Álgebra Linear Computacional - Atividade 02

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Os sistemas de equações lineares estão presentes nas mais diversas áreas, como na 
modelagem de sistemas elétricos, no dimensionamento de sistemas que estão em 
equilíbrio estático, na economia etc. Além disso, quando modelamos 
matematicamente, temos de procurar uma solução para o sistema de equações 
lineares. 
 
Considerando o exposto, sobre sistemas de equações lineares, analise as afirmativas 
a seguir: 
 
I. O modelo de resolução de Cramer pode ser aplicado quando o número de equações 
é maior que o número de incógnitas. 
II. Se o determinante incompleto de um conjunto de equações lineares for o 
sistema apresentará uma única solução. 
III. O sistema 
 
 
é um sistema possível determinado. 
 
IV. O sistema 
 
 
é um sistema impossível. 
 
Está correto o que se afirma em: 
• II e III, apenas. 
• I, II e IV, apenas. 
• I, II e III, apenas. 
• II e IV, apenas. 
• II, III e IV, apenas. 
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, quando o determinante for 
diferente de zero, teremos que o sistema possui uma única solução. Já o sistema 
 
 
é um sistema impossível, pois, isolando y na primeira equação, teremos: 
? substituindo na segunda equação, iremos encontrar ?
 ? ? , o que seria um erro. 
 
 
 
 
 
 
 
Existem várias maneiras de resolver um sistema linear. Por exemplo, podemos usar o 
método de substituição de variáveis ou colocar os coeficientes das equações em uma 
forma matricial. Desse modo, considere a seguinte equação linear: 
 
 
 
 
Esse sistema pode ser escrito na seguinte forma matricial: 
. 
 
Assim, assinale a alternativa que apresenta o valor de z no sistema linear evidenciado. 
• -5. 
• 5. 
• -10. 
• 10. 
• 0. 
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, primeiramente, o determinante dos 
coeficientes deve ter sido igual a -3. Após isso, temos de calcular o seguinte 
determinante: 
 
 
 
Ao dividir o resultado do determinante apresentado por -3, encontraremos -10. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma empresa de contêineres tem três tipos de contêineres: I, II e III, que carregam 
cargas em três tipos de recipientes: A, B e C. O número de recipientes por contêiner é 
mostrado na seguinte tabela: 
 
Tipo de recipiente 
I 
II 
III 
 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
 
Um determinado cliente necessita de contêineres do tipo x, y e z para transportar 
38 recipientes do tipo A, 24 do tipo B e 32 do tipo C. 
 
A partir do exposto, analise as asserções a seguir e relação proposta entre elas. 
 
I. Esse tipo de problema apresenta solução. 
Porque: 
II. O determinante formado pela modelagem matemática desse problema é diferente 
de zero. 
 
A seguir, assinale a alternativa correta. 
 
• A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
• As asserções I e II são proposições falsas. 
• As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa 
correta da I. 
• A asserção I é uma proposição verdadeira e a asserção II é uma proposição falsa. 
• As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta 
da I. 
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, quando calculamos o determinante 
formado por essas equações, encontramos o seguinte valor: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Um sistema linear pode ter ou não solução, sendo denominado sistema possível ou 
impossível, respectivamente. Dentre os sistemas que admitem solução, existem os 
que têm apenas uma única solução (determinado) e outros que podem apresentar um 
conjunto infinito de soluções (indeterminado). 
 
A partir do exposto, analise as asserções a seguir e relação proposta entre elas. 
 
 
I. O sistema linear 
 
 
possui várias soluções. 
Porque: 
II. O determinante formado por é diferente de zero. 
 
A seguir, assinale a alternativa correta. 
 
• A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
• A asserção I é uma proposição verdadeira e a asserção II é uma proposição falsa. 
• As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta 
da I. 
• As asserções I e II são proposições falsas. 
• As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa 
correta da I. 
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, quando calculamos, o 
determinante dos elementos será igual a -59. Pela classificação dos 
sistemas lineares, o sistema linear terá apenas uma solução. Assim, se o 
determinante fosse igual a zero, teríamos infinitas soluções. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A eliminação gaussiana, também conhecida como escalonamento, é um método para 
resolver sistemas lineares. Esse método consiste em manipular o sistema por meio de 
determinadas operações elementares, transformando a matriz estendida do sistema 
em uma matriz triangular (denominada matriz escalonada do sistema). Usando o 
conceito de eliminação gaussiana, assinale a alternativa correta referente à matriz 
triangular da seguinte matriz: 
 
 
• 
• 
• 
• 
• 
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, primeiramente, devemos fazer: 
 
 
No primeiro passo, subtraímos da segunda linha o quádruplo da primeira e 
subtraímos da terceira linha o dobro da primeira: 
 
 
 
Assim, troca-se a segunda com a terceira linha: 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As matrizes obedecem a certas propriedades de álgebra. Por exemplo, o produto entre 
as duas matrizes, geralmente, não é comutativo, . A única exceção seria 
quando isto é, quando a matriz B for a inversa de A. Usando o conceito de 
propriedade de matriz inversa, assinale a alternativa correta referente à 
matriz 
 
• 
• 
• 
• 
• 
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois você precisa calcular da seguinte 
forma: 
 
Nesse caso, chegamos aos seguintes sistemas: 
 
 
O outro sistema que encontramos foi: 
 
 
Resolvendo esse par de sistemas, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As matrizes quadradas têm sua importância, pois, por meio do cálculo do seu 
determinante, podemos associar o seu valor a um escalar. Por exemplo, ele tem a sua 
importância no uso de sistemas lineares. Uma das técnicas usadas em 
matriz seria a multiplicação pelas diagonais. Diante do exposto, assinale a 
alternativa que apresenta, respectivamente, o valor de , tal que . 
 
• -4 e 1. 
• 4 e -1. 
• 0 e 4. 
• -4 e -1. 
• 4 e 1. 
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, colocando os valores de -4 e 1 na 
matriz, encontraremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A multiplicação de matrizes é uma operação matemática que envolve duas matrizes. A 
condição para que duas matrizes e sejam multiplicadas é que o número de 
colunas da matriz deve ser igual ao número de linhas da matriz . O resultado da 
multiplicação é uma matriz 
 
A partir do exposto, assinale a alternativa que apresenta a matriz que corresponde à 
solução da seguinte equação matricial: 
 
 
Em que e 
 
• 
• 
• 
• 
• 
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois a matriz terá a seguinte forma: 
 
Em seguida, escreve-se a matriz X como: 
 
Assim, você encontrou que . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os três axiomas de Eliminação de Gauss são: 1) o sistema de equações não se altera 
quando permutamos as posições das equações; 2) o sistema de equações não se 
altera quando multiplicamos os membros de uma das equações por qualquer número 
real não nulo; 3) por inferência, podemos, então, substituir uma equação por outra 
obtida a partir da inclusão “membro a membro” dessa equação, na qual foi aplicada a 
transformação do Teorema II. Usando o conceito de Eliminação Gaussiana, assinale a 
alternativa correta referente à matriz triangular da seguinte matriz: 
 
 
 
• 
• 
• 
• 
• 
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, primeiramente, devemos fazer: 
 
 
Em um primeiro momento, substituímos a linha 2 pelalinha 2 menos 2 vezes a linha 
1. Também pegamos a linha 3 e somamos duas vezes a linha 1. Assim, teremos: 
 
 
 
Agora, pegamos a linha 3 e somamos com da linha 1: 
 
. 
 
 
 
 
As matrizes são tipos de arranjos de números com n linha e m colunas. Podemos 
obter as matrizes a partir de leis de formação. Por exemplo, uma matriz 2x2 pode ter a 
seguinte formação: 
 
 
Nessa forma, teremos a seguinte matriz: 
Situação similar podemos pensar para uma matriz 3x3. Assim, assinale a alternativa 
que apresenta uma matriz 3x3 que obedeça à seguinte lei de formação: 
 
 
 
• 
• 
• 
• 
• 
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois você montou a matriz da seguinte 
forma: 
 
 
Ao olhar os índices de cada elemento, podemos aplicar as condições do problema 
encontrando: