PC_2022-1_AD1-Parte1_GABARITO

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AD1-Parte 1 – 2022-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 1 de 10 
 
DISCIPLINA PRÉ-CÁLCULO 2022-1 
 Profa. Maria Lúcia Campos 
Profa. Marlene Dieguez 
 
Parte 1 da Primeira Avaliação a Distância (AD1-Parte 1) 
GABARITO 
IMPORTANTE!!! 
Em todas as questões não serão consideradas as respostas se não estiverem acompanhadas dos cálculos ou das 
justificativas para encontrar as respostas. 
Cálculos, justificativas e respostas devem ser MANUSCRITOS. Questões digitadas receberão ZERO. 
Os gráficos devem ser feitos à mão, não será aceito gráfico feito com aplicativo ou com programa computacional. 
 
Questão 1 [1,0 ponto] 
 Considere 𝑥 ∈ ℝ e a expressão 𝐸(𝑥) = |𝑥2 − 16| + 4𝑥 − 10. 
Q1(a) Usando a definição de módulo e simplificações podemos escrever 𝐸(𝑥) = |𝑥2 − 16| + 4𝑥 − 10 
sem o uso do símbolo de módulo da seguinte forma: 
|𝑥2 − 16| + 4𝑥 − 10 = {
𝐴(𝑥) 𝑠𝑒 𝑥 < 𝑎
𝐵(𝑥) 𝑠𝑒 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
𝐶(𝑥) 𝑠𝑒 𝑥 > 𝑏
 
 Encontre os valores de 𝑎 e de 𝑏 e encontre as expressões 𝐴(𝑥), 𝐵(𝑥) e 𝐶(𝑥), que são trinômios 
de segundo grau. 
Q1(b) Resolva a equação |𝑥2 − 16| + 4𝑥 − 10 = 0. 
 Observação: se necessário, pode usar valor aproximado para raiz quadrada para justificar a sua 
resolução. 
RESOLUÇÃO: 
Q1(a) Aplicando a definição de módulo em |𝑥2 − 16| devemos substituir o número real 𝑎 da definição 
de |𝑎| por 𝑥2 − 16, em todas as partes da definição de |𝑎|. 
Substituindo, obtemos |𝑥2 − 16| = {
𝑥2 − 16 𝑠𝑒 𝑥2 − 16 ≥ 0
−(𝑥2 − 16) 𝑠𝑒 𝑥2 − 16 < 0
 
Agora é preciso analisar o sinal de 𝑥2 − 16 para encontrar os intervalos em que 𝑥2 − 16 ≥ 0 e em que 
𝑥2 − 16 < 0. 
O gráfico de 𝑦 = 𝑥2 − 16 é parábola com concavidade para cima e raízes 𝑥 = −4 ou 𝑥 = 4. Logo, 
𝑥2 − 16 = 0 ⟺ 𝑥2 = 16 ⟺ 𝑥 = −4 𝑜𝑢 𝑥 = 4 
 
AD1-Parte 1 – 2022-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 2 de 10 
𝑥2 − 16 > 0 ⟺ 𝑥 < −4 𝑜𝑢 𝑥 > 4 
𝑥2 − 16 < 0 ⟺ −4 < 𝑥 < 4 
Logo |𝑥2 − 16| = {
𝑥2 − 16 𝑠𝑒 𝑥 < −4
−(𝑥2 − 16) = −𝑥2 + 16 𝑠𝑒 − 4 ≤ 𝑥 ≤ 4
𝑥2 − 16 𝑠𝑒 𝑥 > 4
 
E, |𝑥2 − 16| + 4𝑥 − 10 = {
𝑥2 − 16 + 4𝑥 − 10 𝑠𝑒 𝑥 < −4
−𝑥2 + 16 + 4𝑥 − 10 𝑠𝑒 − 4 ≤ 𝑥 ≤ 4
𝑥2 − 16 + 4𝑥 − 10 𝑠𝑒 𝑥 > 4
 
|𝑥2 − 16| + 4𝑥 − 10 = {
𝑥2 + 4𝑥 − 26 𝑠𝑒 𝑥 < −4
−𝑥2 + 4𝑥 + 6 𝑠𝑒 − 4 ≤ 𝑥 ≤ 4
𝑥2 + 4𝑥 − 26 𝑠𝑒 𝑥 > 4
 
Q1(b) |𝑥2 − 16| + 4𝑥 − 10 = 0 ⟺ {
𝑥2 + 4𝑥 − 26 = 0 𝑠𝑒 𝑥 < −4
−𝑥2 + 4𝑥 + 6 = 0 𝑠𝑒 − 4 ≤ 𝑥 ≤ 4
𝑥2 + 4𝑥 − 26 = 0 𝑠𝑒 𝑥 > 4
 
Resolvendo as equações nos intervalos apropriados, 
➢ 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟐𝟔 = 𝟎 𝒔𝒆 𝒙 < −𝟒 𝒐𝒖 𝒙 > 𝟒. 
𝑥2 + 4𝑥 − 26 = 0 ⟺ 𝑥 =
−4±√42−4∙1∙(−26)
2
=
−4±√16+104
2
=
−4±√120
2
=
−4±√4∙30
2
= 
−4±2√30
2
= −2 ± √30 ⟺ 𝑥 = −2 − √30 𝑜𝑢 𝑥 = −2 + √30 . 
Como √30 ≅ 5,48, temos que 𝑥 = −2 − √30 ≅ −2 − 5,48 , logo 𝑥 ≅ −7,48 < −4, logo 
𝑥 = −2 − √30 é solução da equação |𝑥2 − 16| + 4𝑥 − 10 = 0. 
Como √30 ≅ 5,48, temos que 𝑥 = −2 + √30 ≅ −2 + 5,48 , logo 𝑥 ≅ 3,48 > −4 e 𝑥 ≅ 3,48 < 4, 
Logo, 𝑥 = −2 + √30 não é solução da equação |𝑥2 − 16| + 4𝑥 − 10 = 0. 
➢ −𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟔 = 𝟎 𝒔𝒆 − 𝟒 ≤ 𝒙 ≤ 𝟒 
−𝑥2 + 4𝑥 + 6 = 0 ⟺ 𝑥2 − 4𝑥 − 6 = 0 ⟺ 𝑥 =
4±√(−4)2−4∙(1)∙(−6)
2
= 4±√16+24
2
 = 
=
4±√40
2
=
4±√4∙10=
2
4±2√10
2
= 2 ± √10 ⟺ 𝑥 = 2 − √10 𝑜𝑢 𝑥 = 2 + √10 . 
Como √10 ≅ 3,16, temos que 𝑥 = 2 − √10 ≅ 2 − 3,16 , logo 𝑥 ≅ −1,16 > −4 𝑒 𝑥 ≅ −1,16 < 4, 
logo −4 < 2 − √10 < 4 Assim, 𝑥 = 2 − √10 é solução da equação |𝑥2 − 16| + 4𝑥 − 10 = 0. 
Como √10 ≅ 3,16, temos que 𝑥 = 2 + √10 ≅ 2 + 3,16 , logo 𝑥 ≅ 5,16 > 4 e 2 + √10 > 4 , 
Logo, 𝑥 = 2 + √10 não é solução da equação |𝑥2 − 16| + 4𝑥 − 10 = 0. 
 
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Portanto a solução 𝑆 da equação |𝑥2 − 16| + 4𝑥 − 10 = 0 é 𝑆 = {−2 − √30 , 2 − √10}. 
 
Questão 2 [1.5 ponto] 
 Considere os trinômios do segundo grau 
 𝑠(𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥 − 2 𝑒 𝑡(𝑥) =
1
2
(𝑥2 − 3𝑥 − 4). 
Q2(a) Complete o quadrado de s(𝑥) e 𝑡(𝑥) e escreva-os na forma canônica. 
Lembre que um trinômio 𝐴(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 está escrito na forma canônica quando está 
escrito na forma 𝐴(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘. 
Q2(b) Encontre as coordenadas dos pontos em que o gráfico de 𝑠(𝑥) e o gráfico de 𝑡(𝑥) se 
intersectam. 
Q2(c) Esboce o gráfico de s(𝑥) e de 𝑡(𝑥) em um único par de eixos coordenados. 
Indique nos gráficos as coordenadas dos pontos de interseção desses gráficos. 
Indique em cada gráfico as coordenadas das interseções com os eixos coordenados e o vértice 
de cada parábola que representa o gráfico do trinômio. 
Q2(d) Observando os gráficos do item(c) determine os intervalos da variável 𝑥 em que 𝑡(𝑥) > 𝑠(𝑥). 
RESOLUÇÃO: 
Q2(a) 𝑠(𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥 − 2 = −(𝑥2 − 2𝑥) − 2 = −(𝑥2 − 2𝑥 + 1 − 1) − 2 = 
−(𝑥2 − 2𝑥 + 1) + 1 − 2 = −(𝑥2 − 2𝑥 + 1) − 1 = −(𝑥 − 1)2 − 1. 
Portanto, 𝑠(𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥 − 2 = −(𝑥 − 1)2 − 1 
𝑡(𝑥) =
1
2
(𝑥2 − 3𝑥 − 4) =
1
2
(𝑥2 − 3𝑥) +
1
2
(−4) =
1
2
(𝑥2 − 2 ∙
3
2
𝑥) − 2 = 
=
1
2
(𝑥2 − 2 ∙
3
2
𝑥 + (
3
2
)
2
− (
3
2
)
2
) − 2 =
1
2
(𝑥2 − 2 ∙
3
2
𝑥 +
9
4
−
9
4
) − 2 =
1
2
(𝑥 −
3
2
)
2
−
9
8
 − 2 = 
1
2
(𝑥 −
3
2
)
2
−
25
8
 . 
Portanto, 𝑡(𝑥) =
1
2
(𝑥2 − 3𝑥 − 4) =
1
2
(𝑥 −
3
2
)
2
−
25
8
. 
Q2(b) Nos pontos de interseção dos gráficos temos que 𝑠(𝑥) = 𝑡(𝑥). 
𝑠(𝑥) = 𝑡(𝑥) ⟺ −𝑥2 + 2𝑥 − 2 =
1
2
(𝑥2 − 3𝑥 − 4) . Resolvendo essa equação: 
 −𝑥2 + 2𝑥 − 2 =
1
2
(𝑥2 − 3𝑥 − 4) ⟺ −2𝑥2 + 4𝑥 − 4 = 𝑥2 − 3𝑥 − 4 ⟺ 
0 = 𝑥2 − 3𝑥 − 4 + 2𝑥2 − 4𝑥 + 4 ⟺ 3𝑥2 − 7𝑥 = 0 
𝑥(3𝑥 − 7) = 0 ⟺ 𝑥 = 0 𝑜𝑢 3𝑥 − 7 = 0 ⟺ 𝑥 = 0 𝑜𝑢 3𝑥 = 7 ⟺ 𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 =
7
3
 . 
Se 𝑥 = 0 então 𝑦 = 𝑠(0) = 𝑡(0) = −02 + 2 ∙ 0 − 2 = −2. 
 
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Se 𝑥 =
7
3
 então 𝑦 = 𝑠 (
7
3
) = 𝑡 (
7
3
) = − (
7
3
)
2
+ 2 ∙
7
3
− 2 = −
49
9
+
14
3
− 2 =
−49+42−18
9
= −
25
9
 
Portanto os gráficos se intersectam nos pontos 𝐴(0, −2) e 𝐵 (
7
3
, −
25
9
). 
Q2(c) 
• 𝑠(𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥 − 2 = −(𝑥 − 1)2 − 1. Vértice e interseções com eixos coordenados: 
Pela forma canônica, vértice 𝑉1(1, −1). 
Coeficiente 𝑎 = −1 < 0, a parábola tem concavidade para baixo. 
Como o vértice está abaixo do eixo 𝑦 e a parábola tem concavidade voltada para baixo, a parábola não 
corta o eixo 𝑥. Portanto não há interseção do gráfico de 𝑠(𝑥) com o eixo 𝑥. 
Interseção com eixo 𝑦: 𝑥 = 0 e 𝑦 = 𝑠(0) = −02 + 2 ∙ 0 − 2 = −2. 
• 𝑡(𝑥) =
1
2
(𝑥2 − 3𝑥 − 4) =
1
2
(𝑥 −
3
2
)
2
−
25
8
 . Vértice e interseções com eixos coordenados: 
Pela forma canônica, vértice 𝑉2 (
3
2
, −
25
8
). 
Coeficiente 𝑎 =
1
2
> 0, a parábola tem concavidade para cima. 
Como o vértice está abaixo do eixo 𝑦 e a parábola tem concavidade voltada para cima, a parábola corta 
o eixo 𝑥. 
No eixo 𝑥, temos que 𝑦 = 0 e 𝑦 =
1
2
(𝑥2 − 3𝑥 − 4). Temos que resolver 
1
2
(𝑥2 − 3𝑥 − 4) = 0. 
1
2
(𝑥2 − 3𝑥 − 4) = 0 ⟺ 𝑥2 − 3𝑥 − 4 =
0 ⟺ 𝑥 =
3±√(−3)2−4∙1∙(−4)
2
=
3±√25
2
=
3±5
2
 ⟺ 𝑥 =
8
2
= 4 𝑜𝑢 𝑥 = −
2
2
= −1 . 
Interseção com eixo 𝑦: 𝑥 = 0 e 𝑦 = 𝑡(0) =
1
2
(02 − 3 ∙ 0 − 4) = −
4
2
= −2. 
 
 
 
 
 
Q2(d) Observando os gráficos do item(c) concluímos que 𝑡(𝑥) > 𝑠(𝑥) ⟺ 𝑥 < 0 𝑜𝑢 𝑥 >
7
3
. 
 
Questão 3 [1,2 ponto] 
Considere 𝑥 ∈ ℝ e o polinômio 𝑝(𝑥) = −12𝑥4 + 4𝑥3 + 9𝑥2 − 6𝑥 + 1 
Q3(a) Quais são as possíveis raízes racionais não inteiras de 𝑝(𝑥)? Justifique sua resposta. 
Q3(b) Sabendoque o polinômio 𝑝(𝑥) possui apenas uma raiz inteira, determine essa raiz inteira. 
 Se 𝑥 = 𝑥1 é a raiz inteira, obtenha o polinômio 𝑞(𝑥) que satisfaz 
 
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𝑝(𝑥) = −12𝑥4 + 4𝑥3 + 9𝑥2 − 6𝑥 + 1 = (𝑥 − 𝑥1) 𝑞(𝑥). 
Q3(c) Determine as raízes racionais não inteiras do polinômio 𝑞(𝑥) encontrado no item Q3(b) e 
fatore 𝑝(𝑥). 
RESOLUÇÃO: 
Q3(a) As possíveis raízes racionais não inteiras de 𝑝(𝑥) são os divisores de 1 (coeficiente do termo 
independente) divididos pelos divisores de −12 (coeficiente do termo de maior grau). 
Os divisores de 1 (coeficiente do termo independente) são ±1. 
Os divisores de −12 (coeficiente do termo de maior grau) são: ± 1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±12. 
Logo, as possíveis raízes racionais não inteiras de 𝑝(𝑥) são: ±
1
2
; ±
1
3
; ±
1
4
; ±
1
6
; ±
1
12
. 
Q3(b) Determinação da raiz inteira 
As possíveis raízes inteiras de 𝑝(𝑥) são os divisores de 1 (coeficiente do termo independente), que são 
±1. 
𝑝(1) = −12 ∙ 14 + 4 ∙ 13 + 9 ∙ 12 − 6 ∙ 1 + 1 = −12 + 4 + 9 − 6 + 1 = −18 + 14 = −4 ≠ 0. 
𝑝(−1) = −12(−1)4 + 4(−1)3 + 9(−1)2 − 6(−1) + 1 = −12 − 4 + 9 + 6 + 1 = −16 + 16 = 0. 
Logo a única raiz inteira é 𝑥1 = −1. 
Determinação de 𝒒(𝒙) 
Como a única raiz inteira é 𝑥1 = −1, 
𝑝(𝑥) = −12𝑥4 + 4𝑥3 + 9𝑥2 − 6𝑥 + 1 = (𝑥 − (−1)) 𝑞(𝑥) = (𝑥 + 1)𝑞(𝑥). 
Vamos usar o algoritmo de Briot-Ruffini para determinar 𝑞(𝑥). 
 
 
 
Assim 𝑞(𝑥) = −12𝑥3 + 16𝑥2 − 7𝑥 + 1 
Q3(c) Determinação das raízes racionais não inteiras do polinômio 𝒒(𝒙) 
As possíveis raízes de 𝑞(𝑥) são iguais as possíveis raízes de 𝑝(𝑥): ±
1
2
; ±
1
3
; ±
1
4
; ±
1
6
; ±
1
12
. 
Verificando quais de fato são raízes, começando por 𝑥 =
1
2
. 
𝑞(𝑥) = −12𝑥3 + 16𝑥2 − 7𝑥 + 1 
𝑞 (
1
2
) = −12 (
1
2
)
3
+ 16 (
1
2
)
2
− 7 ∙
1
2
+ 1 = −
12
8
+
16
4
−
7
2
+ 1 = −
3
2
+ 4 −
7
2
+ 1 = −
10
2
+ 5 = 0. 
 −12 4 9 −6 1 
−1 −12 
(−12)(−1) + 4 = 
16 
(16)(−1) + 9 = 
−7 
(−7)(−1) − 6 = 
1 
(1)(−1) + 1 = 
0 
 
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Logo uma raiz racional de 𝑞(𝑥) é 𝑥 =
1
2
 e podemos dividir 𝑞(𝑥) por (𝑥 −
1
2
), para obter 𝑞1(𝑥), tal que 
𝑞(𝑥) = (𝑥 +
1
2
) 𝑞1(𝑥). 
Vamos usar o algoritmo de Briot-Ruffini para determinar 𝑞1(𝑥).. 
 
 
 
Logo, 𝑞(𝑥) = −12𝑥3 + 16𝑥2 − 7𝑥 + 1 = (𝑥 +
1
2
) (−12𝑥2 + 10𝑥 − 2). 
Vamos determinar as raízes de 𝑞1(𝑥) = −12𝑥
2 + 10𝑥 − 2. 
−12𝑥2 + 10𝑥 − 2 = 0 ⟺ 𝑥 =
−10±√(10)2−4∙(−12)∙(−2)
2∙(−12)
 = 
−10±√100−96
−24
=
−10±√4
12
= 
−10±2
−24
 ⟺ 𝑥 =
−10−2
−24
=
−12
−24
=
12
24
=
1
2
 ou 𝑥 =
−10+2
−24
=
−8
−24
=
8
24
=
1
3
. 
Logo as raízes de 𝑞1(𝑥) são 𝑥 =
1
3
 ou 𝑥 =
1
2
. 
Assim, −12𝑥2 + 10𝑥 − 2 = (−12) (𝑥 −
1
3
) (𝑥 −
1
2
). 
As raízes de 𝑞(𝑥) são 𝑥 =
1
3
 ou 𝑥 =
1
2
 , observando que 𝑥 =
1
2
 é uma raiz dupla de 𝑞(𝑥). 
Fatoração de 𝒑(𝒙) = −𝟏𝟐𝒙𝟒 + 𝟒𝒙𝟑 + 𝟗𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟏 
Pelo que fizemos acima, 
𝑝(𝑥) = −12𝑥4 + 4𝑥3 + 9𝑥2 − 6𝑥 + 1 = (𝑥 + 1)𝑞(𝑥) = (𝑥 + 1) (𝑥 −
1
2
) 𝑞1(𝑥) = 
(𝑥 + 1) (𝑥 −
1
2
) (−12) (𝑥 −
1
3
) (𝑥 −
1
2
) = −12(𝑥 + 1) (𝑥 −
1
2
) (𝑥 −
1
3
) (𝑥 −
1
2
). 
Portando a fatoração é 𝑝(𝑥) = −12(𝑥 + 1) (𝑥 −
1
2
) (𝑥 −
1
3
) (𝑥 −
1
2
) 
Podemos simplificar e apresentar outras formas de fatoração de 𝑝(𝑥): 
𝑝(𝑥) = −2 ∙ 2 ∙ 3(𝑥 + 1) (𝑥 −
1
2
) (𝑥 −
1
3
) (𝑥 −
1
2
) = −(𝑥 + 1)2 (𝑥 −
1
2
) 3 (𝑥 −
1
3
) 2 (𝑥 −
1
2
) = 
= −(𝑥 + 1)2 (𝑥 −
1
2
) 3 (𝑥 −
1
3
) 2 (𝑥 −
1
2
) = −(𝑥 + 1)(2𝑥 − 1)(3𝑥 − 1)(2𝑥 − 1) = 
= −(𝑥 + 1)(3𝑥 − 1)(2𝑥 − 1)2. 
 
Questão 4 [1,3 ponto] 
Considere 𝑥 ∈ ℝ e considere as expressões: 
𝑃(𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥 − 2)2(3 − 𝑥) e 𝐴(𝑥) = √4 − 𝑥 − √2𝑥 − 1. 
 −12 16 −7 1 
1
2
 −12 
(−12) (
1
2
) + 16 = 
10 
(10) (
1
2
) − 7 = 
−2 
(−2) (
1
2
) + 1 = 
0 
 
AD1-Parte 1 – 2022-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 7 de 10 
Q4(a) Analise o sinal de 𝑃(𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥 − 2)2(3 − 𝑥). 
Q4(b) Determine o domínio da expressão 𝐴(𝑥) = √4 − 𝑥 − √2𝑥 − 1 . 
Q4(c) Resolva a equação √4 − 𝑥 − √2𝑥 − 1 = 0. Resolva a inequação √4 − 𝑥 − √2𝑥 − 1 > 0. 
 Analise o sinal de 𝐴(𝑥) = √4 − 𝑥 − √2𝑥 − 1. 
Q4(d) Utilizando os resultados dos itens anteriores determine o domínio e analise o sinal da expressão 
 𝐹(𝑥) =
√4−𝑥−√2𝑥−1
(𝑥+1)(𝑥−2)2(3−𝑥)
 . 
RESOLUÇÃO: 
Q4(a) 𝑃(𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥 − 2)2(𝑥 − 3) 
Vamos analisar o sinal de cada fator e depois aplicar na tabela de sinais. 
• Sinal de 𝑥 + 1 
𝑥 + 1 = 0 ⟺ 𝑥 = −1 ; 𝑥 + 1 > 0 ⟺ 𝑥 > −1; 𝑥 + 1 < 0 ⟺ 𝑥 < −1 
• Sinal de (𝑥 − 2)2 
(𝑥 − 2)2 = 0 ⟺ 𝑥 − 2 = 0 ⟺ 𝑥 = 2 
(𝑥 − 2)2 > 0 ⟺ 𝑥 − 2 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ 2 
Não existe 𝑥 ∈ ℝ tal que (𝑥 − 2)2 < 0. 
• Sinal de 3 − 𝑥 
3 − 𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 = 3 ; 3 − 𝑥 > 0 ⟺ 3 > 𝑥 ⟺ 𝑥 < 3; 3 − 𝑥 < 0 ⟺ 3 < 𝑥 ⟺ 𝑥 > 3 
Observamos que na primeira linha da tabela deve ser respeitada a ordem dos números reais. 
 
 (−∞, −1) −1 (−1, 2) 2 (2, 3) 3 (3, ∞) 
(𝑥 + 1) − 0 + + + + + 
(𝑥 − 2)2 + + + 0 + + + 
(3 − 𝑥) + + + + + 0 − 
𝑃(𝑥) − 0 + 0 + 0 − 
 
Observando a primeira e a última linha da tabela, concluímos o sinal de 𝑃(𝑥): 
𝑃(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 = −1 𝑜𝑢 𝑥 = 2 𝑜𝑢 𝑥 = 3 
𝑃(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−1, 2) ∪ (2, 3) 
𝑃(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞, −1) ∪ (3, ∞) 
 
AD1-Parte 1 – 2022-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 8 de 10 
Q4(b) 𝐴(𝑥) = √4 − 𝑥 − √2𝑥 − 1 
 Cada radicando deve ser positivo ou nulo, logo as restrições do domínio são: 
4 − 𝑥 ≥ 0 e 2𝑥 − 1 ≥ 0. 
Resolvendo cada inequação: 
• 4 − 𝑥 ≥ 0 ⟺ 4 ≥ 𝑥 ⟺ 𝑥 ≤ 4 e 
• 2𝑥 − 1 ≥ 0 ⟺ 2𝑥 ≥ 1 ⟺ 𝑥 ≥
1
2
 
Portanto, 𝐷𝑜𝑚(𝐴) = {𝑥 ∈ ℝ; 
1
2
≤ 𝑥 ≤ 4} = [
1
2
, 4]. 
Q4(c) Resolução da equação √𝟒 − 𝒙 − √𝟐𝒙 − 𝟏 = 𝟎. 
√4 − 𝑥 − √2𝑥 − 1 = 0 ⟺ √4 − 𝑥 = √2𝑥 − 1 ⟺ 4 − 𝑥 = 2𝑥 − 1 𝑒 
1
2
≤ 𝑥 ≤ 4. 
⟺ 4 + 1 = 2𝑥 + 𝑥 𝑒 
1
2
≤ 𝑥 ≤ 4 ⟺ 3𝑥 = 5 𝑒 
1
2
≤ 𝑥 ≤ 4 ⟺ 𝑥 =
5
3
 𝑒 
1
2
≤ 𝑥 ≤ 4 
⟺ 𝑥 =
5
3
 . Portanto a solução de √4 − 𝑥 − √2𝑥 − 1 = 0 é 𝑥 =
5
3
. 
Resolução da inequação √𝟒 − 𝒙 − √𝟐𝒙 − 𝟏 > 𝟎. 
√4 − 𝑥 − √2𝑥 − 1 > 0 ⟺ √4 − 𝑥 > √2𝑥 − 1 ⟺ 4 − 𝑥 > 2𝑥 − 1 𝑒 
1
2
≤ 𝑥 ≤ 4. 
⟺ 4 + 1 > 2𝑥 + 𝑥 𝑒 
1
2
≤ 𝑥 ≤ 4 ⟺ 3𝑥 < 5 𝑒 
1
2
≤ 𝑥 ≤ 4 ⟺ 𝑥 <
5
3
 𝑒 
1
2
≤ 𝑥 ≤ 4 
⟺ 
1
2
≤ 𝑥 <
5
3
 . Portanto a solução de √4 − 𝑥 − √2𝑥 − 1 > 0 é 
1
2
≤ 𝑥 <
5
3
. 
Análise de sinal de 𝑨(𝒙) = √𝟒 − 𝒙 − √𝟐𝒙 − 𝟏. 
Para concluir a análise de sinal só falta resolver a inequação √4 − 𝑥 − √2𝑥 − 1 < 0. 
√4 − 𝑥 − √2𝑥 − 1 < 0 ⟺ √4 − 𝑥 < √2𝑥 − 1 ⟺ 4 − 𝑥 < 2𝑥 − 1 𝑒 
1
2
≤ 𝑥 ≤ 4. 
⟺ 4 + 1 < 2𝑥 + 𝑥 𝑒 
1
2
≤ 𝑥 ≤ 4 ⟺ 3𝑥 > 5 𝑒 
1
2
≤ 𝑥 ≤ 4 ⟺ 𝑥 >
5
3
 𝑒 
1
2
≤ 𝑥 ≤ 4 
⟺ 
5
3
< 𝑥 ≤ 4. Portanto a solução de √4 − 𝑥 − √2𝑥 − 1 < 0 é 
5
3
< 𝑥 ≤ 4 . 
Concluindo a análise de sinal, 
𝐴(𝑥) = √4 − 𝑥 − √2𝑥 − 1 = 0 ⟺ 𝑥 =
5
3
 
𝐴(𝑥) = √4 − 𝑥 − √2𝑥 − 1 > 0 ⟺ 
1
2
≤ 𝑥 <
5
3
 
 
AD1-Parte 1 – 2022-1 GABARITO Pré-Cálculo Página 9 de 10 
𝐴(𝑥) = √4 − 𝑥 − √2𝑥 − 1 < 0 ⟺ 
5
3
< 𝑥 ≤ 4 
Q4(d) Determinação do domínio da expressão 𝑭(𝒙) =
√𝟒−𝒙−√𝟐𝒙−𝟏
(𝒙+𝟏)(𝒙−𝟐)𝟐(𝟑−𝒙)
 . 
Restrições: 
(i) 𝑥 deve pertencer ao domínio de 𝐴(𝑥) = √4 − 𝑥 − √2𝑥 − 1. 
(ii) 𝑥 deve pertencer ao domínio de 𝑃(𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥 − 2)2(3 − 𝑥). 
(iii) Denominador 𝑃(𝑥) não deve ser nulo. 
Resolvendo cadarestrição 
(i) Pelo item Q4(b), 𝐷𝑜𝑚(𝐴) = {𝑥 ∈ ℝ; 
1
2
≤ 𝑥 ≤ 4} = [
1
2
, 4]. Logo, 𝑥 ∈ [
1
2
, 4]. 
(ii) 𝑃(𝑥) é um polinômio e o domínio de qualquer polinômio são todos os reais. Logo 𝑥 ∈ ℝ 
(iii) (𝑥 + 1)(𝑥 − 2)2(3 − 𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 + 1 = 0 ou (𝑥 − 2)2 = 0 ou 3 − 𝑥 = 0 ⟺ 
𝑥 = −1 ou 𝑥 − 2 = 0 ou 3 = 𝑥 ⟺ 𝑥 = −1 ou 𝑥 = 2 ou 𝑥 = 3. 
Logo, (𝑥 + 1)(𝑥 − 2)2(3 − 𝑥) ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ −1 e 𝑥 ≠ 2 e 𝑥 ≠ 3. 
Assim, 𝐷𝑜𝑚(𝐹) = {𝑥 ∈ ℝ; 
1
2
≤ 𝑥 ≤ 4 𝑒 𝑥 ≠ −1 𝑒 𝑥 ≠ 2 𝑒 𝑥 ≠ 3}. 
Como −1 <
1
2
, 
1
2
< 2 < 4 e 
1
2
< 3 < 4 concluímos que 
𝐷𝑜𝑚(𝐹) = {𝑥 ∈ ℝ; 
1
2
≤ 𝑥 < 2 𝑜𝑢 2 < 𝑥 < 3 𝑜𝑢 3 < 𝑥 ≤ 4} = [
1
2
, 2) ∪ (2, 3) ∪ (3,4] . 
 
Análise de sinal da expressão 𝑭(𝒙) =
√𝟒−𝒙−√𝟐𝒙−𝟏
(𝒙+𝟏)(𝒙−𝟐)𝟐(𝟑−𝒙)
. 
Como já analisamos o sinal do numerador e do denominador, vamos construir a tabela de sinais de 
𝐹(𝑥) utilizando os sinais do numerador e do denominador. 
Observamos que na primeira linha da tabela deve ser respeitada a ordem dos números reais. 
 
 (−∞, −1) −1 (−1,
1
2
) 
1
2
 (
1
2
,
5
3
) 
5
3
 (
5
3
, 2) 2 (2, 3) 3 (3, 4) 4 (4, ∞) 
√4 − 𝑥 − √2𝑥 − 1 𝑛𝑑 𝑛𝑑 𝑛𝑑 + + 0 − − − − − − 𝑛𝑑 
(𝑥 + 1)(𝑥 − 2)2(3 − 𝑥) − 0 + + + + + 0 + 0 − − − 
√4−𝑥−√2𝑥−1
(𝑥+1)(𝑥−2)2(3−𝑥)
 𝑛𝑑 𝑛𝑑 𝑛𝑑 + + 0 − 𝑛𝑑 − 𝑛𝑑 + + 𝑛𝑑 
 
Concluindo a análise de sinal, 
𝐹(𝑥) =
√4−𝑥−√2𝑥−1
(𝑥+1)(𝑥−2)2(3−𝑥)
= 0 ⟺ 𝑥 =
5
3
 . 
𝐹(𝑥) =
√4−𝑥−√2𝑥−1
(𝑥+1)(𝑥−2)2(3−𝑥)
> 0 ⟺ 
1
2
≤ 𝑥 <
5
3
 ou 3 < 𝑥 ≤ 4 ⟺ 𝑥 ∈ [
1
2
,
5
3
) ∪ (3, 4]. 
𝐹(𝑥) =
√4−𝑥−√2𝑥−1
(𝑥+1)(𝑥−2)2(3−𝑥)
< 0 ⟺ 
5
3
< 𝑥 < 2 ou 2 < 𝑥 < 3 ⟺ 𝑥 ∈ (
5
3
, 2) ∪ (2, 3). 
 
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