IV - Goniometria

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Topografia
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof.a Dr.a Monica Midori Marcon Uchida Sguazzardi
Revisão Técnica:
Prof.ª Esp. Erika Gambeti Viana
Revisão Textual:
Prof.a Dr.a Selma Aparecida Cesarin
Goniometria
• Introdução
• Bússola
• Ângulos na Vertical
• Ângulos Horizontais
• Deflexão
• Rumo e Azimute
 · Nesta Unidade, o aluno terá contato com as medidas angulares 
realizadas em campo, as orientações e direções das observações. 
Aprenderá a se localizar e a localizar as medidas em campo por 
meio dos ângulos. O estudante também deverá aprender a observar 
e a calcular coordenadas importantes para a criação de plantas e 
documentos topográficos.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Goniometria
Orientações de estudo
Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem 
aproveitado e haja uma maior aplicabilidade na sua 
formação acadêmica e atuação profissional, siga 
algumas recomendações básicas: 
Assim:
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e 
horário fixos como o seu “momento do estudo”.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar, lembre-se de que uma 
alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo.
No material de cada Unidade, há leituras indicadas. Entre elas: artigos científicos, livros, vídeos e 
sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você também 
encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão sua 
interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados.
Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discussão, 
pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o contato 
com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e aprendizagem.
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Determine um 
horário fixo 
para estudar.
Aproveite as 
indicações 
de Material 
Complementar.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar, lembre-se de que uma 
Não se esqueça 
de se alimentar 
e se manter 
hidratado.
Aproveite as 
Conserve seu 
material e local de 
estudos sempre 
organizados.
Procure manter 
contato com seus 
colegas e tutores 
para trocar ideias! 
Isso amplia a 
aprendizagem.
Seja original! 
Nunca plagie 
trabalhos.
UNIDADE Goniometria
Introdução
O estudo topográfico depende das medidas dos ângulos entre as diversas retas 
que compõem o terreno e a sua localização.
A Goniometria, palavra de origem grega (gonia = ângulo e metron = medida), 
é a técnica da medição de ângulos e do traçado de formas geométricas.
Em Topografia, uma das tarefas principais é a medição de ângulos nas direções 
horizontal e vertical, dependendo do trabalho a ser realizado.
Bússola
Um dos métodos mais antigos e mais populares para a medição de ângulos é a 
bússola, que foi descoberta pelos chineses no século I, foi trazida para o ocidente 
pelos árabes e foi amplamente utilizada pelos europeus na época das grandes 
navegações.
A bússola é composta por uma agulha magnetizada, que é presa em um plano 
horizontal exatamente no seu centro de gravidade, para que possa girar livremente 
sobre esse plano.
Devido ao campo magnético terrestre, a agulha se orienta sempre na direção 
do eixo Norte-Sul, com sua ponta indicando sempre o Norte magnético, que se 
aproxima do Norte geográfico.
Assim, ao nos orientarmos com uma bússola, colocando-nos de frente para a 
direção que a ponta da bússola indica, estaremos olhando para o Norte, teremos o 
Sul às nossas costas, o Leste à nossa direita e o Oeste à nossa esquerda.
Figura 1 – Bússola profissional
Fonte: iStock/Getty Images
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A direção para onde a agulha magnetizada da bússola aponta depende do campo 
magnético terrestre. O eixo Norte-Sul magnético não coincide exatamente com o 
eixo Norte-Sul geográfico, ou seja, existe um polo Norte (ou Sul) magnético e um 
geográfico. A diferença em graus entre o Norte verdadeiro e o Norte magnético é 
chamada de declinação magnética.
Uma das formas mais simples para descobrirmos a declinação magnética de um 
local é utilizar uma bússola e o conhecimento da direção exata do Norte verdadeiro 
(ou geográfico).
Devemos alinhar o Norte da bússola ao Norte verdadeiro e observar a direção 
que a agulha da bússola apontará como Norte magnético. A diferença, em graus, 
entre o Norte da bússola e a ponta da agulha será a declinação magnética, que 
pode ser positiva ou negativa. Chamamos de positiva a declinação magnética que 
acontece quando o Norte magnético está a Leste do Norte verdadeiro e negativa 
quando a agulha da bússola aponta o Norte magnético a Oeste do Norte verdadeiro.
Veja a figura a seguir:
Norte
Verdadeiro
-D
Norte
Magnético
Norte
Verdadeiro
+D
Norte
Magnético
Figura 2 – Declinação magnética negativa, para o Oeste, e positiva, para o Leste
Fonte: Adaptado de iStock/Getty Images
A declinação magnética varia com o tempo, pois o campo magnético terrestre 
não é constante e apresenta algumas alterações:
• Secular: a variação secular possui o período de aproximadamente uma centena 
de anos e é a maior delas, podendo chegar a até 11º;
• Diurna: a variação diurna é uma pequena variação que faz com que a agulha da 
bússola oscile entre um intervalo de 8 minutos de arco durante vários períodos 
do dia. Em geral, essa variação é ignorada pois está dentro dos limites de erro 
de leitura instrumental da bússola;
• Anual: a variação anual possui o período de aproximadamente um ano, 
também é bem pequena, cerca de 1 minuto de arco e, pelo mesmo motivo, 
considerada na variação diurna, também pode ser ignorada;
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UNIDADE Goniometria
• Acidental: a variação acidental é uma fonte de erros muito comum nas medidas 
de declinação magnética e diz respeito às variações causadas por tempestades 
ou interferências magnéticas que causam alterações acidentais e pontuais de 
alguns graus nas medições.
Além da declinação magnética, são necessárias outras medidas angulares para 
o estudo topográfico de campo. Os ângulos verticais são, normalmente, utilizados 
para medidas de nivelamento, enquanto as observações dos ângulos horizontais 
são importantes para determinar rumos e azimutes para a construção da poligonal 
do terreno.
Níveis, teodolitos e estação total são exemplos de equipamentos utilizados para 
a medição de distâncias e medidas angulares em Topografia.
Ângulos na Vertical
Para trabalhar com ângulos verticais, devemos definir dois pontos de referência: 
o zênite e o nadir.
O zênite é o ponto localizado exatamente acima da sua cabeça, por onde passa 
o eixo vertical que demarca a sua posição. Já o nadir é a ponta oposta ao zênite, 
ou seja, o ponto localizado sobre o seu eixo vertical, localizado sob os seus pés.
O ângulo vertical (V) é a medida angular entre o seu plano horizontal e a linha 
de visada. Esse ângulo varia entre 90º e -90º. O zênite de um observador possui 
ângulo vertical igual a 90º e nadir igual a -90º.
Os ângulos verticais para linhas de visada acima do horizonte (elevações) serão 
sempre positivos e para linhas de visada abaixo do horizonte (depressões) serão 
sempre negativos.
Figura 3 –Ângulo vertical e zênite
Fonte: VEIGA, ZANETTI e FAGGION; 2010
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O ângulo zenital (Z) é o ângulo formado entre o zênite e a linha de visada e pode 
assumir valores entre 0º (objetos no zênite) e 180º (objetos no nadir).
Figura 4 – Distância zenital
Fonte: VEIGA, ZANETTI e FAGGION; 2010
Ângulos Horizontais
Os ângulos horizontais possuem esse nome por serem medidos no plano 
horizontal do terreno, sem levar em conta as elevações, como se ele estivesse 
totalmente projetado em um único plano.
Em Topografia, em geral, necessita-se medir o ângulo entre duas direções, dadas 
pelos vértices dos terrenos. Imagineque você queira medir o ângulo α do vértice A 
de um terreno, como a figura a seguir:
Figura 5 – Ângulo α do vértice A.
Fonte: VEIGA, ZANETTI e FAGGION; 2010
Esse ângulo pode ser medido de diversas formas. Além da escolha instrumental, 
como teodolito ou a estação total, por exemplo, existe a escolha da orientação do 
instrumento como pode ser visto a seguir.
Instrumento não Orientado
Nesse caso, escolhemos uma direção arbitrária para ser a origem das nossas 
medições, e medimos as distâncias angulares entre a origem e o seguimento de reta 
AB e a origem e o segmento de reta da origem AC e para encontrarmos o ângulo 
α basta subtrair uma medida da outra.
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UNIDADE Goniometria
Figura 6 – Medição de ângulos com o uso do instrumento não orientado
Fonte: VEIGA, ZANETTI e FAGGION; 2010
Instrumento Orientado para o Norte
Quando o instrumento está orientado para o Norte, o procedimento é idêntico 
ao anterior, com a diferença que a origem da nossa medição deve coincidir com o 
Norte. Nesse caso, não chamaremos mais os ângulos de L1 e L2, mas de azimute, 
pois esse, por definição, possui sempre origem no Norte.
Figura 7 – Medição de ângulos com o instrumento orientado para o Norte
Fonte: VEIGA, ZANETTI e FAGGION; 2010
Instrumento Apontando para a Ré
Nesse caso, tomamos como origem a direção do primeiro segmento de reta e 
medimos no sentido horário. Dessa forma, estaremos obtendo o ângulo externo e 
basta realizar 360º – Ângulo para encontrar a medida do ângulo interno.
Figura 8 – Medida do ângulo externo com o instrumento apontando para a ré
Figura: VEIGA, ZANETTI e FAGGION; 2010
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Instrumento Apontando para a Vante
Esta orientação é semelhante à orientação anterior, mas tomaremos como 
origem a vante. Dessa forma, quando realizarmos a medida angular no sentido 
horário, estaremos medindo o ângulo interno.
Figura 9 – Medida do ângulo interno com o instrumento apontado para a vante
Fonte: VEIGA, ZANETTI e FAGGION; 2010
Defl exão
Para o uso dessa técnica, devemos ter a origem das medições no prolongamento 
da ré, ou seja, a ré deve coincidir com a leitura igual a 180º. Na deflexão, o ângulo 
deve estar sempre entre 0º e 180º e deve ser negativo quando medido no sentido 
anti-horário e positivo no sentido horário.
Veja a figura a seguir:
Figura 10 – Medida da defl exão (nesse caso, positiva)
Fonte: VEIGA, ZANETTI e FAGGION; 2010
Rumo e Azimute
O azimute é o ângulo formado entre uma determinada direção e o Norte 
(geográfico ou magnético). É medido a partir do Norte no sentido horário e varia 
de 0º a 360º.
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UNIDADE Goniometria
O exemplo a seguir mostra o azimute de quatro pontos (P1, P2, P3 e P4):
Figura 11 – Exemplos de azimutes em quatro direções diferentes
Fonte: VEIGA, ZANETTI e FAGGION; 2010
O Rumo é a menor distância entre a direção de visada e o eixo Norte-Sul, 
contando sempre a partir do Norte ou Sul e varia entre 0º e 90º. É sempre dado 
juntamente com uma direção dependendo do quadrante em que se localiza a linha 
de visada: Nordeste (NE) para o primeiro quadrante, Sudeste (SE) para o segun-
do quadrante, Sudoeste (SW) para o terceiro quadrante e Noroeste (NW) para o 
quarto quadrante.
Veja os exemplos a seguir:
Figura 12 – Exemplos de rumos em quatro direções diferentes
Fonte: VEIGA, ZANETTI e FAGGION; 2010
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Transformação de Rumos e Azimutes
Sempre que obtemos o Rumo, podemos localizá-lo em um Gráfico e convertê-lo 
em azimute e vice-versa.
Exemplo
Imagine que você realizou uma observação com azimute igual à 140º 25’ 36’’ 
qual seria o rumo?
Para realizar a conversão, é interessante desenhar a linha de visada em um gráfico:
140º 25’ 36”
N
S
W E
Figura 13
Nesse caso, o Rumo será a distância entre a linha de visada e o Sul, pois a 
menor distância angular entre a linha de visada e o eixo Norte-Sul se encontra para 
baixo. Dessa forma, o Rumo será: 180° - 140º 25’ 36” = 39º34’24” na direção 
SE, ou seja 39º34’24” SE.
Exemplo
Considere que um topógrafo realizou a medida de um rumo e encontrou 52º 
45’20” NW. Qual é o azimute desta linha de visada?
Para resolver esse exercício, vamos novamente desenhar o Gráfico da linha de 
visada sobre a rosa dos ventos.
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UNIDADE Goniometria
52º45’20”
N
S
W E
Figura 14
Então, para encontrar o azimute, devemos contar a partir do Norte, no sentido 
horário, até encontrarmos a linha de visada. Para descobrirmos qual é esse ângulo, 
devemos fazer azimute = 360º - 52º45’20” = 307º14’40”.
Azimute à Direita e Azimute à Esquerda
Quando falamos de azimute, a definição padrão é a de realizar a medida da 
distância angular entre a direção Norte e a linha de visada, contando a partir do 
Norte em sentido horário (azimute à direita).
Porém, em alguns casos pode ser conveniente realizar esta medida no sentido an-
ti-horário (sempre partindo do Norte) e neste caso chamamos o azimute à esquerda.
Azimute à direita: 61º22’36”
Azimute à esquerda: 298º37’24”
N
S
W E
Figura 15
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A soma do azimute à direita com o azimute à esquerda será sempre igual a 360º.
Todas essas relações entre rumos e azimutes podem ser tomadas para visadas 
vante ou ré. Observe o exemplo a seguir.
Exemplo
Um topógrafo realizou a seguinte medida:
Vante
35º12’54
Ré
N
S
W E
Figura 16
A ré será sempre um prolongamento da visada vante na mesma direção e sentido 
oposto, como se o observador virasse de costas para a visada vante.
O mesmo raciocínio se aplica quando temos observações realizadas para a 
visada ré e queremos as distâncias angulares para a visada vante.
Nesse caso, o azimute à direita vante foi medido e o valor encontrado foi de 
35º12’54”. Então, o azimute à esquerda vante será 360º-35º12’54” = 324º47’06” 
e o Rumo vante será 35º 12’ 54” NE, pois a visada vante se encontra mais próxima 
ao Norte que ao Sul.
Para a visada ré, podemos notar que o ângulo formado pela visada ré e o eixo 
Norte-Sul é o mesmo medido pelo topógrafo.
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UNIDADE Goniometria
Vante
35º12’54
35º12’54
Ré
N
S
W E
Figura 17
Então, teremos azimute à direita para a visada ré = 180º+35º12’54” = 
215º12’54”, lembrando que o azimute é sempre contado com a origem no Norte. 
Azimute à esquerda para a visada ré = 180º - 35º12’54” = 144º47’06”, rumo ré 
= 35º12’54” SW.
Nesse ponto, é conveniente fazermos uma Tabela:
Vante Ré
Azimute Direita Azimute Esquerda Rumo Azimute Direita Azimute Esquerda Rumo
35º12’54” 324º47’06” 35º12’54” NE 215º12’54” 144º47’06” 35º12’54” SW
Você também deve ser capaz de realizar os cálculos de rumos e azimutes com os 
valores dados em uma Tabela.
Exemplo
Complete a Tabela a seguir, dado o Azimute à esquerda Ré.
Vante Ré
Azimute Direita Azimute Esquerda Rumo Azimute Direita Azimute Esquerda Rumo
22º51’09”
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Baseados na informação da Tabela, podemos fazer o Gráfico da visada ré:
Ré
22º51’09”
N
S
W E
Figura 18
E assim completamos a Tabela com os outros valores da visada ré. Azimute à 
direita = 360º-22º51’09” = 337º08’51” e o rumo que é igual a 22º51’09” NW.
Para descobrirmos os outros valores para a visada vante, devemos colocar a 
visada vante no Gráfico, lembrando de que esta será um prolongamento da visada 
ré no sentido oposto:
Ré
Vante
N
S
W E
Figura 19
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UNIDADE Goniometria
A distância angular entre a visada vante e o eixo Norte Sul é a mesma distância 
entre a visada ré e o eixo Norte Sul. Portanto, o seu Rumo será 22º51’09” SE.
O azimute à direita pode ser calculado como 180º-22º51’09” = 157º08’51” e 
o azimute à esquerda será 180º+22º51’09” = 202º51’09”.
Dessa forma, podemos completar a Tabela:
Vante Ré
Azimute Direita Azimute Esquerda Rumo Azimute Direita Azimute Esquerda Rumo
157º08’51” 202º51’09” 22º51’09” SE 337º08’51” 22º51’09” 22º51’09” NW
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Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Vídeos
Cálculo de Rumos e Azimutes
Engenharia Topografia Agrimensura – Cálculo de rumos e azimutes. Videoaula 
sobre o cálculo de rumos e azimutes.
https://youtu.be/AWe5DdTCE8s
Azimutes e Rumos Ré eVante
Engenharia Topografia Agrimensura – Azimutes e rumos ré e vante. Videoaula 
sobre o cálculo de rumos e azimutes nas orientações vante e ré.
https://youtu.be/39u7pkrRQfM
 Leitura
Texto Ilustrado para Esclarecer a Diferença entre os Polos Magnéticos e os Polos Geográficos
Norte Geográfico e Norte Magnético. MOLINA, E. Revista FAPESP, São Paulo. Ed. 
197, jul. 2012. Texto ilustrado para esclarecer a diferença entre os polos magnéticos 
e os polos geográficos.
https://goo.gl/QKTcQH
Rumos e Azimutes
OLIVEIRA, W. A. Portal Agrimensura, nov. 2015. Resumo de Rumos e azimutes, 
apresentação de técnicas para o cálculo.
https://goo.gl/slvLgR
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UNIDADE Goniometria
Referências
BORGES, A. C. Topografia Aplicada à Engenharia Civil. São Paulo: Edgard 
Blucher, 1992. v. 1 e 2.
BORGES, A. C. Exercícios de Topografia. São Paulo: Edgard Blucher, 1997.
GARCIA, G. J.; PIEDADE, G. C. R. Topografia aplicada às ciências agrárias. 
São Paulo: Nobel, 1994.
GHILANI, C. D.; WOLF. P. R. Geomática São Paulo: Pearson, 2014. 
NBR 13 133/94 Execução de levantamento topográfico. ABNT: Rio de Ja-
neiro, 1994.
VEIGA, L. A. K.; ZANETTI, M. A. Z.; FAGGION, P. L. Fundamentos de 
Topografia Curitiba: UFPR, 2012.
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