Apremuni TRIGONOMETRIA

Prévia do material em texto

APREMUNI AMBO-2020 
MUNICIPALIDAD PROVINCIAL DE AMBO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRIGONOMETRÍA 
 
296 
 
 
 
 
 
 
 
CAPITULO I 
 
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO 
 
RUBINA VICTORIO, Juan Carlos 
 
Es aquel ángulo que se genera por la rotación de un rayo de un 
punto fijo llamado vértice (la rotación se realiza en un mismo 
plano).Si la rotación se realiza en sentido antihorario, el ángulo 
generado se considera positivo; en cambio, si la rotación se 
realiza en sentido horario, al ángulo generado se la considera 
negativo. El ángulo trigonométrico puede tomar cualquier valor. 
 
 
 
 
NOTA: 
1) Cuando un ángulo trigonométrico se la 
invierte el sentido, su signo cambia. 
2) Para sumar ángulos trigonométricos en un gráfico, estos 
deben tener el mismo sentido. 
 
ÁNGULOS COTERMINALES: Son aquellos ángulos en 
posición normal que tienen el mismo lado inicial y el mismo lado 
final sin considerar sus correspondientes sentidos de rotación ni 
su medida. 
 
 
 
 
 
 
Sean  y dos ángulos coterminales, entonces se cumple 
que: 
 La diferencia de dos ángulos coterminales es un número 
entero de vueltas de 360º. 
 360 ;n n Z    
 
 Tener en cuenta que “n” me representa el número de vueltas 
que un determinado ángulo gira en torno al origen de un 
sistema de coordenadas 
 Si dos ángulos  y son coterminales sus razones 
trigonométricas serán iguales. 
   . .RT RT 
 
 
SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES 
A. Sistema de medida sexagesimal: 
1 360m V  
 
Subunidades: 
1°: grado sexagesimal 
1': minuto sexagesimal 
1": segundo sexagesimal 
Dónde: 
"' ' "1 60 1 60 1 3600    
B. Sistema de medida centesimal 
1 400gm V 
 
Subunidades: 
1g: grado centesimal 
1m: minuto centesimal 
1s: segundo centesimal 
Dónde: 
 
 
 
 
   1 100 1 100 1 10000
sg gm m s 
C. Sistema de medida radial o Circular 
 1 2m V rad  
 
D. Relación numérica entre los tres sistemas 
 
 
 
 
 
Siendo: 
S: Número de grados sexagesimales del ángulo  . 
C: Número de grados centesimales del ángulo  . 
R: Número de radianes del ángulo  
 
Luego se cumple las siguientes equivalencias: 
180º = 200g = π rad 
90º = 100g = 
π
2
 rad 
45º = 50g = 
π
4
 rad 
 
1g< 1º < rad 
1rad = 57º 17´45´´ 
1m< 1´1g< 1º 
 
:
27 50 81 250
p qm n
Además  
 
m: número de minutos sexagesimales 
p: número de segundos sexagesimales 
n: número de minutos centesimales 
q: número de segundos centesimales 
 
CONVERSIÓN DE ALGUNAS UNIDADES 
SISTEMA SEXAGESIMAL CENTESIM
AL 
RADIAL 
Medida del 
ángulo 
 X
 
 
gY Zrad 
# de 
grados 
S C R 
# de 
minutos 
 60S 100C 
# de 
segundos 
 3600s
 
 10000C
 
 
a) Sistema Sexagesimal: 
Para pasar de una unidad superior a una inferior se 
multiplica por la equivalencia respectiva y para pasar de una 
unidad inferior a una unidad superior se divide entre la 
equivalencia respectiva. 
 
 
b) Sistema Centesimal: 
Es similar al anterior de una unidad mayor a menor se 
multiplica y de una unidad menor a mayor se divide. 
Grados Minutos Segundos
60 60
6060
3600
3600

x
y

AO Lado inicial
  La
do
 F
in
al
B
AO
B
Lado inicial
 L
a
d
o
 F
in
a
l
APREMUNI AMBO-2020 
 
297 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
 
FORMULA DE CONVERSIÓN 
Si: S, C y R representan la medida de un mismo ángulo en los 
tres sistemas. Se cumplirá la relación: 
180 200
180 200
S C R
k
S k C k R k


  
   
K: parámetro 
 
SECTOR CIRCULAR 
Es una porción de círculo limitado por dos radios y un arco 
comprendido entre ellos. 
 
 
 
 
 
 
 
Área del sector circular AOB: 
 
 
Tener en cuenta que siempre debe estar en radianes para 
utilizar dichas fórmula 
 
ÁREA DE UN TRAPECIO CIRCULAR 
 
 
 
 
 
 
 
  2 2
1
A (R r )
2
 
  a bA h2
 

 
a b
h
 
 
PROPIEDADES ADICIONALES 
1. Del gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 Se cumplirá la relación: 
 ;
En radianes 
 
 
2. Del gráfico: 
 
 
 
 
Si el radio de un determinado sector circular se prolonga en 
longitudes iguales, entonces las áreas de los trapecios 
circulares formados seguirán incrementándose siguiendo la 
siguiente serie: 
A, 3A, 5A, 7A, 9A,… 
 
 
ÁREA DE LA CORONA CIRCULAR 
 
 
 
 
 
 
Del gráfico: 
 
 
ÁREA DEL SEGMENTO CIRCULAR 
Del gráfico: 
 
 
 
 
PRÁCTICA 1 
1. En la figura, hallar x: 
5x-20°
-4x-20°
0 
 A. 10° B. –20° C. 89° 
 D. 20° E. 77° 
 
2. ¿Para qué valor de “B” se cumple la igualdad? 
m
g
B
BB
B 






''
'º
 
 A. 16,6 B. 26,6 C. 36,6 
 D. 46,6 E. 56,6 
3. Indicar la alternativa incorrecta: 
 A. 1rad > 56º B. 54’ = 100m 
 C. 1rad > 1g > 1º D. (1,75.º = 1º45’ 
 E. /16 rad = 11º 15’ 
4. ¿Cuántos radianes se tiene en 100 segundos centesimales? 
 A. 510
2


 B. 410
2


 
 C. 310
2


 D. 610
2


 
 E. 810
2


 
 
5. ¿Qué error cometería un alumno en grados centesimales si 
al convertir /9 radianes a grados sexagesimales emplea la 
fórmula 

RS

9
? 
 A. 
9
910g
 B. 
9
911g
 C. 
9
190g
 
 D. 
7
180g
 E. 
17
180g
 

  

2 2
 r L r L
 Área 
2 2 2
.
" "

 

1 1
2 2
A L
 
A L
  y 
 Cor. Cir( A )
  
2 2
Cor. Cir. A (R r ) 
 
2
Cor. Cir. A b 
 Seg Cir.( A )
   
2
Seg. Cir.
r
 A ( sen ) 
2
Grados Minutos Segundos
100
10000
100
100 100
10000
A
B
r
r
O
r
r


1A
2A
1L
2L
A
3A
5A
7A
R
r
2b
r
r

 
298 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
6. En el siguiente gráfico, calcular “L” en función de “a” y “b”, 
AOB: sector circular 
 
A
B
a
O
b
b
b
L
 
 A. ab B. a + b C. 
ab
ba 
 
 D. 
ba
ab

 E. 1
b
a
 
 
7. Una rueda tiene 6 centímetros de diámetro y gira a razón de 
60 revoluciones por minuto. Obtener la distancia recorrida 
durante un segundo por un punto en el borde de la rueda. 
 A. 2cm B. 4cm C. 6cm 
 D. 8cm E. 12cm 
 
8. Del gráfico mostrado. Calcular el espacio recorrido por la 
rueda. Si: BC = 0,85 m, desde “A” hasta “D”. (r = 2m) 
 
B
C D
A
r
9m 9m
8m 8m
45º
70
g
 
 A. 4m B. 5m C. 4,5m 
 D. 4,6m E. 5,7m 
 
9. ¿Qué parte del perímetro del sector circular mayor, 
representa el perímetro del trapecio circular sombreado? 
 
A
O
B 
 A. ½ B. 2/3 C. 1/6 
 D. 1/3 E. 1/9 
 
10. Si: "'º
32
CBArad 

 
 Calcular en grados sexagesimales rad)
C
A
(

 
 A. 15º B. 30º C. 45º 
 D. 60º E. 75º 
 
11. Hallar la medida del ángulo en radianes que verifica: 
 
SC
SC
R
R





2
2


 
 Siendo S, C y R los números convencionales 
 A. rad
9
2
 B. rad
9

 C. rad
9
20
 
 D. rad
5
2
 E. rad
5

 
 
12. Si: S, C y R son lo convencional, simplificar: 
 M = 
2340
)40)(20(
R
RSCSRC  
 
 A. 10 B. 20 C. 30 
 D. 40 E. 50 
13. Se tiene 3 ángulos y se sabe que la suma de los dos 
primeros es 4  /5 rad la suma del segundo y tercero es 120º 
y la suma del primero y tercero es 180g. Hallar los ángulos 
en grados sexagesimales 
 A. 30º,60º,90º B. 69º,93º,30º 
 C. 93º,51º,69º D. 45º,51º,69º 
 E. 93º,68º,35º 
 
14. La medida de un ángulo inscrito en un círculo es: 90  (x+1)º 
y contiene a un arco cuya longitud es (2x+1) metros. Hallar 
“x” , si el radio de la circunferencia mide 4/3 metros 
 A. 2 B. 3 C. 2/3 D. 3/2 E. ½ 
 
15. Una rueda de radio 2u está sobre una pista circular de radio 
15u y describe sobre dicha pista un ángulo central de 24º. 
¿Qué ángulo barre la rueda en ese recorrido? 
 A. 90º 
B. 24º 
C. 180º 
 D. 48º 
E. 360º 
 
16. Siendo S, C y R losnúmeros de grados sexagesimales, 
centesimales y número de radianes de un mismo ángulo 
respectivamente. Reducir la expresión: 
M = S( - 200) + C(180 - ) + 20R 
 A. 0 
B. 0,0016 
C. 1 
 D. 0, 246 
E. 2,1416 
 
17. Sabiendo que S y R son los números de grados 
sexagesimales y radianes de un ángulo, donde: 
R
RS
179
181
222


 
 Hallar: “R” 
 A. 5 
 B. 3 
 C. 4 
 D. 1 
 E. 2 
 
18. Sabiendo que S y R son los números de grados 
sexagesimales y radianes de un ángulo donde: 
124
7
5
5
5



 RSRS 
 
 Hallar: R 
 A. 1 
 B. 2 
 C. 3 
 D. 4 
 E. 5 
 
19. El número de grados sexagesimales de un cierto ángulo 
y los 2/3 del número de grados centesimales de otro 
ángulo están en la relación de 9 a 10. Hallar el valor de 
la diferencia de ellos, sabiendo que son suplementarios: 
 A. 72° 
B. 120° 
C. 30° 
 D. 60° 
E. 36° 
 
 
 
 
299 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
20. La suma de dos ángulos está dada por la relación: 
g
xxy 0)1(
0
 
 Hallar la medida en el sistema sexagesimal de dichos 
ángulos, si su diferencia es: 
0
)5( yx 
 A. 18° y 20° 
B. 32° y 5° 
 C. 31° y 5° 
D. 33° y 15° 
E. 27° y 30° 
 
21. En la figura, si el perímetro de la región sombreada es 
40m. Calcular la suma de las longitudes de las 
semicircunferencias. 
 
 A. 40m 
B. 40m 
C. 20m 
 D. 20m 
E. 10m 
 
22. En la figura se observa dos circunferencias concéntricas. 
Determine la relación que existe entre las áreas del 
trapecio circular y del sector circular sombreados: Dato: 
 = 
5

 
o
0rad
 
 
 A. 2/3 
B. 1/4 
C. 3/4 
 D. 1/2 
 E. 1/3 
 
23. En la figura si los radios de los sectores circulares están 
en la relación de 2: 3. ¿En que relación se encuentran S2 
y S1? 
 S2: área del trapecio circular 
 S1: área del sector circular menor 
o
S
A
C
B D
1
S2
 
 A. 21/9 
B. 21/2 
C. 5/2 
 D. 2/3 
E. 5/4 
 
 
24. En la figura, la región encerrada por el trapecio circular 
mide (b4 – a4) 2. Hallar el número de radianes del ángulo 
central del sector circular en términos de a y b: 
o
b
a
u
u
 
 A. 2(a2 + b2) 
B. (a2 + b2) 
 C. 2(a + b) 
D. a2 – b2 
 E. (a + b) / 2 
 
25. El radio del sector circular COD mostrado es 4R, B es 
punto medio de OD, tomando como diámetros las 
longitudes de arcos AB y CD se construyeron dos 
circunferencias concéntricas, hallar el área de la corona 
circular que se forma: 
o
A
C
B
D
1rad
 
A. 5R2 
B. 4R2 
C. 3R2 
D. 2R2 
E. R2 
 
 
26. Dos ángulos centrales d e una circunferencia son 
complementario y las longitudes de los arcos que 
subtienden suman 11cm luego la longitud del radio de 
la circunferencia es aproximadamente: 
 A. 11cm 
B. 22cm 
C. 6cm 
 D. 8cm 
E. 7cm 
 
27. Se tiene dos sectores cuyos radio miden 8m y 6m 
respectivamente. La longitud del arco del primero es 3m. 
Si las medidas de sus ángulos centrales son las mismas, 
hallar la diferencia de sus longitudes de arco. 
 A. 2m 
B. 2m 
C. 3m/4 
 D. m/2 
E. 5m/4 
 
28. Se tiene una rueda de radio “r” que ha dado 15 vueltas 
alrededor de una pista circular de radio “R”, la rueda ha 
determinado sobre la pista un ángulo de 36°. ¿Qué 
relación existe entre el radio de la rueda y el radio de 
la pista? 
 A. 1/75 
B. 1/50 
C. 3/100 
 D. 1/500 
E. 1/150 
 
300 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
29. Los radio de las ruedas de una bicicleta están en la 
relación 1: 5. Si al desplazarse la bicicleta en línea recta 
de u lugar a otro, la rueda menor gira 36000°. ¿Cuántas 
vueltas dará la rueda mayor? 
 A. 10 
B. 20 
C. 30 
 D. 130 
E. 80 
 
30. En la figura, Calcular la menor longitud del arco PQ, siendo 
P y Q puntos de tangencia. OA = OB = 2 +2 
o
A
P
B
Q
 
 A. /2 
B. 2 /2 
C. 2  
 D. 3 /2 
E. /3 
 
 
31. Determine la medida circular de un ángulo que verifica: 
S
C
osmintér"n"...........
2R
1
1
1R
1
1
R
1
1 



















 
A. rad
10
)1n( 
 
B. 
10
n
 
C. 
9
n
 
D. 
9
1n 
 
E. 9n 
32. Si: 

C
C
C
C
C
C
S
S
S
S
S
S





 
Hallar el número de radianes de dicho ángulo. 
Si: (S y C son lo conocido) 
A. 
3600
441
 
B. 
3600
551
 
C. 
3600
361
 
D. 
3600
641
 
E. 
3600
241
 
 
 
 
CAPÍTULO II
 
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULO 
AGUDOS 
RUBINA VICTORIO, Juan Carlos 
 
La razón trigonométrica de un ángulo agudo se define como el 
cociente que se obtiene al dividir las medidas de las longitudes 
de sus lados del triángulo rectángulo que lo contiene con 
respecto a este ángulo agudo. De esta manera, con respecto a 
un mismo ángulo agudo, podemos obtener seis distintos 
cocientes para los cuales se define: 
 
Observaciones Importantes 
 
 En todo ABC (recto en B) 
 
 m A+ m C = 90°
 Teorema de Pitágoras 
 En todo ABC (recto en B) se cumple: 
 a
2
 + c
2
 = b
2
 
 
 
PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 
A.Razones recíprocas 



Sen A .Csc A 1
Cos A.Sec A 1
Tan A .Cot A 1
 
 
B. Razones complementarias (Co-razones) 
 De las definiciones; se observa: 

     

Sen A Cos C
Tan A CotC m A m C 90
Sec A Csc C
 
En general:      RT( ) CO RT(90 ) 
 
TANGENTE Y COTANGENTE DEL ÁNGULO MITAD 
 
 
A
Tan Csc A Cot A
2
A
Cot Csc A Cot A
2
 
 
ÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES 
A. Exactos 
 
 
B. Aproximados 
 
 
 
 
 
 
45º
45º
1 k
1 k
k 2
60º
30º
2 k
1 k
k 3
 
37° 
53° 
4a 
3a 
5a 
16° 
 
25a 74° 
24a 
7a 
 
301 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
 
OTROS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 
 
Resolver un triángulo rectángulo es calcular dos lados 
cualesquiera a partir de dos elementos conocidos (un lado 
cualquiera y uno de los ángulos agudos). 
 
Forma de resolver: 

Lado incognita
 = R.T. ( ) 
Lado dato
 
 
ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR 
El área de un triángulo cualesquiera se puede conocer 
conociendo dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
abSenC bcSenA acSenB
Área
2 2 2
 
 
ÁREA DE UNA REGIÓN CUADRANGULAR 
 
 
 
1
 S m.nSen 
2
 
 PRÁCTICA 2 
 
1. En un triángulo rectángulo el menor cateto es el triple de la 
diferencia de los otros dos lados. Hallar la tangente del 
mayor ángulo agudo. 
 A. 1 B. 2 /2 C. 3/4 
 D. 4/3 E. 2 
 
2. En un triángulo rectángulo ABC recto en C se cumple que: 
 9Sen A .Sen B – Sec A .Sec B = TgA – CtgB 
 Calcular: TgA + TgB 
 A. 1 B. 2 C. 1/2 
 D. 2/3 E. 3 
3. De la figura, O es centro AC = a; BC = b. Hallar: Tg θ en 
función de a  b 
 A O D
C
B
 
 A. 
ba
ba


 B. 
b
a
 C. 
ba
ba


 
 D . 
a
b
 E. 
ba
ba


 
 
4. Si se cumple que: 
 Sen 5 θ - Cos 8 φ = 0  Tg θ Ctg 2 φ = 1. 
 Hallar el valor de: 
θ6Sen37Tgφ12Senθ3SenA 02  
 A. 1 B. 1/2 C. 2/3 
 D. 3/3 E. 0 
 
5. En la figura, calcular Tgx. Siendo: BC = 2AP 
 A P
37º
C
X
B
 
 A. 1/2 B. 4/3 C. 1 
 D. 8/9 E. 10/9 
 
6. De la figura adjunta. Hallar “ctgx” es términos de a y b 
 x
a
2x
b
 
 A. 
ba
a

 B. 
b2a
a

 C. 
ba
b

 
 D. 
b2a
b2

 E. 
b2a
a2

 
 
7. En un triángulo equilátero ABC se divide el lado BC en tres 
partes iguales por los puntos Dy E. Calcular el coseno del 
ángulo DAE. 
 A. 1/2 B. 2/3 C. 2/2 
 D. 5/13 E. 13/14 
 Una persona que se desplaza por un camino que forma con 
la horizontal un ángulo de 30º. Observa la parte superior de 
una antena con un ángulo de elevación de 45º, luego de 
subir 4 3 m hacia la antena el nuevo ángulo de elevación 
mide 60º. Hallar la altura de la antena. 
 A. 2m B. 4m C. 1m 
 D. 8m E. 16m 
 
8. En la figura: AC = 17; AB = 15. Calcular: Tg θ 
 B
D
C
A
E
 
 A. 1/2 B. 1/3 C. 1/4 
 D. 1/6 E. 3/4 
B
AC
a
b
c
h
37/2 
 
a 
3a 
a 
8° 
 
5a 82° 
7a 
a 
53°/2 
 
2a 
a 
a 
 
302 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
9. En la Figura ABCD es un cuadrado y 
15
8
Tg . 
Calcular: N = 5Tg θ - 4Tg φ 
 AE D
CB
 
 A. 4 
B. 3 
C. 2 
 D. 1 
E. 0 
 
10. Un helicóptero vuela en línea recta a una misma altura, en 
un instante desde el suelo se le observa con un ángulo de 
elevación de 26º30’ y luego de avanzar el helicóptero 100
5 m se le observa al mismo lado de la primera 
observación con un ángulo de elevación de 63º30’. ¿A qué 
altura vuela el helicóptero (Todos se realiza en un mismo 
plano vertical)? 
 A. m
3
5200
 B. m
3
3200
 
 C. m
3
5100
 D. m
3
3400
 
 E. m
3
2200
 
11. Siendo  un ángulo agudo y se cumple que: 
 
x
Tg
1
1 
x
Sec
1
1 
 Determine el coseno del complemento de  : 
 A. 3/5 B. 4/5 C. ½ 
 D. 
2
3
 E. 
2
2
 
12. En un triangulo ABC (C = 90°) de lados a, b y c 
 Expresar :
2
1
2
1
A
ctg
B
ctg


 en términos de a y b 
 A. 
ba
ba


 B. 
ab
ba


 C. 
ba
ba


 
 D. 
b
a
 E. 
a
b
 
13. Si se cumple que: 
 )3()2(.
4
)3()2( 

  xyxyTgxTgxTg 
son agudos. Calcular sen (x + 27°) 
 A. ½ 
B. 
2
2
 
C. 3/2 
 D. 
4
15 
 
E. 
4
15 
 
 
14. Si: 12 tg 05  , determine Tg
4

, siendo  un ángulo 
agudo 
 A. 526  
B. 526  
C. 1/5 
 D. 5 
E. 1 
 
15. Si  .:2;0 IIC  Calcule “ ”a partir de: 
 



5337
2
3
45
43
30
CosSenSen
CosSenCosSen
Tg


 
 A. 
4
5
 
B. 
4
7
 
C. 


 
 D. 
3
5
 
E. 
6
11
 
16. De la figura que se muestra, calcular “ Tg + 3 Tg  ” 
45°
 
 A. 4 
B. 1/3 
C. 2 
 D. 3 
E. 32  
17. Según la figura, calcular 

n
i
tg
1
 , siendo: 
 a1 = a2 = a3 = .....= an 
1 2
3
1a
2a
3a
na
 
 A. n 
B. n – 1 
C. n + 1 
 D. n –1/2 
E. n + ½ 
 
 
 
 
 
303 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
18. Se cumple que: 
2
12
tan


x
 + 
3
31 x
, siendo  un 
ángulo agudo. 
 A. 5/12 
B. 12/13 
C. 5/13 
 D. 60/61 
E. 30/31 
 
19. De la figura ABCD es un cuadrado y BCE es un triangulo equilátero, 
obtenga Ctg x 
E
x
CD
BA
 
 A. 6 - 3 3 
B. 6 + 3 3 
C. 3 ( )13  
 D. 3 ( )13  
E. 2 - 3 
 
20. Se obtiene dos triángulos rectángulos, cuyos catetos miden 
bseny, asenx y bcosy, acosx respectivamente con las 
hipotenusas de dichos triángulos se construye un nuevo 
triangulo rectángulo, los cuales son sus catetos. Entonces 
¿Cuál es el valor de la hipotenusa del triangulo construido? 
 A. a2 + b2 
B. a2 – b2 
C. b2 - a2 
 D. 22 ba  
E. ab2 
 
21. De la figura que se muestra. Calcular: ctg (  csc) 
 
 A. 2 
B. 3 
C. ½ 
 D. 1/3 
E. 1 
 
 
 
22. Según la figura, calcule tg  
17
15
 
 A. ½ 
B. 1/3 
C. 1/4 
 D. 1/5 
E. 1/6 
 
23. Desde la parte superior de un edificio de 40m de altura se 
observan dos objetos en tierra en las direcciones NE y SE 
con ángulos de depresión de 30° y 45° respectivamente. 
Calcular la distancia entre dichos puntos. 
 A. 40m 
B. 60m 
C. 70m 
 D. 80m 
E. 100m 
 
24. Un satélite se encuentra en orbita lunar . ¿Con que ángulo 
se observará desde el satélite a la luna cuando se encuentre 
a una altura igual al radio de la luna? 
A. 30° 
B. 45° 
C. 60° 
D. 90° 
E. 120° 
 
25. Seis individuos se sitúan alrededor de un poste circular y 
equidistante respecto al poste. 
 ¿Con qué ángulo de elevación verán el extremo del poste en 
un instante en el cual las distancias entre ellos (en forma 
consecutiva) sea la misma que la altura del poste? 
 A. 15° 
B. 30° 
C. 45° 
 D. 60° 
E. 75° 
 
26. Si : sen (3x + 10º) = cos (6x – 10º). 
Calcular : E = )º7x3(sec
2
x9
tg  
A. 1/2 
B. 1 
C. 1/12 
D. 9/4 
E. 3/2 
 
27. Calcular : E = 
x6cosx3sen
x8tgx3tgx2tgxtg


 siendo : 
tg (3x – 10º) = cos (100º - 3x) csc 7x 
A. 1 
B. 2 
C. 1/2 
D. 3 /2 
E. 3 /3 
 
 
304 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
x
y
G
A( ;y )x
1 1
B( ;y )x
2 2
C( ;y )x
3 3
CAPITULO III 
 
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA 
 
RUBINA VICTORIO, Juan Carlos 
 
 
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO 
CARTESIANO 
 
Sean  1 1 1;P x y y  2 2 2;P x y dos puntos del plano cartesiano, 
entonces la distancia "d" entre los puntos y está dada por: 
   
2 2
2 1 2 1d x x y y    
 
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA: 
Sea  0 0 0;P x y un punto cualquiera sobre un segmento de 
extremos  1 1 1;P x y y  2 2 2;P x y tal que: 
 
 
 Las coordenadas de 0P son: 
 
 
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO 
 Las coordenadas del punto medio M del 
 Segmento de extremos  1 1 1;P x y y  2 2 2;P x y 
 Se calcula así: 
 
 
 
 
COORDENADAS DEL BARICENTRO DE UN TRIÁNGULO 
En el triángulo cuyos vértices son 
 1 1;A x y ,  2 2;B x y y  3 3;C x y . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Las coordenadas del baricentro están dadas 
Por: 
 
 
ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR 
 
Para calcular el área "S" de una región 
Triangular, se colocan las coordenadas de uno de los vértices y 
seguimos el sentido anti horario hasta cerrar la figura y volver a 
colocar el primer vértice escogido, finalmente, se procede como 
a continuación se indica. 
 
PENDIENTE DE UNA RECTA 
 
La pendiente de una recta “L” se denota por “m” y se define como 
la tangente de su ángulo de inclinación “ ”. Es decir: m = tan
 
 
PROPIEDAD: Si una recta “L” pasa por los puntos P1(x1;y1) y 
P2(x2;y2) la pendiente “m” se calcula como sigue: 
 
 
ECUACIÓN DE UNA RECTA 
Si P(x;y) es un punto cualquiera de una recta “L” y P1(x1;y1) es 
un punto conocido de ella, entonces la recta “L” queda 
determinada mediante la ecuación: 
 1 1  y y m x x
 
 
PROPIEDADES 
I. Dada la ecuación de una recta: Ax + By + C = 0, su pendiente 
“m” se calcula como sigue:
A
m
B
  
II. Si dos rectas “L1” y “L2” son paralelas entonces sus 
pendientes son iguales. 
 
1L // 2L  m1 = m2 
 
)razón(
b
a
PP
PP
20
01 
x
y
a
b
P ( ;y )x
0 00
P ( ;y )x
1 11
P ( ;y )x
2 22
ba
byay
 y 
ba
bxax
x 12
0
12
0 





x
y
M( ;y )x
0 0
P ( ;y )
1 1 1
x
P ( ;y )
2 2 2
x
 y
2
xx
x
0
21
0



2
yy
21








 
3
yyy
 ; 
3
xxx
G 321321
0
30°
L
x
y
m = tan30°
m =
3
3
P (x ;y )11 1
P (x ;y )2 2 2
L
m =
y - y2 1
x - x2 1

L1 L2

x
y
A( ;y )x
1 1
B( ;y )x
2 2
C( ;y )x
3 3
S
A
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
B
yx
yx
yx
13
32
21
11
33
22
11
31
23
12














Luego :
2
BA
S


 
305 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
III. Si dos rectas “L1” y “L2” son perpendiculares entre sí, 
entonces el producto de sus pendientes es -1. 
 
 
1 2L L m1. m2 = -1 
ANGULO ENTRE DOS RECTAS 
 
Sean L1 y L2 dos rectas no verticales cuyas pendientes son m1 
y m2 respectivamente; si es el menor ángulo formado por dichas 
rectas; entonces:

 

2 1
1 2
m m
tan
1 m .m
 
 
 
DISTANCIA DEL PUNTO A LA RECTA 
Sea:   Ax By C 0 la ecuación general deuna recta y 
(x1;y1) un punto exterior a ella; la distancia de este punto a la 
recta se obtiene del modo siguiente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DISTANCIA ENTRE RECTAS PARALELAS 
Sean   1 1: Ax By C 0L y   2 2: Ax By C 0L . Las 
ecuaciones de dos rectas paralelas; la distancia entre estas 
rectas se determina del modo siguiente: 
 

 

2 1
2 2
C C
d
A B
 
 
PRÁCTICA 3 
 
1. los puntos M (
1
3
; 4) Y P (
8
3,5
) son los puntos de triseccion del 
segmento AB. halle la longitud del segmento AB. 
A. 6 B. 7 C. 8 
D. √57 E. √58 
 
2. halla en el eje x, un punto p de manera que la suma de sus 
distancias a los puntos A(-3,2) Y B(4,5) sea mínima . 
𝐴. (−
4
3
, 0) B. (−
2
3
, 0) 
C. (−
3
4
, 0) D. (−
5
3
; 0) 
3. Los puntos A =(_2;_2),B=(0;4) Y C =(A,B) son los vértices 
de un triángulo equilátero .si C está en el segundo 
cuadrante entonces √3 (𝐴 + 𝐵)𝐸𝑆 
A. -9 B. -8 C. -6 
D. 5 E. -4 
 
4. calcula el área de una región triangular, donde dos de sus 
vértices son los puntos (3;2), (5;4) y el baricentro es el punto 
(1;4) 
A. 12 B. 14 C. 15 
D. 16 E. 18 
 
5. sea el triángulo con vértices :A=(2;-1),B=(-1;2), 
C=(3;3)Y BARICENTRO G. ADEMAS 𝜃 =m<GAB, calcule 
TAN𝜃. 
A. 
9 
5
 B. 
5
 9
 C. 
3
5
 
D. 
5
3
 E.
4
9
 
 
6. halle la ecuación de la recta cuya pendiente es – 3 y pasa 
por la intersección de las rectas. 
X=-1 y Y=4 
A. 3x+y+1=0 
B. 3y+x+1=0 
C. 3x+y-1=0 
D. X+3y-1=0 
E. X+y-1=0 
 
7. Determine la ecuación de la recta que pasa el punto (-1;1) y 
sea paralela a la recta bisectriz del ángulo que forman las 
rectas L1 : X-y-3=0 y L2 : Y= 0 
A. Y = (√2 + 1)𝑥 + √2 
B. Y =(√2 + 1)𝑥 + 2 + √2 
C. Y =(√2 − 1)x+ √2 
D. Y =(1-√2)𝑋+2-√2 
E. Y=(√2 − 1)𝑋 − √2 
 
8. Hallar las coordenadas del punto P de la recta 3x-y+3=0 que 
equidista de los puntos A(2,4) y B(6-2).dar como respuesta 
la suma de tales coordenadas 
A. -6 B. -5 C. - 
D. -3 E. -2 
 
9. Calcula las coordenadas del punto de la circunferencia de 
ecuaciones 𝑥2 + 𝑦2 = 4 que está más cerca a la recta L: 
2𝑥 + 𝑦 − √5 = 0, 
De cómo respuesta la distancia de ese punto a la recta L. 
A. 5 B. 6 C. 7 
D. 8 E. 9 
 
10. Las rectas L: y =3x+3 y al Intersectar con la recta que pasa 
por el punto M(3:5) determina el segmento𝐴𝐵̅̅ ̅̅ Cuyo punto 
medio es M calcule la pendiente de la tercera recta. 
A. 
3
4
 B. 
4
5
 C. 
2
3
 
D. 
1
2
 E. 
1
3
 
 
11. Los vértices de un hexágono regular pertenece a las rectas 
L1, Y-3=√3(𝑋 −3) 
L2 Y-3=0 
L3 y -3= m(x-3) 
 CALCULE LA PENDIENTE DE L3 
L1 L2
 
306 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
 
A. 
3
4
 B. −
1
√3
 C. −
2
3
 
D. -√3 E. −
1
2
 
 
12. Sea ax +by +c= la ecuación de la recta que pasa por el 
punto A(-6, 7) y el tercer cuadrante y forma con los ejes 
coordenados un triángulo de área igual a 10,5 𝑢2 . Halle la 
suma a+ b + c. 
 A. 35 
 B. 34 
 C. 33 
 D. 32 
 E. 31 
13. Si los vértices de una región triangular son A(-3: 12 ,(6; 9) y 
c(3; 12 ): determine la ecuación de la recta paralela a𝐴𝐵̅̅ ̅̅ y 
que pasa por el baricentro de la región triangular 
mencionada. 
A. 5x+3y+5=0 
B. 5x-3y-5=0 
C. 5x-3y+5=0 
D. 5x3y-5=0 
E. 5x+3y+15=0 
14. Si los puntos A(2.3), B(4,6) Y C (6,1) forman un triángulo 
ABC. Determinada la ecuación de la recta que contiene a la 
altura relativa al lado 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 
A. y=3x+1 
B. y=2x-2 
C. y=x-4 
D. y=2x+1 
E. y=2x-3 
15. Dado los vértices A(-2,4) Y B (6;-2) de un triángulo ABC y el 
punto H (1,3) de intersección de sus alturas. Determine el 
vértice c. 
A. (-4;10) 
B. (2;13) 
C. (13;19) 
D. (10;20) 
E. (7;13) 
 
16. Halle el simétrico del punto P(4,8) 
con Respecto a la recta L: x –y + 2 
A. (3,3) 
B. (6,6) 
C. (4,4) 
D. (9,8) 
E. (-6,8) 
 
17. Determine la ecuación (de la recta pendiente negativa) 
bisectriz del ángulo que forman las rectas. 
L1:3X-4Y+0 
L 24X-3Y+40=0 
A. X+Y=39 
B. X-Y=-39 
C. 7X-7Y=-41 
D. X=Y+2 
E. 2X+3Y+41=0 
 
18. Dos rectas y se intersectan en el punto (5,12) Además 
los intercepto de L con el eje X Y L 2 con el eje y están 
contenidos en una recta cuya ecuación esY-27X-27=0. 
calcule el menor ángulo formando con lasrectas 
A. A) 4 𝑈2 
B. 6 𝑈2 
C. C)8𝑈2 
D. 9 𝑈2 
E. E)12𝑈2 
CAPITULO IV 
 
ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL 
 
RUBINA VICTORIO, Juan Carlos 
 
Un ángulo “  ” está en posición normal, posición estándar o 
canónica, si su vértice está en el origen de un sistema de 
coordenada rectangular y su lado inicial coincide con el eje x 
positivo y su lado final está en cualquier cuadrante. 
 
 
II. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 
 
 x: abscisa del Punto P 
 y: ordenada del Punto P 
 r: radio vector 
 2 2r : x y ;r 0 
 
Un método para hallar las razones trigonométricas de un ángulo 
en posición normal es trazar una perpendicular desde el punto 
hacia el eje x; y luego hallar dichas razones en el triángulo 
rectángulo formado respecto del eje x. A continuación veremos 
los cuatro posibles casos; esto es debido al cuadrante que 
pertenece al lado final del ángulo. 
 
III. SIGNOS DE LA RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN 
LOS CUADRANTES 
 
 
PRÁCTICA 4 
 
1.  es un ángulo en posición normal, cos  = -5/13 los puntos P 
y Q que tiene por coordenada (-15, a) y (b, -24) 
respectivamente pertenecen a su lado final. Calcular la 
distancia entre dichos puntos. 
A. 13 
B. 12 
C. 25 
D. 10 
E. 8 
 
2. Sabiendo que  = K(90°) + 800°, siendo  un ángulo en 
posición normal. Indicar lo correcto. 
A. Si: K = 2n, n  Z    III C. 
B. Si: K = 2n + 1, n  Z    IV C. 
C. Si: K = 4n + 1, n  Z    II C. 
D. Si: K = 4n - 1, n  Z    I C. 
E. Si: K = 4n + 3, n  Z    II C. 
 
307 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
3. Indicar verdadero (V) o falso (F). 
I. –250° y 830° son ángulos coterminales. 
II. El menor ángulo coterminal positivo de 5555° es 150°. 
III. El mayor ángulo coterminal negativo de 6666° es – 184°. 
A. VVV B. VVF C. VFF 
D. VFV E. FVF 
 
4. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son correctas?. 
I. Sin  y  son ángulos coterminales entonces sen  = sen 
. 
II. Si sen  = sen  entonces  y  son ángulos coterminales. 
III. Si tan  = tan  entonces  y  pertenecen al mismo 
cuadrante 
IV. Si  es un ángulo positivo y  es negativo entonces dichos 
ángulos no deben ser coterminales. 
A. I y II B. II y III C. sólo I 
D. sólo II E. I y IV 
 
5. Marque lo incorrecto: (n  Z) 
A.   II  (4n + 1) /2 <  < (2n + 1) . 
B.  es una frontera cuadrantal si y solo si:  = /2. 
C.   IV C (4n + 3) /2 <  < 2(n + 1). 
D. Si   <(2n + 1)  ; (4n + 3) /2 >  tan  > 0 
E. Si cos  < 0 entonces:   <(2n +1)  ; (4n + 3) /2> 
 
6. Si: Sen  = 3
2
; siendo “” pertenece al segundo cuadrante. 
Hallar el valor de: 
A = 2 cot2  - 7 sec  
A. 3 B. 7 C. 9 
D. 10 E. 4 
 
7. Indique el cuadrante al que pertenece “” si: 
 |Sen | = Sen  ; 
 |Tan  + cot | = - Tan  - Cot  
A. I B. II C. III 
D. IV E. F.D. 
 
8. Si: 
1
cos1351
1 
 ; 270° <  < 360° 
Hallar el valor de: n = sec  - tan  
 A. 1 B. 3 C. 5 
D. 7 E. 9 
 
9. Dada la ecuación: 
(cos )2cos  - 1 = 4; 90° <  < 360° 
Entonces “” e que cuadrante no se ubica. 
A. IC B. IIC C. IIIC 
D. IV C E. Absurdo 
 
10. Sabiendo que: 
  1Tan2
32
1Tan4
  ; sen  < 0 
 Calcular el valor de: 
 P = 13 sen  + 5 cot  
A. 3 
B. 5 
C. 7 
D. 9 
E. 11 
 
11. Si: 2Tg - 9 = |Tg - 3|,   IIIC 
 Calcular: 37 Sen  + 6 Ctg 
A. – 1 
B. – 2 
C. 1 
D. 2 
E. – 5 
 
12. Hallar el signo de: 
 E = Tg  + Ctg  - Cos  
 Si: 0Sec.Sen 3  
A. + B. - C. + ó - 
D. + y - E. No se puede determinar 
 
13. Si: 17
15Sen  
 Calcular: E = Tg + Tg  + Tg( - ) 
A. 3, 5 
B. 3, 75 
C. –3, 5 
D. –3, 75 
E. 4, 5 
 
 
 
 
 
 
 
14. Determinar dos ángulos coterminales, sabiendo que el 
mayor es a la suma de ambos como 13 es a 17 y que la 
suma de estos es mayor que 2 800° pero mayor que 1 900° 
A. 480° Y 1 560° B. 470° Y 1 570° 
C. 455° Y 595° D. 819° Y 1 071° 
E. 365° Y 1 725° 
 
15. Si: P(a; a) es un punto de lado final de un ángulo en 
posición normal “”. Calcular: 
)0a(;Sen1aE
aa
aSec
2



A. 1 B. 2 C. 3 
 D. 4 E. 5 
 
16. Si  y son las medidas de los ángulos cuadrantales, 
positivos diferentes y menores de una vuelta tales que 
Sen  < Tg. 
Calcular:



Csc)9/(Sec)6/(Ctg
)3/(Tg)2/(CosSenE
 
A. 1 
B. 2 
C. 0, 6 
D. 1, 5 
E. 0, 3 
 
17. Si  y  son ángulos coterminales y complementarios 
además; “” toma su mínimo valor positivo. Calcular. 
 K = Sen  - Cos  + Tg  Tg  
 A. 1 
B. 0 
C. 2 
 D. 2 
E. 3 
 
 
18. Según el gráfico mostrado. Calcular. 
 Sec + Csc  
 
A. 2 
B. 22 
C. -2 
D. -22 
E. 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
308 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
19. Calcular: Tg + 3 
A. 1/6 
B. –1/6 
C. 1/12 
D. –1/12 
E. 3/5 
 
 
 
 
 
 
 
20. Si: /2 <  < ; 0 <  < 3/2 
 01997TgSenCos
1)(Sen
33
2



 
 Entonces: 
A. 0 <  < /2 
B.  <  < 3/2 
C. /2 <  <  
D. 3/2 <  < 2 
E.  <  < 2 
 
21. Si: P = (-2; 3) es un punto que pertenece al lado final de un 
ángulo en posición normal “”. Calcular “k”. 
   CtgTg Csc
k
 
 A. - 7 B. 7/6 C. -7/6 
 D. 3/3 E. 6/7 
 
22. Si los puntos A(a –b; a) y B(b; a + b) pertenecen al lado 
terminal de un ángulo  en posición normal. Calcular Tg. 
 A. 2
15
 B. 2
15
 C. 2
35
D. 2
25
 E. 2
25
 
 
23. De la figura calcular:E = Tg + Ctg  
A. 1 
B. 2 
C. 3/2 
D. 5/2 
E. 2/5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24. Siendo “” un ángulo positivo menor que una vuelta, que no 
pertenece al IC y  ] – 180°; 0°[, además: 
 TgCos1 2 luego evaluar: 
1CosSen2
SenCtgK


 
 A. 0 
B. 1 
C. –1 
 D. -2 
E. 2 
 
25. Del gráfico. Hallar Tg  si 3m
n  
A. 3 
B. –1/3 
C. – 3 
D. 1/3 
E. 33 
 
 
 
 
 
 
 
 
26. Dado: |Sen| = - Sen  y Tg = 0, 5; hallar m, si: 



CosSen
CtgmCsc 
A. – 1 
B. – 1/2 
C. 1 
D. 1/2 
E. 2 
 
27. Si: (a; b) es un punto perteneciente al tercer cuadrante y al 
lado final de un ángulo canónico , reducir la siguiente 
expresión: 
  CtgbCosbaE
22
 
A. – a 
B. b 
C. a 
D. – b 
E. a/b 
 
28. Sea “x0” un número entero que satisface la desigualdad (x – 
2Sen45°) (Tg2 60° - x) > 0 haciendo x0 = Tg, donde “” es 
un ángulo de IIIC. Calcular: 
 H = Sen  . Cos  
 A. 2/3 
B. 2/5 
C. 3/4 
 D. 5/6 
E. 7/8 
 
29. Si Tg = .....
27
8
9
4
3
2
 
 además   IIIC 
 calcular: 10 Cos + Tg 
 A. 1 
 B. 2 
 C. 3 
 D. 4 
 E. 5 
 
30. Del gráfico calcular: E = tg + cot 
 
A. 1 
B. 2 
C. 3 
D. 2/3 
E. 3/2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a-b; 
b) 
(a; a-
b) 
 
309 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
(4K+1)

2
2K(2K–1)
(4K–1)

2
 K Z
CAPITULO V 
 
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE 
 
RUBINA VICTORIO, Juan Carlos 
 
1.- CONCEPTO 
Reducción al primer cuadrante significa expresar la razón 
trigonométrica de un ángulo agudo.En este capítulo 
estudiaremos métodos de reducción al primer cuadrante para 
los siguientes casos. 
 
2.- CASOS DE REDUCCIÓN 
2.1.-ÁNGULOS POSITIVOS MENORES DE UNA VUELTA 
 1ra Forma 2da Forma 
II 
180° -  
 -  
90° +  
/2 +  
III 
180 +  
 +  
270° -  
3/2-  
IV 
360 -  
2 -  
270° +  
3/2 +  
 
EN GENERAL 
R.T. ).(T.R
180
360









 
R.T. ).(T.R
2









 
R.T. ).(Comp.R
90
270









 
R.T. ).(Comp.R
2/
2/3









 
 
2.2.- ÁNGULOS POSITIVOS MAYORES DEUNA VUELTA 
Procedimientos 
a) Se divide él ángulo dado entre el ángulo equilátero a una 
vuelta en su respectivo sistema (360°, 2). 
 
b) Si fuera necesario se reduce al primer cuadrante utilizando 
el 1er caso. 
 
 
2.3.- ÁNGULOS NEGATIVOS 
En general: 
1) Sen(-x) = -Senx 
2) Cos(-x) = Cosx 
3) Tan(x) = -Tanx 
4) Cot(-x) = -Cotx 
5) Sec(-x) = Secx 
6) Csc(-x) = -Cscx 
 
 RECORDAR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PRÁCTICA 5 
 
1. Si los ángulos internos de un triángulo ABC están en 
progresión aritmética (A < B < C), reducir: 
 
)CB(Cos
)C3A2B(Cos
)CB(Sen
)B3C2A(Sen
K





 
A. -1/2 B. 1/2 C. 0 
D. -2 E. 1 
 
2. Reducir la expresión: 
K = Sen(Tgx) + Tg(Senx) + Sen(Ctgy) -Tg(Cosy) 
 Si: x - y = -3,5 
A. Cos(x-y) B. Sen(x-y) C. Cos(2x-2y) 
D. Sen(y-x) E. Cos(2y-2x) 
3. Si;  y  son suplementarios y  y  son revolucionarios, 
reducir: 
 
)
2
3
(Cos
)
2
(Cos
)(Sen
)32(Sen
F
φγλ
λ
φα
φγλ




 
A. -2 B. -1 C. 0 
D. 3/2 E. 2 
 
4. Si; Cos10° = n 
 Hallar en términos de "n": 
F = 
|2150Sen|640Cos90Sen
260Sen350Cos|170Cos|


 
A. -
n
2n1
 B. 
n
2n1
 C. 
n3
2n12 
 
D. 
n2
2n13 
 E. 
3
2n12 
 
 
5. Si; Sen = -
5
3
 ^   IIIC, Cos = -
13
5
 ̂  IIC 
 Calcular. 
 
)(Csc)
2
3(Tg)tg(C
)
2
(Sec)(Cos)
2
3(Sen
N







 
A. -11/40 B. 11/40 C. 33/40 
D. -33/40 E. -3/40 
 
6. Calcular. 



2400Sec1710Sen2290Sen2630Cos
3280tgC3550Cos2680Tg3130Sen
Q 
A. 2 /2 B. 3 /2 C. - 3 /3 
D. -1/2 E. 1 
 
7. Hallar una relación entre "a" y "b" que hace posible la 
igualdad: 
Tg 0)
10
ba15
tg(C)
7
b3a2
( 


 π
 
A. 
23
13
b
a
 B. 
13
23
b
a
 C. 
33
13
b
a
 
D. 
13
33
b
a
 E. 
43
13
b
a
 
 
8. Si; A - B = 
2
3π
 
Reducir la expresión: 
 )AB(Sen
)A
2
3(Tg
TgB
)B
2
5(Sen
SenA
F π
ππ




 
A. -3 B. -1 C. 1 
D. 3 E. TgA 
 
 
 
 
 
310 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
9. Para que valores de "", "F" siempre es positivo: 
F()=Csc(-3
2
π
)= - Tg(-); 0 <  < 2 
A. [0, /2> 
B. [0; /2> U <3/2; 2] 
C. <3/2; 2] 
D. </2; ] 
E. </2; ] U <3/2; 2] 
 
 
10. Si: 
2K
)
2
99(Sec)
2
123(Sen)68tg(C)777(Sen)175tg(C)
2
37(Tg



λ
π
λ
π
λπ
απλπλ
π
 
 K  <0; 1>, además   IIIC 
 Calcular: T = Csc + Ctg 
A. 
2K1
K1


 B. 
2K1
K2


 C. 
2K1
1K


 
D. 
2K1
1K


 E. 
2K1
2K


 
 
11. Hallar “PQ” en términos de “” y "r" 
2
L//
1
L : 
A. r(CosCtg+Sen+1) 
B. r(Cos+Sen+1) 
C. r(CosCtg+Sen) 
D. r(Sen-Sec) 
E. r(Tg.Sec+Sen+1) 
 
 
 
12. Reducir la expresión: 
))1K3((Tg)K(Tg
]
2
)1K2)[(K(Sen
E
φπφπ
φ
π
φπ


 ; K  Z 
A. 
K)1(
2
1
 Sen B. 
K)1( Cos C. K)1( 
A. 
K)1( Sen E. K)1(
2
1
 
 
13. Si:  ^  son las medidas de dos ángulos complementarios 
(agudos), hallar el intervalo de: 
)32(CIs).2(Tg
)23(Tg).2(Sen
Y


 ; Si: 8° <  < 49° 
A. [-7; -1] B. [-1; 7] C. [-49; -1] 
D. [1; 49] E. [1/49; 1] 
 
14. Si: 2Tg(
2
π
+x)+3Tg(3
2
π
+x)+5Tg(5
2
π
+x) = a 
Hallar: T=
2
1
Ctg(
2
π
-x)+
3
1
Ctg(3
2
π
-x)+
5
1
Ctg(5
2
π
-x) 
A. 
a20
31
 B. 
a10
21
 C. 
a10
31
 
D. 
a10
31
 E. 
a3
31
 
 
15. Según el gráfico mostrado calcular: 
 
)x
4
tg(C
)x(Tg
)x
4
(Cos
)x
2
(Sen
K









βθα
βθα
βθα
βθα
 
A. -2 
B. -3/2 
C. 0 
D. 2 
E. 3 
 
 
16. Si: x.Sen( - 17
2
π
) = y.Sen( - 17) 
Hallar en términos de "x", "y" la expresión: 
)
2
7(ySen)
2
27(yCos
)7(yCos)6(xSen
T
π
θ
π
θ
πθπθ


 
A. 
xy2
2y2x 
 B. 
xy2
2y2x 
 C. 
xy2
2x2y 
 
D. 
2y2x
xy2

 E. 
22 xy
xy2

 
 
17. Si, AOB es un cuadrante, calcular: 
V = 3 Cos + Csc 
A. -1 
B. 1 
C. 0 
D. -2 
E. 2 
 
 
 
 
18. Del gráfico mostrado calcular: 
K = TgCtg + TgCtg 
A. -13/6 
B. -6/13 
C. 13/6 
D. 6/13 
E. -5/6 
 
19. Si:  = 
4
π
 
Calcular: 
)
2
111(Tg)
2
27(Sen)
2
35(Cos
)
2
417tg(C)
2
65tg(C)
2
73(Csc
H
π
α
π
α
π
α
π
α
π
α
π
α


 
A. -2 2 B. 2 2 C. -4 2 
D. -8 2 E. - 2 
 
 
20. A = Cos1° + Cos2° + Cos3° + ..... + Cos 180° 
 B = Cos2n+1 17

Cos2n+1 4 17

 + Cos2n+1 17
n16
 + Cos2n+1 
17
13
; 
n Z+. Hallar: E = A + B 
 A. 0 B. – 1 C. – 2 
 D. 1 E. 2 
 
L2 
L1 
 
r 
P 
 
 
 
M(a;b) 
P(2|a|;3b) 
x 
y 
 
 
B 
O 
A 
O1 
 
 
 
311 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
CAPITULO VI 
 
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA 
 
RUBINA VICTORIO, Juan Carlos 
 
 LÍNEA SENO: 
El seno de un arco se representa en la C.T. mediante la 
ordenada trazada por su extremo. 
 
 Rango de valores del seno: 
 
    1 sen 1 
 Máx (sen ) = 1 
 Mín (sen ) = –1 
 LÍNEA COSENO: 
El coseno de un arco se representa en la C.T. mediante la 
abscisa trazada por su extremo. 
 
Rango de valores del coseno: 
 
    1 cos 1 
 
 Máx (cos ) = 1 
 Mín (cos ) = –1 
 LÍNEA TANGENTE: 
Para representar la tangente de un arco en la C.T. 
trazamos primero el eje de tangentes (recta tangente a la 
C.T. trazada por el origen de arcos), luego se prolonga el 
radio que pasa por el extremo del arco hasta que corte el 
eje en un punto: la ordenada de este punto de intersección 
nos representará la tangente de arco. 
 
 Rango de valores de la tangente: 
 
      tan 
Lo cual implica que: tan R 
 
Sugerencias Importantes 
     

     

       
2
2
2
1 senx 1 0 sen x 1
Si 1 cos x 1 0 cos x 1
tan x 0 tan x
 
 LÍNEA COTANGENTE: 
Para representar la cotangente de un arco en la C.T. trazamos 
primero el eje de cotangentes (recta tangente a la C.T. trazada 
por el origen de complementos), luego se prolonga el radio que 
pasa por el extremo del arco hasta que corte al eje en un punto: 
la abscisa de este punto de intersección será la cotangente del 
arco. 
 
Rango de valores de la cotangente: 
 
     cot  
 Lo cual implica que: cot R 
 LÍNEA SECANTE: 
La secante de un arco se representa en la C.T. mediante la 
abscisa del punto que se determina al intersectar la recta tangente 
trazada a la C.T. por el extremo del arco y el eje de abscisas. 
 
Observación:
   

   
sec 0 IC o IVC
Si
sec 0 IIC o IIIC
 
 
 
 
312 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
Rango de valores de la secante: 
 
      sec 1 sec 1 
Máx (sec ) =1 
Mín (sec ) = -1 
 LÍNEA COSECANTE: 
La cosecante de un arco se representa en la C.T. mediante 
la ordenada del punto al que se determina al intersecar la 
recta tangente a la C.T. trazada por el extremo del arco y 
el eje de ordenadas. 
 
   

   
csc 0 IC o IIC
Si
csc 0 IIIC o IVC
 
Rango de valores de la cosecante: 
 
      csc 1 csc 1
 
Máx (csc ) =-1 Mín (csc ) = 1 
 
PRÁCTICA 6 
 
1. Dada la igualdad : 
n2
3
1n5
Sen 

 
 Hallar el intervalo de “n” de tal manera que el “Sen” exista 
 A. -1; 3  B. -2; 4 C. -4, 2 
D. -2; 2  E. 0; 4 
 
2. Si : 
2
3
;
4
3
x

 . Calcular la variación de : 
1
3
x
Sen2A  
 A. -1; 1 B. -1; 1> C. <-1; 1 
 D. <-1; 1 > E. <1/ 2: 1  
3. Sabiendo que : 
4
,0y
4
3
;
2



 
Indicar Verdadero (V) o Falso (F) 
 I. Sen > Sen 
 II. Cos > Cos  
 III. Sen > Sen 2  
 A. VFF B. VFV C. VVV 
 D. FFF E. FVV 
 
4. Si: 
24
11
4



. 
Hallar la variación de: 
2
1
4
22Sen3E 




 
 
 A. 





2
7
;
2
1
 B. 





2,
4
5
 C. 





2,
2
1
 
 D. 





2;
4
5
 E. 





2;
2
1
 
 
5. Indicar la extensión de : 








 2
4
SenY . Si : 




 

24
;
24
7
 
 A. <0, 1 B. 0; 1 C. <- 2 , 1 
 D. <1/ 2; 1 > E. <1/ 2; 1  
 
6. Determinar la extensión de : 











 



4
;
4
3
;
4
CosE 
 A. <0, 1 B. 0; 1 C. <-1; 1> 
 D. -1; 1 E. <-1/ 2; 1/ 2> 
 
7. Si: 
6
5
;
4
3 
 . Hallar la extensión en la que se 
encuentra el área sombreada : 
 
 
1;
2
3
)E
2
3
;
2
1
)D
2
3
;
2
2
)C
2
2
;
2
1
)B
1;
2
2
)A
 
 
8. Indicar verdadero(v) o falso según corresponda: 
 I. sen( 2 )  sen (1) ………. ( ) 
 II. cos(3)  cos (4) …………. ( ) 
 III. sen (3.29)  sen (4.93)....… ( ) 
 A. VVV B. VFF C. FFV 
 D. VFV E. FFF 
9. Sabiendo que cos = 
3
2+n
 
 Además  ε 60; 120, determine en el intervalo al que 
pertenece “n” : 
 A. 0,3 B. - 3
4,2
1  C. -1,3] 
 D. - 3
1,2
1 ] E. [- ;2
7 - 2
1 ] 
x 
y 
 
C.T. 
 
313 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
10. Hallar la suma de las medidas de los menores ángulos 
positivos que no pertenecen al IC y que verifiquen : 
sen = 
2
1
: cos = -
2
1
 : tg = -1 
 A. -
4
17π
 B. 
4
11π
 C. 
4
3π
 
 D. 
4
13π
 E. 
4
9π
 
 
11. Determinar el área de la región sombreada 
 
 
 
 
 
 
 




Cos1Sen.
2
1
)E
Sen1Cos.
2
1
)D
1Sen.Cos.
2
1
)C
Cos1Sen.
2
1
)B
Cos1Sen.
2
1
)A
 
 
12. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) Según corresponda. Si: 
 -  <  <  < - /2 
 I. Tg < Tg 
 II. Tg < Tg 
 III. Tg > Tg  
 A. VFF B. VVF C. FFV 
 D. VVV E. FFF 
 
13. Determinar la extensión de : 
 





 


 2;0:Si.2
12
Sen.
4
2TgM 
 A. 7/3, 5 B. 0; 5 C. 2; 5 
 D. 5/3; 5 E. 2/ 3; 7 
 
14. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) según corresponda: 
I. Ctg70º > Ctg40º 
II. Ctg3 > Ctg2 
III. Si :  <  <  < 3 /2  Ctg > Ctg 
A. VFV B. VVV C. FVV 
D. FVF E. VVF 
 
15. Determine la extensión de: 







2
Sen.
2
tgCE
ππ
, sabiendo que :x  
3
7
;
3
5 ππ 
A. < - 1; 4 > D. < - 3.3> 
B. R -  1;1 
C. R - 3;3 E. ]3;1 
 
16. Determine la superficie de la región sombreada en términos 
de "" 
A. 1/2 Ctg, Cos 
B. - 1/ 2. Sen 
C. 1/2. Cos 
D. 1/2. Sen 
E. 1/2. Tg Sen 
 
 
 
 
 
 
17. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) según corresponda: 
I. 3Sec2Sec  
II. Sec200º < Sec230º 
III. Si : αθθα
π
SecSec0
4
 
A. FFF B. VFV C. VFF 
D. FFV E. FVF 
 
18. Si: 
3
4
4
3 


. Hallar todos los valores que toma "n" en 
la igualdad: 
3n
1n2
Sec


α 
A. 
4
7
;2[ B.  2; C. 
4
7
;
3
4
[ 
D. 
3
4
;2[ E. ]7;
3
4
 
19. Si: 
5
x
9
4 ππ
 . Hallar la extensión de : 
2
3
x3
4
1
SecJ 





 π
 Indicar el menor valor: 
A. 5 B. 22 C. 3 
D. 32 E. 52 
20. Si : - 2 < Sec < - 2 
Entonces. Hallar la extensión de "Csc" 
cuando :  <  < 3/2 
A. < -2; - 2 3/3 > D. 1;
3
3

 
B. 1;2 C. 
3
32
;2 
 E. 
1;
2
2

 
21. Si : 0 <  <  < 2 ; Sen = Sec 
Calcular el valor de : A = Sen3 + Sec2 
A. - 1 B. 1 C. 2 
D. - 2 E. 0 
 
22. Sabiendo que se cumple: 
RxCCos  ;0tg3 
Calcular la variación de "x" en el intervalo de 0 a 2 
DBED
BACBA






















)
3
2
;
3
)
)
6
10
;
6
7
)
6
5
;
6
)
 
 
23. En la C.T mostrada. Hallar el área de la región sombreada 
 
 
 
 
 1tg.
2
1
)
2tg.
2
1
)
1tg.
2
1
)
tg.
2
1
)
2tg.
2
1
)





CTgE
CTgD
CTgC
CTgB
CTgA
 
 
x 
y 
C.T. 
 
y 
x 
 
y 
x 
 
 
314 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
CAPITULO VII 
 
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 
 
RUBINA VICTORIO, Juan Carlos 
 
Es una igualdad establecida entre expresiones que involucran 
razones trigonométricas de una o más variables, las cuales se 
verifican para todo valor admisible de dichas variables. 
La igualdad: , se verifica para cualquier 
valor real que le asignemos a la variable x; por consiguiente:
es una identidad . 
 
CLASIFICACIÓN DE LAS IDENTIDADES 
 
1. Identidades pitagóricas: 
 
 
 
 
2. Identidades recíprocas: 
 
 
 
 
 
3. Identidades de división: 
 
 
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS AUXILIARES 
 
Aparte de las identidades trigonométricas fundamentales, hay 
aquellas igualdades que aparecen frecuentemente en la 
resolución de problemas y su conocimiento sería de mucha 
utilidad para facilitar la resolución de estos problemas; estas 
igualdades son de simple verificación y en muchos casos son 
consecuencia directa de operaciones algebraicas elementales; 
dentro de estas tenemos:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PRÁCTICA 7 
 
1. Reducir la expresión: 




















CscxSecx
xtgCTgx
Cosx1
xSen
Senx1
xCos
K
22
 
A. Senx B. Cosx E. 1 
D. 1 E. Senx + Cosx 
2. Reducir la expresión: 
xCtgxCtgxCscxxCscCtgxCtgW 1688222 ))(12)(12(  
A. Csc8x C. Csc32x 
B. Csc16x D. Csc24x E. 1+ Csc16x 
 
3. Si: 
3
2
2
3
a
b
1
a
b
TgxSecx  ; 0 < x /2 
Calcular en términos de a y b la expresión: 
E = aSecx + bCscx 
A. (a3/2 + b3/2)2/3 D. (a1/3 + b2/3)3/2 
B. (a2/3 + b2/3)3/2 
C. (a1/3 + b1/3)3 E. (a3/4 + b3/4)4/3 
 
4. Del gráfico, calcular el valor de: 
)cb(bc
ad
T

 
A. |a|.m 
B. d.|n| 
C. nc 
D. |b|.c 
E. |m|.a 
 
 
5. Hallar “n” en la igualdad. 
n
Senx1
n
Cosx.Senx
Senx1
xtgC



 
A. Senx B. Cosx C. Tgx 
D. Ctgx E. Secx 
 
6. Si: 
bacxbCosxaSen 22  ; a > c > b 
Hallar: Tgx; si xIIIC 
A. 
ba
ac


 D. 
bc
ba


 
B. 
ac
bc


 C. 
ca
ab


 E. 
bc
ca


 
2 2Sen x Cos x 1 
2 2Sen x Cos x 1 
2 2Sen x Cos x 1 
2 21 Tan x Sec x 
2 21 Cot x Csc x 
SenxCsc x 1
Cos x.Sec x 1
Tanx.Cot x 1
Senx
Tanx
Cos x

Cos x
Cot x
Senx

4 4 2 2Sen x Cos x 1 – 2Sen x Cos x 
6 6 2 2Sen x Cos x 1 – 3Sen x.Cos x 
Tanx Cot x Sec x.Csc x 
2 2 2 2Sec x Csc x Sec x.Csc x 
4 4 2 2Sen x – Cos x Sen x – Cos x
4 4 2 2Sec x – Tan x Sec x Tan x 
4 4 2 2Csc x – Cot x Csc x Cot x 
   
2
Senx Cos x 1 2Senx Cos x
         
2
1 Senx Cos x 2 1 Senx 1 Cos x
    2 2De:Sen x 1–Cos x 1 Cos x 1–Cos x
Senx 1 Cos x Senx 1 – Cos x
1 – Cos x Senx 1 Cos x Senx

 

  2 2De:Cos x=1–Sen x= 1+Senx 1–Senx
Cos x 1 Senx Cos x 1 – Senx
1 – Senx Cos x 1 Senx Cos x

 

  
 
 
2 2
2 2 2 2
Si:a Senx bCos x a b
a b
Senx Cos x
a b a b
y 
x 
P(0,d) k(b,1) 
M(a,0) 
R(m,n) 
N(1,c) x2 + y2 = 1 
 
315 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
7. Si: 
;
CosaCosy
Seny.Sena
Tgx

 /2 > y > a > 0 
Hallar Cosa en términos de x , y 
A. (Cosx  Cosy) / (Cosx.Cosy1) 
B. (Cosx + Cosy) / (1+ Cosx.Cosy) 
C. (Cosx + Cosy) / (1 Cosx.Cosy) 
D. (Cosx  Cosy) / (1+ Cosx.Cosy) 
E. (Senx + Seny) / (1+ Senx.Seny) 
 
8. Eliminar “x” de las ecuaciones: 






)2..(..........mCosxSenx
)1.....(nCosxSenx
 
A. m4 + n8  8n4 + 6m2n4 = 0 
B. m4 + n8  8m4 + 6m4n2 = 0 
C. m4 + n4  8n2 + 6mn2 = 0 
D. m8 + n8  8n4 + 6m2n4 = 0 
E. m4 + n4  8n2 + 6m2n = 0 
 
9. Si: Secx + Cscx = M(Tgx + Ctgx), xIIC 
Hallar: 
xtgCCscx
1
TgxSecx
1
K



 
A. 2(n+1)/ 1n2  
B. 2(n+1)/ 1n2  
C. 2(n1)/ 1n2  
D. 2(n1)/ 1n2  
E. (n+1)/ 1n2  
 
10. Si: 






)2.........(2Sen.Cos8,1Cos.Csc2
)1.........(3Cos5Sen2
 
Calcular “Sen” 
A. (2  3 6 ) / 10 D) (2  3 6 ) / 20 
B. (3  2 6 ) / 20 
C. (3  2 6 ) / 10 E) (3  6 ) / 10 
 
11. Eliminar “” de las ecuaciones: 
Ctg + Tg = x ..........(1) 
Sec  Cos = y .......(2) 
A. x2/3 + y2/3 = 1 
B. x4/3  y4/3 = 1 
C. x4/3y2/3  x2/3y4/3 = 1 
D. x4/3y2/3 + x2/3y4/3 = 1 
E. x3/4y  xy3/4 = 1 
 
12. Si: Senx.Cosx = 0,3 
Calcular: 
2xtgCxTg
7xtgCxTg
K
55
33


 
A. 0,1 B. 0,2 C. 0,3 D. 0,4 E. 0,5 
 
13. Si: /6 <  < /4 
Hallar el intervalo de: 
2SecSec2Cscf 422  
A. <1;1/3> D. <1/9;3> 
B. <1/2;3> 
C. <1/4;26/5> E. <0;26/9> 
 
 
 
14. Calcular Cos en términos de a y b. 
Si: Sen = a Sen .........(1) 
 Tg = bTg ..............(2) 
A. [(1a2)/(1b2)]1/2 
B. [(1b2)/(1a2)]1/2 
C. [(a2b2)/(1b2)]1/2 
D. (1/a).[(a2b2)/(1b2)]1/2 
E. (1/b).[(a2b2)/(1a2)]1/2 
 
15. Calcular el máximo valor de: 
F(x) = Versx.Covx 
A. 1,5 + 3 D. 3 + 2 
B. 1,5 + 2 
C. 3  3 E. 3 + 2 2 
 
16. Si: n
xCosxSen
xCosxSen
44
66



 
 Hallar: 
xCosxSen
xCosxSen
T
66
44


 
A. (2n1) / (3n1) 
B. (2n1) / (3n2) 
C. (2n+1) / (3n+1) 
D. (4n1) / (6n1) 
E. (2n3) / (3n3) 
 
17. Si: 3/6 < x < 11/6 
Hallar el intervalo de: 
xtgCCscx
xtgCCscx
.2
Cosx1
Senx22
Cosx1
Cosx1
T








 
A. < 1;3 > B. < 2;3 > C. < 3;5 > 
D. < 4;5 > E. < 5,6 > 
 
18. Si: Ctgx  Cosx = 1 
Calcular: 
E = Cosx  Senx + Secx.Cscx 
A. 2 2 B.  2 C. 2 
D. 2 2 E. 2 2 
 
19. Si “f” es independiente de “x”: 
2323 ]aCosxxbCos[]xbSenaSenx[)x(f  
(a  b constantes) 
Entonces f es igual a: 
A. a2/9 B. a2/4 C. 3a2/4 
D. 4a2/3 E. 16 a2/9 
 
20. Expresar tgx en términos de a, b y c a partir de : 
asenx + ccosx = c-a ....... (1) 
bsenx + ccosx = b-c …...(2) 
 Además: ab0, x  IIC 
 A. -
ab
c
 B. -
2.cb
a
 C. 
2c
ab
 
 D. -
2c
ab
 E. -
ab
c2
 
 
 
 
 
 
316 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
CAPITULO VIII 
 
ARCOS COMPUESTOS 
 
RUBINA VICTORIO, Juan Carlos 
 
1. LA SUMA DE DOS ÁNGULOS 
Estas igualdades se verifican para todos los valores admisibles 
de sus variables y son las siguientes: 
 
 
 
2. DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS 
Estas igualdades se verifican para todos los valores admisibles 
de sus variables y son las siguientes: 
 
 
 
3. IDENTIDADES AUXILIARES
 
Sen(x y)
Tanx Tany
CosxCosy 
   
   
2 2
2 2
Sen(x y)Sen(x y) Sen x Sen y
Sen(x y)Sen(x y) Cos y Cos x 
   2 2Cos(x y)Cos(x y) Cos x Sen y
 
Tan(x y) Tanx Tany Tanx.Tany.Tan(x y)    
 
Importante: 
 
    2 2 2 2
f(x) aSenx bCosx
a b f(x) a b 
 
 
4. PROPIEDADES PARA TRES ÁNGULOS 
Estas propiedades se cumplen siempre que los tres ángulos 
estén relacionados bajo una condición: 
Siendo;      x y z ó K , K Z 
  
  
Tanx Tany Tanz TanxTanyTanz
CotxCoty CotxCotz CotyCotz 1
 
Siendo 
 
    x y z ó (2K 1) ; K Z
2 2
  
  
Cotx Coty Cotz CotxCotyCotz
TanxTany TanxTanz TanyTanz 1
 
 
Observación: 
 Si:
π
± β=45°=
4
 se cumple:
 
Tan ±Tanβ ±Tan Tanβ=1 
 
 
PRÁCTICA 8 
 
1. Si: Sen=
5
3
^  IIIC; Tg=
12
5
 ̂   IIIC 
Calcular el valor de Cos( + ) 
A. 63/65 B. 24/25 C. 15/17 
D. 20/29 E. 40/41 
 
2. Si: Tg(x + y) = 5 
Tg(x - y) = 4 
Calcular: K = 21Tgt2y + 19Tg2x 
A. -1 B. -4 C. -8 
D. 8 E. 10 
 
3. Del gráfico hallar Tg: 
A. 0,5 
B. 0,3 
C. 0,2 
D. 2 
E. 3 
 
 
4. Si: 
Cosy
)zx(Cos2
Cosx
)zy(Cos
Cosz
)yx(Cos 




 
Calcular. T = Tgx + Tgz - 2Tgy 
A. -1 B. -1/2 C. 0 
D. 1/2 E. 1 
 
5. Si; Tg4 = M 
Calcular: 




tgC3tgC
1
Tg3Tg
1
W 
A. n B. 
n
1
 C. 
1n
1

 
D. n+1 E. 
1n
1n


 
 
6. Calcular el valor aproximado de: 



32Sen32Cos7
14Sem52614Cos5210
T 
A. 0,1 2 B. 0,2 2 C. 0,3 2 
D. 0,4 2 E. 0,5 2 
 
7. Si: 
Sen(x + y + z9 = SenxSenySenz 
Calcular: F = CtgxCtgy + CtgxCtgz + CtgyCtgz 
A. 0 B. 0,5 C. 1 
D. 1,5 E. 2 
 
M S R Q 
P 
 
 
3 2 1 
 
317 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
 
8. En un triángulo rectángulo ABC (B=90°), se traza la mediana 
AM y la altura BH, formando el ángulo agudo "". Hallar Tg 
en términos de los lados del triángulo ABC: 
A. 
ac
2c2a 
 B. 
ac
2c2b 
 C. 
ac
2c2b 
 
D. 
ab
2c2a 
 E. 
ab
2c2b 
 
 
9. Si: 
aSenx + bSeny + cSenz = 0 
aCosx + bCosy + cCosz = 0 
Calcular: 
)zy(Sen
)zx(Sen


 
A. a/b B. b/a C. -a/b 
D. -b/a E. a/c 
 
10. Reducir la expresión: 
K=
y2Sen)zyx(Cos)zyx(Cos
y2Cos)zyx(Sen)zyx(Sen


 
A. Sen(x+z) B. 
2Cos (x+z) C. 1 
D. -1 E. Tg(x+z) 
 
11. Del gráfico mostrado, hallar Tg: 
A. 4/5 
B. 11/3 
C. 3/11 
D. 7/9 
E. 9/7 
 
12. Calcular el máximo valor de: 
K = Sen(x+
6

) + Sen(
3

+x) + Cos(2
3

-x) 
A. 4- 3 B. 34 C. 4+ 3 
D. 34 E. 32 
 
13. Calcular el máximo valor de "F". 
F(x) = aSen(x + ) + bCos(x - ) 
Si, a, b, y  son constantes: 
A. |a + b|Sen 
B.  abSen4
2b2a 
C.  cosabSen2
2b2a 
D.  CosabSen4
2b2a 
E.  CosabSen
2b2a 
 
14. Sean m,  y  los tres ángulos de un triángulo Tg
2

, Tg
2

, Tg
2

 son proporcionales a 6, 2 y 3 respectivamente. 
Hallar el valor de: 
2
z
Tg2
2
y
Tg3E  
A. 1 B. 2 C. 3 
D. 4 E. 5 
 
15. Si PQRS es un cuadrado, calcular el máximo valor de Tg: 
A. 3 
B. 3 /3 
C. 4/3 
D. 3/4 
E. 1 
 
 
16. En un triángulo ABC se cumple: 
TgA + TgB = x 
TgB + TgC = y 
TgC + TgA = z 
Hallar: SecASecBSecC 
A. 
xyz
zyx 
 B. 
xyz2
zyx 
 C. 
xyz
)zyx(2 
 
D. 
zyx
xyz2

 E. 
zyx
xzyzxy


 
 
17. Hallar Tgx en términos de "", si PM=3MQ: 
 
A. 3Tg 
B. 3Ctg 
C. 
3
1
Tg 
D. 2Tg 
E. 2Ctg 
 
18. Si: 
Sec1°Sec3°+Sec3°Sec5°+Sec5°Sec7°+...+Sen84°Sec81° 
Es equivalente a KmCscn 
Calcular: P = n + K - m 
A. 2 B. 4 C. 6 
D. 8 E. 10 
 
19. Si: 
Ctg = 
2/1)x2x3x(  
Ctg = 
2/1)11xx(  
Ctg = 
2/1)1x2x3x(  
 Hallar  +  en términos de : 
A. +
4

 B.  C. -
3

 
D. -
4

 E. +
3

 
 
20. En un triángulo ABC, se cumple que: 
 Cos (A – B) = 2 SenA SenB; luego el triángulo es: 
A. Escaleno B. Isósceles 
C. Equilátero D. Rectángulo 
E. Obtusángulo 
 
21. Si : x + y + z = π / 4 
 Reducir : 
   
Tgz.Tgy.Tgx1
Tgz1Tgy1Tgx1
E


 
 A. 1/2 B. 1 C. 2 
 D. 3 E. 1/3 
 
  
M 
x 
Q P 
N 
 
P Q 
R S 
 6 
2 
13 
 
318 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
CAPITULO IX 
 
ÁNGULOS MÚLTIPLES 
 
RUBINA VICTORIO, Juan Carlos 
 
I. IDENTIDADES FUNDAMENTALES 
 
 
 
II. IDENTIDADES AUXILIARES 
   2 22Sen x 1 Cos2x 2Cos x 1 Cos2x 
   Cotx Tanx 2Csc2xCotx Tanx 2Cot2x 
 
III. ÁNGULO DOBLE EN FUNCIÓN DE TANGENTES 
 
 
 Otras identidades auxiliares: 
 – 4 4 3 1Sen x+Cos x= + Cos4x
4 4
 
 – 6 6 5 3Sen x+Cos x= + Cos4x
8 8 
 
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA EL ÁNGULO 
MITAD 
 
 
Observación: 
El signo que aparece en los radicales depende del cuadrante en 
el cual se ubique el ángulo mitad y del operador que lo 
afecte; así por ejemplo: 
Si: 
   
    
   
x x
IIC Sen será ( )
2 2
 
Si:        
   
x x
IIIC Cos será ( )
2 2
 
Si: 
   
    
   
x x
IVC Tan será ( )
2 2

 
 
II. IDENTIDADES AUXILIARES 
 
 
 
 Otras identidades Auxiliares: 
 – 
 
n
n –1 radicales
π
2Sen = 2 – 2 + 2 +...+ 2
2
 
 – 
 
n
n–1 radicales
π
2Cos = 2 + 2 + 2 +...+ 2
2
 
IV. FÓRMULA RACIONALIZADA DEL ÁNGULO MITAD 
 A. 
x
Tan Cscx – Cotx
2

 
 B. 
x
Cot Cscx Cotx
2
 
 
 
 
V. IDENTIDADES AUXILIARES 
 Sabemos: 
 •  
x
Cscx Cotx Cot ..... I
2
  
 •  
x
Cscx – Cotx Tan ..... II
2

 
   
x x
I II 2Cscx Cot T an
2 2
   
 
   
x x
I – II 2Cotx Cot – T an
2 2
  
 
ÁNGULOS TRIPLES 
I. 
 
   
3Sen3x 3Senx – 4Sen x
Sen3x Senx 2Cos2x 1
Sen3x 4SenxSen 60 – x Sen 60 x

 
   
 
II. 
 
   
3Cos3x 4Cos x –3Cosx
Cos3x Cosx 2Cos2x –1
Cos3x 4CosxCos 60 – x Cos 60 x


   
 
III. 
   
3
2
3Tanx – Tan x
Tan3x
1– 3Tan x
Tan3x TanxTan 60 – x Tan 60 x

   
 
VI. 
   Cot3x CotxCot 60 – x Cot 60 x    
 Triángulo notable 
 
1 
+
 T
an
x2
1 - Tan x
2
2Tanx
2x
Sen2x =
2Tanx
1 + Tan x
2
Cos2x =
1 - Tan x
2
1 + Tan x
2
Sen =
x
2
1 - Cosx
2
+
-
Cos =
x
2
1 + Cosx
2
+
-
Tan =
x
2
1 - Cosx
1 + Cosx
+
-
Cot =
x
2
1 + Cosx
1 - Cosx
+
-
x Rl
x Rl
x R - {(2n + 1) }; n Zl  
x R - {2n }; n Zl  
x 1 Cosx
Tan Cscx Cotx
2 Senx
-
= - =
x 1 Cosx
Cot Cscx Cotx
2 Senx
+
= + =
5 – 1
18°
4 72°
10 + 2 5
 
319 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
PRÁCTICA 9 
 
1. Reducir la expresión: 
W = Cos2x (Sen4 x+ Cos4x) + Sen8x 
 A. Cos8x B. Sen8x C. Tg8x 
 D. Ctg8x E. Csc8x 
 
2. Calcular el valor de: 
F = Sen6
8
π
+ Sen6
8
π3
 
 A. 
8
5
 B. 
8
1
 C. 
8
3
 D. 
4
1
 E. 
4
3
 
 
3. Siendo: aSen2x - bCos2x = 0 
 Hallar: Sec2x 
 A. 
ba
ba


 B. 
ba
ba


 C. 
ba
ab


 
 D. 
ab
ba


 E. 
ba
ba


 
 
4. Los catetos de un triángulo rectángulo miden: 
 ( 1 + Cos20º ) y Sen20º. Calcular los ángulos agudos de 
dicho triángulo. 
 A. 20º y 70º B. 30º y 60º C. 25º y 65º 
 D. 10º y 80º E. 15º y 75º 
 
5. Si: aθCotθTg  , hallar : "θ2Csc" 
 A. a B. a/2 C. 1/a D. a + 1 E. 2/a 
 
6. Calcular: º10Sec3º10Csc  
 A. 2 B. 1 C. –2 D. 4 E. – 4 
 
7. Si se cumple la igualdad: 
 x4CosBAxCosxSen 44  , hallar: “A-B” 
 A. 1/4 B. 3/4 C. 1/2 
 D. 3/2 E. 1 
 
8. Simplificar: θ4Tg4θ2Tg2θTgθCot  
 A. θ8Cot B. θ8Tg C. θ8Cot8 
 D. θ8Tg8 E. 
8
θ8Cot
 
 
9. Reducir: θ8Cos2222  
 A. θSen2 B. θCos2 C. θSen 
 D. Cos  E. 2 Sen 
 
10. Simplificar: θTg
θ2Sec1
θ2Tg


 
 A. Tg  B. 1 + Tg  C. 0 
 D. Sen  E. Cos  
 
11. Simplificar: 
 
x2Cosx2Sen1
x2Cosx2Sen1

 
 A. Secx B. Tgx C. Ctgx 
 D. Sen x E. Cosx 
12. Si: Senx – Cosx = 
5
1
; 0 < x < 
4
π
 
Hallar: Sen 2x - Cos 2x 
 A. 
5
3
 B. 
25
16
 C. 
25
17
 D. 
26
25
 E. 
26
23
 
 
13. Simplificar: Cotx.
2
x
Sen2
2
x
Tg 2 
 A. Cosx B. Senx C. Tgx 
 D. Secx E. Cscx 
 
14. Si: 
2
π
;0x  . Simplificar: 
 
Senx1
2
x
Sen
Senx1
2
x
Cos



 
 A. Cosx B. Secx C. Senx 
 D. Cscx E. Tgx 
 
15. Calcular: “Tg112º30’” 
 A. 21 B. 12  C. 12  
 D. 12  E. 32 
 
16. Siendo: Cosx = -0,1 
 x  <180º; 270º> 
 Hallar: Tg
2
x
 
 A. 
2
11
 B. 
3
11
 C. 
3
11
 
 D. 
2
11
 E. 
2
11
3 
 
17. Hallar el valor de “M” para que se verifique: 
 
2
CosA.SenAM
A
4
π
SenA
4
π
Cos 22 











 
 A. 4 B. 2 C. 8 
 D. 3 E. 5 
 
18. Se sabe que: Sen2x = a , hallar: 
 
CosxSenx
xCosxSen
E
33


 
 A. 
4
a
1 B. 
2
a
1 C. 
2
a
1 
 D. 
a
2
1
 E. 
3
a
1 
 
19. Reducir: α2Sec.
αSen
α3Sen
αCos
α3Cos
P 





 
 A. 2 B. 5 C. 8 
 D. 6 E. 4 
 
20. Si: n
Cotx
3
Tgx
2
x2Sen
1
 
 Hallar: “Sen4x” 
 A. 
25n
n8 2

 B. 
25n
n8 2

 C. 
225n
n10

 
 D. 
25n
n10
2 
 E. 
25n
n10
2 
 
 
21. Calcular el valor de: 
 K = Cos4
12
π
+Cos4
12
π5
 + Cos4
12
π7
 + Cos4
12
π11
 
 A. 7/3 B. 7/4 C. 7/6 D. 8/3 E. 5/4 
 
22. Simplificar: 
Cotx
2
x
Tan
2
1
2
x
Tan
2
1
Cscx
K


 
 A. 1 B. 2 C. 1/2 D. –1 E. -2 
 
320 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
    
     
   
    
     
   
A B A B
SenA SenB 2Sen Cos
2 2
A B A B
SenA SenB 2Sen Cos
2 2
A B
A B
    
     
   
    
      
   
A B A B
CosA CosB 2Cos Cos
2 2
A B A B
CosA CosB 2Sen Sen
2 2
   
   
   
A+B A-B
CosB-CosA = 2Sen Sen
2 2
A B
   
   
   
    
   
2SenACosB Sen(A B) Sen(A B)
2SenBCosA Sen(A B) Sen(A B)
2CosACosB Cos(A B) Cos(A B)
2SenASenB Cos(A B) Cos(A B)
2SenASenB Cos(A B) Cos(A B)
CAPITULO X 
 
TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS 
 
RUBINA VICTORIO, Juan Carlos 
 
I. DE SUMA O DIFERENCIA A PRODUCTO 
Se le suele llamar también factorización trigonométrica y 
consiste en expresar mediante un producto una de-terminada 
suma o diferencia. 
Para transformar a producto una expresión, esta deberá estar 
compuesta por la suma o diferencia de dos senos o cosenos con 
ángulos ordenados de mayor a menor. Los ángulos resultantes 
en los factores del producto serán la semisuma y la 
semidiferencia de los ángulos iniciales. 
A. Suma o diferencia de senos a producto 
 Considerando:
 
 
 
 
A. Suma o diferencia de cosenos a producto 
 Considerando: 
 
 
 
 
 
 
Se debe tener en cuenta que: 
 Si A>B 
 
II. DE PRODUCTO A SUMA O DIFERENCIA 
Se le suele llamar también desdoblamiento del producto y 
consiste en expresar mediante una suma o diferencia un 
determinado producto. 
Para efectuar el desdoblamiento se deberá tener el doble 
producto de senos y/o cosenos. 
Los ángulos resultantes en el desdoblamiento serán la suma y 
la diferencia de los ángulos iniciales. 
Considerando: 
 
 
 
 
 
 
 
 Es importante tener presente : 
2 2Cos(x+y).Cos(x-y)=1-Sen x - Sen y
2 2Sen x-Sen y
Sen(x+y).Sen(x-y)=
2 2Cos y-Cos x




 
 
PRÁCTICA 10 
 
1. Si 10g  , calcular el valor de: 
 
5 9
5 9
Sen Sen Sen
M
Cos Cos Cos
  
  
 

 
 
A. 2 
B. -2 
C. -1 
D. 0 
E. 1 
 
2. Si: 
    2. 8 4 4 2RPCos Qx Cos Sx Cos x Cos x Sen x    
Determine el valor de:    Q R P S   
A. 7 
B. -7 
C. 1 
D. -3 
E. 3 
3. Si A B C    , simplifica: 
 . .
2 2
A A
SenA Sec SenB SenC Tg
W
SenB SenC
 


 
A. 
2
B
Ctg 
B. 
2
C
Ctg 
C. 
2
B C
Ctg
 
 
 
 
D. 
2
B C
Ctg
 
 
 
 
E. 
4
B C
Ctg
 
 
 
 
 
4. Si: 1 2W Cos x Cosx   
Determine una expresión equivalente de W en factores: 
A. 4 .
2
x
Cosx Cos 
B. 4 .
2
x
Senx Cos 
C. 4 .
2 6
x
Cosx Cos
 
 
 
 
D. 4 .
2 6
x
Cosx Cos
 
 
 
 
E. 4 . .
2 6 2 6
x x
Cosx Cos Cos
    
    
   
 
 
5. De la figura determine el valor de  : 
7
0
8
0
S
en
S
en



70 80Cos Cos  

 
A. 30° 
B. 45° 
C. 53° 
D. 60° 
E. 75° 
 
6. Si en un triángulo ABC se cumple: 
2.
2
A
SenB SenC Cos
 
  
 
 
Entonces dicho triángulo es: 
A. Isósceles 
B. Equilátero 
C. rectángulo 
D. acutángulo 
E. oblicuángulo 
 
 
321 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
7. Si: 
. .
2
Cosx Cosy Cosz m
x y z 

  
 
Calcular: 
2 2 2W Sen x Sen y Sen z   
A. m 
B. 2m 
C.  2 1 m 
D.  2 1 m 
E. 2 1m 
 
8. Reducir: 
7
2 2 2 4 2 6
Sen x
E Cos x Cos x Cos x
Senx
    
A. Senx 
B. Cscx 
C. Tgx 
D. 1 
E. 1 
 
9. Determine el mínimo valor de la expresión E definida por: 
3 4 4 3 .E Cos x Sen x Senx  
A. -3/2 
B. 1/2 
C. -1/2 
D. 0 
E. 3/2 
 
10. Calcular: 
24
34 52 88
25
E Sen Sen Sen    
A. 
1
4
 
B. 
1
4

 
C. 4 
D. 4 
E. 1 
 
11. Si: os( 120º ) os( 120º )m C C    
os . osn C C  y 60º   
Hallar el valor de la expresión: E m n  
A. 1/2 
B. 
1
os( )
2
C    
C. 
1
os( )
2
C     
D. -1/2 
E. 
1
os( )
2
C    
 
 
 
 
 
12. Hallar el área del cuadrilátero PQRS . 
3
4
x
P
Q
S
 
A. 
2 5
7
2 2
x
Sen Cos

 
 B. 
2
7
2
x
Sen Cos  
 C. 
2 11 5
2 2 2
x
Sen Cos
 
 
 D. 
2 11 5
2 2 2
x
Cos Cos
 
 
 E. 
2 5
7
2 2
x
Cos Cos

 
 
13. Si 
2
3
Cos  . 
 Calcular: 
5
2 . 3 . .
2 2
R Sen Sen Cos Cos Sen Sen
 
      
A. 
1
9

 
B. 
1
9
 
C. 
25
162
 
 D. 
25
162

 
 E. 
1
162
 
 
14. Hallar el valor de k en la expresión: 
 os130º 100º os70ºkC Sen kC  
A. -1 
B. 0 
C. 1 
D. 3 
E. 1/3 
15. Calcular el valor de E donde: 
 
322 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
1
70º os100º 50º 20º os140º
3
E Sen C Sen Cos C     
A. 10ºSen 
B. 3 os10ºC 
 C. 3 os10ºC 
 D. 20ºSen 
 E. 0 
 
16. Simplificar : 
  ( )
os( ) os( )
Sen x y z Sen x y z
E
C x y z C x y z
    

    
 
A. Tanx 
B. Ctgx 
C.  Tan x y 
D.  Tan x z 
E. ( )Tan y z 
 
17. En un triangulo ABC, A-B=60º hallar : 
os 2 os 2
os 2
C A C B
E
C C

 , 
A. 1 
B. 2 
C. 1 
D. 2 
E. 3 
 
18. Si: 
2 2 2os ( ) ( ) 2Sen C x Sen x       
Calcular 2Sen x en términos de  
A. 
2
Ctg
 B. 
2
Tan
 
C. 2Tan  D. 2Ctg  
E. 
2
Tan

 
 
19. Simplificar: 
( )
os os os( ) 1
SenA SenB Sen A B
C A C B C A B
  
   
 
A. ( )Tan A B 
B. ( )Tan A B 
C. ( )
2
A B
Tan

 
D. 
2
A B
Ctg
 
 
 
 
E. ( )
2
A B
Tan

 
 
 
 
20. Determine el intervalo de M definida como : 
1
os 2 . os os
2
M C x C x C x  ;
2
,
3 3
x
  
  

 
A. 
1 1
,
4 2

 
B. 
1 1
,
4 2



 
C. 
1 1
,
412
 


 
D. 
1 1
,
2 2
 


 
E. 
1
,0
4

 
 
21. Dado x y z    
Además: 
24 osSen x Cosy C z  
Entonces el valor de: 
2 2
y z
Tan Tan 
A. 
3 4 os
5 4 os
C x
C x


 
B. 
3 4 os
5 4 os
C x
C x


 
C. 
4 3 os
4 5 os
C x
C x


 
 D. 
4 3 os
5 4 os
C x
C x


 
E. 
4 3 os
4 5 os
C x
C x


 
 
22. Si A B C    , simplifique: 
 
 
2 2
A A
SenASec SenB SenC Tan
L
SenB SenC
   
    
   

 
A. 
2
B C
Ctg
 
 
 
 
B. 
4
B C
Ctg
 
 
 
 
C. 
3
B C
Ctg
 
 
 
 
D. 
2
B C
Ctg
 
 
 
 
 E. 
4
B C
Ctg
 
 
 
 
 
 
 
 
323 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
CAPITULO XI 
 
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 
 
RUBINA VICTORIO, Juan Carlos 
 
A. FUNCIÓN SENO: 
 
    2Sen x;y R | y Senx 
D(Sen):x R 
 
Es continua en todo su dominio, es decir  x R 
Es periódica y su período es ; 
Es variable con respecto a su crecimiento (crece y decrece por 
tramos). 
Es función impar: 
B. FUNCIÓN COSENO: 
 
    2Cos x;y R | y Cosx 
D (Cos): x R 
R (Cos): y = Cos 
Es continua en todo su dominio, es decir  x R . 
Es periódica y su período es ; 
Es variable con respecto a su crecimiento (crece y decrece por 
tramos). 
Es función par: 
C. FUNCIÓN TANGENTE: 
 
    2Tan x;y R | y Tanx 
 D (Tan):    x R (2k 1) ;k Z
2
 
 R (Tan): y = Tanx 
 Es continua en todo su dominio, es decir

    x R (2k 1) ; k Z
2
 
 Es discontinua para osea 
Para 
  x (2k 1) k Z
2
 
Es creciente en todos los intervalos continuos de su dominio. 
Es periódica y su periodo es 
 
Es función impar: 
 
D. FUNCIÓN COTANGENTE: 
 
  2Cot {(x; y) R | y Cotx} 
D (Cot):    x R k ; k Z 
R (Cot): y = Cot x R 
Es continua en todo su dominio, es decir 
    x R k ,k Z . 
Es discontinua para x = 0, osea para   x k ; k Z . 
Es decreciente en todos los intervalos continuos de su dominio. 
Es periódica y su periodo es 
 
Es función impar 
 
E. FUNCIÓN SECANTE: 
  2Sec {(x; y) R | y Sec x} 
D (Sec):    x R (2k 1) ;k Z
2
 
R (Sec): y = 
Es continua en todo su dominio, es decir:

     x R k (2k 1) ; k Z
2
 
Es discontinua para , ... osea para 
; k Z 
Es variable con respecto a su crecimiento (crece y decrece por 
tramos). 
Es periódica y su periodo es ; 
Es función par:
 
 
 
F. FUNCIÓN COSECANTE: 
 
  2Csc {(x; y) R | y csc x} 
D (Csc):    x R k ; k Z 
R (Csc): y = 
Es continua en todo su dominio, es decir     x R k ; k Z . 
Es discontinua para x = 0, , ... osea para 
  x k ; k Z
 
Es variable con respecto a su crecimiento (crece y decrece) 
Es periódica y su periodo es ; 
Es función impar: 
  R(Sen):y Senx [ 1;1]
2  T(Senx) 2
  Sen( x) Senx
 x [ 1;1]
2
 T(Cosx) 2
 Cos( x) Cosx
 

3
x ; ;...
2 2

 T(Tanx)
  Tan( x) Tanx
 2

 T(Cot x)
  Cot( x) Cotx
     x ; 1] [1;
 
x ; 3
2 2

 x (2k 1)
2
2  T(sec x) 2
 Sec( x) Sec x
    Csc x : 1] [1;
 2
2
 T(Csc x) 2
  Csc( x) Csc(x)
 
324 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
PRÁCTICA 11 
 
1. Hallar el dominio de:   2 5 3f x Tg x  
 A.  / 2 1 ;
9
x x n n
 
    
 
 
 B.  / 2 1 ;
10
x x n n
 
    
 
 
C.  / 3 1 ;
13
x x n n
 
    
 
 
D.  / 2 1 ;
15
x x n n
 
    
 
 
E.  / 2 1 ;
11
x x n n
 
    
 
 
2. Hallar el rango de: 
     2
4
4 4 , ,3
3
f x Cos x Cos x x 
 
   
 
 
A.  1, 2 
B.  1,8 
C.  1,1 
D.  1,3 
E.  1,6 
 
3. Si 
3
,
2
x


 
 
 
, determine el rango de la función: 
 
 
2
2
1
3
1
Tgx
f x
Tg x

 

 
A.  4,5 
B.  4,5 
C.  4,5 
D.  4,0 
E.  4,5 
4. Sean las funciones f y g definidas por: 
   2 1f x Sen x  
 g x ExSecx 
 Hallar 
f gD R . 
A.  5, B.  4, C.  3, 
D.  2, E.  1, 
5. Esbozar la gráfica de la función f definida por: 
 
2
.
Sen x
f x Tgx Cosx
Cosx
  
 A. B. 
y
x
0
2
2
 
 
y
x
0
1
 2
 
 
 C. D. 
y
x
0
2


1
3
2
 2
y
x
0
2
 
1
3
2
 2
 
E. 
y
x
0
2
 
1
3
2
 2
 
6. Determine el área de la región sombreada del gráfico 
adjunto. 
y
x
0
4
2
x
y Sen
 
  
 
 
A. 
28 u 
B. 
26 u 
C. 
24 u 
D. 
22 u 
E. 
210 u 
 
7. Determine el rango de la siguiente función: 
 
.Cosx Ctgx
f x
Ctgx
 
A. 1,1 0,2  
B. 1,0 0,1  
C. 1,0 0,5  
D. 1,0 0,2  
E. 1,1 0,3  
 
 
325 
 
 
 
 APREMUNI AMBO-2020 
8. Calcular el período mínimo de la función f definida por: 
  2 2
1
.
4
f x Sec x Secx Cscx Csc x    
A. 
6

 B. 
3

 C. 
3
3

 
D. 
3 E.  
9. Halle el período mínimo de la función G definida por: 
 
24 12
48 1
3 5 7
x x
G x Sen x Cos Sen
      
         
     
 
A. 
12

 
B. 
5
12

 
 C. 
35
6

 
D. 
7
6

 
E. 
24

 
 
10. Hallar el dominio de la siguiente función: 
  21 6
5
x
f x Sec  
 A. 
 B. 
 2 1
;
2
n
x n
 
  
 
 
 C. 
 2 1 5
;
2
n
x n
 
  
 
 
 D.  ;x n n  
 E. 
 2 1 5
;
2
n
n
 
  
 
 
 
11. Hallar el dominio de la siguiente función: 
   4 3 , 0,2f x Versx Covx x     
A. 
5
,
2 2
  
 
 
 B. 
5
,
7 7
  
 
 
 C. ,
3


 
 
 
 
 D. 
5
,
4 4
  
 
 
 E. ,
5


 
 
 
 
 
 
12. Dada la función: 
 
3
3 , ,
2 2
f x Senx Cos x x
  
   
 
 
 Hallar un valor de " "x para que la función sea nula. 
 A. 
3
4

 B. 
5
2

 C. 4 D. 
5
4

 E. 2 
13. Determine el rango de la función: 
  5 3f x Cos x 
A.  5,5 B.  5,5 C.  0,5 
D.  5,0 E.  1,1 
14. Un objeto se mueve de acuerdo a la ecuación : 
2 8
4
y Sen t


 
  
 
 
donde " "t está medido en minutos. ¿Cuál es el periodo, 
cuántos ciclos se completan en 10 minutos y cuál es la 
distancia que hay desde el objeto hasta el origen cuando 
0t  ? 
A. 1/4, 20 ciclos, 2m. B. 1/2, 40 ciclos, 1m. 
C. 1/4, 40 ciclos, 1m. D. 1/4, 10 ciclos, 1m. 
E. 1/2, 20 ciclos, 2m. 
15. Hallar el rango de la función: 
  1 2
4
f x Cos Senx
 
   
 
 
A. 1,1 2  B. 1, 2   
C.  1,1 2   D. 1,1 2    
E.  1, 2 
 
16. Sea f la función definida por: 
   f x Ctg Cosx 
Hallar el dominio de f 
A. ;
2
k
k
 
  
 
 
B. 
C.  ;k k  
D. 
 2 1
;
2
k
k
 
  
 
 
E. 
