PC_2020-2_AD1-Parte1_GABARITO

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AD1-Parte 1 – 2020-1 Pré-Cálculo Página 1 de 9 
 
DISCIPLINA PRÉ-CÁLCULO 2020-2 
 Profa. Maria Lúcia Campos 
Profa. Marlene Dieguez 
AD1-Parte 1 – GABARITO 
 
IMPORTANTE!!! TODAS AS RESPOSTAS DEVEM VIR ACOMPANHADAS DAS JUSTIFICATIVAS 
Os gráficos devem ser feitos à mão, não será aceito gráfico feito com aplicativo ou com programa computacional 
Questão 1 [0,8 ponto ] Considere a expressão 𝐶(𝑥) = 
√2𝑥+8 + √|𝑥−2|−1
𝑥−√𝑥+12
 , 𝑥 ∈ ℝ . Determine o 
seu domínio. Dê a resposta em forma de intervalo ou união de intervalos disjuntos (intervalos 
disjuntos não têm pontos em comum) 
RESOLUÇÃO: 
As restrições para o domínio 𝐷 são: cada um dos três radicandos deve ser positivo ou nulo e o 
denominador não deve ser nulo. Logo, 
𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ; 2𝑥 + 8 ≥ 0 e |𝑥 − 2| − 1 ≥ 0 e 𝑥 + 12 ≥ 0 e 𝑥 − √𝑥 + 12 ≠ 0}. Resolvendo as 
restrições, 
• 2𝑥 + 8 ≥ 0 ⟺ 2𝑥 ≥ −8 ⟺ 𝑥 ≥ −
8
2
 ⟺ 𝑥 ≥ −4 . 
• |𝑥 − 2| − 1 ≥ 0 ⟺ |𝑥 − 2| ≥ 1 ⟺ 𝑥 − 2 ≤ −1 ou 𝑥 − 2 ≥ 1 ⟺ 
 𝑥 ≤ −1 + 2 ou 𝑥 ≥ 1 + 2 ⟺ 𝑥 ≤ 1 ou 𝑥 ≥ 3 . 
• 𝑥 + 12 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≥ −12 
• 𝑥 − √𝑥 + 12 = 0 ⟺ √𝑥 + 12 = 𝑥 
Para resolver essa equação vamos considerar as restrições que 𝑥 + 12 ≥ 0 e 𝑥 ≥ 0 e aplicar a 
propriedade de elevar ao quadrado os dois lados da equação. No final temos que testar se as soluções 
satisfazem as duas restrições. 
Restrições, 𝑥 + 12 ≥ 0 e 𝑥 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≥ −12 e 𝑥 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≥ 0 
√𝑥 + 12 = 𝑥 ⟹ (√𝑥 + 12)
2
= 𝑥2 ⟺ 𝑥 + 12 = 𝑥2 ⟺ 𝑥2 − 𝑥 − 12 = 0 ⟺ 
𝑥 =
−(−1) ± √(−1)2 − 4 ∙ 1 ∙ (−12)
2 ∙ 1
=
1 ± √1 + 48
2
= 
1 ± √49
2
=
1 ± 7
2
 ⟺ 
 𝑥 =
−6 
2
 ou 𝑥 =
8
2
 ⟺ 𝑥 = −3 ou 𝑥 = 4 
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Como −3 < 0 < 4, temos que 𝑥 = 4 é solução da equação e 𝑥 = −3 não é solução da equação, 
ou seja, 𝑥 − √𝑥 + 12 = 0 ⟺ 𝑥 = 4. 
Logo, 𝑥 − √𝑥 + 12 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ 4. 
Logo, 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ; 𝑥 ≥ −4 e [ 𝑥 ≤ 1 ou 𝑥 ≥ 3] e 𝑥 ≥ −12 e 𝑥 ≠ 4} . 
Como −12 < −4 < 1 < 3 < 4, temos que 
𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ; −4 ≤ 𝑥 ≤ 1 ou 3 ≤ 𝑥 < 4 ou 𝑥 > 4 } = [−4 , 1] ∪ [3 , 4) ∪ (4 , +∞ ). 
_____________________________________________________________________________________ 
Questão 2 [0,8 ponto ] Resolva a inequação |2𝑥 − 1| < |𝑥 − 2|. Dê a resposta em forma de 
intervalo ou união de intervalos disjuntos. Deixe escritas aqui, as contas que você fez para chegar 
na sua solução. 
RESOLUÇÃO: 
Como o módulo de qualquer número real é positivo ou nulo, podemos aplicar a propriedade de elevar ao 
quadrado os dois lados da inequação. Assim, 
|2𝑥 − 1| < |𝑥 − 2| ⟺ |2𝑥 − 1|2 < |𝑥 − 2|2 
(∗)
⇔ (2𝑥 − 1)2 < (𝑥 − 2)2 ⟺ 
4𝑥2 − 4𝑥 + 1 < 𝑥2 − 4𝑥 + 4 ⟺ 4𝑥2 − 𝑥2 < 4 − 1 ⟺ 3𝑥2 < 3 ⟺ 
 𝑥2 < 1 ⟺ √𝑥2 < √1 ⟺ |𝑥| < 1 ⟺ −1 < 𝑥 < 1 . 
(*) aqui usamos |𝑎|2 = 𝑎2 , ∀ 𝑎 ∈ ℝ. 
Portanto, a solução 𝑆 da inequação |2𝑥 − 1| < |𝑥 − 2| é 
 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ; −1 < 𝑥 < 1} = (−1 , 1). 
 
Uma outra forma de resolver: 
|2𝑥 − 1| < |𝑥 − 2| 
Sabemos que: 
|2𝑥 − 1| =
{
 
 
 
 2𝑥 − 1 , 𝑠𝑒 2𝑥 − 1 > 0
0 , 𝑠𝑒 2 𝑥 − 1 = 0
−(2𝑥 − 1), 𝑠𝑒 2𝑥 − 1 < 0
 = 
{
 
 
 
 2𝑥 − 1 , 𝑠𝑒 𝑥 >
1
2
0 , 𝑠𝑒 𝑥 =
1
2
−2𝑥 + 1, 𝑠𝑒 𝑥 <
1
2
 
|𝑥 − 2| = {
𝑥 − 2 , 𝑠𝑒 𝑥 − 2 > 0
0 , 𝑠𝑒 𝑥 − 2 = 0
−(𝑥 − 2), 𝑠𝑒 𝑥 − 2 < 0
 = {
𝑥 − 2 , 𝑠𝑒 𝑥 > 2
0 , 𝑠𝑒 𝑥 = 2
−𝑥 + 2, 𝑠𝑒 𝑥 < 2
 
 
AD1-Parte 1 – 2020-1 Pré-Cálculo Página 3 de 9 
 
 
Assim, 
|2𝑥 − 1| < |𝑥 − 2| ⇒ 
{
 
 
 
 −2𝑥 + 1 < −𝑥 + 2 , 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 
1
2
2𝑥 − 1 < −𝑥 + 2 , 𝑠𝑒 
1
2
< 𝑥 < 2
2𝑥 − 1 < 𝑥 − 2 , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 2
 ⇒ 
Então vamos resolver as três inequações acima: 
(1) Se 𝑥 ≤
1
2
 ,−2𝑥 + 1 < −𝑥 + 2 ⇔ 𝑥 ≤
1
2
 e −𝑥 < 1 ⇔ 𝑥 ≤
1
2
 e 𝑥 > −1 
⇔ −1 < 𝑥 ≤
1
2
 . A solução de (1) é 𝑆1 = (−1 ,
1
2
] 
(2) Se 
1
2
< 𝑥 < 2 , 2𝑥 − 1 < −𝑥 + 2 ⇔ 
1
2
< 𝑥 < 2 e 3𝑥 − 3 < 0 ⇔ 
 
1
2
< 𝑥 < 2 e 𝑥 < 1 ⇔ 
1
2
< 𝑥 < 1 . A solução de (2) é 𝑆2 = (
1
2
, 1) 
(3) Se 𝑥 ≥ 2 , 𝑥 + 1 < 0 ⇔ 𝑥 ≥ 2 e 𝑥 < −1 . A solução de (2) é 𝑆3 = ∅ 
A solução final é: 
 S = 𝑆1 ∪ 𝑆2 ∪ 𝑆3 = (−1 ,
1
2
] ∪ (
1
2
, 1) ∪ ∅ = (−1 , 1) 
_____________________________________________________________________________________ 
 
Questão 3 [2,0 pontos] Considere 𝑥 ∈ ℝ e os trinômios 𝐴(𝑥) = −2𝑥2 +
16
3
𝑥 + 2 e 𝐵(𝑥) = 𝑥2 −
2
3
𝑥 −
1
3
. 
(a) Considere o trinômio 𝐴(𝑥) = −2𝑥2 +
16
3
𝑥 + 2 . Utilizando completamento de quadrados, 
escreva este trinômio na forma canônica. A partir dessa forma canônica encontre o vértice da 
parábola, que é o gráfico desse trinômio e as raízes desse trinômio, ou seja, encontre os valores de 
𝑥 para os quais 𝐴(𝑥) = 0. Justifique suas respostas apresentando as contas feitas para essa 
resolução. Dê a concavidade da parábola. Justifique. Encontre a interseção dessa parábola com o 
eixo 𝒚. 
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Atenção: a questão só será pontuada se o vértice for encontrado por completamento de 
quadrado e as raízes forem encontradas e justificadas através da forma canônica. 
(b) Encontre as raízes do trinômio 𝐵(𝑥) = 𝑥2 −
2
3
𝑥 −
1
3
 , se existirem. Encontre o vértice, a interseção 
dessa parábola com o eixo 𝒚. Dê a concavidade da parábola. Justifique a concavidade. 
(c) Esboce o gráfico de 𝐴(𝑥) e o gráfico de 𝐵(𝑥) em um mesmo par de eixos coordenados. Identifique 
cada gráfico, escrevendo em cada um deles os pontos pedidos nos itens anteriores. 
(d) Determine os valores de 𝑥 em que as parábolas se cortam. Observando os gráficos, encontre os 
intervalos do eixo 𝑥 em que o gráfico de 𝑨(𝒙) ) está situado abaixo do gráfico de 𝑩(𝒙). Dê a 
resposta na forma de intervalo ou união de intervalos disjuntos. 
RESOLUÇÃO: 
(a) Forma canônica 
Completando o quadrado: 
𝐴(𝑥) = −2𝑥2 +
16
3
𝑥 + 2 = −2 (𝑥2 −
16
2∙3
𝑥)+ 2 = −2 (𝑥2 −
8
3
𝑥)+ 2 = −2 (𝑥2 − 2 ∙
4
3
𝑥 +
16
9
−
16
9
)+ 2 
= −2(𝑥2 − 2 ∙
4
3
𝑥 +
16
9
) + 2 ∙
16
9
+ 2 = −2(𝑥 −
4
3
)
2
+
50
9
. 
Vértice 
𝑉(𝑥𝑉, 𝑦𝑉) = (ℎ, 𝑘) e pela expressão na forma canônica, ℎ =
4
3
 e 𝑘 =
50
9
 . Logo 𝑉 (
4
3
 ,
50
9
). 
Concavidade 
Como o coeficiente do termo 𝑥2 é 𝑎 = −2 < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo. 
Encontrando os valores de 𝒙 para os quais 𝑨(𝒙) = 𝟎, ou seja, os pontos de interseção com o eixo 𝒙. 
𝐴(𝑥) = −2𝑥2 + 6𝑥 − 4 = −2 (𝑥 −
4
3
)
2
+
50
9
= 0 ⟺ (𝑥 −
4
3
)
2
=
50
2∙9
 ⟺ (𝑥 −
4
3
)
2
=
25
9
 
 √ (𝑥 −
4
3
)
2
= √
25
9
 ⟺ |𝑥 −
4
3
| =
5
3
 ⟺ 𝑥 −
4
3
= −
5
3
 ou 𝑥 −
4
3
= +
5
3
 ⟺ 
 𝑥 =
4
3
−
5
3
= −
1
3
 ou 𝑥 =
4
3
+
5
3
=
9
3
 = 3 
Portanto as raízes de 𝐴(𝑥) são 𝑥 = −
1
3
 e 𝑥 = 3 . 
Interseção com o eixo 𝒚 : 
Fazendo 𝑥 = 0 temos 𝑦 = 𝐴( 0) = −2 ∙ 02 +
16
3
. 0 + 2 = 2. Logo a interseção com o eixo 𝑦 é: (0 ,2). 
_____________________________________________________________________________________ 
(b) Consideremos 𝐵(𝑥) = 𝑥2 −
2
3
𝑥 −
1
3
 
Usando Baskara para encontrar as raízes de 𝐵(𝑥) : 
 𝑥2 −
2
3
𝑥 −
1
3
= 0 ⟺ 𝑥 =
− (−
2
3
) ± √(−
2
3
)
2
− 4 ∙ 1 ∙ (−
1
3
)
2 ∙ 1
=
2
3
±√
4
9
+
4
3
2
=
2
3
±√
16
9
2
=
2
3
±
4
3
2
 
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 ⟺ 𝑥 =
2
3
−
4
3
 
2
 ou 𝑥 =
2
3
+
4
3
 
2
 ⟺ 𝑥 =
−
2
32
 ou 𝑥 =
6
3
 
2
 ⟺ 𝑥 = −
1 
3
 ou 𝑥 = 1 
Portanto as raízes de 𝐵(𝑥) são 𝑥 = −
1 
3
 e 𝑥 = 1 . 
Vértice 
Vamos calcular o 𝑥𝑉 do vértice como o ponto médio entre as raízes: 
𝑥𝑉 =
−
1 
3 + 1 
2
 = 
−1 + 3 
3 
2
 =
2 
3 
2
= 
1 
3
 
Substituindo 𝑥𝑉 = 
1 
3
 em 𝐵(𝑥) = 𝑥2 −
2
3
𝑥 −
1
3
 , obtemos 𝑦𝑉 : 
 𝑦𝑉 = (
 1 
3
)
2
−
2
3
∙
 1 
3
−
 1 
3
= 
 1 
9
−
 2 
9
 −
 1 
3
=
 1 − 2 − 3 
9
= −
 4 
9
 
Logo, 𝑉(𝑥𝑉, 𝑦𝑉) = (
1 
3
 , −
 4 
9
). 
Concavidade 
Como o coeficiente do termo 𝑥2 é 𝑎 = 1 > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima. 
Interseção com o eixo 𝒚 : 
Fazendo 𝑥 = 0 em 𝐵(𝑥) = 𝑥2 −
2
3
𝑥 −
1
3
 temos 𝐵(𝑥) = 02 + −
2
3
. 0 −
1
3
 = −
1
3
 . Logo a interseção com o 
eixo 𝑦 é: (0 ,−
1
3
). 
(c) 
 
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(d) Determinando os pontos em que as parábolas se cortam. 
Temos que resolver a equação −2𝑥2 +
16
3
𝑥 + 2 = 𝑥2 −
2
3
𝑥 −
1
3
 . 
−2𝑥2 +
16
3
𝑥 + 2 = 𝑥2 −
2
3
𝑥 −
1
3
 ⟺ 2𝑥2 + 𝑥2 −
2
3
𝑥 −
16
3
𝑥 −
1
3
− 2 = 0 ⟺ 
 3𝑥2 −
18
3
𝑥 −
7
3
= 0 ⟺ 3𝑥2 − 6𝑥 −
7
3
= 0 
Usando Baskaha para encontrar as raízes do trinômio 𝐸(𝑥) = 3𝑥2 − 6𝑥 −
7
3
 : 
 3𝑥2 − 6𝑥 −
7
3
 = 0 ⟺ 𝑥 =
−(−6) ± √(−6)2 − 4 ∙ 3 ∙ (−
7
3
)
2 ∙ 3
=
6± √36+ 28
6
=
6± √64
6
=
6± 8
6
 
 ⟺ 𝑥 =
6−8
6
 ou 𝑥 = 
6+8
6
 ⟺ 𝑥 = −
 2 
6
= −
 1 
3
 ou 𝑥 =
 14 
6
=
 7 
3
 . 
Substituindo 𝑥 = −
 1 
3
 em 𝐵(𝑥) = 𝑥2 −
2
3
𝑥 −
1
3
 temos: 
 𝐵 (−
 1 
3
) = (−
 1 
3
)
2
−
2
3
∙ (−
 1 
3
) −
1
3
= 
 1 
9
+
 2 
9
 −
1
3
=
 1 + 2 − 3 
9
=
 0 
9
= 0 
Logo, um ponto de interseção das duas parábolas é (−
 1 
3
, 0). 
Substituindo 𝑥 =
 7 
3
 em 𝐵(𝑥) = 𝑥2 −
2
3
𝑥 −
1
3
 temos: 
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 𝐵 (
 7 
3
) = (
 7 
3
)
2
−
2
3
∙ (
 7 
3
) −
1
3
= 
 49 
9
−
 14 
9
 −
1
3
=
 49 − 14 − 3 
9
=
 32 
9
 
Logo, o outro ponto de interseção das duas parábolas é (
 7 
3
,
 32 
9
). 
Observe que já marcamos esses pontos no gráfico do item (c). 
Observando os gráficos, vemos que o gráfico de 𝐴(𝑥) ) está situado abaixo do gráfico de 𝐵(𝑥) em 
(−∞,−
1
3
 ) ∪ (
7
3
,∞) 
_____________________________________________________________________________________ 
Questão 4[1,4 ponto] Considere 𝑥 ∈ ℝ e o polinômio 𝑝(𝑥) = 12𝑥4 − 16𝑥3 − 17𝑥2 + 𝑥 + 2. 
(a) Este polinômio tem uma raiz inteira. Encontre essa raiz inteira. 
(b) Encontre todas as raízes reais de 𝑝(𝑥). 
(c) Fatore o polinômio 𝑝(𝑥) . 
(d) Usando a fatoração de 𝑝(𝑥), analise o seu sinal. 
RESOLUÇÃO: 
(a) As possíveis raízes inteiras são os divisores de 2 (o termo independente), que são 1;−1; 2; −2. 
Para testar qual é a raiz, vamos considerar qual 𝑥 é um desses valores, devemos substituir em 𝑝(𝑥) e 
verificar se 𝑝(𝑥) = 0. 
Se 𝑥 = 1: 𝑝(1) = 12 ∙ 14 − 16 ∙ 13 − 17 ∙ 12 + 1 + 2 = 12 − 16 − 17 + 1 + 2 = 
= 15 − 33 = −18 ≠ 0. Logo 1 não é raiz de 𝑝(𝑥). 
Se 𝑥 = −1: 𝑝(−1) = 12 ∙ (−1)4 − 16 ∙ (−1)3 − 17 ∙ (−1)2 − 1 + 2 = 
12 + 16 − 17 − 1 + 2 = 30 − 18 = 12 ≠ 0. Logo −1 não é raiz de 𝑝(𝑥). 
Se 𝑥 = 2: 𝑝(2) = 12 ∙ 24 − 16 ∙ 23 − 17 ∙ 22 + 2 + 2 = 
 12 ∙ 16 − 16 ∙ 8 − 17 ∙ 4 + 2 + 2 = 192 − 128 − 68 + 2 + 2 = 196 − 196 = 0 
Logo 𝑥 = 2 é uma raiz inteira de 𝑝(𝑥). 
Vamos verificar se 𝑥 = −2 é outra raiz inteira de 𝑝(𝑥) . Vamos calcular 𝑝(−2): 
𝑝(−2) = 12 ∙ (−2)4 − 16 ∙ (−2)3 − 17 ∙ (−2)2 − 2 + 2 = 
 12 ∙ 16 + 16 ∙ 8 − 17 ∙ 4 − 2 + 2 = 192 + 128 − 68 = 252 
Logo 𝑥 = −2 não é uma raiz inteira de 𝑝(𝑥). 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
(b) As possíveis raízes racionais não inteiras são os divisores de 2 (termo independente) divididos pelos 
divisores de 12 (coeficiente do termo de maior grau, que é 4). 
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Começando a verificar pelos mais simples, 
Se 𝑥 =
1
2
: 𝑝 (
1
2
) = 12 ∙ (
1
2
)
4
− 16 ∙ (
1
2
)
3
− 17 ∙ (
1
2
)
2
+
1
2
+ 2 =
12
16
−
16
8
−
17
4
+
1
2
+ 2 = 
=
 3 
4
− 2 −
17
4
+
1
2
+ 2 =
3−8−17+2+8
4
 = 
 13 −25 
4
 =
−12 
4
≠ 0. 
Logo 
1
2
 não é raiz racional não inteira de 𝑝(𝑥). 
Se 𝑥 = −
1
2
: 𝑝 (−
1
2
) = 12 ∙ (−
1
2
)
4
− 16 ∙ (−
1
2
)
3
− 17 ∙ (−
1
2
)
2
−
1
2
+ 2 =
12
16
+
16
8
−
17
4
−
1
2
+ 2 = 
=
 3 
4
+ 2 −
17
4
−
1
2
+ 2 =
3+8−17−2+8
4
= 
19−19 
4
 =
0 
4
= 0. 
Logo −
1
2
 é uma raiz racional não inteira de 𝑝(𝑥). 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
(c) Sabemos que se 𝑥 = 2 e 𝑥 = −
1
2
 são raízes de 𝑝(𝑥) então 𝑝(𝑥) é divisível por (𝑥 − 2) e por (𝑥 +
1
2
). 
Vamos usar Briot-Ruffini para dividir por (𝑥 − 2) e em seguida por (𝑥 +
1
2
). 
 12 −16 −17 1 2 
2 12 
12 ∙ 2 − 16 
= 8 
8 ∙ 2 − 17 
= −1 
−1 ∙ 2 + 1 
= −1 
−1 ∙ 2 + 2 
= 0 
−
1
2
 12 
12 ∙ (−
1
2
) + 8 
= 2 
2 ∙ (−
1
2
) − 1 
= −2 
−2 ∙ (−
1
2
) − 1 
= 0 
 
 
Logo, 𝑝(𝑥) = 12𝑥4 − 16𝑥3 − 17𝑥2 + 𝑥 + 2 = (𝑥 − 2) (𝑥 +
1
2
) (12𝑥2 + 2𝑥 − 2). 
Encontrando as raízes do trinômio 𝑞(𝑥) = 12𝑥2 + 2𝑥 − 2, que também serão raízes de 𝑝(𝑥), 
12𝑥2 + 2𝑥 − 2 = 0 ⟺ 6𝑥2 + 𝑥 − 1 = 0 ⟺ 𝑥 =
−1±√12−4∙6∙(−1)
12
=
−1±5
12
= {
−6 
12
= −
1
2
4
12
=
1
3
 
Portanto, as raízes reais de 𝑝(𝑥) são: 𝑥1 = 2; 𝑥2 = 𝑥3 = −
1
2
 (raiz dupla) e 𝑥4 =
1
3
. 
Portanto, 𝑝(𝑥) = 12 (𝑥 +
1
2
) (𝑥 +
1
2
) (𝑥 −
1
3
) (𝑥 − 2) = 12 (𝑥 +
1
2
)
2
(𝑥 −
1
3
) (𝑥 − 2) = 
= 3(2𝑥 + 1)(2𝑥 + 1) (𝑥 −
1
3
) (𝑥 − 2) = (2𝑥 + 1)(2𝑥 + 1)(3𝑥 − 1)(𝑥 − 2) = 
= (2𝑥 + 1)2(3𝑥 − 1)(𝑥 − 2) = 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
(d) Vamos usar tabela para auxiliar na análise de sinal de 𝑝(𝑥). 
 (−∞,−
1
2
) −
1
2
 (−
1
2
,
1
3
) 
1
3
 (
1
3
, 2) 2 (2,∞) 
(2𝑥 + 1)2 + 0 + + + + + 
AD1-Parte 1 – 2020-1 Pré-Cálculo Página 9 de 9 
3𝑥 − 1 − − − 0 + + + 
𝑥 − 2 − − − − − 0 + 
𝑝(𝑥) + 0 + 0 − 0 + 
 
Concluindo a análise de sinal de 𝑝(𝑥): 
𝑝(𝑥) = 0 se e só se 𝑥 = −
1
2
 ou 𝑥 =
1
3
 ou 𝑥 = 2. 
𝑝(𝑥) > 0 se e só se 𝑥 < −
1
2
 ou −
1
2
< 𝑥 <
1
3
 ou x > 2 
𝑝(𝑥) < 0 se e só se 
1
3
< 𝑥 < 2