Atividade Distancias - Laura Helena de Melo Passoni

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Atividade Distancias - Laura Helena de Melo Passoni 
 
1) Mostrar que o ponto 𝑃1 (2, 2, 3) é equidistante dos pontos 𝑃2(1, 4, −2) e 𝑃3(3, 7, 5) 
 
//Para mostrar que os pontos são equidistantes, devemos calcular os vetores e 
posteriormente encontrar o seu módulo. Assim: 
 
𝑃1𝑃2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑃2 − 𝑃1 
 
𝑃1𝑃2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (1, 4, −2) − (2, 2, 3) 
 
𝑃1𝑃2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (−1, 2, −5) 
 
 
// seguimos para o modulo do vetor 
 
𝑑𝑃1𝑃2 = √−1
2 22 −52 
 
 
𝑑𝑃1𝑃2 = √1 + 4 + 25 
 
𝑑𝑃1𝑃2 = √30 𝑢. 𝑐. 
 
//Para o outro vetor temos: 
𝑃1𝑃3⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑃3 − 𝑃1 
 
𝑃1𝑃3⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = −(3, 7, 5) − (2 , 2, 3) 
 
𝑃1𝑃3⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (1, 5, 2) 
 
 
// seguimos para o modulo do vetor 
 
𝑑𝑃1𝑃3 = √1 
2 + 52 + 22 
 
𝑑𝑃1𝑃3 = √1 + 25 + 4 
 
𝑑𝑃1𝑃3 = √30 𝑢. 𝑐. 
 
 
 
3)Calcular: 
 
a) A distância do ponto 𝑃(1, 2, 3) á reta 
 
 
 
𝑟 {
𝑥 = 1 − 2𝑡
𝑦 = 2𝑡
𝑧 = 2 − 𝑡
 
 
//Primeiro encontramos o ponto 𝑃1 dado pelas equações, portanto: 
 
𝑃1(1,0,2) 
 
 
//Depois calculamos o vetor 𝑃1𝑃0 
 
𝑃1𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑃0 − 𝑃1 = (0,2,1) 
 
 
//O vetor diretor da reta 
𝑣 = (−2, 2, −1) 
 
//O produto vetorial entre 𝑣 e 𝑃1𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 
 
𝑣 𝑥 𝑃1𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = |
𝑖 𝑗 �⃗� 
−2 2 −1
0 2 1
| 
 
𝑣 𝑥𝑃1𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (4,2,−4) 
 
//o modulo do produto vetorial 
 
|𝑣 𝑥𝑃1𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ | = √4
2 + 22 + (−4)2 
 
|𝑣 𝑥𝑃1𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ | = √16 + 4 + 16 
 
|𝑣 𝑥𝑃1𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ | = 6 𝑢.𝑚. 
 
//O módulo do vetor 𝑣 
𝑣 = (−2, 2, −1) 
 
|𝑣 | = √(−2)2 + 22 + (−1)2 
 
|𝑣 | = √4 + 4 + 1 
 
|𝑣 | = 3 𝑢.𝑚. 
 
//Tendo os respectivos valores utilizamos na seguinte fórmula 
 
𝑑(𝑃0, 𝑟) = 
|�⃗� 𝑥𝑃1𝑃0⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗|
|�⃗� | 
 
 
𝑑(𝑃0, 𝑟) =
6
3 
 
 
𝑑(𝑃0, 𝑟) = 2 𝑢.𝑚. 
 
 
 
 
5) calcular a distância entre as retas r e s nos seguintes casos 
a) 
 
𝑟 {
𝑥 = 0 
𝑦 = 𝑧
 
 
𝑠 {
𝑦 = 3 
𝑧 = 2𝑥
 
 
//para iniciar o exercício inicialmente transformamos os valores dados nas equações 
paramétricas através de um parâmetro qualquer. 
//Para a reta r temos: 
 
𝑟 {
𝑥 = 0
𝑦 = 𝑡
𝑧 = 𝑡
 
 
𝑠 {
𝑥 = 𝑡
𝑦 = 3𝑡
𝑧 = 2𝑡
 
 
//através desses valores podemos encontrar os vetores �⃗� e 𝑣 
 
�⃗� = (0, 1, 1) 𝑣 ⃗⃗⃗ = (1, 0, 2) 
//para o caso de retas reversas 
 
𝑑(𝑟, 𝑠) =
|(�⃗� , 𝑣,⃗⃗⃗ 𝑃1𝑃2)|
|�⃗� 𝑥 𝑣⃗⃗⃗ |
 
 
//𝑃1(0,0,0) 𝑃2(0,3,0) 
 
𝑃1𝑃2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑃2 − 𝑃1 = (0,3,0) 
 
//Produto misto entre �⃗� , 𝑣 ⃗⃗⃗ . 𝑃1𝑃2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 
 
(�⃗� , 𝑣 ⃗⃗⃗ . 𝑃1𝑃2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ) = 𝑑𝑒𝑡 
0 1 1
1 0 2
0 3 0
 
 
(�⃗� , 𝑣 ⃗⃗⃗ . 𝑃1𝑃2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ) = 3 
 
//produto vetorial �⃗� 𝑥 𝑣 ⃗⃗⃗ 
 
�⃗� 𝑥 𝑣 ⃗⃗⃗ = |
𝑖 𝑗 �⃗� 
0 1 1
1 0 2
| = (2,1,−1) 
 
//modulo do produto vetorial 
 
|�⃗� 𝑥 𝑣 ⃗⃗⃗ | = √22 + 12 + (−1)2 
 
|�⃗� 𝑥 𝑣 ⃗⃗⃗ | = √4 + 1 + 1 
 
|�⃗� 𝑥 𝑣 ⃗⃗⃗ | = √6 
//distância 𝑑(𝑟, 𝑠) 
𝑑(𝑟, 𝑠) =
3
√6 
 
 
𝑑(𝑟, 𝑠) =
3
√6 
 .
√6
√6 
 
 
𝑑(𝑟, 𝑠) = 
√6
2 
 
 
6) determinar a distância do ponto 𝑃 (2,−1,2) a cada um dos planos 
 
a) 𝜋: 2𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 + 3 = 0 
 
//para encontrar a distância entre o ponto e o plano utilizamos a seguinte formula 
proposta 
 
𝑑(𝑃0, 𝜋) =
|𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐𝑥0 + 𝑑|
√𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
 
 
 
 
• a = 2 
• b = -2 
• c = -1 
• d = 3 
 
• x0 = 2 
• y0 = -1 
• z0 = 2 
 
 
//tendo os valores apresentados substituímos eles na fórmula apresentada 
 
𝑑(𝑃0, 𝜋) =
|2.2 + (−2). (−1) + (−1). 2 + 3|
3
 
 
𝑑(𝑃0, 𝜋) =
7
3
 u. c. 
 
 
b) 𝜋: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0 
 
𝑑(𝑃0, 𝜋) =
|𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐𝑥0 + 𝑑|
√𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
 
 
 
 
• a = 1 
• b = 1 
• c = 1 
• d = 0 
 
• x0 = 2 
• y0 = -1 
• z0 = 2 
 
 
//tendo os valores apresentados substituímos eles na fórmula apresentada 
 
𝑑(𝑃0, 𝜋) =
|1.2 + 1. (−1) + 1.2 + 0|
√1 + 1 + 1
 
 
𝑑(𝑃0, 𝜋) =
3
√3
 u. c. 
 
 
11) Calcular a distância entre os planos paralelos 
 
a) 𝜋1: 2𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 − 5 = 0 e 𝜋2: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 3 = 0 
 
//Para definir um ponto p_0 a partir da equação do plano temos 
 
• X = 0 
• Y = 0 
• Z = ¿ 
 
0 + 0 + 𝑧 − 3 = 0 
 
𝑧 = 3 
 
𝑃0 = (0,0,3) 
 
//Assim utilizamos a fórmula de distância para realizar o cálculo 
 
𝑑(𝑃0, 𝜋) =
|𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐𝑥0 + 𝑑|
√𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2
 
 
𝑑(𝑃0, 𝜋) =
|2.0 + 2.0 + 2.3 + (-5)|
√22 + 22 + 22
 
 
𝑑(𝑃0, 𝜋) =
|2.0 + 2.0 + 2.3 + (-5)|
√22 + 22 + 22
 
 
𝑑(𝑃0, 𝜋) =
1
√4 + 4 + 4
 
 
𝑑(𝑃0, 𝜋) =
1
√12
 u. c.