ATV2-ALGEBRA LINEAR COMPUTACIONAL

Prévia do material em texto

1 - Para calcular determinantes , apenas multiplicamos, de forma cruzada, os 
elementos. Para matrizes , usamos a regra de Sarrus, em que repetimos as duas 
primeiras colunas e multiplicamos os elementos também de forma cruzada. Para matrizes 
de ordem maior, usamos o teorema de Laplace. Com base no uso do conceito do teorema 
de Laplace, assinale a alternativa que apresenta o valor de x não nulo da seguinte equação: 
 
=3 
 
 
R: X = 1/2 
 
 
 
 
----------------------------------------------------------------- 
 
 
2 - A multiplicação de matrizes é uma operação matemática que envolve duas matrizes. A 
condição para que duas matrizes e sejam multiplicadas é que o número de colunas 
da matriz deve ser igual ao número de linhas da matriz . O resultado da multiplicação é 
uma matriz 
 
A partir do exposto, assinale a alternativa que apresenta a matriz que corresponde à 
solução da seguinte equação matricial: 
 
 
Em que e 
 
 
R: 
 
 
---------------------------------------- 
 
 
3 - As matrizes obedecem a certas propriedades de álgebra. Por exemplo, o produto entre 
as duas matrizes, geralmente, não é comutativo, . A única exceção seria quando 
isto é, quando a matriz B for a inversa de A. Usando o conceito de propriedade de 
matriz inversa, assinale a alternativa correta referente à matriz 
 
 
R: 1/19 
Explicação passo a passo: 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois você precisa calcular da 
seguinte forma: 
 = 
Nesse caso, chegamos aos seguintes sistemas: 
4a - 5c = 1 
3a + c = 0 
O outro sistema que encontramos foi: 
4b - 5d = 0 
3b + d = d 
Resolvendo esse par de sistemas, temos: 
 = 1/19 
 
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
 
4 - A regra de Cramer é um dos métodos para obter soluções de sistemas lineares. A 
aplicação da regra de Cramer, contudo, poderá ser utilizada apenas para sistemas que 
apresentam número de equações iguais ao número de incógnitas. Lembre-se de que, nessa 
regra, usamos o conceito de determinante. 
Com base nessas informações, assinale a alternativa que apresenta a solução (x,y,z) do 
seguinte sistema linear: 
 
 
 
 
 
R: (1,3,2) 
 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------- 
 
 
5 - Os sistemas de equações lineares estão presentes nas mais diversas áreas, como na 
modelagem de sistemas elétricos, no dimensionamento de sistemas que estão em equilíbrio 
estático, na economia etc. Além disso, quando modelamos matematicamente, temos de 
procurar uma solução para o sistema de equações lineares. 
 
Considerando o exposto, sobre sistemas de equações lineares, analise as afirmativas a 
seguir: 
 
I. O modelo de resolução de Cramer pode ser aplicado quando o número de equações é 
maior que o número de incógnitas. 
II. Se o determinante incompleto de um conjunto de equações lineares for o sistema 
apresentará uma única solução. 
III. O sistema 
 
 
é um sistema possível determinado. 
 
IV. O sistema 
 
 
é um sistema impossível. 
 
Está correto o que se afirma em: 
 
 
R: II e IV 
 
 
----------------------------------------------- 
 6 - As matrizes quadradas têm muita importância, pois, por meio delas, são calculados os 
determinantes que podem ser usados no estudo de sistemas lineares. Os determinantes 
também possuem certas propriedades que podem nos ajudar quando fazemos álgebras um 
pouco mais complicadas. 
 
Ao usar o conceito de propriedades de matrizes, analise as afirmativas a seguir: 
 
I. Quando uma linha ou coluna de uma matriz for nula, o determinante será zero. 
II. Caso ocorra a igualdade entre uma linha e coluna, o determinante será zero. 
III. Se duas linhas ou colunas têm valores proporcionais, o determinante será zero. 
IV. Se multiplicamos os elementos de uma linha ou coluna por uma constante C, o seu 
determinante será dividido por c. 
 
Está correto o que se afirma em: 
 
 
R: I e III, apenas. 
 
Segunda alternativa: Em relação às proposições sobre matriz e 
determinante temo-se que apenas as afirmativas I - II - III estão corretas 
I. Quando uma linha ou coluna de uma matriz for nula, o determinante será 
zero. (Verdadeiro) 
II. Caso ocorra a igualdade entre uma linha e coluna, o determinante será 
zero. (Falso) 
III. Se duas linhas ou colunas têm valores proporcionais, o determinante 
será zero. (Verdadeiro) 
IV. Se multiplicamos os elementos de uma linha ou coluna por uma 
constante C, o seu determinante será dividido por c. (Falso) 
 
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta, pois, para que o determinante seja 
zero, é necessário que exista uma igualdade entre duas linhas ou duas colunas de uma matriz. 
Por exemplo: 
 
 
Se multiplicarmos uma linha ou coluna por uma constante, o determinante será multiplicado 
por essa constante. Por exemplo: 
 
 
Se multiplicarmos a primeira linha por 2, teremos: 
 
 
 
----------------------------------------------------------------- 
 
 
7 - Uma empresa de contêineres tem três tipos de contêineres: I, II e III, que carregam 
cargas em três tipos de recipientes: A, B e C. O número de recipientes por contêiner é 
mostrado na seguinte tabela: 
 
Tipo de recipiente A B C 
I 4 3 4 
II 4 2 3 
III 2 2 2 
 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
 
Um determinado cliente necessita de contêineres do tipo x, y e z para transportar 38 
recipientes do tipo A, 24 do tipo B e 32 do tipo C. 
 
A partir do exposto, analise as asserções a seguir e relação proposta entre elas. 
 
I. Esse tipo de problema apresenta solução. 
Porque: 
II. O determinante formado pela modelagem matemática desse problema é diferente de 
zero. 
 
A seguir, assinale a alternativa correta. 
 
 
R: As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa 
correta da I. 
 
 
----------------------------------------- 
 
 
8 - Um sistema pode ser resolvido pelo método da substituição isolando uma variável ou 
substituindo em outras. Outro método que podemos usar é a regra de Cramer, na qual 
podemos nos apoiar no conceito de determinante. Por fim, temos o método de 
escalonamento de matrizes dos coeficientes numéricos de um sistema de equações 
lineares, com a finalidade de simplificar o sistema por meio de operações entre os 
elementos pertencentes às linhas de uma matriz. Usando o conceito de escalonamento, 
assinale a alternativa correta referente ao resultado da seguinte matriz escalonada: 
 
 
 
 
 
R: 
 
 
----------------------------------------------- 
 
 
9 - Suponha que você esteja analisando duas aplicações financeiras. Sua aplicação inicial 
foi de R$ 20000,00 por um ano em duas aplicações: A e B. A aplicação A rendeu 10% ao 
ano e a B rendeu 25% ao ano. Sabe-se que o ganho proporcionado pela aplicação B foi 
superior ao de A em R$ 100,00. Com base nessas informações, assinale a alternativa que 
apresenta em R$ a diferença dos valores aplicados em cada investimento. 
 
 
R: A diferença dos valores aplicados em cada investimento foi de R$ 
8.000,00. 
Explicação passo-a-passo: 
Vamos extrair as informações: 
A + B = R$ 20.000,00 
Jb = Ja + 100 
JUROS SIMPLES 
DICA: A taxa (i) e o prazo (t) DEVEM SEMPRE estar no mesmo período. 
Capital (C) = A 
Taxa (i) = 10% ao ano = 10 ÷ 100 =0,10 
Prazo (t) = 1 ano 
Juros (J) = Ja =? 
Fórmula: 
J = C × i × t 
Ja = A × 0,10 × 1 = 0,10A 
Ja = 0,10A 
Capital (C) = B 
Taxa (i) = 25% ao ano = 25 ÷ 100 =0,25 
Prazo (t) = 1 ano 
Juros (J) = Jb =? 
Fórmula: 
J = C × i × t 
Jb = B × 0,25 × 1 = 0,25B 
Jb = 0,25B 
Agora isolamos "B" 
A + B = 20000 ∴ B = 20000 - A 
Substituímos os valores encontrados dos Juros (Ja e Jb) na equação de 
igualdade de rendimentos: 
Jb = Ja + 100 
0,25B = 0,10A + 100 => Substituímos o valor de "B"] 
0,25 × (20000 - A) = 0,10A + 100 
5000 - 0,25A = 0,10A + 100 
5000 - 100 = 0,10A + 0,25A 
0,35A = 4900 
A= 4900 ÷ 0,35 = 14000 
A = R$ 14.000,00 
B = 20000 - A = 20000 - 14000 = 6000 
B = R$ 6.000,00 
Agora vamos responder a pergunta: A diferença dos valores aplicados em 
cada investimento: 
A - B = 14000 - 6000 = 8000 → R$ 8.000,00 
 
 
------------------------------------------------------------------- 
 
 
10 - As matrizes quadradas têm sua importância, pois, por meio do cálculo do seu 
determinante, podemos associar o seu valor a um escalar. Por exemplo, ele tem a sua 
importância no uso de sistemas lineares. Uma das técnicas usadas em matriz seria a 
multiplicação pelas diagonais. Diante do exposto, assinale a alternativa que apresenta, 
respectivamente, o valor de , tal que . 
 
 
R: -4 e 1