PC_2016-2_AD1-Q1_GABARITO-DETALHADO

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AD1-Q1 – 2016-2 GABARITO Pré-Cálculo 
CEDERJ 
Questão 1 da Avaliação a Distância 1 
GABARITO DETALHADO 
Pré-Cálculo 
 
Questão 1 [3,5 pontos] 
(a) [0,8] Considere o polinômio 𝑝(𝑥) = 2𝑥4 − 5𝑥3 + 4𝑥2 − 5𝑥 + 2, 𝑥 ∈ ℝ. 
Fatore 𝑝(𝑥) como produto de fatores lineares (ou seja, tipo 𝑎𝑥 + 𝑏) e/ou fatores quadráticos irredutíveis 
em ℝ (ou seja, tipo 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, que não possui raízes reais). Justifique a sua fatoração, deixando claro 
como encontrou as raízes. 
RESOLUÇÃO 
As possíveis raízes racionais de 𝑝(𝑥) são ±1, ±2, ±
1
2
, pois são os divisores do termo independente, igual a 2, 
divididos pelos divisores do coeficiente de maior grau, que também é igual a 2. 
UMA MANEIRA DE DETERMINAR AS RAÍZES: testando para ver quais delas de fato são raízes de 𝑝(𝑥), 
𝑝(1) = 2(1)4 − 5(1)3 + 4(1)2 − 5(1) + 2 = 2 − 5 + 4 − 5 + 2 = −2 ≠ 0. Logo 𝑥 = 1 não é raiz. 
𝑝(−1) = 2(−1)4 − 5(−1)3 + 4(−1)2 − 5(−1) + 2 = 2 + 5 + 4 + 5 + 2 = 18 ≠ 0. Logo 𝑥 = −1 não é raiz. 
𝑝(2) = 2(2)4 − 5(2)3 + 4(2)2 − 5(2) + 2 = 32 − 40 + 16 − 10 + 2 = 0. Logo 𝑥 = 2 é raiz. 
𝑝(−2) = 2(−2)4 − 5(−2)3 + 4(−2)2 − 5(−2) + 2 = 32 + 40 + 16 + 10 + 2 = 100. Logo 𝑥 = −2 não é raiz. 
𝑝 (
1
2
) = 2 (
1
2
)
4
− 5 (
1
2
)
3
+ 4 (
1
2
)
2
− 5 (
1
2
) + 2 =
2
16
−
5
8
+
4
4
−
5
2
+ 2 = −
1
2
−
5
2
+ 3 = 0. Logo 𝑥 =
1
2
 é raiz. 
𝑝 (−
1
2
) = 2 (−
1
2
)
4
− 5 (−
1
2
)
3
+ 4 (−
1
2
)
2
− 5 (−
1
2
) + 2 =
2
16
+
5
8
+
4
4
+
5
2
+ 2 ≠ 0. Logo 𝑥 = −
1
2
 não é raiz. 
 
Logo só há duas raízes racionais: 𝑥 = 2 e 𝑥 =
1
2
. Já podemos fatorar 𝑝(𝑥) parcialmente: 
𝑝(𝑥) = (𝑥 − 2) (𝑥 −
1
2
) (𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐). 
Precisamos dividir 𝑝(𝑥) por (𝑥 − 2) e também por (𝑥 −
1
2
), determinar os coeficientes 𝑎, 𝑏, 𝑐 do trinômio de 
segundo grau e verificar se o trinômio possui raízes reais (se existirem, serão irracionais, pois sabemos que não 
possui racionais além das que já encontramos). Para fazer as divisões, usaremos o algoritmo de Briot-Fuffini. 
 2 −5 4 −5 2 
2 2 2 × 2 − 5 = −1 −1 × 2 + 4 = 2 2 × 2 − 5 = −1 −1 × 2 + 2 = 0 
1
2
 2 2 ×
1
2
− 1 = 0 0 × 
1
2
+ 2 = 2 2 ×
1
2
− 1 = 0 
Logo 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 2𝑥2 + 2. 
Para verificar se o trinômio possui raízes reais, calculamos o discriminante Δ = 02 − 4 ∙ 2 ∙ 2 = −16 < 0. 
Logo o trinômio não possui raízes reais, isto é, é irredutível em ℝ. 
Portanto a fatoração de 𝑝(𝑥) é 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 2) (𝑥 −
1
2
) (2𝑥2 + 2) = (𝑥 − 2)(2𝑥 − 1)(𝑥2 + 1). 
 
(b) [1,2] Considere a função 𝑓(𝑥) =
𝑝(𝑥)
(𝑥+2)3(2𝑥−1)3
 , onde 𝑝(𝑥) é o polinômio do item (a). 
Determine o domínio de 𝑓(𝑥), simplifique 𝑓(𝑥) e analise o sinal de 𝑓(𝑥). Analisar o sinal de uma função 
significa determinar os valores de 𝑥 ∈ ℝ para os quais 𝑓(𝑥) = 0, 𝑓(𝑥) > 0 e 𝑓(𝑥) < 0. Essa análise de 
sinal deve ser justificada! 
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Dê a resposta da análise de sinal da seguinte forma: 
𝑓(𝑥) = 0 se 𝑥 ∈ 𝐴. 
𝑓(𝑥) > 0 se 𝑥 ∈ 𝐵. 
𝑓(𝑥) < 0 se 𝑥 ∈ 𝐶. 
onde 𝐴, 𝐵, 𝐶 são subconjuntos dos reais escritos na forma de pontos, de intervalo e/ou união de 
intervalos disjuntos (intervalos disjuntos não têm pontos em comum). 
RESOLUÇÃO 
Determinando o domínio. 
A única restrição é que o denominador deve ser não nulo, (𝑥 + 2)3(2𝑥 − 1)3 ≠ 0. 
(𝑥 + 2)3(2𝑥 − 1)3 = 0 ⟺ (𝑥 + 2)3 = 0 ou (2𝑥 − 1)3 = 0. 
Resolvendo cada equação, 
(𝑥 + 2)3 = 0 ⟺ 𝑥 + 2 = 0 ⟺ 𝑥 = −2 
(2𝑥 − 1)3 = 0 ⟺ 2𝑥 − 1 = 0 ⟺ 2𝑥 = 1 ⟺ 𝑥 =
1
2
 . 
Portanto, 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≠ −2, 𝑥 ≠
1
2
} = (−∞ , −2) ∪ (−2 ,
1
2
) ∪ (
1
2
 , ∞). 
Simplificando a função 
Usaremos a fatoração de 𝑝(𝑥) encontrada no item (a). 
𝑓(𝑥) =
𝑝(𝑥)
(𝑥+2)3(2𝑥−1)3
=
(𝑥−2)(2𝑥−1)(𝑥2+1)
(𝑥+2)3(2𝑥−1)3
=
(𝑥−2)(𝑥2+1)
(𝑥+2)3(2𝑥−1)2
 
Analisando o sinal 
Para construir a tabela de sinais, observamos que: 
 𝑥 − 2 = 0 ⟺ 𝑥 = 2 e 𝑥 − 2 > 0 ⟺ 𝑥 > 2 
 𝑥2 + 1 = 0 ⟺ 𝑥2 = −1 não tem solução real pois qualquer número real elevado a expoente par é 
positivo ou nulo. Como o coeficiente de grau 2 é igual a 1 > 0, 𝑥2 + 1 > 0 para qualquer 𝑥 ∈ ℝ. 
 qualquer número real elevado a expoente ímpar é positivo se e só se a base é positiva, logo 
(𝑥 + 2)3 > 0 ⟺ 𝑥 + 2 > 0 ⟺ 𝑥 > −2 
 qualquer número real elevado a expoente par é positivo se e só se a base é não nula, logo 
(2𝑥 − 1)2 > 0 ⟺ 2𝑥 − 1 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠
1
2
 
 (−∞ , −2) −2 (−2 ,
1
 2
) 
1
2
 (
1
2 
, 2) 2 (2 , ∞) 
 𝑥 − 2 − − − − − 0 + 
 𝑥2 + 1 + + + + + + + 
(𝑥 + 2)3 − 0 + + + + + 
(2𝑥 − 1)2 + + + 0 + + + 
𝑓(𝑥) + 𝑛𝑑 − 𝑛𝑑 − 0 + 
Portanto, 
𝑓(𝑥) = 0 se 𝑥 ∈ {2} 
𝑓(𝑥) > 0 se 𝑥 ∈ (−∞. −2) ∪ (2, ∞). 
𝑓(𝑥) < 0 se 𝑥 ∈ (−2 ,
1
2
 ) ∪ (
1
2 
 , 2). 
 
AD1-Q1 – 2016-2 GABARITO Pré-Cálculo 
(c) [1,5] Considere as funções 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 2| e 𝑔(𝑥) = {
𝑥 + 1 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 0 
|𝑥 − 2| 𝑠𝑒 0 < 𝑥 < 3
1 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 3 
 
Usando a definição de módulo de um número real, esboce o gráfico de 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ ℝ. 
Esboce o gráfico de 𝑔(𝑥), 𝑥 ∈ ℝ e observando o seu gráfico, encontre a imagem dessa função. 
Justifique a construção do gráfico, explicando a construção em cada um dos subintervalos (−∞ , 0] , 
(0 , 3) , [3 , ∞). 
RESOLUÇÃO 
Definição de |𝑥| = {
𝑥 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
−𝑥 𝑠𝑒 𝑥 < 0
. 
Como queremos |𝑥 − 2|, onde aparece 𝑥, substituímos por 𝑥 − 2. Logo, 
𝑓(𝑥) = |𝑥 − 2| = {
(𝑥 − 2) 𝑠𝑒 𝑥 − 2 ≥ 0
−(𝑥 − 2) 𝑠𝑒 𝑥 − 2 < 0 
 
Simplificando, 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 2| = {
𝑥 − 2 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 2
−𝑥 + 2 𝑠𝑒 𝑥 < 2 
 
Construindo o gráfico de 𝑓(𝑥), 
 𝑦 = 𝑥 − 2 é equação de uma reta. Como queremos 𝑥 ≥ 2, devemos esboçar parte da reta de equação 𝑦 =
𝑥 − 2. 
Uma maneira de identificar essa reta é determinar dois pontos dessa reta, por exemplo: 
𝑥 = 2 , 𝑦 = 2 − 2 = 0, logo (2, 0) é um ponto da reta de equação 𝑦 = 𝑥 − 2. 
𝑥 = 5 > 2 , 𝑦 = 5 − 2 = 3 , logo (5, 3) é um ponto da reta de equação 𝑦 = 𝑥 − 2. 
 𝑦 = −𝑥 + 2 é equação de uma reta. Como queremos 𝑥 < 2, devemos esboçar parte da reta de equação 𝑦 =
−𝑥 + 2. 
Uma maneira de identificar essa reta é determinar dois pontos dessa reta, por exemplo: 
𝑥 = 1 < 2 , 𝑦 = −1 + 2 = 1, logo (1, 1) é um ponto da reta de equação 𝑦 = −𝑥 + 2. 
𝑥 = 0 < 2, 𝑦 = −0 + 2 = 2, , logo (0, 2) é um ponto da reta de equação 𝑦 = −𝑥 + 2. 
Observe que na parte da reta 𝑦 = −𝑥 + 2 não podemos fazer 
𝑥 = 2 porque não satifaz 𝑥 < 2. Mas, para descobrirmos 
como fica a reta para valores de 𝑥 menores do que 2 e bem 
próximo de 2, podemos fazer 𝑥 = 2 em 𝑦 = −𝑥 + 2, e nesse 
caso, 𝑦 = −2 + 2 = 0. Se fossemos desenhar apenas essa 
parte do gráfico de 𝑓, o ponto (2, 0) teria que ser marcado 
com bolinha vazia. Mas, como vimos antes, o ponto (2, 0) é 
um ponto da parte da reta de equação 𝑦 = 𝑥 − 2. 
O gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥) está esboçado ao lado. 
 
Construindo o gráfico de 𝑔(𝑥): 
 Para 𝑥 ≤ 0, 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 1. 
𝑦 = 𝑥 + 1 é a equação de uma reta, o gráfico de 𝑦 = 𝑔(𝑥) será a parte dessa reta, com 𝑥 ≤ 0. 
Uma maneira de esboçar a parte da reta para 𝑥 ≤ 0 é determinando dois pontos da reta com abscissa 𝑥 ≤ 0 , 
por exemplo, 
𝑥 = 0, 𝑦 = 𝑔(0) = 0 + 1 = 1, logo (0, 1) é um ponto do gráfico de 𝑔. 
𝑥 = −3 < 0, 𝑦 = 𝑔(−3) = −3 + 1 = −2, logo (−3, −2) é um ponto do gráfico de 𝑔. 
AD1-Q1 – 2016-2 GABARITO Pré-Cálculo 
 
 Para 0 < 𝑥 < 3, 𝑔(𝑥) = |𝑥 − 2|. 
𝑦 = |𝑥 − 2| é o gráfico da função 𝑓(𝑥), esboçado anteriormente, o gráfico de 𝑔(𝑥), será parte desse gráfico, com 
0 < 𝑥 < 3. Basta copiar o gráfico de 𝑓(𝑥), considerando os valores de 𝑥 ∈ (0, 3) ⊂ 𝑑𝑜𝑚í𝑛𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑓. 
 Para 𝑥 ≥ 3 , 𝑔(𝑥) = 1, é uma função constante. 
𝑦 = 1 é a equação de uma retaparalela ao eixo 𝑥 que 
contém os pontos de ordenada 𝑦 = 1. O gráfico de 𝑦 =
𝑔(𝑥) será a parte dessa reta, com 𝑥 ≥ 3. Um dos pontos da 
parte dessa reta é o ponto (3, 1). 
O gráfico de 𝑦 = 𝑔(𝑥) está esboçado ao lado. 
Imagem de 𝑔 = {𝑦 ∈ ℝ; 𝑦 < 2} = (−∞, 2)