Exercício Apoio Semana 4 Modelagem e Simulação _ Passei Direto

Prévia do material em texto

Impresso por Gilson Cássio de Oliveira Santos, E-mail gilsoncassio.oliveirasantos@gmail.com para uso pessoal e privado. Este material
pode ser protegido por direitos autorais e não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 28/05/2023, 15:49:29
04
MODELAGEM E SIMULAÇÃO
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS | A
 
ATIVIDADE 1
Suponha que um restaurante, no seu horário de maior fluxo, recebe, em
média, 400 clientes por hora, ao passo que a taxa média de atendimento
dentro dos padrões de qualidade é de 600 clientes por hora. Assuma
que tanto o modelo M/M/1/GD/ /∞∞ como o modelo M/M/1/GD/C/∞
com um limite de 300 podem ser aplicados. Sejam o tempo do serviço
de atendimento e o tempo entre as chegadas tais que seguem uma dis-
tribuição exponencial.
(a) Qual o tamanho médio da fila?
(b) Qual a probabilidade de haver fila?
(c) Qual o tempo médio de um cliente no sistema?
MODELAGEM E SIMULAÇÃO Semana 4 1
Impresso por Gilson Cássio de Oliveira Santos, E-mail gilsoncassio.oliveirasantos@gmail.com para uso pessoal e privado. Este material
pode ser protegido por direitos autorais e não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 28/05/2023, 15:49:29
ATIVIDADE 2
Um supermercado está tentando decidir quantos caixas devem estar
abertos. Suponha que em média clientes chegam por hora, e que, em18
média, um cliente é atendido em 4 minutos. O tempo entre as chegadas
e o tempo de serviço são exponenciais, e o sistema deve ser modelado
por um M/M/s/GD/ /∞∞. Se o custo por hora do salário de um caixa é
de R$ 20 e o custo do tempo gasto por minuto por cliente na la é de R$fi
0, 25, então, quantos caixas deverão estar abertos?
MODELAGEM E SIMULAÇÃO Semana 4 2
Impresso por Gilson Cássio de Oliveira Santos, E-mail gilsoncassio.oliveirasantos@gmail.com para uso pessoal e privado. Este material
pode ser protegido por direitos autorais e não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 28/05/2023, 15:49:29
GABARITO
O gabarito com as resoluções dos exercícios é dado a seguir.
ATIVIDADE 1
De acordo com o enunciado do problema, têm-se λ = 400 clientes por
hora e clientes por hora.µ= 600
Como o valor de ρ = 400600 =
2
3
< 1, então, é possível aplicar tanto o modelo
M/M/1/GD/ /∞∞ como o modelo M/M/1/GD/C/ .∞
(a) Qual o tamanho médio da fila?
O tamanho médio da fila pelo modelo M/M/1 é: Lq = ρ
2
1−ρ
=
4 9/
1/3
= 4
3
=
1, 33
O tamanho médio da fila pelo modelo M/M/1 capacitado é: L Lq = L− s
onde: L = ρ(1−(c+1)ρ
c+cρc+1)
(1 1−ρc+1)( −ρ)
, Ls = 1−π0 e π0 =
1−ρ
1−ρc+1
.
Assim:
Lq = 2− (1−
1
3
) = 2− 2
3
= 1, 33
Ou seja, o tamanho médio da fila independe do modelo caso ρ < 1
ocorra e c seja su cientemente grande.fi
(b) Qual a probabilidade de haver fila?
A probabilidade de haver fila no modelo M/M/1 é dada por:
p( f i la) = π2 + +π3 · · ·
E se:
p p( f i la) = 1− (nao− f ila) = )1− (π0 −π1
onde: .π0 = 1−ρ e π1 = ρ ρ(1− )
Assim:
p( f i la) = ρ2 = 4 9/
A probabilidade de haver fila no modelo M/M/1 capacitado é dada
por:
p p( f i la) = 1− (nao− f ila) = )1− (π0 −π1
onde: π0 =
(1−ρ)
1−ρc+1
= (1−ρ) e π1 = ρ
1π0 = ρ ρ(1− ).
Assim: p( f i la) = ρ2 = 4 9/
Novamente, o mesmo valor é apresentado tanto pelo modelo M/M/1
e pelo modelo M/M/1 capacitado.
(c) Qual o tempo médio de um cliente no sistema?
O número médio de clientes no sistema pelo modelo M/M/1 é:
MODELAGEM E SIMULAÇÃO Semana 4 3
Impresso por Gilson Cássio de Oliveira Santos, E-mail gilsoncassio.oliveirasantos@gmail.com para uso pessoal e privado. Este material
pode ser protegido por direitos autorais e não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 28/05/2023, 15:49:29
L =
ρ
1−ρ
=
2 3/
1/3
= 2 clientes.
O número médio de clientes no sistema pelo modelo M/M/1 capaci-
tado é igual ao do M/M/1, pois . Assim, a fórmula para calcularρc ≈ 0
o valor de nos dois modelos é igual.L
Portanto, o tempo médio no sistema no modelo M/M/1 é dado por:
W = Lλ =
2
400
= 0, 005 horas = 18 segundos.
O tempo médio no sistema no modelo M/M/1 capacitado é dado por:
W = Lλ(1−πc)
onde: .πc = ρ
c
·π0
Como π0 = (1−ρ), então, .πc = ρ ρ
c
−
c+1 = =0− 0 0
Assim:
W = Lλ(1 0− ) =
L
λ
= 0, 005 horas = 18 segundos.
De novo ambos os modelos produzem os mesmos valores para uma
determinada métrica, no caso o tempo total gasto no sistema.
 
MODELAGEM E SIMULAÇÃO Semana 4 4
Impresso por Gilson Cássio de Oliveira Santos, E-mail gilsoncassio.oliveirasantos@gmail.com para uso pessoal e privado. Este material
pode ser protegido por direitos autorais e não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 28/05/2023, 15:49:29
ATIVIDADE 2
De acordo com o enunciado do problema, têm-se: λ = 18 clientes por
hora, e µ = 15 clientes por hora (usando regra de três). Como o mod-
elo a ser empregado é o M/M/s/GD/ / (doravante será chamado de∞∞
modelo M/M/s ou só M/M/s), então, o número de servidores s será es-
colhido de modo a garantir que exista estado estacionário. Isso é obtido
garantindo que ρ < 1 por meio da Eq. (1).
ρ =
λ
s ·µ
< 1→ s >
λ
µ
. (1)
Substituindo-se os valores do enunciado na Eq. (1):
s > 18
15
→ s > 1.
Esse resultado indica que o menor número inteiro de servidores que
garante estado estacionário é . Assim, qualquer número maior ou igual2
que 2 é adequado. Porém, claramente, existe um maior custo de oper-
ação, manutenção e investimento ao se aumentar o número de servi-
dores. Portanto, é necessário estabelecer uma métrica que avalie difer-
entes con gurações de modo a ponderar os custos de operação e os cus-fi
tos de espera (relacionados à qualidade do atendimento). Essa métrica é
dada pela Eq. (2).
CustoTotal = CustoOpr CustoEspera(s) + (s). (2)
onde: CustoOpr CustoServ(s) = s· , CustoEspera cesp W(s) = · q ·λ = cesp·Lq,
s é o número de servidores, é o custo de um servidor naCustoSer v
unidade de tempo (no caso, por hora), cesp é o custo de espera por pes-
soa na unidade de tempo (neste exercício, por hora), Wq é o tempo médio
de espera na fila, e λ é a taxa de chegada do sistema.
Da Eq. (2), a avaliação depende do número s de servidores para determi-
nar ambos os custos. Em particular, o valor s é necessário para determi-
nar o valor de .Lq
A determinação de Lq depende de π0 do modelo M/M/s que é dado pela
Eq. (3).
π0 =
1
termo1+ t ermo2
, (3)
MODELAGEM E SIMULAÇÃO Semana 4 5
Impresso por Gilson Cássio de Oliveira Santos, E-mail gilsoncassio.oliveirasantos@gmail.com para uso pessoal e privado. Este material
pode ser protegido por direitos autorais e não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 28/05/2023, 15:49:29
O termo1 é dado na Eq. (4).
termo1=
s−1X
i=0
(s ·ρ)i
i!
. (4)
Substituindo pelos valores do enunciado do problema:
termo1=
(2 0,6· )0
0!
+
(2 0,6· )1
1!
= 1+ 1, 2
O termo2 é dado na Eq. (5).
termo2=
(s ·ρ)s
s!(1−ρ)
. (5)
Substituindo pelos valores do enunciado do problema:
termo2=
(2 0,6· )2
2! 1 0,6( − )
= 1, 8
Aplicando os resultados obtidos em :π0
π0 =
1
1 1,2+ +1,8
= 1
4
= 0, 25
De posse de é necessário calcularπ0 P( j ≥ s) que é dado pela Eq. (6).
P( j ≥ s) =
(s ·ρ)s ·π0
s!(1−ρ)
= termo2 ·π0. (6)
Aplicando os resultados obtidos em :π0 e termo2
P( j ≥ s) = 18
10
·
1
4
= 0, 45
Para o valor de têm-se a Eq. (7):Lq
Lq = P( j ≥ s) ·
ρ
1−ρ
. (7)
Aplicando os resultados obtidos em :P( j ≥ s)
Lq = 0, 45 ·
0,6
1−0,6
= 0, 45 · 32 = 0, 675.
Se cesp = 60 · 0, 25 = R$ 15/hora e Lq = 0, 675, então:
CustoEspera = 15 · 0, 675 10, 125= R$ /hora.
Como s = 2 e CustoServ = R$ 20/hora, então:
CustoOpr = 2 · 20 R$ 40/hora.
Logo:
CustoTotal = 40+ 10, 125 = R$ 50,125/hora para s = 2.
Antes de realizar cálculos detalhados para verificar se o éCustoTotal
menor para s = 3 (isto é, calcular Lq para s =3), pode ser feita apenas a
seguinte análise simples.
MODELAGEM E SIMULAÇÃO Semana 4 6
Impresso por Gilson Cássio de Oliveira Santos, E-mail gilsoncassio.oliveirasantos@gmail.com para uso pessoal e privado. Este material
pode ser protegido por direitos autorais e não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 28/05/2023, 15:49:29Se o custo de um novo servidor é de R$ 20/hora e o custo associado à
espera na fila é, para s = 2, de R$ 10/hora, então, não adianta incorrer
em custos xos com a contratação de um novo funcionário (passar parafi
s = 3) para “zerar” os custos com a fila.
Se s = 3, haveria, na melhor das hipóteses zerando os custos com a fila,
uma perda de aproximadamente R$ 10. Portanto, s = 2 é a configuração
que minimiza a função .CustoTotal
 
 
MODELAGEM E SIMULAÇÃO Semana 4 7
Impresso por Gilson Cássio de Oliveira Santos, E-mail gilsoncassio.oliveirasantos@gmail.com para uso pessoal e privado. Este material
pode ser protegido por direitos autorais e não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 28/05/2023, 15:49:29
04
MODELAGEM E SIMULAÇÃO
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS | B
EXERCÍCIO 1
Verifique que, sob certas condições, o modelo M/M/1/GD/C/∞ irá exibir
o mesmo comportamento do modelo M/M/1/GD/ /∞∞. Dica: Essa veri-
ficação consiste em analisar ambos os modelos sob a ótica das métricas
de desempenho fornecidas pela teoria de filas. Além disso, o valor de ρ
deve ser estritamente menor que um e a capacidade c do sistema deve
ser suficientemente grande.
MODELAGEM E SIMULAÇÃO Semana 4 8
Impresso por Gilson Cássio de Oliveira Santos, E-mail gilsoncassio.oliveirasantos@gmail.com para uso pessoal e privado. Este material
pode ser protegido por direitos autorais e não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 28/05/2023, 15:49:29
Table 1: Opções de investimento no sistema.
Ação Investimento (R$)
Mudar µ= 500 100
Mudar µ= 600 1000
EXERCÍCIO 2
Uma loja virtual resolve fazer uma promoção. Porém, a taxa de chegada
estimada passará a ser de 600 clientes por hora, ao passo que a taxa mé-
dia de atendimento dentro dos padrões de qualidade é de 400 clientes
por hora com um limite de 50 clientes a serem atendidos simultanea-
mente no site. Assume-se que o tempo do serviço de atendimento e o
tempo entre as chegadas seguem uma distribuição exponencial demodo
que o modelo M/M/1/GD/C/ será adotado.∞
(a) Qual o tempo médio de espera para processar um pedido? Qual o
tamanho médio da fila? Em média quantos pedidos estão no sis-
tema?
(b) Como as estatísticas anteriores serão modificadas caso a capacidade
C seja modificada para no máximo 100 clientes?
(c) É possível alterar as características do sistema conforme os custos
fornecidos na Tabela 1.
Considerando que o lucro será impactado pelo custo de espera que
é de 1 cliente esperando por 1 hora no sistema custa R$ 20,00 e que
cada cliente atendido realiza uma compra média de R$ 10,00, qual a
melhor ação a ser tomada?
MODELAGEM E SIMULAÇÃO Semana 4 9
Impresso por Gilson Cássio de Oliveira Santos, E-mail gilsoncassio.oliveirasantos@gmail.com para uso pessoal e privado. Este material
pode ser protegido por direitos autorais e não pode ser reproduzido ou repassado para terceiros. 28/05/2023, 15:49:29
EXERCÍCIO 3
Entrevista da Revista Exame para Motivação do Problema
Na revista Exame Edição 1128, Ano 50, número 24, 21/12/2016, na
seção Sete Perguntas para Daniel Gómez Gaviria, chefe de com-
petitividade do Fórum Econômico Mundial, em entrevista intitu-
lada “O poder de transformação das cidades” fala-se da experiên-
cia da cidade de Medellin na Colômbia na qual um comitê entre
prefeitura, universidades e empresas foi criado e que gerou uma
rede de apoio a startups, pois a tecnologia tem também um papel
importante como ferramenta para o poder público. Em particular,
a sexta pergunta e sua resposta enfatizam esse ponto:
O senhor se refere ao uso de aplicativos para aumentar a qual-
idade dos serviços públicos?
Exatamente. Quando a população usa , por ex-apps que medem
emplo, o tempo de espera em postos de saúde, isso ajuda o gov-
erno a identificar gargalos. Estamos até mudando o nosso rank-
ing de competitividade. Vamos passar a medir o impacto da tec-
nologia, inclusive no . Trata-se de um esforço paraserviço público
mensurar as transformações da atual revolução digital.
MODELAGEM E SIMULAÇÃO Semana 4 10