13 - Derivada II

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Derivada II
AUTORIA
Pedro Henrique Martinez
Olá a todos!
A primeira conclusão a que chegaremos aqui a respeito da derivada é que ela é uma
operação, ou seja, assim como as outras operações, poderemos aplicá-la.
A segunda conclusão é que a de�nição de derivada passa por todas as regras de
limites que trabalhamos até agora, portanto, só existirá a derivada se o limite da
derivada existir.
A terceira é consequência da segunda. Se uma função qualquer é derivável em um
ponto, ela é contínua naquele ponto.
A partir dessas conclusões mais simples, serão apresentadas nesta aula algumas
regras de derivação para que a derivada não tenha que ser feita toda hora a partir
dos limites.
Teoremas sobre Derivação de
Funções Algébricas
Para as primeiras regras apresentadas aqui, usaremos como exemplo a função do
�nal da Aula 11, que já derivamos.
Acima, temos a função f(x) e sua respectiva derivada. À medida que formos
estudando as regras olharemos para f(x) para veri�car.
O primeiro teorema diz que qualquer constante quando derivada é igual a zero.
Vamos olhar na função que já conhecemos e ver se o primeiro teorema se aplicou. A
única constante da função era o número (-3). Vejam que na resposta o número (-3)
sumiu, portanto, virou zero. Veri�camos este teorema por meio do exemplo.
O segundo teorema é baseado na operação de potência.
f (x) = x2 + x − 3
f ′ (x) = 2x + 1
f (x) = c
f ′ (x) = 0
f (x) = xn
f ′ (x) = nx(n−1)
Vamos conferir na nossa função exemplo. Tínhamos a parcela x² e a parcela x¹. A
parcela x² se transformou em 2x. Escrevendo abaixo para �car mais fácil teremos as
seguintes fórmulas:
A mesma coisa ocorre com a seguinte parcela:
Portanto, o teorema se aplicou.
O terceiro teorema diz que quando temos uma constante multiplicando uma
função a constante permanece inalterada.
Para exempli�car, usaremos a seguinte função:
, aplicando o limite teremos como resposta o valor 3.
Portanto, também veri�camos o terceiro teorema por meio de um exemplo.
O quarto teorema é basicamente uma consequência dos anteriores e pode ser
escrito da seguinte forma:
x2
2x2−1
2x
x1
1x(1−1)
1
f (x) = nf (x)
f ′ (x) = nf ′ (x)
f (x) = 3x
f ′ (x) = lim
Δx→0
[ ]
f (x + Δx) − f (x)
Δx
[3 (x + Δx)] − (3x)
Δx
3Δx
Δx
f ′ (x) = 3 = 3f ′ (x)
f (x) = cxn
f ′ (x) = cnx(n−1)
Vejam que a constante permanece inalterada, e a derivada mantém a mesma regra
do segundo teorema.
Teoremas de Derivação Quando
Temos Operações com Funções
Assim como temos regras para aplicar a derivada de uma função, vamos ter
também regras para derivar a soma, multiplicação e divisão de diferentes funções.
Vamos com a mais simples delas. Dadas duas funções, f(x) e g(x) podemos fazer as
seguintes operações:
Este teorema simplesmente a�rma que quando temos duas funções a derivada da
soma das duas dá o mesmo valor que derivar cada uma delas separadamente e
depois somar.
Vamos usar as nossas funções de sempre.
Somando f(x) com g(x) teremos h(x) = 2x²+x-6. Agora, vamos veri�car o teorema.
Portanto, vimos a aplicação do teorema.
O segundo teorema é o da multiplicação de duas funções.
h (x) = f (x) + g (x)
h′ (x) = f ′ (x) + g′ (x)
f (x) = x2 + x − 3
f ′ (x) = 2x + 1
g (x) = x2 − 3
g′ (x) = 2x
h′ (x) = f ′ (x) + g′ (x)
4x + 1 = 2x + 1 + 2x
h (x) = f (x) g (x)
h′ (x) = f (x) g′ (x) + f ′ (x) g (x)
Para este teorema não tem jeito, é preciso fazer umas contas a mais. Mas se
pensarmos bem, ainda sim, é um bom corte de caminho.
O próximo teorema também vai exigir algumas contas. É o da divisão de duas
funções.
A única condição para o teorema mostrado anteriormente é que g(x) deve ser
diferente de zero.
h (x) =
f (x)
g (x)
h′ (x) =
g (x) f ′ (x) − f (x) g′ (x)
[g (x)]
2
Exercícios
a) Derive as funções a seguir utilizando os teoremas.
Resposta:
Para resolver o problema acima de forma direta, basta aplicar os teoremas
apresentados a cada parcela da função. Podemos representar da seguinte maneira:
O que está escrito acima é que a derivada de f(x) será igual à derivada de cada uma
das parcelas. Aplicando os teoremas individualmente, teremos a seguinte resposta.
Resposta:
Utilizando o mesmo raciocínio, chegaremos à resposta abaixo.
f (x) = x8 + x4 − 3x2 + 2
f ′ (x) = [x8] + [x4] − [3x2] + [2]
d
dx
d
dx
d
dx
d
dx
f ′ (x) = 8x7 + 4x3 − 6x1 + 0
f ′ (x) = 8x7 + 4x3 − 6x
g (x) = 3x2
g′ (x) = 6x
b) Derive a divisão de f(x) por g(x).
Resposta:
Para esta questão basta aplicarmos o teorema da divisão.
Basta simpli�car agora.
h′ (x) =
3x2 (8x7 + 4x3 − 6x) − (x8 + x4 − 3x2 + 2) 6x
36x2
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