AAT-1-1

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AULA ATIVIDADE TUTOR 
 
 
Engenharias 
 
 
 
 
AULA 
ATIVIDADE 
TUTOR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curso: 
Engenharias 
AULA ATIVIDADE TUTOR 
 
 
Engenharias 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I 
Teleaula: 01 
Parte 1: Resolução de problemas 
Nessa parte da atividade você irá responder questões referentes aos conteúdos abordados em 
teleaula. 
Questão 1 
Uma empresa foi contratada por uma comissão de formatura para organizar a festa de formatura de 
uma turma de Engenharia. Dentre as suas atribuições, essa empresa precisa contratar uma banda ou 
um DJ para animar a festa, para isso, buscou fazer orçamentos relacionados a essa parte da festa. 
Após realizar diversas pesquisas, a empresa obteve os seguintes orçamentos: 
• Um DJ cobra uma taxa fixa de 𝑅$ 3000,00 acrescidos de R$ 200,00 por hora (ou fração de 
hora) de trabalho; e 
• Uma banda cobra uma taxa fixa de 𝑅$ 1000,00 acrescidos de R$ 600,00 por hora (ou fração 
de hora) de trabalho. 
Analisando os orçamentos apresentados, responda: 
a) Se a turma deseja que a festa tenha uma duração de 10 horas, considerando apenas o critério 
financeiro, por qual das duas opções eles devem optar? Pelo DJ ou pela banda? Justifique. 
b) Com base nos orçamentos e somente no critério financeiro, identifique qual deve ser a 
duração da festa para que seja mais vantajoso contratar o DJ, ao invés de optar pela banda. 
Justifique sua resposta. 
Resposta: 
a) O primeiro passo é determinar as leis de formação para o valor a ser pago caso seja 
contratado o DJ ou a Banda. 
Função para o valor a ser pago para o DJ: 
Considerando o valor a ser pago denominado por 𝐶(𝑥) em que 𝑥 é o tempo medido em horas, 
temos que: 
𝐶(𝑥) = 3000 + 200𝑥 
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Função para o valor a ser pago para a banda: 
Considerando o valor a ser pago denominado por 𝑉(𝑥) em que 𝑥 é o tempo medido em horas, 
temos que: 
𝑉(𝑥) = 1000 + 600𝑥 
Para determinarmos qual a melhor opção a ser escolhida temos que calcular o valor pago nas duas 
opções para uma quantidade de 10 horas: 
𝐶(10) = 3000 + 200 ⋅ (10) = 3000 + 2000 = 5000 
𝑉(10) = 1000 + 600 ⋅ (10) = 1000 + 6000 = 7000 
Assim considerando apenas o fator financeiro a melhor opção de escolha para 10 horas de duração 
de música é contratar o DJ. 
b) Agora é necessário analisarmos as duas funções de modo a identificar em que momentos 
uma função é maior que a outra e em que ponto elas são iguais. Assim teremos: 
𝐶(𝑥) = 𝑉(𝑥) 
3000 + 200𝑥 = 1000 + 600𝑥 
600𝑥 − 200𝑥 = 3000 − 1000 
400𝑥 = 2000 
𝑥 = 5 
Isso quer dizer que para 𝑥 = 5 temos o mesmo valor a ser pago nas duas opções é igual. Para 
verificarmos em que intervalos as funções são maiores temos: 
𝐶(𝑥) < 𝑉(𝑥) 
3000 + 200𝑥 < 1000 + 600𝑥 
200𝑥 − 600𝑥 < 1000 − 3000 
−400𝑥 < −2000 
400𝑥 > 2000 
𝑥 > 5 
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Assim para 𝑥 > 5 o valor a ser cobrado na contratação do DJ é menor do que o valor na 
contratação da banda. Assim para 𝑥 < 5 o valor a ser cobrado na contratação da banda é menor. O 
gráfico a seguir ilustra esses intervalos. 
 
Questão 2 
Um canhão lança uma bola descrevendo uma trajetória parabólica. Desprezando a altura do canhão, 
a bola parte do chão e toca o chão novamente 5 metros adiante conforme mostra a figura. 
 
Além disso sabe-se que a 3 metros do ponto de partida a bola atingiu 12 metros de altura. Com base 
nessas informações determine a altura máxima atingida pela bola e em que ponto ela atinge essa 
altura. 
Resposta: 
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Para determinarmos a altura máxima atingida pela bola precisamos conhecer a lei de formação dessa 
trajetória. De acordo com o enunciado do problema temos que a bola se encontrava no chão, isto é, 
no ponto (0,0). Além disso sabemos que ela atinge o chão novamente 5 metros depois, assim temos 
o ponto (5,0). E por fim temos que no ponto 3 metros atinge uma altura de 12 metros, isto é, o ponto 
(3,12). 
Sabemos ainda que a lei de formação de uma parábola é dada por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. 
Substituindo os três pontos na lei de formação iremos encontrar os valores de 𝑎, 𝑏 e 𝑐. 
𝑓(0) = 𝑎(0)2 + 𝑏(0) + 𝑐 = 0 → 𝑐 = 0 
𝑓(5) = 𝑎(5)2 + 𝑏(5) = 0 
25𝑎 + 5𝑏 = 0 → 𝑏 = −5𝑎 (𝐼) 
𝑓(3) = 𝑎(3)2 + 𝑏(3) = 12 
9𝑎 + 3𝑏 = 12 (𝐼𝐼) 
Substituindo (𝐼) em (𝐼𝐼) teremos: 
9𝑎 + 3(−5𝑎) = 12 
9𝑎 − 15𝑎 = 12 
−6𝑎 = 12 
𝑎 = −2 
Substituindo o valor encontrado de 𝑎 em (𝐼) teremos: 
𝑏 = −5(−2) = 10 
Assim a função que descreve a trajetória da bola é dada por: 
𝑓(𝑥) = −2𝑥2 + 10𝑥 
Para encontrarmos a altura máxima e em que ponto ela ocorre precisamos encontrar os pontos do 
vértice dessa função: 
𝑥𝑣 = −
𝑏
2𝑎
 
𝑥𝑣 = −
10
2(−2)
=
10
4
= 2,5 𝑚 
𝑦𝑣 = −
Δ
4𝑎
= −
102 − 4(−2)(0)
4(−2)
=
100
8
= 12,5 𝑚 
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Logo a altura máxima atingida pela bola é de 12,5 m e isso acontece quando ela está a 2,5 m do ponto 
de partida. 
Questão 3 
A altura média do tronco de uma determinada espécie de árvore pode ser calculada por meio da 
seguinte função: 
ℎ(𝑡) = 2 + 𝑙𝑛(𝑡 + 2), 
em que t representa o tempo, em anos, medido a partir do momento no qual a árvore foi plantada, 
e ℎ(𝑡) consiste em sua altura, dada em metros. 
De acordo com a regra acima, qual o tempo mínimo necessário para que uma árvore da espécie 
considerada, contado a partir do momento de sua plantação, atinja a altura de 4 metros? 
Resposta: 
A função ℎ(𝑡) é dada por: 
ℎ(𝑡) = 2 + ln(𝑡 + 2) 
Para ℎ = 4 : 
4 = 2 + 𝑙𝑛(𝑡 + 2) 
 4 − 2 = 𝑙𝑛(𝑡 + 2) 
 2 = 𝑙𝑛(𝑡 + 2) 
Sendo essa igualdade verificada, considerando a função inversa do logaritmo neperiano, a qual 
consiste na função 𝑓−1(ln 𝑥) = 𝑒𝑥, obtemos: 
𝑒2 = e𝑙𝑛(𝑡+2) 
 7,39 = 𝑡 + 2 
 t = 7,39 − 2 = 5,39 
Assim, o tempo mínimo necessário é de, aproximadamente, 5 anos e 5 meses. 
Questão 4 
Durante determinado período do ano, a instabilidade do mercado causou algumas variações no valor 
das ações de determinada empresa. Durante 85 dias, o preço das ações variou de acordo com a 
função: 
𝑝(𝑑) = 145 − 5 sen [
𝜋
14
(𝑑 − 1)] 
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Em que 𝑑 é o número de dias após o início das variações e 𝑝 é o preço, em reais, de cada ação. 
Com base nas informações apresentadas, assinale a alternativa que indica de quanto foi a variação 
no preço das ações dessa empresa durante o período mencionado. 
Resposta: 
Sabemos que a imagem da função seno varia no intervalo [−1,1]. Assim, o menor valor que a 
expressão sen [
𝜋
14
(𝑑 − 1)] pode assumir é -1, e o maior valor será 1. 
Considerando o coeficiente de seno na função 𝑝 negativo, então o maior valor de 𝑝 ocorrerá no caso 
em que sen [
𝜋
14
(𝑑 − 1)] = −1, e o menor valor de 𝑝 para sen [
𝜋
14
(𝑑 − 1)] = 1. 
Para o maior valor, ou seja, quando sen [
𝜋
14
(𝑑 − 1)] = −1, segue que 
𝑝𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜 = 145 − 5(−1) = 145 + 5 = 150 
No caso do menor valor, isto é, quando sen [
𝜋
14
(𝑑 − 1)] = 1, obtemos 
𝑝𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 = 145 − 5(1) = 145 − 5 = 140 
Assim, a variação no preço das ações será de R$ 140,00 a R$ 150,00, o que indica uma variação de R$ 
10,00 no preço das ações no período considerado. 
Parte 2: Estudo teórico complementar 
Agora você irá fazer um estudo dos temas dessa unidade. Para isso além de estudar o material do 
livro didático da disciplina, você deve acessar os links indicados e estuda-los. Como sugestão para 
favorecer a aprendizagem dos tópicos a seguir, faça esquemas destacando as principais informações. 
Os esquemas são uma boa estratégia de estudo, pois o ajudam a sintetizar as ideias principais e a 
relacioná-las entre si. 
Para acessar ao link encaminhado você deve estar na página (deve realizar o login) biblioteca virtual 
e deve abrir uma nova guia copiando nela o link que disponibilizarei. 
o Funções e funçãoafim: capítulo 2 e 3 do livro Pré-Cálculo: 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582603215/cfi/34!/4/4@0.00:7.65 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582603215/cfi/34!/4/4@0.00:7.65
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o Funções quadráticas: capítulo 5 do livro Pré-Cálculo: 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582603215/cfi/94 
o Função exponencial e logarítmica: capítulo 7 do livro Pré-Cálculo: 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582603215/cfi/126 
o Funções trigonométricas: capítulo 8 do livro Pré-Cálculo: 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582603215/cfi/150 
 
Bons Estudos! 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582603215/cfi/94
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582603215/cfi/126
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582603215/cfi/150