Lista 5 - Integrais Triplas Área 2 Cálculo 2 UFRGS

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Cálculo e Geometria Anaĺıtica II
Lista 5 - Integrais Triplas
1. Considere o sólido S, do primeiro octante, limitado pelo cilindro parabólico de equação z =
4 − x2, o plano y = 2 − x e os planos coordenados, com densidade em cada ponto dada pela
distância do ponto até a origem.
(a) Escreva (sem calcular) a massa M(S) do sólido S como uma integral tripla iterada em
coordenadas cartesianas
(b) Escreva (sem calcular) a massa M(S) do sólido S como uma integral tripla iterada em
coordenadas ciĺındricas.
2. Seja I =
∫∫∫
S
y dV em que S é a região sólida do semiespaço y > 0 delimitada acima pelo
paraboloide z = 4− x2 − y2 e abaixo pelo plano xy.
(a) Escreva (sem calcular) I como uma integral tripla iterada em coordenadas cartesianas.
(b) Escreva (sem calcular) I como uma integral tripla iterada em coordenadas ciĺındricas.
(c) Calcule I usando o sistema de coordenadas que julgar mais conveniente.
3. Considere I =
∫ 3
0
∫ √9−x2
0
∫ 9
x2+y2
x dz dy dx.
(a) Escreva (sem calcular) I como uma integral tripla iterada em coordenadas ciĺındricas.
(b) Calcule I usando o sistema de coordenadas que julgar mais conveniente.
4. Seja M =
∫ 2π
0
∫ π
4
0
∫ 2 secφ
0
ρ3 senφ√
1 + ρ2
dρ dφ dθ a massa de uma região sólida S. Escreva (sem
calcular) M como uma integral tripla iterada em coordenadas cartesianas.
5. Considere o sólido S situado entre as superf́ıcies esféricas dadas pelas equações x2 +y2 + z2 = 4
e x2 + y2 + z2 = 16, e dentro da folha de cone superior de equação z =
√
x2 + y2 .
(a) Escreva (sem calcular) o volume do sólido S como uma integral tripla iterada em coordenadas
ciĺındricas.
(b) Escreva (sem calcular) o volume do sólido S como uma integral tripla iterada em coordenadas
esféricas
6. Seja G a porção da bola x2 + y2 + z2 ≤ 25 que se situa acima do plano z = 3.
(a) Escreva (sem calcular) o volume do sólido
G como uma integral tripla em coordena-
das retangulares.
(b) Escreva (sem calcular) o volume do sólido
G como uma integral tripla em coordena-
das ciĺındricas.
(c) Calcule o valor numérico do volume do
sólido G.
1
7. Calcule
∫∫∫
E
√
x2 + y2dV , onde E é a porção do espaço que está dentro do cilindro x2+y2 = 16
e entre os planos z = −5 e z = 4.
8. Calcule
∫∫∫
E
x2dV , onde E é o sólido que está dentro do cilindro x2 + y2 = 1, acima do plano
z = 0 e abaixo do cone z2 = 4x2 + 4y2.
9. Calcule o volume do sólido entre o paraboloide z = x2 + y2 e o plano z = 2x.
Definição: O centroide de um sólido E no espaço é o ponto (x̄, ȳ, z̄), onde
x̄ =
1
vol(E)
∫∫∫
E
x dV, ȳ =
1
vol(E)
∫∫∫
E
y dV, z̄ =
1
vol(E)
∫∫∫
E
z dV.
10. Seja E o sólido no espaço delimitado pelos paraboloides z = x2 + y2 e z = 36− 3x2 − 3y2
(a) Encontre o volume do sólido E.
(b) Encontre o centroide do sólido E.
11. Calcule a integral transformando para coordenadas ciĺındricas∫ 2
−2
∫ √4−y2
−
√
4−y2
∫ 2
√
x2+y2
xz dz dx dy
12. Obs.: Neste exerćıcio, é utilizada uma outra ordem de integração em coordenadas ciĺındricas,
o que pode ser conveniente na descrição de alguns sólidos. Na ordem dr dz dθ, o sólido é descrito
através da rotação em torno do eixo z, de um ângulo θ, da região plana descrita pelas variáveis r
e z, onde r é visto como uma coordenada cartesiana.
Um buraco ciĺındrico é feito através de uma esfera sólida, o eixo do buraco sendo um diâmetro
da esfera. O volume do sólido restante é
V = 2
∫ 2π
0
∫ √3
0
∫ √4−z2
1
r drdzdθ.
Encontre o raio do buraco e o raio da esfera.
13. Seja G a porção da bola x2 + y2 + z2 ≤ 9 que se situa acima do cone z =
√
x2 + y2.
(a) Escreva (sem calcular) o volume do sólido G como
uma integral tripla em coordenadas esféricas.
(b) Calcule o valor numérico do volume do sólido G.
2
14. Seja G a porção da bola x2 + y2 + z2 ≤ 4 que se situa no primeiro octante, limitada pelos
planos coordenados xy, yz, pelo plano y = x e pela esfera x2 + y2 + z2 = 4.
(a) Escreva (sem calcular) o volume do sólido
G como uma integral tripla em coordenadas
esféricas.
(b) Calcule o valor numérico do volume do sólido
G.
(c) Escreva (sem calcular) a massa do corpo que
ocupa a região G, sabendo-se que a sua densi-
dade é igual a ρ, como uma integral tripla em
coordenadas esféricas.
15. Assim como no Exerćıcio 6., seja G a porção da bola x2 + y2 + z2 ≤ 25 que se situa acima do
plano z = 3. Escreva (sem calcular) o volume do sólido G como uma integral tripla em coordenadas
esféricas.
16. Seja G a região sólida limitada por cima e por baixo pela
esfera x2 + y2 + z2 = 16 e lateralmente pelo cilindro x2 + y2 = 8,
como mostra a figura.
Escreva (sem calcular) a massa do corpo que ocupa a região G,
sabendo-se que a sua densidade é δ(x, y, z) = z4
√
x2 + y2, como
uma integral tripla em coordenadas esféricas.
17. Seja G a região sólida limitada entre as esferas de raios 1 e 3, centradas na origem. Calcule
a massa de um corpo que ocupe a região G e que tenha densidade δ(P ) =
1
ρ(P )
para todo ponto
P ∈ G.
18. Calcule a integral a seguir, colocando-a primeiro em coordenadas esféricas.∫ 3
0
∫ √9−x2
0
∫ √9−x2−y2
0
z(x2 + y2) dz dy dx
19. Seja G a porção da bola x2 + y2 + z2 ≤ 16 que se situa acima do plano xy (hemisfério superior
da bola). Calcule o centroide do sólido G. (OBS: a fórmula do centroide esta definida antes do
Exerćıcio 10..)
20. Seja G a porção da bola x2 +y2 +z2 ≤ 9, limitada acima pelo
cone z =
√
3
√
x2 + y2 e abaixo pelo plano xy, representada pela
parte mais escura da figura.
Escreva (sem calcular) o volume da região G como uma integral
tripla em coordenadas esféricas.
3
Soluções
1. (a)
∫ 2
0
∫ 2−x
0
∫ 4−x2
0
√
x2 + y2 + z2 dz dy dx =
∫ 2
0
∫ 2−y
0
∫ 4−x2
0
√
x2 + y2 + z2 dz dx dy
(b)
∫ π/2
0
∫ 2/(sen θ+cos θ)
0
∫ 4−r2 cos2 θ
0
r
√
r2 + z2 dz dr dθ
2. (a) I =
∫ 2
−2
∫ √4−x2
0
∫ 4−x2−y2
0
y dz dy dx =
∫ 2
0
∫ √4−y2
−
√
4−y2
∫ 4−x2−y2
0
y dz dx dy
(b)
∫ π
0
∫ 2
0
∫ 4−r2
0
r2 sen θ dz dr dθ
(c)
128
15
3. (a)
∫ π/2
0
∫ 3
0
∫ 9
r2
r2 cos θ dz dr dθ
(b)
162
5
4.
∫ 2
−2
∫ √4−x2
−
√
4−x2
∫ 2
√
x2+y2
√
x2 + y2 + z2√
1 + x2 + y2 + z2
dz dy dx =
∫ 2
−2
∫ √4−y2
−
√
4−y2
∫ 2
√
x2+y2
√
x2 + y2 + z2√
1 + x2 + y2 + z2
dz dx dy
5. (a)
∫ 2π
0
∫ √2
0
∫ √16−r2
√
4−r2
r dz dr dθ +
∫ 2π
0
∫ 2√2
√
2
∫ √16−r2
r
r dz dr dθ
(b)
∫ 2π
0
∫ π/4
0
∫ 4
2
ρ2 senφ dρ dφ dθ
6. (a)
∫ 4
−4
∫ √16−x2
−
√
16−x2
∫ √25−x2−y2
3
1 dz dy dx (b)
∫ 2π
0
∫ 4
0
∫ √25−r2
3
r dz dr dθ
Para uma discussão detalhada sobre a montagem dessas integrais, veja o v́ıdeo deste link.
(c) Essa última integral é fácil de calcular. O resultado é 52π3 ≈ 54, 4543.
7. 384π
8.
2π
5
9.
∫ π
2
−π2
∫ 2 cos θ
0
∫ 2r cos θ
r2
r dz dr dθ =
π
2
. Dica para calcular a integral final, com respeito a θ, pode
ser útil a identidade cos2 α = 1+cos(2α)2 .
10. (a) 162π (b) (0, 0, 15).
11. 0
12. Raio do buraco = 1, Raio da esfera = 2.
Para cada θ, observe que no plano rz a equação z =
√
4− r2 é a equação de um semićırculo de
centro na origem e raio 2 e r = 1 é uma reta vertical. Vejas as figuras deste link.
13. (a)
∫ 2π
0
∫ π/4
0
∫ 3
0
ρ2 senφ dρ dφ dθ (b) 9π(2−
√
2)
14. (b)
∫ π/2
π/4
∫ π/2
0
∫ 2
0
ρ2 senφ dρ dφ dθ (b)
2π
3
(c)
∫ π/2
π/4
∫ π/2
0
∫ 2
0
ρ3 senφ dρ dφ dθ
4
https://youtu.be/XRkOroQgrLk
https://www.geogebra.org/m/kc9u9rdc
15.
∫ 2π
0
∫ arccos(3/5)
0
∫ 5
3 secφ
ρ2 senφ dρ dφ dθ
16.
∫ 2π
0
∫ π/4
0
∫ 4
0
ρ7 cos4 φ sen2 φ dρ dφ dθ +
∫ 2π
0
∫ 3π/4
π/4
∫ √8 cossecφ
0
ρ7 cos4 φ sen2 φ dρ dφ dθ +∫ 2π
0
∫ π
3π/4
∫ 4
0
ρ7 cos4 φ sen2 φ dρ dφ dθ
ou
2
∫ 2π
0
∫ π/4
0
∫ 4
0
ρ7 cos4 φ sen2 φ dρ dφ dθ +
∫ 2π
0
∫ 3π/4
π/4
∫ √8 cossecφ
0
ρ7 cos4 φ sen2 φ dρ dφ dθ
ou
2
∫ 2π
0
∫ π/4
0
∫ 4
0
ρ7 cos4 φ sen2 φ dρ dφ dθ + 2
∫ 2π
0
∫ π/2
π/4
∫ √8 cossecφ
0
ρ7 cos4 φ sen2 φ dρ dφ dθ
Observação: cossecφ = 1senφ
17. 16π
18.
243π
16
19.
(
0, 0,
3
2
)
20.
∫ 2π
0
∫ π/2
π/6
∫ 3
0
ρ2 senφ dρ dφ dθ
5