Lista 2

Prévia do material em texto

universidade federal do amazonas
departamento de matemática
Introdução à Análise - 2022
Lista de Exerćıcios Avaliativa (Entrega até o dia 20/04/2022)
1. Para cada uma das afirmações a seguir diga se é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta.
a) O supremo de um subconjunto não vazio A ⊂ R é o maior de seus elementos.
b) O ı́nfimo de um subconjunto não vazio A ⊂ R é o menor de seus elementos.
c) Um subconjunto A ⊂ R é limitado superiormente se satisfaz: ∀x ∈ A,∃L ∈ R;x ≤ L.
2. Seja A ⊂ R um subconjunto não vazio e limitado superiormente. Mostre que A admite no
máximo um supremo. Faça o mesmo para o ı́nfimo de um subconjunto não vazio A limitado
inferiormente.
3. Sejam a < b números reais. Seja A um intervalo qualquer com extremidades em a e b (o
intervalo pode ser tanto fechado quanto aberto em cada extremidade). Mostre, com detalhes,
que supA = b e inf A = a.
4. Dê, se posśıvel, exemplos de subconjuntos de R satisfazendo as propriedades abaixo. Caso
não exista um subconjunto com a propriedade enunciada, demonstre a não existência.
a) A ⊂ R tal que A tem exatamente dois elementos e supA ̸∈ A.
b) A ⊂ R, não vazio e limitado inferiormente tal que inf A ̸∈ A.
c) A ⊂ R limitado superiormente, mas que não admite supremo.
d) Dois subconjuntos não vazios A,B ⊂ R tais que A∩B = ∅, supA = supB e inf A = inf B.
e) Dois subconjuntos não vazios A,B ⊂ R tais que A∩B = ∅, supA = supB, inf A = inf B,
para todo x ∈ A existe y ∈ B tal que x < y e (por fim) para todo x ∈ B existe y ∈ A tal
que x < y.
f) A ⊂ R, não vazio e limitado superiormente tal que supA ∈ A e
sup(A \ {supA}) < supA.
5. Seja A ⊂ R um subconjunto não vazio, e seja s ∈ R uma cota superior de A. Mostre que s ∈ R
coincide com supA se, e somente se, para todo n ∈ N, existe x ∈ A tal que s− 1
n
< x ≤ s.
6. Considere a sequência (xn) em R definida por xn = (−1)n. Mostre que (xn) não tem limite,
isto é, mostre que nenhum número real é limite de (xn).
7. Mostre, usando a definição, os seguintes limites de sequências:
(i) lim
n→∞
1
n2
= 0; (ii) lim
n→∞
1
2n
= 0; (iii) lim
n→∞
(
1− 1
n
)
= 1.
1
8. Encontre os limites das seguintes sequências (justifique!):
a) lim
n→∞
2n+ 1
n
.
b) lim
n→∞
an, onde a > 0.
c) lim
n→∞
an − 1
a− 1
, onde 0 < a < 1.
9. Seja (xn) uma sequência em R e suponha que lim
n→∞
xn = a. Tome b ∈ R, b ̸= a, e mostre que
existem ε > 0 e n0 ∈ N tal que o conjunto
Nε,n0 = {n ∈ N : n ≥ n0, |xn − b| < ε}
é vazio.
10. Mostre que se lim
n→∞
xn = a então lim
n→∞
|xn| = |a|. Dê um exemplo em que a rećıproca não vale.
11. Dê, se posśıvel, exemplo(s) para as seguintes situações.
a) Um número a ∈ R e uma sequência (xn) de números reais tal que
∀ε > 0,∃n0 ∈ N,∃n ≥ n0; |xn − a| < ε
e, no entanto, não vale que lim
n→∞
xn = a.
b) Um sequência (xn) em R limitada (superiormente e inferiormente) mas não convergente,
isto é, que não tem limite.
c) Uma sequência (xn) em R tal que xn+1 ≥ xn se n é par, xn+1 ≤ xn se n é ı́mpar e, no
entanto, lim
n→∞
xn não existe.
d) Uma sequência (xn) em R tal que xn+1 > xn se n é par, xn+1 < xn se n é ı́mpar e, no
entanto, lim
n→∞
xn não existe.
e) Uma sequência (xn) em R tal que (xn) não é crescente, mas (x2n) é crescente.
f) Uma sequência (xn) em R tal que (xn) não é crescente, lim
n→∞
xn = 0 e (x
2
n) é crescente.
g) Duas sequências em R, (xn) e (yn) tais que lim
n→∞
(xn+yn) existe e, no entanto, não existem
lim
n→∞
xn e lim
n→∞
yn.
h) Duas sequências em R, (xn) e (yn) tais que lim
n→∞
(xnyn) existe e, no entanto, não existem
lim
n→∞
xn e lim
n→∞
yn.
2