Métodos das diferenças finitas aplicado a ondas acústicas escalares 2D

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Métodos das diferenças finitas aplicado a ondas
acústicas escalares 2D
Annie Gabrielle de Oliveira Silva
Universidade Federal da Bahia
Instituto de Geociências, 40170-290, Federação, Salvador, BA, Brasil
E-mail: annie.gabrielle.silva@gmail.com
Resumo
A equação diferencial escalar acústica 2D explicita o comportamento de ondas sísmi-
cas em um meio, de maneira que é uma das equações mais importantes para a geofísica
aplicada. Dentre as diferentes metodologias que resolvem equações diferenciais, temos
o método das diferenças finitas o qual é largamente utilizado para fins de modelagem
direta e foi a técnica escolhida para ser desenvolvida nesse trabalho. Nesse ínterim,
demonstrar-se-á sua teoria e dedução além de encontrar uma fórmula aplicável compu-
tacionalmente.
Palavras-chave: Equação da Onda; Método das Diferenças Finitas; Dedução.
Abstract
The 2D scalar acoustic differential equation explains the behavior of seismic waves
in a medium, so it is one of the most important equations for applied geophysics.
Among the different methodologies that solve differential equations, we have the finite
difference method which is widely used for direct modeling purposes and was the chosen
technique to be developed in this work. In the meantime, its theory and deduction will
be demonstrated in addition to finding a computationally applicable formula.
Palavras-chave: Wave Equation; Finite-Difference Method; Deduction.
1
Wilson Mouzer Figueiró
Wilson Mouzer Figueiró
Wilson Mouzer Figueiró
Wilson Mouzer Figueiró
keywords
Wilson Mouzer Figueiró
Texto
Wilson Mouzer Figueiró
Wilson Mouzer Figueiró
9,0 (nove)
Wilson Mouzer Figueiró
Métodos das diferenças finitas aplicado a ondas acústicas escalares 2D GEO-208
1 Introdução
O método das diferenças finitas (MDF) é uma solução numérica que consiste em um con-
junto de técnicas aproximativas que transforma o domínio contínuo de uma função em um
domínio discretizado e viabiliza a transformação de uma equação diferencial contínua de
difícil resolução em um sistema de equações algébricas válido para cada ponto do espaço em
certo intervalo de interesse. Para a geofísica aplicada, existem muitas equações diferenciais
importantes, dentre elas a equação escalar da onda acústica 2D, que é essencial para com-
preender o comportamento de ondas sísmicas e realizar processos de modelagem direta, os
quais são costumeiras no trabalho geofísico. Dessa forma, este trabalho visa apresentar uma
explicação e dedução de um método de grande utilidade, MDF, chegando a uma fórmula
recursiva que pode ser utilizada em meios computacionais.
2 Modelagem Sísmica
Como um dos métodos geofísicos mais importantes, o método sísmico é de grande noto-
riedade quando envolve a exploração de hidrocarbonetos e gases, mapeamento de bacias
sedimentares, descobrir informações sobre a estrutura interna da Terra, etc. Esse, utiliza
propriedades elásticas das rochas, em meio ao estímulo por ondas mecânicas, para realizar
determinadas inferências sobre o meio.
A modelagem é um processo que permite a criação de um modelo a partir de parâmetros
e delimitações físicas com o intuito de entender e explicar determinada estrutura real. O
modelo é ajustado para ter maior concordância com os dados reais. Consoante a Di Bartolo
(2010), a modelagem sísmica busca descrever o fenômeno de propagação de ondas desde
a fonte, passando pelas camadas do meio geofísico, até retornar aos receptores. Logo, ao
realizar uma estimativa de subsuperfície, encontramos uma solução que se aproxima do real
visto que possui a incerteza inerente a qualquer interpretação geofísica.
Para os problemas físicos no geral, não somente os geofísicos, podemos obter diferentes tipos
de solução para os problemas em função do método escolhido para resolução. Temos:
• Métodos analíticos: O método analítico consiste em simplificar equações por meio
de operações elementares que tem como resultado equações equivalentes, mais simples,
e de fácil resolução. Suas limitações são: aplicabilidade somente para casos práticos,
resoluções com características ideais, restrição para casos específicos, etc.
• Métodos numéricos: Fornecem uma solução aproximada obtida por uma série de
aproximações de soluções. Exemplos de métodos numéricos: Bissecção, de Newton,
das Secantes e do Ponto Fixo (ou Iteração Linear). Limitações: Muitas vezes são
desenvolvidos e exigem um alto custo computacional.
• Métodos experimentais: Fornecem soluções a partir do empirismo. Existe o teste
dos fenômenos físicos estudados e existe uma maior precisão no resultado. Suas limita-
ções são: um alto investimento inicial, um alto prazo para a obtenção de uma resposta
significativa, etc.
2
Wilson Mouzer Figueiró
Wilson Mouzer Figueiró
Wilson Mouzer Figueiró
Wilson Mouzer Figueiró
Annie G. O. Silva GEO-208
Figura 1: Criada pela autora
Para este trabalho, foi escolhido o método numérico que utiliza a metodologia de diferenças
finitas com aproximação pela fórmula de Taylor.
3 Equação escalar da onda acústica 2D
A modelagem sísmica associada ao método das diferenças finitas é utilizada com o fito de
solucionar a função escalar da onda acústica. Ela é caracterizada pela propagação de ondas
mecânicas em materiais que não possuem ação cisalhante (resistência de cisalhamento). A
propagação de ondas em um meio acústico é descrita pelos campos de pressão P (x, y, z),
escalar, e deslocamento da partícula u(x, z, t), vetorial, que estão relacionados através da lei
de Hooke e lei de Newton.(HOLANDA et al., 2017). A sua expressão é obtida considerando
uma pressão constante com o tempo e é dada por:
@
2
u
@x
2
+
@
2
u
@z
2
=
1
c
2
@
2
u
@t
2
+ f(x, z, t)
Onde temos que U é o deslocamento das partículas no meio(vibração das partículas do
meio), c é a velocidade da propagação ondulatória, z é a posição e t é o tempo. Assim,
podemos representar a função u = u(x, z, t), onde f(x, z, t) chama-se termo fonte, que possui
as coordenadas da fonte sísmica. Uma fonte sísmica é o instrumento que gerará ondas
3
Wilson Mouzer Figueiró
Wilson Mouzer Figueiró
A legenda deve descrever aspectos da figura.
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No termo fonte, x e z são conhecidos, pois representam a posição da fonte. Portanto, o correto é escrever: f(Xs, Zs, t).
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sísmicas no meio.
4 Método das diferenças finitas (MDF)
O MDF é um método numérico que soluciona a equação acústica da onda. Consiste na
discretização de um problema contínuo (transforma o domínio do problema em uma série de
pontos) que utiliza a aproximação de derivadas por diferenças finitas de equações diferenciais.
Existem várias formas de diferenciação, dentre elas , as que foram utilizadas neste trabalho
são: a diferenciação central (”central differenciation”), a diferenciação para trás (”backward
differenciation”) e a diferenciação para frente (”foward differenciation”) que podem ser apli-
cados para diferenciais de qualquer ordem. Antes da definição dos tipos de aproximação por
série de Taylor, existem alguns conceitos importantes a serem expressos:
1. Pontos ou nós: Representam os pontos do domínio da função que foram discretizados.
Ou seja, os pontos sobre os quais obteremos os resultados.
2. Malha: Estrutura que define uma imagem para cada ponto ou nó. Sua composição
ou número de pontos depende da discretização feita no domínio.
3. Erros: Associado a aproximação do método. Quanto mais elementos estiverem no
domínio, menor será o erro associado a operação. Além disso, também relaciona-se
com os espaçamentos na malha escolhida para as operações.
Consoante a Svec et al. (2012), dada uma função f(x), n vezes derivável em um ponto
"a"contido em uma vizinhança V (a) de raio r > 0, onde o seu resto é igual a zero quando
tende ao infinito. Assim, podemos representar as funções como:
f(x) =
X
0
f
(n)
(a)
n!
(x� a)n = f(a) + f 0(a)(x� a) + f
00
(a)
2!
(x� a)2 + . . .
Essarepresentação de funções representa uma aproximação local de uma função diferencial
por uma função afim. As diferentes diferenciações utilizam estimativas de retas tangentes
que por excesso e por falta em torno de um ponto central( "a", que possui como vizinhança
uma bola de raio r > 0), se aproximam da reta tangente exata para cada ponto equivalente
a uma solução exata da função.
A diferenciação central, é uma medida que realiza uma "média"entre dois pontos um por
excesso f(x+�x) e por falta f(x��x). Sua fórmula para a primeira derivada é dada por,
f
0
(x) =
f(x+�x)� f(x��x)
�x
A diferenciação para trás, é uma medida que realiza uma "média"por falta f(x��x) levando
em consideração o valor verdadeiro da derivada que desejamos encontrar dado por f(x). Sua
fórmula para a primeira derivada é dada por,
f
0
(x) =
f(x)� f(x��x)
�x
4
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Texto
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foi discretizado
Wilson Mouzer Figueiró
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Não haveria um 2 no denominador?
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Figura 2: Retirado de https://www.researchgate.net/figure/Figura-5-Pontos-utilizados-para-
o-calculo-da-primeira-derivada-de-f-por-diferencas_fig3_262762519
A diferenciação para frente, é uma medida que realiza uma "média"por excesso f(x ��x)
levando em consideração o valor verdadeiro da derivada que desejamos encontrar dado por
f(x). Sua fórmula para a primeira derivada é dada por,
f
0
(x) =
f(x+�x)� f(x)
�x
Por fim, o método das diferenças finitas é particularmente atraente para modelagem de geo-
metria de estruturas complexas em subsuperfície, devido às grandes dificuldades encontradas
em obter soluções analíticas (Fernandes et al., 2009). A figura abaixo mostra o passo a passo
para a aplicação da técnica.
Figura 3: Criada pela autora
5 MDF aplicado a onda acústica
5
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Texto
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A legenda não deve se restringir apenas à citação da fonte. Deve ter explicações adicionais sobre a figura. 
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Métodos das diferenças finitas aplicado a ondas acústicas escalares 2D GEO-208
A equação escalar da onda 2D será nomeada por u(x), visto que consideraremos as variáveis
z e t constantes para esses primeiros passos. Quando formos encontrar as outras derivadas
parciais da equação da onda, mudaremos a notação para u(z), sobre a qual consideraremos
as variáveis x e t constantes, ou u(t), a qual consideraremos as variáveis x e z constantes, ou
ainda u(x, z, t) em que não teremos nenhuma variável constante.
Teremos também que aproximaremos a função em um ponto x, qualquer em uma vizinhança
V (x) = (x+�x, x��x) de raio dado por �x > 0.
Utilizaremos a série de Taylor para aproximar essa função por excesso e por falta, fazemos,
u(x+�x) = u(x) + u
0
(x) ·�x+ u
00
(x)
2!
· (�x)2 + u
000
(x)
3!
· (�x)3 + . . . (Aproximação por excesso)
(1)
u(x��x) = u(x)� u0(x) ·�x+ u
00
(x)
2!
· (�x)2 � u
000
(x)
3!
· (�x)3 + . . . (Aproximação por falta)
(2)
Onde temos as derivadas primeiras, segundas, até as n-ésimas da função relativas a x. Re-
arranjando a equação (1),
u(x+�x) = u(x) + u
0
(x) ·�x+ u
00
(x)
2!
· (�x)2 + u
000
(x)
3!
· (�x)3 + . . .
�u0(x) ·�x = u(x) + u
00
(x)
2!
· (�x)2 + u
000
(x)
3!
· (�x)3 + . . .� u(x+�x)
u
0
(x) ·�x = �u(x)� u
00
(x)
2!
· (�x)2 � u
000
(x)
3!
· (�x)3 � . . .+ u(x+�x)
u
0
(x) ·�x = [u(x+�x)� u(x)]� u
00
(x)
2!
· (�x)2 � u
000
(x)
3!
· (�x)3 � . . . u(x+�x)
E ficamos com,
u
0
(x) =
[u(x+�x)� u(x)]
�x
� u
00
(x)
2!
·�x� u
000
(x)
3!
· (�x)2 � . . . (3)
Rearranjando a equação (2),
6
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Wilson Mouzer Figueiró
Wilson Mouzer Figueiró
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Estilo matemático
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u(x��x) = u(x)� u0(x) ·�x+ u
00
(x)
2!
· (�x)2 � u
000
(x)
3!
· (�x)3 + . . .
u
0
(x) ·�x = u(x) + u
00
(x)
2!
· (�x)2 � u
000
(x)
3!
· (�x)3 + . . .� u(x��x)
u
0
(x) ·�x = [u(x)� u(x+�x)] + u
00
(x)
2!
· (�x)2 � u
000
(x)
3!
· (�x)3 + . . .
E ficamos com,
u
0
(x) =
[u(x)� u(x��x)]
�x
+
u
00
(x)
2!
·�x� u
000
(x)
3!
· (�x)2 + . . . (4)
Para obter uma aproximação para a derivada primeira, com �x de grau maior ou igual a 1,
fazemos um truncamento dado por:
u
0
(x) ⇡ [u(x+�x)� u(x)]
�x
u
0
(x) ⇡ [u(x)� u(x��x)]
�x
Essa é uma boa aproximação para as derivada primeira dado que,
Vamos introduzir, a partir daqui, uma nova linguagem que simplifique essa notação mate-
mática e se assemelhe a linguagem computacional. Então,
u
0
(x) ⇡ [ui+1 � ui]
h
u
0
(x) ⇡ [ui � ui�1]
h
8
>>><
>>>:
u
i+1 = u(x+�x)
u
i
= u(x)
u
i�1 = u(x��x)
h = �x
(5)
Mesmo o truncamento dado na equação (5) sendo uma boa aproximação para a primeira
derivada, podemos utilizar uma estimativa com menor erro de truncamento, utilizando uma
aproximação por diferenciação central. Realizando a subtração entre as equações (2) e (1),
7
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(2)� (1)
u(x��x)� u(x+�x) =
u(x)� u0(x) ·�x+ u
00
(x)
2!
· (�x)2 � u
000
(x)
3!
· (�x)3 + . . .
�[u(x) + u0(x) ·�x+ u
00
(x)
2!
· (�x)2 + u
000
(x)
3!
· (�x)3 + . . .]
u(x��x)� u(x+�x) = �2 · u0(x) ·�x� 2 · u
000
(x)
3!
· (�x)3 � . . .
2 · u0(x) ·�x = �2 · u
000
(x)
3!
· (�x)3 � . . .� [u(x��x)� u(x+�x)]
2 · u0(x) ·�x = [u(x+�x)� u(x��x)]� 2 · u
000
(x)
3!
· (�x)3 � . . .
u
0
(x) =
1
2 ·�x [u(x+�x)� u(x��x)]�
u
000
(x)
3!
· (�x)2 � . . .
Colocando na notação de facilitação computacional ficamos com,
u
0
(x) =
1
2 · h [ui+1 � ui�1]�
u
000
(x)
3!
· h2 � . . .
Assim como para a aproximação para a derivada primeira, truncamos a série para os termos
acima de h2 e ficamos com,
u
0
(x) ⇡ [ui+1 � ui�1]
2 · h (6)
Vamos obter a derivada segunda ao fazer a subtração da equação (4) da equação (3),
8
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(3)� (4)
u
0
(x) =
[u(x+�x)� u(x)]
�x
� u
00
(x)
2!
·�x� u
000
(x)
3!
· (�x)2 � . . .
�
u
0
(x) =
[u(x)� u(x��x)]
�x
+
u
00
(x)
2!
·�x� u
000
(x)
3!
· (�x)2 + . . .
) 0 = [u(x+�x)� u(x)]
�x
� u
00
(x)
2!
·�x� u
000
(x)
3!
· (�x)2 � . . .�

[u(x)� u(x��x)]
�x
+
u
00
(x)
2!
·�x� u
000
(x)
3!
· (�x)2 + . . .
�
) 0 = [u(x+�x)� u(x)]
�x
� [u(x)� u(x��x)]
�x
� 2 · u
00
(x)
2!
·�x� . . .
) 0 = [u(x+�x) + u(x��x)� 2 · u(x)]
�x
� 2 · u
00
(x)
2!
·�x� . . .
) 2 · u
00
(x)
2!
·�x = [u(x+�x) + u(x��x)� 2 · u(x)]
�x
� . . .
) u00(x) ·�x = [u(x+�x) + u(x��x)� 2 · u(x)]
�x
� . . .
) u00(x) = [u(x+�x) + u(x��x)� 2 · u(x)]
(�x)
2
� . . .
Realizando a mudança para a notação de facilitação computacional e fazendo o truncamento
para os termos acima de h2 e ficamos com,
u
00
(x) ⇡ [ui+1 + ui�1 � 2 · ui]
h
2
(7)
Se utilizarmos os passos que originaram a equação (7) só que para a equação u(t), obtemos
uma equação chamada aproximação de segunda ordem temporal para a derivada segunda.
(u
tt
)
k
⇡ [uk+1 + uk�1 � 2 · uk]
(�t)
2
(
(u
tt
)
k
= derivada segunda da função u com respeito a t
t = k�t (�t é o intervalo temporal)
(8)
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Devido a limitações temporais e a dificuldade intrínseca a fonte utilizada para esse trabalho
(Santos and Figueiró, 2006) a prova da próxima equação será omitida. A expressão abaixo
é conhecida como aproximação de quarta ordem espacial da derivada segunda.
(u
xx
)
i
=
1
12h
2
[�u
i�2 + 16ui�1 � 30ui + 16ui+1 � ui+2] (9)
A derivada de quarta ordem em função de z teremos a mesma forma de equação vistoque
tratamos de duas derivadas em função da posição. Assim,
(u
zz
)
i
=
1
12(�z)
2
[�u
j�2 + 16uj�1 � 30uj + 16uj+1 � uj+2] (10)
Dadas as equações (9) e (10) , introduzimos uma notação diferenciada que representa as
posições das soluções de u dada a discretização do domínio e, consequentemente, das soluções
para a EDP da onda. A visualização da malha dadas as três variáveis da função u(x,y,t) é
dada por:
Figura 4: Criada pela autora
As variáveis i, k e k somente representam uma maneira genérica de representar as variáveis
x,y,z. De acordo com a figura de discretização acima.
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Tendo em mãos as expressões de número (8), (9) e (10) podemos realizar as devidas substi-
tuições para encontrar a expressão recursiva da equação bidimensional da onda acústica.
5.1 Fórmula recursiva
Tendo em mãos as equações,
@
2
u
@x
2
+
@
2
u
@z
2
=
1
c
2
@
2
u
@t
2
+ f(x, z, t)
(u
xx
)
i
=
1
12h
2
[�u
i�2 + 16ui�1 � 30ui + 16ui+1 � ui+2]+
(u
zz
)
i
=
1
12(�z)
2
[�u
j�2 + 16uj�1 � 30uj + 16uj+1 � uj+2]
(u
tt
)
k
⇡ [uk+1 + uk�1 � 2 · uk]
(�t)
2
Substituímos,
1
12h
2
[�u
i�2 + 16ui�1 � 30ui + 16ui+1 � ui+2] +
1
12(�z)
2
[�u
j�2 + 16uj�1 � 30uj + 16uj+1 � uj+2]
=
1
c
2
[u
k+1 + uk�1 � 2 · uk]
(�t)
2
+ f(x, y, z)
Pregando que temos uma malha uniforme onde �x = �z = h e que o termo fonte será
representado por f, temos:
1
12h
2
· [�u
i�2�uj�2+16ui�1+16uj�1�30ui�30uj+16ui+1+16uj+1 +�ui+2 +�uj+2
=
1
c
2
[u
k+1 + uk�1 � 2 · uk]
(�t)
2
+ f
) c
2
12h
2
· [�u
i�2�uj�2+16ui�1+16uj�1�30ui�30uj+16ui+1+16uj+1 +�ui+2 +�uj+2
=
[u
k+1 + uk�1 � 2 · uk]
(�t)
2
+ f · (c2)
11
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Wilson Mouzer Figueiró
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Colocando os termos comuns em evidência e explicitando a notação dado que a função u é
dependente de x, y e z, assim as coordenadas da função u serão dadas em função de i, j e k
assim como na figura 4. Todas as variáveis são descritas variando a partir do tempo k.
) c
2
12h
2
· [�(uk
i�2,j + u
k
i,j�2) + 16(u
k
i�1,j + ui,j�1
k
)� 30(uk
i,j
+ u
k
i,j
) + 16(u
k
i+1,j + u
k
i,j+1)
�(uk
i+2,j + u
k
i,j+2) =
[u
k+1
i,j
+ u
k�1
i,j
� 2 · uk
i,j
]
(�t)
2
+ f · (c2)
) c
2 · (�t)2
12h
2
· [�(uk
i�2,j + u
k
i,j�2) + 16(u
k
i�1,j + ui,j�1
k
)� 30(uk
i,j
+ u
k
i,j
) + 16(u
k
i+1,j + u
k
i,j+1)
�(uk
i+2,j + u
k
i,j+2) = [u
k+1
i,j
+ u
k�1
i,j
� 2 · uk
i,j
] + f · (c2) · (�t)2
) c
2 · (�t)2
12h
2
· [�(uk
i�2,j + u
k
i,j�2) + 16(u
k
i�1,j + ui,j�1
k
)� 60uk
i,j
+ 16(u
k
i+1,j + u
k
i,j+1)
�(uk
i+2,j + u
k
i,j+2)� uk�1
i,j
+ 2 · uk
i,j
� f · (c2) · (�t)2 = uk+1
i,j
Considerando que g = �(c ·�t)2 · f ficamos com a fórmula recursiva,
u
k+1
i,j
=
c
2 · (�t)2
12h
2
· [�(uk
i�2,j + u
k
i,j�2) + 16(u
k
i�1,j + ui,j�1
k
)� 60uk
i,j
+ 16(u
k
i+1,j + u
k
i,j+1)
�(uk
i+2,j + u
k
i,j+2)� uk�1
i,j
+ 2 · uk
i,j
+ g
Assim,
Figura 5: Criada pela autora.
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Wilson Mouzer Figueiró
Wilson Mouzer Figueiró
Wilson Mouzer Figueiró
Annie G. O. Silva GEO-208
5.2 Resumo das equações
Tabela 1: Fórmulas desenvolvidas e seus respectivos nomes
Equações fórmulas
Aproximação de segunda
ordem espacial da derivada segunda u
00
(x) ⇡ [ui+1 + ui�1 � 2 · ui]
h
2
Aproximação de segunda
ordem temporal da derivada segunda (utt)k ⇡
[u
k+1 + uk�1 � 2 · uk]
(�t)
2
Aproximação de quarta
ordem espacial x da derivada segunda
(u
xx
)
i
=
1
12(h
2
[�u
i�2 + 16ui�1 � 30ui
+16u
i+1 � ui+2]
Aproximação de quarta
ordem espacial z da derivada segunda (uzz)i =
1
12(�z)
2
[�u
j�2 + 16uj�1 � 30uj
+16u
j+1 � uj+2]
Fórmula recursiva do MDF
u
k+1
i,j
=
c
2 · (�t)2
12h
2
· [�(uk
i�2,j + u
k
i,j�2)
+16(uk
i�1,j + u
k
i,j�1)� 60uki,j+
16(uk
i+1,j + u
k
i,j+1)
-(uk
i+2,j + u
k
i,j+2)� uk�1
i,j
+ 2·uk
i,j
+ g
Criada pela autora
6 Dispersão numérica
A dispersão numérica é um fenômeno intrínseco a todos os métodos numéricos devido ao seu
caráter aproximativo. No método das diferenças finitas aplicado a equação da onda, devemos
nos atender as seguintes equações,
�x = �z  cmin
↵ · f
max
�t =
�x
� · c
max
Onde �x e �z são intervalos espaciais, �t é o intervalo utilizado, c
min
e c
max
são, respec-
tivamente, as velocidades mínimas e máximas do modelo, f
max
é a frequência máxima da
fonte de ondas sísmicas e ↵ e � são constantes que dependem das aproximações dadas pelas
derivadas utilizadas. Os resultados melhoram a partir do aumento de ↵.
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Wilson Mouzer Figueiró
Wilson Mouzer Figueiró
Wilson Mouzer Figueiró
Métodos das diferenças finitas aplicado a ondas acústicas escalares 2D GEO-208
Figura 6: Criado pela autora
7 Conclusão
O método das diferenças finitas é um dos muitas técnicas de empregadas para a modelagem de
dados sísmicos. Sua utilização é considerada uma das mais simples para o método numérico.
O trabalho apresentado apresenta relevância e, abre espaço para um aprofundamento no
assunto e a aplicação computacional do método.
Referências
L. Di Bartolo. Modelagem sısmica Anisotrópica Através do Método das diferenças finitas utili-
zando sistemas de equações em segunda ordem. PhD thesis, Ph. D. Thesis, COPPE/UFRJ,
Rio de Janeiro, RJ, Brasil, 2010.
L. L. Fernandes, J. C. R. Cruz, C. J. C. Blanco, and A. R. B. Barp. Modelagem sísmica via
métodos das diferenças finitas: caso da bacia do amazonas. Acta Amazonica, 39:155–163,
2009.
R. M. HOLANDA et al. Modelagem sísmica acústica e elástica por diferenças finitas e
imageamento do depósito de minério de ferro n4ws no estado do pará. 2017.
R. H. M. d. Santos and W. M. Figueiró. Modelagem acústica bidimensional usando diferentes
parametrizações de campos de velocidades. Revista Brasileira de Geofísica, 24:103–105,
2006.
M. Svec, M. C. Menezes, M. B. de Menezes, and S. Barreto. Tópicos: Séries e Equações
Diferenciais. EDUFBA, Salvador, third edition, 2012. ISBN 9788523206680.
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Wilson Mouzer Figueiró
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Wilson Mouzer Figueiró