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FUNDAMENTOS 
DE FÍSICA E 
MATEMÁTICA
Mariana Sacrini 
Ayres Ferraz
Noções de integral, 
cálculo e função integral
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Identificar integral indefinida e suas propriedades para funções.
  Reconhecer a integral definida e suas propriedades para funções.
  Analisar fenômenos científicos e resolvê-los a partir da função integral.
Introdução
Você pode utilizar as integrais para encontrar áreas de regiões não regu-
lares, como regiões curvilíneas e sem forma conhecida. Mas seu uso vai 
além. Você também pode utilizá-las para encontrar volumes e descrever 
fenômenos da natureza.
Neste capítulo, você vai estudar as integrais, ver seu significado e 
aprender a resolvê-las. Além disso, vai conhecer a diferença entre integrais 
definidas e indefinidas.
Áreas e integração
Após ler o título desta seção, talvez você esteja se perguntando qual é a relação 
entre áreas e integrais. Como você sabe, o conceito de área é mais conhecido, 
enquanto o de integral fi ca mais restrito a cursos de exatas, como o de enge-
nharia. Mas a integral é bastante útil para as ciências em geral. Além disso, 
está intimamente relacionada com áreas, como você vai ver.
As áreas de polígonos regulares, como quadrados e triângulos, são bem 
conhecidas, e o eram até pelos primeiros matemáticos. Mas áreas de objetos 
curvilíneos e sem forma conhecida eram um desafio para esses matemá-
ticos. O primeiro matemático a obter resultados para essa questão foi o 
grego Arquimedes (287 a.C.–212 a.C.). Ele propôs um método que ficou 
conhecido como método da exaustão. Nele, diversos polígonos conhecidos 
eram inscritos no objeto cuja área deveria ser encontrada, como você pode 
ver na Figura 1. Quanto mais lados, mais a área do polígono se aproxima 
da área do objeto em questão, no caso, um círculo de raio r = 1. A tabela à 
direita mostra a quantidade de lados do polígono, n, e a área encontrada, 
A(n). Note que, quanto maior n, mais a área se aproxima do valor da área do 
círculo, que é A = πr2 = π12 = π.
Figura 1. Esquema do método da exaustão para encontrar a área de um círculo de raio 
r = 1, no qual A = πr2 = π.
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 317).
Você também pode utilizar esse método para encontrar áreas de funções. 
Veja a Figura 2a. Nela, há um gráfico de uma função y = f(x) e uma região 
sombreada entre o intervalo [a, b] de x. Aplicando o método da exaustão, 
a área da região sombreada, ou da região embaixo da curva, pode ser 
encontrada. Para isso, são inseridos retângulos na região, como mostra 
a Figura 2b. A área será então a soma das áreas dos retângulos usados. 
Note que, quanto mais retângulos forem inscritos na região, melhor será 
a aproximação (Figura 2c).
Noções de integral, cálculo e função integral2
Figura 2. Esquema do método de exaustão com a inscrição de retângulos para encontrar 
a área embaixo de uma curva, área sombreada, de uma função y = f(x).
Fonte: Adaptada de Anton, Bivens e Davis (2014, p. 317-318).
O método dos retângulos (Figura 2), embora bastante intuitivo, nem sempre 
é fácil de se utilizar. Só na segunda metade do século XVII, Isaac Newton e 
Gottfried Leibniz descobriram uma relação fundamental entre áreas e deriva-
das. Segundo eles, dada uma função f(x) que seja contínua e não negativa no 
intervalo [a, b] e considerando que A(x) é a área embaixo da curva no mesmo 
intervalo, onde x é um ponto qualquer, então:
A'(x) = f(x)
Ou seja, a derivada da área embaixo da função é igual à própria função 
no intervalo. Que tal ver isso com um exemplo? Observe a Figura 3. Nela, há 
um gráfico da função f(x) = 2, com área sombreada entre o intervalo [–1, x]. 
A ideia agora é encontrar a área da região sombreada A(x). A(x) é igual à área 
de um retângulo, ou seja, a base multiplicada pela altura. Assim:
A(x) = base · altura = (x – (–1))2 = 2(x + 1) = 2x + 2
3Noções de integral, cálculo e função integral
Agora, veja o cálculo da derivada da área:
A'(x) = 2
Assim, você viu que A'(x) = f(x) = 2.
Figura 3. Gráfico da função f(x) = 2, com área embaixo 
da curva sombreada entre o intervalo [–1, x].
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 320).
Com essa relação, embora você não tenha a área, sabe a sua derivada, que 
é a própria função. A partir da derivada A'(x), você pode recuperar A(x). Esse 
método é conhecido como antiderivação. O processo de encontrar a antide-
rivada também é conhecido como integração. Assim, integrando a função, 
você obtém a área. Derivando a área, você obtém a função novamente. Nas 
próximas seções, você vai ver como resolver integrais e também vai conhecer 
as integrais definidas e indefinidas.
Integrais indefinidas
As antiderivadas podem ser usadas para encontrar as áreas, como você viu 
na seção anterior. Agora você vai entender melhor o que é uma antiderivada. 
Uma função F é uma antiderivada de uma função f se F '(x) = f(x) no intervalo 
em questão. Note que aqui a função F é similar à área A da seção anterior. Por 
exemplo, a função é uma antiderivada de f(x) = x3, pois:
Noções de integral, cálculo e função integral4
Mas a função F(x) não é a única antiderivada de f(x). Se você somar uma 
constante a F(x), essa nova função ainda será sua antiderivada. Por exemplo, 
considere a função . Você tem:
Assim, existem diversas antiderivadas possíveis para f(x), que podem ser 
escritas como F(x) + C, onde C é uma constante qualquer.
Esse processo de se encontrar a antiderivada, ou antiderivação, é chamado 
de integração. Assim:
Ou seja, integrando a função f(x), você encontra a antiderivada F(x) + C. 
Essa integração é escrita com uma notação especial:
∫ f(x)dx = F(x) + C
Reescrevendo o exemplo dado, você fica com:
De maneira equivalente, .
A expressão que você acabou de ver, ∫ f(x)dx, é chamada de integral inde-
finida. Ela leva esse nome porque a função resultante é genérica e depende 
de C. Na próxima seção, você vai ver as integrais definidas.
Na integração, muitas vezes quem está resolvendo faz um palpite e checa 
se funciona. Mas esse método nem sempre é muito eficiente. Para ajudar, 
existem algumas fórmulas básicas, como você pode ver na Figura 4.
5Noções de integral, cálculo e função integral
Figura 4. Algumas fórmulas de integração.
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 324).
As integrais indefinidas têm propriedades importantes. Considere que F(x) 
e G(x) são as integrais de f(x) e g(x) e que c é uma constante.
  A integral de uma constante multiplicada de uma função é igual à 
constante multiplicada da integral da função. Ou seja:
∫ cf(x)dx = cF(x) + C
  A integral de uma soma é a soma das integrais. Ou seja:
∫ [ f(x) + g(x)]dx = F(x) + G(x) + C
  A integral de uma diferença é a diferença da integral. Ou seja:
∫ [ f(x) – g(x)]dx = F(x) – G(x) + C
Encontre a seguinte integral: 
Noções de integral, cálculo e função integral6
Integrais definidas
As integrais defi nidas, diferentemente das indefi nidas, têm um intervalo 
determinado, e seu resultado depende desse intervalo. Você pode considerar 
que, dada uma função f contínua em um intervalo [a, b], então f é integrável 
nesse intervalo, e a área A embaixo da curva e dentro do intervalo será:
O resultado dependerá, agora, do valor de a e b, e não de x. Por exemplo, se 
o caso for como o da seção anterior, mas com um intervalo definido, você terá:
Você vai ver mais detalhes na próxima subseção.
As integrais definidas também apresentam algumas propriedades. Dadas 
as funções f e g, integráveis no intervalo [a, b], e c uma constante, você tem:
  , onde d ∈ [a, b]
 
 
 
 
Se os pontos i, j e k pertencem ao intervalo [a, b], então:
  , não importando a ordem dos pontos.
  Se f(x) ≥ 0 em cada x de [a, b], então .
  Se f(x) ≥ g(x) em cada x de [a, b], então .
Teorema fundamental do cálculo
Como você viu, é possível defi nir a integral como a área embaixo da curva 
entre o intervalo dado. O teorema fundamental do cálculo diz que, se f for 
contínua em [a, b]e F for uma antiderivada de f, então:
7Noções de integral, cálculo e função integral
Agora você vai ver o teorema na prática. Observe a Figura 5, à esquerda. 
Figura 5. Gráficos de y = f(x) entre os intervalos de [a, b] e [a, x]
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 362).
A área da região sombreada é:
Agora veja o lado direito da Figura 5. Se A(x) é a área de a até x, você tem:
  A'(x) = f(x)
  A(a) = 0
  A(b) = A
Como você viu na seção anterior, a antiderivada de f(x) pode ser escrita 
como:
F(x) = A(x) + C
Subtraindo F(b) de F(a), você encontra que:
F(b) – F(a) = [A(b) + C] – [A(a) + C] = A(b) + C – A(a) – C = 
A(b) – A(a) = A
Usualmente, a diferença F(b) – F(a) é indicada por:
Noções de integral, cálculo e função integral8
Calcule a integral :
A segunda parte do teorema fundamental diz que é uma 
antiderivada de f no intervalo, ou seja, F '(x) = f(x) para cada x desse intervalo. Ou:
Relação entre integrais definidas e indefinidas
Como você viu anteriormente, se F é a antiderivada de f(x) em [a, b] e C é 
uma constante, então:
Note que você pode omitir a constante C ao resolver a integral definida. 
Assim, pode escrever que:
Você já deve ter estudado física e visto equações de deslocamento, velocidade e 
aceleração. Mas talvez você ainda não tenha visto essas mesmas equações usando 
derivadas e integrais.
A velocidade é a variação do deslocamento no tempo, ou seja:
9Noções de integral, cálculo e função integral
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014.
Referência
E a aceleração é a variação da velocidade no tempo, ou seja:
Isso significa que a posição é a antiderivada da velocidade, e a velocidade é a anti-
derivada da aceleração. Assim:
Dessa maneira, se você tiver, por exemplo, a função do deslocamento, x(t), pode 
encontrar a função da velocidade v(t). Suponha que . Assim:
Dessa forma, dada a velocidade, você encontra a função que descreve o deslocamento.
Noções de integral, cálculo e função integral10
Conteúdo: