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ESTÁTICA 
Beatriz Alice Weyne Kullmann de Souza
Vetores de força: análise 
bidimensional
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste capítulo, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Identificar os princípios da álgebra vetorial.
 � Aplicar a regra do paralelogramo para determinar a força resultante
de um sistema.
 � Utilizar as coordenadas cartesianas para expressar a intensidade, a
direção e o sentido de grandezas vetoriais.
Introdução
A análise de situações reais, mesmo considerando algumas idealizações 
que facilitam o estudo, é um processo bastante complexo. Quando você 
estuda um objeto em movimento, considerando um ponto fixo em sua 
superfície, a cada instante esse ponto se encontra em uma determinada 
posição. Já quando você pretende analisar um objeto que está em re-
pouso, as forças que atuam sobre ele podem variar com o tempo, por 
exemplo, devido a deformações do material. Por isso, em ambos os casos, 
torna-se interessante poder representar a atuação das forças em cada 
momento específico, explicitando sua direção, seu sentido e, também, 
sua intensidade.
Neste capítulo, você vai estudar a ferramenta matemática que lhe 
permite representar as forças graficamente e realizar operações com elas 
em duas dimensões: os vetores.
Vetores: uma ferramenta valiosa
A álgebra linear está presente em todo e qualquer programa de computador 
que se destine a cálculos. Em 1843, William Rowan Hamilton apresentou 
a ferramenta básica principal para a representação gráfica de sistemas em 
duas e três dimensões: o vetor. Associado ao plano cartesiano, ferramenta 
fundamental da Geometria Analítica apresentada por René Descartes, permite 
descrever com precisão as situações de interesse da Engenharia. Em Mecânica, 
os vetores são utilizados para representar grandezas como: força, velocidade, 
aceleração, momento, entre outras. “Vetores são definidos como expressões 
matemáticas que têm intensidade, direção e sentido, que se somam segundo 
a lei do paralelogramo” (BEER et al., 2012, p. 19).
Veja, a seguir, os conceitos e operações envolvidos no cálculo vetorial:
 � Vetor: segmento de reta finito e orientado, representado graficamente
por uma flecha. Ou seja, possui origem e extremidade que definem uma
direção, um tamanho e um sentido.
 � Módulo: representa o tamanho do vetor. Quando o vetor representa
uma grandeza física, o módulo constitui seu valor numérico, ou seja,
sua intensidade.
 � Direção: reta que representa graficamente o vetor (corpo da flecha). Em 
geral designada por um ângulo, é denominada de horizontal quando
esse ângulo é de 0º ou 180º; quando esse ângulo é de 90º ou 360º, a 
denominamos de vertical.
 � Sentido: orientação do vetor (ponta da flecha). Cabe destacar que cada 
direção pode assumir
Quando utilizados para representar grandezas, eles precisam, também, 
informar a dimensão dessa grandeza, por isso, vêm associados a uma unidade. 
Veja no Quadro 1 como representar os vetores graficamente/matematicamente.
Vetores de força: análise bidimensional2
Componente Representação gráfica
Representação 
matemática
Vetor Desenho de uma flecha designada 
por sua representação matemática.
A (negrito) ou A
→
Módulo Comprimento da flecha. A ou | A |→
Direção Reta que contém a flecha. Ângulo: Â ou Ɵ 
(alfabeto grego)
Sentido Seta na extremidade da flecha. Sinal: + ou –
Dimensão Não contemplada. Unidade da 
grandeza
Quadro 1. Representação gráfica/matemática dos vetores.
Na prática, como os vetores são utilizados para representar grandezas 
físicas, na ilustração de situações reais essas formas de representação aparecem 
associadas. Observe as Figuras 1 e 2.
Figura 1. Exemplo de vetor.
Fonte: adaptada de Beer et al. (2012, p. 18).
3Vetores de força: análise bidimensional
Figura 2. Exemplo de vetor. F1 = – 15N; F2 = 7N; P = 25N.
P
F1 F2
Com base nas Figuras, você pode descrever as seguintes situações:
1. Em uma esfera, é aplicada uma força de 10N na direção 30° horizontal, 
para a direita.
2. Sobre o bloco atuam três forças: 
 ■ F1: horizontal, para a esquerda, com intensidade de 15N.
 ■ F2: horizontal, para a direita, com intensidade de 7N.
 ■ P: vertical, para baixo, com intensidade de 25N.
Quando trabalhamos com vetores, o sinal (+) e o sinal (–) na frente dos valores numéricos 
indicam o sentido da grandeza. Se você precisa representar, na mesma figura, duas 
grandezas contrárias, vai desenhar flechas com sentidos opostos (Figura 2). Por outro 
lado, se você precisa representar matematicamente essas duas grandezas, uma delas 
será representada com sinal positivo e, a outra, com sinal negativo. Assim, depois de 
resolvida a equação, o sinal do resultado também representará o sentido da grandeza 
resultante. Por exemplo, a força resultante na horizontal da Figura 2 seria calculada 
da seguinte maneira: 
FR = F1 + F2 
FR = – 15 + 7 = – 8N ou seja, 8N para esquerda
Vetores de força: análise bidimensional4
Na representação de grandezas, os vetores podem ser:
 � Fixos ou ligados: se alterada a posição do vetor, as condições da situação 
descrita serão alteradas. 
 � Livres: alterando a posição do vetor, as condições da situação descrita 
permanecem inalteradas.
 � Deslizantes: podem ser deslocados ao longo de suas linhas de ação 
(BEER et al., 2012, p. 20).
 � Iguais: vetores que possuem mesmo módulo, mesma direção e mesmo 
sentido, independente do ponto de aplicação.
 � Opostos: vetores que possuem mesmo módulo e mesma direção, porém 
sentidos contrários.
Observe as Figuras 3 a 6 e leia com atenção suas legendas acerca dos 
vetores nelas representados.
Figura 3. Os vetores aqui representados são fixos e iguais, pois, apesar 
de terem mesma intensidade, mesma direção e mesmo sentido, o ponto 
no qual são aplicados altera a situação: a torneira vai abrir ou fechar.
Fonte: adaptada de VERSUSstudio/Shutterstock.com.
5Vetores de força: análise bidimensional
Figura 4. Os vetores são iguais e livres, ou seja, têm mesma 
intensidade, mesma direção, mesmo sentido e independente 
do ponto no qual são representados, a situação permanece 
inalterada: o bloco se move para a direita.
Figura 5. O vetor, que representa a tensão no cabo, é deslizante, pois pode ser representado 
ao longo da sua linha de ação.
Fonte: adaptada de superjoseph/Shutterstock.com.
Vetores de força: análise bidimensional6
Figura 6. Empilhadeira. Os vetores, peso (P) e normal (N), são 
opostos, ou seja, possuem mesmo módulo, mesma direção e 
sentidos contrários.
Fonte: adaptada de Pissanu Jirakranjanakul/Shutterstock.com.
Força resultante: adição de vetores 
Estabelecer as relações entre as forças que atuam nas situações reais de mo-
vimento ou de equilíbrio pode ser bastante complexo. Os vetores facilitam 
essa análise, pois nos permitem, com base na representação gráfica, encontrar 
soluções. Para isso, vamos conhecer algumas ferramentas utilizadas na adição 
de vetores para determiner a força resultante dos sistemas.
Vetores na mesma direção
Basta realizar a soma algébrica dos módulos dos vetores em questão. Lembre-
-se de levar em consideração o sentido de cada força a ser adcionada, que, 
no caso, é dado pelos sinais (+) e (–) que antecedem os valores numéricos. 
7Vetores de força: análise bidimensional
Graficamente, une-se o início de um vetor ao final do outro, respeitando seus 
sentidos (regra ponta-a-cauda). Confira um exemplo na Tabela 1. 
F1 (N) F2 (N)
Resultante (FR) (N) (seta larga)
Algebricamente Graficamente
10 20 10 + 20 = 30
– 10 – 20 – 10 – 20 = – 30
– 10 20 – 10 + 20 = 10
Tabela 1. Soma algébrica dos módulos dos vetores.
Ao trabalhar com vetores, é sempre interessante ter uma régua, um esquadro e um 
transferidor em mãos, pois uma vez que os desenhos sejam feitos em escala, você 
poderá medir as retas e ângulos para obter ou conferir suas respostas.
Você já refletiu sobre como isso pode ajudar a resolver exercícios? Vamos 
analisar as situações a seguir e a Figura 7.
Vetores de força: análise bidimensional8
Figura 7. Forças horizontais.Fonte: adaptada de Darla Hallmark/Shutterstock.com.
Na Figura 7, supondo que o bloco permaneça parado e que as únicas forças 
que atuem sobre ele estejam as representadas na figura, você pode concluir que:
 � A resultante será dada pela soma algébrica das forças em vermelho.
Então, você pode escrever:
FR = ∑F
FR = F1 + F2
 � A resultante do sistema deverá ser nula, uma vez que ele permanece
parado: F1 + F2 = 0.
Se F1 é a força aplicada da esquerda para a direita, considerada (+), e F2 é 
a força aplicada da direita para a esquerda, considerada (–), teremos:
+ F1 + (– F2) = 0
que é o mesmo que escrever:
F1 – F2 = 0
9Vetores de força: análise bidimensional
Ou seja, em módulo, F1 = F2. 
Por outro lado, se o bloco se desloca, por exemplo, para a esquerda, no 
caso de F2 > F1, você pode concluir que:
 � A resultante é uma força para a esquerda que gera uma aceleração pro-
porcional à massa do bloco (Lei de Newton). Então, você pode escrever:
F1 – F2 = m · a
Digamos que F1 = 5N e F2 = 8N e que o bloco tenha massa de 50kg. Você 
pode determinar a aceleração: 
5N – 8N = 50 kg · a
– 3N = 50kg · a
a = – 3N50kg = – 0,06m/s
2
Mas o que significa esse sinal? O sinal indica que a aceleração é para a 
esquerda.
Vetores que não estão na mesma direção
Nesse caso, não podemos somar algebricamente o módulo das forças para 
obter a resultante. Existem duas maneiras de determiná-la:
 � Regra do Paralelogramo: para começar, você precisa desenhar os ve-
tores a partir de um mesmo ponto (A), de forma que suas origens fiquem 
unidas. Em seguida, projete um vetor na extremidade do outro. Para 
isso, trace linhas paralelas, como as pontilhadas ilustradas na Figura 8.
Vetores de força: análise bidimensional10
Figura 8. Paralelogramo.
Fonte: adaptada de Beer et al. (2012, p. 20).
A força resultante P + Q será a diagonal do paralelogramo construído que 
passa pelo ponto A, ou seja, o vetor que tem origem em A e extremidade no 
ponto de junção das duas projeções. Observe a Figura 9.
Figura 9. Regra do paralelogramo.
Fonte: adaptada de Beer et al. (2012, p. 20).
11Vetores de força: análise bidimensional
 � Regra do Triângulo: deriva da regra anterior, seguindo o padrão ponta-
-a-cauda. Consiste em considerar o triângulo formado ao unirmos a 
ponta de um vetor com a cauda do outro quando estes não têm a mesma 
direção. Como as projeções dos vetores P e Q são vetores iguais a 
eles, podemos considerar apenas metade do paralelogramo. Assim, 
do paralelogramo das Figuras 8 e 9, podemos extrair dois triângulos, 
conforme ilustra a Figura 10.
Figura 10. Regra do Triângulo.
Fonte: adaptada de Beer et al. (2012, p. 21).
Vetores de força: análise bidimensional12
Mas quando optar por utilizar a Regra do Paralelogramo ou a Regra do 
Triângulo?
Tudo vai depender da situação que você está analisando. Em geral, quando 
temos forças em direções no mesmo plano (coplanares), a regra do triângulo 
facilita a solução. Já quando as forças estão em planos diferentes, a regra do 
paralelogramo torna-se mais interessante.
 � Regra do Polígono: consiste em uma variação da regra do triângulo, 
utilizada para adicionar três ou mais vetores de forças coplanares. Ao 
aplicar o padrão ponta-a-cauda em todos os vetores a serem adicionados, 
tem-se como resultado um polígono, e a resultante será o vetor que 
une a origem do primeiro vetor à extremidade do ultimo adicionado. 
Observe a Figura 11.
Figura 11. Regra do Polígono.
Fonte: adaptada de Beer et al. (2012, p. 22).
13Vetores de força: análise bidimensional
Veja que, para obter o vetor força resultante P + Q + S da Figura 11, você também 
poderia ter aplicado a regra do triângulo para adicionar os vetores P e Q, obtendo o 
vetor força resultante P + Q e, a esse vetor, adicionar o vetor S (Figura 12):
Figura 12. Soma vetorial.
Fonte: adaptada de Beer et al. (2012, p. 22).
Ou, de maneira análoga, adicionar o vetor Q e S, obtendo o vetor força resultante 
Q + S, e, a esse vetor, adicionar o vetor P (Figura 13):
Figura 13. Soma vetorial.
Fonte: adaptada de Beer et al. (2012, p. 22).
A regra do triângulo é sempre aplicada para adicionar dois vetores de maneira que 
formem um triângulo. Ela pode ser aplicada sucessivamente até termos adicionado 
todos os vetores desejados.
Vetores de força: análise bidimensional14
Assim como nas operações algébricas, as operações com vetores possuem 
propriedades. Vamos analisar as seguintes situações:
1. Os dois triângulos da Figura 10.
Quando você soma o vetor P com o vetor Q (a), ou o vetor Q com o vetor 
P (b), obtém como resultante o vetor força P + Q. Ou seja, a soma de vetores 
é comutativa, por isso podemos escrever:
P + Q = Q + P
2. Agora, quando você precisa somar três ou mais vetores no mesmo
plano, vai aplicar a regra do polígono ou sucessivas regras do triângulo. 
Cada vez que você aplica a regra do triângulo, obtém um vetor força
resultante (soma) e a ele adiciona outro vetor, ou seja, como ilustrado
na Figura 12, você está fazendo:
P + Q 
(P + Q) +S
Ou, como na Figura 13, você está fazendo:
Q + S
(Q + S) + P
Das duas maneiras, você chegará no mesmo resultado obtido através da 
regra do polígono (Figura 11): P + Q + S. Então, podemos escrever:
P + Q + S = (P + Q) + S = P + (Q + S)
15Vetores de força: análise bidimensional
Ou seja, a soma vetorial é associativa.
3. Além disso, você pode multiplicar um vetor força por um escalar (nú-
mero). Como consequência, você obterá uma vetor força de mesma
direção, com módulo proporcional ao escalar e sentido designado pelo
sinal do escalar. Observe:
Considere o vetor P da Figura 14, digamos que ele tem módulo P = 2:
■ quando multiplicado pelo escalar 1,5, obtém-se o vetor 1,5P com
módulo 1,5P = 3 (1,5 x 2), e esse vetor tem a mesma direção e o
mesmo sentido do vetor P;
■ quando multiplicado pelo escalar – 2, obtém-se o vetor – 2P com
módulo – 2P = – 4 (– 2 x 2),e esse vetor tem a mesma direção, porém 
sentido contrário, ao vetor P.
Observe a Figura 14.
Figura 14. Produto por escalar.
Fonte: adaptada de Beer et al. (2012, p. 22).
Vetores de força: análise bidimensional16
Na Figura 15, duas forças representadas pelos vetores P e Q atuam sobre o parafuso A. 
Determine o vetor força resultante.
Figura 15. Forças no parafuso.
Fonte: adaptada de Beer et al. (2012, p. 24).
a) Solução gráfica: regra do paralelogramo:
Reproduzindo o desenho em escala, pela regra do paralelogramo, você encontra
como vetor força resultante o vetor R (Figura 16):
Figura 16. Forças no parafuso. Com auxílio de uma régua 
e de um transferidor, você pode medir o comprimento do 
vetor R e do ângulo A que representa a direção do vetor 
força resultante R. Você terá que o vetor força resultante 
tem módulo R = 98N e direção α = 35°.
Fonte: adaptada de Beer et al. (2012, p. 24).
17Vetores de força: análise bidimensional
b) Solução trigonométrica: regra dos triângulos:
Adicionando os vetores P e Q seguindo o padrão ponta-a-cauda, você encontra o 
vetor força resultante R (Figura 17):
Figura 17. Regra do triângulo.
Fonte: adaptada de Beer et al. (2012, p. 24).
Traçando o prolongamento da reta que contém o vetor P e uma reta perpendicular 
que, do ponto D, a une à extremidade do vetor R, você pode aplicar relações trigono-
métricas e comparar os triângulos obtidos para determinar o módulo e a direção da 
força resultante sobre o parafuso. Observe a Figura 18.
Figura 18. Relações no triângulo.
Fonte: adaptada de Beer et al. (2012, p. 24).
No triângulo BCD:
CD = Q sen25° = 60N sen25° = 25,36N
BD = Q cos25° = 60N sen25° = 54,38N
Vetores de força: análise bidimensional18
No triângulo ADC:
tan A = CD
AD
= 25,36
94,38
= 0,268 então A = tan–1 0,268 = 15°
sin A = CD
R
= 25,36
R
25,36
sin 15
25,36
0,26
 então R = = = 97,53N
α = 20° + A, então α = 20 + 15,04 = 35°
Resposta: a força resultante sobre o parafuso tem intensidade de 97,53N e direção 35°.
Vetores e o plano cartesiano: 
decomposição de forças
Assim como você pode adicionar vetores para obter um vetor soma resultante,também pode fazer o contrário: partir do vetor soma, encontrar os vetores que 
lhe deram origem. Para isso, você precisa decompor o vetor soma (resultante) 
em duas componentes, veja como é simples:
 � Na origem do vetor soma (R), trace duas retas perpendiculares entre si, 
montando um sistema de eixos; por convenção, costuma-se designá-los
por x e y. A direção do vetor R será descrita pelo ângulo α. 
 � Em seguida, partindo da extremidade do vetor soma, trace retas pon-
tilhadas perpendiculares aos eixos desenhados até encontrá-los; por
convenção, essas projeções são denominadas componentes do vetor 
e são designadas por componente x (Rx) e componente y (Ry) do vetor 
em questão. Observe a imagem a seguir:
y
Ry
Rx
R
x
α
19Vetores de força: análise bidimensional
Com base nas relações trigonométricas fundamentais, você pode determinar 
os valores das componentes x e y do vetor R: 
Rx = R cos α e Ry = R sen α
Por convenção, a medida do ângulo α sempre é feita partindo do eixo x positivo. Dessa 
forma, se uma força tem sua componente x para o lado negativo no eixo, seu ângulo 
será maior que 90°. Nesse caso, costuma-se utilizar o ângulo suplementar β e considerar 
o sinal negativo no módulo de F da componente que está no lado negativo do eixo, 
isso facilita os cálculos. Observe a imagem a seguir:
y
Fx
FyF
β α
α > 90°
β = 180 – α
β < 90°
Neste caso:
Fx = – F cos β
Fy = F sen β
Essa relação pode ser aplicada às forças que atuam em um objeto retratado 
em uma situação real. A decomposição das forças em suas components x e y 
simplifica os cálculos, pois você poderá efetuar as somas algébricas das com-
ponentes em x e em y para, depois, determinar o vetor resultante do sistema, 
utilizando o Teorema de Pitágoras.
Vetores de força: análise bidimensional20
Observe a Figura 19, que traz um esboço que representa três forças que atuam sobre 
um objeto. Vamos determinar a força resultante através de suas componentes x e y:
Figura 19. Forças coplanares. Dados: F1 = 5N direção 30°; 
F2 = 8N direção 150°; F3 = 4N direção 315°.
Fonte: adaptada de Vetores... ([201-?]).
Ao decompor as forças, teremos o que aponta a Figura 20 e o desenvolvimento a 
seguir.
Figura 20. Decomposição de forças.
Fonte: adaptada de Vetores... ([201-?]).
21Vetores de força: análise bidimensional
F1x = 5 cos 30° = 5 · 0,86 = 4,3N
F1y = 5 sen 30° = 5 · 0,5 = 2,5N
Agora em F2 e F3, usamos os ângulos suplementares:
180° – 150° = 30° e 360° – 315° = 45°
Assim, teremos:
F2x = – 8 cos 30° = – 8 · 0,86 = – 6,9N
F2y = 8 sen 30° = 8 · 0,5 = 5N
F3x = 4 cos 45° = 4 · 0,70 = 2,8N
F3y = – 4 sen 45° = – 4 · 0,70 = – 2,8N
Agora, podemos calcular as componentes da força resultante (R):
Rx = F1x + F2x + F3x = 4,3N – 6,9N + 2,8N = 0,2N
Ry = F1y + F2y + F3y = 2,5N + 5N – 2,8N = 4,7N
Aplicando o teorema de Pitágoras, teremos:
R2 = Rx
2 + Ry
2
Ou seja,
R = √Rx
2 + Ry
2
R = √0,22 + 4,72 = √0,04 + 22,09
R = 4,7N
Na direção: 
α = tan–1
Ry
Rx
α = tan–1 4,7
0,2
= tan–1 23,5
α = 87,5°
Vetores de força: análise bidimensional22
De forma análoga, pode-se utilizar os vetores unitários do plano cartesiano 
i e j para escrever os vetores de força na forma cartesiana (Figura 21).
Figura 21. Vetores cartesianos.
Fonte: adaptada de Vetores... ([201-?]).
O vetor resultante F pode ser expresso como um vetor cartesiano: 
F = Fxi + Fyj
Para o vetor resultante do exemplo anterior, você poderia escrever:
Rxi = (F1x + F2x + F3x)i = (4,3N – 6,9N + 2,8N)i = (0,2N)i
Ryj = (F1y + F2y + F3y)j = (2,5N + 5N – 2,8N)j = (4,7N)j
R = 0,2i + 4,7j
Tanto o módulo quanto a direção são calculados da mesma maneira que 
foi demonstrada no exemplo. Vejamos outra situação:
23Vetores de força: análise bidimensional
Na Figura 22, a pessoa está puxando a corda com uma força de 300N. Determine as 
componentes x e y da força, bem como sua direção e represente o vetor resultante 
em notação cartesiana.
Figura 22. Esboços para a realização do exercício sobre os componentes da força.
Fonte: adaptada de Beer et al. (2012, p. 31); Lineicons freebird/Shutterstock.com; Yaroslavna 
Zemtsova/Shutterstock.com.
Vetores de força: análise bidimensional24
Com base na Figura 22(a), pode-se representar graficamente a situação como de-
monstrado na Figura 22(b). Pelo esboço (b), teremos:
Fx = 300 cos α
Fy = – 300 sen α
Pelo esboço (a), teremos:
tan α =
6
8
3
4
=
3
4
α = tan–1 = 36,8°
Então: 
Fx = 300 cos 36,8 = 300 · 0,8 = 240N
Fy = – 300 sen 36,8 = – 300 · 0,6 = – 180N
Assim, podemos representar a resultante: 
F = 240i – 180j na direção 36,8°
BEER, F. P. et al. Mecânica vetorial para engenheiros: estática. 9. ed. Porto Alegre: AMGH, 
2012.
VETORES de força. [201-?]. Disponível em: <http://www.eletrica.ufpr.br/ufpr2/profes-
sor/49/TE224/Aula%202%20Vetores.pdf>. Acesso em: 15 fev. 2018.
Leitura recomendada
VESTIBULAR1. Física, cinemática, vetores: exercício específico de física, cinemática, 
vetores. 2000. Disponível em: <http://www.vestibular1.com.br/simulados/simulados-
-por-exercicios/exercicio-de-fisica/fisica-cinematica-vetores/>. Acesso em: 15 fev. 2018.
25Vetores de força: análise bidimensional