2_Conceitos Basicos Mecanica Materiais 2020 2021_9exs

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Folhas de Apoio à unidade curricular Elementos de Máquinas I Conceitos Básicos de Mecânica dos Materiais 
ESTSetúbal/IPS Página MM-1 
 
 
 
Apontamentos Teóricos 
de 
Elementos de Máquinas I: 
Conceitos Básicos de Mecânica dos Materiais 
(Revisões) 
 
 
Autoria: 
Rosa Marat-Mendes 
Atualizado por: 
Mário Alberto Vieira 
 
 
 
2020/2021 
Folhas de Apoio à unidade curricular Elementos de Máquinas I Conceitos Básicos de Mecânica dos Materiais 
ESTSetúbal/IPS Página MM-2 
 
Índice 
 Conceitos Básicos de Mecânica dos Materiais .................................................................... 3 
2.1. Conceito de tensão .............................................................................................................................. 3 
2.1.1. Tração pura .................................................................................................................................................... 3 
2.1.2. Flexão pura .................................................................................................................................................... 4 
2.1.3. Torção pura ................................................................................................................................................... 5 
2.2. Resistência ............................................................................................................................................ 7 
2.3. Coeficiente de segurança ............................................................................................................... 10 
2.4. Critérios de falha ............................................................................................................................... 11 
2.4.1. Critério da tensão de corte máxima (Tresca) ............................................................................... 11 
2.4.2. Critério da energia de distorção (von Mises) ............................................................................... 12 
2.5. Anexo: Tabelas de propriedade mecânicas de alguns aços ............................................... 13 
2.6. Exercícios de Aplicação Propostos ............................................................................................. 16 
 
 
 
 
 
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 Conceitos Básicos de Mecânica dos Materiais 
 
2.1. Conceito de tensão 
Segundo a teoria da mecânica dos sólidos, a tensão 
mecânica é a medida que expressa a distribuição de forças 
por unidade de área em torno de um volume infinitesimal 
dentro de um corpo material. Desta forma, a distribuição de 
forças que atuam num ponto da superfície desse volume 
infinitesimal é única e terá componentes na direção normal e 
tangencial, denominadas respetivamente por tensão normal e 
tensão de corte, indicadas pelos símbolos gregos, 𝜎 e 𝜏, 
respectivamente. 
Desta forma, é possível escrever um tensor das tensões 
que caracterize o estado de tensões num determinado volume: 
𝝈 = [
𝜎11 𝜎12 𝜎13
𝜎21 𝜎22 𝜎23
𝜎31 𝜎32 𝜎33
] ≡ [
𝜎𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧
𝜏𝑦𝑥 𝜎𝑦 𝜏𝑦𝑧
𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑧𝑦 𝜎𝑧
] 
( 2.1 ) 
A unidade em SI para tensão é o pascal (Pa), que é uma medida de força por unidade de área. A unidade 
da tensão é a mesma que a da pressão. Grandezas de engenharia são normalmente medidas em 
megapascal (MPa) ou gigapascal (GPa). 
Sendo as unidades de pascal = [Pa] = [N/m2], [MPa] = 106 [Pa] ou [MPa] = [N/mm2]. 
2.1.1. Tração pura 
A hipótese de uma distribuição de tensões uniforme pode ser, por vezes, considerada em projeto. O 
resultado é normalmente designada por tração pura, flexão pura ou torção pura, dependendo de como a 
carga é aplicada ao corpo em estudo. 
A hipótese de tensão uniforme significa que se cortarmos uma barra numa secção distante das 
extremidades e eliminarmos um bocado, pode-se substituir o seu efeito pela aplicação de uma força 
uniformemente distribuída de magnitude, 𝜎𝐴, à extremidade cortada (Figura 2.2). 
 
Figura 2.1 – Componentes tridimensionais 
da tensão num volume infinitesimal. 
https://pt.wikipedia.org/wiki/For%C3%A7a
https://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internacional_de_Unidades
https://pt.wikipedia.org/wiki/Pascal_(unidade)
https://pt.wikipedia.org/wiki/For%C3%A7a
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81rea
https://pt.wikipedia.org/wiki/Press%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/MPa
https://pt.wikipedia.org/wiki/GPa
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Figura 2.2 - Ensaio de Tração. 
Diz-se então que a tensão é uniformemente distribuída e é dada por: 
𝜎 =
𝐹
𝐴
 ( 2.2 ) 
em que: 
𝜎 – tensão normal ou nominal à tração (letra grega Sigma) [𝑃𝑎]; 
𝐹 – força aplicada [𝑁]; 
𝐴 – área da secção transversal [𝑚2]. 
Se a tensão normal tiver sinal positivo (+) → A tensão diz-se de tração 
Se a tensão normal tiver sinal negativo (-) → A tensão diz-se de compressão 
Exemplo 2.1 
Sabendo que, uma barra retangular com 20𝑚𝑚 × 10𝑚𝑚 de lado, está a ser traccionada por uma força 
de 50𝑘𝑁, a tensão normal de tração exercida na barra é de 25𝑀𝑃𝑎, i.e, 
A tensão máxima que se está a exercer na barra é dada pela equação ( 2.2 ) e sabendo que a área é dada 
por 𝐴 = 𝑙𝑎𝑑𝑜 × 𝑙𝑎𝑑𝑜, vem então: 
𝜎 =
𝐹
𝐴
=
50 × 103
0.020 × 0.010
= 25 × 106 𝑃𝑎 = 25𝑀𝑃𝑎 
 
2.1.2. Flexão pura 
Uma barra submetida à ação de dois conjugados iguais e de sentidos opostos que atuam no mesmo 
plano longitudinal, está a ser sujeita à flexão pura. O eixo 𝑥 é coincidente com o eixo neutro da secção. O 
plano 𝑥𝑧 coincide com o plano neutro. O eixo neutro coincide com o eixo centroidal da secção transversal 
(Figura 2.3). 
 
(a) (b) 
Figura 2.3 - (a) Flexão pura numa viga; (b) Distribuição das tensões de flexão. 
 A tensão de flexão varia linearmente com a distância ao eixo neutro 𝑦 e é dada por: 
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𝜎𝑥 = −
𝑀𝑦
𝐼
 
( 2.3 ) 
em que 𝐼 é o segundo momento de área em torno de 𝑧. 
A tensão é máxima quando 𝑦 tiver a maior distância ao eixo neutro, dessa forma, a tensão de flexão 
máxima é dada por: 
𝜎𝑚𝑎𝑥 =
𝑀𝑐
𝐼
 
( 2.4 ) 
em que: 
𝜎𝑚𝑎𝑥 – tensão normal máxima de flexão (letra grega Sigma) [𝑃𝑎]; 
𝑀 – Momento fletor aplicado [𝑁𝑚]; 
𝐼 – segundo momento de inércia de área [𝑚4]; 
𝑐 – distância máxima ao eixo neutro [𝑚] (para barras submetidas à flexão pura, com secção simétrica nos 
dois eixos, a linha neutra passa pelo centro geométrico da secção enquanto as tensões permanecerem em 
regime elástico). 
Exemplo 2.2 
Numa barra quadrangular com 10𝑚𝑚 de lado, sujeita a um momento fletor de 20𝑁𝑚, a tensão máxima 
de flexão é de 1200𝑀𝑝𝑎, i.e, 
A tensão máxima de flexão que se está a exercer na barra é dada pela equação ( 2.4) e sabendo que o 
momento de Inércia é da dado por 𝐼 =
𝑏ℎ3
12
=
0.010×0.0103
12
= 8.33 × 10−10𝑚4 (Tabela 2.1), vem então: 
𝜎𝑚𝑎𝑥 =
𝑀𝑐
𝐼
=
20 ×
0.010
2
8.33 × 10−10
= 1200𝑀𝑃𝑎 
 
2.1.3. Torção pura 
Torção refere-se à rotação de uma barra quando carregada por momentos (ou torques) que tendem a 
produzir rotação sobre o eixo longitudinal da barra (Figura 2.4(a)). Num veio sujeito à ação de dois 
momentos de torção ou torque representados por 𝑀𝑡 ou 𝑇, os dois momentos de torção têm sentidos 
opostos e a mesma intensidade podendo ser representados por setas curvas ou setas de vetores de torção 
ao longo dos eixos de torção da barra (Figura 2.4(b)). Os vetores são setas que obedecem à regra da mão 
direita. 
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(a) (b) 
Figura 2.4 – (a) Torção de uma chave de fenda devido a um torque 𝑇 aplicado no cabo; (b) Modo de 
representação do Momento de torção ou Torque. 
A tensão de torção em veios é dada pela equação ( 2.5 ), sabendo que terá de obedecer às seguintes 
condições: 
• todas as seções transversais permanecem planas e circulares e todos os raios permanecem retos; 
• o ângulo de rotação entre uma extremidade da barra e outra é pequeno, nem o comprimento da 
barra e nem o seu raio irão variar. 
𝜏𝑚𝑎𝑥 =
𝑀𝑡 𝑐
𝐽
 
( 2.5 ) 
em que: 
𝜏𝑚𝑎𝑥 – tensão de torção máxima (letra grega Tau) [𝑃𝑎]; 
𝑀𝑡 ou 𝑇 – momento de torção ou torque aplicado [𝑁𝑚]; 
𝐽 – segundo momento polar de inércia de área [𝑚4]; 
𝑐 – distância máxima ao eixo neutro [𝑚] (para veios submetidos à torção pura, a linha neutra passa pelo 
centro geométrico da secção, logo 𝑐 = 𝑟𝑎𝑖𝑜). 
Exemplo 2.2 
Num veio com um diâmetro de 10𝑚𝑚 e um momento torçor aplicado de 20𝑁𝑚, a tensão de corte 
máxima aplicada ao veio é de 12.73𝑀𝑃𝑎, i.e., 
A tensão de corte máxima que está a ser exercido ao veio é dada pela equação ( 2.5 ), 𝜏𝑚𝑎𝑥 =
𝑀𝑡𝑐
𝐽
 , e 
sabendo que o momento polar de Inércia é da dado por 𝐽 =
1
2
𝜋𝑟4 =
1
2
𝜋 × (0.05)4 = 9.82 × 10−6𝑚4 (Tabela 
2.1), vem então: 
𝜏𝑚𝑎𝑥 =
𝑀𝑡𝑐
𝐽
=
20 ×
0.010
2
9.82 × 10−6
= 10,18 𝑘𝑃𝑎 
Salete Souza de Oliveira Buffoni 1
 - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE 
ESCOLA DE ENGENHARIA INDUSTRIAL METALÚRGICA DE VOLTA REDONDA 
SALETE SOUZA DE OLIVEIRA BUFFONI RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
Torção 
 
Definições: 
Torção se refere ao giro de uma barra retilínea quando carregada por momentos (ou 
torques) que tendem a produzir rotação sobre o eixo longitudinal da barra. 
Veja a Figura 1. 
 
Figura 1 – Torção de uma chave de fenda devido a um torque T aplicado no cabo. 
 
Exemplos de barras em torção: Hastes, eixos, eixos propulsores, hastes de direção e 
brocas de furadeiras. Caso idealizado do carregamento de torção 
Salete Souza de Oliveira Buffoni 2
 
Figura 2- Barra submetida à torção pelo torque T1 e T2. 
 
Momentos que produzem giro na barra, como os momentos T1 e T2 da Figura 2, são 
chamados de torques ou momentos torçores. 
 
Membros cilíndricos submetidos a torques e que transmitem potência através de rotação 
são chamados de eixos. 
 
Ex: o girabrequim de um automóvel ou o eixo propulsor de um navio. A maioria dos 
eixos tem seções transversais circulares,sólidas ou tubulares 
 
Objetivo: 
• Desenvolver fórmulas para as deformações e tensões em barras circulares 
submetidas à torção. 
• Analisar o estado de tensão conhecido como cisalhamento puro e obtemos a 
relaçào entre os módulos de elasticidade E e G em tração e cisalhamento, 
respectivamente. 
• Análise de eixos de rotação e determinação da potência que eles transmitem. 
 
 
 
 
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Tabela 2.1 – Segundos momentos de área de superfícies com formas geométricas usuais. 
 
 
2.2. Resistência 
Resistência é uma propriedade de um material ou de um elemento mecânico. A resistência de um 
elemento depende da escolha, do tratamento e do processo de fabrico do material. Tensão é algo que 
acontece a uma peça devido à aplicação de uma força, mas resistência é uma propriedade inerente à peça 
devido ao uso de certo material e determinado processo de fabrico. 
Muitas das resistências estáticas dependem da informação obtida através de ensaios de tração 
padronizados. Estes ensaios utilizam provetes maquinados segundo dimensões pré-estabelecidas (Figura 
2.5). Traciona-se lentamente o provete enquanto se observam as cargas e as deformações 
correspondentes. A força 𝐹 é convertida em tensão por meio da equação no final do ensaio obtém-se um 
gráfico denominado diagrama tensão-extensão ou tensão-deformação. 
 
Figura 2.5 – Provete típico para um ensaio de tração. 
A deformação ou extensão normal é calculada por: 
𝜀 =
𝑙 − 𝑙0
𝑙0
 ( 2.6 ) 
Retângulo 
 
 
Semicírculo 
 
 
Triângulo 
 
 
Quarto de círculo 
 
 
Circulo 
 
 
Elipse 
 
 
𝐹 𝐹 
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Nestas folhas, por se basearem no livro de “Elementos de Máquinas de Shigley”, será usada a letra 𝑆 
maiúscula para designar resistência (tensão como propriedade do material), com os subscritos para 
designar o tipo de resistência. Consequentemente 𝑆𝑆 é a resistência ao corte, 𝑆𝑦 é a resistência à cedência, 
𝑆𝑢 é a resistência à rotura e 𝑆𝑓 é a resistência final. 
De acordo com as práticas de engenharia, empregam-se as letras do alfabeto grego 𝜎 (sigma) e 𝜏 (tau) 
para designar, respectivamente, tensões normais e de corte. 
A Figura 2.6 representa diagramas de tensão-extensão típicos para materiais dúcteis e frágeis. 
Materiais dúcteis deformam-se muito mais do que materiais frágeis. 
 
 
Figura 2.6 – Diagrama tensão-extensão: (a) material dúctil; (b) material frágil. 
 
𝑶 − 𝒑𝒍 → região linear elástica 
Qualquer carregamento do material nesta região não altera as dimensões do provete. O ponto 𝑝𝑙 é o limite 
de proporcionalidade, esse é o ponto em que a linha começa e deixa de ser reta. A relação tensão-extensão 
uniaxial nessa região linear é dada pela lei de Hooke em que a inclinação da reta representa o módulo de 
elasticidade ou módulo de Young: 
𝜎 = 𝜀𝐸 ( 2.7 ) 
ponto 𝒆𝒍 → limite de elasticidade 
É a maior tensão que o material pode suportar sem sofrer uma extensão permanente quando a carga for 
retirada, ou seja, a partir desse ponto a deformação passa a ser plástica e o material apresentará 
deformação permanente quando a carga for retirada. Entre o ponto 𝑝𝑙 e 𝑒𝑙 o diagrama não é uma linha reta 
perfeita, no entanto ainda se considera regime elástico. 
ponto 𝒚 → tensão de cedência (Yield Strength) (𝑺𝒚 ou 𝝈𝒄) 
Este ponto caracteriza o inicio da deformação plástica. É a tensão que produz uma pequena quantidade de 
deformação permanente, ou seja de 0,2% (𝜀 = 0.002). Se o provete for descarregado neste ponto, este vai 
sofrer um aumento de comprimento permanente definido por 𝑂𝑎. 
ponto 𝒖 → tensão de rotura (Ultimate or Tensile Strength) (𝑺𝒖 𝒐𝒖 𝑺𝒖𝒕 ou 𝝈𝒓) 
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A tensão correspondente a esse ponto é a tensão de rotura ou de tração e é a maior tensão que o material 
atinge no diagrama tensão-extensão. 
ponto 𝒇 → tensão final (Fracture Strength) (𝑺𝒇 ou 𝝈𝒇) 
Alguns materiais, a partir da tensão de rotura a carga decresce dando-se finalmente a fratura no ponto 𝑓. 
Há no entanto outros, tais como o ferro fundido e o aço de alta resistência, fraturam enquanto a curva ainda 
está a subir (Figura 2.6 (b)) e a tensão de rotura é coincidente com a tensão final. 
 
Desta forma, pode-se concluir que os materiais dúcteis, são materiais que permitem grandes 
deformações plásticas antes da fratura. Quando o carregamento atinge um certo valor máximo (𝑆𝑢𝑡), o 
diâmetro do provete começa a diminuir, devido à perda de resistência local. Após este valor, um 
carregamento mais baixo é suficiente para manter o corpo a se deformar, até se dar a rotura (𝑆𝑓). Esta 
rotura dá-se segundo uma superfície em forma de cone, que forma um ângulo aproximado de 45° com a 
superfície perpendicular ao carregamento (Figura 2.7(a)). Materiais dúcteis são exemplo do cobre, do aço 
macio e do alumínio. 
Quanto aos materiaisfrágeis, são materiais que fraturam após uma pequena deformação plástica ou 
nenhuma. Para os materiais com comportamento frágil, não existe diferença entre a tensão de rotura e a 
tensão final (𝑆𝑢𝑡=𝑆𝑓), além de que a deformação até à rotura é muito menor nos materiais frágeis do que nos 
materiais dúcteis. A Figura 2.7(b) mostra que a rotura se dá numa superfície perpendicular ao 
carregamento. Pode-se concluir daí que a rotura dos materiais frágeis se deve principalmente a tensões 
normais. Um material frágil é um material que possui uma elevada dureza (> 500~600) e uma baixa 
ductilidade (elongation) (< 5~8%) São exemplos desses materiais, os aços de alta resistência e os ferros 
fundidos. 
 
superfície de fratura com aspeto fibroso e baço superfície de fratura com aspeto granular e brilhante 
(a) (b) 
Figura 2.7 – (a) rotura de um material dúctil; (b) rotura de um material frágil. 
O comportamento dúctil vs frágil depende do material, da temperatura, do estado de tensão e da velocidade 
de deformação. 
 
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2.3. Coeficiente de segurança 
Como já foi visto no capítulo da Introdução ao Projeto, as incertezas do projetista relativas a itens tais 
como a Resistência do Material, o tipo de Carregamento e outros fatores aleatórios, são contabilizados num 
coeficiente de segurança, fator de correção da tensão de Resistência numa tensão admissível. 
Se o critério do projeto for o de evitar a deformação plástica do órgão, a tensão de Resistência é a tensão 
de cedência e o componente deve ser projetado de tal forma que a tensão de cedência seja 
consideravelmente maior que a tensão normal que essa peça ou elemento irá suportar em condições 
normais de funcionamento. Se pelo contrário, o critério for o de evitar a rotura, a tensão de Resistência será 
a tensão de rotura do material. 
A tensão máxima a que o componente pode estar submetido é chamada de tensão admissível, 𝜎𝑎𝑑𝑚 e o 
coeficiente de segurança é dado por: 
𝑛 =
𝑇𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑑𝑒 𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙
 ou 𝑛 =
𝑆
𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙 (𝜎 𝑜𝑢 𝜏)
 ( 2.8 ) 
De onde se depreende que a tensão admissível para esforços normais, vem dada por: 
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝜎𝑐 𝑜𝑢 𝜎𝑟
𝑛
 ( 2.9 ) 
A determinação do valor a ser adotado para o coeficiente de segurança, nas muitas aplicações possíveis, é 
um dos mais importantes problemas de engenharia. A escolha de um coeficiente de segurança baixo pode 
levar a uma possibilidade de rotura. Por outro lado, um coeficiente de segurança muito alto leva a projetos 
antieconómicos e pouco funcionais. Deste modo, quando o coeficiente de segurança não é estabelecido à 
partida por códigos de projeto ou por normas relativos ao tipo de órgão ou estrutura a dimensionar, este 
será um parâmetro de difícil escolha. 
A escolha do coeficiente de segurança não é assim uma tarefa fácil e o “grande segredo” prende-se com a 
“boa experiência” do projetista. 
A título ilustrativo, poder-se-á considerar alguns valores típicos de coeficiente de segurança relativos ao tipo 
de material utilizado, ou seja, o coeficiente de segurança do material, e ao tipo de carregamento que esse 
material está sujeito, ou seja, o coeficiente de segurança relativo ao carregamento (Tabela 2.2). 
Tabela 2.2 – Parâmetros para o cálculo do coeficiente de segurança. 
Coeficiente de segurança do material, 𝒏𝟏 
Materiais dúcteis de estrutura uniforme, por ex.: Aço 1.5 − 2.0 
Materiais frágeis, por ex.: Ferro Fundido 2.0 – 3.0 
Madeira 3.0 – 4.0 
Coeficiente de segurança relativo ao carregamento, 𝒏𝟐 
Carga gradualmente aplicada 1 
Carga subitamente aplicada (sem ser considerada ainda choque) 2 
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Choques 3 – 5 
O coeficiente de segurança total será, deste modo dado por: 
𝑛 = 𝑛1 × 𝑛2 ( 2.10 ) 
 
2.4. Critérios de falha 
De forma a considerar estados combinados (biaxiais ou triaxiais) de tensão nos materiais, que são 
aqueles mais comummente encontrados no mundo real, têm vindo a ser estudadas teorias ou critérios de 
falha, que têm em conta as variáveis que determinam a falha de um material (de uma peça) que permita, 
por meio do cálculo, proceder ao adequado dimensionamento ou verificação desse modo de falha. No 
projeto mecânico, a falha dúctil (materiais dúcteis) é razoavelmente controlada pela Tensão de cedência e 
pelo critério de Von-Mises (menos conservador que o de Tresca, mas com validação experimental 
suficiente). A falha frágil (materiais frágeis) é razoavelmente controlada pela tensão de rotura do material, 
desde que todas as tensões principais tenham o mesmo sinal. Quando alguma das tensões principais tiver 
sinais contrários, sugere-se a aplicação de outros critérios mais apropriados (por exemplo o critério de 
Mohr). 
São apresentados de seguida, dois dos principais critérios de falha existentes na literatura para 
materiais dúcteis. 
2.4.1. Critério da tensão de corte máxima (Tresca) 
O caso mais comum de corte de um material dúctil, como o aço carbono, é o deslizamento que ocorre 
ao longo dos planos de contato dos cristais que, aleatoriamente ordenados, formam-se no próprio material. 
Esse deslizamento deve-se à tensão de corte e, se fizermos um provete fino altamente polido e o 
submetermos a um ensaio de tração simples poderá ser visto como a tensão provoca o corte do material 
em que as linhas apresentadas mostram claramente os planos de deslizamento, que ocorrem a 
aproximadamente 45° do eixo do provete - Figura 2.8. A cedência inicial está associada ao aparecimento da 
primeira linha de deslizamento na superfície do provete e, conforme a deformação aumenta, mais linhas de 
deslizamento aparecem até́ que todo o provete tenha cedido. Se este deslizamento for considerado o 
mecanismo real de falha, então a tensão que melhor caracteriza esta falha é a tensão de corte nos planos 
de deslizamento. 
Este critério só é aplicável à falha por cedência, pois só nesta está implícito um mecanismo de corte. A falha 
ocorre sempre que a tensão de corte máxima aplicada atinja a tensão de corte máxima que está presente 
no provete de tração quando este entra em cedência. 
𝜏𝑚𝑎𝑥 ≥
𝑠𝑠𝑦
𝑛
 ( 2.11 ) 
Em que 𝑆𝑠𝑦 é a tensão de corte à cedência e é dada pela relação: 
𝑆𝑠𝑦 =
𝑆𝑦
2
 ( 2.12 ) 
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Figura 2.8 – Linhas de corte a 45º num ensaio de tração de um aço. 
2.4.2. Critério da energia de distorção (von Mises) 
Embora a teoria da tensão de corte máxima (tresca) forneça uma hipótese razoável para a cedência 
em materiais dúcteis, a teoria da energia de distorção máxima (von Mises) correlaciona-se melhor com os 
dados experimentais e, deste modo, é geralmente preferida. Nesta teoria, considera-se que a cedência 
ocorre quando a energia associada à mudança de forma de um corpo sob carregamento multiaxial for igual 
à energia de distorção num provete de tração, quando a cedência ocorre na tensão de cedência uniaxial 
(𝑆𝑦). 
Este critério, tal como o anterior também só é aplicável à falha por cedência. A falha ocorre sempre que a 
energia de distorção verificada num ponto qualquer da peça considerada, atinja o valor da energia de 
distorção presente no provete de tração quando este entra em cedência. 
Para um estado geral de tensões principais a falha ocorre se a tensão máxima atingir a tensão de cedência: 
[
(𝜎1 − 𝜎2)
2 + (𝜎2 − 𝜎3)
2 + (𝜎3 − 𝜎1)
2
2
]
1
2
≥ 𝑆𝑦 
( 2.13 ) 
 
A equação equivalente de von-Mises para um estado tridimensional genéricoé dada por: 
𝜎′ = [𝜎𝑥
2 + 𝜎𝑦
2 + 𝜎𝑧
2 − 𝜎𝑥𝜎𝑦 − 𝜎𝑦𝜎𝑧 − 𝜎𝑧𝜎𝑥 + 3(𝜏𝑥𝑦
2 + 𝜏𝑦𝑧
2 + 𝜏𝑥𝑧
2)]
1
2 ( 2.14 ) 
 
Para tensões planas a equação de von Mises vem dada por: 
𝜎′ = [𝜎𝑥
2 − 𝜎𝑥𝜎𝑦 + 𝜎𝑦
2 + 3(𝜏𝑥𝑦
2)]
1
2 ≥
𝑆𝑦
𝑛
 ( 2.15 ) 
Para um estado de corte puro à cedência vem: 
√3(𝜏𝑥𝑦
2) ≥
𝑆𝑦
𝑛
 𝑜𝑢 𝜏𝑥𝑦 ≥
𝑆𝑦
√3𝑛
 ( 2.16 ) 
Onde a tensão de cedência ao corte é dada por: 
 1
 - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE 
ESCOLA DE ENGENHARIA INDUSTRIAL METALÚRGICA DE VOLTA REDONDA 
PROFESSORA: SALETE BUFFONI DISCIPLINA: RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
Critérios de Falha 
 
Os elementos estruturais e os componentes de máquinas são projetados de modo que o 
material que os compõem, sendo material dúctil, não venha a escoar pela ação dos carregamentos 
esperados. Dessa forma quando o engenheiro precisa elaborar um projeto com um determinado 
material, o mesmo deve estabelecer um limite superior para o estado de tensão que defina a falha do 
material. Se o material for dúctil, geralmente a falha será especificada pelo início do escoamento; se 
o material for frágil, ela será especificada pela fratura. 
 
Esses modos de falha são prontamente definidos se o elemento estiver submetido a um 
estado de tensão uniaxial, como no caso de tensão simples; Caso o elemento esteja submetido a 
estados de tensão biaxial ou triaxial, o critério para ruptura fica mais difícil de estabelecer. 
 
Na prática da Engenharia estudam-se quatro teorias para prever a ruptura de um material 
submetido a um estado multiaxial de tensões. Utilizam-se estas teorias para se calcular as tensões 
admissíveis descritas em muitas normas de projeto. 
 
Materiais Dúcteis 
Teoria da Tensão de Cisalhamento Máxima ou Critério do Escoamento de Tresca 
 
O caso mais comum de escoamento de um material dúctil, como o aço, é o deslizamento que 
ocorre ao longo dos planos de contato dos cristais que, aleatoriamente ordenados, formam o próprio 
material. Esse deslizamento deve-se a tensão de cisalhamento e, se fizermos um corpo de prova 
com uma tira fina altamente polida e a submetermos a um ensaio de tração simples poderá ser visto 
como a tensão provoca o escoamento do material como está no esboço da Figura 1. 
 
Figura1 - Escoamento do aço. 
 
As linhas apresentadas na Figura 1 mostram claramente os planos de deslizamento, que 
ocorrem a aproximadamente 45º do eixo da tira. 
 
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𝑆𝑠𝑦 =
𝑆𝑦
√3
 e 𝜏𝑥𝑦 ≥
𝑆𝑠𝑦
𝑛
 ( 2.17 ) 
 
2.5. Anexo: Tabelas de propriedades mecânicas de alguns aços 
 
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2.6. Exercícios de Aplicação Propostos 
 
IP.1. Um veio de secção circular de alumínio 𝐴𝐼𝑆𝐼 2011 tem uma força 𝐹 axial aplicada ao longo 
do eixo de 100𝑘𝑁. 
Qual deve ser o diâmetro mínimo do veio, sabendo que o coeficiente de segurança pretendido é 
de 2? 
 
 
 
 
 
 
IP.2. Um veio de secção circular em aço AISI 1018 está sujeito à ação de uma força axial F de 
22,5kN. Sabendo que o coeficiente de segurança é de 3. Qual deve ser o menor diâmetro, d, do 
veio? 
 
IP.3. Um veio de secção circular de aço AISI 1144 está sujeito a uma força vertical F de 100kN 
aplicada a 0,1m do encastramento. Qual deve ser o menor valor do raio do veio, r, sabendo que o 
coeficiente de segurança é de 3 (despreze efeitos de concentração de tensões no 
encastramento). 
 
 
 
 
IP.4. Uma barra de aço AISI 1018 de secção rectangular 20 × 60mm está submetida a um 
momento flector Mf. Sabendo que se pretende usar um coeficiente de segurança de 2, qual o 
máximo momento flector que pode ser aplicado à barra? 
 
 
𝑭 
𝑭 
𝑴𝒇 𝑴𝒇 
F
F
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IP.5. Uma barra retangular oca em alumínio AISI 2011 está sujeita a um momento fletor numa 
das extremidades e está encastrada na outra. Sabendo que se pretende usar um coeficiente de 
segurança de 3, qual o valor do momento fletor máximo que pode ser aplicado? (despreze efeitos 
de concentração de tensões no encastramento) 
 
IP.6. Um veio de alumínio AISI 7075 está sujeito a um momento torsor de Mt = T = 5 Nm. O 
coeficiente de segurança pretendido é de 3. Qual deve ser o diâmetro mínimo, D, do veio. 
 
 
 
IP.7. Um veio oco de alumínio AISI 7075 está sujeito a um momento torsor, M𝑡. O coeficiente de 
segurança pretendido é de 3. Determinar qual o momento torsor máximo que pode ser aplicado: 
a) Quando o veio tem um diâmetro exterior d𝑜 = 100mm, um diâmetro interior di = 50mm e 
um comprimento 𝑙 = 250mm. 
b) Quando o veio é maciço e do mesmo material com o mesmo peso e o mesmo 
comprimento que o da alínea a). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑴𝒇 120 𝑚𝑚 
80 
64 
104 
𝑀𝑡 
𝑀𝑡 
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IP.8. Considere um veio de alumínio 7075, sujeito a um momento torsor de 5 N.m, tendo um 
raio de 2 mm e um comprimento de 0.5 m. Sabendo que se pretende um coeficiente de segurança 
de 3, verifique o veio através dos critérios de falha de Tresca e von Mises. 
 
IP.9. A Máquina de ensaios biaxiais existente no IPS tem a capacidade de realizar ensaios a 
provetes de materiais em duas direções distintas e perpendiculares. Assumindo que um provete 
cruciforme (conforme figura) é tracionado na direção 1 com 20 kN, e na direção 2 com 10 kN, 
determine a tensão de von Mises equivalente e a tensão de Tresca equivalente. Repita o exercício 
com a força em 2 igual a 20 kN. A secção do provete é de 10 x 20 mm.