Proporcionalidade - aula2

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Cursinho Chico Poco - Maio 2022
Proporcionalidade
Aula - 2
• Muitos alunos desconhecem o conceito de razão;
• Grande parte dos alunos tem dificuldade em resolver questões que 
envolvem proporcionalidade por meio de regra de três, 
desconhecendo essa estratégia de resolução;
• A ilusão da linearidade foi constatada quando alguns alunos 
empregaram proporcionalidade para resolver questões onde o 
conceito não se aplica;
• Os alunos demonstram desconhecer os conceitos de 
proporcionalidade direta e inversa;
• Grande parte dos alunos tem dificuldade em diferenciar grandezas 
diretamente proporcionais de grandezas inversamente proporcionais;
• Os alunos tendem a acreditar que duas grandezas são diretamente 
proporcionais, quando na verdade são inversamente proporcionais;
• Os alunos desconhecem o conceito de constante de 
proporcionalidade;
• A relação entre Grandezas Diretamente Proporcionais e Função 
Linear e entre Grandezas Inversamente Proporcionais e Hipérbole 
não é do domínio de nenhum aluno
Proporcionalidade - pesquisa alunos
Samara correa, UENF, 2019 (mestrado)
Razão
Qual é a razão entre a área 
total da região cinza e a área 
total da região branca? 
Grandezas Diretamente Proporcionais
• Um equívoco bastante comum é pensar que duas variáveis são diretamente 
proporcionais se uma aumenta sempre que a outra aumenta.
• (Condição necessária, mas não suficiente para a proporcionalidade) 
• Ex: Ao aumentar a medida do lado a área do quadrado também aumenta, 
porém não na mesma proporção. 
Grandezas diretamente proporcionais
Exemplo
• Um avião em movimento constante faz certo deslocamento em certo tempo. 
Veja a tabela abaixo:
• 
• Então 0,5/300 = 1/600 = 3/1800 = 4/2400
Constante de Proporcionalidade 
Proporcionalidade direta, é 
a razão (divisão) entre os valores de 
duas grandezas relacionadas, é uma 
constante, e a esta constante dá-se o 
nome de constante de 
proporcionalidade (k).
Y = k.x 
(Então, o K = y / x)
Função linear e proporcionalidade
Grandezas diretamente proporcionais
• A função linear é o modelo matemático para os problemas de 
proporcionalidade.
• Diretamente proporcionais
• Fixado o tempo: 10 s
• Velocidade (m/s): 1, 2, 5. 
• Distância (m): 10, 20, 50 
• S/v= t
Modelar o tempo e a distância (velocidade constante)
• Fixada a velocidade: 7 m/s
• Tempo (s): 1, 2, 5
• • Distância (m): 7, 14, 35
• S/t= v
Grandezas diretamente proporcionais
Constante de proporcionalidade
Exemplo - função linear
Considera a função de proporcionalidade direta f, 
representada graficamente no referencial cartesiano
da figura abaixo. O ponto de coordenadas (1; 3), 
pertence ao gráfico da função f. Qual é a constante 
de proporcionalidade? Justifique sua resposta.
Constante de proporcionalidade
Exemplo 
• Numa loja de automóveis, cada vendedor recebe uma comissão proporcional 
ao número de carros que vende. Se, em uma semana, o gerente pagou um 
total de R$ 8280,00 de comissões a quatro funcionários, os quais venderam 
3, 6, 7 e 9 carros, respectivamente, pergunta-se : quanto ganhou o vendedor 
que menos carro vendeu?
• 
Constante Proporcionalidade direta
Resolução Exemplo 
• X/3 = y/ 6 = z/7 = w/9 = k
• X + y + z + w / 3 + 6 + 7+ 9 = k
• K = 8280 / 25 = 331,20 
• X = 3k = 3 x 331,20 = 993,60
•
Grandezas Inversamente Proporcionais
• Quando o ciclista aumenta sua velocidade, 
o tempo correspondente diminui na 
mesma proporção. 
• Ex: ao dobrar a velocidade de 5 m/s para 
10 m/s , o tempo passa a ser metade do 
anterior.
Prova 1000 metros contra o relógio 
Proporcionalidade Inversa
Constante
• Constante de proporcionalidade Inversa
• K = x * y 
• Então, y = k /x
Modelar a velocidade e o tempo (distância)
Grandezas inversamente proporcionais
Inversamente proporcionais 
• Fixada a distância: 100 m 
• Velocid. (m/s): 1, 2, 5, 10, 20, 100
• Tempo (s): 100, 50, 20, 10, 5, 1
• S = v. t
Proporcionalidade Inversa
Constante
• Exemplo
• A tabela abaixo apresenta uma relação de proporcionalidade inversa entre as 
grandezas x e y . Qual é o valor de a? 
•
X 75 100
Y A 1,5
Proporcionalidade Inversa
Exemplo
Considera a função de proporcionalidade inversa f, 
representada graficamente no referencial cartesiano
da figura abaixo. O ponto de coordenadas (3; 6), pertence 
ao gráfico da função f. Qual é a constante de
proporcionalidade?Justifique sua resposta.
Regra de Três composta
Processo prático - proporcionalidade entre 3 ou mais grandezas
• 1o - Organize os dados em um quadro de comparação das grandezas. Dados 
de uma mesma grandeza sempre na mesma unidade.
• 2o - Analise a variação das grandezas. Indique se são diretamente ou 
inversamente proporcionais. Cada uma em relação àquela da qual se 
desconhece um dos dados.
• 3o - Estabeleça uma relação com os dados e resolva.
Regra de Três composta
Exemplo 1 - Problema
• 1) Numa empresa, 18 operários trabalhando 8 horas por dia conseguem fazer 
9000 copos de vidro. Quantos copos serão produzidos por 20 operários 
trabalhando 6 horas por dia?
•
Regra de Três composta 
Exemplo 1 - Resolução 
Regra de Três Composta
Exercício 2 
Um galão de mel fornece energia suficiente para uma abelha voar 7 milhões de 
quilômetros. Quantas abelhas iguais a ela conseguiriam voar mil quilômetros se 
houvesse 10 galões de mel para serem compartilhados entre elas?
Exercício 2 
Resolução
Escala e Regra de Três composta
Escala 1: 25
• 1a Dim - (Reta)
• Comprimento , 1 cm (desenho) , 25 cm (real)
• 2a Dim (Plano)
• Área , 1 cm2 (desenho), 25ˆ2 (real) 
• 3a Dim (Espaço)
• Volume, 1 cmˆ3 (desenho) , 25ˆ3( real)
•
Escala - Proporção
Exercício 1
No centro de uma praça será construída uma estátua que ocupará um terreno quadrado com área de 9 metros 
quadrados. O executor da obra percebeu que a escala do desenho na planta baixa do projeto é de 1 : 25.
Na planta baixa, a área da figura que representa esse terreno, em centímetro quadrado, é
a) 144.
b) 225.
c) 3 600.
d) 7 500.
e) 32 400
Exercício 1 - Escala - Proporção
Resolução
• Raiz 9 = 3 m
• 3m = 300 cm
• Planta 1 : 25 real
• 300/25 = 12 cm
• 12 ^ 2 = 144 cm2
•