Relatório 5 leo controle

Prévia do material em texto

RELATÓRIO DE CONTROLE 1
Atividade 5
Margens de ganho e fase, Controladores LEAD e LAG.
Leonardo Braga de Cristo
Engenharia Eletrônica
Prof. Paulo de Tarso Neves Junior
CAMPUS CURITIBA, 06 de dezembro de 2023
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
DAELN
SUMÁRIO
OBJETIVO 2
DESENVOLVIMENTO, RESULTADOS E DISCUSSÕES 3-22
CONCLUSÕES 23
1
OBJETIVO
Desenvolver os conceitos de margem de ganho e fase, entender os
controladores de avanço e atraso de fase.
Comparar resultados sem os controladores e com os controladores.
2
DESENVOLVIMENTO, RESULTADOS E DISCUSSÕES
1a) Calcule analiticamente e graficamente as margens de ganho e fase dos
sistemas abaixo assumindo que o sistema possui uma realimentação
unitária
Primeiro calcularemos analiticamente. No primeiro passo,
substituímos “s” por “jw”.
Rearranjando os termos, ficamos com:
Como a realimentação é unitária G(s)H(s) = G(s).
Calculado a fase e igualando a 180 graus obtemos:
3
Escolhemos w = 5.1 rad/s.
Com essa frequência substituímos na fórmula (2) e calculamos o
módulo.
Calcularemos Kmg e Kmgdb.
Portanto, analiticamente sabemos que a margem de ganho na forma
absoluta é 4.38 e na forma logarítmica -12.83dB.
4
Agora, vamos calcular com o auxílio do Matlab. No Matlab,
definimos a função de transferência e plotamos a sua resposta ao degrau
unitário. Da figura, notamos que a margem de ganho é de
aproximadamente 12.8 dB em sua forma logarítmica. Isso corrobora com o
resultado obtido de forma analítica.
É importante ressaltar a forma como o ponto da margem de ganho é
obtido, no gráfico de fase, traçamos uma reta no ponto em que a fase é 180
graus, e traçamos o ponto correspondente no gráfico de ganho, o valor da
magnitude é a margem de ganho.
Figura 1 - Diagrama de fase e amplitude do item 1.
Agora, calcularemos a margem de fase.
Primeiro calcularemos analiticamente.
Para isso encontraremos a frequência em que o ganho absoluto é 1.
Rearranjando obtemos.
5
Aplicando a função root() do Matlab, obtemos as raízes.
No nosso caso, vamos escolher a raiz real e positiva +2.1 rad/s.
A margem de fase é obtida da seguinte forma.
6
Agora, calculamos com o Matlab. Na figura é plotado a função de
transferência, com o auxílio na função margin() obtemos a margem de fase
como 70.9 graus e a margem de ganho de 12.8 dB, valores estes muito
próximos dos analíticos.
Figura 2 - Diagrama de fase e amplitude do item 1.
1b)Agora, aplicamos a mesma sequência do item anterior para a função de
transferência abaixo.
Primeiro calcularemos analiticamente. No primeiro passo,
substituímos “s” por “jw”.
7
Rearranjando e observando que como é uma realimentação unitária
G(S)H(s) = G(s), então obtemos.
Calculado a fase e igualando a 180 graus obtemos:
Simplificando (9) e resolvendo para w obtemos.
Simplificando obtemos.
Com essa frequência substituímos na fórmula (8) e calculamos o
módulo e pegamos o inverso do resultado para obter a margem de ganho
absoluta Kmg.
8
Para a margem de ganho logarítmica utilizamos a fórmula (6) e
ficamos com.
Portanto, analiticamente sabemos que a margem de ganho na forma
absoluta é 0.6 e na forma logarítmica 4.44 dB.
Agora, vamos calcular com o auxílio do Matlab. No Matlab,
definimos a função de transferência e plotamos a sua resposta ao degrau
unitário. Da figura, notamos que a margem de ganho é de
aproximadamente 4.37 dB em sua forma logarítmica. Isso corrobora com o
resultado obtido de forma analítica.
9
Figura 3 - Diagrama de fase e amplitude do item 1b.
Agora, calcularemos a margem de fase.
Primeiro calcularemos analiticamente.Para isso encontraremos a
frequência em que o ganho absoluto é 1.
Rearranjando obtemos.
Aplicando a função root() do Matlab, obtemos as raízes.
10
No nosso caso, vamos escolher a raiz real e positiva +3.55 rad/s.
A margem de fase é obtida da seguinte forma.
Aplicando os valores e resolvendo obtemos.
Agora, calculamos com o Matlab. Na figura é plotado a função de
transferência, com o auxílio na função margin() obtemos a margem de fase
como -3.3 graus e a margem de ganho de -4.4 dB, novamente valores estes
muito próximos dos analíticos.
11
Figura 4 - Diagrama de fase e amplitude do item 1b.
12
2) O robô Manutec-r3 apresenta uma dinâmica complexa para o longo
braço cuja F.T. é dada por:
Projete um Controlador LEAD adequado para atender os seguintes
requisitos:
● Overshoot Overshoot menor que 15%.
● Tempo de pico menor que 0,5 segundos.
● Tempo de acomodação (2%) menor que 1,2 segundos.
● Erro em regime para entrada rampa unitária menor que 10%.
Para a resolução deste controlador, seguirei os seguintes passos.
1)Passo
Usaremos o teorema do valor final e a tabela com as relações entre a
constante K e Kv, sabemos que o robô possui um sistema de tipo 1, pois
possui apenas um integrador.
Então aplicamos a fórmula para a a entrada do tipo rampa.
E desenvolvemos até obter uma relação simplificada de Kv.
13
Abaixo temos a tabela para os vários tipos de de plantas e entradas
respectivas.
Figura 5 - Tabela característica de sistemas do tipo N e entrada
específica.
Da tabela da figura (5) e sabendo o tipo N = 1 da planta e aplicando a
condição de erro no infinito. Abaixo temos.
2)Passo
No matlab plotamos o gráfico de bode de módulo e fase para uso nos
passos posteriores KG(s).
14
Figura 6 - Diagrama de fase e amplitude do item 2.
3)Passo
Determinaremos a margem de fase para o overshoot de 15%.
Abaixo desenvolvemos.
Como
15
4) Passo
Adicionaremos uma margem de segurança de 10 graus, previamente
eu havia testado 5,6 e 7 graus, com sucesso, entretanto com overshoot
acima do esperado. 10 graus foi a melhor margem, que vamos utilizar
portanto.
5)Passo
Calcularemos .α
6)Passo
Calcularemos o ganho Am.
Com o valor do ganho Am, olhando o gráfico do Matlab obtido no
passo 2, podemos obter a frequência wmax.
7) Passo
16
8) Passo
9) Passo
Verificando no matlab.
Figura 7 - Diagrama de fase e amplitude do item 2.
No Matlab, o cruzamento em 0 dB ocorre em 8.86 rad/s próximo do
valor calculado analiticamente.
17
A seguir temos a resposta ao degrau do sistema com controlador e
sem controlador também. Em laranja vemos o sistema com o controlador e
em azul sem.
Figura 8 - Resposta ao degrau do sistema com e sem o
controlador .
Podemos concluir que o tempo de acomodação é baixíssimo, o
overshoot ficou em 15%, o tempo de resposta também ficou muito rápido.
3) A dinâmica da planta de um processo químico é representada por uma
F.T. dada por:
Projete um Controlador LAG adequado para atender os seguintes
requisitos:
○ Constante Constante de erro de velocidade velocidade Kv=
200;
○ Margem de Ganho maior que 15 dB.
○ Margem de Fase maior que 70 graus.
18
Figura 9 - Diagrama de blocos do item 3.
1)Passo
Como o sistema possui apenas um integrador, é do tipo N =
1.Sabendo que Kv = 200 calculamos K .
2)Passo: Multiplicando o valor de K encontrado pela F.T. da planta e
fazendo o diagrama de Bode da função resultante (Malha Aberta).
Obtemos.
19
Figura 10 - Diagrama de fase e amplitude do item 3.
3)Passo: Determinando a frequência ω1 onde a fase é 5º a 12º maior que a
margem de fase desejada. Escolhendo 8º de acréscimo
Agora, olhamos o gráfico de bode anterior e descobrimos que para
-102 graus a frequência obtida é a seguinte.
20
Figura 11 - Diagrama de fase e amplitude do item 2.
4)Passo:Escolhendo o zero z do compensador:
5)Passo: Encontrando a magnitude na frequência ω1 no diagrama de Bode
traçado no passo 2:
Da figura do diagrama de bode do passo 3, sabemos que.
6- Escolha o polo p de forma que:
21
7)Passo: Simulando em Malha fechada:
Calculando os parâmetros do controlador ficamos com C(s)
desenvolvido da seguinte maneira.
E a simulação no Matlab é apresentada. Em laranja está o sistema
com o controlador, houve uma melhora no overshoot, menor que 7%. O
tempo de subida aumentou e o tempo de estabilização também.
Podemos ver que antes o overshoot erade 19%, agora de 7%.
Figura 12 - Resposta ao degrau do sistema com e sem o
controlador do item 3
22
CONCLUSÕES
Podemos concluir que que no item 1, os dois sistemas são de fase
mínima, entretanto o primeiro (item 1a) possui valores de margem
positivos, o que torna-o estável, já o segundo (item 1b) possui valores de
margem negativos, tornando-o instável.
No item 2, o controlador LEAD adicionou velocidade ao sistema,
tanto de acomodação como de pico, é visível ao olharmos a figura (8),
apenas foi complicado controlar o overshoot, pois dependendo do ângulo
de segurança adicionado o overshoot pode ficar perto de 20%.
No item3, o controlador LAG diminuiu o overshoot do sistema, mas
aumentou o tempo de pico e de acomodação. Podemos notar isso na figura
(12).
23