Fundamentos da teoria do controle - Apostila EMA 184

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Universidade Federal de Minas Gerais – UFMG 
Escola de Engenharia 
Departamento de Mecânica - DEMEC 
 
 
 
 
 
 
 EMA184 – Fundamentos da Teoria de Controle 
 
 
 
 
 
 Notas de Aula 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Autor: Prof. Dr. Lázaro Valentim Donadon 
 
 
Versão 5 
 
 
 
Março de 2016 
 
 
2 
 
 Sumário 
 
1 INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DE CONTROLE .................................................................. 10 
1.1 MONITORAMENTO, AUTOMAÇÃO E CONTROLE DE SISTEMAS ....................................................... 10 
1.1 DEFINIÇÕES BÁSICAS .................................................................................................................... 12 
1.2 EXEMPLO DE UM SISTEMA DE CONTROLE TÍPICO ........................................................................... 13 
1.3 DEFINIÇÃO DE SISTEMA DE CONTROLE COM RELAÇÃO AOS SINAIS ............................................... 14 
1.4 EXEMPLO DE SISTEMAS CONTROLADOS E DE SISTEMAS AUTOMÁTICOS ....................................... 14 
2 MODELAGEM DE SISTEMAS DINÂMICOS ........................................................................... 15 
2.1 SISTEMAS MECÂNICOS TRANSLACIONAIS ..................................................................................... 15 
2.1.1 Sistema Massa-Mola-Amortecedor..................................................................................... 15 
2.1.2 Conjunto de Massas-Molas ................................................................................................ 18 
2.1.3 Suspensão Ativa de ¼ de veículo ........................................................................................ 21 
2.2 SISTEMAS DE RESERVATÓRIOS ...................................................................................................... 23 
2.2.1 Reservatório Simples .......................................................................................................... 23 
2.2.2 Exemplo de simulação do escoamento em reservatório simples ........................................ 25 
2.2.3 Reservatórios em Série ....................................................................................................... 26 
2.2.4 Sistema de Reservatório Composto .................................................................................... 26 
2.3 LINEARIZAÇÃO ............................................................................................................................. 29 
2.3.1 Uma Variável ...................................................................................................................... 29 
2.3.2 Multivariável ...................................................................................................................... 32 
2.4 SISTEMAS PENDULARES SIMPLES.................................................................................................. 34 
2.4.1 Pêndulo Simples ................................................................................................................. 34 
2.4.2 Pêndulo Invertido ............................................................................................................... 35 
2.5 REPRESENTAÇÃO EM ESPAÇO DE ESTADO .................................................................................... 38 
2.5.1 Representação quando não há derivadas da entrada ......................................................... 39 
2.5.2 Representação quando há derivadas da entrada ................................................................ 44 
2.5.3 Formulação Alternativa ..................................................................................................... 47 
2.5.4 Passagem de espaço de estado para função de transferência ............................................ 49 
2.6 CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS QUANTO AO NÚMERO DE ENTRADAS E SAÍDAS ............................ 52 
2.7 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ............................................................................................................... 52 
2.7.1 Sistemas Translacionais ..................................................................................................... 52 
2.7.2 Sistemas de Reservatórios .................................................................................................. 52 
2.7.3 Linearização ....................................................................................................................... 53 
2.7.4 Espaço de Estado................................................................................................................ 54 
3 TRANSFORMADA DE LAPLACE .............................................................................................. 55 
3.1 DEFINIÇÃO .................................................................................................................................... 55 
3.2 TRANSFORMADA DE LAPLACE ...................................................................................................... 55 
3.2.1 Funções Simples ................................................................................................................. 55 
3.2.2 Propriedades ...................................................................................................................... 58 
3.2.3 Funções Especiais .............................................................................................................. 58 
3.2.4 Teoremas ............................................................................................................................ 61 
3.2.5 Resumo ............................................................................................................................... 65 
3.3 TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE ....................................................................................... 66 
3.3.1 Expansão em Frações Parciais .......................................................................................... 66 
3.4 APLICAÇÕES DE TRANSFORMADA DE LAPLACE ............................................................................ 73 
3.4.1 Solução de Equações Diferenciais ..................................................................................... 73 
3.4.2 Funções de Transferência................................................................................................... 77 
3.4.3 Classificação das Funções de Transferência ..................................................................... 79 
3.5 EXEMPLO UTILIZANDO MATLAB ................................................................................................... 79 
3.6 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ............................................................................................................. 81 
3.7 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ............................................................................................................... 84 
 
3 
4 DIAGRAMA DE BLOCOS ........................................................................................................... 87 
4.1 REPRESENTAÇÕES BÁSICAS........................................................................................................... 87 
4.1.1 Sistemas em Série ............................................................................................................... 88 
4.1.2 Sistemas em Paralelo .......................................................................................................... 88 
4.1.3 Sistemas em Realimentação ................................................................................................ 89 
4.1.4 Exemplos............................................................................................................................. 89 
4.2 ÁLGEBRA DE BLOCOS .................................................................................................................... 91 
4.2.1 Sistemas em Paralelo .......................................................................................................... 91 
4.2.2 Sistemas em Realimentação ................................................................................................92 
4.2.3 Sistemas em Somatório ....................................................................................................... 93 
4.2.4 Exemplos............................................................................................................................. 94 
4.3 EXEMPLOS RESOLVIDOS ............................................................................................................... 95 
4.4 LISTA DE EXERCÍCIOS ................................................................................................................... 98 
5 RESPOSTA DE SISTEMAS LTI ................................................................................................ 103 
5.1 RESPOSTA TRANSITÓRIA E RESPOSTA EM REGIME PERMANENTE ............................................... 103 
5.1.1 Valor Final ....................................................................................................................... 104 
5.1.2 Erro de regime estacionário ............................................................................................. 104 
5.2 RESPOSTA DE SISTEMAS DE 1ª ORDEM ......................................................................................... 105 
5.3 RESPOSTA DE SISTEMAS DE 2ª ORDEM ......................................................................................... 108 
5.4 RESPOSTA DE SISTEMAS DE ORDEM SUPERIOR ............................................................................ 114 
5.5 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ........................................................................................................... 114 
5.6 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ............................................................................................................. 116 
6 AÇÕES BÁSICAS DE CONTROLE .......................................................................................... 120 
6.1 AÇÃO DE CONTROLE DE DUAS POSIÇÕES OU “LIGA-DESLIGA” .................................................... 121 
6.2 AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL (P) ................................................................................... 122 
6.3 AÇÃO DE CONTROLE INTEGRAL (I) ............................................................................................. 124 
6.4 AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL-INTEGRAL (PI) ................................................................. 125 
6.5 AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL-DERIVATIVA (PD) ........................................................... 126 
6.6 AÇÃO DE CONTROLE PROPORCIONAL-INTEGRAL-DERIVATIVA (PID) ........................................ 128 
6.7 REJEIÇÃO A DISTÚRBIOS ............................................................................................................. 129 
6.8 POSSIBILIDADE DE ESCOLHA DOS POLOS ..................................................................................... 131 
6.9 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ........................................................................................................... 133 
6.10 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ........................................................................................................ 137 
7 CRITÉRIOS DE DESEMPENHO .............................................................................................. 140 
7.1 TEMPO DE ACOMODAÇÃO ........................................................................................................... 141 
7.2 TEMPO DE PICO ........................................................................................................................... 146 
7.3 MÁXIMO SOBRESSINAL ............................................................................................................... 147 
7.4 TEMPO DE SUBIDA ....................................................................................................................... 148 
7.5 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ........................................................................................................... 150 
7.6 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ............................................................................................................. 151 
8 ESTABILIDADE .......................................................................................................................... 155 
8.1 DEFINIÇÕES BÁSICAS .................................................................................................................. 156 
8.1.1 Estabilidade segundo as entradas e saídas ...................................................................... 156 
8.1.2 Estabilidade segundo as respostas às condições iniciais ................................................. 156 
8.1.3 Estabilidade segundo os polos .......................................................................................... 157 
8.2 CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH ...................................................................................... 159 
8.2.1 Casos Especiais ................................................................................................................ 161 
8.2.2 Aplicações em Sistema de Controle .................................................................................. 161 
8.3 ESTABILIDADE RELATIVA ........................................................................................................... 165 
8.4 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ............................................................................................................. 167 
9 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................................ 170 
 
 
4 
 
 
5 
 Prefácio 
 
Ementa: Análise de um sistema técnico, conceitos fundamentais acerca de modelo, 
modelagem, análise de modelo e otimização. Modelagem física e matemática de sistemas de 
Engenharia Mecânica. Análise de resposta transitória. Função de transferência e representação 
de estados. Diagramas de bloco e fluxos de sinal. Técnicas computacionais para simulação. 
Noções de identificação de parâmetros. Ações básicas de controle. 
 
Aula Datas Assunto Capítulo 
1 07/03 Introdução aos Sistemas de Controle Capítulo 1 
2 09/03 Modelagem de Sistemas Mecânicos Item 2.1 
3 14/03 Transformada de Laplace Itens 3.1e 3.2 
4 16/03 Teoremas da Transformada de Laplace Item 3.3 
5 21/03 Transformada inversa de Laplace Item 3.4 
6 23/03 Diagrama de Blocos Item 4.1 
7 28/03 Aula de Estudos 
8 30/03 Diagrama de Blocos Itens 4.2 e 4.3 
9 04/04 Exercícios 
 
10 06/04 1ª Prova Item 2.1, Capítulos 3 e 4 
 
11 11/04 Resposta de sistemas de 1ª e 2ª ordens Itens 5.1 e 5.2 
12 13/05 Resposta de sistemas de 1ª e 2ª ordens Itens 5.3 a 5.5 
13 18/04 Ações Básicas de Controle Itens 6.1 a 6.6 
14 20/04 Ações Básicas de Controle Itens 6.7 a 6.9 
15 25/04 Aula de Estudos 
16 27/04 Linearização e Sistemas Pendulares Item 2.3 e 2.4 
17 29/04 Modelagem de Reservatórios Item 2.2 
18 02/05 Exercícios 
 
19 04/05 2ª Prova Itens 2.3 e 2.4, Capítulos 5, 6 e 7 
 
19 09/05 Critérios de Desempenho Itens 7.1 e 7.2 
20 11/05 Critérios de Desempenho Itens 7.3 a 7.5 
21 16/05 Estabilidade Itens 8.1 e 8.2 
22 19/05 Estabilidade Item 8.3 
23 23/05 Representação em Espaço de Estado Item 2.5 
24 25/05 Representação em Espaço de Estado Item 2.5 
25 30/05 Aula de Estudos 
26 01/06 Exercícios 
 
27 08/06 3ª Prova Itens 2.2 e 2.5, Capítulo 8 
 
 
28 15/06 4ª Prova (Exceto modelagem e Linearização) Capítulos 2 a 8 
 
29 20/06 Exame (Exceto modelagem e Linearização) Capítulos 2 a 8 
 
 
6 
 
 Obs.: Aulas sem conteúdo serão utilizadas para antecipar aulas futuras. Portanto, todas as aulas serão 
computadas as frequências e serão utilizadas pelo conteúdo da disciplina. 
 
 
7 
 Critérios de Avaliação: 
 
 
 1ª Prova P1 – 25 Pontos – Prova Regular 
2ª Prova P2 – 25 Pontos – Prova Regular 
3ª Prova P3 – 25 Pontos – Prova Regular 
 
Composição da 4ª Nota: 3
3P2P1P  
 
 
 
4ª Prova utilizada como substitutiva, Regras: 
 
 Todos podem fazer; 
 Ninguém é obrigado a fazer; 
 Valor de 25 Pontos; 
 Matéria toda;Substitui a 4ª nota; 
 Substitui a menor nota entre P1, P2 e P3 caso seja maior. 
 
 Exemplos Práticos: 
 
 
Situação Escolhida P1 P2 P3 P4 Nota Final 
Não fazendo P4 14 15 16 15 60 
Fazendo P4 – Bom 20 15 16 20 71 
Fazendo P4 – Ruim 14 15 16 10 55 
 
 
 
 
8 
Formulário de Consulta 
Transformadas de Laplace: 
  )s(F)t(fL    1)t(L    s1)t(1L    as 1eL at    1nn s !ntL    22s)t(senL    22s s)tcos(L  
Propriedades da Transformada de Laplace:   )as(F)t(feL at       )s(Feat1atfL as   )s(Fdsd1)t(ft nnnn  
Teoremas da Transformada de Laplace: 
)s(sFlim)t(flim 0st   )s(sFlim)t(flim s0t     s )0(fs )s(Fdt)t(fL 1 
0t
1n
1n
0t
2n
2n
0t
2n1nn
n
n
dt
)t(fd
dt
)t(fdsdt
)t(dfs)0(fs)s(Fsdt
)t(fdL







 



 
 
Operações Matemáticas: 
  





  ac
bd
gdet
1gdc
bag 1   32233 asa3as3sas  
 
         0030201000 iiz,z,z
3
1i i
321321 zzz
fz,z,zfz,z,zf 
 
Relações Trigonométricas: 
Graus 0 30 45 60 90 120 135 150 180 
Radianos 0 6
 4
 3
 2
 3
2 4
3 6
5  
Seno 0 2
1 2
2 2
3 1 2
3 2
2 2
1 0 
Cos 1 
2
3 2
2 2
1 0 2
1 2
2 2
3 -1 
 
    tgtg  sinicose i i2 eesin
ii   2
eecos ii   
 
9 
 
 
10 
1 Introdução aos Sistemas de Controle 
 
1.1 Monitoramento, Automação e Controle de Sistemas 
 
 O Monitoramento de Sistemas consiste na retirada de informação pertinente de um 
determinado sistema através de sensores. Estas informações podem ser utilizadas 
imediatamente para correções ou armazenadas para utilização posterior. Exemplos deste 
sistema podem ser representados pelo monitoramento de temperatura em caldeiras, pressão 
em autoclaves, etc. 
 
 Figura 1-1: Sistema de Monitoração 
 
 A Automação de Sistemas visa tornar um processo automático, por exemplo, um 
sistema de embalagem de produtos, conhecida popularmente por embaladora, onde os 
produtos recebem um rótulo, depois são acondicionados em embalagens individuais e, 
finalmente, são colocados em caixas contendo vários produtos. Aquilo que antes era um 
processo manual torna-se agora um processo automático feito por uma máquina. 
 
 Figura 1-2: Sistema Automático sem sistema de monitoração 
 
 Este sistema automático sem monitoração é muito difícil de ser encontrado na prática, 
em geral os sistemas automáticos possuem um sistema de sensores para fornecer informação 
da situação atual do processo automático. Por exemplo, no caso da embaladora, haverá 
sensores que darão informação do posicionamento do produto, se há produto e qual a posição 
dele, etc. Outro exemplo é o portão automático em que sensores informam a posição do 
portão, se há a presença de um objeto na frente, etc. Portanto, um sistema automático é 
constituído por, 
 
 
11 
 Figura 1-3: Sistema Automático com monitoração 
 
 Neste caso, o processamento digital colhe as informações e processa para uma tomada 
de decisão para aplicação da ação. São utilizados para isso a lógica combinatória, na qual a 
saída é formada por uma cominação da entrada, e a lógica sequencial, onde as saídas são 
formadas pela combinação das entradas e das saídas ocorrendo um sequenciamento de 
atuações. O sistema automático não corrige o sistema. Exemplos deste caso podem ser as 
máquinas automáticas que possuem controle via CLP. 
 
 Figura 1-4: Elementos básicos de um sistema automatizado 
 
 Já o Controle de Sistemas é atuar de uma forma satisfatória em um processo ou 
sistema físico com o intuito de melhorar o seu desempenho ou para corrigir o processo. Neste 
tipo de atividade está associada uma referência a ser seguida pelo sistema controlado. 
Exemplos deste caso são os controladores industriais com os utilizados em cilindros de 
laminação, onde se deseja que os rolos se mantenham a uma determinada distância, esta é a 
referencia a ser seguida, independente da entrada de material. Manter uma sala climatizada há 
uma determinada temperatura e umidade, são as referencias a serem seguidas. Estas 
referências podem ser zero, como no caso de controle de vibração que há em helicópteros 
onde se deseja que a vibração proveniente das pás do rotor não entre na cabine. 
 
 Figura 1-5: Sistema de Controle 
 
 
12 
 Uma forma conveniente de entender um processo de controle de sistemas é descrito 
abaixo, onde o ambiente computacional adquire os dados provenientes do sensor, compara 
com uma resposta desejável, calcula uma correção através do controlador, gerando assim a 
chamada lei de controle que é implementada no sistema mecânico através do atuador. Note 
que neste tipo de estratégia ocorre rejeição à distúrbios, pois espera-se que a resposta obtida 
seja sempre igual à resposta desejada. 
 
 Figura 1-6: Elementos básicos de um sistema controlado 
 
 Observe que na prática, poderá haver sistemas automatizados e controlados ao mesmo 
tempo. Porém, tanto o controlado quanto o automatizado possui um sistema de 
monitoramento associado. 
 
1.1 Definições básicas 
 
 Para entender o processo de controle, toma-se como exemplo o sistema controle de 
velocidade de um carro, no qual se pretende manter a velocidade sempre constante, chamada 
de referência a ser seguida, independente do carro estar em uma reta, uma subida ou uma 
descida, os quais chamados de distúrbios. Distúrbio é um sinal que tende a afetar de maneira 
adversa o valor da resposta do sistema a ser controlado. 
 
 Para iniciar o procedimento, é necessário fazer o modelo matemático do veiculo. Para 
simplificar o equacionamento, assume-se que o veículo estará andando a certa velocidade e já 
em marcha adequada para isso ou que seja do tipo automático, chamado de condições de 
modelagem. Desta forma, o que controla a velocidade é simplesmente o acelerador. 
 
 Sistema sem controle ou com controle manual é aquele em que o operador é 
responsável por ajustar a resposta do sistema alterando manualmente a entrada, no caso do 
veículo, o motorista aciona o acelerador para alterar a velocidade do veiculo. 
 
 Sistema controlado é aquele em que o operador ajusta a referencia a ser seguida e o 
sistema de controle altera a entrada do sistema para obter uma resposta em geral igual à 
referencia a ser seguida. No caso do veiculo, o operador informa a velocidade a ser mantida e 
quem acelera ou desacelera o veiculo é o sistema de controle acionado automaticamente o 
acelerador. 
 
 
13 
1.2 Exemplo de um sistema de controle típico 
 
 Um sistema de controle típico possui a seguinte representação em diagrama de blocos 
com as funções e sinais escritas em Laplace, 
 
 
Figura 1-7: Sistema de controle típico 
 
 Sendo que os sinais são dados por, 
  R(s) é a referencia a ser seguida definida pelo operador;  E(s) é o erro do sistema de controle;  U(s) é a lei de controle por ser a saída do controlador, mas ao mesmo 
tempo é a entrada da planta a ser controlada;  Y(s) é a resposta controlada real;  X(s) é a resposta medida pelo sensor de erro. 
 
 Sendo que os blocos representam as equações dinâmicas conforme, 
  G(s) é o processo a ser controlado;  H(s) é o sensor de erro ou de medida;  PID(s) é o sistema de controle. 
 
 No exemplo do controle de velocidade tem-se, 
  Y(s) é a velocidade real ou verdadeira do veículo;  X(s) é a velocidade medida pelo velocímetro, em geral, espera-se que esta 
seja idêntica à velocidade do veículo Y(s);  R(s) é a velocidade desejada definida pelo motorista que o veículo deve 
manter;  E(s) é a diferença entre a velocidade medida com a velocidade desejada;  G(s) é a relação matemática que correlaciona a posição do acelerador com a 
velocidade do veículo;  H(s) é a relação matemática que correlaciona a velocidade verdadeira do 
veículo com a velocidade medida, todo sensor de medida possui uma 
relação deste tipo;  M(s) é a relação matemática que correlaciona a diferença E(s) com o que 
deve ser feito com o acelerador para que E(s) =0;  U(s) é a posição do acelerador, note que se E(s) = 0, o acelerador deve 
permanecer na mesma posição. 
 
14 
 
1.3 Definição de Sistema de Controle com relação aos sinais 
 
 Controlar um sistema pode ser entendido como ajustar a entrada U(s) automaticamente 
por um sistema de controle M(s) para a resposta Y(s) seja igual à definida por R(s). Esta 
compreende o sistema de controle mais simples possível. 
 
 Variável Controlada Y(s) é a grandeza ou a condição que é medida e controlada. 
Variável Manipulada U(s) é a grandeza ou condição modificada pelo controlador M(s) de 
modo que afete o valor da variável controlada. Controlar significa medir o valor da variável 
controlada do sistema e utilizar a variável manipulada do sistema para corrigir ou limitar os 
desvios do valor médio a partir de um valor desejado. 
 
1.4 Exemplo de Sistemas Controlados e de Sistemas Automáticos 
 
 Supondo uma caixa d’agua, o controle de nível de água pode ser feito de duas formas 
ou por um sistema controlado ou por um sistema automatizado. A escolha vai depender do 
tipo de fornecimento de água. 
 
 Quando a água tem um fornecimento contínuo através do sistema de encanamento, 
como ocorre onde há água encanada a melhor solução é o sistema controlado onde tem-se 
uma boia, a boia é o sistema de controle e o medidor ao mesmo tempo. Ela é considerada um 
sistema de controle, pois independente de qualquer distúrbio no nível, ela vai manter o 
sistema sempre na mesma posição. 
 
 Quando a água é fornecida através de uma bomba, opta-se pelo sistema automático, 
isto é, dentro da caixa d’agua ha dois sensores de nível, uma para nível baixo para ligar a 
bomba e outro para nível alto desligando a bomba. Neste caso não há rejeição a distúrbios, 
pois o sistema não mantem o nível de água constante. 
 
 
 
15 
2 Modelagem de Sistemas dinâmicos 
 
 A modelagem dinâmica de um sistema ou processo consiste em escrever sua equação 
dinâmica utilizando algum método matemático, como por exemplo, 2ª lei de Newton ou 
Lagrange. 
 
 Sempre que isso for feito, deve-se ter em mente que a passagem do modelo físico para 
o modelo matemático envolve uma série de restrições ou condições de modelagem impostas. 
Isto é feito para facilitar a modelagem ou para impor determinadas condições necessárias para 
a compreensão de um determinado fenômeno físico. 
 
 A modelagem sempre será feita baseada nos Graus de Liberdade do sistema. Os graus 
de liberdade são definidos pelo número de movimentos independentes que o modelo pode 
fazer. 
 
 Em geral, toda modelagem envolve a definição do par dual que define o tipo de 
modelo a ser feito, por exemplo, em sistemas mecânicos é o Deslocamento e Força e Rotação 
e Momento, em sistemas elétricos é a voltagem e corrente. 
 
2.1 Sistemas Mecânicos Translacionais 
 
 Para a modelagem dos sistemas translacionais será utilizada a 2ª lei de Newton. 
 
2.1.1 Sistema Massa-Mola-Amortecedor 
 
 Considerando o sistema definido na figura abaixo. As condições para escrever o 
modelo matemático através do modelo físico são dadas por, 
 
1. Só pode ocorrer movimento de translação na direção horizontal. Isso significa que 
não pode haver movimento de rotação e o móvel não pode se descolar da base de 
apoio; 
2. Apesar da mola e amortecedor estarem deslocados, a aplicação das suas forças é 
feita no mesmo ponto, não causando momento, o mesmo acontece com a força 
externa f(t); 
3. A constante de rigidez K, o coeficiente de amortecimento C e a massa M são 
constantes ao longo do tempo; 
4. A mola e o amortecedor inicialmente não estão tensionados, o sistema está em 
repouso; 
5. As forças de inércia, da mola e do amortecedor são consideradas lineares; 
6. Não há restrição quanto ao estiramento da mola e do amortecedor, isto significa 
que não há fim de curso; 
7. O eixo inercial y está colocado em cima do CG (Centro de Gravidade) da massa 
M. 
 
 
16 
 
Figura 2-1: Sistema Massa-Mola-Amortecedor 
 
 Das condições impostas, tem-se: 
 
1. Apenas uma coordenada independente denominada de y, que será definida 
como positiva para a direita; 
2. A massa M fará movimentos em torno da sua posição inicial que será 
considerada como marco zero ou y(0) = 0; 
3. Os movimentos serão realizados apenas na direção do deslocamento, 
portanto não é necessária a colocação da força peso. 
 
 A modelagem é feita através da construção do DCL (Diagrama de Corpo Livre). Para 
a colocação das forças correspondentes às forças da mola e do amortecedor, assume-se um 
deslocamento virtual na direção positiva de y. Neste caso, as reações são opostas ao 
movimento fictício, assim, 
 
 
Figura 2-2: Diagrama de Corpo Livre do Massa-Mola-Amortecedor. Direção direita 
 
 Aplicando somatória de forças no eixo y, 
 
)t(f)t(yC)t(Ky)t(yMmaF   
 
 Chegando a, 
 
 )t(f)t(Ky)t(yC)t(yM   (2.1) 
 
 Agora, invertendo a direção do eixo coordenado inercial y, isto é, assumindo que o 
eixo é positivo para a esquerda conforme figura abaixo, 
 
 
17 
 
Figura 2-3: Diagrama de Corpo Livre do Massa-Mola-Amortecedor. Direção esquerda 
 
 Aplicando somatória de forças no eixo y, 
 
)t(f)t(yC)t(Ky)t(yMmaF   
 
 Chegando a, 
 
 )t(f)t(Ky)t(yC)t(yM   (2.2) 
 
 Comparando a Eq. (2.1) com a Eq.(2.2) observa-se que a única diferença é a direção 
da força externa f(t), mas deve ser lembrado que a direção positiva dos eixos coordenados é 
diferente. Como exemplo de resposta para o deslocamento da massa M, assumindo massa M 
= 2 kg, C = 1 Ns/m e K = 5 N/m, a reposta y(t) para uma entrada f(t) = 10 N para as Eqs (2.1) 
e (2.2), as posições y(t) da massa M em função do tempo pode ser observada na figura abaixo. 
 
 Observa-se que a diferença ocorre no deslocamento da massa. A Figura 2-4(a) o eixo 
coordenado e a força f(t) estão para a direita, significando que a massa se desloca para a 
direita enquanto que na Figura 2-4(b) o eixo coordenado é positivo para a esquerda enquanto 
a força f(t) está para a direita, isto significa que massa se desloca no sentido negativo. 
 
 (a) Eixo positivo DIREITA – Eq. (2.1) (b) Eixo positivo ESQUERDA – Eq. (2.2) 
Figura 2-4: Resposta do sistema Massa-Mola-Amortecedor para f(t) = 10N 
 
0 5 10 15 20 25 300
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Resposta à força f(t) = 10 N
De
slo
cam
en
to y
(t) 
[me
tro
s]
Tempo [Segundos]
0 5 10 15 20 25 30-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
Resposta à força f(t) = 10 N
De
slo
cam
en
to y
(t) 
[me
tro
s]
Tempo [Segundos]
 
18 
2.1.2 Conjunto de Massas-Molas 
 
 Considerando o conjunto de massas-molas-amortecedores da figura abaixo. Para 
escrever a equação de movimento, deve ser assumido que, 
 
1. Só pode ocorrer movimento de translação na direção horizontal. Isso significa que 
não pode haver movimento de rotação e o móvel não pode se descolar da base de 
apoio; 
2. Apesar da mola e amortecedor estarem deslocados, a aplicação das suas forças é 
feita no mesmo ponto, não causando momento, o mesmo acontece com as forças 
externas; 
3. As constantes de rigidez, os coeficientes de amortecimento e a massas são 
constantes ao longo do tempo; 
4. As molas e os amortecedores inicialmente não estão tensionados, o sistema está em 
repouso; 
5. As forças de inércia, das molas e dos amortecedores são consideradas lineares; 
6. Não há restrição quanto ao estiramento das molas e dos amortecedores, isto 
significa que não há fim de curso; 
7. Os eixos inerciais estão colocados em cima do CG (Centro de Gravidade) das 
massas. 
 
 
Figura 2-5: Conjunto de Massas-Molas-Amortecedores – Variação #1 
 
 Das condições impostas, tem-se: 
 
1. Três coordenadas independentes, x, y e z, pois cada bloco pode se mover 
independente uma da outra; 
4. As massas farão movimentos em torno de suas posições iniciais que serão 
consideradas como marco zero, x(0) = 0, y(0) = 0 e z(0) = 0; 
2. Os movimentos serão realizados apenas na direção do deslocamento, 
portanto não é necessária a colocação da força peso. 
 
 Neste caso, o DCL precisa serfeito para cada massa. As forças de reação de cada 
amortecedor e mola são colocadas assumindo um deslocamento positivo fictício para a massa 
em analise enquanto as outras massas estão paradas. Assim, observam-se as reações das molas 
 
19 
e amortecedores em sentidos opostos ao eixo coordenado considerado. Como regra geral, os 
deslocamentos ou velocidades são colocados assumindo a coordenada atual subtraída da 
coordenada à qual a força está conectada se as direções das duas coordenadas são iguais, 
então se tem para as massas os DCLs apresentados na figura abaixo. 
 
 (b) Massa M2 
 (a) Massa M1 (c) Massa M3 
Figura 2-6: DCL do conjunto de massas-molas-amortecedores – Variação #1 
 
 Observe que apesar das forças possuem os mesmos sentidos as coordenadas estão em 
oposição, significando que no somatório as forças estão em oposição. Aplicando o somatório 
de forças em cada bloco encontra-se: 
 
 Para a massa M1,         1uzx5Kzx5Cyx3Kyx3Cx1Kx1Cx1M   
 
 Para a massa M2,         2uzy4Kzy4Cxy3Kxy3Cy2Ky2Cy2M   
 
 Para a massa M3,         3uxz5Kxz5Cyz4Kyz4Cz3M   
 
 Escrevendo a Equação de Movimento na forma matricial encontra-se, 
 
 
20 
 































































3u
2u
1u
100
010
001
z
y
x
5K4K4K5K
4K4K3K2K3K
5K3K5K3K1K
z
y
x
5C4C4C5C
4C4C3C2C3C
5C3C5C3C1C
z
y
x
3M00
02M0
001M






 (2.3) 
 
 Uma forma de verificar se as equações estão corretas é verificar se a matriz de massa é 
diagonal, a matriz de amortecimento e rigidez deve possuir a diagonal principal positiva, os 
termos fora da diagonal principal devem ser todos negativos e a matriz deve ser simétrica. 
Estas Verificações são válidas para conjunto de massas-molas-amortecedores quando todos os 
eixos inerciais possuem a mesma direção positiva. 
 
 Agora, resolvendo o mesmo problema, mas invertendo a direção positiva do eixo 
inerciais da massa M2 conforme figura abaixo. 
 
 
Figura 2-7: Conjunto de Massas-Molas-Amortecedores – Variação #2 
 
 Com a mudança de direção do eixo inercial y, deve-se verificar as novas direções das 
forças do móvel ao qual ele está referenciado, neste caso a massa M2. Além disso, quando as 
coordenadas possuírem sentidos opostos, elas deverão ser somadas nas forças. Desta forma, a 
nova configuração das forças fica como apresentado na figura abaixo. 
 
 (b) Massa M2 
 
21 
 (a) Massa M1 (c) Massa M3 
Figura 2-8: DCL do conjunto de massas-molas-amortecedores – Variação #2 
 
 Aplicando Somatório de Forças, encontra-se, 
 
 Para a massa M1,         1uzx5Kzx5Cyx3Kyx3Cx1Kx1Cx1M   
 
 Para a massa M2,         2uzy4Kzy4Cxy3Kxy3Cy2Ky2Cy2M   
 
 Para a massa M3,         3uxz5Kxz5Cyz4Kyz4Cz3M   
 
 Escrevendo a Equação de Movimento na forma matricial encontra-se, 
 
 































































3u
2u
1u
100
010
001
z
y
x
5K4K4K5K
4K4K3K2K3K
5K3K5K3K1K
z
y
x
5C4C4C5C
4C4C3C2C3C
5C3C5C3C1C
z
y
x
3M00
02M0
001M






 (2.4) 
 
 Como verificação das matrizes, observa-se que a simetria e os valores positivos da 
diagonal principal das matrizes de amortecimento e rigidez se mantiveram, a única alteração 
foi em relação aos termos fora da diagonal principal, que quando relacionados ao eixo que 
possui direção positiva invertida apresentaram termos positivos. 
 
2.1.3 Suspensão Ativa de ¼ de veículo 
 
 A suspensão ativa que será apresentada se refere ao modelo padrão de ¼ de veículo ou 
modelo de 2 graus de liberdade. Para passar do modelo físico para o modelo matemático as 
seguintes considerações devem ser feitas, 
 
 
22 
1. Os deslocamentos são todos na direção vertical; 
2. Não ocorre rotação das massas; 
3. Todos os movimentos são feitos no plano vertical; 
4. As forças de reação do amortecedor e da mola não geral momento; 
5. As forças da mola e do amortecedor são lineares; 
6. O pneu será modelado como uma rigidez pura; 
7. Não ocorre fim de curso para o amortecedor e mola; 
8. O pneu se mantém sempre em contato com o solo; 
9. O modelo será feito a partir do repouso; 
10. A força de controle será feita por um cilindro de dupla ação. 
 
 As considerações feitas acima são todas aceitas e utilizadas em modelos mais 
avançados. As condições mais difíceis de serem cumpridas são a n°7 e n°8. Na prática a força 
da mola só é linear na região central de deslocamento, quando chega próximo ao fim de curso, 
a rigidez se torna cúbica aumentando força da mola. Assim, a principal restrição acaba sendo 
o contato do pneu com o solo para uma situação real. 
 
 
 Sendo que, 
  Ms é a massa suspensa de ¼ de veiculo;  Mn é a massa não suspensa representada pelo conjunto 
roda, pneu e suspensão;  Ys é o deslocamento da massa Ms;  Yn é o deslocamento da massa Mn;  K é a rigidez da suspensão;  C é o amortecimento da suspensão;  Kp é a rigidez do pneu;  w(t) é o deslocamento da via ou perturbação;  u(t) é a força de controle. 
 
 
 
Figura 2-9: Suspensão Ativa de ¼ de veiculo 
 
 O objetivo da suspensão ativa é evitar que os distúrbios indesejáveis da via afetem a 
massa suspensa. Como objetivo da suspensão ativa pode ser minimizar o deslocamento ou a 
aceleração da massa suspensa. A minimização do deslocamento é feita para suspensões com 
caráter esportivo e a minimização da aceleração é feita para efeitos de conforto. Desta forma, 
esportividade e conforto são parâmetros conflitantes no desenvolvimento de suspensões 
veiculares. 
 
 Construindo o DCL para as duas massas e assumindo que a força de controle u(t) será 
positiva quando afasta as massas e negativa quando aproxima as massas e o distúrbio da via é 
positivo no mesmo sentido dos deslocamentos das massas, encontra-se a figura abaixo. 
 
 
23 
 
 (a) Massa Suspensa (c) Massa não suspensa 
Figura 2-10: DCL da Suspensão Ativa de ¼ de veiculo 
 
 Para a massa Ms,     )t(u)t(y)t(yC)t(y)t(yK)t(yM nsnsss   
 
 Para a massa Mn,       )t(u)t(w)t(yK)t(y)t(yC)t(y)t(yK)t(yM npsnsnnn   
 
 Escrevendo a Equação de Movimento na forma matricial encontra-se, 
 


























)t(w
)t(u
K1
01
)t(y
)t(y
KKK
KK
)t(y
)t(y
CC
CC
)t(y
)t(y
M0
0M
pn
s
pn
s
n
s
n
s



 (2.5) 
 
2.2 Sistemas de reservatórios 
 
 Para a modelagem de reservatórios será assumido que todos os sistemas apresentados 
partem do pressuposto que já havia fluxo Q entrando e saindo e as alturas H dos reservatórios 
já estavam constantes. Portanto, é considerado que a modelagem apresentada a seguir não 
contempla o reservatório vazio. Além disso, será considerado escoamento laminar. 
 
2.2.1 Reservatório Simples 
 
 Considere o reservatório apresentado abaixo. Nele, inicialmente entra Q(t) e sai Q(t), o 
liquido permanece em uma altura H dentro do reservatório devido à resistência R. A 
modelagem será feita supondo a variação em torno desta condição inicial. 
 
 
24 
 
Figura 2-11: Reservatório simples 
 
 A resistência R ao fluxo de liquido em uma tubulação ou restrição é definida como a 
variação na diferença de nível (a diferença entre o nível dos líquidos nos dois reservatórios) 
necessária para causar a variação unitária na vazão, assim, 
 
R = (Variação na diferença de nível, m)/(Variação na vazão em volume, m3/s) 
 
 Considerando que o fluxo seja laminar, então, 
 
Q
H
dQ
dHR  
 
 A Capacitância C de um reservatório é definida como a variação na quantidade de 
liquido armazenado necessário para causaruma mudança unitária no potencial (altura). O 
potencial é a grandeza que indica o nível de energia do sistema. Assim, 
 
C = (Variação na quantidade de liquido armazenado, m3)/(Variação na altura, m) 
 
 Notar que capacidade (m3) e capacitância (m2) são diferentes. A capacitância do 
reservatório é igual à sua secção transversal. Se esta for constante, a capacitância será 
constante para qualquer altura do nível. 
 
 Sendo assim, tem-se, 
 
 Q é a vazão em regime permanente, m3/s; 
 qi(t) é um pequeno desvio de entrada em relação ao seu regime permanente, m3/s; qo(t) é um pequeno desvio de saída em relação ao seu regime permanente, m3/s; H é a altura do nível de liquido em regime permanente, m; 
 h(t) é um pequeno desvio de nível a partir do seu valor de regime permanente, m; 
 
 Aplicando a conservação de massa: “A variação na quantidade que entra menos a 
variação na quantidade que sai é a variação da quantidade armazenada”. Assim, 
 
 Cdh(t) = ( qi(t) – qo(t) ) dt (2.6) 
 A partir da definição de resistência, a relação entre qo(t) e h(t) é dada por, 
 
25 
 R
)t(h)t(q)t(q
)t(hR o
o
 (2.7) 
 
 Portanto, substituindo Eq(2.7) na Eq(2.6), 
 
)t(qR
)t(h
dt
)t(dhC i 
 
 A equação acima relaciona a variação na entrada qi(t) com a variação da altura h(t). Aplicando a transformada de Laplace para encontrar a função de transferência, 
 
1RCs
R
)s(Q
)s(H
i  
 Para a relação entre a entrada Qi(s) e a saída Qo(s) é substituída a transformada de Laplace da Eq(2.7), assim, 
 
1RCs
1
)s(Q
)s(Q
i
o  
 
Onde foi substituída a relação, 
 
)s(HR
1)s(Qo  
 
2.2.2 Exemplo de simulação do escoamento em reservatório simples 
 
 Assumindo um reservatório simples com área A = 6 m2 resistência R = 75 m/(m3/s). 
As funções de transferência que correlacionam uma variação no fluxo de entrada com as 
variações na altura e no fluxo de saída são dada por, 
 
1s450
75
)s(Q
)s(H
i  e 1s450
1
)s(Q
)s(Q
i
o  
 
 Observa-se que a constante de tempo é de 450 segundos e que uma variação unitária 
na entrada acarreta um aumento na altura em 75 metros, parece muito, mas uma entrada 
unitária é um aumento de 1 m3/s em um tanque de 6 m2 de área. 
 
 Do ponto de vista físico um aumento de vazão em 1 m3/s em um tanque de área 6 m2 
parece não ser possível ou improvável de ser realizado fisicamente. Contudo um aumento de 
10 litros/segundo acarretaria um aumento de 0,75 metros do nível armazenado. 
 
 
26 
2.2.3 Reservatórios em Série 
 
 Quando os reservatórios estão conforme apresentados na figura abaixo, verifica-se que 
a entrada de um reservatório é saída do outro. Esta configuração caracteriza que os tanques 
estão em série. 
 
 
 Portanto, as funções de transferência que regem o sistema são dadas por, 
 
1sCR
1
)s(Q
)s(Q
111
2  e 1sCR
1
)s(Q
)s(Q
222
3  
 
 Então, 
 
  1sCRCRsCRCR 11sCR 11sCR 1)s(Q )s(Q 221122211221113  
 Observe que neste caso o resultante é um sistema de 2ª ordem com raízes reais 
distintas, com frequência natural dada por, 
 
2211
n CRCR
1 rad/s 
 
2.2.4 Sistema de Reservatório Composto 
 
 A modelagem do sistema de tanques apresentado abaixo, o principio é o mesmo 
utilizado acima, isto é, inicialmente em regime permanente os escoamentos eram Q e as 
alturas H1 e H2. 
 
 
27 
 
Figura 2-12: Acoplamento de reservatórios 
 
 Resistência R1, 
 
1
2112
12
211 R
)t(h)t(h)t(q)t(q
)t(h)t(hR  (2.8) 
 
 Resistência R2, 
 
2
2o
o
22 R
)t(h)t(q)t(q
)t(hR  (2.9) 
 
 Conservação de massa para o reservatório 1, 
 
 )t(q)t(qdt
)t(dhC 12i11  (2.10) 
 
 Conservação de massa para o reservatório 2, 
 
 )t(q)t(qdt
)t(dhC o1222  (2.11) 
 
 As equações (2.8) a (2.11) formam o conjunto de equações diferenciais para o 
conjunto de reservatório. 
 
 Para encontrar a função de transferência Qo(s)/ Qi(s), aplica-se a transformada de Laplace nas Equações (2.8) a (2.11), mas aqui será utilizado o procedimento de diagrama de 
blocos. 
 
 
28 
 
Figura 2-13: Diagrama de blocos das equações do reservatório - separados 
 
 Montando os blocos, encontra-se, 
 
 
Figura 2-14: Diagrama de blocos das equações do reservatório – juntas - a 
 
 Aplicando álgebra de blocos, movendo H2(s) e incluindo 1/C1s, encontra-se, 
 
 
Figura 2-15: Diagrama de blocos das equações do reservatório – juntas - b 
 
 Resolvendo as realimentações internas, 
 
 
Figura 2-16: Diagrama de blocos das equações do reservatório – juntas - c 
 
 Desta forma, 
 
 
29 
  
     1sCRCRCRsCRCR
1
sCR1sCR1sCR
11
1sCR1sCR
1
)s(Q
)s(Q
122211
2
221112
2211
2211
i
o 

 
 
 Observe que o sistema resultante é um sistema de 2ª ordem com frequência natural 
dada por, 
2211
n CRCR
1 rad/s 
 
 A frequência natural é exatamente a mesma para o sistema em série, contudo o fator 
de amortecimento é maior, pois o termo com “s” possui um fator a mais “R2C1”. Sendo assim, um sistema mais amortecido. 
 
2.3 Linearização 
 
 Para a aplicação da transformada de Laplace ser aplicada, as equações de movimento 
precisam estar na forma linear. Um sistema linear obedece aos princípios da superposição de 
resultados e da multiplicação por constante, isto é, 
 
Entrada Saída 
X1(t) Y1(t) X2(t) Y2(t) X1(t) + X2(t) Y1(t) + Y2(t) αX1(t) + β X2(t) αY1(t) + β Y2(t) 
 Uma forma de realizar a linearização é a expansão do termo não linear em Série de 
Taylor tomando apenas os termos lineares, isto é, os termos não lineares são desconsiderados. 
Mas para isso é necessário assumir um ponto entorno do qual a expansão será válida. 
 
2.3.1 Uma Variável 
 
 A Série de Taylor para uma variável, supondo a função f(x) em torno da posição x = a, 
é dada por, 
   ax)x(fdxd)a(fxf axL   
Onde fL(x) é a função linearizada de f(x) em torno do ponto x =a. 
Exemplo 1: Linearizar a equação abaixo em torno do ponto θ = 0. 
 
g(θ) = cos(θ) 
 
 
30 
    1)0)(0sin()0cos(0)(gdd)0(gg 0L   
 
Figura 2-17: Linearização de cos(θ) em torno de θ = 0 
 
Exemplo 2: Linearizar a equação abaixo em torno do ponto θ = 0. 
 
g(θ) = sen(θ) 
 
      )0)(0cos()0sin(0)(gdd)0(gg 0L 
 
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 400.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
1.05
1.1
Co
s( 
)
 [Graus]
 
 
Cos()
linear
Valor Exato5% de erro
 
31 
 
Figura 2-18: Linearização de sen(θ) em torno de θ = 0 
 
Exemplo 3: Linearizar a equação abaixo em torno do ponto x = π/4, 
  xsinx)x(g 2 
 
 Então, 
 
      


 

 


4xxcosx)xsin(x24sin4)x(g
4x)x(gdx
d
4gxg
4x
2
2
L
4x
L
 
 Chegando a, 


 

 


 


 

 

 

 

 
4x32
2
4
2
32
2
4x4cos4)4sin(424sin4)x(g
22
22
L
 
 
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Sin
( )
 [Graus]
 
 
Sin()
linear
Exato
Erro 5%
 
32 
 
Figura 2-19: Linearização de  xsinx)x(g 2 em torno de x = π/4 
 
2.3.2 Multivariável 
 
 A Série de Taylor para funções multivariáveis. Supondo a função f(x,y,z) em torno da 
posição (x,y,z) = (a,b,c), é dada por, 
 
   
   cz)z,y,x(fzby)z,y,x(fy
ax)z,y,x(fx)c,b,a(fz,y,xf
)c,b,a()z,y,x()c,b,a()z,y,x(
)c,b,a()z,y,x(
L






 
 
Onde fL(x,y,z) é a função linearizada de f(x,y,z) em torno do ponto (x,y,z) =(a,b,c). 
Exemplo: Obter a linearização para o ponto (x,θ) = (1,π/4). 
      umgLexcosx3 0mLsinxcosx x22
2



 
 
 A linearização pode ser feita por partes. Para isso, devem ser observados quais são os 
termos não lineares. Iniciando pela 1ª equação, o termo não linear é dado por     sinxcos
. 
 
 Assim, aplicando a linearização de   )sin(x)cos(,xf  para (x,θ) = (1,π/4), 
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
Função G(x)
Va
lore
s d
e g
(x)
x
 
 
não-linear
linearizada
Ponto exato
5% de diferença
 
33 
 
       4),x(f1x),x(fx)4,1(f,xf)4,1(),x()4,1(),x(L 
 As derivadas parciais, 
 
      
        


cosxsinsinxcos
sinsinxcosx 
 
 Resultando em, 
 
            44cos4sin1x4sin4sin4cos,xfL 
       1x221x222sinxcos  
 Para a segunda equação, o termo não-linear é   x22 excosx3  , mas deve ser 
observado que há a derivada em relação ao tempo que é um termo linear, então deve-se 
separar este termo, fazendo     cosx3,xf 2 , 
 
   
   


sinx3cosx3
cosx6cosx3x
22
2
 
 Então, 
         44sin31x4cos64cos3,xfL 
      42231x226223cosx3 2 
 Para a exponencial, 
x2x2 e2ex 
 
 Resultando em,    1x2e1xe2ee 222x2  
 
 Juntando as soluções para compor as novas equações, 
 
 
34 
     umgLexcosx3 0mLsinxcosx x22
2



 → 
 
  umgLex42231x226223
0mL1x2
2x
2
2


 



 
 
 Observe que nesta linearização foi considerado que a derivada multiplicada pela 
coordenada não pode ser linearizada, por isso considerada como zero. 
 
2.4 Sistemas Pendulares Simples 
 
 Os sistemas pendulares são utilizados como exemplos de sistemas não-lineares mas 
que podem ser controlados em torno de uma posição de equilíbrio. 
 
2.4.1 Pêndulo Simples 
 
 Considerando o sistema apresentado na figura abaixo. Encontrar a equação de 
movimento na forma linear para uma entrada nula, isto é, equação linear homogênea. 
 
 
Figura 2-20: Pêndulo simples 
 
 Aplicando somatório dos momentos no ponto de apoio da haste, 
 
  Mh IIsin2LmgsinMgLIM 
 Como curiosidade, os momentos de inércia são dados por, 
 
 2M MLI  Massa pontual girando a uma distância L; 
 3
mLI 2h  Haste de comprimento L girando pela base; 
 
 Assim, a equação de movimento não-linear fica, 
 
 
35 
0singM2
mLM3
m 

 

   
 
 Aplicando a linearização para o ponto θ = 0, 
 
0gM2
mLM3
m 

 

   
 
 Neste modelo foi desprezado o efeito da fricção entre a haste e o apoio, observa-se 
pela equação de movimento que não aparece o termo da derivada de θ que caracterizaria a 
presença de amortecimento se considerado um modelo de 2ª ordem. 
 
2.4.2 Pêndulo Invertido 
 
 O objetivo do sistema é manter a haste na posição vertical escolhendo a posição de 
parada do carro M através da ação de controle u(t). 
 
 
Figura 2-21: Pêndulo invertido 
 
 Para fazer o equacionamento, deve-se separar os objetos através do DCL (Diagrama 
de Corpo Livre). Além disso, como o objetivo é posicionar o carro M no espaço, será dotado 
um sistema de coordenadas inercial. 
 
 
Figura 2-22: Pêndulo invertido - DCL 
 
 Aplicando somatório de forças na direção horizontal do carro, 
 
 )t(xMH)t(umaFx C  (2.12) 
 
36 
 
 Aplicando somatório de forças e momentos na haste com a massa, 
 
 )t(xM)t(xmHmaFx CGMCGh   (2.13) 
   )t(yM)t(ymgMmVmaFy CGMCGh   (2.14) 
   )t(IIsin2LMgcos2LHsin2LVIM MhCGh   (2.15) 
 Como se observa, é necessário encontrar a relação do centro de gravidade para a haste 
e para a massa M. Abaixo a relação para a haste, pois a diferença entre a massa L/2, 
 
  
 )t(sin)t()t(cos)t(L)t(x)t(x
)t(sin)t()t(cos)t(2
L)t(x)t(x
)t(cos)t(2
L)t(x)t(x
)t(sin2
L)t(x)t(x
2
CGM
2
CGh
CGh
CGh






 (2.16) 
 
  
 )t(cos)t()t(sin)t(L)t(y
)t(cos)t()t(sin)t(2
L)t(y
)t(sin)t(2
L)t(y
)t(cos2
L)t(y
2
CGM
2
CGh
CGh
CGh






 (2.17) 
 
 As equações de movimento são encontradas substituindo (2.16) em (2.13) e então em 
(2.12), assim, 
 
     )t(u)t(sin)t()t(cos)t(L)t(xM
)t(sin)t()t(cos)t(2
L)t(xm)t(xM
2
2
C



 

 
 
 Reagrupando, 
 
       )t(u)t(sin)t()t(cos)t(2LM2m)t(xMMm 2C   (2.18) 
 Agora substituindo (2.13) e (2.14) em (2.15), 
 
 
37 
    
  0sin2LMgcos2L)t(xM)t(xm
sin2
LMm)t(yM)t(ym)t(II
CGMCGh
CGMCGhMh




 
 
 Reagrupando, 
 
   
    0sin2LgM2mcos2L)t(xM)t(xm
sin2
L)t(yM)t(ym)t(II
CGMCGh
CGMCGhMh




 
 
 Agora substituindo (2.16) e (2.17) na equação acima, 
 
 
     
      
  0sin2LgM2m
)t(sin)t()t(cos)t(cos4
LM2mcos2
L)t(xMm
)t(cos)t()t(sin)t(4
LsinM2m)t(II
22
22
Mh





 (2.19) 
 
 Assim, as equações (2.18) e (2.19) são as equações não-lineares do pendulo invertido. 
Para encontrar as equações na forma linear, considera-se o ponto em torno de θ = 0. Assim, 
 
     )t(u)t(2LM2m)t(xMMm C   (2.20) 
       02LgM2m)t(x2LMm)t(4LM2mII
2
Mh 

   (2.21) 
 
 Como os momentos de inércia são dados por, 
 
 2M MLI  Massa pontual girando a uma distância L; 
 12
mLI 2h  Haste de comprimento L girando pelo Centro de Gravidade; 
 
 Assim, o a equação de movimento linear na forma de matriz é dada por, 
 
 
    









 













 

0
)t(u
)t(
)t(x
2
gLM2m0
00
)t(
)t(x
L4
M3
3
m
2
LMm
2
LMmMMm
2
C

 
 
Comentário sobre linearização: Em geral a linearização é feita durante o processo de 
modelagem e não aplicado diretamente na equação não-linear final, assim como o objetivo é 
 
38 
encontrar a equação do pendulo invertido linear, os termos não lineares dos centros de 
gravidade poderiam ser encontrados conforme, 
 
 )t(sin)t()t(cos)t(2L)t(x)t(x
)t(cos)t(2
L)t(x)t(x
)t(sin2
L)t(x)t(x
2
CGh
CGh
CGh




 → 
)t(2
L)t(x)t(x
)t(2
L)t(x)t(x
)t(2
L)t(x)t(x
CGh
CGh
CGh




 
 
 Para a outra parte, 
 
 )t(cos)t()t(sin)t(2L)t(y
)t(sin)t(2
L)t(y
)t(cos2
L)t(y
2
CGh
CGh
CGh




 → 
0)t(y
0)t(y
2
L)t(y
CGh
CGh
CGh




 
 
2.5 Representação em Espaço de Estado 
 
 A representação em espaço de estado é uma alternativa para a representação em 
função de transferência. Ele é extremamente útil quando o sistema a ser representado possui 
múltiplas entradas e saídas. Além disso, ela é utilizada pelo método de controle de alocação 
de polos por necessitar de uma realimentação de estado. 
 
 O Estado de um sistema dinâmico é o menor conjunto de variáveis (chamada 
variáveis de estado), tais que o conhecimento dessas variáveis em t = t0, junto ao conhecimento da entrada para t ≥ t0, determina completamente o comportamento do sistema para qualquer instante t ≥ t0. 
 As Variáveis de Estado de um sistema dinâmico são aquelas que constituem o menor 
conjunto de variáveis capaz de determinar o estado desse sistema dinâmico. 
 
 A representação em espaço de estado é definida por, 
                    1rrm1nnm1m 1rrn1nnn1n )t(uD)t(xC)t(y
)t(uB)t(xA)t(x



 
  Vetor de estado x(t) é o vetor de ordem n que contém todos os estados.  Vetor de saída y(t) é o vetor de ordem m que contém todas as respostas.  Vetor de entrada u(t) é o vetor de ordem r que contém todas as entradas.  Matriz de estado A é a matriz de ordem n×n que contém os autovalores e os 
autovetores do sistema. Os autovalores são os polos do sistema. 
 
39 
 Matriz de entrada B é a matriz de ordem n×r da entrada.  Matriz de saída C é a matriz de ordem m×n da saída.  Matriz de transmissão direta D é matriz de ordem m×r que correlaciona diretamente 
a entrada com a saída. 
 
 A representação em diagramas de bloco do sistema acima é dada por, 
 
 
Figura 2-23: Representação em diagrama de blocos do espaço de estado. 
 
 Ao contrário da representação em Função de Transferência, a representação de espaço 
de estado não é única. Dependendo da escolha dos estados, gera-se uma representação 
diferente. Como curiosidade, veja capítulo 9 do Ogata onde há a representaçãoem espaço de 
estado nas formas canônicas controlável, observável e de Jordan. 
 
2.5.1 Representação quando não há derivadas da entrada 
 
 Para a representação em espaço de estado quando não há derivadas da entrada, 
considera-se a seguinte equação diferencial de ordem n, 
 
)t(u)t(ya)t(ya)t(ya)t(y n1n
)1n(
1
)n(    
 Observando que as condições iniciais são nulas. Definindo os estados conforme, 
 
 
















)t(y
)t(y
)t(y
)t(x
)t(x
)t(x
)t(x
)1n(
n
2
1
1n 


 
 
 As derivadas dos estados são dadas por, 
 
 
40 





















 )t(x
)t(x
)t(x
)t(y
)t(y
)t(y
)t(x
)t(x
)t(x
n
3
2
)1n(
1n
2
1







 
 
 A última derivada vem da própria equação reescrita da seguinte forma, 
 
)t(u)t(xa)t(xa)t(xa)t(x n121n1nn    
 Ou na forma de estado, 
 
)t(u
1
0
0
0
)t(x
)t(x
)t(x
)t(x
aaaa
1000
0100
0010
)t(x
)t(x
)t(x
)t(x
n
1n
2
1
12n1nnn
1n
2
1





















































 











 
    )t(u0
)t(x
)t(x
)t(x
001)t(y
n
2
1









 
 
 Observe que a representação em função de transferência é dada por, 
 
n1n
1n
1
n asasas
1
)s(U
)s(Y
   
 Observe que para a transformação e comparação deve-se perceber que a maior 
derivada de y(t) é igual à unidade assim como u(t). 
 
Exemplo 1: Apenas uma equação. Representação em espaço de estado de, 
 
)t(f)t(Ky)t(yC)t(yM   
 
 Número de estados: 1 equação de 2ª ordem n = 2; 
 Número de entradas: 1 entrada f(t) r = 1; 
 Número de saídas: 1 saída y(t) m =1; 
 
 Vetor de estados, 
  


 )t(x
)t(x)t(x
2
1
12 
 Relação do vetor de estado com as variáveis do problema, 
 
41 
  





 )t(y
)t(y
)t(x
)t(x)t(x
2
1
12 
 
 Equações de estado devem ser definidas de tal forma que do lado esquerdo seja a 
derivada dos estados e do lado direito apenas os estados, isto é, não pode haver derivadas dos 
estados do lado direito das equações de estado. Assim, 
 
)t(x)t(y)t(x 21   
 A segunda equação de estado vem da equação diferencial, pois )t(y)t(x 2   , 
)t(fM
1)t(yM
K)t(yM
C)t(y
)t(f)t(Ky)t(yC)t(yM




 
 
 Substituindo os estados, encontra-se, 
 
)t(fM
1)t(xM
K)t(xM
C)t(x 122  
 
 Escrevendo as equações de estado, 
 
 )t(u
M
10)t(x
)t(x
M
C
M
K 10)t(x
)t(x
2
1
2
1
















 (2.22) 
 
 Como o objetivo é medir a entrada y(t) ela é dada pelo estado x1(t), assim, 
     )t(u0)t(x )t(x01)t(y 21  (2.23) 
 
 As equações (2.22) e (2.23) formam a representação em espaço de estado. Observe 
que a matriz D é nula, pois não houve uma ligação direta entre a entrada e a saída. 
 
Exemplo 2: Múltiplas Equações. Suspensão Ativa, equação de movimento, 
 


























)t(w
)t(u
K1
01
)t(y
)t(y
KKK
KK
)t(y
)t(y
CC
CC
)t(y
)t(y
M0
0M
pn
s
pn
s
n
s
n
s



 
 
 Número de estados: 2 equações de 2ª ordem n = 4; 
 Número de entradas: 2 entrada u(t) e w(t) r = 2; 
 Número de saídas: 2 saídas ys(t) e yn(t) m =2; 
 Vetor de estados e relação com as variáveis, 
 
42 
 














)t(y
)t(y
)t(y
)t(y
)t(x
)t(x
)t(x
)t(x
)t(x
n
s
n
s
4
3
2
1
14


 
 
 Equações de estado, 
 
)t(x)t(y)t(x
)t(x)t(y)t(x
4n2
3s1



 
 
 As outras duas equações vêm das equações de movimento conforme, 
 
 Como,     )t(u)t(y)t(yC)t(y)t(yK)t(yM nsnsss   
 Então, 
    )t(uM1)t(x)t(xMC)t(x)t(xMK)t(x s43s21s3  E,       )t(u)t(w)t(yK)t(y)t(yC)t(y)t(yK)t(yM npsnsnnn   
 Então, 
      )t(uM1)t(w)t(xMK)t(x)t(xMC)t(x)t(xMK)t(x n2np34n12n4  
 Na forma matricial, 
 












































)t(w
)t(u
M
K
M
1
0M
1 00
00
)t(x
)t(x
)t(x
)t(x
M
C
M
C
M
KK
M
K
M
C
M
C
M
K
M
K 1000
0100
)t(x
)t(x
)t(x
)t(x
n
p
n
s
4
3
2
1
nnn
p
n
ssss
4
3
2
1




 
 
 Para a resposta, assumindo que é necessário medir apenas o deslocamento yn(t) e ys(t) 





















)t(w
)t(u
00
00
)t(x
)t(x
)t(x
)t(x
0010
0001
)t(y
)t(y
)t(y
)t(y
4
3
2
1
2
1
n
s 
 
 A matriz D é uma matriz nula, foi indicada apenas por conveniência para ser 
observado a sua dimensão. 
 
 
43 
 Para demostrar o potencial da modelagem de estado, será feita uma saída na qual são 
apresentados os deslocamentos, velocidades e acelerações tal que, 
 
 






























)t(y
)t(y
)t(y
)t(y
)t(y
)t(y
)t(y
)t(y
)t(y
)t(y
)t(y
)t(y
)t(y
n
s
n
s
n
s
6
5
4
3
2
1
16



 
 
 Neste caso, as acelerações são dadas pelas próprias equações de estado, sendo escritas 
nas saídas como, 
 

























































)t(w
)t(u
M
K
M
1
0M
1 00
00
00
00
)t(x
)t(x
)t(x
)t(x
M
C
M
C
M
KK
M
K
M
C
M
C
M
K
M
K 1000
0100
0010
0001
)t(y
)t(y
)t(y
)t(y
)t(y
)t(y
n
p
n
s4
3
2
1
nnn
p
n
ssss
6
5
4
3
2
1
 
 
 Assim, a saída é sempre composta por uma combinação linear das variáveis de estado. 
 
Curiosidade:Observe que se as variáveis de estado estiverem ordenadas como sendo as 
variáveis lineares e depois suas derivadas, ou como neste caso, deslocamento e velocidade, 
assim como foram escolhidas originalmente, isto é, 
 
 














)t(y
)t(y
)t(y
)t(y
)t(x
)t(x
)t(x
)t(x
)t(x
n
s
n
s
4
3
2
1
14


 
 
 Partindo da Equação original, que pode ser escrita na forma compacta como, 
           )t(f)t(xK)t(xC)t(xM   
 
 Dividindo pela massa, 
                )t(fM)t(xCM)t(xKM)t(x 111    
 
 Observe que as equações de estado na forma matricial podem ser escritas como, 
 
 
44 
 )t(u)t(fM ]0[}x{ }x{CMKM ]I[]0[}x{ }x{ 1vd11vd 












 
 
Onde,       








 )t(w
)t(u)t(u;)t(y
)t(yx;)t(y
)t(yx
n
s
v
n
s
d 
 
 














ppn
s
K1
01)]t(f[;KKK
KK]K[;CC
CC]C[;M0
0M]M[ 
 
2.5.2 Representação quando há derivadas da entrada 
 
 Quando há derivadas da entrada, há a necessidade de se dividir em duas equações 
conforme apresentado abaixo. Supondo a seguinte equação de movimento, 
 
)t(r2)t(r7)t(r)t(c24)t(c26)t(c9)t(c   
 
 Cuja função de transferência é dada por, 
 
24s26s9s
2s7s
)s(R
)s(C
23
2

 
 
 Dividindo em duas funções de transferência entre o denominador e o numerador 
formando dois sistemas em série tal que a entrada de um é a saída do outro conforme, 
 
24s26s9s
1
)s(R
)s(Z
23  e 2s7s)s(Z
)s(C 2  
 
 Como já foi visto antes a representação em Espaço de Estado para a Função de 
Transferência definida por Z(s)/R(s) é feita conforme a aplicação da transformada inversa 
para voltar para equação diferencial, 
   )s(R)s(Z24s26s9s 23  
 
 Chegando a, 
 
)t(r)t(z24)t(z26)t(z9)t(z   
 
 Número de estados: 1 equação de 3ª ordem n = 3; 
 Número de entradas: 1 entrada r(t) r = 1; 
 Número de saídas: 1 saída z(t) m =1; 
 
 Vetor de estados e a sua relação com as variáveis do problema, 
 
45 
  












z
z
z
x
x
x
)t(x
3
2
1
13

 
 
 Equações de estado, 
 
)t(x)t(z)t(x
)t(x)t(z)t(x
32
21



 
 
 A última equaçãode estado é dada por, 
 
)t(r)t(x24)t(x26)t(x9
)t(r)t(z24)t(z26)t(z9)t(z)t(x
123
3

  , 
 
 Então, escrevendo as equações de estado na forma matricial, 
 
)t(r
1
0
0
)t(x
)t(x
)t(x
92624
100
010
)t(x
)t(x
)t(x
3
2
1
3
2
1






























 
 
 Agora pegando a segunda função de transferência C(s)/Z(s) e passando para equação 
diferencial,   )z(Z2s7s)s(C 2  
 
 Aplicando a transformada de Laplace inversa, 
 
)t(z2)t(z7)t(z)t(c   
 
 Substituindo os estados definidos anteriormente para as derivadas de z(t), 
 
)t(x2)t(x7)t(x)t(c 123  
 
 Desta forma a resposta será dada por, 
 
  






)t(x
)t(x
)t(x
172)t(c
3
2
1
 
 
Exemplo: Passar para Espaço de Estado a seguinte função de transferência, 
 
24s26s9s2
20s3s2s
)s(R
)s(C
23
23

 
 
 
46 
 Realizando a divisão para o maior grau do denominador ser unitário, 
 
12s13s2
9s
10s2
3ss2
1
)s(R
)s(C
23
23

 
 
 Separando em duas funções de transferências em série, 
 
12s13s2
9s
1
)s(R
)s(Z
23 
 e 10s2
3ss2
1
)s(Z
)s(C 23  
 
 Aplicando a transformação para Z(s)/R(s), 
 
)s(R)s(Z12s13s2
9s 23 

  
 
 Aplicando a transformada inversa de Laplace para voltar para equação diferencial, 
 
)t(r)t(z12)t(z13)t(z2
9)t(z   
 
 Número de estados: 1 equação de 3ª ordem n = 3; 
 Número de entradas: 1 entrada r(t) r = 1; 
 Número de saídas: 1 saída z(t) m =1; 
 
 Vetor de estados e a sua relação com as variáveis do problema, 
  












z
z
z
x
x
x
)t(x
3
2
1
13

 
 
 Equações de estado, 
 
)t(x)t(z)t(x
)t(x)t(z)t(x
32
21



 
 
 A última equação de estado é dada por, 
 
)t(r)t(x12)t(x13)t(x2
9)t(z)t(x 1233   , 
 
 Então, escrevendo as equações de estado na forma matricial, 
 
 
47 
)t(r
1
0
0
)t(x
)t(x
)t(x
2
91312
100
010
)t(x
)t(x
)t(x
3
2
1
3
2
1






























 
 
 Agora pegando a segunda função de transferência C(s)/Z(s) e passando para equação 
diferencia, 
)s(Z10s2
3ss2
1)s(C 23 

  
 
 Aplicando a transformada de Laplace inversa, 
 
)t(z10)t(z2
3)t(z)t(z2
1)t(c   
 
 Substituindo os estados definidos anteriormente para as derivadas de z(t), 
 
)t(x10)t(x2
3)t(x)t(x2
1)t(c 1233   
 
 Chegando a, 
 
)t(x10)t(x2
3)t(x)t(rx12x13x2
9
2
1)t(c 123123 

  
 
 Então, a última equação fica, 
 
)t(r2
1)t(x4)t(x5)t(x4
5)t(c 123  
 
 Desta forma a resposta será dada por, 
 
)t(r2
1
)t(x
)t(x
)t(x
4
554)t(c
3
2
1 







  
 
2.5.3 Formulação Alternativa 
 
 Considerando o sistema como apresentado abaixo, 
 
)t(ub)t(ub)t(xb)t(ub)t(ya)t(ya)t(ya)t(y n1n
)1n(
1
)n(
0n1n
)1n(
1
)n(    
 
 
48 
 O problema está na escolha dos estados para eliminar as derivadas da entrada nas 
equações de estado. Uma maneira é fazendo a definição dos estados conforme, 
 
uxx
uxuuuyx
uxuuyx
uyx
1n1nn
222103
11102
01
 







 
 
Onde os βs são definidos por, 
 
01n12n2n11n1n
03122133
021122
0111
00
aaab
aaab
aab
ab
b





 

 
 
 Com estas escolhas obtêm-se as seguintes equações de estado, 
 
uxx
uxx
uxx
1nn1n
232
121
 






 
 
 A última equação de estado vem da substituição dos estados na equação diferencial 
original, encontrando, 
 
uxaxaxax nn121n1nn    
 Para encontrar a equação acima ver problema A.2.6 do Ogata. Com estas definições, a 
representação em espaço de estado fica, 
 
)t(u
)t(x
)t(x
)t(x
)t(x
aaaa
1000
0100
0010
)t(x
)t(x
)t(x
)t(x
n
1n
2
1
n
1n
2
1
12n1nnn
1n
2
1





































































 
 
49 
  u
)t(x
)t(x
)t(x
001)t(y 0
n
2
1









 
 
 Observe que a função de transferência para a equação diferencial fica, 
 
n1n
1n
1
n
n1n
1n
1
n
0
asasas
bsbsbsb
)s(U
)s(Y





 
 
Exemplo: Passar o sistema abaixo de função de transferência para espaço de estado. 
 
8s6s4s2
2s3)s(G 23
2

 
 
 Para a comparação com a formulação proposta, deve-se dividir a função de 
transferência por 2, assim, 
 
32
2
1
3
3
2
1
23
2
asasas
bsb
4s3s2s
1s2/3)s(G 

 
 
 Assim, 
 
     2/52/33321 32/32
2/3
0
3
2
1
0




 
 
 Montando a representação em espaço de estado, 
 
)t(u
2/5
3
2/3
)t(x
)t(x
)t(x
234
100
010
)t(x
)t(x
)t(x
3
2
1
3
2
1
































 
  






)t(x
)t(x
)t(x
001)t(y
3
2
1
 
 
2.5.4 Passagem de espaço de estado para função de transferência 
 
 Pode-se também passar de Espaço de Estado para função de transferência, conforme 
mostrado abaixo. Partindo da representação em espaço de estado, 
 
50 
                    1rrm1nnm1m 1rrn1nnn1n )t(uD)t(xC)t(y
)t(uB)t(xA)t(x



 
 
 Aplicando transformada de Laplace, na 1ª equação, 
          
    )s(BUAsI)s(X)s(BU)s(XAsI
)s(UB)s(XA)s(XsI
1
1rrn1nnn1n



 
 
 Substituindo na transformada de Laplace da 2ª equação, 
 
  )s(DU)s(BUAsIC)s(Y
)s(DU)s(CX)s(Y
1 

 
 
 Chegando a, 
 
  DBAsIC)s(U )s(Y 1   
 
Onde I representa a matriz identidade de ordem “n”. Como Y(s) possui dimensão “m” e U(s) 
possui dimensão “r”, então são geradas “ rm ” funções de transferências sendo que todas 
possuem o mesmo denominador que é formado por (sI - A)-1. Deve-se verificar se ocorre 
cancelamento entre polos e zeros. 
 
Exemplo: considerando a seguinte representação em espaço de estado, 
 
)t(u
0
0
2
)t(x
)t(x
)t(x
010
002
22/32
)t(x
)t(x
)t(x
3
2
1
3
2
1





















 









 
  






)t(x
)t(x
)t(x
4/104/3)t(y
3
2
1
 
 
 Aplicando a fórmula para conversão para função de transferência, 
 
   























 












0
0
2
010
002
22/32
100
010
001
s4/104/3BAsIC)s(U
)s(Y
1
1 
 
 Resolvendo a parte interna, 
 
 
51 
 





















0
0
2
s10
0s2
22/32s
4/104/3)s(U
)s(Y
1
 
 
 Invertendo a matriz, 
 
 





















 0
0
2
3s2s2s2
4s2ss2
s22
4s3s
4s3s2s
14/104/3)s(U
)s(Y
2
2
2
23 
 
 Resolvendo as multiplicações, 
 
 










  0
0
2
4
3s4s
8
8s7
4
2s3
4s3s2s
1
)s(U
)s(Y 22
23 
 
 Resultando em, 
 
8s6s4s2
2s3
)s(U
)s(Y
23
2

 
 
Curiosidade: Observe que esta função de transferência gerou outra representação em espaço 
de estado. Isso significa que a representação em espaço de estado não é única. Existem 
algumas representações de espaço de estado padrões, são elas as Formas Canônicas 
Controlável, Observável e de Jordan. 
 
 Se for possível escrever a forma canônica controlável, significa que o sistema é de 
estado completamente controlável, isto é, é possível passar o sistema do estado A para o 
estado B em um tempo finito utilizando uma lei de controle finita. Em outras palavras é 
possível controlar todo o sistema. 
 
 Se for possível escrever a forma canônica observável, significa que todos os estados 
do sistema são conhecidos a qualquer instante de tempo, isto é, os estados podem ser medidos 
e previstos. Em outras palavras, qualquer informação do sistema pode ser obtida a qualquer 
instante de tempo. 
 
 A forma canônica de Jordam é uma representação na qual a matriz A é uma forma 
diagonalcom os termos da diagonal sendo os polos do sistema. 
 
 
52 
2.6 Classificação dos Sistemas quanto ao número de entradas e 
Saídas 
 
Uma entrada x Uma saída: SISO (Single Input, Single Output) 
Múltiplas entradas x Uma saída: MISO (Multiple Inputs, Single Output) 
Uma entrada x Múltiplas saídas: SIMO (Single Input, Multiple Outputs) 
Múltiplas entradas x Múltiplas saídas: MIMO (Multiple Inputs, Multiple Outputs) 
 
2.7 Exercícios Propostos 
 
2.7.1 Sistemas Translacionais 
 
 Encontrar as equações de movimento na forma matricial para os sistemas abaixo. 
 
 
 (a) (b) 
 (c) 
 
2.7.2 Sistemas de Reservatórios 
 
 Para o sistema abaixo,  Encontrar as equações dinâmicas que descrevem o sistema de reservatórios:  Montar o diagrama de blocos. Supondo q1(t) = 0, encontrar Q3(s)/Q2(s); 
 
 
53 
 
 Para o sistema abaixo, encontrar as funções de transferência definidas por:  A entrada Q1(s) com a saída Q4(s)  A entrada Q1(s) com a altura H3(s)  A altura H1(s) com a altura H3(s) 
 
 
 
2.7.3 Linearização 
 
 Encontrar as formas linearizadas para as seguintes equações, 
 
    2xyy,xg  para (x,y) = (-1,1) 
     2x zysinez,y,xg  para (x,y,z) = (1,0,-1) 
           225421x12222 u34 uux211x2ln1ex1 2x 1   
 para o ponto    1,1,1u,x,x 21  
 e) 0Kx)sin(x)cos(e
umgL)xcos()sin(x
x 


 para o ponto    0,1,x  
 
 
54 
2.7.4 Espaço de Estado 
 
 Encontrar representação em Espaço de Estado para, 
  )t(u4)t(x3)t(x7)t(x   
 Medindo apenas x(t); 
 Medindo apenas )t(x2)t(x3  ; 
 Medindo apenas )t(u5)t(x2)t(x3  ; 
 
 1s2s3s4s5
7s3
)s(R
)s(C)s(G 234 
 
 Medindo apenas c(t), 
 Medindo apenas )t(c3)t(c2  ; 
 
 )s(D1s2s3s2
5)s(U1s2s3s2
7)s(C 2323  
 Medindo tudo ao mesmo tempo c(t), )t(c , )t(c e 
)t(d5)t(u2)t(c3  , isto é, todas as respostas devem estar 
contidas na resposta y(t) 
  Modelo translacional b 
 Medindo y1(t), y2(t) e y3(t) 
 
 Passar de Espaço de estado para Função de Transferência, 
 
)t(u
0
2
3
)t(x
)t(x
)t(x
020
001
22/33
)t(x
)t(x
)t(x
3
2
1
3
2
1





















 









 
  






)t(x
)t(x
)t(x
4/104/3)t(y
3
2
1
 
 
 
 
 
55 
3 Transformada de Laplace 
 
 A vantagem na utilização da transformada de Laplace para se estudar a resposta de 
sistemas consiste no fato que a transformada de Laplace transforma uma equação diferencial 
em uma equação algébrica, onde é aplicada a entrada e então calculada a transformada inversa 
de Laplace para obter a resposta temporal. 
 
 Deve-se observar que sempre que possível, será mantido o formalismo matemático 
para obtenção dos resultados. Porém, o foco principal não é a obtenção da transformada ou 
transformada inversa de Laplace, mas apenas a sua aplicação na obtenção das respostas 
temporais. Sendo assim, o objetivo será criar uma tabela de consulta com as principais 
transformadas e utilizá-las. 
 
3.1 Definição 
 
 A Transformada de Laplace é definida por, 
 
    
0
stdte)t(f)s(F)t(fL (1) 
Onde  f(t) é a função temporal sendo que f(t) = 0 para t < 0;  s é a variável complexa;  L é o operador da transformada;  F(s) é a transformada de Laplace de f(t). 
 
 Observe que uma condição imposta para a realização da transformada de Laplace da 
função f(t) é, 
 
f(t) = 0, para t < 0 
 
 Está condição é conhecida como CAUSALIDADE, significando que a função só 
existe para a parte positiva dos tempos ou que fisicamente um sistema só pode responder à 
uma determinada entrada depois da existência da própria entrada. 
 
3.2 Transformada de Laplace 
 
3.2.1 Funções Simples 
 
 Função Exponencial: 
 



  0t0
0tAe)t(f t 
 
56 
 
Onde A e α são constantes em relação ao tempo. A transformada de Laplace aplicando a 
definição, 
 
        
    s As 10AseAdteAdteAeAeL 0
ts
0
ts
0
sttt 
 
 Função Degrau: 



 0t0
0tA)t(f 
 
Onde A é constante em relação ao tempo. Esta transformada é um caso especial da função 
exponencial onde foi feito α = 0. Note que ela não é definida para t = 0. 
 
  sAs10AseAdtAeAL 0
st
0
st 

 


  
 
 Função Degrau Unitário: 



 0t0
0t1)t(1 
 
 Note que ela não é definida para t = 0, sua transformada é dada por, 
 
  s1s10sedtedte)t(1)t(1L 0
st
0
st
0
st 
    
 
 Observe que se pode transformar qualquer função em uma função causal 
multiplicando-a pelo degrau unitário. Além disso, as transformadas podem ser definidas 
utilizando a função degrau unitário. Por exemplo, 
              s AdteAAeLdte)t(1AAe)t(1L 0 tst0 tst 
 
 Função Rampa: 



 0t0
0tAt)t(f 
 
 Sua transformada é dada por, 
 
 
57 
      
0
st
0
st dtteAdtAteAtL 
 Aplicando integral por partes, sendo que, 
 
  b
a
b
a
b
a
vduuvudv 
 
 Então, fazendo, 
 
 u = t → du = dt e dtedv st → s
ev st 
 
  


 








   
0
2
st
0
st
0
st
0
st
0
st
s
e
s
etAdts
e
s
etAdtteAAtL 
 
 Como stte é indeterminado para t →∞, então, Aplicando L’Hôpital, 
0se
1Lime
tLim sttHôpital'Lstt    
 
 Desta forma, 
 
  22
0
2
st
s
A
s
10As
eAAtL 

 



 
 
 Função Senoidal:  



 0t0
0ttsinA)t(f 
 Aplicando a definição, 
 
     
0
stdtetsinAtsinAL 
 
 Sabendo-se que, pelo teorema de Euler, 
 
   tjtj eej21tsin   
 
 
58 
      
 
222222
0
sttj
0
sttj
0
sttjtj
0
st
s
A
s
j2
j2
A
s
jsjs
j2
A
js
1
js
1
j2
A
dteedteej2
Adteeej2
1AdtetsinAtsinAL









 

       
 
 
 Função Cossenoidal:  



 0t0
0ttcosA)t(f 
 
 Sabendo-se que, pelo teorema de Euler, 
 
   tjtj ee21tcos   
      
 
222222
0
sttj
0
sttj
0
sttjtj
0
st
s
As
s
s2
2
A
s
jsjs
2
A
js
1
js
1
2
A
dteedtee2
Adteee2
1AdtetcosAtcosAL







 

       
 
 
3.2.2 Propriedades 
 
 As propriedades da transformada de Laplace são as mesmas propriedades vindas da 
integral. Sendo assim, como propriedades tem-se a transformada da soma de funções 
temporais é a soma das transformadas e a multiplicação por constantes, então, 
 
L[αf(t)+βg(t)] = αL[f(t)]+βL[g(t)] 
 
Sendo α e β constantes. 
 
 Prova: 
 
  )s(G)s(Fdte)t(gdte)t(fdte)t(g)t(f
0
st
0
st
0
st       
 
3.2.3 Funções Especiais 
 
 Função Transladada: 
 A função transladada é definida por    at1atf  com t < a. As funções f(t), f(t)1(t) 
e    at1atf  são apresentadas abaixo. 
 
59 
 
 
Figura 3-1: Função transladada 
 
 Aplicando a definição de Transformada de Laplace, 
 
         
0
stdteat1atfat1atfL 
 
 Aplicando uma substituição de variável tal que at  , 
 
           
  
a
as
0
st de1fdteat1atf 
 
 Como aparece o degrau unitário 1(τ) e a integral é feita em “τ”, então de “– a” a 0 a 
integral já é zero, assim, 
 
               0 sas0 sasa as defedeefde1f 
 
 Observe que, antes a definição de transformada de Laplace fazia a transformação de 
“t” para “s”, agora é feita a transformação de “τ” para “s”, então, 
 
       )s(Fedefeat1atfL as
0
sas     
Onde α é o tempo de translação e F(s) é a Transformada de Laplace de f(t). 
 
 Função Pulso Retangular: 






tt,0t0
tt0t
A
)t(f
0
0
0 
 
 Reescrevendo a função como uma soma de dois pulsos defasados, 
 
  )tt(1tA)t(1tAtf 000  
 
60 
 
 Então, aplicando a transformada de Laplace, 
 
      
 00 st
0
st
00
0
00
e1st
A
s
e
t
A
s
1
t
A
)tt(1Lt
A)t(1Lt