AULA 3Cálculo Diferencial e Integral II

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05/02/2024, 15:48 wlldd_231_u3_cal_dif_int_II
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INTRODUÇÃO
Olá, estudante! Na aula de hoje, trabalharemos com o conceito de vetor gradiente e como utilizá-lo para
resolver problemas que envolvem, por exemplo, mapas topográ�cos, campos escalares e sistemas de
computação algébrica, entre muitas outras aplicações. Matematicamente, o vetor gradiente basicamente lida
com todas as informações referentes à derivada parcial de uma função de duas ou mais variáveis, sendo uma
das ferramentas mais importantes do Cálculo Diferencial e Integral. Com esse conceito em mãos, esperamos
que você, aluno, tenha compreensão de como utilizá-lo para resolver os estudos de caso que possam emergir
no seu campo de trabalho.
Lembre-se: o estudo do Cálculo Diferencial e Integral requer prática diária e uma rotina, assim como os
exercícios físicos que fazemos para um melhor desempenho do nosso corpo.
Bons estudos!
Aula 1
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Trabalharemos com o conceito de vetor gradiente e como utilizá-lo para resolver problemas que
envolvem, por exemplo, mapas topográ�cos, campos escalares e sistemas de computação algébrica,
entre muitas outras aplicações.
31 minutos
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS E DERIVADAS PARCIAIS
 Aula 1 - Funções de várias variáveis
 Aula 2 - Grá�cos de superfícies
 Aula 3 - Derivadas parciais e de ordem superior
 Aula 4 - Derivada direcional
 Referências
123 minutos
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O VETOR GRADIENTE
Imagine que você esteja analisando os custos de produção de uma empresa de componentes eletrônicos. A
empresa produz dois tipos de produtos, resistores e transistores, sendo que há um custo �xo para manter a
empresa produzindo, bem como um custo unitário para a produção de cada um desses produtos. Observe
que, nessa situação, temos uma relação de dependência entre o custo de produção total e os custos unitários
de cada produto. Essa relação de dependência entre grandezas é a ideia central do conceito de funções. Outro
aspecto importante que podemos analisar a partir dessa situação é a ideia de variável, para isso, tente
responder às perguntas: qual a quantidade produzida de resistores? E de transistores? No problema, não �ca
evidente qual é essa quantidade, sendo que ela pode variar dependendo de certas condições. Assim, o
conceito de variável está diretamente ligado à ideia de valores desconhecidos que podem variar. Não
confunda o conceito de incógnita e variável, pois a incógnita representa uma quantidade desconhecida que
satisfaz uma determinada equação, já as variáveis representam quantidades desconhecidas, mas que variam.
Assim, podemos dizer que a ideia de variável e de relação de dependência são centrais para entender
funções.
Notou a semelhança dessa situação com outras situações que você já se deparou em seus estudos anteriores?
Pois bem, o conceito de funções de duas ou mais variáveis é uma extensão do conceito de função de uma
variável real, que você já estudou em outras disciplinas. Vamos relembrar qual a de�nição de função de uma
variável real?
Segundo Stewart (2013b), uma função é uma lei que associa cada elemento (x) pertencente ao conjunto D,
denominado de domínio, a um único elemento, chamado f(x), pertencente ao conjunto E, denominado de
contradomínio. Em nossos estudos, consideramos que o conjunto D e o conjunto E são conjuntos de números
reais, além disso, falamos que f(x) é o valor da função f em x. A imagem de f é obtida ao substituirmos todos
os valores possíveis de x, isto é, que pertencem ao domínio na lei de formação da função. x  e f(x) são
denominadas variáveis da função, sendo que f(x) depende da variável x, ou seja, f(x) é a variável dependente e
x é a variável independente.
Agora que você já relembrou o conceito de função de uma variável real, faremos um paralelo desse conceito
com o de funções de duas ou mais variáveis reais. A partir da nossa situação inicial, podemos perceber que a
função custo depende de duas variáveis: a quantidade produzida de resistores (x) e a quantidade de
transistores (y), além do custo �xo. Nesse sentido, podemos dizer que uma função de duas variáveis é
composta por uma variável dependente e duas variáveis independentes. Portanto, podemos de�nir uma
função f  de duas variáveis reais como sendo uma lei que associa cada par ordenado (x,f) de um conjunto
, denominado de domínio, a um único valor real f(x,y), denominado de imagem. Frequentemente,
escrevemos z=f(x,y), em que z é a variável dependente e x,y são as variáveis independentes.
Naturalmente, podemos dizer que uma função f de três variáveis é uma lei que associa cada tripla ordenada
(x,y,z) pertencente a um domínio  a um único número real denotado por f(x,y,z).
Considerando essas de�nições, nosso foco daqui para frente é estudar as propriedades de funções de duas
variáveis por meio de exemplos. Além disso, interpretaremos situações cotidianas utilizando esses conceitos.
D ⊂ R2
D ⊂ R2
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AS PROPRIEDADES DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS
Anteriormente, trabalhamos com os conceitos de variáveis e de funções de duas e três variáveis reais. Agora,
nosso foco é explorar as propriedades envolvendo esses conceitos. Retomaremos a nossa situação sobre a
análise do custo de produção da empresa. 
Consideraremos que o custo �xo de produção é de R$ 4.000,00 e que o custo de produção unitário para os
resistores é de R$ 4,00 e dos transistores é de R$ 6,00. Com base nessas informações, como podemos
expressar matematicamente a relação entre o custo total e a quantidade de produtos produzidos? 
O primeiro passo é identi�car as variáveis do problema. Lembre-se de que elas são parte fundamental da
de�nição de função. Nesse problema, podemos representar a quantidade produzida de resistores por (x)  e a
quantidade de transistores por (y). A lei de formação relacionará essas variáveis e o custo da produção. Assim,
temos que o custo total de produção pode ser denotado pela função C(x,y) = 4000+4x+6y, em que C(x,y) é o
custo total da produção e esse depende da quantidade produzida de ambos os produtos.
Ao trabalharmos com funções de duas variáveis, é preciso se atentar ao signi�cado de “calcular a função no
ponto dado”. Ao dizermos isso, queremos encontrar a imagem de f  dado um par ordenado (x,y), e para isso
basta substituirmos os valores de  x,y na lei de formação.
Por exemplo, suponhamos que sejam produzidas 400 unidades de resistores e 600 unidades de transistores.
Qual será o custo total de produção da empresa? Nesse problema, devemos calcular a função C(x,y) no ponto
(400,600), logo devemos substituir x por 400 e y por 600:
Assim, o custo total de produção é de R$ 9.200,00. No caso dessa situação, devemos ter atenção ao domínio
da função. Em linhas gerais, podemos dizer que o domínio da função é o conjunto de pares ordenados em
que a função é de�nida. Nesse caso, não é possível produzir quantidades negativas de produtos, portanto x,y
devem assumir sempre valores positivos. Fique tranquilo, pois em nossa próxima aula exploraremos esse
conceito de domínio de uma função de duas variáveis.
Até o momento, abordamos o conceito de função de duas variáveis, então, agora, analisaremos uma situação
em que são envolvidas três variáveis. Lembre-se de que as ideias que estão associadas às funções de duas
variáveis também são válidas para funções de três variáveis. Suponha que uma empresade embalagens
descartáveis fabrica três tamanhos de caixas: pequena, média e grande. Sabe-se que a empresa tem um custo
�xo de R$ 6.000,00 e que o custo para fabricar uma caixa pequena é de R$ 1,00, uma caixa média é de R$ 2,50
e uma caixa grande é de R$ 4,00. Qual seria o custo da empresa se fossem fabricadas mil unidades de cada
tipo de caixa?
O primeiro passo é identi�car as variáveis envolvidas no problema, as quais, nesse caso, seriam a quantidade
de caixas pequenas produzidas (x), a quantidade de caixas médias (y) e a quantidade de caixas grandes (z).
Sabemos que o custo depende de um custo �xo de R$ 6.000,00 mais o custo por unidade produzida, assim, o
C(400,600) = 4000 + 4 ⋅ 400 + 6 ⋅ 600
C(400,600) = 4000 + 1600 + 3600
C(400,600) = 9200
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custo pode ser dado pela função C(x,y,z)=6000+1x+2,5y+4z. Agora, temos que calcular o custo para produção
de mil unidades de cada tipo; para isso, basta substituirmos as variáveis por 1000.
Logo, a empresa tem um custo de R$ 13.500,00 para produzir mil unidades de cada tipo de caixa.
Observe como é importante a intepretação da situação para a representação algébrica de uma função. Com
isso, chegamos ao �nal da segunda parte da nossa aula, espero que tenha gostado. 
APLICAÇÃO DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS
Agora é o momento de utilizarmos o conceito de funções de duas variáveis reais na prática. Para isso,
resolveremos um problema de modelagem matemática. Em termos gerais, a modelagem matemática se
preocupa em descrever diferentes fenômenos por meio de um modelo matemático, que pode ser
considerado como sendo uma função.
Suponhamos que uma empresa fabrica dois tipos de bicicletas, as de passeio e as elétricas. O custo para a
produção de uma bicicleta de passeio é de R$ 200,00, e de uma bicicleta elétrica é de R$ 350,00; além desses
custos, a empresa tem um custo �xo de manutenção de R$ 5.000,00. Considere que todas as bicicletas
produzidas foram vendidas, sendo que o preço de venda da bicicleta de passeio é de R$ 400,00, e da bicicleta
elétrica é de R$ 700,00. Sabendo que a função lucro é dada pela diferença entre a função receita e a função
custo, qual a função que descreve o lucro dessa empresa? Qual será o lucro da empresa se forem produzidas
100 unidades da bicicleta de passeio e 50 unidades da bicicleta elétrica?
Para resolver esse problema, seguiremos os seguintes passos:
Primeiro passo: identi�car as variáveis envolvidas no problema.
Nesse problema, temos como variáveis independentes a quantidade produzida de bicicletas de passeio (x) e a
quantidade de bicicletas elétricas (y). Como variáveis dependentes, temos o custo de produção C(x,y), a receita
R(x,y) e o lucro L(x,y).
Segundo passo: determinar a lei de formação da função custo C(x,y).
O problema nos fornece a informação de que a empresa tem um custo �xo de manutenção de R$ 5.000,00 e o
custo unitário de produção da bicicleta de passeio é de R$ 200,00 e da bicicleta elétrica é de R$ 350,00. Como
o custo depende da quantidade produzida e do custo unitário mais o custo �xo, assim
Terceiro passo: determinar a lei de formação da função receita R(x,y).
C(x, y, z) = 6000 + 1x + 2,5y + 4z
C(1000,1000,1000) = 6000 + 1 ⋅ 1000 + 2,5 ⋅ 1000 + 4 ⋅ 1000
C(1000,1000,1000) = 6000 + 1000 + 2500 + 4000
C(1000,1000,1000) = 13500
C (x, y) = 5000 + 200x + 350y
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O problema nos fornece a informação de que o preço de venda da bicicleta de passeio é de R$ 400,00 e da
bicicleta elétrica é de R$ 700,00. Além disso, a função receita é dada pelo valor unitário de venda de cada tipo
de bicicleta vezes a quantidade vendida, que, nesse caso, é a mesma que a quantidade produzida. Logo,
Quarto passo: determinar a lei de formação da função lucro L(x,y).
Sabemos que a função lucro é dada pela diferença entre a função receita e a função custo, assim, temos:
Nesse passo, encontramos a reposta da nossa primeira pergunta, que era determinar a função lucro, isto é,
L(x,y)=200x+350y-5000. A partir da lei de formação, temos condições de encontrar o lucro da empresa quando
forem produzidas 100 unidades da bicicleta de passeio e 50 unidades da bicicleta elétrica, conforme mostra o
nosso quarto passo.
Quinto passo: calcular o lucro quando x=100 e y=50.
Para isso, temos que substituir os valores de x e y na lei de formação da função L(x,y).
Portanto, o lucro da empresa será de R$ 32.500,00 quando forem produzidas 100 bicicletas de passeio e 50
bicicletas elétricas. Perceba que a função lucro variará de acordo com a quantidade produzida de cada um dos
tipos de bicicleta. 
A partir dessa situação, podemos perceber que o conceito de funções pode ser utilizado para descrever
diferentes situações cotidianas que envolvam uma relação de dependência entre variáveis. 
Com esse exemplo, encerramos nossa aula sobre o conceito de funções de duas e três variáveis reais. Espero
que tenha gostado!
VÍDEO RESUMO
Nesta videoaula, temos como objetivo entender o conceito de funções de duas e três variáveis. Portanto,
iniciaremos de�nindo esse conceito e destacando suas principais características. Ao �nal, analisaremos
matematicamente uma situação relacionada ao lucro de uma empresa utilizando o conceito de função de
duas variáveis.
R (x, y) = 400x + 700y
L (x, y) = R (x, y) − C (x, y)
L (x, y) = 400x + 700y − (5000 + 200x + 350y)
L (x, y) = 400x + 700y − 5000 − 200x − 350y
L (x, y) = 200x + 350y − 5000
L (x, y) = 200x + 350y − 5000
L (100,50) = 200 ⋅ 100 + 350 ⋅ 50 − 5000
L (100,50) = 20000 + 17500 − 5000
L (100,50) = 32500
Para visualizar o objeto, acesse seu material digital.
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 Saiba mais
O conceito de função de duas variáveis é fundamental para o desenvolvimento de outros conceitos
relacionados ao cálculo diferencial e integral e de outras áreas. A computação é uma das áreas em que
podemos utilizar as funções de duas variáveis. O artigo intitulado Estudo do efeito dos parâmetros
genéticos de um algoritmo genético na solução otimizada e no tempo de convergência em uma função
de duas variáveis relaciona o conceito de função de duas variáveis e algoritmos genéticos (ramo de
pesquisa da computação evolucionária). 
INTRODUÇÃO
Olá, estudante! Espero que esteja bem. Nesta aula, daremos continuidade aos nossos estudos sobre funções
de duas ou mais variáveis. Chegou o momento de nos aprofundarmos nos conceitos de domínio e imagem de
uma função desse tipo, além de realizarmos uma interpretação grá�ca dessas funções. Ao �nal da aula,
esperamos que você, estudante, tenha compreensão de como utilizar os conceitos de domínio, imagem e
representações grá�cas na análise e interpretação de situações, visto que é essencial a análise da função para,
depois, realizar outros processos, como a derivação.
Lembre-se de que estudar cálculo diferencial e integral requer a prática de exercícios e uma rotina de estudos!
DOMÍNIO, IMAGEM E GRÁFICO DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS
Você já aprendeu que uma função de duas variáveis é de�nida como sendo uma lei que associa cada par
ordenado (x,y) de um conjunto  , denominado de domínio, a um único valor real f(x,y) denominado de
imagem. Observe que o domínio e a imagem possuem uma importância nessa de�nição, logo faz-se
necessário explorarmos esses dois conceitos. Você se lembra o que são domínio e imagem? Para isso,
considere a função f deuma variável dada por  . Essa função está de�nida para qualquer valor real
de x? Se x=0, qual o valor que a função assume? Perceba que a função f  não é de�nida para x=0, pois, em
matemática, não existe divisão por zero, assim, essa função não assume nenhum valor quando x=0. Com base
nesse exemplo, podemos dizer que o domínio de uma função é o conjunto de valores em que essa função
D ⊂ R2
f(x) = 1
x
Aula 2
GRÁFICOS DE SUPERFÍCIES
Nesta aula, daremos continuidade aos nossos estudos sobre funções de duas ou mais variáveis.
29 minutos
https://www.peteletricaufu.com.br/static/ceel/doc/artigos/artigos2013/ceel2013_076.pdf
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está de�nida. Dessa forma, para uma função f de duas variáveis, o domínio seria todo o conjunto de pares
ordenados (x,y) em que a função é de�nida. Para a determinação do domínio de uma função, é preciso que
você se lembre de que:
•  Não existe divisão por zero.
•  Não existe raiz de índice par de número negativo.
•  Não existe logaritmo de número negativo ou zero.
Logo, os pares ordenados que se originam de uma dessas condições, no interior da função estudada, devem
ser excluídos do domínio da função.
Por exemplo, determinemos o domínio da função  . Como a função f é de�nida por uma
raiz quadrada, temos que a função que se encontra dentro do radical não pode resultar em um valor negativo,
logo  , ou seja,  . Podemos, então, dizer que o domínio D da função f é dado por 
.
Já a imagem é o conjunto de todos os valores que se relacionam a algum elemento do domínio, isto é, os
valores que a função assume ao substituirmos os valores do domínio em sua lei de formação. A função 
, por exemplo, tem como imagem valores de z maiores que zero, isto é,  . Uma
estratégia que podemos utilizar para determinar a imagem de uma função é avaliarmos a sua representação
grá�ca. Segundo Stewart (2013), o grá�co de uma função f de duas variáveis com domínio D é o conjunto de
todos os pontos em (x, y, z), tal que z=f(x,y) e . O grá�co da função   é dado
por:
Figura 1 | Representação grá�ca da função f
Fonte: elaborada pela autora.
O grá�co apresentado na Figura 1 nos permite visualizar que a função só assume valores maiores que zero,
conforme já discutimos. 
f(x, y) = √x2 + y2
x2 + y2 ≥ 0 x2 ≥ −y2
D = {(x, y) ∈ R2 x2 ≥ −y2}∣f(x, y) = √x2 + y2 Im = R+(x, y) ∈ D f(x, y) = √x2 + y2
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Outra forma de visualizarmos uma função de duas variáveis é por meio de suas curvas de contorno. De
acordo com Stewart (2013), os matemáticos pegaram esse método de visualização emprestado dos
cartógrafos, que se refere a um mapa de contorno, em que os pontos com elevações constantes são ligados,
formando, assim, as curvas de nível ou curvas de contorno. Dada uma função f de duas variáveis, as curvas de
nível são aquelas com a equação f(x,y)=k, em que k é uma constante. Podemos dizer que as curvas de nível
f(x,y)=k são cortes da função f  no plano horizontal z=k, que são projetados sobre o plano xy. As curvas de
nível para a função  são representadas por circunferências no plano xy. Lembre-se de
que a equação de uma circunferência é dada por  , assim, se  k=1, temos
Isso representa uma circunferência de raio 1. A Figura 2 ilustra as curvas de níveis da função.
Figura 2 | Mapa de contorno da função f
Fonte: elaborada pela autora.
Considerando essas de�nições, nosso foco daqui para frente é estudar esses conceitos por meio de exemplos.
Bons estudos! 
ANÁLISE DE DOMÍNIO E GRÁFICO DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 
Anteriormente, estudamos as de�nições a respeito de domínio, imagem e representação grá�ca de funções
de duas variáveis. Agora, nosso foco é explorar particularidades desses conceitos. Quando temos uma função
f composta por mais de uma função, por exemplo,  , temos que nos atentar ao seu
domínio, pois tanto a função que compõe o numerador quanto a que compõe o denominador possuem
restrições de existência. Assim, o domínio da função f deve considerar as duas restrições. O numerador da
função f é dado por uma função logarítmica, e essa só é de�nida para valores maiores que zero, logo o
domínio de ln(x+y) é dado por x+y>0, isto é, y>-x. Esse domínio pode ser representado por todos os pontos
que estão à direita da reta y=-x, representado pela área em azul, conforme ilustra a Figura 3.
f(x, y) = √x2 + y2
x2 + y2 = r2
√x2 + y2 = 1
(√x2 + y2)
2
= (1)2
x2 + y2 = 1
f(x, y) = ln(x+y)
√x2−y
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Figura 3 | Representação grá�ca do domínio de ln(x+y)
Fonte: elaborada pela autora.
Ao avaliarmos a função f, temos que seu denominador deve ser diferente de zero e que a função dentro da
raiz deve ser maior que zero, assim, x -y>0, ou seja, y<x . A Figura 4 ilustra quais pontos pertencem a esse
domínio.
Figura 4 | Representação grá�ca do domínio de 
Fonte: elaborada pelo autor.
Como cada uma das funções possui um determinado domínio, devemos encontrar a interseção entre os
domínios, e esse será o domínio da função  . Temos que y<x e y>-x, assim, o domínio será 
,que na representação grá�ca corresponde às regiões hachuradas,
conforme ilustrado na Figura 5.
Figura 5 | Representação grá�ca do domínio de 
2 2
√x2 − y
f(x, y) = ln(x+y)
√x2−y
2
D = {(x, y) ∈ R2 − x < y < x2}∣ f(x, y)
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Fonte: elaborada pela autora.
Quando você for analisar o domínio desse tipo de funções, isto é, funções compostas, não se esqueça de olhar
para a interseção dos domínios, isto é, os valores que satisfazem a todas as funções. Para �car mais clara essa
ideia, trabalharemos com um outro exemplo.
Exemplo: seja a função   , determine:
a)  O seu domínio e o esboce gra�camente.
b)  A imagem da função.
c)  O grá�co da função g(x,y).
a)  Como no numerador temos uma função com radical par, a função que se encontra dentro do radical deve
ser maior ou igual a zero, ou seja,  , ou ainda,  . Portanto, o domínio D da função do
numerador é  . A função do denominador também contém um radical, logo a
função que se encontra dentro do radical deve ser maior que zero, porém, como o radical encontra-se no
denominador, esse não pode ser zero, assim x+y >0, isto é, x>-y . Logo, o domínio D da função do
numerador é  . Agora, você deve realizar a interseção entre D e D para
encontrar o domínio de g(x,y), assim  . A Figura 6 ilustra esse domínio.
Figura 6 | Representação grá�ca do domínio de g(x,y)
g(x, y) = √y2−x
√x+y3
y2 − x ≥ 0 x ≤ y2 1
D1 = {(x, y) ∈ R2 x ≤ y2}∣ 3 3 2D2 = {(x, y) ∈ R2 x > −y3}∣ 1 2D = {(x, y) ∈ R2 − y3 < x ≤ y2}∣
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Fonte: elaborada pela autora.
b)  Agora que encontramos o domínio da função g(x,y), vamos determinar sua imagem?
Para isso, analisaremos sua lei de formação. A função é dada por  . 
Observe que, para que a funçãoexista, tanto o numerador quanto o denominador têm que assumir valores
positivos, logo a imagem da função g(x,y) são todos os valores reais maiores ou iguais a zero, isto é, 
. 
c)  Com base no domínio e na imagem da função g(x,y), podemos esboçar seu grá�co, conforme ilustra a
Figura 7.
Figura 7 | Representação grá�ca de g(x,y)
g(x, y) = √y2−x
√x+y3
Im = R+
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Fonte: elaborada pela autora.
Com isso então, encerramos a segunda parte de nossa aula. Espero que você tenha gostado!
APLICAÇÕES DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS A
Chegamos à última parte de nossa aula, em que nosso objetivo é trabalhar com uma aplicação das funções de
duas variáveis e sua representação grá�ca em uma situação prática. Então, para aplicar os conceitos
aprendidos anteriormente, consideraremos que você esteja realizando o estudo matemático sobre o relevo
de Minas Gerais. Após suas pesquisas, você descobriu que ele é composto por muitos morros e serras, sendo
a Serra do Curral uma das muitas existentes no estado.
Figura 8 | Serra do Curral em Minas Gerais
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Fonte: Pixabay.
Durante suas pesquisas, você encontrou um matemático que realizou um estudo dos morros dessa serra.
Com base em dados coletados, ele determinou um modelo matemático que fornece a altura de um morro
dessa serra dado a sua base (x) e o seu declive (y), a saber
De posse dessa função, você �cou curioso para saber qual a sua representação grá�ca e se essa realmente se
assemelha a um morro. 
Para construirmos a representação grá�ca dessa função, primeiro, analisaremos qual o seu domínio e qual a
sua imagem. 
A função h(x,y) é uma função racional, cujo denominador deve ser diferente de zero, assim,
Observe que, independentemente do valor que x e y assumam, nunca teremos x²+y²=-1, visto que todo
número elevado ao quadrado é um número positivo e a soma de dois números positivos sempre resulta em
um número positivo. Logo, para qualquer valor de x e y, temos x²+y²≠-1, o que nos permite concluir que o
domínio de h(x,y) é o  .
Sabemos que o conjunto imagem da função são os valores que ela assume quando substituímos valores
arbitrários para x e y. Assim para quaisquer valores de x e y, temos um valor positivo para z, sendo que z
nunca assumirá o valor zero, e o maior valor que poderá assumir é 1, portanto Im=(0,1).
h(x, y) = 11+x2+y2
1 + x2 + y2 ≠ 0
x2 + y2 ≠ −1
R2
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Com base nessas informações, podemos construir a representação grá�ca para a função h(x,y).
Figura 9 | Representação grá�ca da função h(x,y)
Fonte: elaborada pela autora.
De posse dessa imagem, você pode concluir que a representação grá�ca da função proposta pelo matemático
se assemelha muito não só a morros da Serra do Curral mas também a diferentes tipos de morros e
montanhas espalhados pelo Brasil. 
Não satisfeito apenas com a análise tridimensional da função, você decidiu analisar o mapa de contorno dessa
superfície. Sabemos que, para construir esse mapa, é necessário realizarmos cortes horizontais na altura
h(x,y)=k e avaliarmos sua projeção no plano xy. Assim, avaliaremos as projeções quando  .
•  Para k=1, temos 
Tal equação representa a origem (0,0).
•  Para  , temos 
Tal equação representa uma circunferência de raio 1.
•  Para  , temos 
k = 1, 12 ,
1
4 ,
1
5
1
1+x2+y2 = 1
1 = 1 + x2 + y2
x2 + y2 = 0
k = 12
1
1+x2+y2 =
1
2
1 = 12 (1 + x
2 + y2)
2 = 1 + x2 + y2
x2 + y2 = 2 − 1
x2 + y2 = 1
k = 14
1
1+x2+y2 =
1
4
1 = 14 (1 + x
2 + y2)
4 = 1 + x2 + y2
x2 + y2 = 4 − 1
x2 + y2 = 3
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Tal equação representa uma circunferência de raio  .
•  Para  , temos 
Tal equação representa uma circunferência de raio 2.
Representando essas equações no plano  xy, temos o seguinte mapa de contorno.
Figura 10 | Mapa de contorno da função h(x,y)
Fonte: elaborada pela autora.
Com essa situação-problema, encerramos nossa aula sobre domínio, imagem e grá�cos de funções de duas
variáveis reais. Espero que tenha gostado. Até nossa próxima aula! 
VÍDEO RESUMO
O nosso objetivo, nesta videoaula, é explorar o domínio, a imagem e os grá�cos de funções de duas variáveis.
Para isso, iniciaremos nossa aula com algumas de�nições e, depois, resolveremos alguns exemplos de como
encontrar domínio e imagem de funções de duas variáveis.
√3
k = 15
1
1+x2+y2 =
1
5
1 = 15 (1 + x
2 + y2)
5 = 1 + x2 + y2
x2 + y2 = 5 − 1
x2 + y2 = 4
Para visualizar o objeto, acesse seu material digital.
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 Saiba mais
O estudo de uma função de duas variáveis requer que saibamos construir e interpretar sua
representação grá�ca. Como estamos trabalhando no espaço , os softwares podem ser uma importante
ferramenta nesse estudo. O GeoGebra é um software livre, que possui uma janela 3D, sendo possível
construir grá�cos de funções de duas variáveis. Acesse o site dessa ferramenta e clique em INICIAR
CALCULADORA. Logo após, será aberta a calculadora grá�ca. Para você mudar para a janela 3D, basta
clicar no canto superior esquerdo e mudar para Calculadora 3D, conforme ilustra a Figura 11.
Figura 11 | Janela principal do GeoGebra
Fonte: elaborada pela autora.
Depois disso, é só você digitar a função no campo ENTRADA que o software construirá o seu grá�co. Esse
software tem também aplicativo para Android e IOS, então você pode construir os grá�cos utilizando o
seu celular.
INTRODUÇÃO
Olá, estudante! Espero que esteja bem! Em nossas aulas anteriores, estudamos sobre as funções de duas e
três variáveis. Agora, chegou o momento de estudarmos sobre as derivadas dessas funções. Para isso, será
necessário que você se lembre de todas as regras de derivação de funções de uma variável real, pois elas
Aula 3
DERIVADAS PARCIAIS E DE ORDEM SUPERIOR
Chegou o momento de estudarmos sobre as derivadas dessas funções
27 minutos
https://www.geogebra.org/
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serão essenciais para o nosso estudo. Ao �nal dessa aula, esperamos que você seja capaz de interpretar o
signi�cado de uma derivada parcial, bem como resolver situações e problemas que envolvam o cálculo dessas
derivadas.
Lembre-se de que estudar cálculo diferencial e integral requer a prática de exercícios e uma rotina de
estudos! 
DERIVADAS PARCIAIS
Em estudos anteriores, você já aprendeu que a derivada de função de uma variável real está associada ao
problema das taxas de variação. A de�nição da derivada de uma função de duas variáveis é semelhante à
de�nição para uma variável, a diferença é que agora avaliaremos duas variáveis ao invés de apenas uma.
Portanto, considere que f seja uma função de duas variáveis x e y, além disso, suponha que o valor de y seja
mantido �xo, por exemplo, fazendo y=b, sendo b uma constante,enquanto variamos o valor de x. Com isso,
consideraremos uma função com uma única variável x, a saber, h(x)=f(x,b). Logo, se a derivada de g em a
existe, a chamaremos de derivada parcial de f em relação a x no ponto (a,b) e a denotaremos por f (a,b).
Portanto,  f (a,b)=g(a), em que g(x)=f(x,b). Por de�nição, temos: 
Como f (a,b)=g(a), teremos:
Analogamente, a derivada parcial de f em relação a y no ponto (a,b), denotada por f (a,b), é obtida mantendo x
�xo (x=a) e variando y, sendo de�nida por
Logo,  e  são as derivadas parciais de primeira ordem no ponto (a,b) de uma função f de duas
variáveis. Além da notação utilizada anteriormente, podemos utilizar outras notações para representar as
derivadas parciais de primeira ordem de uma função. Considere z=f(x,y), assim, temos 
Agora que já vimos a de�nição das derivadas parciais de primeira ordem de uma função de duas variáveis,
podemos realizar uma intepretação do seu signi�cado. Primeiro, é preciso que você se lembre do signi�cado
da derivada para funções de uma variável. Sabemos que se y=f(x), o valor de  pode ser interpretado
tanto como uma taxa de variação de y em relação a x no ponto x , quanto como a inclinação, isto é, o
coe�ciente angular da reta tangente ao grá�co de f no ponto x . As interpretações das derivadas parciais são
análogas. Para ver isso, considere a função z=f(x,y), que é representada por uma superfície S. Agora, suponha
que C é a interseção de S com o plano y=y e que C é a interseção de S com o plano y=y , conforme ilustra a
Figura 1.
x
x
g′(a) = lim
h→0
g(a+h)−g(a)
h
x
fx(a, b) = lim
h→0
f(a+h,b)−f(a,b)
h
y
fy(a, b) = lim
h→0
f(a,b+h)−f(a,b)
h
fx(a, b) fy(a, b)
fx(x, y) = fx = ∂f∂x =
∂
∂x f(x, y) =
∂z
∂x
fy(x, y) = fy = ∂f∂y =
∂
∂y f(x, y) =
∂z
∂y
f ′(x0)
0
0
1 0 2 0
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Figura 1 | Superfície S e suas retas tangentes
Fonte: Anton et al. (2014, p. 929).
A derivada  pode ser interpretada como a inclinação da reta tangente à curva C no ponto  ,
e  como a inclinação da reta tangente à curva C no ponto  . Segundo Anton et al. (2014, p.
930), “dizemos que  é a inclinação da superfície na direção de x em (x ,y ), e f (x ,y ) é a inclinação da
superfície na direção y em (x ,y )”.
Além disso, f (x ,y ) pode ser interpretada com a taxa de variação de  em relação a x ao longo da
curva  C , e  a taxa de variação de z=f(x,y) em relação a y ao longo da curva  C , ambas sobre o ponto
(x ,y ).
Até o momento, vimos sobre as derivadas parciais de primeira ordem, mas será que uma função de duas
variáveis possui derivadas de ordem superior? A resposta é sim! Considerando uma função z=f(x,y), podemos
derivar duas vezes a função em relação a x, duas vezes em relação a y, uma vez em relação a x e o resultado
em relação a y, ou ainda uma vez em relação a y e o resultado em relação a x, sendo as duas últimas
denominadas de derivadas parciais mistas. Assim, as quatro possíveis derivadas de segunda ordem da função
z=f(x,y) são
Com bases nessas de�nições, nosso foco daqui para frente é o cálculo das derivadas parciais e, para isso,
resolveremos diferentes exemplos.
CÁLCULO DAS DERIVADAS PARCIAIS
Anteriormente, vimos que a de�nição formal de derivadas parciais é dada por meio dos limites acima, porém,
na prática, você utilizará todas as regras de derivação para função de uma variável, visto que, ao mantermos
uma das variáveis �xas, transformamos a função de duas variáveis em apenas uma variável. A seguir,
fx(x0, y0) 1 (x0, y0)
fy(x0, y0) 2 (x0, y0)
fx(x0, y0) 0 0 y 0 0
0 0
y 0 0 (x0, y0)
1 fy(x0, y0) 2
0 0
fxx(x, y) = fxx = ∂
2f
∂x2 =
∂
∂x (
∂
∂x )
fyy(x, y) = fyy = ∂
2f
∂y2 =
∂
∂y (
∂
∂y )
fxy(x, y) = fxy = ∂
2f
∂x∂y =
∂
∂x (
∂
∂y )
fyx(x, y) = fyx = ∂
2f
∂y∂x =
∂
∂y (
∂
∂x )
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apresentamos as principais regras de derivação para funções de uma variável, então �que atento a elas, pois
você as usará durante toda a nossa aula.
Além dessas regras, lembre-se de que, para calcular a derivada parcial de uma função de duas variáveis,
mantemos uma dessas variáveis �xas. Seja f(x,y):
•  Para determinar f , considere y como sendo uma constante e derive f(x,y) em relação a x.
•  Para determinar f , considere x como sendo uma constante e derive f(x,y) em relação a y.
Para �carem mais claras essas ideias, trabalharemos com alguns exemplos.
Exemplo 1: calcule as derivadas de primeira ordem da função  .
Primeiro, calcularemos a derivada da função f em relação a x. Logo, consideraremos a variável y como sendo
uma constante. Assim, 
Observe que, para derivar o termo x , utilizamos a regra ; para derivar o termo x²y², usamos a
regra  , em que  é considerado como constante; para derivar o termo y³, utilizamos a
regra [k]'=0, pois y³ é considerado um valor constante.
Utilizaremos um raciocínio análogo para encontrar a derivada parcial da função f em relação a . Para esse
cálculo, consideraremos a variável como sendo uma constante. Logo, 
Observe que, para derivar o termo x³, utilizamos a regra [k]'=0, pois x³ é considerado um valor constante; para
derivar o termo x²y², usamos a regra  , em que x² é considerado como constante; para
derivar o termo y³, utilizamos a regra  . 
Portanto, as derivadas de primeira ordem da função f são   e  .
Exemplo 2: calcule as derivadas de segunda ordem da função  .
[k]′ = 0
[xn]′ = nxn−1
[ln(x)]′ = 1x
[cos(x)]′ = −sen(x)
[sen(x)]′ = cos(x)
[ex]′ = ex
[k ⋅ f(x)]′ = k ⋅ f ′(x)
[f(x) ± g(x)]′ = f ′(x) ± g′(x)
[f(x) ⋅ g(x)]′ = f ′(x) ⋅ g(x) + f(x) ⋅ g′(x)
[ f(x)
g(x) ]
′
=
f ′(x)⋅g(x)−f(x)⋅g′(x)
[g(x)]2
[f(g(x))]′ = f ′(g(x)) ⋅ g′(x)
x
y
f(x, y) = x3 + x2y2 + y3
fx = 3 ⋅ x3−1 + 2 ⋅ x2−1 ⋅ y2 + 0
fx = 3x2 + 2xy2
3 [xn]′ = nxn−1
[k ⋅ f(x)]′ = k ⋅ f ′(x)
fy = 0 + x2 ⋅ 2 ⋅ y2−1 + 3 ⋅ y2
fy = 2x2y + 3y2
[k ⋅ f(x)]′ = k ⋅ f ′(x)
[xn]′ = nxn−1
fx = 3x2 + 2xy2 fy = 2x2y + 3y2
g(x, y) = 3x2 + 2xy3 + y4 + 20
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Primeiro, temos que calcular as derivadas de primeira ordem dessa função. Assim, a derivada de g em relação
a x será dada por:
A derivada de g em relação a y será dada por:
Agora, derivaremos novamente, assim, a derivada de g em relação a x será dada por:
A derivada de g em relação a y será dada por:
A derivada de g em relação a será dada a y por:
A derivada de  g em relação a x será dada por:
Observe que as derivadas mistas g e g são iguais, isso acontece porque g  e g  são funções polinomiais e
essas funções são contínuas em toda parte. Segundo Anton et. al (2014) se uma função f de duas variáveis
tem as derivadas f e f contínuas em toda parte, então f  = f para quaisquer valor de x e y. 
Exemplo 3: considere  . Determine a inclinação da superfície z=h(x,y) na
direção de x no ponto (1,1) e a inclinação da superfície z=h(x,y) na direção de y no ponto (1,1).
Sabemos que a inclinação de uma superfície na direção de uma determinada coordenada é dada pela
derivada parcial da superfície. Assim, temos que a inclinação da superfície z=h(x,y) na direção de x no ponto
(1,1) será dada pela derivada parcial de em relação a x calculado no ponto (1,1).
g(x, y) = 3x2 + 2xy3 + y4 + 20
gx(x, y) = 3 ⋅ 2 ⋅ x2−1 + 2 ⋅ 1 ⋅ x1−1 ⋅ y3 + 0 + 0
gx(x, y) = 6x + 2y3
g(x, y) = 3x2 + 2xy3 + y4 + 20
gy(x, y) = 0 + 2 ⋅ x ⋅ 3 ⋅ y3−1 + 4 ⋅ y4−1 + 0
gy(x, y) = 6xy2 + 4y3
x
gx(x, y) = 6x + 2y3
gxx(x, y) = 6 ⋅ 1 ⋅ x1−1+ 0
gxx(x, y) = 6
x
gx(x, y) = 6x + 2y3
gxy(x, y) = 0 + 2 ⋅ 3 ⋅ y3−1
gxy(x, y) = 6y2
y
gy(x, y) = 6xy2 + 4y3
gyy(x, y) = 6 ⋅ x ⋅ 2 ⋅ y2−1 + 4 ⋅ 3 ⋅ y3−1
gyy(x, y) = 12xy + 12y2
y 
gy(x, y) = 6xy2 + 4y3
gyx(x, y) = 6 ⋅ 1 ⋅ x1−1 ⋅ y2 + 0
gyx(x, y) = 6y2
xy yx  xy yx
xy yx xy yx
h(x, y) = −x2 − y2 − xy + 5
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Esse resultado signi�ca que z está decrescendo a uma taxa de três unidades a cada unidade de x.
Analogamente, temos que a inclinação da superfície z=h(x,z) na direção de y no ponto (1,1) será dada por:
Esse resultado signi�ca que está decrescendo a uma taxa de três unidades a cada unidade de y. 
Com esses exemplos, encerramos a segunda parte da nossa aula. Bons estudos! 
APLICAÇÕES DE DERIVADAS PARCIAIS
Chegamos à última parte de nossa aula. Agora, utilizaremos os conceitos vistos anteriormente para analisar e
interpretar uma situação prática. Para isso, suponha que esteja sendo realizado um experimento para avaliar
a variação do volume de objetos com diferentes formatos. Sabe-se que para um desses objetos o volume
pode ser dado pela função 
em que  é o diâmetro da base e y é a altura inclinada desse objeto. 
A partir dessas informações, pede-se que:
a)  Determine a taxa de variação instantânea de V em relação a x se y permanecer constante.
b)  Determine a taxa de variação instantânea de V em relação a y se x permanecer constante.
c)  Determine a taxa de variação de V em relação a x quando x=16cm e y seja um valor constante de 10cm.
d)  Determine a taxa de variação V de em relação a y quando y=10cm e seja um valor constante de 16cm.
Antes de iniciarmos a solução, perceba que, nos itens, pede-se para calcular a taxa de variação ou a taxa de
variação instantânea, mas o que isso quer dizer? Nós já estudamos que uma interpretação das derivadas
parciais é a de taxa de variação, assim, nos quatro itens, teremos que encontrar as derivadas parciais da
função V dada. Observe que a função   é uma função composta, assim precisaremos
utilizar a regra da cadeia, que é dada por  . Para derivarmos essa função, é
preciso que a reescrevamos utilizando a propriedade  , assim nossa função será reescrita como
h(x, y) = −x2 − y2 − xy + 5
hx(x, y) = −2 ⋅ x2−1 − 0 − 1 ⋅ x1−1 ⋅ y + 0
hx(x, y) = −2x − y
hx(1,1) = −2 ⋅ 1 − 1
hx(1,1) = −3
h(x, y) = −x2 − y2 − xy + 5
hy(x, y) = 0 − 2 ⋅ y2−1 − x ⋅ 1 ⋅ y1−1 + 0
hy(x, y) = −2y − x
hy(1,1) = −2 ⋅ 1 − 1
hy(1,1) = −3
V = π24 x
2√4y2 − x2
V = π24 x
2√4y2 − x2
[f(g(x))]′ = f ′(g(x)) ⋅ g′(x)
n√xm = x
m
n
V = π24 x
2√4y2 − x2
V = π24 x
2(4y2 − x2)
1
2
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a)  Nesse item, pede-se que seja determinada a taxa de variação instantânea de V em relação a x se y
permanecer constante, isto é, que calculemos a derivada parcial de V em relação a x. Ao avaliarmos a função
V, podemos perceber que, além de existir uma função composta, há uma multiplicação de duas funções 
e  , portanto, além da regra da cadeia, teremos que utilizar a regra do produto, 
. Aplicando as regras, temos 
Logo, a taxa de variação instantânea de V em relação a x será dada por 
.
b)  Pede-se que seja determinada a taxa de variação instantânea de V em relação a y se x permanecer
constante, isto é, que calculemos a derivada parcial de V em relação a y. Nesse caso, não precisaremos utilizar
a regra do produto, pois estamos avaliando a função V, considerando que  será um valor constante, assim, 
 será tratado como constante. Logo, será dada por:
Logo, a taxa de variação instantânea de V em relação a y será dada por  .
c)  Nesse item, pede-se que determinemos a taxa de variação de V em relação a x quando x=16cm e y seja um
valor constante de 10cm, isto é, V (16,10). Para tal, precisamos substituir os valores 16 e 10 na derivada V : 
π
24 x
2
(4y2 − x2)
1
2
[f(x) ⋅ g(x)]′ = f ′(x) ⋅ g(x) + f(x) ⋅ g′(x)
V = π24 x
2 ⋅ (4y2 − x2)
1
2
Vx = ( π24 x
2)′ ⋅ (4y2 − x2)
1
2 + π24 x
2 ⋅ ((4y2 − x2)
1
2)
′
Vx = ( π24 ⋅ 2x) ⋅ (4y
2 − x2)
1
2 + π24 x
2 ⋅ ( 12 (4y
2 − x2)
1
2 −1 ⋅ (0 − 2x))
Vx =
π
12 ⋅ x ⋅ (4y
2 − x2)
1
2 + π24 x
2 ⋅ (−x(4y2 − x2)−
1
2)
Vx =
π
12 ⋅ x ⋅ (4y
2 − x2)
1
2 + π24 x
2 ⋅ ( −x
(4y2−x2)
1
2
)
Vx =
π
12 ⋅ x ⋅ √4y2 − x2 −
π
24 ⋅ (
x3
√4y2−x2
)
Vx =
π
12 ⋅ x ⋅ √4y2 − x2 −
π
24 ⋅ (
x3
√4y2−x2
)
π
24 x
2
V = π24 x
2 ⋅ (4y2 − x2)
1
2
Vy =
π
24 x
2 ⋅ ((4y2 − x2)
1
2)
′
Vy =
π
24 x
2 ⋅ ( 12 (4y2 − x2)
1
2
−1
⋅ (8y − 0))
Vy =
π
24 x
2 ⋅ (4y(4y2 − x2)−
1
2)
Vy =
π
24 x
2 ⋅ ( 4y
(4y2−x2)
1
2
)
Vy =
π
24 ⋅ (
4x2y
√4y2−x2
)
Vy =
π
6 ⋅ (
x2y
√4y2−x2
)
Vy =
π
6 ⋅ (
x2y
√4y2−x2
)
x x
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d)  Por �m, pede-se para determinar a taxa de variação de V em relação à y  quando y=10cm e x seja um valor
constante de x=16, isto é, V (16,10). Para tal, precisamos substituir os valores 16 e 10 na derivada V : 
Com esse exemplo, encerramos nossa aula sobre derivadas parciais. Espero que tenha gostado. Até nossa
próxima aula!
VÍDEO RESUMO
Nesta videoaula, exploraremos o conceito de derivadas parciais de funções de duas variáveis reais. Para isso,
iniciaremos nossa aula com a de�nição de derivada parcial, discorreremos sobre sua intepretação e
apresentaremos as notações que podem ser utilizadas. Ao �nal, resolveremos exemplos sobre o cálculo das
derivadas parciais de primeira e segunda ordem.
 Saiba mais
O conceito de derivadas parciais será importante para você no estudo de outras disciplinas do seu curso,
assim, é fundamental que você domine todas as regras de derivação e entenda o signi�cado de uma
derivada parcial. Para isso, sugiro que coloque em prática o que aprendeu nessa aula e resolva exercícios
que envolvam o cálculo de derivadas parciais de primeira e segunda ordem. Tenho uma ótima sugestão:
leia o volume 2 do livro Cálculo, de James Stewart, disponível na sua biblioteca virtual, em Minha
Biblioteca. A Seção 14.3 dessa obra é dedicada às derivadas parciais e, ao �nal, há uma série de
exercícios, selecione alguns deles e faça-os. E uma dica: resolva os exercícios ímpares, pois, ao �nal do
livro, existem as respostas, assim você pode conferir se acertou nos cálculos!
Vx =
π
12 ⋅ x ⋅ √4y2 − x2 −
π
24 ⋅ (
x3
√4y2−x2
)
Vx(16,10) = π12 ⋅ 16 ⋅ √4(10)
2 − (16)2 − π24 ⋅ (
(16)3
√4(10)2−(16)2
)
Vx(16,10) = 16π12 ⋅ √400 − 256 −
π⋅4096
24⋅√400−256
Vx(16,10) = 16π12 ⋅ 12 −
4096π
24⋅12
Vx(16,10) = 16π − 4096π288
Vx(16,10) = 4608π288 −
4096π
288
Vx(16,10) = 512π288 =
16
9 π
y y
Vy =
π
6 ⋅ (
x2y
√4y2−x2
)
Vy(16,10) = π6 ⋅ (
(16)2⋅10
√4(10)2−(16)2
)
Vy(16,10) = π6 ⋅ (
256⋅10
√400−256
)
Vy(16,10) = π6 ⋅
2560
12
Vy(16,10) = 2560π72 =
320
9 π
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INTRODUÇÃO
Olá, estudante! Espero que esteja bem! Na aula anterior, estudamos as derivadas parciais em relação à
variável x e em relação à variável y, isto é, em direção aos eixos x e y. A derivada parcial em relação a x nos
fornece a inclinação da reta tangente à superfície f(x,y) e paralela ao plano xz, e a derivada em relação a y nos
fornece a inclinação da reta tangente à superfície  e paralela ao plano yz. Mas, será que é possívelcalcular a
taxa de variação de uma função em qualquer direção? Nessa aula, estudaremos que é possível realizar esse
cálculo. Portanto, ao �nal, esperamos que você seja capaz de resolver problemas que envolvem o cálculo da
taxa de variação de uma função de duas variáveis em uma determinada direção, isto é, o cálculo da derivada
direcional de uma função de duas variáveis.
Lembre-se de que estudar cálculo diferencial e integral requer a prática de exercícios e uma rotina de
estudos! 
DERIVADAS DIRECIONAIS
Você já estudou que as derivadas parciais de uma função nos fornecem taxas de variação dessa função na
direção dos eixos coordenados. E se quiséssemos calcular taxas de variação de uma função em relação a
qualquer direção? Para isso, precisaremos do conceito de derivada direcional. Considere f(x,y) uma função de
duas variáveis, cujo domínio  ; além disso, considere um ponto (x ,y ) pertencente a esse domínio. Se
temos um vetor unitário  , então a derivada direcional de f em (x ,y ) na direção do vetor  será dada
por 
se o limite existir. 
Analisaremos a derivada direcional para dois casos, quando o vetor é dado por  e  . Para o primeiro
vetor, temos a seguinte derivada direcional: 
D ⊂ R2 0 0
→
u = (a, b) 0 0
Duf(x0, y0) = lim
h→0
f(x0+ha,y0+hb)−f(x0,y0)
h
→
u = (1,0)
Duf(x0, y0) = lim
h→0
f(x0+h⋅1,y0+h⋅0)−f(x0,y0)
h = limh→0
f(x0+h,y0)−f(x0,y0)
h
Aula 4
DERIVADA DIRECIONAL
Neste momento, nosso foco será trabalhar com regiões que fogem das coordenadas cartesianas, isto é,
vamos trabalhar com as tão famosas coordenadas polares
33 minutos
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Observe que essa derivada direcional é exatamente a derivada parcial da função em relação a x. Logo,
quando  , temos que . Analogamente, quando  , temos 
, isto é,  . 
Nesse sentido, podemos dizer que as derivadas parciais da função f em relação a x e y são casos especiais das
derivadas direcionais.
Se uma função f é diferenciável em um ponto, então as derivadas direcionais dessa função existem em
qualquer direção e sentido nesse ponto, podendo ser calculadas em termos de derivadas parciais de primeira
ordem da função. Logo, temos que, se f(x,y) possui derivada em (x ,y ) e se  é um vetor unitário,
então a derivada direcional  será dada por
Lembre-se de que para o cálculo da derivada direcional o vetor deve ser unitário, o que signi�ca que seu
módulo deve ser igual a 1, ou seja,  . Caso o vetor não seja unitário, basta fazermos  .
Além dessa forma, um vetor unitário  no plano xy pode ser expresso como  , em
que  é o ângulo do eixo x positivo para  . Considerando essa nova forma de escrever um vetor unitário,
outra forma de expressar a derivada direcional de uma função em  na direção do vetor  é:
Agora que já vimos as formas de calcular uma derivada direcional, focaremos em como podemos interpretá-la
geometricamente e analiticamente.
Geometricamente, podemos interpretar a derivada direcional como sendo a inclinação da superfície 
 na direção de  no ponto  , conforme ilustra a Figura 1.
Figura 1 | Interpretação geométrica da derivada direcional
Fonte: Anton et al. (2014, p. 960).
→
u = (1,0) Duf(x0, y0) = fx
→
u = (0,1)
Duf(x0, y0) = lim
h→0
f(x0+h⋅0,y0+h⋅1)−f(x0,y0)
h = limh→0
f(x0,y0+h)−f(x0,y0)
h
Duf(x0, y0) = fy
0 0
→
u = (a, b)
Duf(x0, y0) = fx(x0, y0) ⋅ a + fy(x0, y0) ⋅ b
→
u = √a2 + b2 = 1∣ ∣ →u→u∣ ∣→u →u = cos (θ)i + sen (θ)jθ →u (x0, y0) →uDuf(x0, y0) = fx(x0, y0) ⋅ cos (θ) + fy(x0, y0) ⋅ sen (θ)z = f(x, y) →u (x0, y0, f(x0, y0))
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Podemos perceber que o valor da derivada direcional  depende tanto do ponto  quanto
da direção do vetor  , assim, se �xarmos um ponto nessa superfície, a sua inclinação variará de acordo com a
direção e o sentido  , conforme ilustra a Figura 2.
Figura 2 | Inclinação da superfície quando �xamos um ponto
Fonte: Anton et al. (2014, p. 961).
Segundo Anton et al. (2014), a interpretação analítica da derivada direcional é de uma taxa de variação
instantânea de  em relação à distância na direção e no sentido de  no ponto  . 
Com base nessas de�nições, nosso foco daqui para frente é o cálculo das derivadas direcionais por meio da
resolução de diferentes exemplos.
CÁLCULO DAS DERIVADAS DIRECIONAIS
Anteriormente, vimos que as derivadas direcionais podem ser interpretadas como taxas de variação de uma
função em direção a um determinado vetor unitário, podendo ser calculada pela fórmula 
. Agora, chegou o momento de explorarmos alguns exemplos de
como realizar o cálculo das derivadas direcionais.
Exemplo 1: seja a função  e o ponto (3,4). Calcule a derivada direcional dessa função no ponto
dado na direção do vetor  .
Para encontrar a derivada direcional, precisamos, primeiro, determinar as derivadas parciais de primeira
ordem da função no ponto dado. Assim, a derivada em relação a x no ponto (3,4):
A derivada da função em relação a y no ponto (3,4) será dada por:
Duf(x0, y0) (x0, y0)
→
u
→
u
z = f(x, y)
→
u (x0, y0)
Duf(x0, y0) = fx(x0, y0) ⋅ a + fy(x0, y0) ⋅ b
f(x, y) = 3x2y
→
u = ( √32 ,
1
2 )
fx(x, y) = 3 ⋅ 2 ⋅ xy
fx(x, y) = 6xy
fx(3,4) = 6 ⋅ 3 ⋅ 4 = 72
fy(x, y) = 3x2 ⋅ 1
fy(x, y) = 3x2
fy(3,4) = 3 ⋅ (3)2 = 27
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O segundo passo é veri�car se o módulo do vetor  é 1:
Como o módulo do vetor é 1, podemos calcular a derivada direcional:
Logo, a taxa de variação da função f no ponto (3,4) na direção do vetor  é de,
aproximadamente, 75,9.
Exemplo 2: seja a função  e o ponto  . Calcule a derivada direcional da função f no
ponto dado na direção do vetor  .
Para encontrar a derivada direcional, precisamos, primeiro, determinar as derivadas parciais de primeira
ordem da função no ponto dado. Assim, a derivada em relação a x no ponto :
O segundo passo é veri�car se o módulo do vetor  é 1: 
Perceba que o módulo do vetor dado não é 1, assim, antes de calcular a derivada direcional, temos que
escrever esse vetor em sua forma unitária, para isso, devemos escrever o vetor na forma  :
Agora, podemos calcular a derivada direcional:
Logo, a taxa de variação da função f no ponto  na direção do vetor  é de,
aproximadamente, 0,92.
Exemplo 3: seja a função  . Calcule a derivada direcional no ponto (0,4) e na direção indicada
pelo ângulo  .
Primeiro, calcularemos as derivadas parciais de primeira ordem da função f:
→
u
→
u = √( √32 )
2
+ ( 12 )
2
→
u = √ 34 +
1
4 = √
4
4 = 1∣ ∣∣ ∣Duf(x0, y0) = fx(x0, y0) ⋅ a + fy(x0, y0) ⋅ bDuf(3,4) = 72 ⋅ √32 + 27 ⋅ 12Duf(3,4) = 36√3 + 272 ≅75,9 →u = ( √32 , 12 )f(x, y) = ex cos(y) (0, π4 )→u = 5i − 2j (0, π4 )fx(x, y) = ex cos(y)fx (0, π4 ) = e0 cos ( π4 ) = 1 ⋅ √22 = √22→u→u = √(5)2 + (−2)2→u = √25 + 4 = √29∣ ∣∣ ∣ →u→u∣ ∣→u = 5√29 i − 2√29 j→u = 5√2929 i − 2√2929 jDuf(x0, y0) = fx(x0, y0) ⋅ a + fy(x0, y0) ⋅ bDuf (0, π4 ) = √22 ⋅ 5√2929 + (− √22 ) ⋅ − 2√2929Duf (0, π4 ) = 5√5858 + 2√5858 = 7√5858 ≅0,92(0, π4 ) →u = 5i − 2jf(x, y) = ye−xθ = 2π3
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O próximo passo é calcularmos as derivadas no ponto dado:
O problema informou que a derivada deve ser calculada na direção indicada pelo ângulo  . Assim,
temos que o vetor será dado por:
Logo, a derivada direcionalserá dada por:
Assim, a taxa de variação da função f no ponto (0,4) na direção indicada pelo ângulo  , isto é, o vetor 
 é de, aproximadamente, 2,87.
Nesses exemplos, vimos como calcular a derivada direcional para funções de duas variáveis reais. Será que é
possível calcular a derivada direcional de uma função com três variáveis reais? Sim, é possível, e o seu cálculo
é feito de maneira análoga ao feito para funções de duas variáveis. Seja  uma função diferenciável
em  e o vetor unitário  , a derivada direcional   será dada por
Por exemplo, seja a função  , determinaremos a taxa de variação dessa função
no ponto (1,2,3) na direção do vetor  . 
Primeiro, temos que encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função:
O próximo passo é calcularmos as derivadas no ponto dado:
f(x, y) = ye−x
fx(x, y) = y ⋅ −1 ⋅ e−x = −ye−x
fy(x, y) = 1 ⋅ e
−x = e−x
fx(x, y) = −ye−x
fx(0,4) = −4e0 = −4
fy(x, y) = e−x
fy(0,4) = e0 = 1
θ = 2π3
→
u = cos ( 2π3 )i + sen (
2π
3 )j
→
u = − 12 i +
√3
2 j
Duf(x0, y0) = fx(x0, y0) ⋅ a + fy(x0, y0) ⋅ b
Duf (0,4) = −4 ⋅ −
1
2 + 1 ⋅
√3
2
Duf (0,4) =
4
2 +
√3
2 = 2 +
√3
2 ≅2,87
θ = 2π3
→
u = − 12 i +
√3
2 j
f(x, y, z)
(x0, y0, z0)
→
u = (a, b, c) Duf(x0, y0, z0)
Duf(x0, y0, z0) = fx(x0, y0, z0) ⋅ a + fy(x0, y0, z0) ⋅ b + fz(x0, y0, z0) ⋅ c
f(x, y, z) = 5x2 − 3xy + xyz
→
u = (0, 12 ,
√3
2 )
f(x, y, z) = 5x2 − 3xy + xyz
fx(x, y, z) = 5 ⋅ 2 ⋅ x − 3 ⋅ 1 ⋅ y + 1 ⋅ yz = 10x − 3y + yz
fy(x, y, z) = 0 − 3 ⋅ x ⋅ 1 + x ⋅ 1 ⋅ z = −3x + xz
fz(x, y, z) = 0 − 0 + x ⋅ y ⋅ 1 = xy
fx(x, y, z) = 10x − 3y + yz
fx(1,2,3) = 10 ⋅ 1 − 3 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 = 10
fy(x, y, z) = −3x + xz
fy(1,2,3) = −3 ⋅ 1 + 1 ⋅ 3 = 0
fz(x, y, z) = xy
fz(1,2,3) = 1 ⋅ 2 = 2
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O vetor informado possui módulo igual a 1, assim a derivada direcional será dada por:
Com esses exemplos, encerramos a segunda parte da nossa aula!
APLICAÇÕES DAS DERIVADAS DIRECIONAIS
Chegamos à última parte de nossa aula. Agora, utilizaremos os conceitos vistos anteriormente para analisar e
interpretar uma situação prática. Suponha que, em uma determinada região do espaço, a temperatura do ar
seja dada pela função:
Considerando que um avião está, nesta região, localizado no ponto (-1,2) e que o piloto deseja resfriar o motor
da aeronave o mais rapidamente possível, em que direção deve voar?
Nesse problema, devemos identi�car para qual direção o avião deve voar para que seu motor resfrie o mais
rápido possível. Sabemos que as derivadas direcionais nos fornecem a taxa de variação de uma função em um
determinado ponto na direção de um vetor, assim, para resolver esse problema, será necessário investigar
algumas características da derivada direcional.
A derivada direcional da função T, que caracteriza a temperatura do ar no ambiente em que o avião se
encontra, indica a taxa de variação da temperatura no espaço, de acordo com a direção considerada.
Sabemos que a derivada direcional é dada por  . Porém,
podemos reescrever a derivada direcional como  , ou
seja, a derivada direcional será dada pelo produto escalar entre os vetores  e  , sendo  , denominado de
vetor gradiente, cujas coordenadas são dadas pelas derivadas parciais de primeira ordem da função. Temos
que o produto escalar entre dois vetores  e  pode ser calculado da seguinte maneira 
, em que  é o ângulo formado entre  e  . Sabemos que  e, ainda, que o 
 varia entre -1 e 1, isto é,  . Admitindo que  e  são não nulos, o termo  será
o responsável pelo sinal assumido pelo produto escalar, pois os módulos dos vetores são sempre positivos. 
Sabemos que o valor máximo atingido pelo  é 1 quando , então a derivada direcional assume o
valor máximo quando  e   são vetores de mesmo sentido. De modo análogo, a derivada direcional assume o
valor mínimo quando  e  são vetores de sentidos opostos, ou no caso em que  .
Em nosso problema, o piloto deseja resfriar o motor deste avião o mais rápido possível, então ele deverá voar
em uma direção oposta ao vetor gradiente, isto é, o vetor  . Logo, devemos considerar que  será dada por 
. Para determinarmos esse vetor, temos que encontrar as derivadas parciais da função 
 . Assim, temos:
Duf(x0, y0, z0) = fx(x0, y0, z0) ⋅ a + fy(x0, y0, z0) ⋅ b + fz(x0, y0, z0) ⋅ c
Duf(1,2,3) = 10 ⋅ 0 + 0 ⋅ 12 + 2 ⋅
√3
2
Duf(1,2,3) = 0 + 0 + 2√32 = √3 ≅1,73
T(x, y) = xy2 + x2y + x2y3
Duf(x0, y0) = fx(x0, y0) ⋅ a + fy(x0, y0) ⋅ b
Duf(x0, y0) = (fx(x0, y0), fy(x0, y0)) ⋅ (a, b) =
→
v ⋅
→
u
→
v
→
u
→
v
→
v
→
u
→
u ⋅
→
v =
→
u ⋅
→
v cos (θ)∣ ∣ ∣ ∣ θ →v →u →u , →v ≥ 0∣ ∣ ∣ ∣cos (θ) −1 ≤ cos (θ) ≤ 1 →u →v cos (θ)cos (θ) θ = 0→u →v θ = π→v →v→v = − (Tx, Ty)T(x, y) = xy2 + x2y + x2y3
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Como o avião está localizado no ponto (-1,2), teremos:
Portanto, para resfriar o motor o mais rápido possível, o avião deve voar na direção do vetor 
.
A partir desse estudo podemos calcular a derivada direcional no ponto (-1,2) na direção indicada pelo ângulo 
, visto que é para esse ângulo que a derivada direcional assume o seu valor mínimo. Logo, o vetor 
será dado por
Considerando o vetor gradiente  e o vetor  , a derivada direcional será dada por 
. Observe, então, que a taxa de variação da temperatura no ponto
(-1,2) na direção do vetor  será de  -16 graus.
Com esse exemplo, encerramos nossa aula sobre derivadas direcionais. Espero que tenha gostado. Bons
estudos! 
VÍDEO RESUMO
Nesta videoaula, exploraremos o conceito de derivadas direcionais, isto é, analisaremos a taxa de variação de
uma função em um determinado ponto em direção de um vetor unitário. Para isso, iniciaremos com a
de�nição de derivada direcional e discorreremos sobre sua intepretação. Ao �nal, resolveremos exemplos
sobre o cálculo das derivadas direcionais.
 Saiba mais
O conceito de derivadas direcionais será importante para o estudo de outras disciplinas do seu curso,
assim, é fundamental que você entenda o seu signi�cado e saiba calculá-la. Para isso, sugiro que coloque
em prática o que aprendeu nessa aula e resolva exercícios que envolvam o cálculo de derivadas
direcionais, tanto para funções de duas variáveis reais quanto para funções de três variáveis reais. Tenho
uma ótima sugestão: leia o volume 2 do livro Cálculo, de Howard Anton et al., disponível na sua biblioteca
T(x, y) = xy2 + x2y + x2y3
Tx(x, y) = y2 + 2 ⋅ x ⋅ y + 2 ⋅ x ⋅ y3 = y2 + 2xy + 2xy3
Ty(x, y) = x ⋅ 2 ⋅ y + x2 ⋅ 1 + x2 ⋅ 3 ⋅ y2 = 2xy + x2 + 3x2y2
Tx(−1,2) = (2)2 + 2 (−1) (2) + 2 (−1)(2)3 = 4 − 4 − 16 = −16
Ty(−1,2) = 2 (−1) (2) + (−1)2 + 3(−1)2(2)2 = −4 + 1 + 12 = 9
→
v = − (−16,9) = (16, − 9)
θ = π
→
u
→
u = cos (π)i + sen (π)j
→
u = −i
→
v = (16, − 9)
→
u = (−1,0)
Duf(−1,2) = (16, − 9) ⋅ (−1,0) = −16
→
u = (−1,0)
05/02/2024, 15:48 wlldd_231_u3_cal_dif_int_II
https://www.colaboraread.com.br/integracaoAlgetec/index?usuarioEmail=romulob.aguilar%40gmail.com&usuarioNome=RÔMULO+BERNARDINO+DE+AGUILAR&disciplinaDescricao=&atividadeId=3930394&ativi… 31/31
Imagem de capa: Storyset e ShutterStock.
virtual em Minha Biblioteca. A Seção 13.6 dessa obra é dedicada às derivadas direcionais e, ao �nal, há
uma série de exercícios. Selecione alguns deles e faça-os! E uma dica: resolva os exercícios ímpares, pois,
no �nal do livro, existem as respostas, assim você pode conferir se acertou os cálculos.
Aula 1
STEWART, J. Cálculo. v. 1. São Paulo, SP: Cengage Learning, 2013a.
STEWART, J. Cálculo. v. 2. São Paulo, SP: Cengage Learning, 2013b.
Aula 2
STEWART, J. Cálculo. v. 2. São Paulo, SP: Cengage Learning, 2013.
Aula 3
ANTON, H. et al. Cálculo. v. 2. Porto Alegre,RS: Bookman, 2014.
STEWART, J. Cálculo. v. 2. São Paulo, SP: Cengage Learning, 2013.
STEWART, J. Cálculo. v. 2. São Paulo, SP: Cengage Learning, 2016. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788522126866/pageid/0. Acesso em: 24 jan. 2023.
Aula 4
ANTON, H. et al. Cálculo. v. 2. Porto Alegre, RS: Bookman, 2014.
STEWART, J. Cálculo. v. 2. São Paulo, SP: Cengage Learning, 2013.
REFERÊNCIAS
3 minutos
https://storyset.com/
https://www.shutterstock.com/pt/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788582602461/pageid/419
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788522126866/pageid/0