Introdução aos Vetores na Física

Prévia do material em texto

Física – Prof. Augusto Melo 
DATA: NOME: 
Vetores 
Introdução: 
 
Imagine-se de pé em um ponto da sala e obedecendo ao 
seguinte comando: dê 3 passos a partir do local em que se 
encontra; posteriormente, dê mais 4 passos e, por último, mova-
se mais 5 passos. Após efetuar esses movimentos, é possível 
responder a quantos passos você estaria da posição inicial? 12 
passos? 2 passos? 
 
No mesmo local em que iniciou a caminhada? As opções 
anteriores são apenas três de inúmeras possíveis respostas para 
essa situação. Uma resposta seguramente correta só pode ser 
dada com o conhecimento de uma informação fundamental: 
para onde foram dados os passos? Algumas grandezas físicas, 
como o deslocamento, somente ficam bem definidas se 
indicarmos além de seu valor numérico, seguido de sua unidade, 
sua direção e seu sentido. 
Se tais indicações não são feitas, a informação é incompleta 
e, portanto, incorreta. 
Este módulo introduzirá uma ferramenta fundamental – o 
vetor – para o estudo de grandezas físicas que, para ficarem 
completamente definidas, necessitam que sejam especificados 
seu módulo (valor numérico com unidade de medida), sua 
direção e seu sentido. Algumas dessas grandezas físicas você já 
conhece, como a velocidade, o deslocamento, a aceleração e a 
força. 
 
 Grandezas Físicas – Denominamos de grandeza tudo aquilo 
que nos passa uma ideia de quantidade. 
 
Exemplos: Tempo, distância, altura, força, velocidade, etc. 
 
Classificação das grandezas físicas 
 
 Grandeza escalar: Necessita apenas de um valor numérico e 
de sua unidade para ficar totalmente determinada. 
 
Exemplos: 
Tempo: Pela manhã, às 9 h inicia-se a 3ª aula. 
Massa: 1 kg de açúcar. 
 
 Grandeza vetorial: Necessita além do valor numérico e da 
unidade (MÓDULO), de uma DIREÇÃO (reta suporte) e de um 
SENTIDO (para onde?) para ficar totalmente determinada. 
 
Exemplo: Na imagem abaixo, o automóvel desloca-se com 
velocidade de 60 km/h. 
 
 
 Acontece que na imagem temos dois automóveis. De qual 
deles estamos falando? Somente dizer que a velocidade é de 60 
km/h não é o bastante. Precisamos dizer para onde (qual o 
sentido do movimento) o veículo está se movendo. 
 Se dissermos que o veículo está se movendo com velocidade 
de 60 km/h, com sentido de A para B, então estamos falando do 
carro 1, porém se dissermos que o sentido é de B para A, então 
trata-se do carro 2. 
 Sempre que precisamos saber o PARA ONDE a grandeza está 
orientada, então temos uma grandeza do tipo vetorial. Caso a 
pergunta “para onde?” não fizer o menor sentido, então temos 
uma grandeza escalar. 
 Para representarmos as grandezas vetoriais, iremos usar 
conceito de vetor. 
 
Vetor 
 
 Um vetor é um ente matemático que representa todos os 
segmentos orientados com a mesma direção, mesmo sentido e 
mesmo módulo, ou seja, o vetor é representado por uma seta. 
Geometricamente, o tamanho do segmento representa o 
módulo do vetor. 
 
 
A figura acima ilustra o vetor AB que tem direção 
horizontal, sentido da esquerda para a direita e módulo dado 
pelo comprimento AB . O vetor AB também pode ser 
designado por uma única letra minúscula d . 
 
Cuidado! Todo vetor é representado por uma seta (segmento de 
reta orientado), mas nem toda seta representa um vetor. 
 
 Um vetor �⃗� é representado pelo seguimento de reta 
orientado 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ onde A é a origem do vetor e B é a extremidade do 
vetor. 
 
Formas de representação de um vetor 
 
 As setas indicativas da grandeza vetorial colocadas em cima 
do nome do vetor (letra), são sempre na direção horizontal e com 
sentido para a direita, independente do sentido ou direção na 
qual o vetor está posicionado. 
 
Vetor oposto e vetor igual 
 
 O vetor oposto possui mesmo módulo, mesma direção e 
sentido oposto ao vetor de origem. 
 
 
 
 
 
2 
Vetores 
 
 Na representação vetorial, o sinal negativo indica o sentido 
oposto para o vetor. 
 
Importante! 
 
Sentido: para onde aponta. 
• Para cima; 
• Para baixo; 
• Para a esquerda; 
• Para a direita. 
 
Direção: reta suporte. 
• Horizontal; 
• Vertical; 
• Oblíqua. 
 
Representação do vetor nulo 
 
 
Observação: 
 Representação errada do vetor nulo: 
 
 Caso coloque a seta indicativa do vetor, coloque as barras de 
módulo no nome (letra) do vetor. 
 
Operações com vetores 
 
• Adição – método do polígono 
Polígono 
aberto 
 
 A resultante é obtida quando fechamos o polígono. 
 Para diferenciar a resultante dos demais vetores 
componentes da soma, esta deve ser posicionada “invertida” em 
relação aos demais vetores, ou seja, a resultante é o único vetor 
que fica organizado origem com origem e extremidade com 
extremidade. Todos os demais componentes são organizados 
com a extremidade encaixando na origem. 
 A ordem com que os vetores são posicionados não altera a 
resultante. 
 
 
 
 Note que embora a forma do polígono fique diferente, a 
resultante (�⃗� ) ficou igual em todos os casos, comprovando que a 
ordem na qual os vetores são posicionados, não altera o valor da 
mesma. 
 A regra do polígono pode ser utilizada na adição de qualquer 
número de vetores, para a sua aplicação, devemos colocar os 
vetores de modo que: 
1) A origem do segundo vetor coincida com a extremidade do 
primeiro; 
2) A origem do terceiro vetor coincida com a extremidade do 
segundo e, assim, sucessivamente. 
3) O vetor soma é determinado ligando-se a origem do 
primeiro à extremidade do último vetor traçado. 
 
 
 
Polígono 
fechado 
 
 
 Quando o polígono fica fechado (todos os vetores encaixados 
com a extremidade de um coincidindo com a origem do outro), a 
resultante é nula. 
 
• Adição – método do paralelogramo 
 
 
 
Atenção! A regra do paralelogramo não é a Lei dos cossenos, pois 
tem sinal diferente desta. 
 
 
 
 
0V =
a b c+ =
0a b c+ + =
2 2 2
1 2 1 22 cosRF F F F F = +  +
 
 
 
 
 
3 
Vetores 
• Adição de vetores – Lei dos cossenos 
 
 Por isso na regra do paralelogramo o sinal é positivo e na lei 
dos cossenos o sinal é negativo. 
 
 
Casos particulares de adição de vetores 
 
1. Vetores paralelos e de mesmo sentido (𝜃 = 00). 
 
 
2. Vetores paralelos e de sentidos opostos (θ = 1800). 
 
 
3. Vetores ortogonais (θ = 900). 
 
 
Resumo 
 
 
 
Valores máximos e mínimos de adição de vetores 
 
S a b= +
 
S a b= − 
Valor máximo Valor mínimo 
 
 
 
Subtração de vetores 
 
 
 
 
O vetor diferença entre a e b ( d a b= − ) pode ser obtido 
pela soma do vetor a com o oposto de b : 
( )d a b d a b= −  = + − . 
O oposto do vetor b , ou seja, o vetor b− , tem o mesmo 
módulo e mesma direção de b , porém sentido contrário. 
 
A subtração vetorial pode ser feita pela adição do vetor 
oposto do subtraendo ou pelo segmento orientado ligando as 
extremidades dos vetores 
 
Lei dos senos 
 
 
 
Decomposição de vetores 
 
 
 
 
 
1 2RF F F= − ( )1 2RF F F= + −
 
 
 
 
 
4 
Vetores 
Versores 
 
Os vetores de bases, chamados de versores, são unitários. 
Usaremos o versor î para a direção horizontal e o versor ĵ para 
a direção vertical, sendo ˆ ˆ 1i j= = . 
 
 
 
 
 
 
 
Multiplicação de um número real por um vetor 
 
O produto de um número real n , não nulo, por um vetor A 
é um vetor B tal que: 
• Módulo: B n A=  
• Direção: A mesma de A 
• Sentido: O mesmo de A se n for positivo e oposto ao de 
A se n for negativo. 
 
Exercícios 
 
01. (Cesgranrio-RJ) Na figura abaixo estão representados os 
vetores a , b e c e os versores i e j . Assinale a sentença 
errada: 
 
a) 2b j= b) 3a i= 
c) ( )2c i j= + d) c a b= + 
e) 2 2c = 
 
02. Considere um relógio com mostrador circular de 10 cm de 
raio e cujo ponteiro dos minutos tem comprimento igual ao 
raio do mostrador. Considere esse ponteiro como um vetor 
de origem no centro do relógio e direção variável. O módulo 
da soma dos três vetores determinados pela posição desse 
ponteiro quando o relógio marca exatamente 12 horas, 12 h 
e 20 minutose, por fim, 12 horas e 40 minutos é, em cm, 
igual a: 
a) 30 b) 10 (1 + √3) 
c) 20 d) zero 
 
03. Com seis vetores de módulos iguais a 8 u, construiu-se o 
hexágono regular a seguir. O módulo do vetor resultante 
desses 6 vetores é: 
 
a) 40 u b) 32 u c) 24 u d) 16 u e) zero 
 
04. Na figura abaixo, onde o reticulado forma quadrados de 
lados L = 0,5 cm, estão desenhados 10 vetores contidos no 
plano XY. O módulo da soma de todos esses vetores é, em 
centímetros: 
 
a) 0,0 b) 0,5 c) 1,0 d) 1,5 e) 2,0 
 
05. (UFTMA) A figura apresenta uma “árvore vetorial” cuja 
resultante da soma de todos os vetores representados tem 
módulo, em cm, igual a: 
 
 
a) 8 b) 26 
c) 34 d) 40 
e) 52 
 
 
 
 
 
 
5 
Vetores 
06. (UEPG – PR) Quando dizemos que a velocidade de uma bola 
é de 20 m/s, horizontal e para a direita, estamos definindo a 
velocidade como uma grandeza: 
a) Escalar b) Algébrica 
c) Linear d) Vetorial 
e) n.d.a. 
 
07. As forças F1 , F2 e F3 , cujas intensidades são, 
respectivamente, 2,0 N, 6,0 N e 3,0 N, têm direções 
coincidentes com as arestas de um bloco retangular, 
conforme esquema abaixo. 
 
A intensidade da resultante dessas três forças vale, em 
newtons, 
a) 3,7 b) 5,5 
c) 7,0 d) 9,3 
e) 11 
 
08. (Fatec-SP) No gráfico anexo estão representados três 
vetores a , b e c . Os vetores î e ĵ são unitários. Analise 
as expressões: 
 
(I) ˆ ˆ2 3a i j= + 
(II) ˆ2b j= 
(III) ˆ1b c i+ = + 
Podemos afirmar que: 
a) são corretas apenas a (I) e a (II). 
b) são corretas apenas a (II) e a (III). 
c) são corretas apenas a (I) e a (III). 
d) são todas corretas. 
e) há apenas uma correta. 
 
09. (UECE) Considere as 10 forças representadas pelos vetores 
na figura. 
 
Marque a opção que melhor representa a resultante dessas 
dez forças. 
a) b) 
 
c) 
 
d) 
 
10. (UEPG) Sobre os movimentos e suas características, assinale 
o que for correto. 
01. 
O vetor velocidade de uma partícula que executa 
um movimento circular uniforme tem intensidade 
constante. 
02. 
O estado de movimento de um móvel depende do 
referencial adotado. 
04. 
Uma partícula movimentando-se com aceleração 
constante pode, em um dado instante, apresentar 
velocidade nula. 
08. 
Uma roda deslizando sobre um plano inclinado 
executa um movimento rotacional. 
 
11. (FATEC) Duas forças têm intensidades F1 = 10 N e F2 = 15 N. 
O módulo da resultante da soma vetorial desses dois vetores 
não pode ser 
a) 4N b) 10N c) 15N d) 20N e) 25N 
 
12. (UFAL) A localização de um lago, em relação a uma caverna 
pré-histórica, exigia que se caminhasse 200 m numa certa 
direção e, a seguir, 480 m numa direção perpendicular à 
primeira. A distância, em linha reta, da caverna ao lago era, 
em metros, de 
a) 680 b) 600 
c) 540 d) 520 
e) 500 
 
13. (UFAL) Uma partícula está sob ação das forças coplanares, 
conforme o esquema seguinte. A resultante delas é uma 
força, de intensidade, em N, igual a 
 
a) 110 b) 70 
c) 60 d) 50 
e) 30 
 
14. Um corpo Q está sob a ação simultânea de três forças: duas 
de mesmo módulo F e outra de módulo P. 
 
Sendo sen 37° = 0,60 e cos 37° = 0,80, assinale a resposta que 
apresenta a relação na qual a soma vetorial das três forças 
dadas apresenta uma resultante vertical para cima. 
a) 2 · F · sen 37° = P b) F · sen 37° = P 
c) 2 · F · cos 37° < P d) 2 · F · cos 37° > P 
e) F · cos 37° = P 
 
 
 
 
 
 
6 
Vetores 
15. O módulo do vetor soma dos cinco vetores dados na figura a 
seguir vale, em cm, 
 
a) 5 b) 7 
c) 8 d) 10 
e) ZERO 
 
16. Na correção ortodôntica de uma arcada dentária, foi 
passado, num dos dentes caninos, um elástico. As 
extremidades desse elástico foram amarradas a dois 
molares, um de cada lada da arcada, conforme a figura 
abaixo. A tensão no elástico é de 10,0 N e o ângulo formado 
pelas duas partes do elástico é de 90°. Nas figuras 1 e 2 estão 
representadas duas possibilidades para a direção e o sentido 
da força resultante FR, que está atuando sobre o referido 
dente canino. 
 
Assinale a opção na qual se indica, corretamente, a figura 
que representa FR e o valor de sua intensidade. 
a) Figura 1 e 14,1 N b) Figura 2 e 14,1 N 
c) Figura 1 e 10,0 N d) Figura 2 e 10,0 N 
e) Figura 1 e 20 N 
 
17. Dois vetores, M e N são tais que |M| = |N| = M. O vetor M 
é fixo e o vetor N pode girar em torno do ponto O (veja a 
figura) no plano formado por M e N. 
 
Sendo R = M + N, indique, entre os gráficos abaixo, aquele 
que pode representar a variação |R| como função do ângulo 
𝜃 entre M e N. 
 
 
18. A figura seguinte representa um paralelepípedo regular de 
faces paralelas. 
 
Determine o módulo da soma dos vetores A e .B 
a) 10 cm b) 12 cm 
c) √144 cm d) 22 cm 
 
19. A figura mostra 5 forças representadas por vetores de 
origem comum, dirigindo-se aos vértices de um hexágono 
regular. 
 
Sendo 10 N o módulo da força ,CF a intensidade da 
resultante dessas 5 forças é: 
a) 50 N b) 45 N c) 40 N d) 35 N e) 30 N 
 
20. Uma partícula sofre quatro deslocamentos sucessivos 1,d 
2 ,d 3d e 4 ,d representados na figura a seguir. 
 
O deslocamento resultante d da partícula está descrito 
corretamente em 
a) ˆ ˆ4 2d i j= − + b) ˆ ˆ2 4d i j= − + 
c) ˆ ˆ2 4d i j= + d) ˆ ˆ4 2d i j= + 
e) ˆ ˆ4 4d i j= + 
 
GABARITO 
01 02 03 04 05 
D D B E D 
06 07 08 09 10 
D C D B 07 
11 12 13 14 15 
A D D D A 
16 17 18 19 20 
A B C E D