Matemática-01-Moderna-Plus-0376-0378

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69 Calcule:
a) a área de um círculo inscrito em um quadrado 
de lado 6 cm;
b) a área de um círculo circunscrito a um quadrado 
de lado 6 cm.
 (Nota: Uma circunferência está inscrita em um 
polígono quando tangencia todos os lados do po-
lígono. E uma circunferência está circunscrita a 
um polígono quando passa por todos os vértices 
do polígono.)
70 (Unama-AM) Um dos tipos de janela usados na 
construção civil é o modelo denominado janela 
Norman (retângulo com um semicírculo no topo). 
Uma dessas janelas possui semicírculo de raio 
R 5 60 cm, conforme figura abaixo. Calcule a quan-
tidade de metro quadrado de madeira necessária 
para fechar totalmente essa janela.
71 (UFG-GO) Um pivô central é usado para irrigação de 
um terreno circular de 500 metros de raio. Quantos 
metros cúbicos de água são necessários para irrigar 
o terreno espalhando em média 5 litros/m2?
72 (Enem) Uma empresa produz tampas circulares 
de alumínio para tanques cilíndricos a partir de 
chapas quadradas de 2 metros de lado, conforme 
a figura.
EXERCÍCIOs pROpOstOs
2R
3R
2 m
2 m
grande média pequena
área do 
círculo:
πr2
73 Calcule a área do setor circular colorido na figura a 
seguir:
O
80°
(centro O)
6 cm
 Para uma tampa grande, a empresa produz quatro 
tampas médias e dezesseis tampas pequenas. As 
sobras de material da produção diária das tampas 
grandes, médias e pequenas dessa empresa são 
doadas, respectivamente, a três entidades: I, II e 
III, para efetuarem reciclagem do material. A partir 
dessas informações, pode-se concluir que:
a) a entidade I recebe mais material do que a enti-
dade II.
b) a entidade I recebe metade de material do que a 
entidade III.
c) a entidade II recebe o dobro de material do que 
a entidade III.
d) as entidades I e II recebem, juntas, menos mate-
rial do que a entidade III.
e) as três entidades recebem iguais quantidades de 
material.
74 Um círculo de raio 6 cm foi dividido em setores cir-
culares para ser usado como um gráfico estatístico, 
conforme a figura.
100°
(II)
(III)
(IV)
(I)
a) Calcule a área AI do setor I.
b) Sabendo que a área do setor III é 8s cm2, calcule 
a medida a do ângulo central desse setor.
c) Sabendo que o comprimento do arco do setor II 
 é 13s ____ 
3
 cm, calcule a medida d do ângulo central 
 desse setor.
d) De acordo com as informações dos itens ante-
riores, calcule a área do setor IV.
364
C
a
p
ít
u
lo
 1
0
 • 
G
e
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m
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ia
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.1
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.6
10
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re
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 d
e 
19
98
.
CAP 10.indb 364 03.08.10 13:13:44
75 Calcule a área do segmento circular colorido no 
círculo de centro C e raio 5 cm, abaixo.
C
5 cm
5 cm
77 Calcule a área da coroa circular limitada pelas cir-
cunferências inscrita e circunscrita a um quadrado 
de lado 4 cm.
78 A figura abaixo mostra três circunferências con-
cêntricas, sendo 4 cm e 5 cm a medida do raio das 
duas maiores. Sabendo que as regiões coloridas 
têm áreas iguais, calcule a medida r do raio da 
circunferência menor.
Resolva os exercícios complementares 25 a 27 e 44.
r
 Razão entre áreas de figuras semelhantes
Vamos considerar os triângulos semelhantes ABC e DEF, tal que a razão de semelhança do 
primeiro para o segundo seja k:
Calculando a razão da área do primeiro triângulo para a área do segundo triângulo, temos:
 
 
ap
 ___ 
2
 
 ___ 
 
dq
 ___ 
2
 
 5 
ap
 ___ 
dq
 5 
a
 __ 
d
 3 
p
 __ q 5 k 3 k 5 k2
Dessa maneira, deduzimos a seguinte propriedade:
A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão de se-
melhança entre eles. 
A razão entre as áreas de duas figuras semelhantes é igual ao quadrado da razão de seme-
lhança entre essas figuras. 
essa propriedade pode ser generalizada para quaisquer figuras semelhantes:
76 No círculo abaixo, a corda AB mede 6 cm e é lado 
de um hexágono regular inscrito na circunfe-
rência de centro C. Calcule a área do segmento 
circular colorido.
C
A B
A
p
q
a d
B C E
D
F
 
a
 __ 
d
 5 
p
 __ q 5 k
365
S
e
ç
ã
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 1
0
.4
 • 
C
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 d
e 
19
98
.
CAP 10.indb 365 03.08.10 13:13:45
19 As áreas dos triângulos ABC e ADE, representados 
abaixo, são 48 dm2 e 3 dm2, respectivamente. Dado 
que DE/CB e que a altura, relativa à base CB, do 
triângulo ABC mede 8 dm, calcular a medida da 
altura do triângulo ADE, relativa à base DE.
20 Quando o plano da lente circular de uma lanterna é 
paralelo ao plano de uma parede, a área do círculo 
de luz projetado na parede é o quíntuplo da área da 
lente. Calcular a razão entre a medida R do raio do 
círculo projetado e a medida r do raio da lente.
EXERCÍCIOs REsOlvIdOs
Resolução
 Os triângulos ADE e ACB são semelhantes; logo, a 
razão entre suas áreas é igual ao quadrado da razão 
de semelhança entre eles. Indicando por h a medida 
da altura pedida, temos:
Resolução
 A razão de semelhança entre o círculo projetado e 
o círculo da lente, nessa ordem, pode ser calculada 
 pela razão entre as medidas dos raios, isto é, R __ 
r
 .
 Sendo A a área do círculo da lente, o enunciado in-
forma que a área do círculo projetado é 5A, portanto, 
pela propriedade anterior, temos:
 48 ___ 
3
 5 @ 8 __ 
h
 # 2 ] 16 5 @ 8 __ 
h
 # 2 
} 4 5 8 __ 
h
 
} h 5 2
 Concluímos, então, que a altura do triângulo ADE, 
relativa à base DE, mede 2 dm.
 5A ___ 
A
 5 @ R __ 
r
 # 2 ] 5 5 @ R __ 
r
 # 2 
} R __ 
r
 5 dll 5 
8 dm
h
A
D E
C
B
79 (Uerj) Unindo-se os pontos médios dos lados do 
triângulo ABC, obtém-se um novo triângulo AeBeCe, 
como mostra a figura.
80 No trapézio ABCD, representado a seguir, as diago-
nais se cruzam em P. Sabendo que a distância entre 
P e a base DC é o triplo da distância entre P e a base 
AB, e que a área do triângulo ABP é 6 cm2, calcule a 
área do triângulo CDP.
81 (UFJF-MG) Um mapa está desenhado em uma escala 
em que 2 cm correspondem a 5 km. Uma região as-
sinalada nesse mapa tem a forma de um quadrado 
de 3 cm de lado.
 A área real dessa região é de:
a) 37,50 km2 c) 67,50 km2
b) 56,25 km2 d) 22,50 km2
82 Trabalhando no mapeamento de uma região plana, 
um topógrafo fotografou-a de um avião, constatan-
do que a imagem dessa região, na foto, tem 18 cm2. 
A seguir, mediu a distância entre dois pontos P e Q 
da região e a distância entre as respectivas imagens 
Pe e Qe desses pontos na foto, obtendo: PQ 5 150 m 
e PeQe 5 3 cm, conforme mostra o esquema abaixo. 
Qual é a área da região fotografada?
EXERCÍCIOs pROpOstOs
Resolva os exercícios complementares 28 a 30 e 45.
 Se S e Se são, respectivamente, as áreas de ABC e 
 AeBeCe, a razão S __ 
Se
 equivale a:
a) 4 b) 2 c) dll 3 d) 3 __ 
2
 
P
A
D C
B
C�
C
B�
A�
A B
Q
P
150 m
região foto
Q�
P�
3 cm
EXERCÍCIOs COmplEmEntaREs
366
C
a
p
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u
lo
 1
0
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G
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 d
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19
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