Estatística - Variável Aleatória Contínua e Distribuição Contínua da Probabilidade

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Estatística
Variável Aleatória Contínua e Distribuição Contínua da Probabilidade
Professor Fabrício Biazotto
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Estatística
VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA (VAC)
A probabilidade de uma VAC X assumir um determinado valor dentro de um intervalo [a,b] de 
valores é dada por:
A função f(x) é chamada Função Densidade de Probabilidade (f.d.p.) da variável X.
Teoricamente, qualquer função f , que não seja negativa e cuja área total sob a curva seja igual 
à unidade, caracterizará uma VAC; ou seja:
a) Esperança de uma Variável Aleatória Contínua
Se uma variável aleatória X possui uma distribuição contínua com f.d.p. f(x), então a esperança 
E(X) é definida por:
b) Variância de uma Variável Aleatória Contínua
Suponha que uma v.a. X possua uma distribuição contínua, cuja f.d.p. é f(x). Então:
c) O Desvio Padrão (DP) será dado por
E(x) = µ(x); Var(x) = σ(x)2 e DP = S = σ(x)
 
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Principais Modelos de Distribuições de Probabilidade 
a) O Modelo Uniforme
É o modelo mais simples para v.a. contínua.
Uma v.a. X tem Distribuição Uniforme no intervalo [α , β ] se sua f.d.p. é dada por
A Esperança e a Variância são dadas por
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Questões
1. Demostrar a equação da esperança para 
uma VAC com distribuição uniforme, saben-
do que:
f(x)=
1
β−α
, se α ≤ x ≤β
0,caso contrário
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
2. A função densidade de probabilidade de 
uma variável aleatória contínua x é dada 
por:
F(x)=
3x2 ,se −1≤ x ≤ 0
0,caso contrário
⎧
⎨
⎪
⎩⎪ 
Para esta função, a média de x, também de-
nominada expectância de x e denotada por 
E(x) é igual a:
a) 4/3
b) 3/4
c) – 3/4
d) – (3/4) x
e) – (4/3) x
3. A expectância de uma variável aleatória x 
─ média ou esperança matemática como 
também é chamada ─ é igual a 2, ou seja: 
E(x) = 2. Sabendo-se que a média dos qua-
drados de x é igual a 9, então os valores da 
variância e do coeficiente de variação de x 
são, respectivamente, iguais a:
a) 5;
5
2
b) 5; 5
c) 5;
2
2
d) 5;
2
5
e) 5
2
;5
Gabarito: 1. E(x)=
α+β
2  2. C 3. A
 
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Distribuição Normal
A distribuição normal é a mais importante distribuição estatística, considerando a questão 
prática e teórica. Esse tipo de distribuição apresenta-se em formato de sino, unimodal, 
simétrica em relação a sua média. Considerando a probabilidade de ocorrência, a área sob sua 
curva soma 100%. Isso quer dizer que a probabilidade de uma observação assumir um valor 
entre dois pontos quaisquer é igual à área compreendida entre esses dois pontos.
Na figura anterior, as barras verticais representam os desvios padrões. Quanto mais afastado 
do centro da curva normal, mais área compreendida abaixo da curva haverá. O traço horizontal 
menor indica que 68,26% das observações estão contidas no intervalo entre um desvio padrão 
para a direita e um desvio padrão para a esquerda da média (centro da distribuição). O segundo 
traço indica que a dois desvios padrões em torno da média possuímos 95,44% dos dados e, 
finalmente a três desvios temos 99,73% (traço horizontal maior). Podemos concluir que quanto 
maior a variabilidade dos dados em relação à média, maior a probabilidade de encontrarmos o 
valor que buscamos embaixo da normal.
Características:
1 – É uma curva com a forma de um “sino”, com um eixo de simetria;
2 – Muitas populações reais seguem a distribuição normal; 
3 – Numa população com média µ e desvio-padrão σ:
 • aproximadamente 68 % se encontram dentro do intervalo µ ± σ
 • aproximadamente 95 % se encontram dentro do intervalo µ ± 2σ;
 • aproximadamente 99,7 % se encontram dentro do intervalo µ ± 3σ.
Para achar a área sob a curva normal devemos conhecer dois valores numéricos, a média e o 
desvio padrão.
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Para cada valor de e/ou temos uma curva de distribuição de probabilidade. Porém, para se 
calcular áreas específicas, faz-se uso de uma distribuição particular: a “distribuição normal 
padronizada”, o qual é a distribuição normal com µ= 0 e σ= 1. Para obter tal distribuição, isto é, 
quando se tem uma variável X com distribuição normal com média diferente de 0 (zero) e/ou 
desvio padrão diferente de 1 (um), devemos reduzi-la a uma variável Z, efetuando o seguinte 
cálculo:
Z = x−µ
σ
Assim, a distribuição passa a ter média = 0 e desvio padrão σ = 1. Pelo fato de a distribuição ser 
simétrica em relação à média µ = 0, a área à direita é igual a área à esquerda de σ. Por ser uma 
distribuição muito usada, existem tabelas a qual encontramos a resolução de suas integrais. 
Assim, a tabela fornece áreas acima de valores não negativos que vão desde 0,00 até 4,09. Veja 
o gráfico da curva Normal padronizada na Figura abaixo.
A probabilidade de ocorrência de valores menores ou iguais a um valor genérico z dessa 
distribuição é dada por:
Isso representa a área (entre −∞ e z) sob a curva da função de densidade.
A Tabela III (em anexo) dá os valores de área sob a curva entre 0 e z conforme indicado na 
Figura (a). Portanto, é a fórmula anterior modificada para:
 
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Desde que a distribuição normal é simétrica, para calcular a área entre −∞ e z basta somar 0,5 
aos valores da tabela. Ver Figura (b).
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Questões
1. Calcular as seguintes probabilidades:
a) P(0≤ Z ≤1,73)
b) P(Z ≥1,73)
c) P(Z <1,73)
d) P(0,47≤ Z ≤1,73)
2. Seja X uma v.a. N(µ,σ2) , com µ = 3 e 
σ2 =16 . Calcular P(2≤ X ≤ 5) .
3. Os depósito efetuados no Banco da Ribeira 
durante o mês de Janeiro de um determina-
do ano são distribuídos normalmente, com 
média de R$ 10.000,00 e desvio padrão de 
R$ 1.500,00. Um depósito é selecionado ao 
acaso dentre todos os referentes ao mês 
em questão. Calcular a probabilidade de 
que o depósito seja:
a) de R$ 10.000,00 ou menos
b) de pelo menos R$ 10.000,00
c) de um valor entre R$ 12.000,00 
e R$ 15.000,00
d) maior do que R$ 20.000,00
4. Em um concurso público, a nota média da 
prova de inglês foi igual a 7 com desvio-
-padrão igual a 2. Por outro lado, a nota 
média da prova de lógica foi igual a 7,5 com 
desvio-padrão igual a 4. Naná obteve nota 
8 em Inglês e nota 8 em Lógica. Nené obte-
ve nota 7,5 em Inglês e 8,5 em Lógica. Nini 
obteve 7,5 em Inglês e 9 em Lógica. Com re-
lação à melhor posição relativa ─ ou ao me-
lhor desempenho ─, pode-se afirmar que o 
desempenho de 
a) Naná foi o mesmo em Inglês e Lógica.
b) Nini foi melhor em Lógica do que o de 
Naná em Inglês. 
c) Nené foi melhor em lógica do que o de 
Naná em Inglês.
d) Nené foi o mesmo em Inglês e Lógica.
e) Nené foi melhor em Lógica do que em 
Inglês.
5. O Sr. Ramoile, professor de Estatística 
aposentado, vem há muito tempo acom-
panhando os dados sobre custos e fatura-
mento do restaurante de sua filha Cecília. 
O restaurante funciona todos os dias da se-
mana e o Sr. Ramoile concluiu que: o custo 
diário do restaurante segue uma distribui-
ção normal, com média igual a R$ 500,00 e 
desvio-padrão igual a R$ 10,00 e que o fa-
turamento diário, também, apresenta uma 
distribuição normal, com média R$ 800 e 
desvio-padrão R$ 20. Como o Sr. Ramoile 
conhece muito bem os princípios básicos 
da estatística, ele sabe que, se uma variável 
Z seguir uma distribuição normal padrão, 
então Z tem média 0 e variância 1. Ele tam-
bém sabe que a probabilidade dessa vari-
ável Z assumir valores no intervalo entre 0 
 
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< Z < 2 ─ ou seja, entre a média 0 e 2 des-
vios-padrão ─ é, aproximadamente, igual 
a 0,4772. Cecília, muito preocupada com o 
futuro de seu restaurante, perguntou a seu 
pai se ele poderia verificar a probabilidade 
de, em um dia qualquer, o custo ser maior 
do que R$ 520,00 e o faturamento ficar no 
intervalo entre R$ 760,00 e R$ 840,00. Após 
alguns minutos, o Sr. Ramoile disse, acerta-
damente, que as respectivas probabilidades 
são, em termospercentuais, iguais a
a) 2,28; 95,44. 
b) 52,28; 95,44. 
c) 2,28; 98,69. 
d) 98,69; 95,44. 
e) 98,65; 2,28.
Gabarito: 1. a) 0,4582 b) 0,0418 c) 0,9582 d) 0,2774 2. 0,2902 3. a) 0,5 b) 0,5 c) 0,0914 d) 0 4. C 5. A
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