Análise Numérica do Critério de Convergência do Método da Decomposição

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
INSTITUTO DE GEOCIÊNCIAS
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM GEOFÍSICA
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
Análise Numérica do Critério de Convergência do
Método da Decomposição Espectral de Lanczos
Aplicado a Modelagem de Dados MT 2-D
CRISLENE MOREIRA DA SILVA
Belém – Pará
2021
CRISLENE MOREIRA DA SILVA
Análise Numérica do Critério de Convergência do
Método da Decomposição Espectral de Lanczos
Aplicado a Modelagem de Dados MT 2-D
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação
em Geofísica do Instituto de Geociências da Universi-
dade Federal do Pará para obtenção do título de Mestre
em Geofísica.
Área de concentração:
Modelagem e Inversão de Dados Geofísicos
Linha de pesquisa:
Geofísica Aplicada à Exploração de Hidrocarbonetos
Orientadora: Profa. Dra. Ellen de Nazaré Souza Gomes
Belém – Pará
2021
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) de acordo com ISBD
Sistema de Bibliotecas da Universidade Federal do Pará
Gerada automaticamente pelo módulo Ficat, mediante os dados fornecidos pelo(a) autor(a)
S586a Silva, Crislene Moreira da.
 Análise numérica do critério de convergência do método da
decomposição espectral de Lanczos aplicado a modelagem de
dados MT 2-D / Crislene Moreira da Silva. — 2021.
 34 f. : il. color.
 Orientador(a): Profª. Dra. Ellen de Nazaré Souza Gomes
 Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal do Pará,
Instituto de Geociências, Programa de Pós-Graduação em Ciências
Ambientais, Belém, 2021.
 1. modelagem numérica. 2. método da decomposição
espectral de Lanczos. 3. algoritmo de iteração de Lanczos. 4.
aceleradores de convergência. 5. Método Magnetotelúrico. I.
Título.
CDD 550
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À minha mãe pelo exemplo e dedicação à mi-
nha educação.
AGRADECIMENTOS
Gostaria de expressar gratidão ao Programa de Pós-graduação de Geofísica da Universi-
dade Federal do Pará por oferecer a estrutura necessária para a realização desta pesquisa
e ao Conselho Nacional Científico e Tecnológico (CNPq) pelo apoio financeiro. Adicio-
nalmente, é expressada imensa gratidão aos amigos e familiares por todo o apoio pessoal
dedicado a minha continuidade no programa. Um agradecimento excepcional a minha
orientadora por ser exemplo de dedicação, compreensão, acolhimento e por compartilhar
comigo a conquista de finalizar este trabalho.
RESUMO
A modelagem do convencional das soluções das equações de Maxwell no domínio da
frequência é computacionalmente custosa por ser calculada para cada frequência de ma-
neira independente e por apresentar erros de arredondamento devido as matrizes envol-
vidas na modelagem serem grandes e esparsas. Utilizando o Método da Decomposição
Espectral de Lanczos (SLDM), essa modelagem não precisa ser refeita para cada frequên-
cia e os erros de arredondamento podem ser reduzidos já que as matrizes utilizadas na
modelagem podem ser muito menores que as matrizes originais do problema abordado.
Assim, o SLDM pode ser uma abordagem alternativa para a modelagem de campos em
regime de difusão, como é o caso do método Magnetotelúrico - MT. Neste trabalho, o cri-
tério de convergência do SLDM foi analisado numericamente e, com base nos resultados
obtidos, um número ótimo para a convergência deste método foi determinado. Para sele-
cionar este número, o SLDM foi utilizado para modelar a resposta do Método MT a um
modelo 2D contendo um prisma condutivo. Os resultados obtidos são apresentados em
termos do campo magnético e são numericamente comparados com estimativas oriundas
da modelagem convencional. O erro quadrático médio foi utilizado nessa comparação.
Palavras-chaves: modelagem numérica; método da decomposição espectral de Lanc-
zos; algoritmo de iteração de Lanczos; aceleradores de convergência; campos em regime
de difusão; Método Magnetotelúrico.
ABSTRACT
The conventional modeling of the solutions to Maxwell’s equations is computationally
expensive because it is independently calculated for each frequency and due to rounding
errors caused by greatness and sparseness of the matrices evolved in the process. Using
the Spectral Lanczos Decomposition Method, it is unnecessary to perform this modeling
for each frequency and the rounding errors can be reduced since the matrices evolved in
the process can be much smaller than the original matrices of the problem. Hence, the
SLDM may be an alternative approach for modeling fields in diffusion regime, which is
the case of the Magnetotelluric (MT) Methods. In this work, a convergence criterion for
the SLDM was numerically analyzed and, based on the obtained results, a great number
for the method convergence was determined. In order to select this number, the SLDM
was used to model the MT response to a 2D-model containing a conductive prism. The
obtained results are presented in terms of the magnetic field and are numerically compared
to approximations of the conventional modeling. The root-mean-square error was used in
this comparison.
Keywords: numerical modeling; spectral Lanczos decomposition method; Lanczos
algorithm; convergence accelerators; fields in diffusion regime; magnetotelluric method.
LISTA DE FIGURAS
1.1 Espectro de amplitude do campo geomagnético indicando as fontes de
acordo com a frequência do sinal que elas emitem. Fonte: Menezes (2013). 2
1.2 Gráfico destacando as aplicações do Método MT de acordo com a faixa de
frequência estudada. A banda de frequência de interesse para este trabalho
é definida como MT Banda Larga. Fonte: Santos et al. (2019) . . . . . . . 3
2.1 Campo Hy para 50 Hz a esquerda e para 150Hz a direita. Estimativas
computadas sem a aplicação do ponderador. . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Fluxograma demonstrativo da aplicação do Método SLDM enfatizando o
emprego do ponderador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Representação do modelo de prisma resistivo 2-D. Dimensões: Lx = 1000m
e Lz = 2000m. As propriedades elétricas do prima e do meio encaixante,
respectivamente, são. ρ1 = 100 Ωm, ρ2 = 5 Ωm, Lx = 1000m. . . . . . . . 12
2.4 Campo Hy para frequência de 100 Hz, estimado por metodologia conven-
cional e por SLDM considerando o tamanho total dos modelos, ou seja,
adotando m = n. Painel a esquerda, estimativa para o Modelo 1. Painel a
direita, estimativa para o Modelo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5 Erro quadrático médio ERMS em maior detalhe enfatizando a estabilização
desse parâmetro que ocorre com o aumento do número de iteração adotado
no algorítmo de Lanczos. Valores para o Modelo 1 a esquerda e para o
Modelo 2 a direita. O campo magnético obtido através de metodologia
convencional foi utilizado como referência nesse cálculo. Frequência: 100Hz. 14
2.6 Para o Modelo 1, a diferença (Hy−H̄y) é mostrada. O H̄y é estimado através
SLDM considerando um valor percentual da dimensão do problema. Em
azul tem-se a diferença considerando m = n. Em preto tem-se a diferença
quandom = 0, 05×n e em lozangos vermelhos o resultado param = 0, 2×n.
A partir desse valor o campo H̄y é bem estimado quando comparado com
os resultados obtidos para m = n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.7 Campo Hy para frequência de 100 Hz, estimado por metodologia convenci-
onal e por SLDM considerando m = 0, 2×n. Painel a esquerda, estimativa
para o Modelo 1. Painel a direita, estimativa para o Modelo 2. . . . . . . . 15
2.8 Modelo 1: Campo Hy com frequência de 50Hz, estimado por metodologia
convencional e por SLDM. Painel a esquerda: número de iterações igual a
dimensão do modelo. Painel a direira: número de iterações igual a 20% da
dimensão do modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.9 Modelo 1: Campo Hy com frequência de 150 Hz, estimado por metodologia
convencional e por SLDM. Painel a esquerda, número de iterações igual a
dimensão do modelo. Painel a direira, número de iterações igual a 20% da
dimensão do modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.10 Modelo 2: CampoHy com frequência de 50Hz, estimado por metodologia
convencional e por SLDM. Painel a esquerda: número de iterações igual a
dimensão do modelo. Painel a direira: número de iterações igual a 20% da
dimensão do modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.11 Modelo 2: Campo Hy com frequência de 150 Hz, estimado por metodologia
convencional e por SLDM. Painel a esquerda, número de iterações igual a
dimensão do modelo. Painel a direira, número de iterações igual a 20% da
dimensão do modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO 1
2 ARTIGO: ANÁLISE NUMÉRICA DO CRITÉRIO DE CONVERGÊN-
CIA DO MÉTODO DA DECOMPOSIÇÃO ESPECTRAL DE LANC-
ZOS APLICADO A DADOS MT 2-D 5
2.1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 METODOLOGIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.1 Método da Decomposição Espectral de Lanczos . . . . . . 8
2.2.2 Ponderador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.3 Critério de Convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 TESTES NUMÉRICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 CONCLUSÃO 20
REFERÊNCIAS 21
1 INTRODUÇÃO
Os problemas físicos encontrados na natureza podem ser descritos por equações di-
ferenciais cuja solução dá o comportamento do fenômeno físico estudado. A Geofísica,
enquanto ciência multidisciplinar que aplica as leis da física para entender sobre o planeta
Terra em geral e/ou explorar seu recursos naturais, trabalha para encontrar as soluções de
equações diferenciais que trarão informações sobre o alvo de investigação que, por sua vez,
depende do problema abordado (Zhdanov, 2015). No âmbito da Geofísica Exploracional,
por exemplo, as informações desejadas estão relacionadas a geologia da área de estudo,
o que pode incluir a profundidade da formação rochosa de interesse juntamente com o
tipo de rocha, sua porosidade e permeabilidade - para ambientes sedimentares -, presença
e profundidade de falhas e/ou fraturas, ou seja, qualquer tipo de estrutura que possa
ter relação com o recurso mineral prospectado - É por isso que esse ramo da Geofísica é
considerado um método indireto (Tatham; Luiz and Silva, 1995; Telford et al., 1990).
Para o caso dos métodos geofísicos eletromagnéticos, são as Equações de Maxwell
que descrevem o fenômeno físico estudado: a propagação do campo eletromagnético no
interior da Terra (Ward and Hohmann, 2012; Nabighian, 1987, 1991). A solução destas
equações é dada em termos do campo elétrico ou magnético e traz em si informações sobre
as propriedades elétricas do meio no qual o campo se propagou ou se difundiu. Dessa
forma, a aplicação dos métodos eletromagnéticos resulta na distribuição de resistividade
da subsuperfície. Como consequência disso os métodos eletromagnéticos são amplamente
utilizados na prospecção mineral, de recursos hídricos e de hidrocarbonetos já que esses
recursos geralmente apresentam contraste de propriedade eletromagnética com o meio
encaixante.
Para a maioria dos modelos de resistividades utilizados para representar a geologia do
meio, a equação diferencial parcial (EDP) que deriva das equações de Maxwell não possui
solução analítica. É nesse contexto que se fazem necessários os métodos numéricos, já
que estes calculam soluções aproximadas para EDPs discretizando as derivadas espaciais
(Chari and Salon, 2000a,b; 200, 2000; Chari and Salon, 2000c; Poljak, 2006). Na prática,
a utilização desses métodos significa discretizar o modelo de propriedade física - feito
com base no meio estudado - em vários elementos menores (que podem ser de diferentes
formas: retângulos, quadrados, triângulos etc.) e calcular o campo desejado apenas nos
vértices ou nos nós dos elementos. Esses métodos transformam a EDP do problema em
um sistema de equações lineares cuja solução é uma aproximação da solução das equações
originais. Os métodos númericos mais utilizados no eletromagnetismo são o método de
Diferenças Finitas e o Método de Elementos Finitos.
O sistema linear resultante da discretização é solucionado através de métodos especí-
ficos de solução de sistemas de equações lineares como o Método de Gauss, o Método da
1
2
Figura 1.1: Espectro de amplitude do campo geomagnético indicando as fontes de acordo
com a frequência do sinal que elas emitem. Fonte: Menezes (2013).
Decomposição LU e o Método da Decomposição Espectral de Lanczos. Os dois primeiros
métodos são os mais difundidos na literatura. Esses métodos convencionais utilizados na
modelagem das equações de Maxwell, no regime de difusão, geram soluções independentes
para cada frequência (Bowyer, 1981; Liu and Chew, 1990; Madden and Mackie, 1989), o
que faz com que os métodos no domínio da frequência tenham um alto custo computa-
cional na simulação multifrequência dos campos. Para os métodos eletromagnéticos que
trabalham dentro de uma ampla banda de frequência, caso do Método Magnetotelúrico,
este processo se torna ainda mais caro.
A Figura 1.1, de Menezes (2013), mostra a banda de frequência que pode ser utilizada
no método Magnetotelúrico (MT) de acordo com a fonte do sinal eletromagnético. Note
que a menor frequência é da ordem de 10−9 e a maior frequência é da ordem de 105, ou
seja, uma faixa de frequência de 15 décadas. Essa ampla faixa de frequência permite ao
método uma vasta aplicação, como mostra a Figura 1.2 (Santos et al., 2019) que destaca
a faixa de frequência na qual se deve trabalhar de acordo com o objeto de estudo. Para
este trabalho, que visa a redução do custo computacional da modelagem MT aplicada
a exploração de hidrocabornetos, tem-se como foco o MT Banda Larga, que abrange
frequências de 10−3 a 103.
Uma abordagem para alcançar o objetivo proposto é utilização de aceleradores na
modelagem MT. Os trabalhos Druskin and Knizhnerman (1994); Carcione (2006); Dong
3
Figura 1.2: Gráfico destacando as aplicações do Método MT de acordo com a faixa de
frequência estudada. A banda de frequência de interesse para este trabalho é definida
como MT Banda Larga. Fonte: Santos et al. (2019)
and Egbert (2018); Mohammad and Jin-Ming (1999) apresentam várias metodologias
para a determinação de aceleradores da modelagem direta. Destacam-se a utilização de
auto-modos, divergente livre e o método da decomposição espectral de Lanczos (Spectral
Lanczos Decomposition Method - SLDM). O SLDM tem se mostrado um acelerador pro-
missor na modelagem eletromagnética visto que a solução resultante desta metodologia
não requer que a modelagem seja recalculada para cada frequência do método EM em
questão, o que ocorre para as metodologias convencionais (Jin et al., 1999; Zhdanov and
Chernyavskiy, 2004; Slone and Lee, 2000; Zunoubi et al., 1997).
A estimativa do campo magnetotelúrico através do SLDM é dependente do critério de
convergência do algorítmo de Lanczos que faz parte da aplicação do SLDM. O número de
iterações necessárias para a convergência determina o espaço da solução das estimativas.
Desta forma a determinação do critério de convergência deste algoritmo é importante
para o cálculo da estimativa, além de influenciar no custo computacional do SLDM. Em
geral, a convergência do SLDM é obtida para um valor muito menor que a dimensão do
problema que, por sua vez, depende da discretização do modelo utilizado.
Neste trabalho é apresentada uma análise numérica do critério de convergência do
SLDM através de sua aplicação a dados magnetotelúricos 2-D. Esta análise é aplicada a
um modelo 2-D de prisma com diferentes dimensões. As matrizes de massa e rigidez e o
vetor fonte desses modelos foram obtidos através do Método de Elementos Finitos. O erro
quadrático médio foi utilizado na determinação de um critério de parada ótimo para o
4
algorítmo de Lanczos. Os resultados dessa análise juntamente com a proposta do critério
de parada ótimo e a metodologia utilizada foram escritos em formato de artigocientífico
e estão dispostos no próximo capítulo desta dissertação.
2 ARTIGO: ANÁLISE NUMÉRICA DO CRITÉRIO DE
CONVERGÊNCIA DO MÉTODO DA DECOMPOSIÇÃO
ESPECTRAL DE LANCZOS APLICADO A DADOS MT 2-D
RESUMO
Amodelagem de dados Magnetotelúricos (MT) possui alto custo computacional devido
a sua extensa banda de frequência. Além disso, a modelagem convencional no domínio da
frequência é feita de maneira independente para cada frequência. Tem-se ainda que, para
campos eletromagnéticos em regime de difusão, as matrizes envolvidas nos problemas são
grandes devido a discretização utilizada na modelagem, o que aumenta o custo computa-
cional. Uma solução para este problema é a utilização de aceleradores de convergência.
O Método da Decomposição Espectral de Lanczos (SLDM) é um exemplo desses acele-
radores e uma alternativa na estimativas de campos MT. Duas matrizes são utilizadas
na solução MT estimada pelo SLDM. A primeira delas gera o espaço das soluções e a a
outra é uma matriz tridiagonal, cujos auto-modos fazem parte da solução. Essas matri-
zes são obtidas através do algoritmo de recursão de Lanczos e sua dimensão, em geral
muito menor que a dimensão do problema envolvido, depende do número de iterações
desse algoritmo. Neste trabalho foram realizadas uma análise do número de iterações e a
determinação de um número ótimo - que é uma fração percentual do problema inicial -
para critério de convergência desse algorítmo.
Palavras-chaves: modelagem numérica; método da decomposição espectral de Lanc-
zos; algoritmo de iteração de Lanczos; aceleradores de convergência; campos em regime
de difusão; Método Magnetotelúrico.
ABSTRACT
MT data modeling has a high computational cost because of its extensive frequency
bandwidth. Moreover, its conventional modeling in the frequency domain is performed
for each frequency independently. On top of that, for electromagnetic fields in the diffusion
regime the matrices associated to the problems are great and sparse which increases the
computational cost. A solution to this problem is using convergence accelerators. The
Spectral Lanczos Decomposition Method (SLDM) is an example of this accelerators and
an alternative to calculating the MT fields approximations. Two matrices are used to
estimate the MT solutions through SLDM. The first one generates the solution space and
the second one is a tridiagonal matrix whose eigenpairs are part of the solution. These
matrices are obtained through the Lanczos Algorithm and their dimension, in general
much smaller than the dimension of the problem, depends on the iteration number of this
algorithm. In this work, an analysis of the iteration number and the determination of
a great number - which is a percentage of the original problem - to be the convergence
criterion of this algorithm were performed.
Keywords: numerical modeling; spectral Lanczos decomposition method; Lanczos
algorithm; convergence accelerators; fields in diffusion regime; magnetotelluric method.
7
2.1 INTRODUÇÃO
A modelagem convencional de soluções aproximadas das equações de Maxwell para o
caso MT tem alto custo computacional (Boyse et al., 1992; Liu and Chew, 1990; Madden
and Mackie, 1989; Oristaglio and Hohmann, 1984; Weiland, 1986). Isso se deve a mode-
lagem, no domínio da frequência, ser gerada de forma independente para cada frequência
e para cada posição de fonte e receptor (Ohashi and Souza, 2015). Além disso, problemas
relacionados a modelagem computacional são frequentes devido as matrizes envolvidas no
problema possuírem dimensão significativa. Uma solução que pode levar a redução de
custo computacional é a utilização de aceleradores de convergência.
Dentre as várias técnicas utilizadas para reduzir o custo da convergência (Saad and
Schultz, 1986; Manteuffel et al., 2005; Van der Vorst, 1992; Freund, 1993) se destaca o
Método da Decomposição Espectral de Lanczos (SLDM, em inglês) (Druskin and Knizh-
nerman, 1994; Zhdanov, 2015; Knizhnerman et al., 1994). No SLDM, os campos são deter-
minados para uma dada frequência, chamada frequência base. A partir dessa estimativa,
o campo para várias frequências é então determinado através de operações simples evi-
tando a necessidade de repetir a modelagem numérica para cada frequência, o que ocorre
convencionalmente. Essas estimativas são calculadas no sub-espaço de krilov gerado a
partir da frequência base através do método de iteração de lanczos (Freund, 1993; Cullum
and Willoughby, 2002; Komzsik, 2003).
A dimensão do sub-espaço de krilov é um ponto importante nas estimativas e na per-
formance computacional do método. Ele é determinado pelo critério de convergência do
algorítmo de Lanczos, que faz parte do processo de aplicação do SLDM e constuma ter
dimensão menor que a dimensão do problema envolvido (Lanczos, 1950; Cullum and Wil-
loughby, 2002; Komzsik, 2003). Em Mohammad and Jin-Ming (1999), a convergência
deste algoritmo é discutida considerando fatores relacionados a dimensão da malha utili-
zada na discretização.
Neste trabalho, é feita uma análise numérica do critério de convergência do algoritmo
de Lanczos utilizando-o no SLDM Ponderado aplicado a modelagem de dados MT para
modelos 2-D. As matrizes de massa e rigidez e o vetor fonte foram obtidos através do
método de elementos finitos nodal (Becker et al., 1981; Bakuska et al., 2010; Öchsner
and Merkel, 2018; Assan, 2020; Boyse et al., 1992). Os resultados foram apresentados em
termos do campo magnético (Modo TM) e comparados com estimativas da modelagem
convencional.
8
2.2 METODOLOGIA
2.2.1 Método da Decomposição Espectral de Lanczos
De acordo com Mohammad and Jin-Ming (1999), uma solução aproximada para as
equações de Maxwell em regime de difusão, a baixa frequência, considerando dados de
magnetotelúrico (MT) pode ser encontrada através da solução do sistema matricial:
(C + iωµS) Hy = b, (2.1)
em que C e S são as matrizes de rigidez e massa respectivamente, com ordem n, Hy é o
vetor da componente y do campo magnético e b é o vetor fonte, que carrega informações
da geometria do problema e do campo secundário.
Esse sistema pode ser reescrito como:
(A + ıωµI) H′y = b
′, (2.2)
em que: I é a matriz identidade, A = D−1/2 C D−1/2, H′y = D1/2 Hy, b′ = D−1/2 b e D
é a matriz diagonal obtida a partir da matriz de massa S através de método de row-sum
lumpig1. Uma solução aproximada de (2.2) para a frequência ω é dada por:
H′y(ω) = (ıωµI + A)
−1 b′. (2.3)
A solução envolve o cálculo dos automodos (autovalores e autovetores) da matriz A, que
é uma tarefa complexa e com alto custo computacional uma vez que, a matriz A é, em
geral, grande e esparsa.
Uma solução é a utilização de acelaradores de convergência, o método da decomposição
de Lanczos é um exemplo (Lanczos, 1950).
Este método consiste na estimativa do campo para uma dada frequência, chamada de
frequência base, dado por:
H′y(ω) ≈ ‖b′‖QV (Λ + ıωµI)−1VTe1, (2.4)
em que as colunas da matiz Q são uma base ortornormal do sub-espaço de Krilov, Λ e V
são os autovalores e autovetores da matriz tridiagonal T (obtida a partir da matriz A)
respectivamente e e†1 = (1, 0, 0, · · · , n) vetor unitário (o símbolo † significa a transposta
conjugada). Em seguida, as estimativas o campo para outras frequências são obtidas
através da substituíção de ω → ω′ no termo (Λ + ıωµI)−1 da equação (2.4).
Teoricamente, os valores das matrizes Q e T são determinados uma única vez, apenas
1A soma de todos os elementos de uma linha é colocado na posição do diagonal principal daquela
linha.
9
para a frequência base.
As matrizes Q, V e T, são determinadas através do algoritmo de recursão de Lanczos ?.
Este algoritmo é muito aplicado na área das engenharias e matemática computacional em
dois tipos de situação: na determinação dos autovalores e autovetores de sistemas lineares
cuja matriz envolvida é grande e esparsa e na redução da dimensão de sistemas lineares.
A determinação dos automodos da matriz do sistema linear torna-se mais fácil por que
uma aproximação desses valores é obtida do calculo dos autovaloresde uma matriz tridi-
agonal T que é produto da recursão de Lanczos. Essa matriz é mais simples e menor em
comparação a dimensão do problema.
A redução da dimensão do sistema ocorre devido aos produtos gerados através do al-
goritmo de recursão (matrizes Q, V e T) possuírem dimensão que é determinada pelo
número de iterações do algorítmo que, por sua vez, está ligado a convergência do mesmo.
A redução da dimensão do problema combinado com a aplicação do SLDM na estimativa
dos campos para o método MT pode ser muito útil na redução do tempo computacional,
que em geral é considerável nas abordagens convencionais.
Neste trabalho é apresentada uma análise na convergência do algoritmo de iteração de
Lanczos.
2.2.2 Ponderador
De acordo com o os resultados encontrados em Gomes et al. (em fase de elaboração)
é observado que a substituíção do valor de ω no termo em (2.4) não é suficiente para
recuperar o campo para todas as faixas de frequência do método MT. Acredita-se que isso
se deve ao espaço das soluções (colunas da matriz Q) ser construído em torno do vetor
fonte b, que por sua vez, dependende da frequência (além de depender da geometria do
problema). Isso torna a solução dependente de b e, portanto, dependente da frequência
adotada. Para o caso MT devido a extensão da banda de frequência (seis décadas),
essa dependência foi melhor observada. A solução proposta por Gomes et al. (em fase
de elaboração) é a aplicação de um fator de ponderação nas aproximações obtidas pelo
SLDM. Esse ponderador é cálculado através do vetor fonte de uma frequência de referência
denominada frequncia baseωb e o vetor fonte da frequência ω cujo campo será calculado.
Esse ponderador é dado por:
P1 = b(ω)
T (b(ω)b(ω)T )−1 b(ωb). (2.5)
Logo, o ponderador depende dos vetores fonte b, da frequência base ωb e da frequência
ω do campo a ser calculado. A Figura 2.1 mostra o campo Hy calculado para 50Hz com
e sem a aplicação do ponderador. Note que o campo estimado com o SLDM se afasta do
campo calculado com elementos finitos, logo, a estimativa passa a ser insatisfatória.
O fluxograma abaixo, Figura 2.2, mostra como funciona a aplicação do ponderador
10
0 2000 4000 6000 8000 10000
Distância (m)
-4
-2
0
2
4
6
H
y
 (
T
)
10
-3 Modelo 2
FEM Real
SLDM Real
FEM Imag
SLDM Imag
0 2000 4000 6000 8000 10000
Distância (m)
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
H
y
 (
T
)
10
-3 Modelo 2
FEM Real
SLDM Real
FEM Imag
SLDM Imag
Figura 2.1: Campo Hy para 50 Hz a esquerda e para 150Hz a direita. Estimativas
computadas sem a aplicação do ponderador.
no cálculo das estimativas do campo Hy para frequências diferentes da frequência base.
Gomes et al. (em fase de elaboração) ainda relata que esse processo precisa ser feito de
década em década dentro das faixas de frequência adotadas no método MT.
Figura 2.2: Fluxograma demonstrativo da aplicação do Método SLDM enfatizando o
emprego do ponderador.
11
2.2.3 Critério de Convergência
Para analisar o critério de convergência, foram realizados testes numéricos para estimar
o campo Hy para uma faixa de frequências a partir da frequência base de 100Hz. Nessas
estimativas, utilizou-se diferentes paradas para o algoritmo de iteração de Lanczos e assim
as matrizes Q, V e T foram calculadas com diferentes dimenssões todas menores que a
dimensão dos modelos.
Devido a inexistência de uma solução analítica para as Equações de Maxwell em geral, as
soluções obtidas através do SLDM foram comparadas com os campos calculados através
de metodologia convencional que utiliza os elementos finitos.
A análise dos resultados consistiu na comparação dos campos estimados pelo SLDM e
pela metodologia convencional, além do cálculo do erro quadrático médio, ERMS, dado
por:
ERMS =
√∑k
i=1
(
Hy,i − H̄y,i
)2
(k − 1)
, (2.6)
em que: Hy,i é o valor do campo Hy na estação i calculado através por FEM; H̄y,i é é o
valor do campo Hy na estação i estimado pelo SLDM; k é o número de estações adotados
no eixo x. Esse erro foi calculado para cada valor de m, que é o número de iterações
do algoritmo de Lanczos. O valor de ERMS calculado quando o (m = n) foi considerado
como o menor valor de ERMS que o SLDM consegue gerar, logo, este valor foi adotado
como referência na escolha de um critério de parada ótimo para o algorítmo de Lanczos.
2.3 TESTES NUMÉRICOS
A configuração adotada aos modelos de prisma resistivo 2-D utilizados na realização
de todos os testes apresentados neste trabalho é mostrada na Figura 2.3. As resistividades
elétricas do meio encaixante e do prisma são ρ1 = 100 Ωm e ρ2 = 5 Ωm respectivamente.
O As dimensões do prisma são: Lx = 1000m no eixo x e Lz = 2000m no eixo z.
12
Figura 2.3: Representação do modelo de prisma resistivo 2-D. Dimensões: Lx = 1000m e
Lz = 2000m. As propriedades elétricas do prima e do meio encaixante, respectivamente,
são. ρ1 = 100 Ωm, ρ2 = 5 Ωm, Lx = 1000m.
Foram utilizados vários modelos com dimensões distintas para a determinação de um
critério de parada ótimo para o algorítmo de Lanczos. Neste trabalho são apresentados os
resultados para dois modelos: o primeiro tem dimensão n = 1521 (Modelo 1), considerado
um modelo de pequeno porte, o segundo modelo tem dimensão n = 5041 (Modelo 2) -
considerado um modelo de médio porte. Modelos maiores não foram utilizados devido
limitações de máquina.
Em todos os testes apresentados a frequência base adotada é igual a 100Hz e o erro
quadrático médio ERMS é calculado considerando vários percentuais do tamanho total do
modelo (denominados de m) como critério de parada para o algorítmo de Lanczos. O
valor de ERMS calculado pelo Hy obtido quando m = n foi utilizado como referência na
determinação de um percentual ótimo para critério de parada do algorítmo de Lanczos.
A estimativa do campo Hy oriunda dessa aplicação é mostrada na Figura 2.4.
De acordo com a Tabela 2.1, que mostra os valores de ERMS obtidos para o Modelo 1
e para o Modelo 2 utilizando a frequência de 100Hz, o erro quadrático médio tende a se
estabilizar se igualando ao valor encontrado quando m = n a medida que o número de
iterações aumenta. Isso pode ser verificado na Figura 2.5, onde os valores do ERMS são
apresentados a partir do número de iterações igual a 10% da dimensão do modelo.
13
0 2000 4000 6000 8000 10000
Distância (m)
-4
-3
-2
-1
0
1
2
H
y
 (
T
)
10
-3 Modelo 1
FEM Real
SLDM Real
FEM Imag
SLDM Imag
2000 4000 6000 8000 10000
Distância (m)
-4
-3
-2
-1
0
1
2
H
y
 (
T
)
10
-3 Modelo 2
FEM Real
SLDM Real
FEM Imag
SLDM Imag
Figura 2.4: CampoHy para frequência de 100 Hz, estimado por metodologia convencional
e por SLDM considerando o tamanho total dos modelos, ou seja, adotando m = n. Painel
a esquerda, estimativa para o Modelo 1. Painel a direita, estimativa para o Modelo 2.
Tabela 2.1: Valores do erro quadrático médio para as estimativas do campo variando o
número de iterações no algorítimo de Lanczos em um valor percentual da dimensão do
modelo. Tabela a esquerda: resultados para o Modelo 1. Tabela a direita: resultados para
o Modelo 2. Os erros foram calculados para as estimativas do campo Hy na frequência
base: 100Hz.
Modelo 1 (n = 1521)
(%) m ERMS
5 76 4, 94834× 10−5
10 152 2, 66913× 10−5
20 304 2, 66963× 10−5
30 456 2, 66963× 10−5
50 760 2, 66963× 10−5
70 1064 2, 66963× 10−5
100 1521 2, 66963× 10−5
Modelo 2 (n = 5041)
(%) m ERMS
5 252 4, 22576× 10−6
10 504 4, 22849× 10−6
20 1008 4, 22848× 10−6
30 1512 4, 22849× 10−6
50 2520 4, 22849× 10−6
70 3528 4, 22849× 10−6
100 5041 4, 22849× 10−6
Na Figura 2.6 é mostrado, para o Modelo 1, a diferença entre os campos (Hy − H̄y)
para a estimativa de H̄y quando m = 0, 05 × n e m = 0, 2 × n. Para comparação usou-
se a diferença dos campos quando m = n. Esta figura comprova que 20% do tamanho
do modelo é o percentual ótimo a ser adotado como critério de parada do algorítmo de
Lanczos. Para fins demonstrativos, a Figura 2.7 mostra o campo Hy calculado quando
m = 0, 2× n para o Modelo 1 e para o Modelo 2.
As estimativas do campo Hy para outras frequências foram realizadasde acordo com
o fluxograma apresentado na Figura 2.2. Em todos os casos, as estimativas dos campos
considerando apenas 20% da dimensão do modelo são comparadas com os resultados ad-
quiridos adotando a dimensão total do modelo como critério de parada. Para todas as
14
100 150 200
m (até 0.15n)
3
3.5
4
4.5
E
R
M
S
10
-5 Modelo 1
200 300 400 500 600 700
m (até 0.15n)
4.23
4.235
4.24
4.245
4.25
E
R
M
S
10
-6 Modelo 2
Figura 2.5: Erro quadrático médio ERMS em maior detalhe enfatizando a estabilização
desse parâmetro que ocorre com o aumento do número de iteração adotado no algorítmo
de Lanczos. Valores para o Modelo 1 a esquerda e para o Modelo 2 a direita. O campo
magnético obtido através de metodologia convencional foi utilizado como referência nesse
cálculo. Frequência: 100Hz.
0 2000 4000 6000 8000 10000
Distância (m)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
10
-4 Parte Real
Dif5%
Dif20%
Dif100%
0 2000 4000 6000 8000 10000
Distância (m)
-5
0
5
10
10
-5 Parte Imag
Dif5%
Dif20%
Dif100%
Figura 2.6: Para o Modelo 1, a diferença (Hy− H̄y) é mostrada. O H̄y é estimado através
SLDM considerando um valor percentual da dimensão do problema. Em azul tem-se a
diferença considerando m = n. Em preto tem-se a diferença quando m = 0, 05× n e em
lozangos vermelhos o resultado para m = 0, 2×n. A partir desse valor o campo H̄y é bem
estimado quando comparado com os resultados obtidos para m = n.
frequências, o valor de ERMS das estimativas é igual (em até cinco casas decimais) ao
ERMS da estimativa considerando toda a dimensão do modelo. As estimativas do campo
Hy para as frequências de 50Hz e 150Hz para o Modelo 1 e para o Modelo 2 são mostra-
das nas Figuras 2.8, 2.9, 2.10 e 2.11. De acordo com Gomes et al. (em fase de elaboração),
a estimativa do campo a partir da frequência base com a utilização do ponderador é válida
para uma faixa de frequência uma década distante da frequência base. Para frequências
maiores, uma nova frequência base precisa ser determinada para que, então, o cálculo de
15
0 2000 4000 6000 8000 10000
Distância (m)
-4
-3
-2
-1
0
1
2
H
y
 (
T
)
10
-3 Modelo 1
FEM Real
SLDM Real
FEM Imag
SLDM Imag
0 2000 4000 6000 8000 10000
Distância (m)
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
H
y
 (
T
)
10
-3 Modelo 2
FEM Real
SLDM Real
FEM Imag
SLDM Imag
Figura 2.7: CampoHy para frequência de 100 Hz, estimado por metodologia convencional
e por SLDM considerando m = 0, 2× n. Painel a esquerda, estimativa para o Modelo 1.
Painel a direita, estimativa para o Modelo 2.
um novo fator de ponderação seja realizado.
Em termos de tempo computacional, a Tabela 2.2 mostra que o tempo gasto para
calcular o campo Hy utilizando m = 0, 2× n é reduzido em, aproximadamente, 75% para
o Modelo 1 e em 91% para o Modelo 2. É importante ressaltar que o computador utilizado
para gerar esses dados possui 8 GB de memória RAM e processador Intel Core i5.
Tabela 2.2: Tempo computacional gasto para estimar o campo Hy utilizando a dimensão
total do modelo e apenas 20% deste como critério de parada do algorítimo de Lanczos.
Tabela a esquerda: resultados para o Modelo 1. Tabela a direita: resultados para o
Modelo 2. Frequência base: 100Hz.
Modelo 1 (n = 1521)
(%) m t(s)
20 304 4, 659427
100 1521 18, 90088
Modelo 2 (n = 5041)
(%) m t(s)
20 1008 48, 21489
100 5041 499, 3721
Com base nas Figuras 2.8, 2.9, 2.10 e 2.11, verifica-se que as estimativas considerando
apenas 20% da dimensão do modelo são muito próximas as estimativas obtidas adotando
a dimensão total do modelo como critério de parada do algorítmo de Lanczos. Foram
apresentados os campos com frequências nos valores extremos da frequência base pois é
nesses casos que a metodologia do SLDM apresenta as estimativas com maior erro. A
estimativa do campo melhora a medida que a frequência do campo a ser estimado se
aproxima da frequência base. É importante ressaltar que esse comportamento se deve
a metodologia e não a redução das interações do algorítmo de Lanczos, o que pode ser
concluído a partir da análise do valores apresentados de ERMS.
16
0 2000 4000 6000 8000 10000
Distância (m)
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
H
y
 (
T
)
10
-3 Modelo 1
FEM Real
SLDM Real
FEM Imag
SLDM Imag
0 2000 4000 6000 8000 10000
Distância (m)
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
H
y
 (
T
)
10
-3 Modelo 1
FEM Real
SLDM Real
FEM Imag
SLDM Imag
Figura 2.8: Modelo 1: Campo Hy com frequência de 50Hz, estimado por metodologia
convencional e por SLDM. Painel a esquerda: número de iterações igual a dimensão do
modelo. Painel a direira: número de iterações igual a 20% da dimensão do modelo.
0 2000 4000 6000 8000 10000
Distância (m)
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
H
y
 (
T
)
10
-3 Modelo 1
FEM Real
SLDM Real
FEM Imag
SLDM Imag
0 2000 4000 6000 8000 10000
Distância (m)
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
H
y
 (
T
)
10
-3 Modelo 1
FEM Real
SLDM Real
FEM Imag
SLDM Imag
Figura 2.9: Modelo 1: Campo Hy com frequência de 150 Hz, estimado por metodologia
convencional e por SLDM. Painel a esquerda, número de iterações igual a dimensão do
modelo. Painel a direira, número de iterações igual a 20% da dimensão do modelo.
2.4 CONCLUSÃO
O Método da Decomposição Espectral de Lanczos - SLDM é um exemplo de acelerador
de convergência que vem sendo utilizado na estimativa de campos eletromagnéticos que
estão em regime de difusão. Em contraste com a metodologia usual, através do SLDM
o campo é estimado para uma frequência base e a partir desta as estimativas do campo
para outras frequências são obtidas através de algumas operações matriciais.
A estimativa do campo para a frequência base utilizando o algorítmo de recursão de Lanc-
zos tem como produtos a matriz Q, cujas colunas geram o espaço das soluções, e a matriz
tridiagonal T cujo autovalores fazem parte da solução estimada através do SLDM.
17
0 2000 4000 6000 8000 10000
Distância (m)
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
H
y
 (
T
)
10
-3 Modelo 2
FEM Real
SLDM Real
FEM Imag
SLDM Imag
0 2000 4000 6000 8000 10000
Distância (m)
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
H
y
 (
T
)
10
-3 Modelo 2
FEM Real
SLDM Real
FEM Imag
SLDM Imag
Figura 2.10: Modelo 2: Campo Hy com frequência de 50Hz, estimado por metodologia
convencional e por SLDM. Painel a esquerda: número de iterações igual a dimensão do
modelo. Painel a direira: número de iterações igual a 20% da dimensão do modelo.
0 2000 4000 6000 8000 10000
Distância (m)
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
H
y
 (
T
)
10
-3 Modelo 2
FEM Real
SLDM Real
FEM Imag
SLDM Imag
0 2000 4000 6000 8000 10000
Distância (m)
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
H
y
 (
T
)
10
-3 Modelo 2
FEM Real
SLDM Real
FEM Imag
SLDM Imag
Figura 2.11: Modelo 2: Campo Hy com frequência de 150 Hz, estimado por metodologia
convencional e por SLDM. Painel a esquerda, número de iterações igual a dimensão do
modelo. Painel a direira, número de iterações igual a 20% da dimensão do modelo.
A dimensão das matrizes Q e T é estimada pelo critério de convergência do algoritmo
de Lanczos, logo, este parâmetro é fundamental na redução da dimensão das matrizes
envolvidas na estimativa do campo já que elas são os parâmetros de entrada do SLDM.
Sendo assim, é apresentada uma análise do número de iterações do algoritmo de Lanczos
e proposto um número ótimo de iterações através da aplicação do SLDM na estimativa de
campos de MT. Foram considerados modelos 2-D de prisma resistivo com tamanhos que
variavam do pequeno ao médio. Foram testados vários números de iteração no algoritmo
de Lanczos que correspondiam a uma fração percentual da dimensão do problema. Con-
sideramos as estimativas para o número de iterações igual a dimensão do problema como
valores de referência. Nesta análise foram calculados valores para o erro quadrático médio,
18
ERMS, utilizando a diferença entre o campo estimado pela metodologia convencional e o
campo estimado com o SLDM Ponderado. A diferença entre o campo de referência
Observou-se que os valores de ERMS para estimativas cujo o númerode iterações era me-
nor que 20% são instáveis e o campo Hy não é satisfatório. Acima de 20%, os valores de
ERMS se estabilizam e o campoHy resultante se assemelha ao campo de referência. Assim,
concluí-se que um número ótimo para o número de iterações é igual a 20% da dimensão
do modelo em questão. Adicionalmente, verificou-se que esse número ótimo independe da
frequência do campo Hy a ser estimado quando utilizado o SLDM Ponderado.
Propõem-se, como continuidade dessa pesquisa, a realização de testes com modelos mai-
ores e mais realísticos para o caso MT.
APÊNDICE A
ALGORITMO DE LANCZOS
Em seguida são mostrados alguns detalhes para a obtenção da base ortornormal e
da matriz tridiagonal através do algorítimo de recursão de Lanczos. Dada A′, matriz
simétrica de ordem n× n, f uma função definida no intervalo espectral de A′ e ϕ′ vetor
do <n. A solução das equações de Maxwell dadas por:
Eω = iω ( iω I + A)
−1ϕ,
pode ser representada por:
u = f(A′)ϕ′
Através do algoritmo de Lanczos é determinada uma base ortonormal, {q1, . . . ,qm}, do
subespaço de Krylov, Km = spam{ϕ′,A′ϕ′, . . . ,A′m−1ϕ′}, além da matriz tridiagonal T,
cujos autovalores são aproximações dos autovalores de A′.
Da combinação da base ortornormal tem-se uma aproximação dos autovetores de A′.
A base ortonormal Q e a matriz tridiagonal T são determinados por três termos de
recursão descrito a seguir:
Fazendo β0 = 0 q0 = 0, q1 = ϕ′/ ‖ ϕ′ ‖ e βi ≥ 0
1. αi = q∗iA′qi,
2. wi = A′qi − βi−1qi−1 − αiqi,
3. βi =‖ wi ‖, i = 1, . . . ,m,
4. qi+1 = wi/βi.
O processo de recurssão é continuado até se alcaçado alguma tolerância imposta pelo
19
usuário. A matriz tridiagonal é escrita por:
T =

α1 β1 . . . 0
β1 α2 β2
... . . .
...
0 . . . βm−1 αm

e a matriz cujas colunas são os vetores da base ortornormal é dada por: Q = [q1, . . . ,qm].
Através do algoritmo de recurssão de Lanczos tem-se que a dimensão de Q e T (n) é
menor que a dimensão de A (m) do problema.
O algoritmo de recurssão tem sido empregado em áreas da engenharia na redução da
dimensão e no cálculo dos auto-modos de problemas.
AGRADECIMENTOS
Os autores gostariam de expressar gratidão ao Programa de Pós-graduação de Geofí-
sica da Universidade Federal do Pará por oferecer a estrutura necessária para a realização
desta pesquisa e ao Conselho Nacional Científico e Tecnológico (CNPq) pelo apoio finan-
ceiro.
CONFLITO DE INTERESSE
Os autores declaram que não há conflito de interesse.
3 CONCLUSÃO
A modelagem de dados magnetotelúricos apresenta alto custo computacional devido
ao grande volume de dados relacionados a extensa banda de frequência que este método
geofísico apresenta. O do Método da Decomposição Espectral de Lanczos (SLDM) apli-
cado juntamente com o algortimo de lanczos pode ser uma alternativa que resulte em
redução de custo computacional para a modelagem multifrequência deste método. Um
parâmetro importante dentro da modelagem com o SLDM é o critério de parada - número
de iterações - do algorítmo de Lanczos. Este critério de parada define o tamanho das ma-
trizes que serão utilizadas na modelagem dos campos magnetotelúricos através do SLDM,
logo, sua determinação faz-se necessária para a redução do custo computacional desta mo-
delagem. Objetivando a determinação de um critério de parada ótimo, neste trabalho, o
SLDM foi aplicado na modelagem de dados MT para uma configuração de 2-D de prisma
- que simula um corpo resistivo localizado no centro de um meio condutivo - em modelos
de diferentes dimensões. Foram apresentados os resultados para dois modelos: Modelo
1 que foi discretizado em 1521 elementos e o Modelo 2 que possui 5041 elementos. Em
todos os testes realizados, a frequência base empregada é igual a 100 Hz, os resultados da
modelagem com o SLDM Ponderado foram apresentados em termos do campo magnético
Hy e a quantificação das análises se deu através do cálculo do erro quadrático médio
ERMS utilizando como referência o campo Hy estimado pela metodologia convencional.
Analisando os resultados obtidos, as seguintes observações foram realizadas:
Os valores de ERMS para estimativas cujo o número de iterações era menor que 20% são
instáveis e o campo Hy resultante não é satisfatório;
Acima de 20%, os valores de ERMS se estabilizam e o campo Hy resultante se assemelha
ao campo de referência. . Assim, propõem-se que utilizar 20% da dimensão do modelo
em questão como critério de parada do algorítmo de Lanczos é uma excelente abordagem
para a modelagem multifrequência de dados MT. Logo, este percentual é reconhecido
como númeoro de iterações ótimo. Adicionalmente, verificou-se que esse número ótimo
independe da frequência do campo Hy a ser estimado quando utilizado o SLDM Pon-
derado. Uma sugestão de continuidade de pesquisa é a realização de uma comparação
temporal entre a modelagem de dados MT utilizando o método SLDM adotando o crité-
rio de parada ótimo sugerido neste trabalho e a modelagem MT convencional realizada
independentemente para cada frequência. Aĺém disso, adotar a mesma abordagem apre-
sentada neste trabalho utilizando modelos maiores e mais complexos auxiliaria na análise
da abrangência do critério de parada sugerido.
20
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