RESOLUÇÃO AULA ATIVIDADE 01

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AULA ATIVIDADE TUTOR 
 
AULA 
ATIVIDADE 
TUTOR 
 
 
 
 AULA ATIVIDADE TUTOR 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral 
Teleaula: 01 
Parte 1: Resolução de problemas 
Nessa parte da atividade você irá responder questões referentes aos conteúdos 
abordados em teleaula. 
Questão 1 
Uma empresa foi contratada por uma comissão de formatura para organizar a festa de 
formatura de uma turma de Engenharia. Dentre as suas atribuições, essa empresa 
precisa contratar uma banda ou um DJ para animar a festa, para isso, buscou fazer 
orçamentos relacionados a essa parte da festa. 
Após realizar diversas pesquisas, a empresa obteve os seguintes orçamentos: 
• Um DJ cobra uma taxa fixa de 𝑅$ 3000,00 acrescidos de R$ 200,00 por hora (ou 
fração de hora) de trabalho; e 
• Uma banda cobra uma taxa fixa de 𝑅$ 1000,00 acrescidos de R$ 600,00 por hora 
(ou fração de hora) de trabalho. 
Analisando os orçamentos apresentados, responda: 
a) Se a turma deseja que a festa tenha uma duração de 10 horas, considerando 
apenas o critério financeiro, por qual das duas opções eles devem optar? Pelo DJ 
ou pela banda? Justifique. 
b) Com base nos orçamentos e somente no critério financeiro, identifique qual 
deve ser a duração da festa para que seja mais vantajoso contratar o DJ, ao invés 
de optar pela banda. Justifique sua resposta. 
Resposta: 
a) O primeiro passo é determinar as leis de formação para o valor a ser pago caso 
seja contratado o DJ ou a Banda. 
Função para o valor a ser pago para o DJ: 
Considerando o valor a ser pago denominado por 𝐶(𝑥) em que 𝑥 é o tempo medido 
em horas, temos que: 
𝐶(𝑥) = 3000 + 200𝑥 
 
 
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Função para o valor a ser pago para a banda: 
Considerando o valor a ser pago denominado por 𝑉(𝑥) em que 𝑥 é o tempo medido 
em horas, temos que: 
𝑉(𝑥) = 1000 + 600𝑥 
Para determinarmos qual a melhor opção a ser escolhida temos que calcular o valor 
pago nas duas opções para uma quantidade de 10 horas: 
𝐶(10) = 3000 + 200 ⋅ (10) = 3000 + 2000 = 5000 
𝑉(10) = 1000 + 600 ⋅ (10) = 1000 + 6000 = 7000 
Assim considerando apenas o fator financeiro a melhor opção de escolha para 10 
horas de duração de música é contratar o DJ. 
b) Agora é necessário analisarmos as duas funções de modo a identificar em que 
momentos uma função é maior que a outra e em que ponto elas são iguais. 
Assim teremos: 
𝐶(𝑥) = 𝑉(𝑥) 
3000 + 200𝑥 = 1000 + 600𝑥 
600𝑥 − 200𝑥 = 3000 − 1000 
400𝑥 = 2000 
𝑥 = 5 
Isso quer dizer que para 𝑥 = 5 temos o mesmo valor a ser pago nas duas opções é 
igual. Para verificarmos em que intervalos as funções são maiores temos: 
𝐶(𝑥) < 𝑉(𝑥) 
3000 + 200𝑥 < 1000 + 600𝑥 
200𝑥 − 600𝑥 < 1000 − 3000 
−400𝑥 < −2000 
400𝑥 > 2000 
𝑥 > 5 
Assim para 𝑥 > 5 o valor a ser cobrado na contratação do DJ é menor do que o valor 
na contratação da banda. Assim para 𝑥 < 5 o valor a ser cobrado na contratação da 
banda é menor. O gráfico a seguir ilustra esses intervalos. 
 
 
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Questão 2 
Um canhão lança uma bola descrevendo uma trajetória parabólica. Desprezando a 
altura do canhão, a bola parte do chão e toca o chão novamente 5 metros adiante 
conforme mostra a figura. 
 
Além disso sabe-se que a 3 metros do ponto de partida a bola atingiu 12 metros de 
altura. Com base nessas informações determine a altura máxima atingida pela bola e 
em que ponto ela atinge essa altura. 
Resposta: 
Para determinarmos a altura máxima atingida pela bola precisamos conhecer a lei de 
formação dessa trajetória. De acordo com o enunciado do problema temos que a bola 
se encontrava no chão, isto é, no ponto (0,0). Além disso sabemos que ela atinge o chão 
novamente 5 metros depois, assim temos o ponto (5,0). E por fim temos que no ponto 
3 metros atinge uma altura de 12 metros, isto é, o ponto (3,12). 
 
 
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Sabemos ainda que a lei de formação de uma parábola é dada por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 +
𝑐. 
Substituindo os três pontos na lei de formação iremos encontrar os valores de 𝑎, 𝑏 e 𝑐. 
𝑓(0) = 𝑎(0)2 + 𝑏(0) + 𝑐 = 0 → 𝑐 = 0 
𝑓(5) = 𝑎(5)2 + 𝑏(5) = 0 
25𝑎 + 5𝑏 = 0 → 𝑏 = −5𝑎 (𝐼) 
𝑓(3) = 𝑎(3)2 + 𝑏(3) = 12 
9𝑎 + 3𝑏 = 12 (𝐼𝐼) 
Substituindo (𝐼) em (𝐼𝐼) teremos: 
9𝑎 + 3(−5𝑎) = 12 
9𝑎 − 15𝑎 = 12 
−6𝑎 = 12 
𝑎 = −2 
Substituindo o valor encontrado de 𝑎 em (𝐼) teremos: 
𝑏 = −5(−2) = 10 
Assim a função que descreve a trajetória da bola é dada por: 
𝑓(𝑥) = −2𝑥2 + 10𝑥 
Para encontrarmos a altura máxima e em que ponto ela ocorre precisamos encontrar os 
pontos do vértice dessa função: 
𝑥𝑣 = −
𝑏
2𝑎
 
𝑥𝑣 = −
10
2(−2)
=
10
4
= 2,5 𝑚 
𝑦𝑣 = −
Δ
4𝑎
= −
102 − 4(−2)(0)
4(−2)
=
100
8
= 12,5 𝑚 
Logo a altura máxima atingida pela bola é de 12,5 m e isso acontece quando ela está a 
2,5 m do ponto de partida. 
Questão 3 
A altura média do tronco de uma determinada espécie de árvore pode ser calculada por 
meio da seguinte função: 
ℎ(𝑡) = 2 + 𝑙𝑛(𝑡 + 2), 
em que t representa o tempo, em anos, medido a partir do momento no qual a árvore 
foi plantada, e ℎ(𝑡) consiste em sua altura, dada em metros. 
 
 
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De acordo com a regra acima, qual o tempo mínimo necessário para que uma árvore da 
espécie considerada, contado a partir do momento de sua plantação, atinja a altura de 
4 metros? 
Resposta: 
A função ℎ(𝑡) é dada por: 
ℎ(𝑡) = 2 + ln(𝑡 + 2) 
Para ℎ = 4 : 
4 = 2 + 𝑙𝑛(𝑡 + 2) 
 4 − 2 = 𝑙𝑛(𝑡 + 2) 
 2 = 𝑙𝑛(𝑡 + 2) 
Sendo essa igualdade verificada, considerando a função inversa do logaritmo neperiano, 
a qual consiste na função 𝑓−1(ln 𝑥) = 𝑒𝑥, obtemos: 
𝑒2 = e𝑙𝑛(𝑡+2) 
 7,39 = 𝑡 + 2 
 t = 7,39 − 2 = 5,39 
Assim, o tempo mínimo necessário é de, aproximadamente, 5 anos e 5 meses. 
Questão 4 
Durante determinado período do ano, a instabilidade do mercado causou algumas 
variações no valor das ações de determinada empresa. Durante 85 dias, o preço das 
ações variou de acordo com a função: 
𝑝(𝑑) = 145 − 5 sen [
𝜋
14
(𝑑 − 1)] 
Em que 𝑑 é o número de dias após o início das variações e 𝑝 é o preço, em reais, de cada 
ação. 
Com base nas informações apresentadas, assinale a alternativa que indica de quanto foi 
a variação no preço das ações dessa empresa durante o período mencionado. 
Resposta: 
Sabemos que a imagem da função seno varia no intervalo [−1,1]. Assim, o menor valor 
que a expressão sen [
𝜋
14
(𝑑 − 1)] pode assumir é -1, e o maior valor será 1. 
 
 
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Considerando o coeficiente de seno na função 𝑝 negativo, então o maior valor de 𝑝 
ocorrerá no caso em que sen [
𝜋
14
(𝑑 − 1)] = −1, e o menor valor de 𝑝 para 
sen [
𝜋
14
(𝑑 − 1)] = 1. 
Para o maior valor, ou seja, quando sen [
𝜋
14
(𝑑 − 1)] = −1, segue que 
𝑝𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜 = 145 − 5(−1) = 145 + 5 = 150 
No caso do menor valor, isto é, quando sen [
𝜋
14
(𝑑 − 1)] = 1, obtemos 
𝑝𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜 = 145 − 5(1) = 145 − 5 = 140 
Assim, a variação no preço das ações será de R$ 140,00 a R$ 150,00, o que indica uma 
variação de R$ 10,00 no preço das ações no período considerado. 
Questão 5 
Estudando a viabilidade de uma campanha de vacinação, os técnicos da Secretária da 
Saúde de um município verificaram que o custo da vacinação de 𝑥 por cento da 
população local era de, aproximadamente, 𝑦 =
300𝑥
400 − 𝑥
 milhares de reais. Nessa 
expressão, escrevendo-se 𝑥 em função de 𝑦, obtém-se 𝑥 igual a? 
Gabarito: 
Escrevendo-se 𝑥 em função de 𝑦, temos: 
𝑦 =
300𝑥
400 − 𝑥
 
𝑦(400 − 𝑥) = 300𝑥 
400𝑦 − 𝑦𝑥 = 300𝑥 
300𝑥 + 𝑦𝑥 = 400𝑦 
𝑥(300 + 𝑦) = 400𝑦 
𝑥 =
400𝑦
300 + 𝑦
 
Questão 6 
 
 
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Uma loja de automóveis criou uma promoção, válida apenas nessa semana. Todos os 
carros da loja estão com 10% de desconto sobre o preço de tabela do fabricante, e o 
cliente ainda tem uma redução de 𝑅$ 900,00 no valor docarro. 
a) Escreva uma função 𝑃(𝑥) que forneça o valor que o cliente pagará pelo carro, nessa 
semana, em relação ao preço de tabela, . 
b) Determine a função inversa de 𝑃(𝑥). 
c) O que significa o resultado encontrado na questão anterior. 
Gabarito 
a) Sendo 𝑥 o valor do carro e considerando o desconto de 10% e a redução de 900 
reais, temos: 
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 0,10𝑥 − 900 
𝑃(𝑥) = 0,9𝑥 − 900 
 
b) A inversa da função 𝑃(𝑥) será dada por: 
𝑃(𝑥) = 0,9𝑥 − 900 
𝑦 = 0,9𝑥 − 900 
𝑦 + 900 = 0,9𝑥 
𝑥 =
𝑦 + 900
0,9𝑥
 
c) A inversa fornece o custo original do carro que se pode comprar, nessa semana, 
com y reais. 
Questão 7 
Ao estudarmos a temperatura de um determinado corpo podemos utilizar três unidades 
de medidas: Celsius (°C), Fahrenheit (F) e Kelvin (K). Sabendo disso, Carolina resolveu 
estudar duas dessas unidades de medidas: o Celsius e o Fahrenheit. 
Para isso ela fez medições de temperatura da água nas duas unidades de medida. Dessas 
medições ela obteve que, quando a água possui temperatura 0°C, em Fahrenheit a 
temperatura é de 32 F. Em outro momento ela percebeu que, quando a água possui 
100°C, a temperatura em Fahrenheit era dada por 212 F. 
Diante dessas medições ela percebeu que poderia expressar a temperatura em graus 
Fahrenheit (F) em função da temperatura em graus Celsius (°C). O gráfico a seguir 
representa essa relação entre as unidades de medida de temperatura: 
 
 
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Com base nessas afirmações determine o valor aproximado da temperatura, na escala 
Celsius, que correspondente a zero grau Fahrenheit (0 F). 
Gabarito: 
Temos que encontrar a equação da reta 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, em que y descreve a 
temperatura em Fahrenheit (𝑇𝐹) e x indica a temperatura em Celsius (𝑇𝐶), ou seja, 
determinar 
𝑇𝐹 = 𝑎𝑇𝐶 + 𝑏 
O gráfico fornece os pontos (0,32) e (100, 212). Substituindo o ponto (0, 32) na lei de 
formação teremos: 
𝑇𝐹 = 𝑎𝑇𝐶 + 𝑏 
32 = 𝑎 ⋅ 0 + 𝑏 
𝑏 = 32 
Agora substituímos o ponto (100, 212) e utilizamos o valor do coeficiente já 
encontrado: 
𝑇𝐹 = 𝑎𝑇𝐶 + 32 
212 = 𝑎 ⋅ 100 + 32 
212 − 32 = 100𝑎 
180 = 100𝑎 
 
 
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𝑎 = 1,8 
Portanto 
𝑇𝐹 = 1,8𝑇𝐶 + 32 
Como queremos a temperatura em Celsius para que em Fahrenheit seja zero, teremos: 
0 = 1,8𝑇𝐶 + 32 
 1,8𝑇𝐶 = −32 
 𝑇𝐶 =
−32
1,8
 
 𝑇𝐶 ≅ −18
𝑜𝐶 
Questão 8 
A empresa de transportes EMCA Ltda. possui uma parceria com um hotel e disponibiliza 
passeios ecológicos para os hóspedes. Para esse hotel, a empresa disponibiliza um 
ônibus de 40 lugares. Se todos os lugares estão ocupados, o preço de cada passagem é 
R$ 20,00. Caso contrário, para cada lugar vago será acrescida a importância de R$ 1,00 
ao preço de cada passagem. 
Assim, o faturamento da empresa, em cada viagem, é dado pela função 
𝑓(𝑥) = (40 – 𝑥)(20 + 𝑥), 
onde x indica o número de lugares vagos (0 ≤ 𝑥 ≤ 40). Com base nessas informações 
determine quantos devem ser os lugares vagos no ônibus, em cada viagem, para que a 
empresa obtenha faturamento máximo, além disso, determine qual é esse faturamento. 
Gabarito: 
Temos que a função que descreve o faturamento da empresa é dada por: 
𝑓(𝑥) = (40 − 𝑥)(20 + 𝑥) 
= 800 + 40𝑥 − 20𝑥 − 𝑥2 
= 800 + 20𝑥 − 𝑥2 
Para descobrirmos quantos lugares vagos devemos ter para que a empresa obtenha o 
faturamento máximo, devemos encontrar a coordenada x do vértice, pois a função f é 
caracterizada graficamente como uma parábola de concavidade voltada para baixo por 
apresentar o coeficiente do termo de segundo grau negativo. Nesse caso, temos: 
𝑥𝑣 = −
𝑏
2𝑎
 
𝑥𝑣 = −
20
2 ⋅ (−1)
=
−20
−2
= 10 
 
 
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Assim para 10 lugares vagos tem-se um faturamento máximo, sendo esse faturamento 
dado por: 
𝑦𝑣 = −
Δ
4𝑎
 
𝑦𝑣 = −
(202 − 4 ⋅ (−1) ⋅ 800)
4 ⋅ (−1)
=
3600
4
= 900 
 
Parte 2: Estudo teórico complementar 
Agora você irá fazer um estudo dos temas dessa unidade. Para isso além de estudar o 
material do livro didático da disciplina, você deve acessar os links indicados e estuda-
los. Como sugestão para favorecer a aprendizagem dos tópicos a seguir, faça esquemas 
destacando as principais informações. Os esquemas são uma boa estratégia de estudo, 
pois o ajudam a sintetizar as ideias principais e a relacioná-las entre si. 
Para acessar ao link encaminhado você deve estar na página (deve realizar o login) 
biblioteca virtual e deve abrir uma nova guia copiando nela o link que disponibilizarei. 
o Funções e função afim: capítulo 2 e 3 do livro Pré-Cálculo: 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582603215/cfi/34!/4/4@0
.00:7.65 
o Funções quadráticas: capítulo 5 do livro Pré-Cálculo: 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582603215/cfi/94 
o Função exponencial e logarítmica: capítulo 7 do livro Pré-Cálculo: 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582603215/cfi/126 
o Funções trigonométricas: capítulo 8 do livro Pré-Cálculo: 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582603215/cfi/150 
Aulas de Revisão 
Você pode ter acesso à aulas de exercício de fixação de Cálculo Diferencial e Integral I. 
Para isso entre em seu ambiente e clicar na aba APOIO AO ESTUDO e em seguida 
Biblioteca digital: 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582603215/cfi/34!/4/4@0.00:7.65
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Bons Estudos!