CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL A VÁRIAS VARIÁVEIS - nota 90

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Questão 1/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
Analise o seguinte problema: 
 
Uma fábrica produz três produtos em quantidades diferentes. Cada produto é representado por 
x1,x2�1,�2 e x3�3, respectivamente, e a função do custo de fabricação desses três produtos 
é representada por 
C(x1,x2,x3)=100+2x1+2x2+3x3�(�1,�2,�3)=100+2�1+2�2+3�3. Supondo que 
a empresa fabrica 3 unidades do primeiro produto, x1�1, uma unidade do segundo produto, 
x2�2, e quatro unidades do terceiro produto, x3.�3.. 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, 
A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: 
InterSaberes, 2016, p. 75-76. 
 
Com base nos conteúdos estudados no RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo 
diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016, a alternativa que indica o 
valor correto para o custo de fabricação destes três produtos é dado por: 
Nota: 10.0 
 A 120 
Você assinalou essa alternativa (A) 
Você acertou! 
C (3, 1, 4) = 100 + 2.3 + 2.1 + 3.4 = 100+6+2+12 = 120 
(Conteúdo livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial 
e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016.) 
 B 150 
 C 180 
 D 200 
 E 220 
 
Questão 2/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
Leia o texto: 
 
As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. As 
aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de uma 
determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o cálculo de 
grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco e também o cálculo de volume de sólidos. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
 
 
De acordo com os conteúdos estudados no livro-base Cálculo diferencial e integral a várias 
variáveis, encontre o comprimento do arco da curva dada por y=3x+5�=3�+5 no intervalo 
fechado [0,2][0,2] e marque a alternativa correta: 
 
 
 
Nota: 10.0 
 A 2√10u.c.210�.�. 
Você assinalou essa alternativa (A) 
Você acertou! 
A=∫ba√1+[f′(x)]2dx=∫20√1+32dx=∫20√10dx=2√10u.c.�=∫��1+[�′(�)]2��=∫021
+32��=∫0210��=210�.�. 
 
livro-base: p. 21-24 
 B 3√5u.c.35�.�. 
 C 4√5u.c.45�.�. 
 
 D 5√5u.c.55�.�. 
 E 6√10u.c.610�.�. 
 
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
Leia o texto: 
 
O processo de integração determinado para uma única variável pode ser generalizado para 
múltiplas variáveis, gerando as técnicas de integração para integral dupla, integral tripla, integral 
vetorial e tantas outras técnicas. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor. 
 
Considerando o texto acima e os conteúdos do livro-base Cálculo Diferencial e Integral a 
várias variáveis, calcule o valor da integral de linha 
I=∫Cyzdx+xzdy+xydz�=∫�����+����+���� dadas as equações 
paramétricas ⎧⎨⎩x=2ty=t+1z=4t+2{�=2��=�+1�=4�+2com 0≤t≤10≤�≤1 e assinale 
a alternativa que corresponde a esse valor. 
 
 
Nota: 10.0 
 A -12 
 B 24 
Você assinalou essa alternativa (B) 
Você acertou! 
Solução: 
 
Fazendo as substituições 
x=2t,dx=2dt;y=t+1,dy=dt;z=4t+2,dz=4dt�=2�,��=2��;�=�+1,��=��;�
=4�+2,��=4�� na integral de linha, temos 
 
I=∫C[(t+1)(4t+2)2dt+2t(4t+2)dt+2t(t+1)4dt]I=∫C[2(4t2+2t+4t+2)+(8t2+4t)+4(2t2+2t)]dtI=∫C(8t2+12t+4+8t2+4t+8t2+8t)dtI=∫C(24t2+24t+4)dt
=(8t3+12t2+4t)∣∣∣10=8+12+4=24.�=∫�[(�+1)(4�+2)2��+2�(4�+2)��+2�(�+1)4�
�]�=∫�[2(4�2+2�+4�+2)+(8�2+4�)+4(2�2+2�)]���=∫�(8�2+12
�+4+8�2+4�+8�2+8�)���=∫�(24�2+24�+4)��=(8�3+12�2+4�)
|01=8+12+4=24. 
 
 
Fonte: livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e 
integral de várias variáveis. Curitiba: Intersaberes, 2016. p.153 a p.155 
 
 C 15 
 D -20 
 E 30 
 
Questão 4/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
Considere a região R� delimitada pela reta y=x+2�=�+2 e pela parábola y=x2�=�2, 
conforme a figura abaixo: 
 
 
 
O valor da área de R� é 
 
 
 
Nota: 10.0 
 A 52u.a.52�.�. 
 B 132u.a.132�.�. 
 C 29u.a.29�.�. 
 D 92u.a.92�.�. 
Você assinalou essa alternativa (D) 
Você acertou! 
A área da região R� pode ser obtida a partir da integral dupla: ∬R1dA.∬�1��. 
 
Inicialmente, observamos que R={(x,y)∈R2; −1≤x≤2 e x2≤y≤x+2}.�={(�,�)∈�2; 
−1≤�≤2 e �2≤�≤�+2}. Assim, 
A=∫2−1∫x+2x21dydx=∫2−1(x+2−x2)dx=[x22+2x−x33]2−1=(2+4−83)−(12−2+13)=92u.a.�=∫−12∫�2�+21����=∫
−12(�+2−�2)��=[�22+2�−�33]−12=(2+4−83)−(12−2+13)=92�.�. 
 
 E 72u.a.72�.�. 
 
Questão 5/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
Leia o trecho a seguir: 
A função da derivada parcial em relação a um valor xi�� é a derivada de f em relação a xi�� 
uma vez que admitamos todas as outras variáveis como constantes. 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, 
A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: 
InterSaberes, 2016, p. 80. 
 
Considere a função: f(x,y,z) = 3x + 5y -6z. De acordo com os conteúdos da Aula 3 - Tema: 
Derivadas parciais, ao calcular as derivadas parciais da função acima, obtemos: 
Nota: 10.0 
 A fx = 3; fy = 5; fz = -6 
Você assinalou essa alternativa (A) 
Você acertou! 
Calculamos a derivada separadamente em relação a cada variável. 
De acordo com a vídeo aula: 
Observar cada termo separadamente Aplicar as regras de derivação para a variável 
de análise As demais variáveis são consideradas constantes 
 
(Vídeo aula 3). 
 B fx = -3; fy = -5; fz = -6 
 C fx = 5; fy = 3; fz = 6 
 D fx = 6; fy = 5; fz = -3 
 E fx = -6; fy = 5; fz = 3 
 
Questão 6/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
Leia o texto: 
 
As técnicas de integração podem ser utilizadas para uma ampla gama de aplicações. As 
aplicações mais conhecidas são aquelas referentes ao cálculo da área abaixo de uma 
determinada curva. Entretanto, a extensão dessa operação envolve também o cálculo de 
grandezas físicas, o cálculo do comprimento de arco e também o cálculo de volume de sólidos. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor. 
 
Observe o limaçon abaixo: 
 
 
Fonte: Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: Intersaberes, 2016. 
Considerando o limaçon e os conteúdos estudados no livro-base Cálculo diferencial e integral 
a várias variáveis, assinale a alternativa que apresenta corretamente a área da região cinza do 
limaçon r=1+2senθ�=1+2sen�. 
Nota: 10.0 
 A 4+32πu.a.4+32��.�. 
Você assinalou essa alternativa (A) 
Você acertou! 
Solução: 
 
A=12∫π0[f(θ)]2dθ=12∫π0[1+2senθ]2dθA=12∫π0(1+4senθ+4sen2θ)dθA=12∫π0[1+4senθ+4(12−12cos2θ)]dθA=12∫π0(3+4senθ−2cos2θ)dθ
=12(3θ−4cosθ−sen2θ)∣∣∣π0A=12[3π−4(cosπ−cos0)−0]=12(3π+8)=32π+4u.a.�=12∫0�[�(�)]2��=12∫0�[
1+2sen�]2���=12∫0�(1+4sen�+4sen2�)���=12∫0�[1+4sen�+4(12−
12cos2�)]���=12∫0�(3+4sen�−2cos2�)��=12(3�−4cos�−sen2�)|0�
�=12[3�−4(cos�−cos0)−0]=12(3�+8)=32�+4�.�. 
 
livro-base: p. 33-36 
 
 B 3+12πu.a.3+12��.�. 
 C 2+52πu.a.2+52��.�. 
 
 D 1+72πu.a.1+72��.�. 
 
 E 3+52πu.a.3+52��.�. 
 
Questão 7/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, qual a lei de 
formação da sequência dos números ímpares (n), sendo que n é um número natural diferente de 
zero? 
 
 
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão 
 A an = 2n 
Você assinalou essa alternativa (A) 
 B an = 2n + 1 
 C an = n + 1 
 D an = 2n – 1 
A sequência dos números ímpares é 1, 3, 5, 7, 9, .... 
Como n começa em 1, pelo enunciado, para a alternativa a) teremos 2.1 = 2 (o 
primeiro número ímpar é 1); para a alternativa b) teremos 2.1+ 1 = 3; para a 
alternativa c) teremos 1 + 1 = 2; na alternativa e) teremos 1-1 = 0. 
Já para a alternativa d), a correta, temos: 2.1 – 1 = 1. Continuando a sequência, 2.2 
– 1 = 3 e assim, sucessivamente. Desta forma, obtemos a sequência dos números 
ímpares. 
livro-base p. 101-102 
 E an = n - 1 
 
Questão 8/10 - Cálculo Diferencial e Integral a VáriasVariáveis 
Leia o texto a seguir: 
 
A integração definida permite, além de calcular o valor total de grandezas físicas, calcular a área 
de uma região específica definida por um determinado conjunto de curvas. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão. 
 
Considerando o texto e os conteúdos do livro-base Cálculo diferencial e integral a várias 
variáveis, o valor da área de uma superfície cônica gerada pela revolução do segmento de reta 
dado pela equação y=4x�=4�, no intervalo fechado [0,2][0,2], em torno do eixo das 
abscissas é dada por: 
 
 
 
Nota: 10.0 
 A 16π� 
 
 B 16π�√1717 u.a. 
Você assinalou essa alternativa (B) 
Você acertou! 
 
 
 
(Conteúdo livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial 
e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 2016.) 
 C √1717 u.a. 
 D √17π17� u.a. 
 E 2√17217 u.a. 
 
Questão 9/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
Leia o texto: 
Dadas as equações paramétricas das elipses: Elipse 1:{x=2costy=4sent e Elipse 
2:{x=2costy=sent,Elipse 1:{�=2cos��=4sen� e Elipse 2:{�=2cos��=sen�, 
seguem os gráficos no plano xy: 
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: InterSaberes, 
2016, p. 25-30. 
 
 
 
 
De acordo com o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis e a figura, a 
área em cinza limitada pelas elipses 1 e 2 e pelo eixo y vale: 
Nota: 10.0 
 A 3 u.a. 
 B 2 u.a. 
 C π� u.a. 
 D 2π2� u.a. 
 E 3π3� u.a. 
Você assinalou essa alternativa (E) 
Você acertou! 
A=2∫0π2y(t)x′(t)dtA=2∫0π2{[4sent⋅(−2sent)]−[sent⋅(−2sent)]}dtA=2∫0π2(−8sen2t+2sen2t)dt=2∫0π2(−6sen2t)dtA=−12∫0π2(12−12cos2t)dt=12(
θ2−14sen2θ)∣∣∣0π2=−12(−π4−0)A=3πu.a.�=2∫�20�(�)�′(�)���=2∫�20{[4sen�⋅(−2sen
�)]−[sen�⋅(−2sen�)]}���=2∫�20(−8sen2�+2sen2�)��=2∫�20(−6sen2
�)���=−12∫�20(12−12cos2�)��=12(�2−14sen2�)|�20=−12(−�4−0)
�=3��.�. 
 
Fonte: livro-base: RODRIGUES, A. C. D.; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e 
integral de várias variáveis. Curitiba: Intersaberes, 2016. 
 
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Várias Variáveis 
Considerando o livro-base Cálculo diferencial e integral de várias variáveis, considere a área 
A� da região do primeiro quadrante limitada pela parábola y=x2�=�2, pelo eixo y� e pela 
reta y=4�=4. É correto afirmar que 
 
 
 
Nota: 10.0 
 A A=∫40∫√y0dxdy=163u.a.�=∫04∫0�����=163�.�. 
Você assinalou essa alternativa (A) 
Você acertou! 
Um esboço desta região é apresentado abaixo: 
 
 
Note que esta região pode ser descrita como R={(x,y)∈R2; 0≤y≤4 e 
0≤x≤√y}.�={(�,�)∈�2; 0≤�≤4 e 0≤�≤�}. Assim, 
A=∫40∫√y0dxdy=∫40(∫√y0dx)dy=∫40√ydy=[23√y3]∣∣∣40=163u.a.�=∫04∫0�����=∫04(∫0���)��=∫04
���=[23�3]|04=163�.�. (livro-base p. 54-59) 
 B A=∫40∫√y0dydx=165u.a.�=∫04∫0�����=165�.�. 
 C A=∫40∫√y0dxdy=165u.a.�=∫04∫0�����=165�.�. 
 D A=∫40∫√y0dydx=65u.a.�=∫04∫0�����=65�.�. 
 E A=∫40∫√y0dxdy=67u.a.�=∫04∫0�����=67�.�.