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Estatística
Média
Professor Fabrício Biazotto
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Estatística
MEDIDAS DE POSIÇÃO
Pela dificuldade de se trabalhar com uma distribuição de frequências completa, costuma-se 
lançar mão de determinadas medidas que sumarizam certas características importantes da 
distribuição.
Dentre as diversas medidas quem possibilitam condensar as informações dentro na fase 
analítica da Estatística Descritiva, dois tipos são os mais importantes: as medidas de posição 
(especialmente as de tendência central) e as medidas de dispersão (ou de heterogeneidade).
As medidas de posição podem se apresentar de várias formas, dependendo daquilo que se 
pretende conhecer a respeito dos dados estatísticos.
1. MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL (OU PROMÉDIOS)
São medidas de posição em torno das quais os dados tendem a se agrupar. Os três promédios 
mais utilizados para resumir o conjunto de valores representativos de fenômeno que se deseja 
estudar são: a média aritmética, a moda e a mediana. Outros promédios menos usados são as 
médias: geométrica, harmônica, etc.
a) Médias
Média Aritmética Simples (x ou µ) – a média aritmética simples de um conjunto de números é 
igual ao quociente entre a soma de valores do conjunto e o número total de valores.
a) Médias
Média Aritmética Simples (x ou µ) – a média aritmética simples de um conjunto de
números é igual ao quociente entre a soma de valores do conjunto e o número total de
valores.
𝑿𝑿 =
∑𝑿𝑿𝑿𝑿
𝒏𝒏
Média Aritmética Ponderada (P) - utilizada quando os valores do conjunto tiverem
pesos diferentes. É obtida através do quociente entre a soma dos produtos dos pesos
pelos respectivos valores e a soma dos pesos.
𝑿𝑿 =
∑𝑿𝑿𝑿𝑿𝒙𝒙 𝒇𝒇𝑿𝑿
∑𝒇𝒇𝑿𝑿
Estas equações é para dados não agrupados, caso sejam agrupados em classes, o Xi é
o mesmo que o PMi.
Média Aritmética Ponderada (P) – utilizada quando os valores do conjunto tiverem pesos 
diferentes. É obtida através do quociente entre a soma dos produtos dos pesos pelos respectivos 
valores e a soma dos pesos.
a) Médias
Média Aritmética Simples (x ou µ) – a média aritmética simples de um conjunto de
números é igual ao quociente entre a soma de valores do conjunto e o número total de
valores.
𝑿𝑿 =
∑𝑿𝑿𝑿𝑿
𝒏𝒏
Média Aritmética Ponderada (P) - utilizada quando os valores do conjunto tiverem
pesos diferentes. É obtida através do quociente entre a soma dos produtos dos pesos
pelos respectivos valores e a soma dos pesos.
𝑿𝑿 =
∑𝑿𝑿𝑿𝑿𝒙𝒙 𝒇𝒇𝑿𝑿
∑𝒇𝒇𝑿𝑿
Estas equações é para dados não agrupados, caso sejam agrupados em classes, o Xi é
o mesmo que o PMi.Estas equações são para dados não agrupados, caso sejam agrupados em classes, o Xi é o mesmo que o PMi.
 
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Desvio (di) – é o afastamento de cada valor do conjunto em relação a um valor fixo x0:
di = xi – x0
Propriedades da média aritmética:
1ª) a soma algébrica dos desvios dos valores em relação à média aritmética é igual a zero.
2ª) a soma algébrica dos quadrados dos desvios dos valores em relação à média aritmética é 
um mínimo.
3ª) sendo n o número de incidência de cada média aritmética x, de cada conjunto k de valores, 
então a média aritmética de todos os valores dos k conjuntos é a média ponderada das 
médias aritméticas dos respectivos conjuntos. Essa média é denominada média global.
4ª) somando-se (ou subtraindo-se) uma constante arbitrária x a cada valor da série, a média 
aritmética desta série fica somada (ou subtraída) dessa constante.
5ª) multiplicando-se (ou dividindo-se) uma constante arbitrária c a cada valor da série, a média 
aritmética desta série fica multiplicada (ou dividida) por essa constante.
Processo breve para o cálculo da média aritmética (para dados tabulados em classes)
A partir das duas últimas propriedades citadas anteriormente, é possível calcular a média 
aritmética utilizando uma variável transformada (di), denominada variável reduzida:
OBS: Recomenda-se utilizar para o valor de A o ponto médio da classe de maior frequência se o 
número de classes k for par, ou o ponto médio da classe intermediária se o número de classes 
for ímpar.
Processo breve para o cálculo da média aritmética (para dados tabulados em
classes)
A partir das duas últimas propriedades citadas anteriormente, é possível calcular a
média aritmética utilizando uma variável transformada (di), denominada variável
reduzida:
OBS: Recomenda-se utilizar para o valor de A o ponto médio da classe de maior
frequência se o número de classes k for par, ou o ponto médio da classe
intermediária se o número de classes for ímpar.
𝒅𝒅𝒅𝒅 =
𝒙𝒙𝒅𝒅 − 𝑨𝑨
𝒄𝒄
Exemplo: calcular a média aritmética na tabela a seguir. Notas de uma prova de Estatística
Analisando a propriedade da média, sabemos que se subtrairmos cada xi por 50, então a média 
ficará subtraída por 50, assim:
xi fi PMi di fi.di
0 I––– 20 10
20 I––– 40 30
40 I––– 60 40
60 I––– 80 15
80 I––– 100 5
Estatística – Média – Prof. Fabrício Biazotto
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Média Geométrica ( G ) – á média geométrica de um conjunto de n valores é a raiz n– ésima do 
produto de todos os valores do conjunto dado.
Média Geométrica ( G ) – á média geométrica de um conjunto de n valores é a raiz n–
ésima do produto de todos os valores do conjunto dado.
𝑮𝑮 =
𝒏𝒏
$𝒙𝒙𝒙𝒙 (𝒐𝒐𝒏𝒏𝒐𝒐𝒐𝒐 $𝒑𝒑𝒑𝒑𝒐𝒐𝒐𝒐𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒙𝒙𝒐𝒐 )
Média Harmônica ( H ) – á média harmônica de um conjunto de n valores é o inverso
da média aritmética dos inversos de todos os valores do conjunto dado.
𝑯𝑯 =
𝒏𝒏
∑ 𝟏𝟏𝒙𝒙𝒙𝒙
Obs.: H £ G £ X
Média Harmônica ( H ) – á média harmônica de um conjunto de n valores é o inverso da média 
aritmética dos inversos de todos os valores do conjunto dado.
Média Geométrica ( G ) – á média geométrica de um conjunto de n valores é a raiz n–
ésima do produto de todos os valores do conjunto dado.
𝑮𝑮 =
𝒏𝒏
$𝒙𝒙𝒙𝒙 (𝒐𝒐𝒏𝒏𝒐𝒐𝒐𝒐 $𝒑𝒑𝒑𝒑𝒐𝒐𝒐𝒐𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒑𝒙𝒙𝒐𝒐 )
Média Harmônica ( H ) – á média harmônica de um conjunto de n valores é o inverso
da média aritmética dos inversos de todos os valores do conjunto dado.
𝑯𝑯 =
𝒏𝒏
∑ 𝟏𝟏𝒙𝒙𝒙𝒙
Obs.: H £ G £ XObs.: H ≤ G ≤ X
Exemplo: 
Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram examinados 
200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de 
frequências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna 
P representa a frequência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes com os 
extremos das classes.
Classes P (%)
70-90 5
90-110 15
110-130 40
130-150 70
150-170 85
170-190 95
190-210 100
Assinale a opção que dá o valor médio amostral de X.
a) 140,10
b) 115,50
c) 120,00
d) 140,00
e) 138,00