Inversão de dados de perfis por indução eletromagnética dos arranjos

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
INSTITUTO DE GEOCIÊNCIAS
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM GEOFÍSICA
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
Inversão de dados de perfis por indução
eletromagnética dos arranjos de bobinas coaxial e
coplanar em poços verticais com formações
anisotrópicas
RENÉ MICHEL JACOB JÚNIOR
Belém – Pará
2020
RENÉ MICHEL JACOB JÚNIOR
Inversão de dados de perfis por indução
eletromagnética dos arranjos de bobinas coaxial e
coplanar em poços verticais com formações
anisotrópicas
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação
em Geofísica do Instituto de Geociências da Universi-
dade Federal do Pará para obtenção do título de Mestre
em Geofísica.
Área de concentração:
Métodos Eletromagnéticos
Linha de pesquisa:
Geofísica aplicada à exploração de hidrocarbonetos
Orientador: Cícero Roberto Teixeira Régis
Belém – Pará
2020
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) de acordo com ISBD
Sistema de Bibliotecas da Universidade Federal do Pará
Gerada automaticamente pelo módulo Ficat, mediante os dados fornecidos pelo(a) autor(a)
J15i Jacob Júnior, René Michel.
 Inversão de dados de perfis por indução eletromagnética dos
arranjos de bobinas coaxial e coplanar em poços verticais com
formações anisotrópicas / René Michel Jacob Júnior. — 2020.
 40 f. : il. color.
 Orientador(a): Prof. Dr. Cícero Roberto Teixeira Régis
 Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal do Pará,
Instituto de Geociências, Programa de Pós-Graduação em
Geofísica, Belém, 2020.
 1. Inversão . 2. Perfilagem de poços. 3. Perfis de
resistividade. 4. Ferramentas triaxiais. 5. Anisotropia elétrica.
I. Título.
CDD 550
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RENÉ MICHEL JACOB JÚNIOR
Inversão de dados de perfis por indução eletromagnética dos
arranjos de bobinas coaxial e coplanar em poços verticais com
formações anisotrópicas
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação
em Geofísica do Instituto de Geociências da Universi-
dade Federal do Pará para obtenção do título de Mestre
em Geofísica.
Data de aprovação: 30/10/2020
Banca Examinadora:
Cícero Roberto Teixeira Régis (Orientador)
Universidade Federal do Pará
Prof. Dr. Paulo Roberto de Carvalho
Universidade Federal Rural da Amazônia
Prof. Dr. Valdelírio da Silva e Silva
Universidade Federal do Pará
Agradeço à minha família por sempre acre-
ditar e investir em mim, em especial a minha
mãe Kátia que desempenhou o papel de mãe
e pai.
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus por ter me dado não só o dom da vida, mas também discernimento
e sabedoria.
Agradeço ao suporte acadêmico e científico fornecido pelo Programa de Pós-Graduação
em Geofísica da Universidade Federal do Pará, através do Laboratório de Processamento
Eletromagnético–PROEM.
O suporte financeiro para este trabalho foi fornecido pela PETROBRAS através de
uma bolsa de estudos do projeto de pesquisa 2017/00424-6, “Estudos de Métodos Eletro-
magnéticos Aplicados à Exploração de Hidrocarbonetos”, coordenado pelo prof. Marcos
Welby Correa Silva, a quem agradeço pelo apoio.
Agradeço a todos os professores e orientadores, em especial aos professores Cícero
Régis, Paulo Roberto de Carvalho e Valdelírio da Silva e Silva, pela paciência e dedicação
que permitiram que eu obtivesse o conhecimento necessário para chegar até aqui.
Agradeço a minha mãe, Kátia, por ter sido desde sempre não só uma mãe ou um pai,
mas sim ambos, e apesar das dificuldades da vida, sempre fez de tudo para que eu tivesse
não só o melhor, mas me tornasse o melhor que eu poderia ser.
Agradeço a minha avó, Eliana, por ter sido aquela avó na melhor definição que a
palavra tem para mim, que é a de mãe duas vezes.
Agradeço a minha irmã, Ana Luiza, ao tio Raiol e a Ana pelo convívio e paciência que
eles precisam ter comigo.
Agradeço a minha namorada, Elisa, que foi fundamental por me manter calmo e focado
na reta final deste trabalho, mesmo nos momentos mais complicados.
Agradeço a todos os meus tios, em especial ao Luiz Antônio, a Ana Lilian e o Marcos
Vinicíus, além do meu avô Casemiro, pelos ensinamentos que me ajudaram a ser o que
eu sou hoje.
Agradeço aos meus primos, em especial Leonardo e a Sofia, pela amizade.
Agradeço a Meire e as outras pessoas que fazem parte do meu dia a dia, independente
da função que seja.
Agradeço a Lúcia Imbiriba pela colaboração com as normas do texto na reta final do
trabalho.
E por último, mas não menos importante, agradeço aos meus amigos por todo com-
panheirismo, que sempre esteve presente desde os amigos de infância, como o Fadul, a
Milena, o Vitor, o Pedro, o Nicholas e a galera do LoL, até os amigos de faculdade, como
o Matias, Nelson, Jéssica, Alex, Anderson, Matheus e Danuza.
"Ninguém vai bater tão duro como a vida.
Mas não se trata de bater duro. Se trata do
quanto você aguenta apanhar e seguir em
frente. O quanto você é capaz de aguentar e
continuar tentando. É assim que se
consegue vencer."
Rocky Balboa
RESUMO
Este trabalho tem como objetivo principal apresentar um estudo sobre a inversão de
dados de perfilagem por indução eletromagnética em poços verticais com os arranjos coa-
xial e coplanar presentes nas ferramentas triaxiais, posicionadas em ambientes simulados
e formados por camadas horizontais em que ocorre anisotropia estrutural. Para a inversão
é utilizado o método de Gauss-Newton aplicado com iterações de Levenberg-Marquardt.
Dois tipos de vínculos foram aplicados aos parâmetros para regularizar o processo de in-
versão, sendo eles de suavidade global do tipo Occam e os vínculos de norma L1 do método
de Variação Total. Os resultados testados em ambientes isotrópicos indicam que os víncu-
los de Variação Total geram resultados melhores por admitir variações mais abruptas nos
parâmetros do que aquelas permitidas pelo método de inversão com vínculos de suavidade
e por isso são os utilizados para o ambiente que apresenta camadas anisotrópicas. Por fim
são apresentadas as resistividades verticais e horizontais obtidas através da inversão, que
são o objetivo final deste estudo. Os resultados indicam que a resistividade horizontal é
resolvida com um nível de ambiguidade menor do que a vertical nas situações estudadas
e que a inversão com vínculos de Variação Total gera respostas mais próximas dos valores
verdadeiros do que aquela com vínculos de suavidade.
Palavras-chave: Inversão. Perfilagem de poços. Perfis de resistividade. Ferramentas
triaxiais. Anisotropia elétrica.
ABSTRACT
This work has as main objective to present a study on the inversion of profiling data
by electromagnetic induction in vertical wells with the coaxial and coplanar arrangements
present in the triaxial tools, positioned in simulated environments and formed by hori-
zontal layers in which structural anisotropy occurs. The inversion uses the Gauss-Newton
method applied with Levenberg-Marquardt iterations. Two types of regularizations were
applied to the parameters to regularize the inversion process, being of global smoothness
of the Occam type and the L1 standard regularization of the Total Variation method. The
results tested in isotropic environments indicate that the Total Variation regularization
generate better results by admitting more abrupt variations in the parameters than those
allowed by the inversion method with global smoothness regularization and therefore are
those used for the environment that has anisotropic layers. Finally, the vertical and hori-
zontal resistivities obtained through inversion are presented, which are the final objective
of this study. The results indicate that the horizontal resistivity is resolved with a lower
level of ambiguity than the vertical in the situations studied and that the inversion with
Total Variation regularization generates responses closer to the true values than that with
smoothness regularization.
Keywords: Inversion. Well logging. Resistivity logs. Multicomponent triaxial tool.
Electrical anisotropy.
LISTA DE FIGURAS
2.1 Representação geométrica da ferramenta de indução triaxial. Fonte: An-
derson etal. (2008). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.1 Ilustração das abordagens utilizadas nas inversões ao longo deste trabalho.
À esquerda, modelo com as interfaces em posições conhecidas a priori; à
direita, meio discretizado com número superestimado de camadas. . . . . . 12
3.2 Ilustração da ideia de janelas utilizada ao longo deste trabalho. Nela, um
parâmetro pj é escolhido e a janela é determinada a partir dele para o
cálculo de sensibilidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3 Modelo isotrópico utilizado como teste para o programa de inversão. Ba-
seado em Anderson (2001). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.4 Comparação das resistividades verdadeiras com as estimadas pela inversão
dos dados do modelo da figura 3.3, com espessuras definidas a priori. Ruído
de 3% introduzido no dado observado utilizado na inversão. . . . . . . . . . 16
3.5 Ajuste dos dados obtido da inversão das partes imaginárias do campo mag-
nético dos arranjos coplanar e coaxial gerados no modelo da figurea 3.3,
com 3% de ruído. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.6 Comparação das resistividades estimadas e verdadeiras. Modelo isotrópico
sem a utilização de vínculo e com interfaces e espessuras das camadas não
conhecidas com exceção da primeira. Ruído de 3% introduzido no dado
observado utilizado na inversão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.7 Comparação das partes imaginárias do campo magnético. Modelo isotró-
pico sem a utilização de vínculo e com interfaces e espessuras das camadas
não conhecidas com exceção da primeira. Ruído de 3%. . . . . . . . . . . . 18
3.8 Comparação das partes imaginárias do campo magnético. Modelo isotró-
pico com vínculo de suavidade global igual a 10�12 e com interfaces e es-
pessuras das camadas não conhecidas com exceção da primeira. Ruído de
3%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.9 Comparação das resistividades estimadas e verdadeiras. Modelo isotrópico
com vínculo de suavidade global igual a 10�12 e com interfaces e espessu-
ras das camadas não conhecidas com exceção da primeira. Ruído de 3%
introduzido no dado observado utilizado na inversão. . . . . . . . . . . . . 19
3.10 Comparação das partes imaginárias do campo magnético. Modelo isotró-
pico com vínculo de variação total igual a 10�12 e com interfaces e espes-
suras das camadas não conhecidas com exceção da primeira. Ruído de
3%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.11 Comparação das resistividades estimadas e verdadeiras. Modelo isotrópico
com vínculo de variação total igual a 10�12 e com interfaces e espessu-
ras das camadas não conhecidas com exceção da primeira. Ruído de 3%
introduzido no dado observado utilizado na inversão. . . . . . . . . . . . . 20
4.1 Modelo com camadas anisotrópicas utilizado como exemplo para a inversão.
Baseado em Anderson et al. (2008). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2 Ajustes dos dados. Comparação das partes imaginárias do campo mag-
nético. Modelo anisotrópico de cinco camadas e dois semiespaços, sem a
utilização de vínculo e com as interfaces e espessuras definidas previamente.
Ruído de 3%. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.3 Resistividades vertical e horizontal obtidas para o modelo de cinco camadas
e dois semiespaços usando espessuras conhecidas. Ruído de 3% introduzido
no dado observado utilizado na inversão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.4 Ajustes dos dados. Comparação das partes imaginárias do campo magné-
tico. Modelo anisotrópico de quarenta camadas e dois semiespaços, com
a utilização de vínculo de variação total de 10�14 e com as interfaces e
espessuras não conhecidas com exceção da primeira. Ruído de 1,5% . . . . 25
4.5 Resistividade vertical obtida através de dados com ruído para o modelo de
quarenta camadas e dois semiespaços (vínculo de variação total de 10�14).
Ruído de 1,5% introduzido no dado observado utilizado na inversão. . . . . 25
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO 1
2 MODELAGEM DE DADOS DE PERFILAGEM DE POÇOS POR
INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA 2
2.1 OS DADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 PROPRIEDADES DE POÇOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.3 MODELAGEM DIRETA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 METODOLOGIA DA INVERSÃO 7
3.1 O MÉTODO DE GAUSS-NEWTON PARA O PROBLEMA INVERSO . 7
3.2 O MÉTODO DE LEVENBERG-MARQUARDT . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2.1 Teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.3 VÍNCULOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3.1 Vínculo de suavidade global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3.2 Vínculo de variação total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.4 MODELOS INTERPRETATIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.5 OUTROS MEIOS UTILIZADOS PARA AGILIZAR A OPERAÇÃO DA
INVERSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.5.1 Janelas de espaçamento de observações de dados . . . . . 13
3.5.2 Open MultiProcessing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.6 EXEMPLO PARA VALIDAÇÃO DO PROGRAMA . . . . . . . . . . . . 14
3.6.1 Inversão em modelo com posicionamento de interfaces
conhecido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.6.2 Inversão sem o posicionamento de interfaces conhecido . . 15
4 INVERSÃO DE DADOS DE POÇO EM AMBIENTES COM ANISO-
TROPIA 21
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS 26
REFERÊNCIAS 28
1 INTRODUÇÃO
Esta dissertação mostra resultados da aplicação de técnicas de inversão para deter-
minar a distribuição de resistividades a partir de dados eletromagnéticos de perfilagem
de poços verticais, com foco naqueles em ambientes laminados nos quais pode ocorrer a
presença de anisotropia elétrica. Serão tratados dados sintéticos de modelos de camadas
plano-paralelas e horizontais, sem levar em conta a presença do poço nem de zonas de
invasão, em um problema unidimensional.
A inversão é aplicada para determinar as condutividades das camadas em dois tipos
diferentes de problemas: (1) tendo como informação a priori as posições das interfaces
entre as camadas; (2) representando o meio atravessado pelo perfil como uma sequência de
camadas finas, supondo que não sejam conhecidas as posições verdadeiras das interfaces
no meio que gera os dados.
O método utilizado para a inversão dos dados é a técnica de Gauss-Newton com o
algoritmo de Levenberg (1944) e Marquardt (1963). No problema do tipo (2) é neces-
sário implementar técnicas de regularização para obter soluções estáveis na presença de
dados ruidosos. Foram aplicados os regularizadores de Suavidade Global, que são os mais
tradicionais do tipo Occam (Constable et al., 1987), e do método de Variação Total, que
definem a medida de proximidade entre valores de parâmetros adjacentes na norma L1
(Martins et al., 2011; Piedade, 2014).
Ao longo deste trabalho, os exemplos usam dados sintéticos, buscando simular os sinais
dos arranjos de bobinas coplanar e coaxial presentes na ferramenta de indução triaxial
(Anderson et al., 2008) dentro de regiões finamente laminadas, buscando representar
ambientes anisotrópicos. Os dados a ser invertidos são compostos pela parte imaginária
do campo magnético observado na perfilagem.
Esta dissertação está organizada da seguinte maneira: o capítulo 2 apresenta detalhes
sobre a perfilagem eletromagnética e o problema de modelagem direta usado na inversão; o
capítulo 3 explica todas as etapas do método de inversão e apresenta exemplos de aplicação
a dados obtidos de meios isotrópicos; no capítulo 4 são apresentados os resultados da
inversão de dados da perfilagem em meios com anisotropia estrutural na condutividade
das camadas, gerada por formações finamente laminadas com lâminas alternadamente
condutivas e resistivas; finalmente, no capítulo 5 sãoapresentadas as conclusões deste
trabalho.
1
2 MODELAGEM DE DADOS DE PERFILAGEM DE POÇOS
POR INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
Este capítulo apresenta informações sobre o poço e suas propriedades, os dados e os
modelos utilizados e a ferramenta de indução triaxial. Algumas fontes foram referência
para esta parte do trabalho, sendo a principal delas a tese de doutorado de Anderson
(2001), que é uma das principais referências da área.
2.1 OS DADOS
O objetivo imediato de uma perfilagem por indução eletromagnética é a estimação da
condutividade elétrica das camadas atravessadas pelo perfil. Na abordagem tradicional
desde o início das aplicações de perfilagem por indução são calculados valores de condu-
tividade ou resistividade aparente com o objetivo de estimar a saturação em água dos
reservatórios e, consequentemente, a quantidade de óleo presente neles (Doll, 1949).
Como resultado do avanço técnológico dos computadores, cada vez mais rápidos, as
técnicas de inversão passaram a ser aplicadas para a determinação das condutividades das
camadas pela possibilidade de conseguirem resultados mais acurados do que os valores de
condutividade aparente tradicionais.
Os dados obtidos na perfilagem por indução são medidas obtidas a partir das com-
ponentes do campo magnético gerado por bobinas posicionadas em diferentes orientações
em relação à ferramenta, em arranjos de fontes e receptores que serão detalhados na seção
2.3. Como o campo é obtido no domínio da frequência, os dados são números complexos,
compostos por partes real e imaginária. Ambas podem ser usadas como observações a
ser usadas num processo de inversão, porém mostrarei nesta dissertação aplicações ape-
nas com inversão da parte imaginária do campo magnético pelo fato das sensibilidades
produzidas pela parte real serem menores que aquelas produzidas pela parte imaginária.
A quantidade de dados gerados em uma perfilagem é determinada pelo comprimento
total do perfil, que no caso de poços de petróleo podem ser de dezenas de metros (Ander-
son, 2001) e pela discretização deste intervalo de perfilagem, que neste trabalho foi de 10
cm. Esta grande densidade de informações geralmente significa que o problema inverso
será sobredeterminado, com uma quantidade de dados maior do que a de parâmetros a
estimar.
2.2 PROPRIEDADES DE POÇOS
Segundo Anderson (2001), até o final da década de 1980, as medidas de poço eram
exclusivamente realizadas primeiro perfurando e depois introduzindo os equipamentos
2
3
que obtinham as informações, método conhecido como Wireline Logging. A partir daí,
as medidas passaram a ser feitas quase que simultaneamente à perfuração (intervalo que
varia entre 1 a 5 minutos), com equipamentos localizados próximo a broca, para evitar
investigação com invasão do filtrado da lama na formação. Este método é conhecido como
LWD (Logging While Drilling).
Os cálculos para a determinação da condutividade aparente se baseiam em um modelo
no qual a fonte está inserida diretamente em um meio infinito homogêneo (Doll, 1949).
Por causa desta limitação, a presença de estruturas que fogem deste modelo simples,
como o poço, zonas de invasão e as variações de condutividade entre camadas afetam
as estimativas de condutividade aparente. Estes efeitos precisam ser atenuados, o que é
feito tanto pelo desenho das ferramentas, com a inclusão de bobinas extras, quanto por
processamento dos dados (Anderson, 2001).
Muitos fragmentos de rocha têm formas planas, como os argilominerais, ou alongadas,
como o quartzo, que normalmente são orientadas paralelamente ao plano de deposição
(Anderson et al., 1994), o que resulta em uma estrutura na qual a porosidade permite
que a corrente elétrica flua mais facilmente paralela ao plano de estratificação do que
perpendicular a ele (Fitch, 1982).
Tratando-se da escala macroscópica (entre o tamanho do grão e o tamanho do leito),
Anderson (2001) define que existem dois tipos principais de deposição que podem cau-
sar anisotropia. O primeiro é o caso em que existem lâminas finas de areia e folhelho
alternando entre si. A anisotropia, nesse caso, ocorre porque as lâminas de folhelho são
normalmente, em reservatórios laminados, mais condutivas que as de areia, já que estas
podem estar saturadas com hidrocarbonetos.
O segundo caso é quando o micro acamamento alterna entre fino e grosso, fazendo que
possa existir anisotropia em areais limpas, sem a presença de folhelho. Essa anisotropia
ocorre devido ao fato que na presença de água, por exemplo, a saturação é maior quando
a granulação é fina do que quando ela é grossa, fazendo com que exista uma alternância
entre camadas mais condutivas (com mais água) e mais resistividas (com menos água).
Quando os leitos são mais finos que a resolução vertical da ferramenta de perfilagem
por indução, a medição se torna uma média ponderada das propriedades das camadas
individuais, dominadas pelos elementos com as resistividades mais baixas, caso o arranjo
de bobinas seja coaxial (planos de correntes paralelos às interfaces). Esse fenômeno pode
mascarar a presença de hidrocarbonetos, como visto em Anderson et al. (2008).
Quando os poços eram exclusivamente verticais, atravessando camadas horizontais, e
os perfis de indução eram feitos utilizando somente o arranjo coaxial de bobinas, a presença
de formações com anisotropia TIV (transversalmente isotrópica vertical) na condutividade
elétrica não era possível de ser detectada. Nestes casos, as medidas eram sensíveis apenas
às componentes horizontais do tensor de condutividade. Os efeitos da anisotropia passa-
ram a ganhar importância para a perfilagem por indução quando, a partir da década de
4
1980, começou a ser melhor desenvolvida a tecnologia para a perfuração direcional dos
poços, e, mais recentemente, com o desenvolvimento da perfilagem que utiliza a ferra-
menta de indução triaxial ou multicomponente de indução, que apresenta ortogonalmente
os arranjos coaxial e coplanar de bobina (Santos, 2007).
Deve-se destacar que a anisotropia TIV acontece devido as características físicas dentro
de uma camada, como a permeabilidade, por exemplo, são, geralmente, uniformes em
todas as direções radiais paralelas ao plano de deposição e se tornam menores quando
estão perpendiculares a esse plano (Schlumberger, 1987).
2.3 MODELAGEM DIRETA
Neste trabalho são utilizados dados sintéticos gerados através de modelagem direta
em meios estratificados. As bobinas fontes do campo eletromagnético são aproximadas
por dipolos magnéticos e as receptoras não são consideradas na formulação. Uma medida
é simplesmente formada pela componente do campo magnético no meio, na coordenada
correspondente ao que seria o ponto central de cada bobina receptora.
São simulados dois dos arranjos de bobinas presentes na ferramenta triaxial: o coaxial
e o coplanar. A figura Anderson et al. (2008) mostra uma representação geométrica da
ferramenta na qual estão ilustrados os dois arranjos tratados aqui.
Explicando melhor a ferramenta, existem três fontes e três sensores que geram 9 si-
nais complexos. Como os exemplos apresentados ao longo do trabalho são de situações
elementares, com camadas horizontais planas e paralelas e poços verticais, a sonda só
gera dois sinais diferentes, um do arranjo coaxial e um de um arranjo coplanar. Estes
sinais são representados como Hxx para o arranjo coplanar, e Hzz para o coaxial, sendo
os subíndices indicadores das direções do momento de dipolo da fonte e da componente
observada, respectivamente.
Em todos os exemplos a distância da fonte ao sensor é de aproximadamente 1 m (40
polegadas).
O programa de modelagem calcula os campos eletromagnéticos de dipolos magnéticos
para um meio de camadas isotrópicas. Para simular o meio com anisotropia estrutural,
construimos modelos que incluem formações laminadas com alternância entre lâminas
condutivas e resistivas de espessuras iguais. As lâminas devem ser finas o suficiente para
que o efeito da formação seja equivalente ao de uma formação com anisotropia intrínseca,
conforme será detalhado nocapítulo 4.
No arranjo coaxial o eixo das bobinas transmissora e receptora coincide com o eixo
do poço. Conforme Carvalho (1993), este arranjo possui como vantagem a independência
da resposta medida para qualquer posição angular ou rotação dentro do poço devido à
simetria do campo eletromagnético. A configuração coaxial não apresenta boa resolução
vertical para camadas finas e sofre grande influência do efeito de camadas adjacentes.
5
Figura 2.1: Representação geométrica da ferramenta de indução triaxial. Fonte: Anderson
et al. (2008).
Já na configuração coplanar, o plano das bobinas transmissora e receptora são coinci-
dentes e seus eixos são perpendiculares ao eixo do poço. Novamente conforme Carvalho
(1993), o arranjo coplanar produz um campo que é fortemente concentrado horizontal-
mente nas proximidades do dipolo, fazendo com que este tipo de arranjo tenha a possi-
bilidade de investigar, com boa resolução, camadas mais finas e resistivas do que as que
podem ser identificadas com o arranjo coaxial. Além disso, o campo produzido por este
dipolo possui discriminação azimutal. Seu maior dificultador para o estudo de poços é o
fato dele ser altamente afetado pelo de zonas invadidas ou lavadas (Pereira Neto, 2001).
O cálculo das respostas dos dipolos magnéticos vertical (DMV) e horizontal (DMH)
são feitas seguindo as metodologias apresentadas em Ward & Hohmann (1987). O DMV
gera campos exclusivamente no modo transversal elétrico (TE) com relação à direção
vertical (eixo z) e a formulação é feita diretamente como uma equação diferencial para o
campo elétrico. Já para o DHM é necessário realizar a formulação aplicando potenciais
de Schelkunoff e deles derivar a componente desejada do campo eletromagnético. Em
ambos os casos, é necessário implementar método de integração numérica das integrais
impróprias geradas pela transformada de Hankel. O programa utilizado aqui usa um
filtro digital para as transformadas de Hankel J0 e J1, sendo criado por Werthmuller e
possuindo 201 pontos. O código foi escrito pelo professor doutor Valdelírio da Silva e
Silva da Universidade Federal do Pará.
6
Os dados sintéticos a ser invertidos são contaminados com ruído aleatório de distri-
buição uniforme e média zero. O ruído é gerado utilizando o produto entre números
aleatórios gerados pelo software Matlab e uma pequena porcentagem do maior valor den-
tro da parte imaginária do campo (3% e 1,5% foram os valores utilizados ao longo deste
trabalho e são determinados para cada exemplo). Os valores de ruído foram adicionados
às partes imaginárias do campo no arranjo coplanar e do coaxial. Estes foram gerados
pela modelagem direta, que tem por objetivo simular os dados de campo.
3 METODOLOGIA DA INVERSÃO
3.1 O MÉTODO DE GAUSS-NEWTON PARA O PROBLEMA INVERSO
O problema inverso na Geofísica consiste em obter as propriedades físicas e geométri-
cas, através de dados geofísicos, das fontes dos mesmos. No entanto, por apresentarem
soluções instáveis, uma pequena variação nos seus dados gera uma grande mudança nos
parâmetros desejados (Piedade, 2014). Neste trabalho foi aplicado o método de Gauss-
Newton, com iterações de Marquardt. A principal fonte de referência para a apresentação
do método a seguir foi a dissertação de mestrado de Piedade (2014).
As observações geofísicas são representadas no vetor do = [d01, d02, ..., d0M ]. Os dados
sintéticos são calculados pelo modelo matemático representado por uma função vetorial
não linear F(p) = [f1(p), f2(p), ..., fN(p)], que depende das posições (x, y, z) e de um
conjunto de parâmetros geofísicos p, que neste caso são as resistividades das camadas no
modelo 1D. O objetivo é encontrar o vetor de parâmetros que torne os dados sintéticos
ajustados aos dados observados:
d
o ⇡ F(p). (3.1)
O ajuste é definido no sentido de mínimos quadrados. O problema consiste em encon-
trar um vetor de parâmetros que minimize o funcional de ajuste, definido como
�d(p) =
MX
i=1
(doi � fi(p))2, (3.2)
em que M representa o número de observações, doi é a i-ésima componente do vetor de
observações e fi(p) é a i-ésima componente da função vetorial. Essa equação também
pode ser representada como
�d(p) = ||do � F(p)||2. (3.3)
Um funcional regularizador, definido por �r(p), adiciona informações sobre os parâme-
tros p para tornar o problema de mal-posto, em bem-posto, ou seja, com solução única e
estável. Com isso, o problema a ser resolvido é construído buscando minimizar o funcional
�↵(p) = �d(p) + ↵�r(p). (3.4)
em que ↵ é um escalar positivo conhecido como parâmetro de regularização. Ele serve para
controlar a quantidade de informação adicionada pelo funcional regularizador à inversão
e se deve escolher o menor possível que forneça uma solução estável.
Em uma região do espaço de parâmetros que contém um mínimo de �↵(p), este pode
7
8
ser aproximado de forma quadrática e, buscando essa aproximação, expande-se o funcional
em série de Taylor até a segunda ordem, no entorno de um ponto po, obtendo-se
�↵(p) ' �↵(po) +�pT (rp�↵)|p=po +
1
2
�pT (rrTp�↵)|p=po�p (3.5)
no qual �p = p� po. O vetor gradiente e a hessiana de �↵(p) são definidos, respectiva-
mente, por (rp�↵(p))|p=po e (rprTp�↵(p))|p=po .
Como dito por Piedade (2014), a representação dos gradientes e das matrizes hessianas
dos funcionais são representados por
Hd = (rprTp�d(p))|p=po , (3.6)
Hr = (rprTp�r(p))|p=po , (3.7)
gd = (rp�d(p))|p=po , (3.8)
gr = (rp�r(p))|p=po , (3.9)
fazendo com que a equação 3.5 seja escrita como
�↵(p) ' �↵(po) +�pT (gd + ↵gr) +
1
2
�pT (Hd + ↵Hr)�p. (3.10)
Aplicando o gradiente rp e igualando o resultado com o vetor nulo, pode-se encontrar
um ponto extremo do funcional no espaço de parâmetros, estimando, com isso, valores de
p que minimizam 3.10. Com as devidas manipulações matemáticas e uma aproximação
para a hessiana do funcional de ajustes dos dados (Régis, 2000) encontra-se
[ATA+ ↵Hr]�p = A
T [do � f(po)]� ↵gr (3.11)
no qual a hessiana e o gradiente são determinados de acordo com o funcional regularizador
e a matriz de sensibilidade A é definida por
Aij =
@fi(p)
@Pj
����
po
. (3.12)
3.2 O MÉTODO DE LEVENBERG-MARQUARDT
3.2.1 Teoria
Em alguns casos, no entanto, somente o método de Gauss-Newton não é suficiente,
pois depois de um grande número de iterações o código pode não convergir. Quando
isto ocorre é necessário a utilização de uma nova técnica, conhecida como método de
Levenberg (1944) e Marquardt (1963).
Conforme Piedade (2014), a técnica de Marquardt busca garantir a estimativa de um
9
passo sempre na direção descendente do gradientede �↵(p). Isto é feito alternando entre a
estimativa com o método de Gauss-Newton (equação 3.11) e uma obtida com um pequeno
passo na direção descendente do gradiente de �↵(p).
Quando o vetor de parâmetros p, em uma iteração k da inversão, estiver em uma região
do espaço dos parâmetros próxima a um mínimo do funcional, é encontrada a solução do
problema através de
pk+1 = pk + [(A
T
kAk + ↵Hrk)
�1(ATk [d
o � f(pk)]� ↵grk)], (3.13)
que busca um valor ótimo para p pela estimativa do passo �p feita por 3.11. Em regiões
de convergência não quadráticas de �↵(p) ou, em outras palavras, longe de um mínimo,
a técnica de Marquardt ainda garante um passo na direção descendente do gradiente da
função objetivo, ou seja
pk+1 = pk + c(2A
T
k [d
o � f(pk)]� ↵grk). (3.14)
sendo c suficientemente pequeno e garantindo um passo na direção descendente do gradi-
ente de �↵(p).
Para representar estes dois comportamentos em uma única equação, é adicionado um
parâmetro � denominado parâmetro de Marquardt na equação 3.11, somando este termo
com a diagonal da matriz hessiana dos funcionais:
[ATkAk + ↵Hrk + �I]�pk = A
T
k [d
o � f(pok)]� ↵grk (3.15)
sendo I a matriz identidade.
O processo funciona da seguinte maneira: para cada iteração, se � for muito maior que
os valores da hessiana, a equação 3.15 tem uma pequena correção �p para os parâmetros,
e 3.11 se aproxima com a equação 3.14. Caso contrário, se � for um valor pequeno, a
equação 3.15 determinauma solução em que a correção dos parâmetros é aproximada por
3.11, que é a equação obtida com o método de Gauss-Newton.
3.3 VÍNCULOS
3.3.1 Vínculo de suavidade global
Um único modelo para interpretar os dados geofísicos é desejado, visando eliminar as
descontinuidades arbitrárias em modelos simples em camadas e reduzir a interpretação
de dados em excesso. No entanto, nem sempre a inversão dos dados fornece uma única
solução (Constable et al., 1987).
Segundo Hadamard (1902), se caracteriza um problema mal-posto, quando as soluções
de um problema não obedecem ao menos uma das seguintes condições: Existência, uni-
10
cidade e estabilidade. Na geofísica, ocorrem problemas mal-postos no problema inverso
devido a necessidade de mais informaçõs dos dados do que as que estão contidas nos mes-
mos. Uma das maneiras de superar esta complicação é introduzir informações “a priori”
sobre os parâmetros que se quer estimar (Silva et al., 2001). Uma forma de se fazer isto
é a utilização de regularizadores, que são procedimentos matemáticos que auxiliam na
resolução dos problemas mal-postos, transformando em um problema bem-posto. Vale
destacar que esses problemas mal-postos podem ser causados por fatores como ruído nos
dados obtidos e a própria geologia da região de interesse.
Um dos vínculos utilizados ao longo deste trabalho é o regularizador de suavidade
global (Tikhonov de ordem 1). Quando o vínculo de suavidade global é utilizado, o
processo faz com que a solução encontrada possua diferenças mínimas ou não abruptas
entre os valores dos parâmetros. A forma matemática deste vínculo é mostrada na equação
3.16, enquanto sua forma matricial é mostrada em 3.17:
�SG(p) =
NdX
k=1
|(pi � pj)k|2, i 6= j, i e j = 1, 2, ..., Np, (3.16)
�SG(p) = ||Sp||2, (3.17)
sendo Nd igual ao número de diferenças entre os parâmetros, Np o número de parâmetros
e Sp o vetor de diferenças, sendo que S guarda as informações de como os parâmetros de
p se relacionam. Utilizando como exemplo um caso com 5 parâmetros, Sp seria igual a
Sp =
2
66664
P1 � P2
P2 � P3
P3 � P4
P4 � P5
3
77775
e S é igual a 2
66664
1 �1 0 0 0
0 1 �1 0 0
0 0 1 �1 0
0 0 0 1 �1
3
77775
O vetor gradiente e a matriz hessiana do funcional de suavidade global, após manipu-
lados matematicamente, são, respectivamente, iguais a
gSG = rp�SG(p) = 2STSp (3.18)
e
HSG = rprTp�SG(p) = 2STS (3.19)
11
3.3.2 Vínculo de variação total
Diferente do vínculo de suavidade global, o vínculo de variação total é utilizado quando
se deseja que a solução possua a maioria dos parâmetros com uma variação suave dos va-
lores, mas também possui alguns em que os valores diferem consideravelmente dos demais.
Em outras palavras, a variação total permite tanto que exista uma descontinuidade dos
valores de alguns parâmetros, quanto uma variação suave dos mesmos.
Segundo Martins et al. (2011), o funcional do vínculo de variação total é definido como
a norma 1 do vetor de diferenças entre os parâmetros, como mostra 3.20
�V T (p) =
NdX
k=1
|(pi � pj)k| = ||Sp||, i 6= j, i e j = 1, 2, ..., Np (3.20)
no qual S é o mesmo operador de diferenças exemplificado anteriormente.
Para se obter o vetor gradiente e a matriz hessiana do funcional, deve-se utilizar a
aproximação 3.21, pois ele contorna a falta de derivada quando pi = pj.
|(pi � pj)k| ' [(pi � pj)2k + �]
1
2 (3.21)
no qual � é um escalar real de valores pequenos, porém maiores que zero. Segundo
Piedade (2014), o critério para a escolha do valor dessa constante é testar o menor valor
que combinado com o valor ótimo do parâmetro de regularização, possibilita uma solução
estável para o problema. 3.20 se torna 3.22
�V T (p) =
NdX
k=1
[(pi � pj)2k + �]
1
2 (3.22)
e o vetor gradiente e a matriz hessiana são definidos, respectivamente, por 3.23 e 3.24
gV T = S
T
q (3.23)
e
HV T = S
T
QS (3.24)
sendo q formado por qi, presente em 3.25, e Q por Qkk, conforme 3.26.
qi =
(pi � pj)
[(pi � pj)2k + �]
1
2
(3.25)
Qkk =
�
[(pi � pj)2k + �]
1
2
(3.26)
Deve-se lembrar, como dito em Oliveira Jr. & Uieda (2014), que o gradiente e a
hessiana da função regularizadora de variação total não são combinações lineares dos
parâmetros.
12
Figura 3.1: Ilustração das abordagens utilizadas nas inversões ao longo deste trabalho.
À esquerda, modelo com as interfaces em posições conhecidas a priori; à direita, meio
discretizado com número superestimado de camadas.
3.4 MODELOS INTERPRETATIVOS
Para o presente trabalho, tanto para os exemplos isotrópicos, que servem para validar
o programa de inversão, quanto para os exemplos com anisotropia estrutural (formações
laminadas), que formam o objetivo principal desta pesquisa, são utilizados dois tipos
de abordagens na construção dos modelos interpretativos: camadas com interfaces em
posições conhecidas a priori e modelos com um número de camadas superestimados,
conforme são ilustradas na figura 3.1. O objetivo de superestimar o número das camadas
é investigar se este método torna possível estimar as posições das interfaces através da
inversão e dos parâmetros fornecidos pela mesma.
O número de parâmetros no problema inverso é de um para cada camada no caso
isotrópico e de dois por camada quando estas são anisotrópicas. Por isso, no problema com
o meio discretizado com um número superestimado de camadas, o número de parâmetros
fica consideravelmente maior do que na primeira abordagem. Nesses casos, os vínculos
se tornam indispensáveis para a geração de soluções estáveis. Deve-se destacar que o
número superestimado de camadas, para a segunda abordagem, foi estabelecido através da
definição das espessuras das camadas, sendo estas iguais a uma porcentagem da distância
fonte-receptor. Este percentual precisa ser pequeno o suficiente para que a inversão tenha
possibiilidade de estimar o posicionamento das interfaces com boa aproximação, mas não
pode ser demasiadamente pequeno para não aumentar o nível de ambiguidade nas soluções
a ponto de tornar o dado insensível às camadas individuais.
Para satisfazer estes dois limites, as espessuras são estabelecidas de modo que a dife-
rença entre o posicionamento de uma interface verdadeira e uma do modelo discretizado
seja no máximo de 25% da distância entre fonte e receptor.
13
3.5 OUTROS MEIOS UTILIZADOS PARA AGILIZAR A OPERAÇÃO DA INVER-
SÃO
3.5.1 Janelas de espaçamento de observações de dados
Buscando tornar o processo de inversão mais eficiente foi realizado um estudo sobre a
matriz de sensibilidade, tendo em vista que a montagem desta é a etapa mais demorada
de todo o processo já que é necessário executar o problema direto um grande número de
vezes.
Foi observado que as amplitudes das sensibilidades diminuem à medida em que o ponto
de observação fica mais distante da camada correspondente ao parâmetro que está sendo
perturbado. Sendo assim, a inversão é implementada calculando apenas sensibilidades
com módulos maiores do que determinado limiar determinado previamente. Esta obser-
vação permitiu que para cada parâmetro fosse necessário calcular valores apenas para as
observações dentro de uma janela pré-determinada.
O processo inicia com o cálculo de sensibilidades para as posições de medida até
1 m antes e depois das interfaces que definem a camada associada ao parâmetro sendo
perturbado. A partir daí, para cada novo ponto de observação a amplitude da sensibilidade
é comparada com a de maior valor dentro da janela inicial. Os valores são calculados até
que a amplitude em determinado ponto seja menor do que 10�6 do valor máximo. A partir
deste ponto as sensibilidades são consideradas nulas. Este método permite economizar
um grande número de realizações do problema direto porque foi observado que apenas
com a informação contida nas observações dentro da janela já é possível conseguir uma
solução estável e que ajusta os dados dentro do nível de ruído.
A figura 3.2 ilustra este processo. O parâmetro pj é escolhido para ser perturbado. As
sensibilidades para todas as posições de observações presentes na janela inicial deste parâ-
metrosão calculadas. Além destas, aquelas posições cujo valor das medidas dividida pelo
maior valor dentro da janela dêem maior que 10�6. Para os demais pontos, a sensibilidade
é zerada.
3.5.2 Open MultiProcessing
Buscando reduzir ainda mais o tempo de montagem da matriz de sensibilidade, foi
utilizada a paralelização dos laços que a compõem, através das diretrizes da interface de
programação de aplicativos chamada Open MultiProcessing (OpenMP). As diretrizes do
OpenMP foram aplicadas de modo que as operações sejam realizadas ao mesmo tempo
no máximo número de processos possível. Assim sendo, ao invés do processo descrito no
parágrafo anterior ser realizado de forma serial, alterando sequencialmente parâmetro por
parâmetro e preenchendo uma coluna de cada vez, ele é realizado em paralelo, com um
número de parâmetros por processo que depende do número de núcleos de processamento
14
p
j
Jan
ela d
e es p
aç am
en
to
Figura 3.2: Ilustração da ideia de janelas utilizada ao longo deste trabalho. Nela, um
parâmetro pj é escolhido e a janela é determinada a partir dele para o cálculo de sensibi-
lidades.
no computador em uso.
3.6 EXEMPLO PARA VALIDAÇÃO DO PROGRAMA
O modelo para validação está ilustrado na figura 3.3. Trata-se de um meio de ca-
madas isotrópicas apresentado por Anderson (2001), formado por 11 camadas entre dois
semiespaços, com os valores de espessuras e resistividades indicados na figura. Os dados
gerados para este modelo foram contaminados com ruído aleatório na ordem de 3%.
3.6.1 Inversão em modelo com posicionamento de interfaces conhecido
Na primeira abordagem existem 13 parâmetros, que são os logaritmos das resistivida-
des das camadas do modelo, supondo conhecidas as posições de todas as interfaces. O
modelo inicial foi um meio homogêneo com as resistividades de todas as camadas iguais
a 10 ohm-m.
O modelo final, conseguido após 7 iterações, está ilustrado na figura 3.4, em compa-
ração com os valores verdadeiros. A figura 3.5 mostra o ajuste conseguido para os dados
dos dois arranjos.
Para este caso, não foi necessário o uso de nenhum vínculo, o que é justificado pelo fato
de que deste caso a informação contida nos dados é suficiente para a determinação das
resistividades, tendo em vista que o número de camadas e as posições das interfaces são
conhecidas a priori. Os valores de resistividade melhor estimados correspondem aos das
camadas mais condutivas, na qual a diferença percentual é quase nula. Nas camadas com
15
Figura 3.3: Modelo isotrópico utilizado como teste para o programa de inversão. Baseado
em Anderson (2001).
resistividade iguais a 5,5 ohm-m, a camada localizada a 125 m de profundidade apresentou
um erro igual a 2%, sendo o maior para essas regiões. Nas mais resistivas são encontrados
valores aproximados que ainda ajustam os dados dentro do nível de ruído, sendo a maior
diferença percentual aquela localizada em 128 m de profundidade, com um valor igual
15%.
3.6.2 Inversão sem o posicionamento de interfaces conhecido
Um segundo estudo (abordagem 2) busca investigar se é possível recuperar a infor-
mação sobre o posicionamento das interfaces sem a introdução desta informação a priori,
através da inversão com modelos nos quais o meio é discretizado em uma sequência de
camadas com um número de parâmetros grande o suficiente, dentro do intervalo de per-
filagem, para que o meio seja bem representado pelas variações de resistividade entre as
camadas.
Para este exemplo inicial um modelo de 150 camadas e 2 semiespaços foi utilizado.
O nível de ambiguidade neste problema é muito maior do que no caso anterior, como
está ilustrado nas figuras 3.6 e 3.7. Neste caso, o nível de ajuste dos dados é o mesmo
obtido com a abordagem anterior, mas observa-se uma grande variação nos valores de
resistividade obtidos para as camadas. A ambiguidade inerente ao problema faz com
que muitas variações sejam possíveis com estas oscilações nos valores obtidos, mas todas
16
Figura 3.4: Comparação das resistividades verdadeiras com as estimadas pela inversão dos
dados do modelo da figura 3.3, com espessuras definidas a priori. Ruído de 3% introduzido
no dado observado utilizado na inversão.
gerando um ajuste dos dados dentro do nível de ruído.
Agora há a necessidade da inclusão de vínculos para regularizar o processo e gerar
solução estável. Os dois tipos de vínculos explicados anteriormente foram testados. No-
vamente foi introduzido aos dados observados sintéticos um ruído de 3%.
Devido aos baixos valores que formam a matriz de sensibilidade, geralmente em torno
de 10�7, e a relação de ATA, que faz com que esses valores fiquem na ordem de 10�14, o
parâmetro de regularização para o vínculo de suavidade global e o do vínculo de variação
total foram da ordem de 10�12. Este valor foi obtido após muitos testes de estabilidade
das soluções. Valores maiores que esse acabam por influenciar demasiadamente a solução,
gerando modelos com nível de suavidade exagerada, enquanto valores menores apresenta-
vam pouca ou nenhuma variação quando comparado ao caso sem vínculo.
O primeiro vínculo que vai ser exemplificado será o de suavidade global e, como dito
anteriormente, ele será apresentado com o seu parâmetro possuindo o valor 10�12. Anali-
sando as imagens nas figuras 3.8 percebe-se, novamente, que a parte imaginária do campo
magnético foi ajustada. No entanto, diferente da figura 3.6, o resultado presente na ima-
gem 3.9 se mostrou mais próximo do verdadeiro, sendo dois dos maiores erros percentuais
aqueles presente na camada posicionada em 129,3 m, cujo valor foi de 59% e aquele em
120,3 m, cujo erro percentual foi de 115%.
17
Figura 3.5: Ajuste dos dados obtido da inversão das partes imaginárias do campo magné-
tico dos arranjos coplanar e coaxial gerados no modelo da figurea 3.3, com 3% de ruído.
Figura 3.6: Comparação das resistividades estimadas e verdadeiras. Modelo isotrópico
sem a utilização de vínculo e com interfaces e espessuras das camadas não conhecidas com
exceção da primeira. Ruído de 3% introduzido no dado observado utilizado na inversão.
18
Figura 3.7: Comparação das partes imaginárias do campo magnético. Modelo isotrópico
sem a utilização de vínculo e com interfaces e espessuras das camadas não conhecidas com
exceção da primeira. Ruído de 3%.
As figuras 3.10 e 3.11 foram geradas utilizando o vínculo de variação total novamente
com o valor de 10�12. Analisando a imagem 3.11 fica claro que os resultados apresentados
nessa figura são aqueles que mostraram melhores resultados. Isto fica evidente quando se
compara as altas resistividades presentes nesta figura com a imagem presente na figura
3.9, principalmente para as camadas resistivas localizadas entre 128 a 131,4 metros e 134,1
a 137,8 metros. Também é visível a melhoria quando as resistividades são comparadas
para as camadas iniciais mais condutivas. No entanto, apesar da melhoria visível deste
resultado, se pode destacar que existem algumas camadas cujo erro percentual foi alto,
como para aquela localizada na profundidade de 137,7 m, com erro igual a 117%.
Após analisar as figuras anteriores, tanto no caso sem vínculo quanto naqueles em que
essas técnicas foram utilizadas, foi possível chegar a conclusão que para os casos estudados
ao longo deste trabalho, o uso do vínculo de variação total se mostrou mais eficiente e
com resultados mais próximos do desejado e por isso será aquele utilizado na inversão de
dados anisotrópicos.
19
Figura 3.8: Comparação das partes imaginárias do campo magnético. Modelo isotrópico
com vínculo de suavidade global igual a 10�12 e com interfaces e espessuras das camadas
não conhecidas com exceção da primeira. Ruído de 3%.
Figura 3.9: Comparação das resistividades estimadas e verdadeiras. Modelo isotrópico
com vínculo de suavidade global igual a 10�12 e com interfaces e espessuras das camadas
não conhecidas com exceção da primeira. Ruído de 3% introduzido no dado observado
utilizado na inversão.
20
Figura 3.10: Comparação das partes imaginárias do campo magnético.Modelo isotrópico
com vínculo de variação total igual a 10�12 e com interfaces e espessuras das camadas não
conhecidas com exceção da primeira. Ruído de 3%.
Figura 3.11: Comparação das resistividades estimadas e verdadeiras. Modelo isotrópico
com vínculo de variação total igual a 10�12 e com interfaces e espessuras das camadas
não conhecidas com exceção da primeira. Ruído de 3% introduzido no dado observado
utilizado na inversão.
4 INVERSÃO DE DADOS DE POÇO EM AMBIENTES COM
ANISOTROPIA
Buscando simular ambientes em que ocorrem anisotropia estrutural ou macroscópica,
foi utilizado, ao longo desse trabalho, aqueles nos quais ela ocorre devido a alternância de
lâminas finas resistivas e condutivas, com condutividades �1 e �2, respectivamente. Com
estas é possível calcular as condutividades horizontal (�h) e vertical (�v) efetivas através
das equações
�h = �1V1 + �2V2, (4.1)
�v =
1
V1
�1
+ V2�2
, (4.2)
nas quais V1 e V2 são as frações volumétricas de cada material.
As equações 4.1 e 4.2 foram deduzidas por Kaufman & Dashevsky (2003) através da
distribuição de densidade de corrente, assim como também Anderson et al. (2008), através
da teoria de circuitos (resistores paralelos e em série). Segundo Anderson et al. (2008),
se a medição é feita paralela às camadas, como no caso do arranjo coaxial, o resultado é
semelhante ao da medição de resistores em paralelo e as resistências mais baixas predo-
minam. Quando a medição é feita normal às camadas, como no caso do arranjo coplanar,
a resistência medida é semelhante à medição dos resistores em série e predominam as
camadas mais resistividas, que é o caso daquelas que contêm hidrocarboneto.
Estas equações expressam uma relação entre as condutividades horizontal e vertical de
um meio anisotrópico e as condutividades de um meio laminado formado por alternância
dos valores de �1 e �2, desde que as espessuras das lâminas sejam inferiores a resolução
vertical da ferramenta.
Por uma questão de simplificar o modelo, este trabalho irá considerar V1 = V2 = 0.5,
fazendo com que 4.1 e 4.2 tornem-se
�h =
(�1 + �2)
2
, (4.3)
�v =
2 (�1�2)
(�1 + �2)
. (4.4)
Na inversão em ambientes isotrópicos, para cada camada havia um parâmetro, ou seja,
um único valor de resistividade. Já em ambientes que apresentem camadas anisotrópicas
a inversão precisa determinar dois parâmetros por camada, relacionados às resistividades
vertical e horizontal.
O exemplo de modelo anisotrópico foi baseado no modelo presente no material de
Anderson et al. (2008) e está ilustrado na figura 4.1. É formado por 6 camadas geoelé-
21
22
R
v
=R
h
=1 ohm-m
R
v
=2 ohm-m
R
h
=1 ohm-m
R
v
=11 ohm-m
R
h
=1,9 ohm-m
R
v
=R
h
=50 ohm-m
R
v
=R
h
=0,5 ohm-m
R
v
=R
h
=1 ohm-m
6,2m
3,2 m 
3,2 m 
3,2 m 
Figura 4.1: Modelo com camadas anisotrópicas utilizado como exemplo para a inversão.
Baseado em Anderson et al. (2008).
tricas que simulam um reservatório que compreende, de cima para baixo, uma camada
muito espessa (semiespaço superior) de arenito isotrópico condutivo, um folhelho com um
grau de anisotropia relativamente baixo, uma sequência laminada de folhelho e areia se
comportanto como uma camada de folhelho fortemente anisotrópica, uma camada isotró-
pica de arenito mais resistiva e duas camadas de arenitos de resistividades relativamente
baixas.
Em termos geológicos as 3 últimas camadas geoelétricas da base do modelo anisotró-
pico podem ser constituídas pela mesma litologia, como, por exemplo, uma camada de
areia de mesma permo-porosidade. No entanto, em termos de perfis de modelo geolétrico,
por causa do conteúdo de fluídos, a resistividade pode variar bastante. Por exemplo, a
quarta camada pode conter o hidrocarboneto (gás e óleo) do reservatório, possuindo uma
selante em cima, a quinta camada pode apresentar uma mistura de óleo e água com menor
salinidade (fresh water) e o embasamento geoelétrico pode ser a mesma areia saturada de
água com concentração de sal elevada (salty water).
Na modelagem direta, as duas camadas anisotrópicas foram simuladas por pacotes de
lâminas, que alternavam entre uma maior e uma menor resistividade, com o objetivo de
simular a anisotropia intrínsica de cada camada. Assim, a segunda camada foi dividida
em um pacote de 620 lâminas de espessuras iguais a 0,01 m e, de acordo com as equações
23
Figura 4.2: Ajustes dos dados. Comparação das partes imaginárias do campo magnético.
Modelo anisotrópico de cinco camadas e dois semiespaços, sem a utilização de vínculo e
com as interfaces e espessuras definidas previamente. Ruído de 3%.
4.3 e 4.4, duas resistividades que alternavam entre os valores de 3,34 ohm-m e 0,58 ohm-
m, aproximadamente. A terceira foi dividida em 320 lâminas de mesma espessura e duas
resistividades, alternadamente de 20 ohm-m e 1,01 ohm-m, aproximadamente.
Na pesquisa bibliográfica, encontrei que o nível de ruído na perfilagem é de no máximo
5% (Dobroka & Szabó, 2012) e alguns valores menores que este valor. Deste modo, esta-
beleci que os dados do modelo, que utiliza a primeira abordagem (interfaces conhecidas),
seriam contaminados com nível de ruído de 3% e que os do modelo, que utiliza a segunda
abordagem (interfaces desconhecidas), com 1,5%.
Tratando da inversão, as duas abordagens explicadas anteriormente foram utilizadas.
Aos dados observados sintéticos foi introduzido um ruído de 3%. Na figura 4.2 se pode
observar que os dados foram ajustados dentro do nível de ruído para os arranjos copla-
nar e coaxial. As resistividades estimadas são mostradas na figura 4.3. Para gerar estes
resultados, não foi necessária a aplicação de vínculos, uma vez que neste problema toda
a informação necessária já está contida nos dados. Como se pode observar as resistivida-
des estão bem próximas dos valores verdadeiros, apresentando uma diferença percentual
máxima de aproximadamente 4% para as resistividades horizontal e vertical localizadas
na quarta camada.
A segunda abordagem foi implementada com um modelo formado por 40 camadas
entre dois semiespaços, sendo que cada camada apresenta uma espessura de 0.5 m. Cada
uma das camadas forma um pacote de cinquenta lâminas de espessura iguais a 0,01 m.
Aos dados observados sintéticos foi introduzido um ruído de 1,5%.
24
Figura 4.3: Resistividades vertical e horizontal obtidas para o modelo de cinco camadas
e dois semiespaços usando espessuras conhecidas. Ruído de 3% introduzido no dado
observado utilizado na inversão.
O ajuste dos dados é mostrado na figura 4.4. O resultado da inversão está na figura
4.5. Neste caso, o parâmetro de regularização para o vínculo de variação total foi igual
a 10�14. Este valor de vínculo, apesar de pequeno, é suficiente para obter uma solução
satisfatória e estável.
Como se pode perceber, para a resistividade horizontal o resultado se mostrou bas-
tante próximo do valor verdadeiro, tendo apenas uma camada, localizada em 112 m de
profundidade, apresentado um erro percentual grande (108%), já que o valor da resistivi-
dade horizontal verdadeira era 50 ohm-m e a resistividade encontrada foi de 104 ohm-m
aproximadamente.
Já para as resistividades verticais, a inversão consegue definir zonas resistivas e condu-
tivas ainda com razoável aproximação, sem atingir o mesmo nível de acurácia se compa-
rada com a horizontal, mas ainda conseguindo uma boa estimativa para o posicionamento
das interfaces, apesar de possuir algumas variações grandes que não correspondem ao mo-
delo verdadeiro. Como exemplo para estas regiões, tem-se a profundidade de 108,5 m, na
qual o valor esperado era de 11 ohm-m e foi encontrado um valor de 3 ohm-m (72,7%) e
na profundidade 112 m, que uma resistividade igual a 104 ohm-m, enquanto era esperado
um valor igual a 50 ohm-m, igual ocorreu para a resisividade horizontal.
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Figura 4.4: Ajustes dos dados. Comparação das partes imaginárias do campo magnético.
Modelo anisotrópico de quarenta camadas e dois semiespaços, com a utilização de vínculo
de variação total de 10�14 e com as interfaces e espessuras não conhecidas com exceção
daprimeira. Ruído de 1,5%
Figura 4.5: Resistividade vertical obtida através de dados com ruído para o modelo de
quarenta camadas e dois semiespaços (vínculo de variação total de 10�14). Ruído de 1,5%
introduzido no dado observado utilizado na inversão.
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS
O objetivo principal deste trabalho foi inverter dados eletromagnéticos de perfilagem
vertical de poços, gerados pelos arranjos coaxial e coplanar de bobinas presentes nas
ferramentas de indução triaxias, focando naqueles ambientes em que existe a presença de
anisotropia do tipo estrutural.
O método de inversão aplicado foi o de Gauss-Newton com o algoritmo de Levenberg
e Marquardt e com aplicação de regularizadores na forma de vínculos com relações entre
os parâmetros. Os vínculos utilizados foram os de Suavidade Global, no qual as variações
das soluções dos parâmetros são mais suaves, e os do método de Variação Total, no qual
as variações podem ser abruptas. Os dados invertidos pelos modelos apresentados nesse
trabalho serviram para comparar a eficácia de cada vínculo.
Para tornar o processo de inversão mais rápido e eficiente, foi implementado um método
para calcular sensibilidades, com relação a determinada camada, apenas das observações
dentro de uma janela de distâncias do ponto de observação em relação à camada. Além
disso, o código para a montagem da matriz de sensibilidade foi pararelizado através das
diretrizes da interface OpenMP.
Tratando novamente da inversão, em partes do modelo constituídos por pacotes lami-
nados com comportamento de camadas anisotrópicas, que era o principal objetivo deste
trabalho, os dados modelados foram gerados através de uma simulação de lâminas finas se
alternando quanto aos valores de resistividade. Foram testadas duas abordagens: na pri-
meira, as posições de interfaces eram dadas a priori, em posições conhecidas; na segunda,
um número de camadas superestimado foi usado para discretizar os modelos. Em ambos
os casos, os dados foram bem ajustados, mas os valores verdadeiros de resistividade são
muito melhor aproximados na primeira abordagem do que na segunda.
O conteúdo estudado ao longo desta dissertação permitiu compreender as caracterís-
ticas da inversão geofísica, começando desde a técnica de Gauss-Newton e a identificação
da importância do uso dos vínculos na busca por soluções estáveis e compreender as
principais diferenças entre as regiões isotrópicas e anisotrópicas.
Na comparação entre os dois tipos de vínculos, foi observado que o vínculo de variação
total gerou resultados melhores do que o de suavidade global, com valores estimados mais
próximos dos verdadeiros, sendo por isso escolhido para a inversão de dados em ambientes
anisotrópicos.
Como um possível trabalho futuro, sendo até mesmo uma continuação deste, se tem a
inversão de dados em ambientes com camadas intrinsicamente anisotrópicas, em substitui-
ção à ideia utilizada ao longo desta dissertação, que consistia em simular ambientes com
comportamento anisotrópico (anisotropia estrutural ou macroscópica) através de lâminas
finas que alternavam entre resistiva e condutiva.
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Outra etapa necessária será modelar poços inclinados e realizar a inversão para os
diferentes tipos de perfilagem, pois quando se muda o ângulo, a ferramenta triaxial ou
multicomponente gera novos sinais, além dos que foram tratados aqui, que contém infor-
mações que podem ajudar na inversão.
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