Nivelamento em Matemática Básica 4

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Nivelamento em Matemática Básica
Regra de três simples e composta
Apresentação
A regra de três é conhecida e utilizada em várias áreas do conhecimento. É uma ferramenta necessária também para tarefas do cotidiano, uma vez que permite fazer cálculos de proporção e encontrar valores desconhecidos com base em relações proporcionais.
A regra de três é um processo de resolução de problemas que envolve duas ou mais grandezas direta ou inversamente proporcionais. Esse processo matemático permite descobrir um valor não identificado, por meio de outros três ou mais valores conhecidos.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai estudar a regra de três simples e a regra de três composta, analisando exemplos, formas de resolução e aplicações práticas. Além disso, você vai conhecer o que são grandezas direta e inversamente proporcionais.
Bons estudos.
Desafio
Para se prevenir de infrações de velocidade, saber como funciona um radar móvel é quase uma obrigação de qualquer condutor. Nesse cenário, dificilmente você vai pegar a estrada sem cruzar com algum tipo de radar de trânsito. Eles foram pensados para coibir os excessos ao volante e proporcionar mais segurança à população.
Nesse sentido, analise a situação a seguir:
.
A partir disso, responda:
a) O carro A, a uma velocidade média de 80 km/h, demorou 3 horas para percorrer um trecho entre pedágios, enquanto o carro B demorou 1 hora e 30 minutos para percorrer o mesmo percurso. Avalie qual é a velocidade média desse carro e diga se ele seria fotografado.
b) No caso em que o carro B tenha demorado 2 horas e 30 minutos para percorrer o mesmo percurso, qual é a velocidade média desse carro? Nessas condições, ele seria fotografado?
Escreva sua resposta no campo abaixo:
As grandezas são inversamente proporcionais, uma vez que, nesse caso, se o tempo de viagem diminui, logo, a velocidade média deverá aumentar. Montando a proporção, tem-se: 3/1,5 = 80/x.
Assim, para calcular a velocidade média solicitada, deve-se inverter uma das razões: 3/1,5 = x/80.
1,5x = 3 × 80
1,5x = 240
x = 240 ÷ 1,5 = 160 km/h
Como a velocidade máxima permitida é 120 km/h, logo, o carro que percorreu o percurso em velocidade média de 160 km/h foi fotografado.
b) Agora considera-se que o carro B tenha demorado 2 horas e 30 minutos. Uma hora tem 60 minutos e, portanto, 2 horas e 30 minutos representam 2,5h. Utilizando a regra de três simples para encontrar a velocidade média do carro, tem-se que:
Tempo (h): 3 2,5 Velocidade média (km/h): 80 x
Note que as grandezas são inversamente proporcionais, uma vez que, nesse caso, se o tempo de viagem diminui, logo, a velocidade média deverá aumentar. Montando a proporção, tem-se: 3/2,5 = 80/x.
Assim, para calcular a velocidade média solicitada, devemos inverter uma das razões: 3/2,5 = x/80.
2,5x = 3 × 80
2,5x = 240
x = 240 ÷ 2,5 = 96 km/h
Como a velocidade máxima permitida é 120 km/h, logo, se o carro B percorreu o percurso em velocidade média de 96 km/h, ele não foi fotografado.
Infográfico
A regra de três simples e composta é a proporção entre duas grandezas ou mais, que podem ser velocidades, tempos, áreas, distâncias, cumprimentos, etc. Trata-se de um método de resolução de problemas com larga aplicação, não apenas na matemática, mas também na física, na química e em outras situações constantes do dia a dia.
Neste Infográfico, você vai ver as diferenças entre a regra de três simples e a composta. ​​​​​​​​​​​​​​ Acompanhe as particularidades de cada uma delas.
Exercícios
1. Algumas situações envolvendo porcentagem podem ser resolvidas por meio de uma regra de três simples. Sempre que utilizarmos a regra de três no intuito de determinar porcentagens, devemos relacionar a parte do todo com o valor de 100%.
Nesse contexto, considere que José recebeu um aumento em seu salário. A partir do próximo mês ele receberá R$ 2.000,00. Se antes o valor que ele recebia era de R$ 1.600,00, é correto afirmar que o percentual de aumento no salário de José foi de:
A. 125%.
B. 25%.
C. 80%.
D. 20%.
E. 200%.
Você acertou!
B. 25%.
Salário (R$):
1.600
2.000
Percentual (%):
100 x
Montando a proporção, tem-se que:
1.600/2.000 = 100/x
Assim, para calcular o percentual de aumento no salário de José:
1.600x = 2.000 × (100)
1.600x = 200.000
x = 200.000 ÷ 1600
x = 125%
O novo salário de José representa 125% do salário antigo. Logo, o percentual de aumento é 125% – 100% = 25%.
2. Um sistema bancário analisa o grau de endividamento dos clientes para liberar empréstimos e estabelece que o cliente não deve ter dívidas que superem 30% de sua renda mensal.
Considere que determinado cliente tem um financiamento de R$ 967,58, que representa 13,78% de sua renda mensal. Nesse contexto, é correto afirmar que o valor máximo da parcela mensal de seu financiamento corresponde a:
A. R$ 29.027,40.
B. R$ 7.021,63.
C. R$ 2.106,49.
D. R$ 1.444,44.
E. R$ 1.935,16.
Você acertou!
C. R$ 2.106,49.
Financiamento (R$): 967,58 x
Percentual (%): 13,78 30
Montando a proporção, tem-se que:
967,58/x = 13,78/30
Assim, para calcular o valor máximo da parcela mensal do financiamento:
13,78x = 967,58 × (30)
13,78x = 29.027,40
x = 29.027,40 ÷ 13,78
x = 2.106,49
O valor máximo da parcela mensal do financiamento deve representar 30% da renda mensal, logo, é R$ 2.106,49.
3. Na hora de realizar o sonho da casa própria, a maioria das pessoas adquire um imóvel por meio do financiamento imobiliário. De modo geral, há um consenso no mercado de que o comprometimento de renda ideal para qualquer financiamento é de, no máximo, 30%.
Considere que um cliente tem um financiamento de R$ 850,00, que representa 20% de sua renda mensal. Nesse contexto, é correto afirmar que o valor da sua renda mensal é:
A. R$ 85.000,00.
B. R$ 170,00.
C. R$ 425.000,00.
D. R$ 4.250,00.
E. R$ 3.400,00.
Você acertou!
D. R$ 4.250,00.
Financiamento (R$):850,00 x
Percentual (%): 20 100
Montando a proporção, tem-se que:
850/x = 20/100
Assim, para calcular o valor da renda mensal:
20x = 850 × (100)
x = 85.000 ÷ 20
x = 425.000
O valor da renda mensal é R$ 4.250,00.
4. Cada vez mais a tecnologia se faz presente em nosso cotidiano. Atualmente já existem softwares para apoiar a gestão de grãos, proporcionando ganho de lucros reais, com prevenção de fraudes e quebras de safra.
Sabendo disso, considere que tenha sido desenvolvido um software que controla o carregamento de grãos e que, em 10 horas, o software controla o carregamento de 6.525m3. Nessas condições, é correto afirmar que em 7 horas o carregamento será de:
A. 45.675m3.
B. 4.567,50m3.
C. 9.321,43m3.
D. 3.262,50m3.
E. 65.250m3.
Você acertou!
B. 4.567,50m3.
Tempo (h): 10 7
Carregamento (m³): 6.525 x
Montando a proporção, tem-se que:
10/7 = 6.525/x
Assim, para calcular o carregamento:
10x = 6.525 × (7)
10x = 45.675
x = 45.675 ÷ 10
x = 4.567,50
O carregamento é de 4.567,50m3.
5. A regra de três simples é um mecanismo da matemática utilizado para resolver problemas que envolvem mais de duas grandezas que são direta ou inversamente proporcionais. Para resolver um problema que envolve mais de duas grandezas, organizamos os dados do problema e, em seguida, analisamos se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais.
Considere que uma fábrica de processadores possui 12 máquinas automatizadas que produzem aproximadamente 15.850 peças em 4 horas de trabalho. Nesse contexto, é correto afirmar que o número de peças produzidas por 18 máquinas em 6 horas é igual a:
A. aproximadamente 1.711.800 peças.
B. aproximadamente 35.662 peças.
C. aproximadamente 15.850 peças.
D. aproximadamente 7.044 peças.
E. aproximadamente 23.775 peças.
Você acertou!
B. aproximadamente 35.662 peças.
Máquinas:12 18
Produção (peças): 15.850 x
Tempo de trabalho (h): 4 6
15.850/x = 12/18 × 4/6
15.850/x = 48/108
48x = 1.711.800
x ≈ 35.662
O número de peças produzidas por 18 máquinas em 6 horas é aproximadamente 35.662 peças.
Na prática
A conta de energia elétrica no Brasil é cara. Existem diversos gatilhos que podem gerar aumentos na nossa conta de luz. Parte da energia do país é produzidade forma terceirizada, e isso implica custos de transmissão, distribuição e comercialização da energia, que são cobrados de forma individual e proporcional ao consumidor.
A tarifa é gerada pela diferença entre a leitura do mês atual e o mês anterior, utilizando-se do kWh para a medição. Assim, é calculado o valor consumido por toda a unidade no período de leitura mensal.
Confira, Na Prática, uma situação em que foi necessário realizar o cálculo da energia elétrica de uma residência.