CONTRIBUIÇÃO DOS ESFORÇOS CORTANTES NA FLECHA DE VIGAS DE AÇO EM SEÇÃO I

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CONTRIBUIÇÃO DOS ESFORÇOS CORTANTES NA FLECHA DE VIGAS DE AÇO 
EM SEÇÃO I: análise das condições estruturais mais significativas 
 
Paulo Henrique da Silva1 
Renata de Oliveira Melo2 
 
Resumo: Na maioria dos projetos de vigas, a flecha considerada é aquela correspondente 
apenas ao efeito dos momentos fletores, sendo a contribuição do esforço cortante nessas 
deformações, portanto, desprezada. Tal desconsideração, entretanto, resulta em valores de 
flecha inferiores aos reais e as deflexões resultantes de ambos os esforços podem ter uma ordem 
de grandeza semelhante. Sob essa perspectiva, o presente trabalho apresentou como objetivo 
geral determinar as condições estruturais de vigas de aço com seção I nas quais a contribuição 
do esforço cortante nas flechas seja mais significativa. Para tal, foram analisadas 216 vigas 
diferentes, com mesmo material, mas com variação do vão, dos carregamentos, das condições 
de apoio e das medidas da seção. Dos resultados, observou-se que o efeito do cisalhamento na 
flecha é mais considerável em vigas de vãos menores, com maior grau de hiperestaticidade 
externa e com seção de maior momento de inércia (maior altura). 
 
Palavras-chave: viga; flecha; momento fletor; esforço cortante. 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
As vigas de aço, garantindo a resistência, estabilidade e segurança das estruturas, 
desempenham um relevante papel na construção civil, sendo elementos amplamente utilizados 
em diversos projetos de engenharia e arquitetura. Além de seu caráter estrutural, que é sua 
função intrínseca e imperante, podem apresentar-se, pelo fato de estarem aparentes na maioria 
dos casos, como importante contribuição ao aspecto arquitetônico, proporcionando uma 
aparência única e agregando valor estético aos ambientes. 
Sob tal ótica, o aprimoramento dos processos de dimensionamento e a compreensão 
aprofundada do comportamento intrínseco desses elementos tangenciam-se como recorrentes 
âmbitos de investigação acadêmica e ostentam um interesse prático-profissional de magnitude 
ímpar. A pertinente compreensão dos deslocamentos transversais, por exemplo, consabidos 
como flechas, os quais se configuram como os objetos de estudo primordiais desta pesquisa, 
concede ao engenheiro a possibilidade de antever, de maneira suscinta, a resposta estrutural 
 
1 Graduando em Engenharia Civil pelo Centro Universitário de Patos de Minas (UNIPAM), 
paulohsilva@unipam.edu.br. 
2 Engenheira Civil, especialista em Estruturas Metálicas, docente do Centro Universitário de Patos de 
Minas (UNIPAM), renataom@unipam.edu.br. 
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ante as inúmeras forças externas atuantes, além de prospectar mecanismos que vislumbrem a 
minimização de tais deformações e a otimização da utilização de materiais. 
Na grande maioria dos projetos estruturais, a flecha considerada é aquela 
correspondente apenas ao efeito dos momentos fletores, sendo a contribuição do esforço 
cortante nessas deformações, portanto, desprezada. Tal desconsideração, entretanto, resulta, 
segundo Alves Filho (2000), em valores de flecha inferiores aos reais e a influência do 
cisalhamento se torna mais relevante em vigas que possuem um comprimento não muito maior 
que sua altura, sendo que as deflexões resultantes de ambos os esforços podem ter uma ordem 
de grandeza semelhante. 
A importância da contemplação dos esforços cortantes, expressa de forma mais 
substancial e indubitável, se apresenta na EN 1993-1-1 (2005): Eurocode 3: Design of Steel 
Structures, Part 1-1: General rules and rules for buildings, a qual preconiza que o momento 
fletor resistente (a ser usado como valor de cálculo da resistência da seção) deve ser minorado 
(reduzido) por um parâmetro que considera a atuação da força cisalhante. Desse modo, embora 
não se determine necessariamente a deformação por cisalhamento, há a redução da resistência 
à flexão, o que provoca, por conseguinte, o aumento da flecha calculada. 
Em vista desse panorama, controverso entre teoria e prática, mostra-se como 
pertinente e válido o questionamento de quais seriam, então, as condições ou circunstâncias em 
que é necessário ou relevante a consideração da deformação devido cisalhamento. Buscando 
responder tal indagação, o presente trabalho apresenta como objetivo geral determinar as 
condições estruturais (em relação a vão, seção, carregamento e apoios) de vigas de aço com 
seção I nas quais a parcela de deformação por esforço cortante seja mais significativa, 
considerando a ação conjunta com as deformações (flechas) provocadas por momentos fletores. 
Para tal, de modo específico, busca-se determinar o valor das deformações por 
flexão e o das deflexões adicionais verticais devido cisalhamento em determinado ponto (seção) 
dos modelos estruturais de vigas considerados; avaliar o aumento percentual da deformação na 
consideração conjunta do efeito dos esforços cortantes sobre o dos momentos fletores; e 
organizar os valores de aumento percentual da deformação de forma a possibilitar a análise da 
influência de cada uma das variáveis (parâmetros estruturais) consideradas. 
Assim sendo, espera-se que esta pesquisa contribua para um melhor entendimento 
do comportamento estrutural de vigas, possibilite o aprimoramento das técnicas de 
determinação de flechas nas mesmas e fomente uma perspectiva complementar quanto análise 
de estados-limites de serviço, preponderantemente quanto deformações excessivas, 
apresentando, ademais, aplicabilidade prática aos projetos vindouros. 
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2 REFERENCIAL TEÓRICO 
 
2.1 Vigas 
 
Estrutura, conforme Dias (2002), pode ser definida como o conjunto das partes ou 
elementos resistentes de uma construção, sendo esses, classificados de acordo com a sua 
geometria e o modo de aplicação das cargas. A partir dessa perspectiva e consoante Leet et al 
(2009) viga é conceituada como sendo um elemento linear carregado perpendicularmente ao 
seu eixo longitudinal e que está submetido preponderantemente a momentos fletores e esforços 
cortantes, caracterizando a denominada flexão simples, embora também possam se desenvolver 
forças axiais e torção. 
Como dilucidado por Ching (2017), as vigas são projetadas e construídas para 
resistir as cargas transversais e transmiti-las aos elementos estruturais que lhes servem de apoio. 
Os esforços desenvolvidos nessas ligações, conhecidos como reações de apoio, são 
considerados como forças externas e influenciam diretamente no comportamento estrutural da 
peça (FÉODOSIEV, 1977). 
Existem, de acordo com Beer et al (2011), diferentes tipos de apoios ou conexões 
entre um corpo rígido e outro, mas segundo apresentado em Süssekind (1981) e Garrison (2018) 
a representação a nível de análise estrutural se dá, em suma, de três maneiras (vide Figura 1). 
Essencialmente, se um apoio impede (restringe) a translação de um corpo em uma determinada 
direção, então uma força é desenvolvida nessa direção. Semelhantemente, se uma rotação é 
impedida, então um momento (conjugado) é exercido sobre o corpo (HIBBELER, 2010). 
 
Figura 1 – Representação dos tipos de apoios e suas restrições de movimentação 
 
 
 
Fonte: Garrison, 2018. 
 
Em um contexto de estruturas de aço, conforme ABNT NBR 8800 (2008): Projeto 
de estruturas de aço e de estruturas mistas de aço e concreto de edifícios, a conexão entre as 
peças (configurando os apoios ou ligações) é executada, basicamente, por meio de elementos 
tais como enrijecedores, cantoneiras, consolos e chapas, acoplados ou fixados através dos meios 
de ligação, como soldas e conectores (parafusos, pinos e barras rosqueadas). 
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2.2 Deformações em vigas 
 
A atuação dos carregamentos nas vigas, assim como em qualquer outro componente 
estrutural, traduz-se em estados de tensões que caracterizam os denominados esforços internos 
(FÉODOSIEV, 1977). Considerando um ponto material de um corpo (como no caso, uma viga) 
submetido a determinado estado de tensões, verifica-se que esse pontoapresenta um 
deslocamento que, por sua vez, provoca ao corpo um movimento de rotação e/ou de translação, 
bem como alteração na sua configuração geométrica inicial, estabelecendo, portanto, uma 
deformação (MEGSON, 2005; LIMA e SORIANO, 2006; MARTHA, 2022). 
Na determinação dos esforços internos de uma viga, o modelo estrutural, para ser 
considerado adequado, deve satisfazer algumas condições físicas e matemáticas, divididas em 
basicamente três grupos: condições de equilíbrio, condições de compatibilidade entre 
deslocamentos e deformações e condições ou leis constitutivas dos materiais. Respeitadas essas 
hipóteses, considerando um contexto de pequenas deformações e o material em comportamento 
linear-elástico, pode haver, para análise, o desacoplamento dos efeitos axiais, transversais 
(flexão e cisalhamento) e de torção, ou seja, eles podem ser considerados separados e 
posteriormente superpostos (Princípio da Superposição) (MARTHA, 2022). 
 
2.2.1 Deformações de vigas por flexão 
 
Clímaco (2008, p. 177) estabelece que “a flexão de um elemento linear caracteriza-
se pela atuação de momentos fletores, que produzem tensões normais na seção transversal e a 
sua rotação.” Assim sendo, qualquer barra (ou viga) deformável submetida a flexão, apresenta, 
conforme Hibbeler (2010), parcela da seção submetida a tração e outra porção submetida a 
compressão. A partir disso, Pfeil e Pfeil (2009) estabelecem que as seções com comportamento 
mais adequado quando submetidas a flexão são aquelas com áreas mais distantes do seu eixo 
neutro e, portanto, as que possuem maior momento de inércia, destacando-se nessas 
especificidades as vigas (perfis) de formato I (também conhecidas como vigas de alma cheia). 
A análise de vigas sob flexão, de acordo com Martha (2022), respalda-se na 
denominada Teoria das Vigas de Navier. Essa teoria está, por sua vez, fundamentada em duas 
hipóteses básicas: a manutenção das seções transversais planas quando da deformação da viga 
(Hipótese de Bernoulli) e a desconsideração das deformações por efeito dos esforços cortantes. 
Tais condições garantem uma continuidade de deslocamentos no interior da barra, já que cada 
seção transversal permanece agregada ou unida com suas adjacentes (MARTHA, 2022). 
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Dessa teoria, cuja fundamentação apresentada esquematicamente por Martha 
(2022) consta no Anexo A – Resumo da Teoria das Vigas de Navier, destacam-se duas 
expressões (Equações 1 e 2) precípuas ao cálculo das deformações por flexão em vigas: 
 
𝑑𝜃
𝑑𝑥
=
𝑀(𝑥)
𝐸𝐼(𝑥)
 ⇔ 𝜃(𝑥) = ∫
𝑀(𝑥)
𝐸𝐼(𝑥)
𝑑𝑥 (1) 
 
𝑑2𝑣
𝑑𝑥2
=
𝑀(𝑥)
𝐸𝐼(𝑥)
 ⇔ 𝑣(𝑥) = ∬
𝑀(𝑥)
𝐸𝐼(𝑥)
𝑑𝑥2 (2) 
 
Onde: 
𝑀(𝑥) = equação de momento fletor da viga; 
𝐸 = módulo de elasticidade do material (módulo de Young) 
𝐼(𝑥) = equação do momento de inércia da seção transversal ao longo da viga; 
𝜃 = rotação da seção transversal por flexão; 
𝑣 = deslocamento transversal por flexão (flecha); 
𝑥 = posição de determinada seção da viga. 
 
Da Equação 2 observa-se que, na consideração do momento de inércia constante ao 
longo da viga, isto é, 𝐼(𝑥) = 𝐼, para se obter a função do deslocamento por flexão 𝑣(𝑥), 
denominada curva elástica, basta integrar duas vezes a equação de momento fletor (além de 
dividir pela rigidez 𝐸𝐼), sendo necessário, portanto, avaliar apenas duas constantes de 
integração. Essas últimas são definidas a partir das chamadas condições de contorno e mediante 
auxílio da função de rotação 𝜃(𝑥) expressa na Equação 1 (HIBBELER, 2010). 
 
2.2.2 Deformações de vigas por esforço cortante 
 
Define-se esforço cortante como sendo, em suma, o efeito de uma distribuição de 
tensão de cisalhamento transversal que age sobre um elemento estrutural (como uma viga, por 
exemplo), provocando deformações que tendem a distorcer, de forma relativamente complexa, 
a seção da peça (HIBBELER, 2010). Ugural (2015), por sua vez, assevera que tensão de 
cisalhamento é produzida a partir da atuação de forças que tendem a deslizar uma determinada 
seção em relação à outra adjacente. 
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De acordo com o apresentado em Popov (1978) a distribuição da tensão de 
cisalhamento em uma viga de seção I ocorre de forma parabólica (Figura 2), de tal maneira que 
a tensão cisalhante máxima se dá na altura do eixo baricêntrico. Hibbeler (2010) ressalta que a 
tensão varia de forma sutil ao longo da alma e apresenta diminuição abrupta no encontro com 
as mesas ou abas. A formulação para tal distribuição encontra-se no Anexo B – Fórmula do 
Cisalhamento e da Distribuição de Tensão Cisalhante, expressa de acordo com Timoshenko e 
Gere (1994) e Hibbeler (2010). 
 
Figura 2 – Distribuição de tensão cisalhante em (a) corte transversal de (b) viga de seção I 
 
 
 
 
 
(a) (b) 
Fonte: Hibbeler, 2010. 
 
A consideração primeva da deformação por esforço cortante em vigas, de forma 
propriamente dita, se deu com a Teoria de Timoshenko, exposta inicialmente em 1921 e que, 
em oposição a Teoria das Vigas de Navier considera o efeito do cisalhamento na análise da 
flexão de barras (TORRES, 1999). Esse modelo incorpora a deformação causada pelo 
cisalhamento como uma rotação extra da seção transversal, resultando em uma formulação que 
trata a rotação da seção transversal e o deslocamento transversal como parâmetros 
independentes (MARTHA e BURGOS, 2014). 
Timoshenko e Gere (1961), no entanto, propõem uma abordagem alternativa à essa 
formulação convencional para abordar a deformação por cisalhamento. Eles a interpretam não 
como uma rotação adicional da seção transversal, mas sim como uma distorção cisalhante (dh) 
do elemento infinitesimal da viga, conforme Figura 3. Segundo Martha e Burgos (2014), em 
uma análise de primeira ordem, na qual a carga axial não afeta a flexão da viga, ambas as 
perspectivas para entendimento da deformação por esforço cortante levam a formulações 
idênticas. 
A partir dos anos 1940, com o advento tecnológico e evolução do uso de 
computadores, outra metodologia para análise estrutural, e, portanto, útil para determinação de 
deformações cisalhantes em vigas, começou a ganhar destaque, o chamado Método dos 
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Elementos Finitos (LOGAN, 2006). A comprovação da eficácia desse método na determinação 
do efeito do cisalhamento em vigas sob flexão foi estabelecida por Souza (2019), com base nos 
trabalhos de Neves (2000), demonstrando que os resultados obtidos coincidem com as soluções 
analíticas, desde que o operador do programa computacional empregue um refinamento de 
malha apropriado. 
 
Figura 3 –Deformação por cisalhamento considerada como distorção adicional 
 
 
 
 
 
 
Fonte: Martha, 2022. 
 
Timoshenko e Gere (1994), analisando o efeito do cisalhamento para vigas com 
seção retangular, verificaram que as deformações adicionais em decorrência do cisalhamento 
(𝛿v) são mais significativas para relações entre o vão e a altura da seção menores que 10. Ainda 
segundo esses autores, para as vigas em I, os efeitos são comparáveis aos da forma retangular, 
porém a magnitude relativa da deformação angular geralmente é de duas a três vezes maior. 
Nesse contexto, Silva (2019) diz que a contribuição do cisalhamento não é função apenas da 
seção e do vão, mas é influenciada ainda pela maneira como a estrutura está apoiada. 
De qualquer modo, Timoshenko e Gere (1994), corroborados por Féodosiev (1977), 
ressaltam que quando as deformações provocadas por esforço cortante são levadas em conta, 
isso é feito de forma aproximada, já que as tensões não possuem distribuição uniforme ou 
homogênea por toda a área transversal. 
 
2.2.3 Teorema dos Trabalhos Virtuais 
 
Sussekind (1980) apresenta que, para um ponto material, no qual a força resultante 
seja nula,o trabalho virtual realizado pelo sistema de forças reais em equilíbrio que atua sobre 
o ponto, quando este sofre um deslocamento virtual arbitrário qualquer, é nulo. Essa condição, 
ainda conforme o autor, denominada como Princípio de D’Alembert (ou Princípio dos 
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Trabalhos Virtuais), elucidada através dos teoremas de trabalho e dos conceitos de energia de 
deformação resulta no Teorema dos Trabalhos Virtuais. Esse teorema e os conceitos dele 
provenientes são, como apresentado por Martha (2022), úteis ao cálculo de deformações e a 
análise de estruturas. 
Para o entendimento da aplicabilidade desse teorema na determinação de 
deformações em vigas, pode-se considerar o processo descrito em Süssekind (1980). Para tal, 
seja a estrutura (considerada como corpo elástico) dada na Figura 4. Devido ao carregamento 
externo de enésimas forças, a estrutura atinge a curva ou linha elástica em tracejado. 
 
Figura 4 – Viga sob forças concentradas 
 
 
 
 
Fonte: Adaptado de Süssekind, 1980. 
 
Objetivando-se calcular a deformação (δ) do ponto m da estrutura em direção a Δ e 
sabendo que, para efeito de suposição, não há uma força real sobre o ponto, pressupõe-se então 
que existe um trabalho virtual externo (𝑊𝑒𝑥𝑡), já que a força é considerada nula e que existe um 
deslocamento (δ) não nulo. Sendo o trabalho em geral definido por 𝑊 = 𝐹. δ, onde F é uma 
força e δ um deslocamento na direção dessa força, então deve-se considerar a aplicação de uma 
força virtual �̅�, de modo que 𝑊𝑒𝑥𝑡 = �̅�δ. Desse modo, a força virtual �̅� (que na realidade não 
existe) implica em um deslocamento δ que existe, ou seja, é real. Nesse caso, o trabalho 𝑊𝑒𝑥𝑡 
será virtual, ou seja, não existirá na realidade, já que não existe força real que implique no 
deslocamento (SÜSSEKIND, 1980; LIMA e SORIANO, 2006). 
Diante dessa explanação, o Teorema dos Trabalhos Virtuais aplicado aos corpos 
elásticos, diz que o trabalho virtual das forças internas é igual ao trabalho virtual das forças 
externas, para quaisquer deslocamentos virtuais compatíveis com os vínculos da estrutura. O 
trabalho virtual das forças internas (𝑊𝑖𝑛𝑡) é a soma dos trabalhos virtuais de deformação de 
todos os elementos de comprimento infinitesimal dx ao longo da estrutura devido a cada um 
dos esforços simples atuantes (SÜSSEKIND, 1980). 
Duas seções vizinhas, distantes de dx, terão, segundo Süssekind (1980), 
deformações relativas internas determinadas na Resistência dos Materiais, podendo suas 
formulações serem observadas em Schiel (1978) e Martha (2022). A partir de todas essas 
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considerações chega-se à Equação 3, dada por Süssekind (1980), para o cálculo da deformação 
em uma seção qualquer de uma viga (ou outra estrutura linear), denominada Fórmula de Mohr 
(conhecida também como Integrais de Maxwell-Mohr). 
 
𝛿 = ∫
𝑀�̅�
𝐸𝐼
𝑑𝑥 + ∫
𝜒𝑉�̅�
𝐺𝐴
𝑑𝑥 + ∫
𝑁𝑁
𝐸𝐴
𝑑𝑥 + ∫
𝑇�̅�
𝐺𝐽𝑡
𝑑𝑥 (3) 
 
Onde: 
𝑀, 𝑉, 𝑁 e 𝑇 = esforços internos simples atuantes na viga no estado de deformação 
(momento fletor, esforço cortante, força axial e torção, respectivamente), determinados a partir 
do carregamento externo atuante; 
�̅�, �̅�, 𝑁 𝑒 �̅� = esforços internos virtuais atuantes na viga no estado de carregamento 
(momento fletor, esforço cortante, força axial e torção, respectivamente), determinados pela 
aplicação de uma força unitária virtual �̅� no ponto em que se deseja calcular a deformação; 
𝐸 = módulo de elasticidade do material (módulo de Young); 
𝐼 = momento de inércia da seção transversal; 
𝐺 = módulo de elasticidade transversal do material (módulo de rigidez); 
𝐴 = área da seção transversal; 
𝐽𝑡 = momento de inércia à torção da seção transversal; 
𝜒 = fator de forma para área efetiva de cisalhamento; 
𝛿 = deformação transversal, considerada vertical. 
 
O segundo termo integral da Equação 3, como apresentado por Schiel (1978) e 
Timoshenko e Gere (1984), determina o valor da parcela adicional de deformação transversal 
vertical da viga devido ao efeito dos esforços cortantes, sendo que o módulo de elasticidade 
transversal (𝐺) para uma viga de aço, conforme ABNT NBR 8800 (2008), vale 77.000 MPa, 
considerando o coeficiente de Poisson 𝜈 = 0,3. Já o fator de forma (𝜒) é um número 
adimensional que considera a não uniformidade de tensões cisalhantes e de acordo com Popov 
e Balan (2000) possui valor 1,0 para grande maioria das seções I. 
Já a primeira parcela de integração da Equação 3 determina, por sua vez, a 
deformação da viga por flexão (momentos fletores), de modo que o valor encontrado é igual ao 
determinado pela curva elástica 𝑣(𝑥) dada pelo Teorema das Vigas de Navier, desde que 
considerado um mesmo ponto (ou seção) x da viga (SÜSSEKIND, 1980; MARTHA, 2022). O 
valor do módulo de elasticidade do aço é dado por E = 200.000 MPa (ABNT NBR 8800, 2008). 
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3 METODOLOGIA 
 
Tendo em vista os objetivos propostos, o presente trabalho possuiu, como proêmio, 
o reconhecimento da temática abordada e seus principais conceitos e aplicações, de modo a 
classificá-lo como pesquisa exploratória. Não obstante esse caráter investigativo conceitual, 
apresentou, em face da análise dos dados obtidos e da ponderação da correlação entre as 
variáveis, objetivação de ordem descritiva e abordagem preeminentemente quantitativa. 
Respaldando-se em pesquisas bibliográficas de temáticas específicas, 
consubstancialmente relacionadas a análise estrutural, resistência dos materiais e especificações 
normativas de dimensionamento e verificação de estruturas de aço, o presente trabalho 
fundamentou-se na simulação do comportamento de diversas configurações de vigas, teve 
como base as teorias e métodos clássicos dos conteúdos abordados, mas dispôs, como 
subterfúgio, da utilização de meios computacionais (planilhas) para a sua realização. 
 
3.1 Modelos estruturais de vigas 
 
Para o cálculo das deformações em uma estrutura, é necessário, de modo inicial, 
definir um modelo estrutural analítico que represente física e matematicamente, de modo mais 
simplificado, a estrutura real. Segundo Martha (2022), essa idealização do comportamento 
estrutural está baseada na definição de hipóteses ou condições relacionadas a propriedades dos 
materiais, geometria, solicitações (carregamentos) e condições de suporte (apoios) da estrutura 
considerada. 
Visto isso, a primeira etapa prática deste trabalho foi justamente a determinação dos 
diversos parâmetros envolvidos na concepção estrutural, bem como dos valores e condições 
adotados para cada um e as combinações possíveis e pertinentes entre eles. Assim sendo, a 
partir do estabelecimento de diversos modelos estruturais diferentes, com variações 
paramétricas sistematicamente definidas, tornou-se possível a comparação da influência de 
cada variável (parâmetro estrutural) no comportamento e na deformação das vigas. 
Quanto material, as vigas analisadas foram todas de aço MR 250 que, conforme 
Pfeil e Pfeil (2009) e a ABNT NBR 7007 (2022): Aços-carbono e microligados para uso 
estrutural e geral, é um aço-carbono de média resistência com limite de escoamento fy = 250 
MPa e resistência a ruptura (fu) que varia de 400 MPa à 550 MPa. O aço MR 250, figurando 
como uma das escolhas projetuais mais recorrentes, é equivalente ao aço ASTM A36 
apresentado na Tabela A.2 da ABNT NBR 8800 (2008, p. 109). 
11 
 
Em relação aos aspectos dimensionais dos modelos de vigas adotados, relevam-se 
as propriedades geométricas da seção e o comprimento do vão. Desse modo, utilizou-se, como 
forma de diferenciação do momento de inércia e consequentemente da rigidez, três perfis 
laminados distintos, todos com seção tipo I (alma cheia) e em aço MR 250, como já discorrido. 
Os perfis (ou seções) selecionados são apresentados, juntamente com suas características ou 
propriedades geométricas, no Quadro 1. 
 
Quadro 1 – Perfis utilizadose suas propriedades geométricas básicas 
 
 
 
Fonte: Adaptado de Pfeil e Pfeil, 2009. 
 
Do Quadro 1, verifica-se que o momento de inércia (𝐼𝑥) considerado foi o em 
relação ao eixo centroidal horizontal (eixo x), já que esse é o eixo perpendicular ao 
carregamento e que representa a linha neutra, em torno da qual se desenvolve, em teoria, a 
rotação da seção devido a flexão. Ressalta-se ainda que a altura (d) da seção se apresentou como 
o aspecto de maior relevância na escolha dos perfis, já que é, em princípio, uma das grandezas 
de maior influência no valor do momento de inércia 𝐼𝑥. 
A distância entre os apoios das vigas analisadas, teve, por sua vez, comprimento 
variando em três diferentes valores, 3, 5 e 8 metros, os quais representaram, por conseguinte, 
vigas com vão pequeno, médio e grande, respectivamente. O valor do vão considerado, em 
todos os modelos de vigas adotados, caracterizou o comprimento destravado (Lb), termo 
adotado pela ABNT NBR 8800 (2008) para designar a distância entre dois pontos de contenção 
lateral ou entre um ponto de contenção lateral e uma extremidade. 
Em se tratando da tipologia dos apoios das vigas, adotou-se três categorias: viga 
simplesmente biapoiada, viga com apoio simples e engaste e viga biengastada. A denominação 
de apoio simples indica uma vinculação sem restrição à rotação, ou seja, apoio deslizante 
(também chamado de 1º gênero ou móvel) ou apoio articulado (conhecido ainda como de 2º 
gênero ou fixo). Visto a não inserção de cargas horizontais nos modelos estruturais empregues, 
ambos teriam comportamentos equivalentes, mas foi considerado o de 2º gênero, de tal maneira 
que a estrutura não fosse, de forma alguma, hipostática (instável). 
Nesses três tipos de vigas considerou-se atuante, em cada um, dois modos de 
carregamento não simultâneos, um composto por carga uniformemente distribuída (ao longo de 
Bitola Altura (d) Espessura da alma (tw) Largura da aba (bf) Espessura da aba (tf) Área (A) Momento de inércia (I x) 
[mm x kg/m] [mm] mm mm mm cm² cm4
1 W 360 x 72,0 350 8,6 204,0 15,1 91,3 20169
2 W 460 x 60,0 455 8,0 153,0 13,3 76,2 25652
3 W 530 x 66,0 525 8,9 165,0 11,4 83,6 34971
Perfil 
(Seção)
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todo o vão) e o outro composto por uma carga uniformemente distribuída (também em todo o 
comprimento da viga) e uma carga concentrada (pontual) na posição central do vão. Para vigas 
simétricas, quanto carregamento e vinculações, esse ponto intermediário representa o local de 
máximo momento fletor e de máxima deformação transversal (flecha), sendo, portanto, uma 
posição metodologicamente profícua ao aumento dos esforços pela aplicação da carga 
concentrada. 
É válido destacar que nas vigas com apoio simples e engaste (modelos V2 da Figura 
5) o máximo momento fletor, devido a não simetria das vinculações, não ocorre no centro do 
vão, mas a carga pontual foi mantida atuando neste ponto. Essa consideração de aproximação, 
além de simplificar as análises estruturais, possibilitou avaliar o aumento percentual da 
deformação devido contribuição do esforço cortante fora da região onde ocorrem os máximos 
momentos fletores. 
Os modelos de vigas, com variação dos apoios e dos carregamentos conforme 
anteriormente descrito, são apresentados na Figura 5. 
 
Figura 5 – Modelos de vigas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: O autor, 2023. 
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Observa-se da Figura 5, que se utilizou, para facilidade de planejamento da 
pesquisa, organização dos dados e análise dos resultados, de uma nomenclatura própria para 
diferenciação dos modelos estruturais das vigas analisadas. As vigas simplesmente biapoiadas 
foram intituladas de V1, enquanto as com apoio simples e engaste de V2 e as biengastadas de 
V3. Após essa indicação do tipo de vinculações, indicou-se, entre colchetes, a medida, em 
metros, do vão da viga (representado pela letra L). O perfil, no que lhe concerne, foi indicado 
por Wd, onde d indica a altura total real da seção (em milímetros). 
Nessa terminologia, o carregamento uniformemente distribuído (expresso em 
kN/m) foi representado pela letra U, ao passo que a carga pontual situada no meio do vão (dada 
em kN) foi indicada pela letra P. Desse modo, um carregamento U+P constituiu-se por uma 
carga uniformemente distribuída e uma carga concentrada no centro do vão, atuando 
concomitantemente. 
Assim sendo, um modelo expresso, por exemplo, por V3 [5] W455 (10 + 15) indica 
uma viga biengastada, com 5 metros de vão (distância entre os apoios), perfil I com altura total 
de 455 mm (seção 2, indicando, pois, bitola W 460 x 60,0) e carregamento constituído por 
carga uniformemente distribuída de 10 kN/m e carga concentrada (no centro do vão) de 15 kN. 
As cargas do tipo U e do tipo U+P apresentaram os valores, arbitrariamente 
definidos, mas compatíveis às solicitações usuais em estruturas de aço, exibidos no Quadro 2: 
 
Quadro 2 – Valores dos carregamentos atuantes nos modelos de viga analisados 
Carregamentos tipo (U) Carregamentos tipo (U+P) 
U1 = 5 kN/m U3 = 20 kN/m U1+ P1 = 5 kN/m + 15 kN U2 + P2 = 10 kN/m + 20 kN 
U2 = 10 kN/m U4 = 35 kN/m U2 + P1 = 10 kN/m + 15 kN U3 + P3 = 20 kN/m + 30 kN 
Fonte: O autor, 2023. 
 
Todos os 216 modelos estruturais de vigas analisados, com os valores e condições 
dos parâmetros variáveis (seção, vão, apoios e carregamento), constam no Apêndice B – 
Modelos Estruturais das Vigas e Resultados Obtidos. 
 
3.2 Cálculo das deformações nas vigas 
 
Determinados os modelos de vigas e suas variações quanto condições estruturais, 
foram calculadas, para cada um deles, a deformação transversal causada especificamente pelos 
momentos fletores (indicada por 𝛿f) e a parcela de deformação transversal provocada pelos 
14 
 
esforços cortantes (dada por 𝛿v). Embora ocorram conjuntamente, de modo tautócrono, essas 
deformações puderam, a partir da Fórmula de Mohr e do Princípio da Superposição, ser 
estabelecidas separadamente. As primeiras (𝛿f) foram definidas a partir da equação da linha 
elástica, obtida pelo Método da Integração Dupla, descrito pormenorizadamente em Leet et al 
(2009) e que se resume à aplicação da Equação 2, já discutida neste trabalho. 
As segundas (𝛿v), devido cisalhamento, foram calculadas tendo em vista a 
abordagem alternativa proposta por Timoshenko e Gere (1961) e mediante o segundo termo da 
Fórmula de Mohr (Equação 3), reapresentado, de modo destacado, na Equação 4. 
 
𝛿v = ∫
𝜒𝑉�̅�
𝐺𝐴
𝑑𝑥 (4) 
 
Em ambos os casos (cálculo de 𝛿f e 𝛿v) necessitou-se, de modo inicial, da 
determinação, a partir dos mecanismos clássicos de análise estrutural, das reações de apoio e 
posteriormente, de modo mais específico, das equações de momento fletor (para 𝛿f) e das 
equações de esforço cortante, tanto em estado de deformação quanto de carregamento (para 𝛿v). 
Em posse dos valores de 𝛿f e 𝛿v, calculou-se, também para cada modelo, o aumento 
percentual da deformação na consideração conjunta dos momentos fletores e dos esforços 
cortantes em contraposição à flecha devida apenas aos primeiros. Esse aumento foi calculado 
pela Equação 5. 
 
𝐴% = 
𝛿v
𝛿f
100 (5) 
 
Onde: 
𝐴% = aumento percentual da deformação conjunta por esforço cortante e momento 
fletor em relação à deformação apenas por momento fletor; 
𝛿v = deformação transversal por esforço cortante; 
𝛿f = deformação transversal por momento fletor. 
 
Em decorrência do elevado número de vigas analisadas, desenvolveu-se e utilizou-
se, buscando-se a otimização dos cálculos e a viabilização da pesquisa, planilhas eletrônicas 
concebidas pelo emprego do programa Microsoft Excel 2016. Essas planilhas foram 
alimentadas, com o intuito de possibilitar simulaçõesde forma repetida, por equações ou 
15 
 
funções gerais estabelecidas com base nas condições desta metodologia e considerando os 
parâmetros estruturais como as incógnitas ou variáveis, expressas, portanto, de forma não 
numérica (por letras). 
Cada tipologia de viga (V1, V2 e V3), teve sua planilha específica (separada) de 
modo que em seu processo de utilização, foi necessário apenas inserir os valores do vão e dos 
carregamentos e escolher o perfil (seção) a ser analisado, sendo retornado, automaticamente, os 
valores de 𝛿f, 𝛿v e 𝐴%, conforme ilustram as imagens do Apêndice C – Planilhas de cálculo. 
Enfatiza-se que todos os cálculos efetuados pelas planilhas poderiam ser facilmente realizados 
de modo manual, sendo que elas se apresentaram, portanto, apenas como ferramentas que 
agilizaram todo o processo descrito. 
 
3.3 Organização e análise dos dados 
 
Todos os resultados obtidos, isto é, os valores de 𝛿f, 𝛿v e 𝐴% foram organizados de 
forma tabular (também no programa Microsoft Excel 2016), de maneira que a análise dos dados 
fosse feita de forma diligente e possibilitasse a construção efetiva de gráficos e quadros para 
averiguação das correlações entre as variáveis. Nesse sentido, os gráficos apresentaram-se, 
basicamente, como úteis às verificações dos dados de maneira mais singular ou como 
ferramenta de observação de eventuais tendências físico-numéricas no comportamento 
estrutural das vigas analisadas. 
Houve ainda a construção de quadros gerais que se configuraram como importantes 
mecanismos de análise e observação dos valores de 𝐴% e de relações paramétricas 
estabelecidas em relação a todos os parâmetros estruturais de uma única vez. 
Por fim, o fluxograma apresentado no Apêndice A – Fluxograma da Metodologia, 
expõe, esquematicamente, o encadeamento lógico da metodologia empregada (e supradescrita). 
 
4 RESULTADOS E DISCUSSÕES 
 
Em análise aos resultados dos cálculos realizados conforme metodologia, 
detalhadamente apresentados no Apêndice B - Modelos Estruturais das Vigas e Resultados 
Obtidos, observou-se primeiramente, de forma minudenciosa, os valores de deformação 
(flechas) devido ação dos momentos fletores e os das parcelas de deformação transversal 
(vertical) devido cisalhamento, consideradas como deflexões adicionais às primeiras, dada a 
ação mútua dos esforços. 
16 
 
Dessa análise, notou-se que, em todas as tipologias de apoio (vigas V1, V2 e V3), 
a mudança de seção para uma com maior altura (d) e consequentemente maior momento de 
inércia (𝐼) ocasionou a diminuição das flechas provocadas apenas pelos momentos fletores (𝛿f), 
considerando-se um mesmo vão e um mesmo carregamento. Em contrapartida, a essa mesma 
mudança de seção não pôde ser atribuído aumento ou diminuição dos valores de deflexão 𝛿v, 
visto que, para perfis I, a área de seção transversal (a qual influencia no cálculo de 𝛿v) não 
necessariamente acompanha o aumento do momento de inércia. 
Como esperado, o aumento do vão (L) e do valor de carregamento, seja apenas do 
uniformemente distribuído (denotado de U), apenas do pontual (denominado P) ou de ambos 
(carregamentos U+P), provocou o aumento das deformações, tanto das devido flexão (𝛿f) 
quanto das parcelas devido efeito da distorção por cisalhamento (𝛿v). 
Considerando-se uma mesma seção, um mesmo vão e um mesmo carregamento, a 
inserção de um ou dois apoios tipo engaste acarretou na diminuição das deformações 𝛿f. Além 
disso, considerando as vigas de modelo V3 (biengastadas), os valores de deformação por 
contribuição dos esforços cortantes (𝛿v) foram iguais aos valores de 𝛿v para as vigas biapoiadas 
(modelos V1), consideradas as mesmas condições estruturais. Os valores de 𝛿v nas vigas V2 
foram um pouco maiores. 
A observação da variação das deformações (𝛿f e 𝛿v) em decorrência das alterações 
dos parâmetros estruturais (carregamentos, vãos e seções) pode ser realizada a partir do Quadro 
5 – Deformações devido momento fletor e do Quadro 6 – Deformações devido esforço cortante, 
apresentados no Apêndice D – Quadros Gerais de Análise dos Resultados. 
Em etapa subsequente avaliou-se os valores 𝐴%, de aumento percentual da 
deformação por esforço cortante e momento fletor, de forma conjunta, em relação à deformação 
apenas por momento fletor, que definem numericamente, em termos percentuais, a contribuição 
da distorção por cisalhamento na flecha e constituem-se nos dados de maior relevância desta 
pesquisa. A avaliação discretizada desses valores fez-se por intermédio do Quadro 3 – Quadro 
Geral: aumentos percentuais de deformação. 
A partir do Quadro 3, verificou-se que, em princípio, mantidos a mesma seção e o 
mesmo vão, para todas as tipologias de viga (V1, V2 e V3), a variação dos valores de 
carregamento uniformemente distribuído (tipo U), não alterou os valores de aumento percentual 
(𝐴%). Nos modelos V1 e V2, a inserção de carga pontual P no centro do vão (constituindo um 
carregamento U+P) não implicou, nas mesmas condições estruturais, em variação significativa 
dos valores de 𝐴%. Já nos modelos de viga biengastada (V3), essa adição da carga P não alterou 
17 
 
os valores de 𝐴%, que se mantiveram constantes para todos os carregamentos impostos. 
 
Quadro 3 – Quadro Geral: aumentos percentuais de deformação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: O autor, 2023. 
 
Nas vigas V1 e V2, considerando-se uma mesma seção e um mesmo vão, nos 
carregamentos U+P (carga uniformemente distribuída e uma carga concentrada no centro do 
vão, atuando concomitantemente) o aumento apenas da carga uniformemente distribuída 
ocasionou leve diminuição do valor de 𝐴% (comparação entre U2+P1 e U1+P1). Já o aumento 
apenas da carga concentrada provocou suave elevação do mesmo parâmetro (𝐴%), avaliando-
se, para o caso, U2+P2 e U2+P1, isto é, carregamentos 10+20 e 10+15. 
5 10 20 35 5+15 10+15 10+20 20+30
6,120 6,120 6,120 6,120 7,062 6,800 6,910 6,800 3
2,203 2,203 2,203 2,203 2,473 2,382 2,418 2,382 5
0,861 0,861 0,861 0,861 0,941 0,910 0,922 0,910 8
9,327 9,327 9,327 9,327 10,762 10,363 10,530 10,363 3
3,358 3,358 3,358 3,358 3,769 3,630 3,685 3,630 5
1,312 1,312 1,312 1,312 1,435 1,387 1,405 1,387 8
11,590 11,590 11,590 11,590 13,373 12,877 13,085 12,877 3
4,172 4,172 4,172 4,172 4,683 4,511 4,579 4,511 5
1,630 1,630 1,630 1,630 1,783 1,724 1,746 1,724 8
18,170 18,170 18,170 18,170 19,300 18,999 19,126 18,999 3
6,541 6,541 6,541 6,541 6,869 6,761 6,804 6,761 5
2,555 2,555 2,555 2,555 2,654 2,617 2,631 2,617 8
27,689 27,689 27,689 27,689 29,411 28,952 29,146 28,952 3
9,968 9,968 9,968 9,968 10,467 10,303 10,369 10,303 5
3,894 3,894 3,894 3,894 4,045 3,988 4,010 3,988 8
34,407 34,407 34,407 34,407 36,547 35,976 36,218 35,976 3
12,386 12,386 12,386 12,386 13,007 12,803 12,885 12,803 5
4,838 4,838 4,838 4,838 5,026 4,955 4,982 4,955 8
30,602 30,602 30,602 30,602 30,602 30,602 30,602 30,602 3
11,017 11,017 11,017 11,017 11,017 11,017 11,017 11,017 5
4,303 4,303 4,303 4,303 4,303 4,303 4,303 4,303 8
46,634 46,634 46,634 46,634 46,634 46,634 46,634 46,634 3
16,788 16,788 16,788 16,788 16,788 16,788 16,788 16,788 5
6,558 6,558 6,558 6,558 6,558 6,558 6,558 6,558 8
57,948 57,948 57,948 57,948 57,948 57,948 57,948 57,948 3
20,861 20,861 20,861 20,861 20,861 20,861 20,861 20,861 5
8,149 8,149 8,149 8,149 8,149 8,149 8,149 8,149 8
Carregamento
V
ão
 (
m
e
tr
o
s)
Se
çã
o
 
1
2
3
1
2
3
1
2
Aumentos percentuais (%)
3
18 
 
Considerando que os valores de aumento percentual (𝐴%) não tiveram discrepância 
significativa na alteração do carregamento, dada uma mesma seção e um mesmo vão, foi 
pertinente considerar a média desses valores. Assim sendo, reduziu-se uma das variáveis na 
apreciação dos dados. 
A partir desses valores médios de aumento percentual, construiu-se os Gráficos 1, 
2 e 3, presentes no Apêndice E – Gráficos de Análise dos Resultados, dos quaisverificou-se 
facilmente que, em todas as tipologias de apoio (vigas V1, V2 e V3), a mudança de seção para 
uma com maior altura (d) e consequentemente maior momento de inércia (I) ocasionou o 
aumento de 𝐴%, mantido o mesmo vão. 
Além disso, em todas as vigas (V1, V2 e V3) o aumento do vão (L) implicou em 
diminuição dos valores de 𝐴%, independente do carregamento, considerando-se uma mesma 
seção. Ou seja, para o vão de 3 metros o valor de aumento percentual de deformação (𝐴%) foi 
o mais significativo em todas as três seções, não sendo menor, em nenhum dos modelos, que 
6,1% (considerando os valores discretizados no Quadro 3) ou 6,5% (para valores médios dos 
gráficos supracitados). 
O fato de quanto maior a altura da seção e menor o vão implicar em valores de 𝐴% 
maiores converge ao descrito por Alves Filho (2000) e Timoshenko e Gere (1994). Süssekind 
(1980), por sua vez, diz que a influência do esforço cortante é considerável nos casos de vãos 
muito curtos e cargas muito elevadas, o que dissente parcialmente dos resultados deste trabalho, 
onde verificou-se que, em termos de aumentos percentuais, os carregamentos não tiveram 
influência relevante, influindo apenas nos valores de deformação propriamente ditos. 
A partir do Quadro 3 e dos Gráficos 1, 2 e 3 notou-se que, dados uma mesma seção 
e um mesmo vão, independente do carregamento, a inserção de um ou dois apoios tipo engaste 
provocou relevante acréscimo nos valores de aumento percentual de deformação (𝐴%). Na 
consideração da tipologia V2 (um engaste) em comparação com a V1 (sem engaste), os valores 
de 𝐴% aumentaram em aproximadamente 3 vezes. Outrossim, percebeu-se que os valores de 
aumento percentual cresceram em torno de 1,6 vezes na comparação das vigas V3 (dois 
engastes) com as V2. 
Assim sendo, constatou-se que quanto maior o número de engastes e por 
conseguinte maior o grau de hiperestaticidade externa (𝑔𝑒), maior a contribuição do esforço 
cortante nos valores de deformação transversal (flechas). Averiguação semelhante também foi 
obtida por Silva (2019) apesar de em seu estudo ser utilizada metodologia de cálculo um pouco 
diferente (modelo clássico da Teoria de Viga de Timoshenko) e considerado vigas de concreto. 
19 
 
Em conformidade com a literatura consultada, como Martha e Burgos (2014) e 
Silva (2019), sabe-se que quanto menor a relação entre o vão e a altura da seção (L/d) maior a 
contribuição do esforço cortante na flecha (maior 𝐴%). Sob tal perspectiva, ponderou-se, neste 
trabalho, a relação inversa (d/L) e considerou-se que a altura (d) está implícita no momento de 
inércia (𝐼). Desse modo, construiu-se o Quadro 7 – Valores de 𝐼/L, do qual notou-se que quanto 
maior a relação entre momento de inércia e vão (denominada neste trabalho de λ) maior o valor 
de aumento percentual de deformação (𝐴%). 
Desse modo, por simples relação de proporcionalidade entre L, λ, 𝐼, 𝑔𝑒 e 𝐴%, 
definiu-se um parâmetro β, calculado por meio da Equação 6, na tentativa de avaliá-lo como 
indicador do comportamento dos valores de 𝐴%. A partir dos valores de β construiu-se o Quadro 
8 – Valores de 𝐼. 𝑔𝑒/L², apresentado no Apêndice D. 
 
β =
𝐼. 𝑔𝑒
L2
 (6) 
 
Onde: 
β = parâmetro de avaliação dos valores de aumento percentual (em cm²); 
𝐼 = momento de inércia da seção transversal (em cm4); 
𝑔𝑒 = grau de hiperestaticidade externa da viga; 
L = vão da viga (em cm). 
 
Fazendo a correlação, de maneira gráfica (gráfico por dispersão), entre os valores 
de aumento percentual do Quadro 3 com os valores presentes no Quadro 8, obteve-se o Gráfico 
5 – Aumento percentual (𝐴%) em função do parâmetro β, presente no Apêndice E, donde se 
percebeu uma tendência linear. Inserida a linha de tendência e exibida sua equação, obteve-se 
um coeficiente de determinação R² = 0,978 (consideravelmente satisfatório). Assim sendo, 
considerou-se tal equação linear como útil à determinação aproximada dos valores de 𝐴%. 
Foi considerado como critério limite de aceitabilidade dos valores de aumento 
percentual, valores de 𝐴% inferiores a 10%, mesma margem de ponderação das resistências do 
aço estrutural para escoamento, flambagem e instabilidade, em combinações normais (γa1) 
conforme Tabela 3 da ABNT NBR 8800 (2008, p. 23). Assim sendo, a partir da equação exposta 
no Gráfico 5 verificou-se que esse limiar (𝐴% < 10%) é atingido para β < 0,2. Enfatiza-se que 
tal colocação trata-se de uma aproximação estimativa fundamentada nas hipóteses singulares e 
especificamente delineadas no âmbito desta pesquisa. 
20 
 
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
Frente aos resultados obtidos na presente pesquisa e mediante a revisão 
bibliográfica realizada, constatou-se que a influência da distorção por cisalhamento não pode 
ser indiscriminadamente relegada na concepção estrutural de vigas. Tal consideração, durante 
as análises conduzidas, culminou, como previsto, no incremento dos valores das deflexões 
determinadas, sendo que no caso das vigas biengastadas o acréscimo superou mais da metade 
da deformação apenas por momento fletor (𝛿f). 
Foi verificado ainda que na determinação ou avaliação da contribuição dos esforços 
cortantes nos valores das flechas de vigas, deve ser levado em conta não apenas o vão e as 
propriedades da seção, mas também as condições de apoio da estrutura. Observou-se que quanto 
maior o número de engastes e por consequência maior o grau de hiperestaticidade externa, 
maior a contribuição (em termos percentuais) do cisalhamento na flecha. 
A alteração nos valores de carregamento (bem como a presença ou não de carga 
pontual) não influenciou significativamente na variação das medidas de aumento percentual de 
deformação. A carga, a priori, não demonstrou uma relação direta com a participação da 
distorção por cisalhamento na curvatura (flecha), visto que cargas mais elevadas afetaram os 
valores de deflexão, elevando-os, porém, não necessariamente resultando em uma ampliação 
proporcional da deformação. 
Dessa maneira, em síntese, é possível afirmar que a consideração do efeito adicional 
do esforço cortante na deformação deve ser direcionada primordialmente a vigas caracterizadas 
por seções de elevado momento de inércia (ou seja, com maior altura), vãos mais reduzidos e 
com um maior número de engastes. Levando em consideração as condições delineadas neste 
estudo, no contexto de vigas de aço com seção em formato I e utilizando o parâmetro β, 
desenvolvido como indicador, destaca-se a relevância de uma consideração mais minuciosa da 
contribuição do esforço cortante na flecha sobretudo em vigas onde o referido parâmetro β é 
superior a 0,2. Relações de vão e altura de seção, determinadas na literatura, também 
permanecem sendo úteis ao norteio desta temática. 
Por fim, destaca-se que se estabeleceu uma margem de relevância de 10% para o 
acréscimo na deformação transversal, decorrente da incorporação do efeito do cisalhamento. 
Importante salientar que tal parâmetro não se configura como inflexível ou normativamente 
estabelecido, podendo variar conforme as condições estruturais específicas e as propriedades 
do material empregado, sendo, portanto, ponderação de cada projetista. Assim, torna-se 
possível o incremento personalizado dessa perspectiva à cada profissional e a cada projeto. 
21 
 
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para condições de contorno variadas. Revista de Engenharia Civil IMED, Passo Fundo, v. 
6, n. 1, p. 57-70, jul. 2019. ISSN 2358-6508. Disponível em: 
https://seer.atitus.edu.br/index.php/revistaec/article/view/2997/2255. Acesso em 15 set. 2023. 
 
SORIANO, Humberto Lima; LIMA, Silvio de Souza. Análise de Estruturas: Método das 
Forças e Método dos Deslocamentos. 2. ed. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda, 
2006. 
 
SOUZA, A. Krummenauer P. de. Análise de Vigas de Timoshenko pelo Método dos 
Elementos Finitos. 2019. Monografia (Graduação em Engenharia Civil) – Centro de 
Tecnologia, Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, 2019. 
 
SÜSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural. 4. ed. Porto Alegre: Globo, 1980. v.2: 
Deformações em estruturas. Método das forças. 
 
SÜSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural. 6. ed. Porto Alegre e Rio de Janeiro: 
Globo, 1981. v.1: Estruturas Isostáticas. 
 
TIMOSHENKO, S. P.; GERE, J. M. Mecânica dos Sólidos. Rio de Janeiro: Livros Técnicos 
e Científicos Editora, 1984. v. 2. 
 
TIMOSHENKO, S. P.; GERE, J. M. Mecânica dos Sólidos. Rio de Janeiro: Livros Técnicos 
e Científicos, 1994. v. 1. 
23 
 
 
TIMOSHENKO, S. P.; GERE, J. M. Theory of Elastic Stability. McGraw Hill, New York, 
USA, 1961. 
 
TORRES, Ivan Francisco Ruiz. Efeito da deformação por cortante no cálculo de edifícios 
de andares múltiplos com núcleos estruturais. 1999. 131 f. Dissertação (Mestrado em 
Engenharia de Estruturas) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, 
São Carlos, 1999. 
 
UGURAL, Ansel C. Mecânica dos Materiais. Tradução e revisão técnica: Fernando Ribeiro 
da Silva. Rio de Janeiro: LTC, 2015. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
ANEXO A - RESUMO DA TEORIA DAS VIGAS DE NAVIER 
 
Martha (2022) apresenta um resumo esquemático da Teoria das Vigas de Navier, 
expresso pela Figura 6. 
 
Figura 6 – Resumo da Teoria das Vigas de Navier 
 
Fonte: Martha, 2022. 
25 
 
ANEXO B – FÓRMULA DO CISALHAMENTO E DA DISTRIBUIÇÃO DE TENSÃO 
CISALHANTE 
 
A Fórmula do Cisalhamento, relacionando a tensão cisalhante (𝜏) com o esforço 
cortante (𝑉) e propriedades da seção, como momento de inércia (𝐼), largura da seção no ponto 
de cálculo da tensão (𝑡) e momento de primeira ordem em relação à linha neutra (𝑄) é dada 
pela Equação 7, exposta em Hibbeler (2010). 
 
𝜏 =
𝑉𝑄
𝐼𝑡
 (7) 
 
A Equação 7 com seus parâmetros especificados para seção I fornece as expressões 
(ou funções) da distribuição de cisalhamento ao longo da alma e das abas, conforme Equação 
8 (distribuição na alma) e Equação 9 (distribuição nas abas), sendo, por conseguinte, calculadas 
pelas Equações 10 e 11 a tensão máxima na alma/seção e a tensão máxima nas abas, 
respectivamente. (TIMOSHENKO e GERE, 1994; HIBBELER, 2010). 
 
𝜏𝑎𝑙𝑚𝑎 =
𝑉
𝐼t𝑤
[
𝑏𝑓
2
(
ℎ2
4
−
ℎ𝑎
2
4
) +
t𝑤
2
(
ℎ𝑎
2
4
− 𝑦2)] (8) 
 
𝜏𝑎𝑏𝑎 =
𝑉
𝐼𝑏𝑓
[
𝑏𝑓
2
(
ℎ2
4
−
ℎ𝑎
2
4
) +
𝑏𝑓
2
(
ℎ𝑎
2
4
− 𝑦2)] (9) 
 
𝜏𝑚á𝑥 =
𝑉
𝐼t𝑤
(
𝑏𝑓ℎ
2
8
−
𝑏𝑓ℎ𝑎
2
8
+
t𝑤ℎ𝑎
2
8
) (10) 
 
𝜏′ =
𝑉
𝐼𝑏𝑓
(
𝑏𝑓ℎ
2
8
−
𝑏𝑓ℎ𝑎
2
8
) (11) 
 
Onde, em todas as essas quatro equações (Equações 8 a 11): 
𝜏𝑎𝑙𝑚𝑎 = tensão cisalhante em um ponto y da alma; 
𝜏𝑎𝑏𝑎 = tensão cisalhante em um ponto y da aba (ou mesa); 
𝜏𝑚á𝑥 = tensão cisalhante máxima na alma (máxima na seção); 
𝜏′ = tensão cisalhante máxima nas abas ou mesas; 
26 
 
𝑉 = esforço cortante; 
𝐼 = momento de inércia da seção em relação à linha neutra; 
𝑏𝑓 = largura das mesas (ou abas); 
ℎ = altura total da seção; 
ℎ𝑎 = altura da alma; 
t𝑤 = espessura da alma; 
𝑦 = altura em que se deseja calcular o valor da tensão cisalhante, contada a partir 
de linha neutra (eixo baricêntrico). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
APÊNDICE A – FLUXOGRAMA DA METODOLOGIA 
 
Fluxograma 1 – Metodologia 
 
 
 
 
 
 
 
 
➢ Seção transversal (inércia) 
➢ Vão 
➢ Apoios (vinculações) 
➢ Carregamento (tipo e valores) 
 
 
 
 
 
➢ Teoria das Vigas de Navier 
 
 
 
 
 
➢ Teorema dos Trabalhos Virtuais 
 
 
 
 
 
➢ Aumento percentual: 
 𝐴% =
𝛿𝑣
𝛿𝑓
100 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
➢ Gráficos 
➢ Quadro geral 
➢ Comparação com a literatura 
Fonte: O autor, 2023. 
 Determinar a linha elástica pelo 
Método da Integração Dupla 
Calcular a deformação pontual pela 
Integral de Maxwell-Mohr 
Comparar os valores de δf e δv 
Construir gráficos comparativos e 
idealizar quadro geral de análise de 
dadosAnalisar todos os dados obtidos 
Estabelecer modelos 
estruturais de vigas 
Definir os parâmetros 
variáveis da pesquisa 
Calcular deformação por 
momento fletor (δf) 
Calcular parcela de 
deformação por esforço 
cortante (δv) 
Calcular aumento percentual 
da deformação na 
consideração conjunta da 
flexão e do cisalhamento 
Analisar a influência de cada 
parâmetro variável nos 
aumentos percentuais de 
deformação 
Definir condições de maior 
significância em projeto 
28 
 
APÊNDICE B – MODELOS ESTRUTURAIS DAS VIGAS E RESULTADOS 
OBTIDOS 
 
Os modelos analisados e seus resultados estão apresentados no Quadro 4. Onde, a 
saber: W350 = Seção 1 (W 360 X 72,0) 
W455 = Seção 2 (W 460 x 60,0) 
W525 = Seção 3 (W 530 x 66,0) 
 
Quadro 4 – Modelos de vigas calculados e resultados obtidos 
Viga 
Deformação 
momento fletor 
Deformação 
esforço cortante 
Deformação 
Total 
Aumento 
percentual 
Identificação δf (mm) δV (mm) δT = δf + δV (mm) A% 
V1 [3] W350 (5) 0,131 0,008 0,139 6,120 
V1 [3] W350 (10) 0,261 0,016 0,277 6,120 
V1 [3] W350 (20) 0,523 0,032 0,555 6,120 
V1 [3] W350 (35) 0,915 0,056 0,971 6,120 
V1 [3] W350 (5 + 15) 0,340 0,024 0,364 7,062 
V1 [3] W350 (10 + 15) 0,471 0,032 0,503 6,800 
V1 [3] W350 (10 + 20) 0,540 0,037 0,578 6,910 
V1 [3] W350 (20 + 30) 0,941 0,064 1,005 6,800 
V1 [5] W350 (5) 1,009 0,022 1,031 2,203 
V1 [5] W350 (10) 2,017 0,044 2,062 2,203 
V1 [5] W350 (20) 4,035 0,089 4,124 2,203 
V1 [5] W350 (35) 7,061 0,156 7,217 2,203 
V1 [5] W350 (5 + 15) 1,977 0,049 2,026 2,473 
V1 [5] W350 (10 + 15) 2,986 0,071 3,057 2,382 
V1 [5] W350 (10 + 20) 3,309 0,080 3,389 2,418 
V1 [5] W350 (20 + 30) 5,972 0,142 6,114 2,382 
V1 [8] W350 (5) 6,611 0,057 6,668 0,861 
V1 [8] W350 (10) 13,222 0,114 13,335 0,861 
V1 [8] W350 (20) 26,443 0,228 26,671 0,861 
V1 [8] W350 (35) 46,276 0,398 46,674 0,861 
V1 [8] W350 (5 + 15) 10,577 0,100 10,677 0,941 
V1 [8] W350 (10 + 15) 17,188 0,156 17,345 0,910 
V1 [8] W350 (10 + 20) 18,510 0,171 18,681 0,922 
V1 [8] W350 (20 + 30) 34,376 0,313 34,689 0,910 
Fonte: O autor, 2023. 
29 
 
Quadro 4 – Modelos de vigas calculados e resultados obtidos (Continuação) 
Viga 
Deformação 
momento fletor 
Deformação 
esforço cortante 
Deformação 
Total 
Aumento 
percentual 
Identificação δf (mm) δV (mm) δT = δf + δV (mm) A% 
V1 [3] W455 (5) 0,103 0,010 0,112 9,327 
V1 [3] W455 (10) 0,206 0,019 0,225 9,327 
V1 [3] W455 (20) 0,411 0,038 0,449 9,327 
V1 [3] W455 (35) 0,720 0,067 0,787 9,327 
V1 [3] W455 (5 + 15) 0,267 0,029 0,296 10,762 
V1 [3] W455 (10 + 15) 0,370 0,038 0,408 10,363 
V1 [3] W455 (10 + 20) 0,425 0,045 0,470 10,530 
V1 [3] W455 (20 + 30) 0,740 0,077 0,817 10,363 
V1 [5] W455 (5) 0,793 0,027 0,820 3,358 
V1 [5] W455 (10) 1,586 0,053 1,639 3,358 
V1 [5] W455 (20) 3,172 0,107 3,279 3,358 
V1 [5] W455 (35) 5,552 0,186 5,738 3,358 
V1 [5] W455 (5 + 15) 1,555 0,059 1,613 3,769 
V1 [5] W455 (10 + 15) 2,348 0,085 2,433 3,630 
V1 [5] W455 (10 + 20) 2,601 0,096 2,697 3,685 
V1 [5] W455 (20 + 30) 4,695 0,170 4,866 3,630 
V1 [8] W455 (5) 5,198 0,068 5,266 1,312 
V1 [8] W455 (10) 10,396 0,136 10,532 1,312 
V1 [8] W455 (20) 20,791 0,273 21,064 1,312 
V1 [8] W455 (35) 36,384 0,477 36,862 1,312 
V1 [8] W455 (5 + 15) 8,316 0,119 8,436 1,435 
V1 [8] W455 (10 + 15) 13,514 0,187 13,702 1,387 
V1 [8] W455 (10 + 20) 14,554 0,205 14,758 1,405 
V1 [8] W455 (20 + 30) 27,028 0,375 27,403 1,387 
V1 [3] W525 (5) 0,075 0,009 0,084 11,590 
V1 [3] W525 (10) 0,151 0,017 0,168 11,590 
V1 [3] W525 (20) 0,302 0,035 0,337 11,590 
V1 [3] W525 (35) 0,528 0,061 0,589 11,590 
V1 [3] W525 (5 + 15) 0,196 0,026 0,222 13,373 
V1 [3] W525 (10 + 15) 0,271 0,035 0,306 12,877 
V1 [3] W525 (10 + 20) 0,312 0,041 0,352 13,085 
V1 [3] W525 (20 + 30) 0,543 0,070 0,613 12,877 
Fonte: O autor, 2023. 
30 
 
Quadro 4 – Modelos de vigas calculados e resultados obtidos (Continuação) 
Viga 
Deformação 
momento fletor 
Deformação 
esforço cortante 
Deformação 
Total 
Aumento 
percentual 
Identificação δf (mm) δV (mm) δT = δf + δV (mm) A% 
V1 [5] W525 (5) 0,582 0,024 0,606 4,172 
V1 [5] W525 (10) 1,164 0,049 1,212 4,172 
V1 [5] W525 (20) 2,327 0,097 2,424 4,172 
V1 [5] W525 (35) 4,072 0,170 4,242 4,172 
V1 [5] W525 (5 + 15) 1,140 0,053 1,194 4,683 
V1 [5] W525 (10 + 15) 1,722 0,078 1,800 4,511 
V1 [5] W525 (10 + 20) 1,908 0,087 1,996 4,579 
V1 [5] W525 (20 + 30) 3,444 0,155 3,599 4,511 
V1 [8] W525 (5) 3,813 0,062 3,875 1,630 
V1 [8] W525 (10) 7,625 0,124 7,750 1,630 
V1 [8] W525 (20) 15,251 0,249 15,499 1,630 
V1 [8] W525 (35) 26,689 0,435 27,124 1,630 
V1 [8] W525 (5 + 15) 6,100 0,109 6,209 1,783 
V1 [8] W525 (10 + 15) 9,913 0,171 10,084 1,724 
V1 [8] W525 (10 + 20) 10,676 0,186 10,862 1,746 
V1 [8] W525 (20 + 30) 19,826 0,342 20,168 1,724 
V2 [3] W350 (5) 0,052 0,010 0,062 18,170 
V2 [3] W350 (10) 0,105 0,019 0,124 18,170 
V2 [3] W350 (20) 0,209 0,038 0,247 18,170 
V2 [3] W350 (35) 0,366 0,067 0,433 18,170 
V2 [3] W350 (5 + 15) 0,144 0,028 0,172 19,300 
V2 [3] W350 (10 + 15) 0,196 0,037 0,233 18,999 
V2 [3] W350 (10 + 20) 0,227 0,043 0,270 19,126 
V2 [3] W350 (20 + 30) 0,392 0,075 0,467 18,999 
V2 [5] W350 (5) 0,403 0,026 0,430 6,541 
V2 [5] W350 (10) 0,807 0,053 0,860 6,541 
V2 [5] W350 (20) 1,614 0,106 1,720 6,541 
V2 [5] W350 (35) 2,824 0,185 3,009 6,541 
V2 [5] W350 (5 + 15) 0,827 0,057 0,884 6,869 
V2 [5] W350 (10 + 15) 1,231 0,083 1,314 6,761 
V2 [5] W350 (10 + 20) 1,372 0,093 1,465 6,804 
V2 [5] W350 (20 + 30) 2,461 0,166 2,628 6,761 
Fonte: O autor, 2023. 
31 
 
Quadro 4 – Modelos de vigas calculados e resultados obtidos (Continuação) 
Viga 
Deformação 
momento fletor 
Deformação 
esforço cortante 
Deformação 
Total 
Aumento 
percentual 
Identificação δf (mm) δV (mm) δT = δf + δV (mm) A% 
V2 [8] W350 (5) 2,644 0,068 2,712 2,555 
V2 [8] W350 (10) 5,289 0,135 5,424 2,555 
V2 [8] W350 (20) 10,577 0,270 10,848 2,555 
V2 [8] W350 (35) 18,510 0,473 18,983 2,555 
V2 [8] W350 (5 + 15) 4,380 0,116 4,496 2,654 
V2 [8] W350 (10 + 15) 7,024 0,184 7,208 2,617 
V2 [8] W350 (10 + 20) 7,602 0,200 7,802 2,631 
V2 [8] W350 (20 + 30) 14,048 0,368 14,416 2,617 
V2 [3] W455 (5) 0,041 0,011 0,052 27,689 
V2 [3] W455 (10) 0,082 0,023 0,105 27,689 
V2 [3] W455 (20) 0,164 0,046 0,210 27,689 
V2 [3] W455 (35) 0,288 0,080 0,367 27,689 
V2 [3] W455 (5 + 15) 0,113 0,033 0,146 29,411 
V2 [3] W455 (10 + 15) 0,154 0,045 0,199 28,952 
V2 [3] W455 (10 + 20) 0,178 0,052 0,230 29,146 
V2 [3] W455 (20 + 30) 0,308 0,089 0,398 28,952 
V2 [5] W455 (5) 0,317 0,032 0,349 9,968 
V2 [5] W455 (10) 0,634 0,063 0,698 9,968 
V2 [5] W455 (20) 1,269 0,126 1,395 9,968 
V2 [5] W455 (35) 2,221 0,221 2,442 9,968 
V2 [5] W455 (5 + 15) 0,650 0,068 0,718 10,467 
V2 [5] W455 (10 + 15) 0,968 0,100 1,067 10,303 
V2 [5] W455 (10 + 20) 1,079 0,112 1,190 10,369 
V2 [5] W455 (20 + 30) 1,935 0,199 2,135 10,303 
V2 [8] W455 (5) 2,079 0,081 2,160 3,894 
V2 [8] W455 (10) 4,158 0,162 4,320 3,894 
V2 [8] W455 (20) 8,316 0,324 8,640 3,894 
V2 [8] W455 (35) 14,554 0,567 15,120 3,894 
V2 [8] W455 (5 + 15) 3,444 0,139 3,583 4,045 
V2 [8] W455 (10 + 15) 5,523 0,220 5,743 3,988 
V2 [8] W455 (10 + 20) 5,977 0,240 6,217 4,010 
V2 [8] W455 (20 + 30) 11,045 0,440 11,486 3,988 
Fonte: O autor, 2023. 
32 
 
Quadro 4 – Modelos de vigas calculados e resultados obtidos (Continuação) 
Viga 
Deformação 
momento fletor 
Deformação 
esforço cortante 
Deformação 
Total 
Aumento 
percentual 
Identificação δf (mm) δV (mm) δT = δf + δV (mm) A% 
V2 [3] W525 (5) 0,030 0,010 0,041 34,407 
V2 [3] W525 (10) 0,060 0,021 0,081 34,407 
V2 [3] W525 (20) 0,121 0,042 0,162 34,407 
V2 [3] W525 (35) 0,211 0,073 0,284 34,407 
V2 [3] W525 (5 + 15) 0,083 0,030 0,113 36,547 
V2 [3] W525 (10 + 15) 0,113 0,041 0,154 35,976 
V2 [3] W525 (10 + 20) 0,131 0,047 0,178 36,218 
V2 [3] W525 (20 + 30) 0,226 0,081 0,308 35,976 
V2 [5] W525 (5) 0,233 0,029 0,262 12,386 
V2 [5] W525 (10) 0,465 0,058 0,523 12,386 
V2[5] W525 (20) 0,931 0,115 1,046 12,386 
V2 [5] W525 (35) 1,629 0,202 1,831 12,386 
V2 [5] W525 (5 + 15) 0,477 0,062 0,539 13,007 
V2 [5] W525 (10 + 15) 0,710 0,091 0,801 12,803 
V2 [5] W525 (10 + 20) 0,791 0,102 0,893 12,885 
V2 [5] W525 (20 + 30) 1,420 0,182 1,601 12,803 
V2 [8] W525 (5) 1,525 0,074 1,599 4,838 
V2 [8] W525 (10) 3,050 0,148 3,198 4,838 
V2 [8] W525 (20) 6,100 0,295 6,395 4,838 
V2 [8] W525 (35) 10,676 0,517 11,192 4,838 
V2 [8] W525 (5 + 15) 2,526 0,127 2,653 5,026 
V2 [8] W525 (10 + 15) 4,051 0,201 4,252 4,955 
V2 [8] W525 (10 + 20) 4,385 0,218 4,603 4,982 
V2 [8] W525 (20 + 30) 8,102 0,401 8,503 4,955 
V3 [3] W350 (5) 0,026 0,008 0,034 30,602 
V3 [3] W350 (10) 0,052 0,016 0,068 30,602 
V3 [3] W350 (20) 0,105 0,032 0,137 30,602 
V3 [3] W350 (35) 0,183 0,056 0,239 30,602 
V3 [3] W350 (5 + 15) 0,078 0,024 0,102 30,602 
V3 [3] W350 (10 + 15) 0,105 0,032 0,137 30,602 
V3 [3] W350 (10 + 20) 0,122 0,037 0,159 30,602 
V3 [3] W350 (20 + 30) 0,209 0,064 0,273 30,602 
Fonte: O autor, 2023. 
33 
 
Quadro 4 – Modelos de vigas calculados e resultados obtidos (Continuação) 
Viga 
Deformação 
momento fletor 
Deformação 
esforço cortante 
Deformação 
Total 
Aumento 
percentual 
Identificação δf (mm) δV (mm) δT = δf + δV (mm) A% 
V3 [5] W350 (5) 0,202 0,022 0,224 11,017 
V3 [5] W350 (10) 0,403 0,044 0,448 11,017 
V3 [5] W350 (20) 0,807 0,089 0,896 11,017 
V3 [5] W350 (35) 1,412 0,156 1,568 11,017 
V3 [5] W350 (5 + 15) 0,444 0,049 0,493 11,017 
V3 [5] W350 (10 + 15) 0,646 0,071 0,717 11,017 
V3 [5] W350 (10 + 20) 0,726 0,080 0,806 11,017 
V3 [5] W350 (20 + 30) 1,291 0,142 1,433 11,017 
V3 [8] W350 (5) 1,322 0,057 1,379 4,303 
V3 [8] W350 (10) 2,644 0,114 2,758 4,303 
V3 [8] W350 (20) 5,289 0,228 5,516 4,303 
V3 [8] W350 (35) 9,255 0,398 9,653 4,303 
V3 [8] W350 (5 + 15) 2,314 0,100 2,413 4,303 
V3 [8] W350 (10 + 15) 3,636 0,156 3,792 4,303 
V3 [8] W350 (10 + 20) 3,966 0,171 4,137 4,303 
V3 [8] W350 (20 + 30) 7,272 0,313 7,585 4,303 
V3 [3] W455 (5) 0,021 0,010 0,030 46,634 
V3 [3] W455 (10) 0,041 0,019 0,060 46,634 
V3 [3] W455 (20) 0,082 0,038 0,121 46,634 
V3 [3] W455 (35) 0,144 0,067 0,211 46,634 
V3 [3] W455 (5 + 15) 0,062 0,029 0,090 46,634 
V3 [3] W455 (10 + 15) 0,082 0,038 0,121 46,634 
V3 [3] W455 (10 + 20) 0,096 0,045 0,141 46,634 
V3 [3] W455 (20 + 30) 0,164 0,077 0,241 46,634 
V3 [5] W455 (5) 0,159 0,027 0,185 16,788 
V3 [5] W455 (10) 0,317 0,053 0,371 16,788 
V3 [5] W455 (20) 0,634 0,107 0,741 16,788 
V3 [5] W455 (35) 1,110 0,186 1,297 16,788 
V3 [5] W455 (5 + 15) 0,349 0,059 0,408 16,788 
V3 [5] W455 (10 + 15) 0,508 0,085 0,593 16,788 
V3 [5] W455 (10 + 20) 0,571 0,096 0,667 16,788 
V3 [5] W455 (20 + 30) 1,015 0,170 1,186 16,788 
Fonte: O autor, 2023. 
34 
 
Quadro 4 – Modelos de vigas calculados e resultados obtidos (Conclusão) 
Viga 
Deformação 
momento fletor 
Deformação 
esforço cortante 
Deformação 
Total 
Aumento 
percentual 
Identificação δf (mm) δV (mm) δT = δf + δV (mm) A% 
V3 [8] W455 (5) 1,040 0,068 1,108 6,558 
V3 [8] W455 (10) 2,079 0,136 2,215 6,558 
V3 [8] W455 (20) 4,158 0,273 4,431 6,558 
V3 [8] W455 (35) 7,277 0,477 7,754 6,558 
V3 [8] W455 (5 + 15) 1,819 0,119 1,939 6,558 
V3 [8] W455 (10 + 15) 2,859 0,187 3,046 6,558 
V3 [8] W455 (10 + 20) 3,119 0,205 3,323 6,558 
V3 [8] W455 (20 + 30) 5,718 0,375 6,093 6,558 
V3 [3] W525 (5) 0,015 0,009 0,024 57,948 
V3 [3] W525 (10) 0,030 0,017 0,048 57,948 
V3 [3] W525 (20) 0,060 0,035 0,095 57,948 
V3 [3] W525 (35) 0,106 0,061 0,167 57,948 
V3 [3] W525 (5 + 15) 0,045 0,026 0,071 57,948 
V3 [3] W525 (10 + 15) 0,060 0,035 0,095 57,948 
V3 [3] W525 (10 + 20) 0,070 0,041 0,111 57,948 
V3 [3] W525 (20 + 30) 0,121 0,070 0,191 57,948 
V3 [5] W525 (5) 0,116 0,024 0,141 20,861 
V3 [5] W525 (10) 0,233 0,049 0,281 20,861 
V3 [5] W525 (20) 0,465 0,097 0,563 20,861 
V3 [5] W525 (35) 0,814 0,170 0,984 20,861 
V3 [5] W525 (5 + 15) 0,256 0,053 0,309 20,861 
V3 [5] W525 (10 + 15) 0,372 0,078 0,450 20,861 
V3 [5] W525 (10 + 20) 0,419 0,087 0,506 20,861 
V3 [5] W525 (20 + 30) 0,745 0,155 0,900 20,861 
V3 [8] W525 (5) 0,763 0,062 0,825 8,149 
V3 [8] W525 (10) 1,525 0,124 1,649 8,149 
V3 [8] W525 (20) 3,050 0,249 3,299 8,149 
V3 [8] W525 (35) 5,338 0,435 5,773 8,149 
V3 [8] W525 (5 + 15) 1,334 0,109 1,443 8,149 
V3 [8] W525 (10 + 15) 2,097 0,171 2,268 8,149 
V3 [8] W525 (10 + 20) 2,288 0,186 2,474 8,149 
V3 [8] W525 (20 + 30) 4,194 0,342 4,536 8,149 
Fonte: O autor, 2023. 
35 
 
APÊNDICE C – PLANILHAS DE CÁLCULO 
 
Figura 7 – Imagem da planilha de cálculo para vigas V1 (com carregamento U) 
 
 
 
 
 
 
Fonte: O autor, 2023. 
 
Figura 8 – Imagem da planilha de cálculo para vigas V1 (com carregamento U+P) 
 
 
 
 
 
Fonte: O autor, 2023. 
 
Figura 9 – Imagem da planilha de cálculo para vigas V2 (com carregamento U) 
 
 
 
 
Fonte: O autor, 2023. 
 
 
 
Bitola Altura (d) Espessura da alma (tw) Largura da aba (bf) Espessura da aba (tf) Área (A) Momento de inércia (I x) 
[mm x kg/m] [mm] mm mm mm cm² cm
4
Seção 1 W 360 x 72,0 350 8,6 204,0 15,1 91,3 20169
Seção 2 W 460 x 60,0 455 8,0 153,0 13,3 76,2 25652
Seção 3 W 530 x 66,0 525 8,9 165,0 11,4 83,6 34971
3 Vão [L] 8,0
Bitola [mm x kg/m] d = 525 mm Carregamento [U] 20,0 kN/m (uniformemente distribuída)
Área (A) 0,00836 m²
Momento de Inércia (I) 0,00034971 m
4
0,6100292623 cm
Módulo de Elasticidade (E) 200.000.000 kN/m² 0,0295159386 cm
Módulo de Rigidez (G) 77.000.000 kN/m² 4,8384463548 %
Rigidez (EI) 69.942 kN.m²
Fator de Forma (ꭕ) 1 Deformação Total δT = δV + δf 0,6395452009 cm
Perfil
Perfil selecionado 
W 530 x 66,0
Deformação Momento Fletor (δf)
V2 [8] W525 (20)
Aumento Percentual (A%)
metros
Deformação Esforço Cortante (δV)
Bitola Altura (d) Espessura da alma (tw) Largura da aba (bf) Espessura da aba (tf) Área (A) Momento de inércia (I x) 
[mm x kg/m] [mm] mm mm mm cm² cm
4
Seção 1 W 360 x 72,0 350 8,6 204,0 15,1 91,3 20169
Seção 2 W 460 x 60,0 455 8,0 153,0 13,3 76,2 25652
Seção 3 W 530 x 66,0 525 8,9 165,0 11,4 83,6 34971
3 Vão [L] 5,0
Bitola [mm x kg/m] d = 525 mm Carregamento [U] 20,0
Área (A) 0,00836 m²
Momento de Inércia (I) 0,00034971 m
4 0,2327076959 cm
Módulo de Elasticidade (E) 200.000.000 kN/m² 0,0097091903 cm
Módulo de Rigidez (G) 77.000.000 kN/m² 4,1722686882 %
Rigidez (EI) 69.942 kN.m²
Fator de Forma (ꭕ) 1 Deformação Total δT = δV + δf 0,2424168862 cm
Deformação Momento Fletor (δf)
Deformação Esforço Cortante (δV)
Aumento Percentual (A%)
metros
Perfil
Perfil selecionado 
W 530 x 66,0 kN/m (uniformemente distribuída)
V1 [5] W525 (20)
Bitola Altura (d) Espessura da alma (tw) Largura da aba (bf) Espessura da aba (tf) Área (A) Momento de inércia (I x) 
[mm x kg/m] [mm] mm mm mm cm² cm
4
Seção 1 W 360 x 72,0 350 8,6 204,0 15,1 91,3 20169
Seção 2 W 460 x 60,0 455 8,0 153,0 13,3 76,2 25652
Seção 3 W 530 x 66,0 525 8,9 165,0 11,4 83,6 34971
3 Vão [L] 5,0 metros
Bitola [mm x kg/m] d = 525 mm Carregamento [U] 10,0 kN/m (uniformemente distribuída)
Área (A) 0,00836 m² Carregamento [P] 15,0 kN (concentrada no centro do vão)
Momento de Inércia (I) 0,00034971 m4 Carregamento (U+P) ( 10 + 15 ) Carga final
Módulo de Elasticidade (E) 200.000.000 kN/m²
Módulo de Rigidez (G) 77.000.000 kN/m² 0,1722036950 cm
Rigidez (EI) 69.942 kN.m² 0,0077673523 cm
Fator de Forma (ꭕ) 1 4,5105607441 %
Vão (ℓ) 5 m Deformação Total δT = δV + δf 0,1799710472 cm
Carga distribuída (Q) 10 kN/m
Aumento Percentual (A%)
Perfil
Perfil selecionado 
W 530 x 66,0
Deformação Momento Fletor (δf)
Deformação Esforço Cortante (δV)
V1 [5] W525 (10+15)
36 
 
Figura 10 – Imagem da planilha de cálculo para vigas V2 (com carregamento U+P) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: O autor, 2023. 
 
Figura 11 – Imagem da planilha de cálculo para vigas V3 (com carregamento U) 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: O autor, 2023. 
 
Figura 12 – Imagem da planilha decálculo para vigas V3 (com carregamento U+P) 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: O autor, 2023. 
 
 
 
Bitola Altura (d) Espessura da alma (tw) Largura da aba (bf) Espessura da aba (tf) Área (A) Momento de inércia (I x) 
[mm x kg/m] [mm] mm mm mm cm² cm
4
Seção 1 W 360 x 72,0 350 8,6 204,0 15,1 91,3 20169
Seção 2 W 460 x 60,0 455 8,0 153,0 13,3 76,2 25652
Seção 3 W 530 x 66,0 525 8,9 165,0 11,4 83,6 34971
3 Vão [L] 8,0
Bitola [mm x kg/m] d = 525 mm Carregamento [U] 10,0 kN/m (uniformemente distribuída)
Área (A) 0,00836 m² Carregamento [P] 15,0 kN (concentrada no centro do vão)
Momento de Inércia (I) 0,00034971 m4 Carregamento (U+P) ( 10 + 15 )
Módulo de Elasticidade (E) 200.000.000 kN/m²
Módulo de Rigidez (G) 77.000.000 kN/m² 0,4050975570 cm
Rigidez (EI) 69.942 kN.m² 0,0200737510 cm
Fator de Forma (ꭕ) 1 4,9552880934 %
Vão (ℓ) 8 m Deformação Total δT = δV + δf 0,4251713080 cm
Carga distribuída (Q) 10 kN/m
Deformação Momento Fletor (δf)
Deformação Esforço Cortante (δV)
Aumento Percentual (A%)
metros
Perfil
Perfil selecionado 
W 530 x 66,0
Carga final
V2 [8] W525 (10+15)
Bitola Altura (d) Espessura da alma (tw) Largura da aba (bf) Espessura da aba (tf) Área (A) Momento de inércia (I x) 
[mm x kg/m] [mm] mm mm mm cm² cm4
Seção 1 W 360 x 72,0 350 8,6 204,0 15,1 91,3 20169
Seção 2 W 460 x 60,0 455 8,0 153,0 13,3 76,2 25652
Seção 3 W 530 x 66,0 525 8,9 165,0 11,4 83,6 34971
3 Vão [L] 5,0 metros
Bitola [mm x kg/m] d = 525 mm Carregamento [U] 10,0 kN/m (uniformemente distribuída)
Área (A) 0,00836 m² Carregamento [P] 15,0 kN (concentrada no centro do vão)
Momento de Inércia (I) 0,00034971 m
4
Carregamento (U+P) ( 10 + 15 ) Carga final
Módulo de Elasticidade (E) 200.000.000 kN/m²
Módulo de Rigidez (G) 77.000.000 kN/m² 0,0372332313 cm
Rigidez (EI) 69.942 kN.m² 0,0077673523 cm
Fator de Forma (ꭕ) 1 20,8613434412 %
Vão (ℓ) 5 m Deformação Total δT = δV + δf 0,0450005836 cm
Carga distribuída (Q) 10 kN/m
Deformação Momento Fletor (δf)
Deformação Esforço Cortante (δV)
Aumento Percentual (A%)
Perfil
Perfil selecionado 
W 530 x 66,0
V3 [5] W525 (10+15)
Bitola Altura (d) Espessura da alma (tw) Largura da aba (bf) Espessura da aba (tf) Área (A) Momento de inércia (I x) 
[mm x kg/m] [mm] mm mm mm cm² cm
4
Seção 1 W 360 x 72,0 350 8,6 204,0 15,1 91,3 20169
Seção 2 W 460 x 60,0 455 8,0 153,0 13,3 76,2 25652
Seção 3 W 530 x 66,0 525 8,9 165,0 11,4 83,6 34971
1 Vão [L] 3,0 metros
Bitola [mm x kg/m] d = 350 mm Carregamento [U] 35,0 kN/m (uniformemente distribuída)
Área (A) 0,00913 m²
Momento de Inércia (I) 0,00020169 m
4
0,0183023762 cm
Módulo de Elasticidade (E) 200.000.000 kN/m² 0,0056009161 cm
Módulo de Rigidez (G) 77.000.000 kN/m² 30,6021251476 %
Rigidez (EI) 40.338 kN.m²
Fator de Forma (ꭕ) 1 Deformação Total δT = δV + δf 0,0239032922 cm
Aumento Percentual (A%)
Perfil
Perfil selecionado 
W 360 x 72,0
Deformação Momento Fletor (δf)
Deformação Esforço Cortante (δV)
V3 [3] W350 (35)
37 
 
APÊNDICE D - QUADROS GERAIS DE ANÁLISE DOS RESULTADOS 
 
Seguem os Quadros 5 e 6 com os resultados obtidos a partir da metodologia, 
organizados de forma a avaliar, de modo geral, a influência dos parâmetros variáveis nos 
valores de deformação 𝛿f e 𝛿v, respectivamente. 
 
Quadro 5 – Deformações devido momento fletor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: O autor, 2023. 
 
 
5 10 20 35 5+15 10+15 10+20 20+30
0,131 0,261 0,523 0,915 0,340 0,471 0,540 0,941 3
1,009 2,017 4,035 7,061 1,977 2,986 3,309 5,972 5
6,611 13,222 26,443 46,276 10,577 17,188 18,510 34,376 8
0,103 0,206 0,411 0,720 0,267 0,370 0,425 0,740 3
0,793 1,586 3,172 5,552 1,555 2,348 2,601 4,695 5
5,198 10,396 20,791 36,384 8,316 13,514 14,554 27,028 8
0,075 0,151 0,302 0,528 0,196 0,271 0,312 0,543 3
0,582 1,164 2,327 4,072 1,140 1,722 1,908 3,444 5
3,813 7,625 15,251 26,689 6,100 9,913 10,676 19,826 8
0,052 0,105 0,209 0,366 0,144 0,196 0,227 0,392 3
0,403 0,807 1,614 2,824 0,827 1,231 1,372 2,461 5
2,644 5,289 10,577 18,510 4,380 7,024 7,602 14,048 8
0,041 0,082 0,164 0,288 0,113 0,154 0,178 0,308 3
0,317 0,634 1,269 2,221 0,650 0,968 1,079 1,935 5
2,079 4,158 8,316 14,554 3,444 5,523 5,977 11,045 8
0,030 0,060 0,121 0,211 0,083 0,113 0,131 0,226 3
0,233 0,465 0,931 1,629 0,477 0,710 0,791 1,420 5
1,525 3,050 6,100 10,676 2,526 4,051 4,385 8,102 8
0,026 0,052 0,105 0,183 0,078 0,105 0,122 0,209 3
0,202 0,403 0,807 1,412 0,444 0,646 0,726 1,291 5
1,322 2,644 5,289 9,255 2,314 3,636 3,966 7,272 8
0,021 0,041 0,082 0,144 0,062 0,082 0,096 0,164 3
0,159 0,317 0,634 1,110 0,349 0,508 0,571 1,015 5
1,040 2,079 4,158 7,277 1,819 2,859 3,119 5,718 8
0,015 0,030 0,060 0,106 0,045 0,060 0,070 0,121 3
0,116 0,233 0,465 0,814 0,256 0,372 0,419 0,745 5
0,763 1,525 3,050 5,338 1,334 2,097 2,288 4,194 8
Carregamento
Se
çã
o
 
1
Deformações devido momento fletor (mm)
V
ão
 (
m
e
tr
o
s)
2
3
1
2
3
1
2
3
38 
 
Quadro 6 – Deformações devido esforço cortante 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: O autor, 2023. 
 
O Quadro 7 apresenta os valores da relação λ = 𝐼/L para as diferentes combinações 
de variáveis estruturais, ou seja, possibilita avaliar a influência dos parâmetros variáveis nos 
valores de λ. 
 
 
 
 
5 10 20 35 5+15 10+15 10+20 20+30
0,008 0,016 0,032 0,056 0,024 0,032 0,037 0,064 3
0,022 0,044 0,089 0,156 0,049 0,071 0,080 0,142 5
0,057 0,114 0,228 0,398 0,100 0,156 0,171 0,313 8
0,010 0,019 0,038 0,067 0,029 0,038 0,045 0,077 3
0,027 0,053 0,107 0,186 0,059 0,085 0,096 0,170 5
0,068 0,136 0,273 0,477 0,119 0,187 0,205 0,375 8
0,009 0,017 0,035 0,061 0,026 0,035 0,041 0,070 3
0,024 0,049 0,097 0,170 0,053 0,078 0,087 0,155 5
0,062 0,124 0,249 0,435 0,109 0,171 0,186 0,342 8
0,010 0,019 0,038 0,067 0,028 0,037 0,043 0,075 3
0,026 0,053 0,106 0,185 0,057 0,083 0,093 0,166 5
0,068 0,135 0,270 0,473 0,116 0,184 0,200 0,368 8
0,011 0,023 0,046 0,080 0,033 0,045 0,052 0,089 3
0,032 0,063 0,126 0,221 0,068 0,100 0,112 0,199 5
0,081 0,162 0,324 0,567 0,139 0,220 0,240 0,440 8
0,010 0,021 0,042 0,073 0,030 0,041 0,047 0,081 3
0,029 0,058 0,115 0,202 0,062 0,091 0,102 0,182 5
0,074 0,148 0,295 0,517 0,127 0,201 0,218 0,401 8
0,008 0,016 0,032 0,056 0,024 0,032 0,037 0,064 3
0,022 0,044 0,089 0,156 0,049 0,071 0,080 0,142 5
0,057 0,114 0,228 0,398 0,100 0,156 0,171 0,313 8
0,010 0,019 0,038 0,067 0,029 0,038 0,045 0,077 3
0,027 0,053 0,107 0,186 0,059 0,085 0,096 0,170 5
0,068 0,136 0,273 0,477 0,119 0,187 0,205 0,375 8
0,009 0,017 0,035 0,061 0,026 0,035 0,041 0,070 3
0,024 0,049 0,097 0,170 0,053 0,078 0,087 0,155 5
0,062 0,124 0,249 0,435 0,109 0,171 0,186 0,342 8
V
ão
 (
m
e
tr
o
s)
2
3
1
2
3
1
2
3
Deformações devido contribuição do esforço cortante (mm)
Carregamento
Se
çã
o
 
1
39 
 
Quadro 7 – Valores de 𝐼/L 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fonte: O autor, 2023. 
 
Percebe-se do Quadro 7 que tais relações são iguais para um mesmo vão e uma 
mesma seção, não se alterando com a variação do carregamento, de modo que podem ser 
representados por meio do Gráfico 4 – Valores de λ para as vigas V1, V2 e V3 em relação a 
seção e ao vão, do Apêndice E. 
O Quadro 8 apresenta os valores do parâmetro β dado por 𝐼. 𝑔𝑒/L
2 para todas as 
vigas analisadas, útil à correlação gráfica de β e 𝐴%. 
 
5 10 20 35 5+15 10+15 10+20 20+30
67,23 67,23 67,23 67,23 67,23 67,23 67,23 67,23 3
40,34 40,34 40,34 40,34 40,34 40,34 40,34 40,34 5
25,21 25,21 25,21 25,21 25,21 25,21 25,21 25,21 8
85,51 85,51 85,51 85,51 85,51 85,51 85,51 85,51 3
51,30 51,30 51,30 51,30 51,30 51,30 51,30 51,30 5
32,07 32,07 32,07 32,07 32,07 32,07 32,07 32,07 8
116,57 116,57 116,57 116,57 116,57 116,57 116,57 116,57 3
69,94 69,94 69,94 69,94 69,94 69,94 69,94 69,94