TRABALHO ANALISE DE MATEMATICA I-2023_065442

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FACULDADE DE CIÊNCIAS DE EDUCAÇÃO 
CURSO DE LICENCIATURA EM ENSINO DE BIOLOGIA 
DISCIPLINA: ANÁLISE DE MATEMATICA I 
 
Trabalho Académico de Pesquisa 
 
 
Limites e Derivadas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Beira, Outubro de 2023 
 
 
 
 
 
 
 
 
Maria Zaqueu João Guacha 
 
 
Limites e Derivadas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Beira, Outubro de 2023 
Trabalho de pesquisa apresentado na UnISCED como 
requisito para avaliação na cadeira de Analise de 
Matematica I. 
Orientado pelo Docente꞉ 
Índice 
1. Introdução ..................................................................................................................... 1 
1.1 Objectivos ................................................................................................................... 2 
1.1.1. Geral ....................................................................................................................... 2 
1.1.2. Específicos .............................................................................................................. 2 
2. Metodologia .................................................................................................................. 2 
3. Revisão Bibliográfica ................................................................................................... 3 
3.1. Conceito de limites de funções .................................................................................. 3 
3.2. Tipos de limites de funções ....................................................................................... 4 
3.2.1. Limites Laterais ...................................................................................................... 4 
3.3. Tipos de limites de funções ....................................................................................... 5 
3.3.1. Limites indeterminados .......................................................................................... 5 
3.3.2. Limite Finito ........................................................................................................... 6 
3.3.3. Limite no infinito .................................................................................................... 6 
3.3.4. Limites infinitos ...................................................................................................... 7 
3.4. Derivada..................................................................................................................... 8 
3.4.1. Derivadas laterais ................................................................................................... 8 
3.4.2. Tipos de derivada.................................................................................................. 10 
4. Conclusão ................................................................................................................... 11 
5. Referências Bibliográficas .......................................................................................... 12 
 
1 
 
1. Introdução 
Segundo Vunga (2019), em matemática, o conceito de limite é usado para 
descrever o comportamento de uma função à medida que o seu argumento se aproxima 
de um determinado valor, assim como o comportamento de uma dada sequência ou série 
de números reais, à medida que o índice (da sequência) vai crescendo, i.e. tende para 
infinito. Os limites são usados no cálculo diferencial e em outros ramos da análise 
matemática para definir derivadas e a continuidade de funções. Por exemplo, o limite de 
um polígono regular quando o número de ângulos internos ou de lados ou de gonos 
(cantos) tende para o infinito (cresce infinitamente!), dá origem a uma circunferência. 
No cálculo, a derivada representa a taxa de variação instantânea de uma função. 
Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação (derivada) 
da função espaço ou da distância s percorrida. Do mesmo modo a função aceleração é a 
derivada da função velocidade (Vunga, 2019). 
Silva (2008), diz-se que uma função f é derivável (ou diferenciável) se, próximo 
de cada ponto a do seu domínio, a função f(x) − f(a) se comportar aproximadamente 
como uma função linear, ou seja, se o seu gráfico for aproximadamente uma recta. O 
declive de uma tal recta é a derivada da função f no ponto a e representa-se por ( ) 
 ( )
 
, mas quando x assumir, por exemplo um valor a, escrevemos ( ) ( ) 
 ( )
 
. 
A Derivada nos dias que correm encontra muita aplicação em diversas áreas de 
conhecimento, entre outras, a de ciências económicas, como é o caso de cálculo de 
receita marginal (Vunga, 2019).. 
Diante deste contexto o presente trabalho tem como objectivo abordar sobre os 
limites e as derivadas destacando a definição, limites e derivadas laterias, tipos de 
limites e derivadas. 
O trabalho tem a seguinte estrutura: introdução, objectivos, metodologia, revisão 
bibliográfica, conclusão e referências bibliográficas. 
 
 
2 
 
1.1 Objectivos 
1.1.1. Geral 
 Dominar conceitos básicos de limites de funções 
1.1.2. Específicos 
 Definir limites de funções e derivada; 
 Identificar tipos de limites de funções (laterais) e derivada (laterais); 
 Descrever os tipos de limites de funções e derivada; 
 Apresentar exemplos de limites de funções e derivada. 
2. Metodologia 
Para a realização do trabalho recorreu-se a consultas bibliográficas como forma 
de dar o suporte teórico dos assuntos discutidos, deste modo a metodologia utilizada no 
trabalho foi uma abordagem qualitativa. Pois segundo Gil (2008), o objectivo central da 
abordagem qualitativa é entender a explicação de algum fenómeno, ou seja, 
subjectividades e nuances que não são quantificáveis. 
 E a colecta de dados foi atraves de vários autores que abordam o tema cuja 
bibliografia se encontra patente na página reservada para o efeito. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
3. Revisão Bibliográfica 
3.1. Conceito de limites de funções 
Segundo (Guidorizzi, 2001), o conceito de limite é fundamental em matemática, 
particularmente na análise de funções e sequências. Ele descreve o comportamento de 
uma função ou sequência à medida que a variável independente se aproxima de um 
determinado valor ou de infinito. Formalmente, o limite de uma função ( ) à medida 
que se aproxima de um valor é representado por: 
 
 
 ( ) 
onde é um número real ou infinito. Isso implica que à medida que os valores de se 
aproximam de os valores correspondentes de ( ) se aproximam de , mas não 
necessariamente o alcançam. 
Exemplos: 
Exemplo 1: Vamos calcular o limite de ( ) tendendo a 1: 
 
 
( ) 
 
 
 
 
 ( ) ( ) 
Logo, o limite da função no ponto = 1 vale 7, em outras palavras, 7 é o valor 
que deveria ter em 1 para ser contínua nesse ponto. 
Exemplo 2: Vamos calcular: (
 
 
) 
 
 
(
 
 
) 
 
 
( )
 
 
( )
 
 
 
 
 
 
 
O quociente 0/0 é indeterminado. Mas agora, se fizermos uma manipulação algébrica na 
expressão fatorando os termos, obtemos: 
 
Como a expressão simplificada resultou em uma função 𝑔( ) = + 1, que é contínua em 
 = 1, podemos então calcular o seu limite: 
4 
 
 
 
( ) 
O limite de uma função ( ) num ponto não depende do valor que ( ) 
assume em mas sim, dos valores que ( ) assume próximo de (ver artigo 
sobre limites). Esta manipulação algébrica, do exemplo acima, serviu apenas como uma 
forma de transformação da expressão, a fim de encontrarmos esses valores pois na sua 
forma original encontrávamos uma indeterminação (Guidorizzi, 2001). 
3.2. Tipos de limites de funções 
3.2.1. Limites Laterais 
Psikunov (1977), os limites laterais de uma função são usados para determinar o 
comportamento de uma função quando a variável independente se aproxima de um certo 
valor, seja pela direita ou pelaesquerda. Eles ajudam a entender como a função se 
comporta em torno de um ponto específico. 
`Se x se aproxima de a através de valores maiores que a ou pela sua direita, 
escrevemos: 
 
Esse limite é chamado de limite lateral à direita de a. 
Esta definição pode ser representada graficamente como, no exemplo abaixo: 
 
Se x se aproxima de a através de valores menores que a ou pela sua esquerda, 
escrevemos: 
https://www.infoescola.com/matematica/limites/
5 
 
 
Esse limite é chamado de limite lateral à esquerda de a. 
Graficamente, a diferença é sutil, mas repare na seta que indica a aproximação de x pela 
esquerda: 
 
O limite de f(x) para x a existe se, e somente se, os limites laterais à direita a 
esquerda são iguais, ou seja: 
 
3.3. Tipos de limites de funções 
3.3.1. Limites indeterminados 
 
O limite acima é um exemplo do que chamamos de limite indeterminado da 
forma 0/0 (“zero por zero”). O problema com esses limites deve-se a dificuldade de 
dizer por inspeção se o limite existe e, se existir, é difícil de dizer o seu valor 
(Guilherme, 2020). 
6 
 
De uma forma geral, se tivermos o limite da figura a seguir em que f(x) e g(x) 
tendem a zero quando x tende para a. Então, o limite é indeterminado do tipo 0/0 
(Guilherme, 2020). 
 
3.3.2. Limite Finito 
De acordo com Satana (2019), um limite finito de uma função é definido como o 
valor que a função se aproxima à medida que a variável independente se aproxima de 
um valor específico. Formalmente, para uma função ( ), o limite finito é denotado 
como lim⁡ ( ) , onde é um número real. Isso implica que, conforme 
se aproxima de , o valor de ( ), se aproxima de sem ultrapassá-lo. 
O limite finito é crucial para compreender o comportamento de uma função em 
pontos específicos, fornecendo informações sobre seu comportamento próximo a esses 
pontos (Satana, 2019). 
Exemplo: Considere a função ( ) 
 
 
 Quando calculamos o limite de ( ) 
conforme se aproxima de 1, temos: 
 
 
 
 
 
 
( )( )
 
 
 
( ) 
Neste exemplo, o limite de ( ) conforme se aproxima de 1 é 2, indicando 
que a função se aproxima de 2 à medida que se aproxima de 1. 
3.3.3. Limite no infinito 
Limites no infinito (ou tendendo ao infinito) são aqueles em que a variável da 
função tende ao infinito (Satana, 2019). E representamos de duas formas 
 
 
 ( ) 
Para quando tende a “mais” infinito, ou: 
 
 
 ( ) 
7 
 
Quando tende a “menos” infinito. 
Assim como a definição formal de limites, existe também uma definição formal 
para limites tendendo ao infinito, que não difere muito da de limites comuns. Abaixo, a 
definição para mais infinito: 
Seja uma função e um ponto que pertence ao intervalo ] ,+∞[, contido no domínio 
de . Para qualquer 𝜀>0 existe 𝛿>0, com 𝛿> tal que 
 > 𝛿 ⇒ −𝜀 < ( ) < +𝜀 
3.3.4. Limites infinitos 
Segundo Stewart (2013), o limite em infinito no sentido matemático refere-se a 
situações específicas em que a variável independente se aproxima do infinito de acordo 
com uma direcção ou caminho específico. Isso pode resultar em diferentes 
comportamentos para a função, dependendo da direcção do crescimento. 
Satana (2019), limites infinitos, diferente dos limites tendendo ao infinito, são 
aqueles em que o limite é infinito. Para apresentarmos melhor este conceito, partiremos 
para assuas definições formais: 
Seja uma função e um ponto que pertence ao intervalo ] , 𝑏[, contido no 
domínio de . Para qualquer 𝜀 > 0 existe 𝛿 > 0, com + 𝛿 < 𝑏 tal que 
 < < + 𝛿 ⇒ ( ) > 𝜀 
O limite L, quando existe, é único e representamos por: 
Ou ( ) 
 ( ) 
Se: 
 > 𝛿 ⇒ ( ) > 𝜀 
E também: 
 
 
 ( ) 
https://www.infoescola.com/matematica/limites/
https://www.infoescola.com/matematica/limites-no-infinito/
8 
 
 
3.4. Derivada 
Silva (2020), dizemos que Derivada é a taxa de variação de uma função y = f(x) 
em relação à x, dada pela relação ∆x / ∆y. Considerando uma função y = f(x), a sua 
derivada no ponto x = x0 corresponde à tangente do ângulo formado pela intersecção 
entre a reta e a curva da função y = f(x), isto é, o coeficiente angular da reta tangente à 
curva. 
De acordo com a relação , temos que: 
partindo da ideia de 
existência do limite. Temos que a taxa de variação instantânea de uma função 
 ( ) em relação a x é dada pela expressão 
 
 
. 
Precisamos estar cientes de que a Derivada é uma propriedade local da função, 
isto é, para um determinado valor de x. Por isso não podemos envolver toda a função 
(Silva, 2020). 
3.4.1. Derivadas laterais 
Uma função ( ) tem derivada lateral à direita de um ponto de abscissa 
 se o limite lateral à direita de da razão incremental (Rogawski, 2009). 
 
existir. Neste caso, diz-se que a função f é derivável à direita em 
Uma função ( ) tem derivada lateral à esquerda de um ponto de abscissa 
 se existir o limite lateral à esquerda de da razão incremental 
(Rogawski, 2009). 
 
9 
 
Rogawski (2009), neste caso, diz-se que a função f é derivável à esquerda em x 
= x0. Uma propriedade importante, que relaciona a derivada com as derivadas laterais 
de uma função f(x) em , afirma que é diferenciável em se, e somente se, as 
derivadas laterais em x0 existem e são iguais. Neste caso, tem-se que 
 
Exemplo1: 
 
 Exemplo2: 
 
 
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3.4.2. Tipos de derivada 
Segundo Stewart (2013), os principais tipos de derivadas são: 
1. Derivada de uma função: A derivada de uma função descreve a taxa na qual 
essa função está mudando em relação a uma de suas variáveis. Por exemplo, se 
tivermos a função ( ) , sua derivada é ( ) 
2. Derivada direccional: derivada direccional é uma extensão da ideia de 
derivada para funções de várias variáveis, que indica a taxa de variação em uma 
direção específica. Por exemplo, em uma função ( ) a derivada direcional 
em um ponto dado ( ) na direção de um vetor ( ) é denotada por 
 ( ) 
3. Derivada parcial: A derivada parcial mede a taxa de variação de uma função de 
várias variáveis em relação a uma dessas variáveis, mantendo as outras 
constantes. Por exemplo, se tivermos uma função ( ) , a derivada 
parcial de em relação a é 
 
 
 , e em relação a é
 
 
 
4. Derivada de ordem superior: a derivada de ordem superior é a derivada de 
uma derivada. Por exemplo, se tivermos a função ( ) , a segunda 
derivada de em relação a seria ( ) . 
5. Derivada implícita: A derivada implícita é usada quando uma função não pode 
ser explicitamente resolvida em relação a uma variável. Por exemplo, considere 
a equação . A derivada implícita de em relação a pode ser 
encontrada diferenciando ambos os lados em relação a . 
6. Derivada logarítmica: A derivada logarítmica está relacionada a funções 
logarítmicas. Por exemplo, se tivermos a função ( ) ( ), sua derivada é 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4. Conclusão 
Em suma, os conceitos de limites e derivadas formam a base do cálculo 
diferencial e integral, oferecendo ferramentas essenciais para compreender o 
comportamento de funções complexas e modelar fenómenos variados em diversas 
disciplinas. 
A compreensão profunda desses conceitos permite aos matemáticos e cientistas 
descrever e prever com precisão o comportamento de sistemas dinâmicos e variáveis em 
constante mudança. 
 Além disso, o estudo contínuo e a aplicação prática desses conceitos contribuem 
significativamente para o avanço do conhecimento em diversos campos, incluindo 
física, engenharia, economia e muitos outros. Com sua utilidade e poder analítico, os 
limites e as derivadas permanecem como pilares essenciais no edifício da matemática 
moderna. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5. Referências Bibliográficas1. Guilherme, Santana. Limites. (2020). Todo Estudo. Disponível em: 
https://www.todoestudo.com.br/matematica/limites. Acesso em: 28 de outubro 
de 2023. 
2. Guidorizzi, Hamilton L. (2001). Um Curso de Cálculo: Volume 1. Rio de 
Janeiro: Editora LTC. 
3. Piskunov, N. (1977). Cálculo Diferencial e Integral: Volume 1. Moscou: Editora 
Mir. 
4. Rogawski, Jon. (2009). Cálculo: Volume 1. Porto Alegre: Bookman. 
5. Silva, Marcos Noé Pedro da. (2023). Introdução ao Estudo das Derivadas. 
Brasil Escola. Disponível em: 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/introducao-ao-estudo-das-
derivadas.htm. Acesso em: 28 de outubro de 2023. 
6. Stewart, James. (2013). Cálculo – Volume I. São Paulo: Cengage Learning. 
7. Santana, Guilherme. Limites. Todo Estudo. Disponível em: 
https://www.todoestudo.com.br/matematica/limites. Acesso em: 28 de October 
de 2023. 
 
https://www.todoestudo.com.br/matematica/limites
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/introducao-ao-estudo-das-derivadas.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/introducao-ao-estudo-das-derivadas.htm