Aula 7 - Sistemas de Primeira e Segunda Ordem

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Levantamento da dinâmica de 
processos contínuos
ETEC ARMANDO PANNUNZIO - SOROCABA 03/05/2023
Prof. Me. Rodrigo Pita Rolle
Introdução
• O projeto de um sistema de controle requer algum nível de
conhecimento sobre as características do processo a ser controlado;
• Estes modelos nos permitem compreender melhor o funcionamento do
processo automatizado e desenvolver uma estratégia de controle
eficaz;
• Lembre-se: um controlador mal projetado pode provocar instabilidade
no sistema!
Introdução
• Representação básica de sistemas de controle (diagrama de blocos):
• Os sistemas de controle podem ser modelados através de diferentes
ferramentas matemáticas: equações diferenciais, transformadas de
Laplace, Fourier etc.
• Esses modelos não são foco do nosso estudo, mas podemos usá-los
para a análise de situações que ocorrem nos sistemas de controle.
G(s)
E(s) Y(s)
Introdução
• Nos sistemas de controle, temos três tipos de entrada mais comuns:
• Dentre eles, o mais utilizado é a entrada em degrau;
• As nossas análises serão baseadas neste tipo de entrada.
Impulso Degrau Rampa
Sistemas de primeira ordem
• Nos sistemas em geral, temos alguma saída y(t) dada em função de
uma entrada f(t);
• Nos sistemas de primeira ordem, a relação entre saída e entrada é
dada por uma equação diferencial de primeira ordem:
• Se a0 ≠ 0, podemos reescrever a equação como:
Sistemas de primeira ordem
• Com base nessa manipulação, podemos definir:
• Sendo 𝜏𝑝 a constante de tempo do processo e Kp o ganho estático
(estacionário do processo);
• Chamamos de função de transferência a função matemática que
relaciona as saídas e as entradas de um determinado processo;
• Normalmente a função de transferência é chamada pela letra G.
Sistemas de primeira ordem
• Para simplificar a operação com equações diferenciais, podemos
utilizar a Transformada de Laplace;
• Sendo assim, da equação diferencial:
• Teremos a representação:
Sistemas de primeira ordem
• Ao analisar os sistemas de primeira 
ordem, notaremos que o comportamento 
deles dependerá exclusivamente do 
ganho Kp e da constante de tempo 𝜏𝑝;
• A resposta típica de um sistema de 
primeira ordem não apresenta 
comportamento oscilatório nem 
sobressinal.
• Exemplo: circuito RC.
Sistemas de primeira ordem
• Cada processo (ou modelo matemático equivalente) possui parâmetros 
próprios, que dizem respeito aos tempos de resposta e ganhos do 
processo;
• A partir dos parâmetros do processo é possível fazer a escolha do 
controlador mais apropriado, bem como a sua sintonia!
• Os principais parâmetros em um sistema de primeira ordem são:
• Tempo morto;
• Tempo característico;
• Resistência;
• Capacitância.
Sistemas de primeira ordem
Tempo morto:
• Intervalo de tempo entre o instante em que o 
sistema sofre uma variação e o instante em que 
esta começa a ser detectada pelo elemento 
sensor.
• Num circuito RC, basta alimentar o circuito para 
que o capacitor comece a carregar 
instantaneamente;
• Num tanque de água, se acionarmos um 
aquecedor, a mudança de temperatura demorará 
algum tempo para ser detectada  tempo morto!
Sensor
Aquecedor
Sistemas de primeira ordem
Tempo característico:
• Intervalo de tempo para que 
a saída do processo atinja 
63% do valor de regime 
permanente;
• O tempo de estabilização é 
3x o tempo característico 
(95% do valor final).
Tempo morto
Tempo característico
Tempo de 
estabilização
Sistemas de primeira ordem
Resistência
• Dificuldade que o fluxo de material ou de energia encontra para se 
deslocar entre dois pontos do sistema (resistência elétrica – corrente, 
viscosidade – fluidos, etc.)
Capacitância
• Quantidade de energia ou material é necessário adicionar ou subtrair 
ao processo para que aconteça uma variação unitária.
• Exemplos: quantidade de litros que se deve adicionar a um tanque 
para que o nível se altere em um metro, quantidade de carga elétrica 
necessária para incrementar a tensão no capacitor em 1 Volt.
Sistemas de segunda ordem
• Nos sistemas de primeira ordem, a relação entre a saída y(t) e entrada
u(t) é dada por uma equação diferencial de segunda ordem:
• Se a0 ≠ 0, podemos reescrever a equação como:
Sistemas de segunda ordem
• Se a0 ≠ 0, podemos reescrever a equação como:
• Sendo:
• K = b/a0  ganho estático
• 𝝉 =
𝑎2
𝑎0
 período natural de oscilação
• 2𝜁𝜏 = a1/a0  onde 𝜻 é o fator de amortecimento
Sistemas de segunda ordem
• Utilizando a Transformada de Laplace:
• Sendo:
• K  ganho estático
• 𝜏 período natural de oscilação
• 𝜻 fator de amortecimento
Sistemas de segunda ordem
• Os sistemas de segunda ordem apresentam comportamento diferente 
dos de primeira ordem, especialmente porque podem conter 
sobressinal e oscilação:
Sobressinal obtido 
conforme a variação do 
fator de amortecimento 𝜻
Sistemas de segunda ordem
• Os principais parâmetros de um sistema de segunda ordem são:
Tempo de subida (tr):
• Tempo para que a resposta vá 
de 10% a 90% do valor final 
(regime permanente).
Sobressinal (S):
• Diferença entre o valor máximo 
da oscilação e o valor final;
Sobressinal
Tempo de subida
Sistemas de segunda ordem
• Os principais parâmetros de um sistema de segunda ordem são:
Tempo de pico (tp):
• Tempo para que a resposta 
atinja seu valor máximo.
Tempo de acomodação (ts):
• Tempo que a resposta leva 
para oscilar 5% em torno do 
valor final.
Tempo de pico
Tempo de 
acomodação
Resumo
• Muitos dos sistemas de controle encontrados na prática podem ser 
modelados como equações diferenciais de primeira ou segunda ordem;
• Sistemas de primeira ordem:
• Tempo morto e tempo característico;
• Resistência e capacitância.
• Sistemas de segunda ordem:
• Tempo de subida;
• Sobressinal;
• Tempo de pico;
• Tempo de acomodação.