Questões vestibular área de círculos

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Questões de área de círculos
Beatriz, Gabriel Urias, Gabriela, Julia Belline, Manuela, Rafaela e Thaís
1)FUVEST/2021
Quatro tanques cilíndricos são vistos de cima (em planta baixa) conforme a figura. Todos têm 10 m de raio e seus centros se posicionam em vértices dos dois quadrados tracejados adjacentes, ambos com 30 m de lado. Uma fita de isolamento, esticada e paralela ao solo, envolve os 4 tanques, dando uma volta completa (linha em laranja na figura). 
O comprimento da fita, em metros, é: 
a) 20π + 30(3 + √2)
b) 20π + 30(4 + √2)
c) 25π + 15(4 + √2)
d) 25π + 30(4 + √2)
e) 20π + 30(4 + 2√2)
Resolução:
C equivale ao valor de comprimento da circunferência de raio (R) igual a 10 m, logo:
C = 2𝜋R
C = 2𝜋10 m
C = 20𝜋 m
Em azul, temos as retas 60 + 30 + 30 = 120.
Em verde, temos a diagonal do quadrado de lado igual a 30. A diagonal do quadrado de lado 30 vale 30√2.
Em vermelho, temos 3 arcos que possuem ângulo de 90°, ou seja,  representam cada um, 1/4 da circunferência.  Somam juntos 3.(C/4).
Em preto, temos 2 arcos que possuem ângulo de 45°, ou seja, representam cada um, 1/8 da circunferência. Somam juntos 2 • (C/8) = (C/4).
Em seguida somamos os arcos em vermelho e preto:
3C/4 + C/4=
4C/4= C
E sabemos que C = 20𝜋
Por ultimo somamos todos os valores e temos:
120 + 30√2 + 20𝜋=
20π + 30(4 + √2)
2)NC-UFPR/2021
Na figura ao lado, há uma circunferência de centro C. Se o ângulo a mede π/3 radianos, a razão entre a área do setor circular PCQ e a área do triângulo PCQ é:
a)√3/3
b)2π/3
c)2π√3/9
d)π√3/6
e)4π√3/9
Resolução:
Área do Setor PCQ = [ (π/3) / 2π ] • π . R²=
(π/6π) • π • R²= 
(1/6) • π • R²=  
( π • R² ) / 6
Área do Triângulo PCQ = 1/2 • sen (π/3) • R • R
 = 1/2 • √3 / 2 • R²
 = ( R² • √3 ) / 4
Agora, basta dividir:
[ ( π • R² ) / 6 ] / [ ( R² • √3 ) / 4 ] 
[ ( π • R² ) / 6  ] • [  4 /  ( R² . √3 )   ] 
[ π / 6 ] • [ 4 / √3 ]
4 π  / 6 √3     ( vamos multiplicar por  √3 / √3 )
(4 π √3 ) / ( 6 • 3 )
(4 π √3 ) / ( 18 )
(2 π √3) / 9 
3)VUNESP/2019
Os microplásticos são fragmentos de plásticos com dimensões micrométricas. Embora sua presença nos oceanos seja conhecida desde os anos 1970, apenas em 2004 o termo “microplástico” foi incorporado à literatura científica pelo pesquisador britânico Richard Thompson, professor de biologia marinha da Universidade de Plymouth, na Inglaterra. Os oceanos são o repositório de boa parcela do microplástico produzido em terra, uma vez que recebem as águas de rios, riachos e esgotos.
(https:/revistapesquisa.fapesp.br, julho de 2019. Adaptado.)
Observe o gráfico sobre a distribuição de fontes de microplásticos nos oceanos do mundo: 
Considerando que as áreas dos círculos são proporcionais ao respectivo percentual indicado e adotando raio R para o círculo que representa os têxteis sintéticos e raio r para o que representa os pneus de carros, com R e r medidos na mesma unidade, tem-se que R pode ser escrito em função de r da seguinte forma:
a)R = 107/100 • r
b)R = 17/15  • r
c)R = 5/4  • r
d)R = √5/2 • r
e)R = 2π /√5 • r
Resolução:
o percentual é proporcional a AREA.
logo:
R² • π =35/100 ou R² • π • 100/35
r² • π =28/100 ou r¹ • π • 100/28
pra colocar um em função do outro, a gente iguala os dois, deixando o R isolado:
R² • π • 100/35 = r² • π • 100/28
R²= r² • π • 100 • 35/100 • 28
R²=r² • 5/4
R= √ (r² • 5/4)
R= r • √5/2
4)IFG/2019 
Se o raio R de uma circunferência for reduzido pela metade, é correto afirmar que:
A) O valor da área círculo ficará reduzida pela metade do valor da área do círculo inicial de raio R.
B) O valor da área do círculo ficará a ¾ do valor da área do círculo inicial de raio R.
C) O comprimento da circunferência se reduzirá a ¼ do valor do comprimento da circunferência inicial de raio R.
D) O comprimento da circunferência se reduzirá à metade do valor do comprimento da circunferência inicial de raio R.
Resolução:
Se o raio for divido pela metade, obteremos r ÷ 2.
Analisando as alternativas, verificaremos a redução na área e no comprimento.
Sabemos que a área é A = πr². Se o raio for reduzido pela metade, teremos:
Logo, a área será ¼ da área anterior, o que faz com que as alternativas A e B sejam falsas.
Calculando o comprimento, temos:
Note que o comprimento foi reduzido pela metade.
5)Enem/2019 
Em um condomínio, uma área pavimentada, que tem a forma de um círculo com diâmetro medindo 6 m, é cercada por grama. A administração do condomínio deseja ampliar essa área, mantendo seu formato circular e aumentando, em 8 m, o diâmetro dessa região, mantendo o revestimento da parte já existente. O condomínio dispõe, em estoque, de material suficiente para pavimentar mais 100 m² de área. O síndico do condomínio avaliará se esse material disponível será suficiente para pavimentar a região a ser ampliada.
A conclusão correta a que o síndico deverá chegar, considerando a nova área a ser pavimentada, é a de que o material disponível em estoque:
(Use π = 3)
A) será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 21 m².
B) será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 24 m².
C) será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 48 m².
D) não será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 108 m².
E) não será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 120 m².
Resolução:
A área inicialmente possuía um raio de 3 metros. Como o diâmetro será aumentado em 8m, essa região terá 14 metros de diâmetro, ou seja, 7 metros de raio. Calculando a diferença entre essas áreas:
A1= πr² = 3 · 3² = 27 m²
A2 = πr² = 3 · 7² = 147 m²
147 – 27 = 120 m²
Logo, a quantidade de material não será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 120 m.
6) UPE
Uma coroa circular é a região limitada por dois círculos concêntricos com raios de medidas distintas. Qual é a área de uma coroa circular cujos raios medem 10 cm e 20 cm?
a) 942 cm2
b) 1000 cm2
c) 1042 cm2
d) 1142 cm2
e) 2000 cm2
Resolução:
A área da coroa circular é dada pela área da circunferência maior menos a área da circunferência menor. Se R e r são os respectivos raios, a fórmula poderá ser dada por:
А = π R2 π г2
А = π(R2 - г2)
Substituindo os valores dos raios e de π, teremos:
А = π (R2 - г2)
A = 3,14(202-102)
A = 3,14(400 - 100)
A = 3,14(300)
A = 942 cm2
7) Santa Casa-SP
 Um lago circular de 20 m de diâmetro é circundado por um passeio, a partir das margens do lago, de 2 m de largura. A área do passeio representa a seguinte porcentagem da área do lago:
a)10%
b)20%
c)15%
d)32%
e)44%
Resolução:
Nesse caso como calcular a área do passeio diretamente é impensável nós vamos fazer o seguinte:
Área do passeio = Área do círculo total - Área do lado
Lembrando que o círculo total pode ser encontrado somando: lago + passeio
A fórmula p/ o cálculo da área de um círculo é dada por:
Área = π · r²
Calculando a área do lago, lembrando que o diâmetro é = 2 · r nós temos que:
2 · r = 20
r = 20/2 = 10 m
Área do lago → π · r² → π · 10² = 100π
Calculando agora a área do círculo total :
Área total = π · r² → r = largura do passeio + raio do lago
Área total = π.(2 + 10)² → π.12² → 144π
Área do passeio = Área do círculo total - Área do lago
Área do passeio = 144π - 100π = 44π
Agora é só fazermos uma regra de 3 para acharmos a porcentagem pedida pelo exercício:
Área do lago = 100%
100π -------- 100%
44π ---------- x
X = 44%
8) UNEMAT 2012
Se o raio de um círculo aumenta 20%, então a sua área aumentará:
a) 0%.
b) 10%.
c) 20%.
d) 40%.
e) 44%.
Resolução:
Vamos considerar que a área inicial do círculo seja A = x · r2. 
A partir disso, aumentamos em 20% do valor do raio, que passará a ser 1,2 · r, ou seja:
A’= x · (1,2 · r)2
Com isso, realizam-se os novos cálculos e percebe-se que:
A’= x · 1,44 · r2
Nota-se, então que, A’ = 1,44 · A. De forma que houve um aumento de 44% na área total do círculo.
9)IFSP/2016 
Uma praça pública em forma de circunferência tem raio de 18 metros. Diante do exposto, assinale a alternativa que apresenta sua área:
a) 1.017,36 m2
b) 1.254,98 m2
c) 1.589,77 m2
d) 1.698,44 m2e) 1.710,34 m2
Resolução:
Para encontrar a área da praça, devemos utilizar a fórmula da área do círculo:
A = π · R2
Substituindo o valor do raio e considerando π = 3,14, encontramos:
A = 3,14 · 182 = 3,14 · 324 = 1 017, 36 m2
Portanto, a área da praça é de 1 017, 36 m2
10)UNICAMP/2021
A figura abaixo exibe três círculos tangentes dois a dois e os três tangentes a uma mesma reta. Os raios dos círculos maiores têm comprimento 𝑅 e o círculo menor tem raio de comprimento 𝑟.
A razão 𝑅/𝑟 é igual a:
a)3.
b)√10.
c)4.
d)2√5.
Resolução:
Do esquema, temos que:
(R + r)² = R² + (R − r)²
R² + 2rR + r² = R² + R² − 2rR + r²
4rR = R²
R/r = 4