MA11 - Exercícios Resolvidos - 73 82

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A Matemática do Ensino Médio Diego Oliveira - Vitória da Conquista / BA
− −4f(1) + 4f(0)) = 4a− 4b
+
f f(2) − (0)) = 4a+ 2b
3 4 2f(0) − f(1) + f(2) = − b b⇒ = 4f(1) (0) (2)− 3f − f
2
De posse do valor de e sabendo que (0) então:b e c f(2) = 4a+ 2b+ f
f f(2) = 4a+ 2b+ (0) = 4a+ 2 

4f f(1) (0) − 3f − (2)
2

+ f(0)
⇒ a = f f f(0) − 2 (1) + (2)
2
28. Um restaurante a quilo vende 100 Kg de comida por dia, a 12 reais o quilo. Uma pequisa
de opinião revelou que, por cada real de aumento de preço, o restaurante perderia 10 clientes,
com um consumo médio de 500 g cada. Qual deve ser o valor do quilo de comida para que o
restaurante tenha a maior receita posśıvel.
Solução:
V (x x) = (100− 0. x5 · 10 )(12 + )
V (x x x) = (100− 05 )(12 + )
Cujo ponto de máximo ocorre para = 4. Assim o preço a ser cobrado deve ser de 16 reais,x
(12 + 4 = 16).
29. Um prédio de 1 andar, de forma retangular, com lados proporcionais a 3 e 4, vai ser
constrúıdo. O imposto predial é de 1 real por metro quadrado, mais uma taxa fixa de 250 R$.
A prefeitura cede um desconto de 1 real por metro linear do peŕımetro, como recompensa pela
iluminação externa e pela calçada em volta do prédio. Quais devem ser as medidas dos lados
para que o imposto seja o ḿınimo posśıvel? Qual o valor desse imposto ḿınimo? Esboce o
gráfico do valor do imposto como função do lado maior do retângulo.
Solução:
Imp osto = (3a · 4b)1 + 150
Desconto = (3a+ 4 )1b
O total a se pago será:
T = (3a · 4 (3b)1 + 150 − a+ 4 + 150 b)1 = 12ab − 3 4a− b
30. Determine entre os retângulos de mesma área a, aquele que tem o menor peŕımetro.
Existe algum retângulo cujo peŕımetro seja maior do que os de todos os demais com mesma
área?
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Solução:
Chamando de os lados desse retângulos, o peŕımetro em função de x e a/x x será:
p(x) = 2

x+
a
x

Sendo a uma constante e fazendo ) = 0 conclui-se que os pontos cŕıticos dessa funçãop0(x
ocorrem nas coordenadas (
√
a, p( ( )).
√
a)) e (−
√
a, p −
√
a
Como p( (
√
a) > p −
√
a) então o peŕımetro máximo será p (
√
a) = 2
√
a+
a√
a

= 4
√
a.
Comentário:
Existe, pelo menos, mais um método de resolver esse problema sem o uso de cálculo diferencial.
Entretanto, como o próprio livro faz referência as derivadas não há porque não usa-las aqui.
Outro motivo é que o conteúdo do ensino médio ainda abrange o estudo da derivada. Isso
pode parecer estranho, pois a maioria dos professores negam essa afirmação, de modo que
é bastante provável que você só tenha tomado conhecimento do cálculo diferencial na facul-
dade/universidade. Entretanto, alguns livros (os bons) de ensino médio como o Tópicos da
Matemática elementar o Matemática do Ensino médio do Smole e Diniz (2007) e o
Matemática do Giorno (2002) ainda trazem esse conteúdo.
31. Que forma tem o gráfico da função f : [0,∞)→ R, dada p or f(x) = ?
√
x
Solução:
0
y
x
32. Mostre que a equação possui uma raiz se 0, duas ráızes quando
√
x + m = x m ≥
−1
4
< m < 0, uma raiz para m = −1
4
e nenhuma raiz caso m < −1/4.
Solução:
Chamando y =
√
x então:
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√
x+m = =x⇒ y +m y2
Aplicando Bháskara chegamos:
yR =
1 1±
√
− 4m
2
Se m ≥ 0 então 
√
1 + 4m têm solução e a equação têm duas ráızes. O mesmo ocorre
para m ∈ ( 1 4 0).− / ,
Se m = −1/4 então 
√
1 + 4m = 0 e a equação têm somente uma raiz. A saber
x = 0.5.
Se m < −1/4 então 
√
1− 4m não têm solução, pois (1 0 e não existe raiz− 4m) <
de numero negativo. Portanto a equação não têm solução.
33. Numa concorrência publica para a construção de uma pista circular de patinação apresenta-
se as firmas A e B. A firma A cobra 20 reais por metro quadrado de pavimentação, 15 reais por
metro linear do cercado, mais uma taxa fixa de 200 reais para administração. Por sua vez, a
firma B cobra 18 reais por metro quadrado de pavimentação, 20 reais por metro linear do cer-
cado e taxa de administração de 600 reais. Para quais valores do diâmetro da pista a firma A é
mais vantajosa? Esboce um gráfico que ilustre a situação. Resolva um problema análogo com
os números 18, 20 e 400 para A e 20, 10, 150 para B.
Solução:
Seja d o diâmetro da pista então:
p = π d (Peŕımetro)
A = π
d2
4
(Área da pista)
Sendo assim o valor cobrado pela empresa “A” é de
CA(d) = 20 ·
π d2
4
+ 15 + 200 (com 0)π d d > 
e o valor cobrado por B é de
CB(d) =
18π d2
4
+ 20 + 600 (com 0).π d d > 
Os valores de “d” para o qual a empresa A é mais vantajosa é o resultado da inequação:
CA(d C d)− B( ) < 0
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⇒

18π d2
4
+ 20π d+ 600 )−( 20π d
2
4
+ 15 + 200 0π d

<
⇒ 5π d π d−
2
2
+ 400 0<
Resolvendo essa última inequação encontramos
d >
5π +
√
25π2 + 80π
π
e d <
−5π +
√
25π2 + 80π
−π ,
entretanto como d > 0 podemos descartar a segunda solução, sendo assim,
d >
5π +
√
25π2 + 80π
π
=≈ 21 72.
Que implica em d > 21 72.
Assim a empresa “A” é mais vantajosa quando d > 21 72m..
34. Dados a, b, c positivos, determinar x e y tais que seja o menorxy = c e que y = ax + by 
p osśıvel.
Solução:
Fazendo f(x, y ) = ax + by como xy = c, então f(x, y ) pode ser escrita como:
f(x) = ax +
bc
x
(1)
Imagine agora que desejamos obter em função da soma ). Multiplicando (1) por ex f(x x
reorganizando seus termos obtemos
ax x2 − f( ) + bc = 0
E usando Bhaskara.
⇒ x =
f f(x)±
p
(x)2 − 4abc
2a
Para que as soluções da equação imediatamente acima sejam reais devemos ter f( 4x)2− abc ≥
0, onde obtemos f( 2 ( .x) ≥
√
abc ou f x) ≤ −2
√
abc
Assumindo que ) é positivo então o mı́nimo ocorre quando f(x f(x) = 2 .
√
abc
Conclusão: x e y devem ser escolhidos de modo que ax + by ≤ −2 .
√
abc
35. Cavar um buraco retangular de 1 m de largura de modo que o volume cavado seja 300 m .3
Sabendo que cada metro quadrado de área cavada custa 10 reais e cada metro de profundidade
custa 30 reais, determinar as dimensões do buraco de modo que o seu custo seja mı́nimo.
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Solução:
Seja 1 as dimensões do buraco então:, h e w
V (h,w ) = 1 · h ·W = 300 (1)
e o custo será de
C(h,w ) = 10w + 30h (2)
evidenciando h em (1) e jogando em (2)
(h) = 10w +
9000
w
⇒ c h( )w = 10w2 + 9000
⇒ 10w2 − c(h)w + 9000 = 0 (3)
Para que a equação (3) tenha solução o seu discriminante deve ser maior ou igual a zero. Isto
é:
c .(h) 3602 − 000 0≥
⇒ c h( ) ≥ 600
p ois como w > 0 então c(h) > 0 também. Assim, p custo mı́nimo é de 600 reais.
Se c(h) = 600 então de (3) escrevemos
10 600w2 − w + 9000 = 0
⇒ w = 30m
O que implica em h = 10 .m
Assim, as dimensões do buraco é de 1m× 30 10 .m× m
36. Dois empresários formam uma sociedade cujo capital ́e de 100 milreais. Um deles trabalha
na empresa três dias por semana e o outro dois. Após um certo tempo, vendem o negócio e cada
um recebe 99 mil reais. Qual foi a contribuição de cada um para formar a sociedade?
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Solução:
Supondo “x” o valor do capital investido pelo sócio que trabalha 3 dias, então por meio de
regra de três simples deduzimos que o capital investido pelo sócio que trabalha apenas 2 dias
deve ser de
3x
2
.
3 dias – x
2 dias – ?
Como o capital empregado é inversamente proporcional aos dias de trabalho o esquema acima
sofre uma “inversão”
2 dias – x
3 dias – ?
⇒? = 3x
2
Aplicando a regra da sociedade a soma dos capitais, de ambos os sócios, deve ser igual a 1009
mil. Sendo assim:
x+
3
2
x = 100 × 103
⇒ x = 40 × 103
e p ortanto
3
2
x = 60 × 103
Logo o sócio que trabalha 3 dias investiu R$ 40.000,00 (quarenta mil) e o outro R$ 60.000,00.
37. Nas águas paradas de um lago, Marcelo rema seu barco a 12km por hora. Num certo rio,
com o mesmo barco e as mesmas remadas, ele percorreu 12km a favor da corrente e 8km contra
a corrente, num tempo total de 2 horas. Qual era a velocidade do rio, quanto tempo ele levou
para ir e quanto tempo para voltar?
Solução:
Seja v a velocidade da corrente, então o tempo gasto a favor da corrente é de:
∆t =
∆s
v
=
12k m
12k m/h+ v0
Onde 12 km/h é a velocidade do barco em água parada e é a velocidade das águas do rio .v0 10 
Já a velocidade contra a corrente será:
9Caso não conheça a sugiro que veja as notas de aula de Matemática Financeira daregra da so ciedade
prof(a). Eridan Maia, página 5. Dispońıvel em: https://pt.scribd.com/doc/315018311/Matematica-Financeira
10 Veja volume 1 do curso de f́ısica básica do Nussenzveig caṕıtulo 2, 4 ed.
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∆t
0
=
8k m
12k m/h− v0
Como Marcelo faz todo o percusso em 2 horas então
∆t+ ∆t
0
= 2
⇒ 12
12 + v0
+
8
12 − v0 = 2
⇒ v
0
= 6
assim, a velocidade das correntes é de 6km/h e os tempos são 12/18h = 40 min., a favor da
corrente, e 1h20min contra.
38. Os alunos de uma turma fizeram uma coleta para juntar 405 reais, custo de uma excursão.
Todos contribúıram igualmente. Na última hora, dois alunos desistiram. Com isso, a parte de
cada um sofreu um aumento de um real e vinte centavos. Quantos alunos tem a turma?
Solução:
Com um total de “x” alunos a parte que caberia a cada um seria
405
x
Já com 2 alunos seriax−
405
x− 2
Sabemos também que com a desistência dos dois alunos o valor da parcela que caberia a cada
um, caso não houvesse a desistência, foi acrecida em R$ 1,20. O que em linguagem matemática
seria
405
x− 2 =
405
x
+ 1, 20
⇒ 1 2. x2 − 2 4. x− 810 (1)
Usando bháskara, ou método similar, observa-se que a equação (1) possui duas soluções: 27 e
−25. Como “x” representa o numero de alunos não pode ser negativo, então o número de alunos
na turma é de 27 alunos.
39. Prove que a função é quadrática se, e somente se, para todo f : R → R h ∈ R fixado, a
função φ(x) ( (f x+ h)− f x) é afim e não constante.
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Solução :11 
(⇒) Se é quadrática então , com f f(x) = ax2 + bx + c a 6= 0 e
φ(x x) = f f(x+ h)− ( ) = a h h ax c(x+ )2 + b(x+ ) + cc − ( 2 + bx + )
= 2ahx + ah2 + bh
que é uma função afim e não constante para qualquer não nulo.h
(⇐) Sup omos, para h 6= 0 fixado, = 0 e sejaφ( ( (x) = f x + h) − f x) = px + q, com p 6
x1, x , x , ...,2 m uma progressão aritmética não constante, de razão .r
Afirmamos que é uma progressão aritmética de 2 ordem não de-f( ) ( ( )x1 , f x2), ..., f xm , ...
a
generada. Com efeito, é uma progressãof( ( (xn+1 ) − f(xn) = f xn+r) − f xn) = pxn + q = yn
aritmética não constante, p ois y yn+1 − n = pxn+1 +q−(px0 +q) = p(xn+1 −xn) = pr ́e constante
e diferente de zero. Logo, pelo teorema da caracterização é quadrática.f
40. Olhando o gráfico da função quadrática , vê-se que ele parece uma parábola.f(x) = x2
Se for, quais serão o foco e a diretriz? Por simetria, o foco deve ser F = (0, t) e a diretriz deve
ser a reta . Use a definição de parábola para mostrar quey = −t t = 1
4
.
Solução:
O foco da função será:
F =

− b
2a
,−
∆ + 1
4a

=

0,
1
4

e a diretriz
t =
−∆− 1
4a
= −
1
4
Se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor escreva para
nibblediego@gmail.com para que possa ser feito a devida correção.
Para encontrar esse e outros exerćıcios resolvidos de matemática acesse: www.number.890m.com
11 Solução retirada da página da UFPR: http://www.mat.ufpr.br/ensinomedio/paginas/solucao.html
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A MATEM ́ATICA DO ENSINO MÉDIO
A matemática do Ensino médio (volume 1)
Elon Lages Lima
Paulo Cezar Pinto Carvalho.
Eduardo Wagner.
Augusto César Morgado.
Resolvido por: Diego Oliveira.
7 Funções Polinomiais
1. Sejam P ( (x) e p x) polinômios não identicamente nulos, com gr P (x) ≥ g r p(x). (onde g r
significa o grau do polinômio). Prove que existe um polinômio ) tal que q(x g r [P (x)−p( ) (x q x)] <
g r P (x). Usando repetidamente este fato, mostre que existem polinômios ) tais queq( (x) e r x
P (x x x x x) = p( )q(x) + r( ), com g r r ( ) < g r p( ). Os p olinômios q( (x) e r x), tais que P (x) =
p(x x x)q(x) + r( ) com g r r ( ) < g r p(x), chamam-se respectivamente o quociente e o resto da
divisão de P (x) p or ).p(x
Solução:
Se P (x) = anx
n + an−1x
n−1 + · · ·+ a1x+ a0, com an 6= 0
e
p(x x x) = bp
p + bp−1
p−1 + · · ·+ b1x+ b b0, com n ≥ p e p 6= 0,
então basta tomar
q(x) =
an
bp
xn−p
para provar o que se pede.
Prova de que o q(x) determinado satisfaz a equação gr[P(x) − p(x)q(x)] gr[P(x)].<
P(x) p(x)q(x)−
= P(x) − p(x) ·

an
bp
xn−p

= P(x) −

bpx
p + bp−1x
p−1 + · · ·+ b1x+ b0·
an
bp
xn−p

= P(x) −

anx
n +
anbp−1
bp
xn−1 + · · ·+ anb1
bp
xn−p+1 +
anb0
bp
xn−p

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= anx
n+ + +an−1x
n−1 · · · a1x+a0−

anx
n +
anbp−1
bp
xn−1 + · · ·+ anb1
bp
xn−p+1 +
anb0
bp
xn−p

= (a an − n)xn +

an−1 −
anbp−1
bp

xn−1 + · · ·+

a0 −
anb0
bp
xn−p

=

an−1 −
anbp−1
bp

xn−1 + · · · 

a0 −
anb0
bp
xn−p

Observe que o grau máximo que a função acima pode ter é 1.n−
Ou seja,
gr[P(x)-p(x)q(x)] < gr[P(x)] se q(x) =
an
bp
xn−p
Provando assim a primeira parte do problema .12 
Prova da segunda parte.
Na primeira etapa provamos que dado um polinômio P(x) existe um p(x) e q(x) tal que:
g r [P (x)] > g r [P (x)− p x q( ) ◦(x)]
Como P(x) é um polinômio qualquer então podemos aplicar a mesma lógica ao segundo
membro da desigualdade acima. Isto é,
g r [P (x)− p x p x q p q( )q(x)] > g r [(P (x)− ( ) ◦(x)) − (x) 1(x)]
⇒ g r [P(x)− p x(x)q(x)] > g r [P ( )− −p(x x)(q◦( ) q1)] (1)
e assim como conclúımos anteriormente o podemos dizer que o polinômio
P (x x x x)− p( ) (q( )◦q1( ))
tem, no máximo, grau 2.n−
Se aplicássemos novamente essa lógica ao segundo membro da desigualdade (1) obteŕıamos
um polinômio de grau 3 e assim por diante. Ou seja, não importa qual o valor de n− p (lembre-se
que p é o grau do polinômio p(x)) sempre podemos chegar a um polinômio cujo grau, no máximo,
será 1.p−
Esse fato implica na existência de um polinômio r( [ ( [ ( (x) tal que g r r x)] < g r p x) e P x) =
p(x)q(x) + r(x).
12 Na verdade essa não é uma prova definitiva. A demonstração absoluta dessa afirmação é um pouco mais
densa.
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