Atividade - Controle av2

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Prof: Henrique Marin v. d. B. Campos Disciplina: Controle e 
servomecanismos 1 
 
Aluno(s): 
 
 Ailson Souto Souza 201708215484 
 Jaqueline de Fátima Coutinho 201503235572 
Marcantoni Tavares Junior 20103455061 
 
 
Obs.: postar o arquivo em pdf. Todos os alunos devem postar. 
 
ATIVIDADE AVALIATIVA 
 
Responder as questões apresentando o desenvolvimento dos cálculos, não 
sendo aceitas somente as respostas. 
 
 
 
1) Considere o sistema G(s) abaixo e responda o que se pede. 
 
70 
𝐺(𝑠) = 
𝑠2 + 15𝑠 + 70 
a) Determine se o sistema é estável em malha fechada com realimentação 
unitária. 
𝐺𝑒(𝑠) = 
𝐺(𝑠)
 
1+𝐺(𝑠) 
=> parâmetro para uma malha fechada com realimentação. 
 
Função de transferência: 
 
70 
𝐺(𝑠) = 𝑠2 + 15𝑠 + 70 
70 X 1 
 1+ 𝑠2 + 15𝑠 +70 
 
70 
𝐺(𝑠) = 𝑠2 + 15𝑠 + 140 
 
 
𝑠 =
−15 ± √152 − 4.1.140
2.1
 
 
 𝑠 =
−15±√225−560
2.1
 
 
 𝑠 =
−15±√−335
2
 
 
2 
 
 
 𝑠 =
−15±√335.√−1
2
 
 
 𝑠 =
−15±j18.30
2
 
 
 S= -7.5±J9.15 
 
 
 
 
 
Polos no spe. = estável 
 
b) Qual a ordem do sistema G(s)? E o tipo de resposta? Justifique. 
Ordem da G(s) é dois e com resposta subamortecida devido resultado do delta ser 
menor que 0. 
3 
 
 
c) Calcule a frequência natural (𝜔𝑛) e o fator de amortecimento (𝜉). 
 
𝜔𝑛 = √70 = 8,367 15 
𝑟𝑎𝑑 
 
 
𝑠 
𝜉 = 
2 ∗ 8,367 
= 0,8964 
 
 
d) Calcule os parâmetros da resposta transitória: instante de pico (Tp), máximo 
sobressinal (%UP) e o tempo de estabelecimento (TS). 
𝜋 
𝑇𝑝 = = 0,847𝑠 8,367 ∗ √1 − 
0,8964² 
 
−0,8964∗𝜋 
 
%𝑈𝑃 = 100 ∗ 𝑒√1−0,8964² =0,1739 % 
 
 
𝑇𝑠 = 
4 
 
 
0,8964 ∗ 8,367 
 
= 0,533𝑠 
 
 
 
e) Determine a margem de ganho e a margem de fase. Dica: função margin. 
 
𝑀𝐹 = 180° + 𝜃 
𝜃 = 180° − 180° = 0° 
|𝐺|𝑑𝐵 = −∞° = > 𝑀𝐹 = ∞ 
4 
 
 
f) Calcule o erro em regime permanente em malha fechada para entrada em 
degrau unitário, entrada em rampa e entrada em parábola. Dica: usar as 
constantes de erro. 
 
 
𝑒(∞) = 
1 
 
 
1 + 𝐾𝑝 
 
 
𝐾𝑝 = lim 𝐺(𝑠) = 
𝑠→0 
 
𝑠2 
70 
+ 15𝑠 + 70 
 
 
𝐾𝑝 = lim 𝐺(𝑠) = 
𝑠→0 
70 1 
02 + 15 ∗ 0 + 70 
=> 
1 
= 1
 
 
 
𝑒(∞) = 
1 
 
 
1 + 1 
1 
=> = 0,5 
2 
 
 
 
5 
 
 
2) Agora, considere o projeto de um controlador, utilizando o método da resposta 
em frequência. Deseja-se projetar o compensador por avanço de fase, de forma 
a atingir os seguintes requisitos de resposta transitória, para o sistema G(s) do 
exercício anterior: 
Tempo de subida: 0,1s (tr ≤ 0,1𝒔) 
Sobressinal: 5% (Mp ≤ 𝟎,05) 
Considere o diagrama de Bode apresentado abaixo, para a G(s) em malha aberta, 
e observe o ganho e a fase na frequência 𝜔𝑐 = 32,2 rad/s, a ser calculada no item 
“c”. 
 
a) Calcule, com base no diagrama de Bode acima, a margem de fase e a margem 
de ganho do sistema original (sem o compensador). 
MFo = 180 + (-153,48) = 26,52° 
𝑀𝐺𝑜 = 23,79 𝑑𝐵 
 
b) Calcule o coeficiente de amortecimento desejado (𝝃) 
log 0,05 
𝜉 = = 0,6901 
√𝜋2 + log 0,052 
 
c) Calcule a margem de fase desejada (MFd) 
𝑀𝐹𝑑 = 𝜉 ∗ 100 => 0,6901 ∗ 100 = 69,01 
𝐶𝑜𝑚 𝑎 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑒𝑚 𝑑𝑒 𝑔𝑎𝑛ℎ𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑒𝑗𝑎𝑑𝑎 → 𝑀𝐹𝑑 = 69,01 + 5 = 74,01 
6 
 
 
d) Calcule a frequência de cruzamento desejada (𝜔𝑐) 
𝜋 − cos−1 𝜉 𝜋 − cos−1 0,6901 𝑟𝑎𝑑 
𝑊𝑐 = => = 32,23° 
𝑇𝑠 ∗ √1 − 𝜉2 0,1 ∗ √1 − 0,69012 𝑠 
 
e) Calcule a contribuição angular do compensador por avanço de fase (𝛷) 
𝜙 = 74,01 − (−153,48) − 180 => 47,49° 𝑟𝑎𝑑 
 
f) Calcule os parâmetros do compensador: 𝛼, T e Kabs 
𝜙2 = 
𝜙∗𝜋 
=> 
47,49∗𝜋 
0,8289° 𝑟𝑎𝑑 
 
𝛼 = 
180 
1 − sin 𝜙2 1 
+ sin 𝜙2 
1 
180 
 
=> 
1 − sin 0,8289 
 
 
1 + sin 0,8289 
1 
 
= 0,1513° 𝑟𝑎𝑑 
𝑇 = 
𝑊𝑐 ∗ √𝛼 
=> = 0,07976 
32,23 ∗ √0,1513 
𝐾𝑑𝐵 = 10 ∗ log10 𝛼 − 𝑀𝐹𝑑 => 10 ∗ log10 0,1513 − 74,01 = 15,59 
𝐾𝑑𝐵 
 
 
𝐾𝑎𝑏𝑠 = 10 20 => 10 
15,59 
20 = 6,02 
 
 
g) Apresente a função de transferência do compensador por avanço de fase no 
formato: 𝐶(𝑠) = 𝐾𝑎𝑏𝑠 . 
𝑇.𝑠+1 
𝛼.𝑇.𝑠+1 
𝐶(𝑠) = 6,02. 
0,07976𝑠 + 1 
 
 
0,0121𝑠 + 1 
 
h) Plotar o diagrama de Bode do sistema compensado 
 
7 
 
 
 𝑠 
i) Plotar a resposta a entrada em degrau unitário, para o sistema com 
realimentação unitária 
 
3) Agora utilize a função de transferência do controlador proporcional-derivativo 
(PD), dada por: 
 
𝐶(𝑠) = 𝐾𝑝. 
1 + 
𝐾𝑑 𝑠 
𝐾𝑝 
 𝑠 
+ 1
 
𝑝1 
 
Considere uma frequência 𝜔𝑐 que seja 60% do valor calculado no item “c” da 
questão “2”. Calcule, conforme a metodologia apresentada em aula, considerando a 
mesma G(s) do exercício 2: 
a) o Kp (ganho proporcional) 
𝐾𝑝 = cos 0,8289 ∗ ( 
1 
 𝑀𝑔𝑜) => cos 0,8289 ∗ ( 
10 20 10 
1 
 −23,78) = 10,451 
20 
b) o Kd (ganho derivativo) 
𝑊𝑐 = 𝑊𝑐 ∗ 60% => 32,23 ∗ 0,6 = 19,33 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
1 1 
𝐾𝑑 = sin 0,8289 ∗ ( 𝑀𝑔𝑜) => sin 0,8289 ∗ ( 
𝑊𝑐 ∗ 10 20 19,33 ∗ 10 
c) o pólo p1 
 −23,78) = 0,5896 
20 
𝑝1 = 100 ∗ 𝑊𝑐 => 100 ∗ 19,33 = 1933 
 
 
d) Plotar o diagrama de Bode do sistema compensado 
1 +
 0,5896 
𝑠
 
𝐶(𝑠) = 10,45.
 10,45 
→ 10,45. 
1933 
 
1 + 0,05642𝑠 
 𝑠 + 1933 
1933 
 
→ 10,45. 
 
1933 + 109,06𝑠 
 
 
𝑠 + 1933 + 1 
8 
 
 
 
𝐶(𝑠) = 
20200 + 1140𝑠 
 
 
𝑠 + 1933 
Função de transferência: 
70 20200 + 1140𝑠 79,8 ∗ 103𝑠 + 1414 ∗ 103 
𝐺(𝑠)𝐶(𝑠) = 
𝑠2 + 15𝑠 + 70 
∗ 𝑠 + 1933 
= 
𝑠3 + 1948𝑠2 + 29,06 ∗ 103𝑠 + 135,3 ∗ 10³ 
 
 
 
e) Plotar a resposta a entrada em degrau unitário, para o sistema com 
realimentação unitária