PC_2020-1_APX1_GABARITO

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AP1-GABARITO – 2020-1 Pré-Cálculo 1 de 7 
 
DISCIPLINA PRÉ-CÁLCULO 2020-1 
 Profa. Maria Lúcia Campos 
Profa. Marlene Dieguez 
GABARITO DA APX1 
 
Questão 1 [2,2 pontos] Considere o polinômio 𝑝(𝑥) = 12𝑥3 − 4𝑥2 − 3𝑥 + 1 e a seguinte 
informação: o polinômio não possui raiz racional inteira. 
 
(1.a) [0,8 ponto] Determine uma raiz racional não inteira de 𝑝(𝑥). A seguir, se possível, encontre 
as outras raízes reais de 𝑝(𝑥). 
(1.b) [1,4 ponto] Usando a resposta da questão 1, fatore em ℝ o polinômio 𝑝(𝑥) e analise o seu 
sinal. 
Lembre que fatorar em ℝ um polinômio significa escrever o polinômio como produto de fatores lineares 
(tipo 𝑎𝑥 + 𝑏) e/ou fatores quadráticos irredutíveis (tipo 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, que não possui raízes reais). 
Lembre que analisar o sinal de uma expressão 𝐸(𝑥) na variável real 𝑥 significa responder para que valores 
reais de 𝑥 , 𝐸(𝑥) = 0 , 𝐸(𝑥) > 0 𝑒 𝐸(𝑥) < 0 . 
 
(1.a) RESOLUÇÃO: 
Como 𝑝(𝑥) não possui raízes inteiras vamos verificar se possui raízes racionais não inteiras. As 
possíveis raízes racionais não inteiras são os divisores de 1 (termo independente) divididos pelos 
divisores de 12 (coeficiente do termo de maior grau, que é 3). 
Começando a verificar pelos mais simples, vamos começar com 𝑥 =
1
2
. 
𝑝 (
1
2
) = 12 (
1
2
)
3
− 4(
1
2
)
2
− 3(
1
2
) + 1 =
12
8
−
4
4
−
3
2
+ 1 =
3
2
− 1 −
3
2
+ 1 = 0, 
logo 𝑥 =
1
2
 é raiz de 𝑝(𝑥). 
Para encontrar as outras raízes podemos dividir 𝑝(𝑥) por (𝑥 − 
1
2
), usando Briot-Ruffini. 
 12 −4 −3 1 
1
2
 12 12 ∙
1
2
− 4 = 2 2 ∙
1
2
− 3 = −2 −2 ∙
1
2
+ 1 = 0 
Logo, 𝑝(𝑥) = 12𝑥3 − 4𝑥2 − 3𝑥 + 1 = (𝑥 −
1
2
) (12𝑥2 + 2𝑥 − 2). 
Encontrando as raízes desse trinômio de segundo grau, que também serão raízes de 𝑝(𝑥), 
12𝑥2 + 2𝑥 − 2 = 0 ⟺ 6𝑥2 + 𝑥 − 1 = 0 ⟺ 𝑥 =
−1±√1−4∙6∙(−1)
12
=
−1±5
12
= {
4
12
=
1
3
−6
12
= −
1
2
 
Portando as três raízes de 𝑝(𝑥) são distintas e são: 
𝑥 =
1
2
 ou 𝑥 = −
1
2
 ou 𝑥 =
1
3
 
AP1-GABARITO – 2020-1 Pré-Cálculo 2 de 7 
Observação: poderíamos ter encontrado essas três raízes de outras formas, por exemplo testando 
se as possíveis raízes eram de fato raízes de 𝑝(𝑥) , se satisfaziam 𝑝(𝑥) = 0, ou tendo encontrado 
primeiro a raiz 𝑥 = −
1
2
 e aplicado o mesmo procedimento para encontrar as outras duas raízes, ou 
ainda, idem se encontrar primeiro 𝑥 =
1
3
. 
 
(1.b) RESOLUÇÃO: 
Fatoração: 
Esse polinômio pode ser escrito como produto do coeficiente de maior grau, que é igual a 12, e dos 
fatores (𝑥 −
1
2
) ; (𝑥 − (−
1
2
)) = (𝑥 +
1
2
) e (𝑥 −
1
3
), ou seja, 
𝑝(𝑥) = 12𝑥3 − 4𝑥2 − 3𝑥 + 1 = 12 = 12 (𝑥 −
1
2
) (𝑥 +
1
2
) (𝑥 −
1
3
). 
Como 12 = 2 ∙ 2 ∙ 3, podemos simplificar o produto acima e a fatoração de 𝑝(𝑥) é: 
𝑝(𝑥) = 2 ∙ 2 ∙ 3 (𝑥 −
1
2
) (𝑥 +
1
2
) (𝑥 −
1
3
) = (2𝑥 − 1)(2𝑥 + 1)(3𝑥 − 1). 
Análise de sinal 
Vamos usar a tabela abaixo para auxiliar a análise de sinal. 
 (−∞,−
1
2
) −
1
2
 (−
1
2
 ,
1
3
) 
1
3
 (
1
3
 ,
1
2
) 
1
2
 (
1
2
 , ∞) 
2𝑥 − 1 − − − − − 0 + 
2𝑥 + 1 − 0 + + + + + 
3𝑥 − 1 − − − 0 + + + 
𝑝(𝑥) − 0 + 0 − 0 + 
Concluindo a análise de sinal de 𝑝(𝑥): 
𝑝(𝑥) = 0 se e só se 𝑥 =
1
2
 ou 𝑥 = −
1
2
 ou 𝑥 =
1
3
. 
𝑝(𝑥) > 0 se e só se −
1
2
< 𝑥 <
1
3
 ou 𝑥 >
1
2
. Em intervalos, 𝑥 ∈ (−
1
2
 ,
1
3
) ∪ (
1
2
 , ∞). 
𝑝(𝑥) < 0 se e só se 𝑥 < −
1
2
 ou 
1
3
< 𝑥 <
1
2
. Em intervalos, 𝑥 ∈ (−∞,−
1
2
) ∪ (
1
3
 ,
1
2
). 
 
Questão 2 [2,8 pontos] Considere o trinômio 𝑇(𝑥) = 16 − 𝑥2 e a função 𝐹(𝑥) =
3−𝑥
√16−𝑥2 
. 
 
(2.a) [1,0 ponto] Analise o sinal de 𝑇(𝑥) e determine o domínio da função 𝐹(𝑥) =
3−𝑥
√16−𝑥2 
. 
(2.b) [1,0 ponto] Analise o sinal da função 𝐹(𝑥) =
3−𝑥
√16−𝑥2 
. 
(2.c) [0,8 ponto] Considerando que 𝐺(𝑥) = 𝑥2 − 2, calcule, se possível ou justifique, se não for 
possível calcular, os seguintes valores: (i) (𝐹 ∘ 𝐺)(0) (ii) (𝐺 ∘ 𝐹)(5).. 
 
(2.a) RESOLUÇÃO: 
Sinal de 𝑻(𝒙) 
𝑇(𝑥) = 16 − 𝑥2 = 0 ⟺ 𝑥2 = 16 ⟺ 𝑥 = −4 𝑜𝑢 𝑥 = 4. 
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Para auxiliar vamos usar o gráfico de 𝑇(𝑥), que é uma parábola com concavidade para baixo e as 
raízes são −4 e 4. Concluindo, 
𝑇(𝑥) = 0 se e só se 𝑥 = −4 ou 𝑥 = 4. 
𝑇(𝑥) > 0 se e só se −4 < 𝑥 < 4. 
𝑇(𝑥) < 0 se e só se 𝑥 < −4 ou 𝑥 > 4. 
Domínio de 𝑭(𝒙) 
As restrições são: radicando positivo ou nulo, ou seja, 16−𝑥2 ≥ 0 
 denominador não nulo, ou seja, √16 − 𝑥2 ≠ 0. 
Como √16 − 𝑥2 ≠ 0 ⟺ 16 − 𝑥2 ≠ 0 , então as restrições podem resumidas em 16 − 𝑥2 > 0. 
Pela análise de sinal de 𝑇(𝑥), 16 − 𝑥2 > 0 se e só se −4 < 𝑥 < 4. 
Portanto, o domínio da função 𝐹(𝑥) é 
𝐷𝑜𝑚(𝐹) = {𝑥 ∈ ℝ; −4 < 𝑥 < 4} = (−4, 4). 
 
(2.b) RESOLUÇÃO: 
Vamos usar a tabela de sinais para auxiliar na análise do sinal de 𝐹(𝑥). Essa tabela só conterá os 
valores de 𝑥 que estão no domínio dessa função, determinado na questão anterior. 
No sinal do denominador, sabemos que √16 − 𝑥2 > 0 para todo 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝐹) = (−4, 4). 
Sinal do numerador: 
3 − 𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 = 3 
3 − 𝑥 > 0 ⟺ 3 > 𝑥 ⟺ 𝑥 < 3 
3 − 𝑥 < 0 ⟺ 3 < 𝑥 ⟺ 𝑥 > 3 
 (−4, 3) 3 (3, 4) 
3 − 𝑥 + 0 − 
√16 − 𝑥2 + + + 
3−𝑥
√16−𝑥2 
 + 0 − 
 
Concluindo o sinal de 𝐹(𝑥): 
𝐹(𝑥) = 0 se e só se 𝑥 = 3. 
𝐹(𝑥) > 0 se e só se −4 < 𝑥 < 3. Em intervalo: 𝑥 ∈ (−4, 3). 
𝐹(𝑥) < 0 se e só se 3 < 𝑥 < 4. Em intervalo: 𝑥 ∈ (3, 4). 
 
(2.c) RESOLUÇÃO: 
(i) (𝐹 ∘ 𝐺)(0) = 𝐹(𝐺(0)) e 𝐺(0) = 0 − 2 = −2. 
Logo 𝐹(𝐺(0)) = 𝐹(−2) =
3−(−2)
√16−4
=
5
√12
. 
(ii) (𝐺 ∘ 𝐹)(5) = 𝐺(𝐹(5)). Como 5 não está no domínio de 𝐹(𝑥), não é possível calcular 𝐹(5) e, 
consequentemente, não é possível calcular 𝐺(𝐹(5)). 
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Observação: se o aluno não perceber que 5 não está no domínio de 𝐹(𝑥) e tentar calcular 𝐹(5) 
encontrará 𝐹(5) =
3−5
√16−25
=
−2
√−9
 e verá que não é possível calcular 𝐹(5), pois não existe raiz 
quadrada de número negativo. 
 
Questão 3 [1,9 ponto] Considere a função quadrática 𝑓(𝑥) = −𝑥2 − 2𝑥 + 3 . 
 
(3.a) [0,7 ponto] O gráfico da função quadrática 𝑓(𝑥) = −𝑥2 − 2𝑥 + 3 é uma parábola. 
Utilizando completamento de quadrados, escreva a função quadrática 𝑓(𝑥) = −𝑥2 − 2𝑥 + 3 na 
forma canônica. A partir dessa forma encontre o vértice dessa parábola. Justifique suas respostas 
apresentando as contas feitas para essa resolução. Dê a concavidade da parábola. Justifique. 
Atenção: a questão só será pontuada se o vértice for encontrado e justificado através da forma 
canônica. Lembre que a forma canônica de uma função quadrática é 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘 , onde 
𝑎 , ℎ , 𝑘 são constantes reais. 
(3.b) [1,2 ponto] Encontre os valores de 𝑥 para os quais 𝑓(𝑥) = 0 . Esboce o gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥). 
Indique no gráfico, através das suas coordenadas, o vértice dessa parábola e os pontos onde a 
parábola corta os eixos coordenados. Justifique o seu gráfico. A função 𝑓 é inversível? Justifique! 
Você pode usar o gráfico da função 𝑓 para a sua justificativa. 
 
(3.a) RESOLUÇÃO: 
Forma canônica 
Completando o quadrado: 
𝑓(𝑥) = −𝑥2 − 2𝑥 + 3 = −(𝑥2 + 2𝑥) + 3 = −(𝑥2 + 2 ∙ 1 ∙ 𝑥 + 1 − 1) + 3 = 
= −(𝑥2 + 2 ∙ 1 ∙ 𝑥 + 1) + 1 + 3 = −(𝑥 + 1)2 + 4. 
Vértice 
𝑉(𝑥𝑉, 𝑦𝑉) = (ℎ, 𝑘) e pela equação na forma canônica, ℎ = −1 e 𝑘 = 4 . Logo 𝑉(−1 , 4). 
Concavidade 
Como o coeficiente do termo 𝑥2 é 𝑎 = −1 < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo. 
 
(3.b) RESOLUÇÃO: 
Encontrando os valores de 𝒙 para os quais 𝒇(𝒙) = 𝟎 : 
𝑓(𝑥) = −(𝑥 + 1)2 + 4 = 0 ⟺ (𝑥 + 1)2 = 4 ⟺ (𝑥 + 1)2 = 4 ⟺ 
 𝑥 + 1 = ±2 ⟺ 𝑥 = −1 ± 2 ⟺ 𝑥 = −3 ou 𝑥 = 1 . 
Portanto, as raízes de 𝑦 = 𝑓(𝑥) são 𝑥 = −3e 𝑥 = 1. 
Atenção: essas raízes também podem ser encontradas usando a Fórmula de Bhaskara 
−𝑥2 − 2𝑥 + 3 = 0 ⟺ 
−(−2)±√(−2)2−4.(−1).3
2.(−1)
 = 
2±√4+12 
−2
 = 
2±√16 
−2
 = 
AP1-GABARITO – 2020-1 Pré-Cálculo 5 de 7 
2±4 
−2
 . Portanto, 𝑥 =
2+4 
−2
= −3 ou 𝑥 =
2−4 
−2
= 1. 
Interseção com o eixo 𝒚 : 
Fazendo 𝑥 = 0 temos 𝑦 = −02 − 2.0 + 3 = 3. Logo a interseção com o eixo 𝑦 é: (0 ,3). 
Este é o gráfico de uma parábola de concavidade voltada 
para baixo, de raízes 𝑥 = −3 e 𝑥 = 1 , vértice no 
ponto 𝑉(−1 , 4) e interseção com o eixo 𝑦 no ponto 
(0 ,3). 
 
 
 
 
 
A função 𝑓(𝑥) = −𝑥2 − 2𝑥 + 3 não é inversível, pois 𝑓 não é uma função injetora no seu 
domínio, que são os reais, basta ver, por exemplo, que 𝑓(−3) = 0 = 𝑓(1). 
 
Questão 4 [3,1 pontos] Considere as funções 
𝑚(𝑥) = |𝑥| e a função 𝑠(𝑥), cujo gráfico é uma 
translação horizontal de 5 unidades para a direita do 
gráfico da função 𝑦 = 𝑚(𝑥) , seguido de uma reflexão 
em torno do eixo 𝑥 e depois de uma translação 
vertical de 3 unidades para cima. 
O gráfico da função 𝑦 = 𝑠(𝑥) está esboçado ao lado. 
 
(4.a) [1,4 ponto] Usando as transformações descritas, escreva a expressão da função 𝑠(𝑥) e 
encontre os pontos 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 , 𝐷 indicados no gráfico da função 𝑠(𝑥). 
(4.b) [1,2 ponto] Observando o gráfico dado da função 𝑠 e os pontos encontrados na questão 
anterior, esboce o gráfico da função ℎ(𝑥) = {
𝑠(−𝑥) , 𝑠𝑒 − 8 ≤ 𝑥 < 0
 𝑠(𝑥) , 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 8
 
Justifique o gráfico! 
Marque no gráfico, através das suas coordenadas, os pontos onde o gráfico da função ℎ corta ou 
toca os eixos coordenados. 
Observando o gráfico da função ℎ, encontre a sua imagem e responda em quais intervalos do 
domínio a função ℎ é decrescente. 
(4.c) [0,5 ponto] Observando o gráfico da função ℎ do exercício anterior, responda: essa função 
é par? É ímpar? Ou nem uma coisa e nem outra? Justifique sua resposta. 
 
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(4.a) RESOLUÇÃO: 
 
 
 
Gráfico da função 𝑚(𝑥) = |𝑥| 
 
 
 
 
𝑚(𝑥) = |𝑥| 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
𝑑𝑒 5 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
⇒ 𝑦 = |𝑥 − 5| 
reflexão em torno
 do eixo 𝑥
⇒ 𝑦 = −|𝑥 − 5| 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑑𝑒 3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
⇒ 𝑠(𝑥) = −|𝑥 − 5| + 3. Logo, 𝑠(𝑥) = −|𝑥 − 5| + 3. 
Os pontos 𝐴 e 𝐵 são os pontos onde o gráfico corta o eixo 𝑥 , ou seja, os pontos onde 𝑦 = 0 : 
0 = −|𝑥 − 5| + 3 ⟺ |𝑥 − 5| = 3 ⟺ 𝑥 − 5 = −3 ou 𝑥 − 5 = 3 ⟺ 𝑥 = 2 ou 𝑥 = 8 
Portanto, 𝐴(2, 0) e 𝐵(8, 0). 
O ponto 𝐷 é o ponto onde o gráfico corta o eixo 𝑦 , ou seja o ponto onde 𝑥 = 0 : 
𝑠(0) = −|0 − 5| + 3 = −5 + 3 = −2. 
Portanto, 𝐷(0, −2). 
Analisando as transformações no 
gráfico da função 𝑚(𝑥) = |𝑥| , que 
levaram ao gráfico da função 𝑠(𝑥) =
−|𝑥 − 5| + 3, vemos que o ponto 𝐶, é o 
ponto 𝐶(5 , 3) , que é o resultado das 
transformações a partir do ponto 𝑂(0 , 0) do gráfico da função 𝑚(𝑥) = |𝑥| . 
 
AP1-GABARITO – 2020-1 Pré-Cálculo 7 de 7 
(4.b) RESOLUÇÃO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
O gráfico da função 𝑦 = 𝑠(−𝑥) para −8 ≤ 𝑥 < 0 é a reflexão em torno do eixo 𝑦 do 
gráfico da função 𝑦 = 𝑠(𝑥) para 0 < 𝑥 ≤ 8, ou seja, a parte do gráfico situado à direita do 
eixo 𝑦 é refletida no eixo 𝑦. 
Observando o gráfico concluímos que 𝐼𝑚(ℎ) = [−2 , 3] e que a função ℎ é decrescente em 
[−5 , 0] ∪ [5 , 8]. 
 
(4.c) RESOLUÇÃO: 
Observando o gráfico da função ℎ , concluímos que essa função é par. O seu domínio, 
Dom(ℎ) = [−8 , 8], é um intervalo simétrico com relação a origem da reta real e o seu gráfico 
é simétrico com relação ao eixo 𝑦 .