ESTATÍSTICA - Função do 2º grau

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ESTATÍSTICA
VIDEOAULA
PROF. FABRÍCIO BIAZOTTO
Função do 2º grau
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ESTATÍSTICA
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FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU OU FUNÇÃO QUADRÁTICA:
Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR emIR 
dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.
Vejamos alguns exemplos de função quadráticas: 
f(x) = 3x2-4x + 1, onde a = 3, b = – 4 e c =1
f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c =-1
f(x) = 2x2 + 3x – 5, onde a = 2, b = 3 e c = -5 
f(x) = – x2 + 8x, onde a =-1, b = 8 e c = 0 
f(x) = -4x2, onde a = – 4, b = 0 e c =0
Gráfico:
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, é uma curvachamada 
parábola.
Os coeficientes a, b e c, não possuem nomes especiais como na função do 1º grau, sãoapenas 
coeficientes.
O coeficiente c é o exato local onde a parábola cruza o eixo vertical, ou seja, é o ponto onde x= 
0, (0, c).
Observação:
Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que: 
se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima; Ponto demínimo
se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo; Ponto demáximo
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Concavidade da parábola
 • Quando a concavidade está voltada para cima (a>0), o vértice representa o valor mínimo da 
função.
 • Quando a concavidade está voltada para baixo (a<0), o vértice representa o valor máximo.
Zeros ou Raízes da função do 2º Grau
Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , a ≠ 0, os números 
reais xtais que f(x) = 0.
Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 
0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:
Quando o discriminante é igual a zero
Quando o valor de ∆=b2−4.a.c = 0, o vértice a parábola encontra-se no eixo x. A coordenada y 
será igual a zero.
Quando o discriminante é maior que zero
Quando o valor de ∆=b2−4.a.c > 0, a parábola intercepta o eixo x em dois pontos. (São as raízes 
ou zeros da função vistos anteriormente).
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Quando o discriminante é menor que zero
Quandoovalorde∆=b2−4.a.c < 0, a parábola não intercepta o eixo x. Não há raízes ou zeros da 
função.
Resumindo:
Coordenadas do vértice da parábola 
(Ponto de máximo ou mínimo da função).
Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando 
a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V.
Emqualquercaso,ascoordenadasdeVsão .Veja os gráficos:
  
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Imagem
O conjunto-imagem Im da função y = ax2 + bx+c, a ≠ 0, é o conjunto dos valores que y pode 
assumir. Há duas possibilidades:
Sinal da função quadrática
Considere uma função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c. Vamos determinar os valores de x para 
os quais y é negativo e os valores de x para os quais y épositivo.
1. FORA DA PARÁBOLA, MESMO SINAL DE a.
2. DENTRO DA PARÁBOLA, SINAL CONTRÁRIO DE a.
Conforme o sinal do discriminante D = b2 – 4.a.c, podem ocorrer os seguintes casos:
1º – D > 0: Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1 ≠ x2). Aparábola 
intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é o indicado nos gráficos abaixo:
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2º – D = 0: Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais e iguais (x1 = x2). Aparábola 
intercepta o eixo Ox em um ponto e o sinal da função é o indicado nos gráficosabaixo:
3º – D < 0 Nesse caso a função quadrática não admite zeros reais. Aparábola não intercepta o 
eixo Ox e o sinal dafunçãoé o indicado nos gráficosabaixo: