Atividade 4 - Vetores e Geometria Analitica - Laura Helena de Melo Passoni

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Resolução dos exercícios D.138, D.140, D.141 E D.149 
 
 
D.176 
 
Determinar a inversa de cada matriz abaixo: 
 
B = [
2 5
1 3
] C = [
1 0
0 2
] 
 
Primeiramente deve ser identificado a matriz identidade, no caso 
 
I = [
1 0
0 1
] 
 
Assim B. B-1 = I 
 
[
2 5
1 3
] . [
a b
c d
] = [
1 0
0 1
] 
 
[
2. a + 5. c 2. b + 5. d
1. a + 3. c 1. b + 3. d
] = [
1 0
0 1
] 
 
 Comparando os termos correspondentes temos as seguintes equações: 
 
2a + 5c = 1 
2b + 5d = 0 
a + 3c = 0 
b + 3d = 1 
 
Portanto resolvemos os sistemas de equações por substituição: 
 
Sistema 1 
 
{
𝑎 + 3𝑐 = 0 → a = −3c
2𝑎 + 5𝑐 = 1
 
 
2𝑎 + 5𝑐 = 1 
2. (−3𝑐) + 5 = 1 
−6𝑐 + 5𝑐 = 1 
−1𝑐 = 1 
−𝑐 = 
1
1
 
𝑐 = − 1 
 
Para encontrar a: 
 
𝑎 + 3𝑐 = 0 
𝑎 + 3. (−1) = 0 
𝑎 + (−3) = 0 
𝑎 – 3 = 0 
𝑎 = 3 
 
 
Sistema 2 
 
{
b + 3d = 1 (-2)
2b + 5d = 0
 
 
 
 
Para encontrar d: 
 
{
-2b - 6d = -2 (-2)
2b + 5d = 0
 
 
−2𝑏 − 6𝑑 = −2 
2𝑏 + 5𝑑 = 0 
______________ 
 
−1𝑑 = −2 
𝑑 = 2 
 
 
 
Para encontrar b: 
 
2𝑏 + 5𝑑 = 0 
2𝑏 + 5. (2) = 0 
2𝑏 + 10 = 0 
2𝑏 = −10 
𝑏 = 
−10
2
 
𝑏 = −5 
 
 
 
Portando a matriz inversa de B ou B-1 é 
 
 [
3 -5
-1 1
] 
 
Para calcular a inversa de C utilizaremos os mesmos passos anteriores, porém de forma menos 
descritiva. 
 
C = [
1 0
0 2
] 
 
[
1 0
0 2
] . [
a b
c d
] = [
1 0
0 1
] 
 
[
1. a + 0. c 1. b + 0. d
0. a + 2. c 0. b + 2. d
] = [
1 0
0 1
] 
 
[
a b
2c 2d
]= [
1 0
0 1
] 
 
Assim temos as seguintes equações 
 
a = 1 
b = 0 
2c = 0 → 0 
2d = 1 → 1/2 
 
Portanto a matriz inversa de C ou C-1 é: 
 
 
[
1 0
0
1
2
] 
 
 
 
 
D.187 
Calcular os determinantes: 
 
A = [
-3 -1
2
1
2
] B = [
13 7
11 5
] 
 
Para calcular o determinante de A é necessário encontrar as diagonais da matriz. Assim temos: 
 
[
-3 -1
2
1
2
] 
 
Portanto multiplicamos os valores da diagonal principal, mantendo o sinal 
 
−3 .
1
2
 = 
−3
2
 
 
E o também o produto da diagonal secundaria, portanto mudamos o sinal para realizar a soma 
no final. 
 
2 . -1 = -2 → 2 
Por fim somamos para encontrar o determinante: 
−3 
2
+ 2 
-3 + 4
2
 
1
2
 
 
 
Para calcular o determinante de B 
B = [
13 7
11 5
] 
13 . 5 = 65 
7 . 11 = 77 → − 77 
65 – 77 = −13 
Assim o determinante é -12 
D.191 
Calcular os determinantes pela regra de Sarrus: 
A = [
1 1 0
0 1 0
0 1 1
] 𝑒 B = [
1 3 2
-1 0 -2
2 5 1
] 
 
Para calcular o determinante de A, adicionamos duas novas colunas, repetindo os valores das 
duas primeiras para realizar a multiplicação e soma. 
 
A = [
1 1 0 1 1
0 1 0 0 1
0 1 1 0 1
] 
 - - - + + + 
-0 – 0 – 0 +1 +0 +0 
0 + 1 = 1 
 
B = [
1 3 2
-1 0 -2
2 5 1
] 
[
1 3 2 1 3
-1 0 -2 -1 0
2 5 1 2 5
] 
-0 +10 +3 + 0 - 12 - 10 
13 - 22 = 9