Estatística - Moda, Mediana e Quartil

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Estatística
Moda, Mediana e Quartil
Professor Fabrício Biazotto
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Estatística
MODA, MEDIANA E QUARTIL
Moda (Mo)
O valor de maior frequência da série, também chamado norma, valor dominante ou valor típico.
Exemplos:
1) Rol (dados não tabulados)
Determinar a moda nos conjuntos a seguir:
A = {2, 2, 3, 3, 3, 3, 5 , 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 9, 9} Mo =
B = {2, 2, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9} Mo =
C = {2, 3, 5, 7, 8, 9} Mo =
Dados Tabulados Não-Agrupados em classes 
Exemplo: determinar o valor da moda na tabela a seguir.
xi fi
1 5
2 10
3 18
4 12
5 4
Dados Tabulados Agrupados em Classes 
Classe modal: é classe de maior frequência.
Determinação da Moda:
 • Moda Bruta: é o método mais rudimentar de cálculo da moda, que consiste em considerá-
lo como sendo o ponto médio da classe modal.
 
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 • Método de King: baseia-se na influência das frequências das classes adjacentes à classe 
modal.
Li – limite inferior da classe modal
h (ou c) – amplitude do intervalo de classe
fpos – frequência da classe posterior à classe modal 
fant – frequência da classe anterior à classe modal
 • Método de Czuber: utiliza a frequência da classe modal e as das classes adjacentes.
Mediana (Md)
O valor central de uma série ordenada.
A mediana é considerada uma separatriz, por ser um promédio que divide a série em partes 
iguais; e, pelo fato de ocupar uma determinada posição na série ordenada, o número que 
indica a sua posição é denominado elemento mediano (Em).
Determinação da mediana para dados não tabulados
Uma vez ordenados os valores da série (Rol), a mediana será:
 • O valor central da série, se o número de valores (n) for ímpar,
 • A média aritmética dos dois valores centrais da série, se o número de valores for par.
Exemplos:
1) Rol (dados não tabulados)
Determinar a mediana nos conjuntos a seguir:
A = {2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 9, 9} Md =
B = {2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9} Md =
C = {2, 2, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9} Md = 
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2) Dados Tabulados Não-Agrupados em classes
O procedimento a ser adotado é praticamente idêntico ao anterior.
Exemplo: calcular a mediana na tabela a seguir.
xi fi
1 5
2 10
3 18
4 12
5 4
3) Dados Tabulados Agrupados em classes
n – frequência total
Fant – frequência acumulada da classe anterior à classe mediana
fmd – frequência da classe mediana
h – Amplitude da classe mediana
Li – Limite inferior da classe mediana
OBS: classe mediana ... é a classe onde se encontra o elemento de posição n/2.
Exemplo: Determinar a moda e a mediana na tabela a seguir.
Notas de uma prova de Estatística
xi fi Fi
0 I––– 20 10
20 I––– 40 30
40 I––– 60 40
60 I––– 80 15
80 I––– 100 5
 
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Outras separatrizes
Quartil (Q) – divide a série em 4 partes iguais.
Decil (D) – divide a série em 10 partes iguais.
Centil ou Percentil (P) – divide a série em 100 partes iguais.
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Questões
1. Os dados seguintes, ordenados do menor 
para o maior, foram obtidos de uma amos-
tra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, to-
mada numa bolsa de valores internacional. 
A unidade monetária é o dólar americano.
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 
8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 
10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 
15, 16, 16, 18, 23
assinale a opção que corresponde ao preço 
modal.
a) 7
b) 23
c) 10
d) 8
e) 9.
2. Frequências Acumuladas de Salários Anu-
ais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa
Classes de 
Salário
Frequências 
Acumuladas
(3;6] 12
(6;9] 30
(9;12] 50
(12;15] 60
(15;18] 65
(18;21] 68
Quer-se estimar o salário mediano anual da 
Cia. Alfa. Assinale a opção que corresponde 
ao valor aproximado desta estatística, com 
base na distribuição de frequências.
a) 12,50
b) 12,10
c) 9,60
d) 12,00
e) 9,00 
3. Em um ensaio para o estudo da distribui-
ção de um atributo financeiro (X) foram 
examinados 200 itens de natureza contábil 
do balanço de uma empresa. Esse exercício 
produziu a tabela de frequências abaixo. A 
coluna Classes representa intervalos de va-
lores de X em reais e a coluna P representa a 
frequência relativa acumulada. Não existem 
observações coincidentes com os extremos 
das classes. 
Classes P (%)
70-90 5
90-110 15
110-130 40
130-150 70
150-170 85
170-190 95
190-210 100
Assinale a opção que corresponde à estima-
tiva do quinto decil da distribuição de X.
a) 138,00 
b) 140,00 
c) 136,67 
d) 139,01 
e) 140,66
 
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O atributo do tipo contínuo X, observado 
como um inteiro, numa amostra de tama-
nho 100 obtida de uma população de 1000 
indivíduos, produziu a tabela de frequên-
cias seguinte:
Classes Frequência ( f )
29,5-39,5 4
39,5-49,5 8
49,5-59,5 14
59,5-69,5 20
69,5-79,5 26
79,5-89,5 18
89,5-99,5 10
4. Assinale a opção que corresponde à estima-
tiva da mediana amostral do atributo X.
a) 71,04 
b) 65,02 
c) 75,03 
d) 68,08 
e) 70,02.
5. Assinale a opção que corresponde ao valor 
modal do atributo X no conceito de Czuber.
a) 69,50 
b) 73,79 
c) 71,20 
d) 74,53 
e) 80,10
6. Considere a seguinte amostra aleatória das 
idades em anos completos dos alunos em 
um curso preparatório. Com relação a essa 
amostra, marque a única opção correta:
29, 27, 25, 39, 29, 27, 41, 31, 25, 33, 27, 25, 
25, 23, 27, 27, 32, 26, 24, 36, 32, 26, 28, 24, 
28, 27, 24, 26, 30, 26, 35, 26, 28, 34, 29, 23, 
28.
a) A média e a mediana das idades são 
iguais a 27.
b) A moda e a média das idades são iguais 
a 27.
c) A mediana das idades é 27 e a média é 
26,08.
d) A média das idades é 27 e o desvio-pa-
drão é 1,074.
e) A moda e a mediana das idades são 
iguais a 27. 
Gabarito: 1. D 2. C 3. C 4. A 5. B 6. E