIXO Y
FONTE: Os autores
a b
UNIDADE 3 | O ESTUDO DAS CÔNICAS
188
• Equação da hipérbole de centro em (h, K) e eixo real paralelo ao eixo x
 Para cada situação abordada anteriormente, a hipérbole pode sofrer uma 
translação, e seu centro C(h, K) não está mais na origem do sistema cartesiano 
ortogonal, então sua equação será:
1
²
)²(
²
)²(
=
−
−
−
b
ky
a
hx
Quando os focos da hipérbole estiverem numa paralela ao eixo x, as coordenadas 
serão (±c,0)+ (h, K), e as dos vértices (±a,0)+ (h, K).
IMPORTANTE
FIGURA 144 – EQUAÇÃO DA HIPÉRBOLE DE CENTRO EM (H, K) E EIXO REAL 
PARALELO AO EIXO X
FONTE: Os autores
Exemplo: Determine os vértices, os focos e a excentricidade da hipérbole 
4x² - 8x – 9y² - 36y = 68, e faça a representação geométrica.
Solução: Vamos reescrever a equação dada para obter a sua equação na 
forma reduzida:
 4x² - 8x – 9y² - 36y= 68, isolando os polinômios em x e y:
 (4x² - 8x) – (9y² + 36y) = 68, colocando 4 e 9 em evidência:
4(x² - 2x) – 9(y² + 4y) = 68, completando os quadrados dos polinômios:
68 = 4(x² - 2x + 1 - 1) – 9(y² + 4y + 4 - 4) = 68, reescrevendo:
 4(x² - 2x+ 1) - 4 – 9(y² + 4y+ 4) + 36= 68, escrevendo os quadrados:
 4(x - 1)² – 9(y + 2)² + 32= 68, resolvendo:
4(x - 1)² – 9(y + 2)² =68-32,
TÓPICO 3 | HIPÉRBOLE
189
4(x - 1)² – 9(y + 2)² = 36,
4(x - 1)² – 9(y + 2)² = 36, dividindo tudo por 36
 
36
36
36
 2)² 9(y 
36
 1)² -4(x 
=
+
−
1
4
 2)² (y 
9
 1)² -(x 
=
+
−
A partir da equação da hipérbole podemos determinar as coordenadas do 
centro, h e k.
C( ), kh = C(1, -2), a ² = 9, a = 3 e b ² = 4, b = 2.
Conhecendo o valor de a podemos determinar os vértices: (±a, 0)+ ( ), kh : 
A1 (4, -2) e A2 (-2, -2)
 Conhecendo a e b, podemos encontrar o valor de c:
c² = a² + b²
c² = 3² + 2²
c² = 9 + 4
c² = 13, c = 13 = 3,61
Conhecendo c podemos determinar os focos: (±c, 0)+ (h,k) 
F1 = (-3,61 +1, -2) e F2 =(+3,61 +1, -2)
F1 = (-2,61, -2) e F2 =(4,61, -2)
Para determinar a excentricidade basta dividir c por a:
e = 
3
61,3
=
a
c = 1,20
Representação geométrica
FIGURA 145 – EXEMPLO DA EQUAÇÃO DA HIPÉRBOLE DE CENTRO EM (H,K) E EIXO 
REAL PARALELO AO EIXO X
FONTE: Os autores
UNIDADE 3 | O ESTUDO DAS CÔNICAS
190
• Equação da hipérbole de centro em (h,k) e eixo real paralelo ao eixo y
 Mas se os focos estiverem sobre uma paralela ao eixo y, as coordenadas do 
foco serão (0,±c)+ (h, k) e as dos vértices (0,±b)+ (h, K), e a equação da hipérbole:
1
²
)²(
²
)²(
=
−
−
−
b
hx
a
ky
FIGURA 146 – EQUAÇÃO DA HIPÉRBOLE DE CENTRO EM (H,K) E 
EIXO REAL PARALELO AO EIXO Y
FONTE: Os autores
y
F1 (h, k+ c)
V2 (h, k-a)
V1 (h, k+a)
F2 (h, k - c)
x
(h, k) 0
Exemplo: Determine o centro, as medidas do eixo real e do eixo imaginário, 
a excentricidade e os focos das hipérboles de equação , faça a 
representação geométrica.
Solução: Comparando a equação com a fórmula 
, vamos determinar o centro e a medida de a e b:
C (h, K) = C(0, 5)
Temos a ² = 1, a = 1 e b ² = 3, b = 3 = 1,73.
Portanto, a medida do eixo real será 2.a = 2. 1 = 2, e do eixo imaginário 2.b 
= 2 3 =3,46.
Para determinar a excentricidade, precisamos encontrar o valor de c, e 
vamos utilizar a relação fundamental: c ² = a ² + b ²:
c ² = 1² + ( 3 )²
c ² = 1 + 3 = 4
c = 2
Assim, e = c/a, e = 2/1 = 2, como você pode observar na figura 25 a 
excentricidade é a distância entre os vértices da hipérbole.
TÓPICO 3 | HIPÉRBOLE
191
Conhecendo o valor de c e as coordenadas do centro, podemos determinar 
os focos da hipérbole: (0,±c)+ (h,k) 
F1 = (0, 2) + (0, 5) e F2 = (0, -2) + (0, 5)
F1 (0, 7) e F2 (0, 3)
Representação geométrica
FIGURA 147 – EXEMPLO DA HIPÉRBOLE DE CENTRO EM (H,K)E EIXO REAL PARALELO 
AO EIXO Y
FONTE: Os autores
192
Nesse tópico, você conheceu as equações da hipérbole de acordo com sua 
representação no sistema cartesiano ortogonal. 
• Características da hipérbole com centro na origem:
RESUMO DO TÓPICO 3
QUADRO 7 – CARACTERÍSTICAS DA HIPÉRBOLE COM CENTRO NA ORIGEM
FONTE: Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm26/hiperbole.htm>. 
Acesso em: 7 mar. 2014.
• Características da hipérbole de centro fora da origem: 
QUADRO 8 – CARACTERÍSTICAS DA HIPÉRBOLE DE CENTRO FORA DA ORIGEM
FONTE: Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm26/hiperbole.htm>. 
Acesso em: 7 mar. 2014.
193
AUTOATIVIDADE
Agora é com você, lembre-se das orientações referentes à equação da 
hipérbole com centro na origem do sistema cartesiano ortogonal ou em um 
ponto qualquer.
1 Determine o centro, as medidas do eixo real e do eixo imaginário, a 
excentricidade e os focos das hipérboles.
a) 
b) 
 
1
45
22
=−
yx
c) 
d) 
 
1
99
22
=−
yx
2 Escreva a equação reduzida da hipérbole, dados:
a) os vértices (± 2; 0) e os focos (-3; 0);
b) as retas assíntotas y = -x e um ponto da hipérbole (5; 9):
3 Determine o centro, as medidas do eixo real e do eixo imaginário, a 
excentricidade e a equação das hipérboles representadas a seguir:
194
FONTE DAS IMAGENS: Disponível em: <https://www.google.com.
br/#q=determine+o+centro%2c+as+medidas+do+eixo+real+e+do+eixo>. Acesso em: 7 
mar. 2014.
4 Determine o centro, os vértices, os focos, os eixos de simetria e represente 
geometricamente as hipérboles:
a) -5x² + 4y² + 30x + 16y = 9
b) -4x² + y² + 8x + 4y + 4 = 0
c) –x² + 9y² + 4x - 36y + 41 = 0
d) x² - 4y² + 6x + 24y - 31 = 0
5 A cônica representada pela equação 3x² - 4y² +8y – 16 = 0 é:
a) Parábola.
b) Hipérbole.
c) Elipse.
d) Circunferência.
6 Escreva a equação reduzida das curvas a seguir, identifique-as e represente-
as geometricamente.
a) 2y² + 5x + 8y - 7 = 0
b) x² + 4y² + 2x - 12y + 6 = 0.
c) x² - 20x + y + 100 = 0
d) x² - y² - 6x = 0
e) x² + 16y² - 6x - 7 = 0
195
TÓPICO 4
APLICAÇÕES DA GEOMETRIA ANALÍTICA
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
Para entender melhor a importância das cônicas para o ser humano, vamos 
iniciar conhecendo um pouco da história da Geometria Analítica em relação 
às cônicas, desde a sua descoberta, perpassando por todos matemáticos que 
contribuíram para que hoje possamos ter essas definições e aplicações.
Depois vamos conhecer as importantes áreas do conhecimento em que as 
cônicas estão presentes, a física, astronomia, química, engenharias, arquitetura e 
outras. Buscando sempre destacar a importância da aplicação das cônicas para as 
melhorias e benefícios da vida humana.
2 A HISTÓRIA DA GEOMETRIA ANALÍTICA
Escritos sobre as seções cônicas são conhecidos antes da época de 
Euclides (± 325-265 a.C.). Apolônio que nasceu na cidade de Perga, região da Panfília 
(atualmente Turquia) por volta de 262 a.C. e viveu, aproximadamente, até 190 a.C., 
foi contemporâneo e rival de Arquimedes que viveu, aproximadamente, entre 287 
e 212 a.C.
Apolônio e Euclides formaram a tríade que foi consideradacomo sendo 
a dos maiores matemáticos gregos da antiguidade. Apolônio estudou com os 
discípulos de Euclides em Alexandria e foi astrônomo notável, talvez ele, e não 
Euclides, mereceu dos antigos o adjetivo de "o grande Geômetra”.
A maioria das obras de Apolônio desapareceu, e o que hoje sabemos dessas 
obras perdidas devemos a Pappus de Alexandria (séc. IV a.C.). 
Sua obra prima é Seções Cônicas composta por 8 volumes 
(aproximadamente 400 proposições!). Da obra original sobreviveram 7 
volumes, sendo 4 escritos em grego e 3 traduzidos para o árabe por Thabit 
Ibn Qurra (826 a 901) no séc. IX. Os três primeiros volumes são baseados 
em trabalhos de Euclides e o oitavo volume foi, infelizmente, perdido. 
Em 1.710, Edmund Halley traduziu os sete volumes sobreviventes 
de Secções Cônicas para o latim e todas as demais traduções para as 
línguas modernas foram feitas a partir da tradução de Halley. (SATO, 
2013, p. 1).
196
UNIDADE 3 | O ESTUDO DAS CÔNICAS
Manaecmo, Aristeu e o próprio Euclides foram os precursores de Apolônio 
no estudo das cônicas, no período em que as cônicas eram obtidas seccionando um 
cone circular reto de uma folha com um plano perpendicular a uma geratriz do 
cone, obtendo três tipos distintos de curvas, conforme a seção meridiana do cone 
fosse um ângulo agudo, um ângulo reto ou um ângulo obtuso (SATO, 2013).
FIGURA 148 – ESTUDO DAS CÔNICAS
FONTE: Disponível em: <http://www.sato.prof.ufu.br/conicas/>. Acesso em: 30 ago. 2013.
O matemático que mais estudou e desenvolveu as seções cônicas na 
antiguidade foi Apolônio, conseguiu gerar todas as cônicas a partir de um único 
cone de duas folhas, variando a inclinação do plano de interseção. Foi quem 
classificou as cônicas com os nomes elipse e hipérbole, e estudou as retas tangentes 
e normais as cônicas.
A importância do estudo de Apolônio sobre as cônicas dificilmente pode 
ser questionada. Temos a inegável influência dele sobre os estudos de 
Ptolomeu. Este foi astrônomo e geógrafo e fez observações em Alexandria 
de 127-151 d.C. Suas obras mais famosas são o Almagesto (astronomia) 
e a Geografia (8 volumes). Ptolomeu introduziu o sistema de latitude 
e longitude tal como é usado hoje em cartografia e usou métodos de 
projeção e transformações estereográficas (SATO, 2013, p. 2). 
Esse sistema de latitude e longitude faz uso de um Teorema de Apolônio 
referente há todo cone oblíquo que tem duas famílias de seções circulares. Foram 
também as Cônicas de Apolônio que influenciaram nos estudos de Kepler, seu 
interesse surgiu devido às suas aplicações à óptica e à construção de espelhos 
parabólicos.
 Em 1.609, Kepler edita a Astronomia Nova, e é dele a palavra foco que 
provém da forma latinizada foccus cujo significado é fogo, lareira. 
Galileu (1.632) descobriu outra aplicação prática das cônicas que 
"desprezando a resistência do ar, a trajetória de um projétil é uma parábola" é dele 
também a denotação de componente horizontal e componente vertical de uma 
parábola. 
Elipse Parábola Hipérbole
TÓPICO 4 | APLICAÇÕES DA GEOMETRIA ANALÍTICA
197
Graças à matemática pura de Apolônio, que cerca de 1.800 anos mais 
tarde, surgiram “os “Principia" de Isaac Newton. A lei da gravitação de Newton 
matematizou as descobertas empíricas de Kepler e, a partir do século XVII, 
possibilitou o estudo analítico das cônicas e das suas aplicações aos movimentos 
no espaço, este, por sua vez, deu aos cientistas de hoje condições para que a viagem 
de ida e volta à Lua fosse possível”. (SATO, 2013, p. 2).
A descoberta das equações cartesianas da reta e da circunferência, e as 
equações mais simples da elipse, da parábola e da hipérbole foram de Pierre de 
Fermat (1601-1665). 
3 APLICAÇÕES DA GEOMETRIA ANALÍTICA
Faz algum tempo que o homem apresenta interesse pelo estudo das 
cônicas, afinal essas curvas desempenham um papel importante em várias áreas 
do conhecimento, como: na física, na astronomia, na economia, na engenharia e em 
muitas outras situações.
Vejamos então algumas situações onde estas curvas aparecem.
Suponhamos que temos uma lanterna direcionada para uma parede, 
então o feixe de luz emitido desenhará nessa parede uma curva cônica. 
Este fato acontece porque o feixe de luz emitido pela lanterna forma um 
cone, e também porque a parede funciona como um plano que corta o 
cone formado. Dependendo da inclinação da lanterna relativamente à 
parede, assim se obtém uma circunferência, uma elipse, uma parábola 
ou uma hipérbole. (MARQUES, 2013, p. 1).
Quando paramos para observar uma luminária (abajur), esses que 
colocamos sobre um móvel ao lado da cabeceira da cama, em sua maioria são 
abertos segundo uma circunferência, desenham na parede uma hipérbole e no teto 
uma elipse.
Outra aplicação interessante das cônicas é para saber a que distância os 
aviões a jato supersônico encontram-se da terra, pois o som emitido pelo avião a 
jato supersônico tem a forma de um cone, e o som ao chocar-se com a Terra, forma 
uma curva cônica. E dependendo da inclinação do avião em relação à Terra, é 
possível obter elipses, parábolas ou hipérboles. A audiometria usa este fato, entre 
outros, para saber a que distância da Terra o avião pode ultrapassar a velocidade 
do som (MARQUES, 2013). 
O conceito de lugar geométrico que define a hipérbole serve de base 
para o sistema LORAN (LOng RAnge Navigation) de localização em navegação 
(Navegação de Longa Distância), que permite ao navegante de um navio ou avião 
achar sua posição sem confiar em marcos visíveis.
 
198
UNIDADE 3 | O ESTUDO DAS CÔNICAS
Outra aplicação das cônicas que podemos observar facilmente é a superfície 
formada pela água dentro de um copo, que pode ser:
• circular apenas no caso em que o copo está apoiado em uma superfície horizontal;
• elíptica quando estiver apoiado em uma base inclinada;
• paraboloide, quando agitamos o copo com um movimento rotativo sobre si 
próprio, a superfície do líquido nele inserido será a de um paraboloide. 
Na astronomia, temos também a aplicação das cônicas, como podemos 
observar na Figura 149.
FIGURA 149 – APLICAÇÃO DAS CÔNICAS NA ASTRONOMIA
FONTE: Disponível em: <http://www.coladaweb.com/matematica/
conicas>. Acesso em: 30 ago. 2013.
O astrônomo e matemático alemão Johannes Kepler precisou de muita 
persistência e trabalho, e várias observações astronômicas, para concluir, em 1609, 
que: "cada planeta move-se em torno do Sol com uma trajetória que é uma elipse, 
da qual o Sol ocupa um dos focos" (1ª Lei de Kepler). 
Kepler mostrou que os planetas do sistema solar descrevem órbitas 
elípticas, as quais têm o sol num dos focos. Também os satélites artificiais 
enviados para o espaço percorrem trajetórias elípticas. Mas nem todos 
os objetos que circulam no espaço têm órbitas elípticas. Existem cometas 
que percorrem trajetórias hiperbólicas, os quais ao passarem perto de 
algum planeta com grande densidade, alteram a sua trajetória para 
outra hipérbole com um foco situado nesse planeta. Como a parábola 
é um caso de equilíbrio entre a elipse e a hipérbole (lembre-se que a 
excentricidade da parábola é igual a um), a probabilidade de existir 
algum satélite com órbita parabólica é quase nula. Mas isso não impede 
a existência de satélites com esta trajetória. (MARQUES, 2013, p. 2).
TÓPICO 4 | APLICAÇÕES DA GEOMETRIA ANALÍTICA
199
As trajetórias dos projéteis no ambiente sob a ação da força de gravidade, 
são parabólicas e no ambiente terrestre, onde existe a resistência do ar, essas 
trajetórias são elípticas, mais propriamente, arcos de elipses.
Na maioria das vezes as diferenças entre as trajetórias elípticas e as 
parabólicas são quase indiscerníveis, podemos facilmente perceber estes fatos 
prestando atenção no jato de água de uma mangueira, cuja abertura está inclinada 
para cima. A balística ciência que estuda a trajetória de projéteis faz uso deste fato 
para determinar o local da queda de um projétil.
No estudo dos átomos, um campo da Física e da Química, as órbitas doselétrons em torno do núcleo são elípticas. O hiperboloide de uma folha gerado 
pela rotação de uma hipérbole em torno do seu eixo real é também gerado por uma 
reta, e pode ser considerado como sendo formado por uma união de retas. Esse 
formato é usado na construção de centrais de energia atômica, em que barras de aço 
retilíneas que têm alta resistência, e cruzam-se para obter estruturas extremamente 
fortes.
Arquimedes usou da propriedade refletora da parábola, para construir 
espelhos parabólicos, os quais refletiam a luz solar para um único ponto, os barcos 
romanos das invasões de Siracusa e incendiavam, pois a concentração de energia 
gera calor.
As propriedades refletivas das parábolas e hipérboles foram utilizadas 
para construção de telescópios refletores, que utilizam-se de jogos de espelhos, 
para concentrar os raios luminosos vindos de longe para a posição do olho do 
observador. Os telescópios refletores vieram a corrigir o problema das aberrações 
cromáticas nos telescópios refratores, inventados por Galileu.
À propriedade refratora das cônicas tem contribuído para a construção 
de telescópios, antenas, radares, faróis, ópticas dos carros, lanternas, os óculos 
graduados, lupas, os microscópios e outros.
Os engenheiros civis construíram pontes de suspensão parabólica tendo 
como base a propriedade refletora, quando imaginamos os cabos que prendem o 
tabuleiro da ponte como raios de luz, facilmente verificamos que o cabo principal, 
aquele que passa pelos pilares da ponte, tem forma de uma parábola quando e o 
peso total é uniformemente distribuído segundo o eixo horizontal da ponte, que 
tem a forma de uma parábola.
200
UNIDADE 3 | O ESTUDO DAS CÔNICAS
FIGURA 150 – APLICAÇÃO DAS CÔNICAS NA ENGENHARIA
FONTE: Disponível em: <https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/40/
BSB_Ponte_JK_08_2005_58_8x6.JPG>. Acesso em: 30 ago. 2013.
As superfícies geradas por cônicas têm propriedades refletoras e são 
utilizadas para criar condições de acústicas em auditórios, teatros, catedrais, como 
acontece na Catedral de S. Paulo (Londres).
Devido às suas propriedades físicas e estéticas, os arcos de cônicas são 
utilizados com frequência na Engenharia e na Arquitetura, em pontes, pórticos, 
cúpulas, torres e arcos. 
Na Tecnologia atual as cônicas também têm aplicações, quando ligamos 
a televisão vimos "ao vivo" provenientes dos mais remotos sítios do mundo, hoje 
isto é natural, mas até 25 anos atrás era impossível.
Somente depois dos americanos terem lançado e colocado em órbita o 
satélite de comunicações, chamado Telstar, as imagens de televisão transatlânticas 
tornaram-se possíveis. Depois deste primeiro satélite muitos outros se seguiram, 
permitindo que os técnicos de comunicação emitissem ou recebessem sinais de 
televisão ou rádio.
Leia mais em: Cônicas e Aplicações, disponível em: <http://www.mat.ufmg.
br/~espec/monografiasPdf/monografia_eric.pdf>.
UNI
TÓPICO 4 | APLICAÇÕES DA GEOMETRIA ANALÍTICA
201
LEITURA COMPLEMENTAR
O NOSSO SISTEMA SOLAR
O nosso sistema solar tem 9 planetas identificados pelas observações 
astronômicas clássicas como corpos luminosos que apresentam movimento em 
relação às estrelas fixas e que se deslocam ‘em bloco’ no firmamento em função dos 
movimentos de rotação e translação da Terra. Os diferentes planetas têm muitas 
características que os distinguem e cada um deles é um mundo exótico que merece 
ser observado em particular. A análise destas diferentes características permitirá 
também melhorar a nossa compreensão da história do sistema solar.
Os planetas do nosso sistema solar são representados a seguir através de 
imagens:
Mercúrio
Saturno
Vénus
Urano
Terra
Netuno
Marte
Plutão
Júpiter
• Os graus de liberdade dos planetas
A interação gravitacional é responsável pelo movimento dos corpos 
celestes. Segundo a lei de Newton da gravitação, a força gravitacional depende 
da massa dos corpos: quanto maior for a massa de um corpo, maior será a força 
de atração que exerce sobre outros corpos. No sistema solar, o Sol é de longe o 
corpo mais massivo e por esta razão produz o principal campo gravitacional. Por a 
sua influência ser tão predominante, a dinâmica de referência que observamos no 
sistema solar é o movimento de planetas, asteroides e cometas a orbitar em torno 
do Sol, o que corresponde ao problema de dois corpos em interação gravitacional. 
A solução deste problema, conseguida por Isaac Newton, resultou na 
dedução das leis de Kepler, que tinham sido obtidas empiricamente. Encontrou-se 
assim o mecanismo dominante da dinâmica do sistema solar, que há milhares de 
anos é visto como um relógio nos astros. Nesta abordagem idealizada do sistema 
solar, despreza-se a interação gravitacional entre os vários planetas e considera-se 
que cada planeta só interage com o Sol. No entanto a história não acaba aqui, como 
veremos. A interação entre muitos corpos, mesmo sendo fraca, dá origem a uma 
dinâmica complexa onde, não raramente, encontramos o caos.
202
UNIDADE 3 | O ESTUDO DAS CÔNICAS
A elipse, uma espécie de círculo alongado, é uma das secções cônicas e é a 
solução de órbita fechada do problema de 2 corpos. Uma medida importante é a 
sua excentricidade e que varia entre 0 e 1, cf. figura seguinte. Quando e = 0 a elipse 
reduz-se a um círculo. Quando e = 1 a elipse é tão alongada que degenera numa 
linha reta.
• A excentricidade de uma elipse.
Com exceção de Plutão e Mercúrio: os planetas com órbitas de maior 
excentricidade, a maior parte dos planetas tem excentricidades muito baixas, sendo 
as suas órbitas quase circulares. É por esta razão que muitas vezes pensamos no 
Sol como estando no centro da órbita, embora na verdade esteja num dos focos.
Em consequência da formação do sistema solar, todos os planetas, com 
exceção de Plutão, orbitam aproximadamente no mesmo plano. As observações 
baseadas na Terra definem um referencial privilegiado, em que um dos planos 
coordenados é o plano da eclíptica: o plano da órbita da Terra em volta do Sol.
TÓPICO 4 | APLICAÇÕES DA GEOMETRIA ANALÍTICA
203
• Rotação e precessão
Tal como um pião, um planeta exibe um movimento de precessão do seu 
eixo em torno de uma linha perpendicular ao plano definido pelo seu movimento 
de translação. Desta maneira o ângulo que o eixo de rotação faz com este plano 
não muda.
Além de um movimento de translação, os planetas rodam sobre si próprios 
com um período característico para cada planeta e cada época. Na Terra, é este 
movimento que é responsável pela duração do dia: – O tempo que demora a 
completar uma rotação completa. Este movimento dá-se em torno de um eixo 
imaginário, chamado eixo de rotação, que define os dois polos do planeta e passa 
pelo seu centro.
Uma das medidas importantes para caracterizar dinamicamente os planetas 
é precisamente o ângulo, chamado obliquidade, que o eixo de rotação faz com o 
plano da órbita à volta do Sol. Este eixo, no entanto, não está fixo uma vez que os 
planetas, tal como um pião, podem exibir ainda um movimento de precessão do 
eixo de rotação, cf. figura da direita, como pode ser visto no seguinte vídeo, cortesia 
de E. Manousakis.
204
UNIDADE 3 | O ESTUDO DAS CÔNICAS
No caso da Terra, este movimento quase imperceptível à escala de tempo 
da vida humana, é revelado pela 'variação' ao longo do tempo da estrela polar 
que o eixo de rotação da Terra 'toca'. Este movimento, chamado precessão dos 
equinócios, corresponde a uma precessão do eixo de rotação em torno de um eixo 
perpendicular ao plano da eclíptica com um período aproximado de 26 000 anos. 
Na figura seguinte podemos ver as obliquidades dos vários planetas.
Inclinação relativa de cada um dos planetas em relação ao plano das suas 
órbitas. Os casos mais curiosos são o de Vênus e Plutão, que rodam ao contrário, e 
o de Urano, que roda deitado.
No tópico caos rápido no sistema solar veremos que este ângulo também 
pode variar ao longo do tempo devido à influência gravitacional dos outros 
planetas, movimento esse que sechama mutação.
• Translação e as estações do ano
Uma das consequências do movimento de translação dos planetas é o ciclo 
das estações do ano. A Terra leva 365.256 dias a dar uma volta completa à volta do 
Sol, numa órbita de excentricidade bastante baixa e = 0.017, quase circular, o que 
significa que nunca varia muito a sua distância ao Sol. No entanto sabemos que 
com o passar do ano a Terra sofre alterações climáticas, conforme a zona do globo, 
que identificamos como as estações do ano.
Qual o mecanismo responsável pela mudança das estações?
As estações do ano ocorrem porque o eixo de rotação da Terra está inclinado 
relativamente ao plano da sua órbita. Esta inclinação, como a figura seguinte 
mostra, é constante ao longo do ano, pelo que a posição dos dois hemisférios 
relativamente ao Sol muda à medida que o ano passa.
TÓPICO 4 | APLICAÇÕES DA GEOMETRIA ANALÍTICA
205
Na posição 1 estamos a 21 Dezembro, no solstício de Inverno, e nesta data 
o hemisfério Norte tem o dia de menor exposição solar e o hemisfério Sul o seu 
dia mais longo. Como mostra a figura, nesta altura do ano, o hemisfério Sul, no 
seu Verão, recebe a luz do Sol mais diretamente do que o hemisfério Norte. Este 
por outro lado, no seu Inverno, recebe os raios solares com uma maior inclinação 
média relativamente à superfície da Terra.
À medida que avançamos no ano, passamos pela posição 2, o equinócio 
da Primavera, a 20 de Março. Nesse dia o dia e a noite têm exatamente a mesma 
duração.
Na posição 3, estamos a 21 de Junho, no solstício de Verão, e repare-se 
como agora é o hemisfério Norte que recebe a radiação solar mais diretamente e 
tem o dia mais longo do ano. Nesta posição é Inverno no hemisfério Sul e Verão no 
hemisfério Norte.
Por último na posição 4 estamos a 22 de Setembro (ou 21, se o ano for 
bissexto), no equinócio do Outono, onde o dia e a noite tornam a ter a mesma 
duração.
Desta maneira podemos compreender porque é que nas regiões do equador 
não existem estações do ano.
Qualquer planeta cujo eixo tenha uma obliquidade diferente de 0 exibe 
estações do ano. Estas podem produzir maiores ou menores contrastes no clima do 
planeta ao longo do ano conforme o valor desta inclinação. Por exemplo, na Terra 
as eras glaciares são provocadas pelo ligeiro aumento da sua obliquidade o que 
nos diz da importância deste parâmetro nas condições que esperamos encontrar 
em cada planeta que estudamos.
FONTE: Disponível em: <http://cftc.cii.fc.ul.pt/prisma/capitulos/capitulo1/modulo5/topico3.php>. 
Acesso em: 20 maio 2013.
 
206
Nesse tópico, você conheceu um pouco da história da Geometria relacionada 
às cônicas e suas aplicações. 
• Apolônio, Euclides e Arquimedes formaram a tríade que foi considerada como a 
dos maiores matemáticos gregos da antiguidade. Apolônio, não Euclides, talvez 
mereceu dos antigos o adjetivo de “o grande Geômetra”.
• Foi há matemática pura de Apolônio, que possibilitou cerca de 1.800 anos mais 
tarde, a lei da gravitação de Newton matematizar as descobertas empíricas de 
Kepler e, a partir do século dezessete, possibilitou o estudo analítico das cônicas 
e das suas aplicações aos movimentos no espaço.
• Pierre de Fermat (1601-1665) foi quem descobriu as equações cartesianas da 
reta e da circunferência, e as equações mais simples da elipse, da parábola e da 
hipérbole. 
• As superfícies geradas por cônicas têm propriedades refletoras e são utilizadas 
para criar condições de acústicas em auditórios, teatros, catedrais, e outras 
propriedades em lanternas, refletores, antenas, sistemas de navegação.
• As cônicas são utilizadas também devidas suas propriedades físicas e estéticas, 
os arcos de cônicas são utilizados com frequência na engenharia e na arquitetura, 
em pontes, pórticos, cúpulas, torres e arcos. 
RESUMO DO TÓPICO 4
207
AUTOATIVIDADE
Agora é com você, vamos verificar se consegue colocar em prática as 
definições sobre as cônicas abordadas nessa unidade, através da resolução de 
problemas (PROBLEMAS, 2013, p. 1).
1 A Terra move-se à volta do Sol com uma órbita elíptica e o Sol ocupa um 
dos focos. O comprimento do eixo maior é 14957000 Km e a excentricidade é 
0,0167. Determine uma distância a que a Terra fica do Sol.
 
2 O teto de uma igreja tem 30 metros de largura e a forma de uma semielipse. 
No centro da igreja a altura é de 16 metros e as paredes laterais têm de altura 
10 metros. Determine a altura da igreja a 5 metros de uma das paredes 
laterais.
FONTE: Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm27/
problemas.htm>. Acesso em: 20 maio 2013.
3 Em 1957, a União Soviética lançou o primeiro satélite. Depois de entrar em 
órbita, a altura máxima relativamente à superfície da Terra que o Sputnik 
alcançou foi de 383 milhas e a distância mínima foi de 132 milhas. Se o centro 
da Terra coincidir com um foco da órbita elíptica do Sputnik e se o raio da 
Terra for 4000 milhas, determine a excentricidade da elipse.
4 Um arco de uma ponte tem a forma de uma semielipse de 50 m de base e 
18 m de altura. Pretende-se colocar duas colonas de 10 m de altura, como se 
indica na figura, para limitar a zona de passagem dos barcos. A que distância 
vão ficar as colunas uma da outra? 
208
FONTE: Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/
icm27/problemas.htm>. Acesso em: 20 maio 2013.
5 A figura representa o esquema de uma ponte que se apoia no solo em A e B. 
AOB é um arco de parábola de eixo de simetria OD. Sabemos que d(A,B)=80m 
e d(O, D)=120m. Tomando por unidade 1 metro e considerando o referencial 
ortogonal e monométrico de origem O cujo semieixo positivo das abscissas é 
OC, determine:
a) uma equação da parábola que contém o arco AOB;
b) as coordenadas dos pontos da parábola cuja distância ao solo é 90 m.
FONTE: Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/
icm27/problemas.htm>. Acesso em: 20 maio 2013.
209
6 Os cabos de suspensão da ponte (na figura) estão presos a duas torres que 
distam 480m e têm 60m de altura. Os cabos tocam a ponte no centro. Determine 
a equação da parábola que tem a forma dos cabos.
FONTE: Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm27/
problemas.htm>. Acesso em: 20 maio 2013.
7 Um coletor solar, para aquecimento de água, tem a forma parabólica, como 
é indicado na figura. A água circula numa conduta que passa pelo foco da 
parábola de vértice V e que contém A e B. Determine a distância do foco ao 
vértice.
8 De acordo com os dados da figura, e considerando que o arco tem a forma 
de uma parábola, escolha um referencial e determine: a equação da parábola 
que contém o arco; a distância entre os dois pilares.
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FONTE: Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm27/
problemas.htm>. Acesso em: 20 maio 2013.
211
REFERÊNCIAS
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Janeiro: Interciência, 2006.
IEZZI, Gelson. Fundamentos de matemática elementar: geometria analítica. 5.ed. 
São Paulo: Atual, 2005.
JULIANELLI, José Roberto. Cálculo vetorial e geometria analítica. Rio de 
Janeiro: Ciência Moderna, 2008.
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www.coladaweb.com/matematica/conicas>. Acesso em: 30 ago. 2013.
MELLO, Dorival A. de; WATANEBE, Renata G. Vetores e uma iniciação a 
geometria analítica. São Paulo, 2009.
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Porto Alegre: Bookman, 2009. 
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prof.ufu.br/Conicas/>. Acesso em: 30 ago. 2013.
WINTERLE, Paulo. Vetores e geometria analítica. São Paulo: Makron, 2011.
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ANOTAÇÕES
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