Manual de Matemática Avançada

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<p>editorial</p><p>https://www.facebook.com/AULA-PRE-712179829576266</p><p>https://www.facebook.com/AULA-PRE-712179829576266</p><p>https://www.facebook.com/AULA-PRE-712179829576266</p><p>twitter.com/calapenshko</p><p>autor, del escrita autorización</p><p>previa sin obra esta de parcial o total reprodución la Prohibida</p><p>S.A.C. Ingenio Proyecto impresión: e diagramación Composición, e</p><p>Perú in Printed / Perú el en Impreso e</p><p>1.5B.N.:978-603-4022-04-1 e</p><p>2007-13035 N” Nacional Biblioteca la en depósito cl Hecho e</p><p>ejemplares eTirajc1000</p><p>2010 Enero Edición Segunda</p><p>proyectommgeniohotmail.com 1'-mail:</p><p>editorialingenio.com www.</p><p>426--4853 (511) Telefax:</p><p>Lima - 301 Of 407 N* Tacna Av.</p><p>editor S.A.C., Ingenio Proyecto (O)</p><p>Jiménez Paulino David</p><p>ldición Segunda la de Revisión</p><p>Bautista Hernández Hernán</p><p>Académica Dirección</p><p>S.A.C. Ingenio Proyecto (O)</p><p>S.A.C INGENIO PROYECTO</p><p>«de publicaciones las de parte es Edición, Segunda</p><p>PRE-U, Colección la de TRIGONOMETRÍA, de [texto</p><p>MARE,</p><p>falta.</p><p>hacer pudieran que conocimientos los complementar</p><p>y aprendido lo reforzar Matemática, la aprender</p><p>para práctico y útil instrumento un Pre-U, Colección</p><p>de textos los en visto han quienes estudiantes, numerosos</p><p>de universidad la a ingreso el en obra esta desempeñado</p><p>ha que estratégico papel el por trabajo nuestro</p><p>de resultados gratificantes los de satisfechos sentimos Nos</p><p>pre-universitario, estudiante</p><p>del requerimientos los satisfactoriamente y eficiente cubra</p><p>esperamos que libro este cristalizado hemos conclusiones</p><p>las de partir A temas. los de incidencia la como así país,</p><p>del universidades principales las de admisión de exámenes</p><p>los de preguntas las de dificultad de grado el analizar de</p><p>trabajo el dado hemos nos texto presente el elaborar Para</p><p>éxito. el alcanzar de posibilidades mayores tendrá</p><p>óptima, inteligentemente eficiente, forma en preparatoria</p><p>actividad su oriente quien mismo, lo Por ganadora.</p><p>estrategia la sobrevive que la en sacrificio, de competencia,</p><p>intensa de esfera una en convertido ha se universitaria</p><p>pre- y escolar educación la ello, todo de consecuencia A</p><p>universidades.</p><p>las ofrecen que vacantes pocas las y secundaria la de</p><p>egresados de número el entre diferencia abismal la de directa</p><p>consecuencia una que más es no situación esta Ciertamente,</p><p>pre-universitarios. colegios en</p><p>privados, los totalidad su en colegios, los de mutación la y</p><p>universidades las a ingreso el para alumnos de preparación</p><p>la a dedicadas instituciones de formación la condicionado</p><p>ha Perú, del universidades las a ingreso de sistema El</p><p>E E a e o e</p><p>Edición Segunda la a Prólogo</p><p>twitter.com/calapenshko</p><p>EDITORES LOS</p><p>edición. segunda</p><p>la para realizado trabajo impecable el por Jiménez</p><p>Paulino David profesor al especial reconocimiento Un</p><p>calidad. mejor de vez cada obras</p><p>lector al brindando seguir para críticas, renovadas recibir</p><p>y anterior la con que satisfacciones mismas las edición</p><p>renovada esta con cosechar Esperamos escrito. medio</p><p>del través a docente labor nuestra mejorar para servido</p><p>han nos que las llegar, hecho han nos que sinceras críticas</p><p>las y edición primera la a brindado han que acogida</p><p>la por lectores, los todos a agradecimiento sincero Un</p><p>deducirlas. para habilidades las</p><p>de desarrollo el en sino, fórmulas, las de memorización la</p><p>en aprendizaje su basar que tendrá no lector el que modo</p><p>de sencilla, pero sólida, coherencia una con estructurada,</p><p>progresivamente y lógica secuencia una sigue feórica,</p><p>todo sobre exposición, la Toda rebuscados. y místicos</p><p>términos en presentado o demostración sin o porqué del</p><p>explicación sin suelto, está libro el en hay que lo de Nada</p><p>Matemática. la de significativo</p><p>aprendizaje el estimular y específicas necesidades cubrir</p><p>a orientado práctico, ágil, texto un lector al brindamos</p><p>modo este De propuestos. problemas los aumentado y</p><p>admisión de exámenes los actualizado resueltos, problemas</p><p>los incrementado e reordenado teoría, la reforzado</p><p>hemos edición, primera la de experiencia exitosa la Con</p><p>twitter.com/calapenshko</p><p>a</p><p>b</p><p>a</p><p>.</p><p>3.1</p><p>Iv.</p><p>Contenido</p><p>A</p><p>ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO 9</p><p>Sistemas de medición angular</p><p>Ángulo trigonométrico. Sistema de</p><p>medición angular. Cambio de</p><p>unidades de medición angular.</p><p>Conversión de unidades mediante el</p><p>factor de conversión.</p><p>LONGITUD DE ARCO Y ÁREA DE</p><p>SECTOR CIRCULAR 31</p><p>Longitud de arco,</p><p>Númcro de vueltas de una rueda y</p><p>longitud de arco.</p><p>Área del sector circular.</p><p>RAZONES TRICONOMEÉTRICAS DE</p><p>ÁNCULOS ACUDOS 65</p><p>Razones trigonométricas en el</p><p>triángulo rectángulo. Razón trigo-</p><p>nométrica. Razones trigonométricas</p><p>reciprocas. Razones trigonométricas de</p><p>ángulos complementarios. Razones</p><p>trigonométricas de ángulos notables.</p><p>Ángulos verticales y horizontales.</p><p>RAZONES TRIGONOMÉTRICAS</p><p>DE ÁNGULOS DE CUALQUIER</p><p>MAGNITUD 109</p><p>Recta real y plano cartesiano.</p><p>Recta real. Sistema de coordenadas</p><p>en dos dimensiones.</p><p>Razones trigonométricas de ángulos</p><p>de cualquicr magnitud. Razones</p><p>trigonamétricas de ángulos en</p><p>posición normal. Razones trigonomé-</p><p>tricas de ángulos cuadrantales.</p><p>Ángulos coterminales.</p><p>Reducción al primer cuadrant</p><p>Ángulos complementarios. Ángulo:</p><p>suplementarios. Ángulos revolu</p><p>cionarios.</p><p>REDUCCIÓN AL PRIMER</p><p>CUADRANTE 133</p><p>Para ángulos menores que uni</p><p>vuelta. Reducción al prime</p><p>cuadrante de ángulos positivo</p><p>mayores que una vuelta. Reducció:</p><p>al primer cuadrante de ángulo</p><p>negativos.</p><p>CIRCUNFERENCIA</p><p>TRIGONOMÉTRICAS 151</p><p>Circunferencia Trigonométricas</p><p>Representación de las funcione</p><p>trigonométricas en la circunferenci</p><p>trigonométrica. Representación de</p><p>seno. Representación del cosenc</p><p>Representación de la tangente</p><p>Representación de la colangente</p><p>Representación de la secante</p><p>Representación de la cosecante</p><p>Senoverso. Cosenoverso, Hx-secanti</p><p>VII. IDENTIDADES</p><p>TRIGONOMEÉTRICAS</p><p>Identidades fundamentales,</p><p>Identidades trigonométricas.</p><p>Identidades reciprocas.</p><p>Identidades por cociente</p><p>Identidades pitagóricas</p><p>Identidades auxialiares</p><p>Demostración de algunas ident</p><p>dados auxialiares. Algunos tipos Y</p><p>problemas frecuentes que requiere</p><p>el uso de 6 las 0 identidadce</p><p>trigono-métricas.</p><p>179</p><p>MIMI. ARCOS COMPUESTOS</p><p>1</p><p>.2</p><p>K.</p><p>,.</p><p>1.1</p><p>207</p><p>Razones trigonométricas de la</p><p>suma de dos arcos.</p><p>Razones trigonométricas de la</p><p>diferencia de dos arcos.</p><p>ARCOS MÚLTIPLES 233</p><p>Senos de arco doble. Coseno de arco</p><p>doble. Degradación del ángulo</p><p>doble. Tangente de arco doble.</p><p>Tangente de arco doble. Identidad</p><p>adicionales. Identidades del arco</p><p>mitad. Coseno del arco mitad.</p><p>Tangente del arco mitad.</p><p>Identidades adicionales.</p><p>Identidades de arco triple.</p><p>TRANSFORMACIONES</p><p>TRIGONOMÉTRICAS 269</p><p>Transformación de la suma o</p><p>diferencia de senos y cosenos a</p><p>producto. Transformación de suma</p><p>y diferencia de senos a productos.</p><p>Transformación de suma y</p><p>diferencia de cosenos a producto.</p><p>Transformación de producto a</p><p>suma o diferencia. Identidades</p><p>adicionales.</p><p>FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA</p><p>295</p><p>Función real de variable real.</p><p>Dominio y rango de una función.</p><p>Gráfica de una función. función</p><p>inyectiva o univalente. Función</p><p>suryectiva, sobreyectiva 0</p><p>epiyectiva. Función biyectiva.</p><p>Funciones monótonas. Función no</p><p>creciente. Función no decreciente.</p><p>Función creciente. Funciones</p><p>monótona.Propiedades de la gráfica</p><p>de una función. Funciones pares,</p><p>impares y periódicas.</p><p>1.2 Funciones trigonométricas. Función</p><p>seno.</p><p>XII. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS</p><p>INVERSAS 335</p><p>12.1 Función inversa.</p><p>12,2 Función trigonométricas inversa.</p><p>Graficas de las funciones</p><p>trigonométricas inversas,</p><p>Propiedades de las funciones</p><p>trigonométricas inversas.</p><p>XI5II. ECUACIONES</p><p>TRIGONOMÉTRICAS - 367</p><p>13,1 Ecuaciones trigonométricas.</p><p>Resolución de una ecuación</p><p>trigonométrica. Valor principal (Vp).</p><p>Solución general. Ecuaciones</p><p>trigonométricas no elementales.</p><p>XIV. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS</p><p>OBLICUÁNGULOS 367</p><p>14.1Resolución de triángulos obli-</p><p>cuángulos,</p><p>Ley de senos. Ley de cosenos. Ley</p><p>de tangentes.</p><p>de 45”. El mismo</p><p>punto se observa desde la parte más</p><p>alta del poste con un ángulo de</p><p>elevación de 37% Calcular la</p><p>longitud del poste, si la distancia</p><p>entre el poste y la torre es de 120 m.</p><p>Resolución:</p><p>Graficando</p><p>«PROBLEMAS</p><p>Problema 1</p><p>Si sen a E y 0' Mo 2D</p><p>ab ab</p><p>:|4f =12</p><p>Rpta. €</p><p>Problema 3</p><p>Calcular</p><p>e (Osen18"+16c0572").cse18"</p><p>tg36".tg54*</p><p>AJ5 B)7 O 45</p><p>D) 25 E) 49</p><p>Trigonométria</p><p>Resolución:</p><p>[(9sen 18" +lósen18”) .esc18”</p><p>ty36".ctg36"</p><p>H =</p><p>—</p><p>1</p><p>25sen18*.csc18*</p><p>tg36*.ctg36”</p><p>——</p><p>1</p><p>H=4/25 >..[H=5]</p><p>Rpta. A</p><p>Problema 4</p><p>Hr</p><p>Hallar “ x” en función de “a” ;“0” y</p><p>Fe FF</p><p>0h.</p><p>A) acosBcosa B) acosÓsena</p><p>C) asenBsenc</p><p>D) asen8cosa E) asecBcsca</p><p>Resolución:</p><p>Del gráfico:</p><p>+ lx=acosBcosa</p><p>Rpta. A</p><p>Le</p><p>Problema 5</p><p>Desde un punto en tierra se observa la</p><p>part* más alta de un edificio, on un</p><p>angulo de elevación de 15%, Acercándose</p><p>100 m en línea recta, el nuevo ángulo de</p><p>vlevación es el doble del anterior. Hallar</p><p>la altura del edificio.</p><p>A) 100 m B) 5043 m C)200 m</p><p>D) 100 43m E) 50 m</p><p>Resolución:</p><p>A 100 .,</p><p>«¡1230 mn]</p><p>Rpta. E</p><p>Problema 6</p><p>En un triángulo ABC (recto en C), de</p><p>hipotenusa igual a 24 cm, determinar el</p><p>área de dicho triángulo, sí senA.senB = 5</p><p>A) 27 cm? B) 54 cm?</p><p>C) 108 cm?</p><p>D) 216 cm? E) 124 cm?</p><p>Resolución:</p><p>B</p><p>0%</p><p>Pess a</p><p>A b C</p><p>li ES ers ed la dd]</p><p>A dd e</p><p>de</p><p>Dato: senA . senB= 8 (1)</p><p>o ÁS 24*</p><p>c.E 8</p><p>Pr]</p><p>4?</p><p>ab = 216</p><p>Luego:</p><p>sap 22</p><p>2</p><p>S. ABC = = =108 em?</p><p>Rpta. €</p><p>Problema 7</p><p>En un triángulo rectángulo</p><p>ABC (B=90") se tiene que:</p><p>tgA- cos ES _ AgC:senA</p><p>2a 3c</p><p>Calcular</p><p>K=vÍ5tg A + 25ecC</p><p>A) 2 B) 3 C) 4</p><p>D) 5 E) 6</p><p>Resolución:</p><p>Sea el triángulo.</p><p>-</p><p>E</p><p>b «l</p><p>. O</p><p>A c B</p><p>Dato:</p><p>tgA —- cos? C _ ctlgC: -SenÁá</p><p>2a HH.</p><p>TE E REnaR, ATI ME TIT</p><p>Dato:</p><p>lila o NE =5k</p><p>¿pl 3 Lo .</p><p>a b*-2a be -3e AN ANA A 104</p><p>"ki? 42 3 Recuerde: b e . Se Be MN 6k</p><p>a ZA ta M ÉS</p><p>e 2ab* - 3b MC Ak</p><p>Luego: 3</p><p>a=2k tg9=5</p><p>E= : b=3k ]</p><p>Rpta.</p><p>c=y/5k</p><p>pta</p><p>se pide: Problema 9</p><p>K = ¿5tgA + 2secC</p><p>3k En el gráfico se cumple: Al=4/2 4 Cl =4</p><p>e) a) VAk :</p><p>.¿K=5 Calcular: k =</p><p>tga —1</p><p>Rpta. D</p><p>Problema 8</p><p>Se tiene un cuadrado ABCD donde se</p><p>traza AECE" en CD), tal que</p><p>m EAB=53*.Se traza después CN (N"</p><p>en AE), tal que AN = 2NE y</p><p>m_- BCN =0. Calcular el valor de "tg0”.</p><p>A) 42 B) 43</p><p>A) 2 B) 3 O 3,5</p><p>D) 2,5 E) 1,5 O) 343</p><p>D) 443 E) 442</p><p>Resolución:</p><p>2 JJ r a ze C Resolución:</p><p>6k E</p><p>ii Ók ls</p><p>Kill Nx...</p><p>12% a ET</p><p>10 6k 6k</p><p>53% ;</p><p>A 370 n O zz</p><p>A D</p><p>Ek Ak</p><p>ia “DENT</p><p>: EAT hh E ONIonal</p><p>Del gráfico: m4 AIC = 105*</p><p>=>a+f=75</p><p>Recordar:</p><p>a</p><p>¿Tea a d</p><p>46 +42</p><p>IM=y6-v42</p><p>Es TMC: MC= 46 +2</p><p>Luego:</p><p>J6 +42</p><p>Ss ÁMC: tea = C: tga E</p><p>4 =4.4/3</p><p>tga —1</p><p>¿¿k=</p><p>Rpta. D</p><p>Problema 10</p><p>Sabiendo que a es agudo y</p><p>tga=(2sen40%+c0s50")sec50” ;</p><p>“a” es agudo,</p><p>calcular JT0esca -ctga</p><p>A) 7/3 B) 2 O 1</p><p>D) 5/3 E) 3</p><p>Resolución:</p><p>tga = (2sen40* + cos50”)-sec50"</p><p>cos50”</p><p>tga = (3c0550*)sec50*</p><p>xEOo a É———Ú</p><p>1</p><p>> tga =3</p><p>O</p><p>Luego:</p><p>Y10 esca —ctga = 10 0</p><p>10 csca -ctga =3 :</p><p>Rpta. E</p><p>Problema 11</p><p>Sabiendo que</p><p>tg(40%% x)sen(50%— x) = cos(10% x)</p><p>tg(2x-5).tgy = tg1*.tg2”.tg3”... 1889”</p><p>calcule</p><p>C = sec(2x+5") + tg(y+5) + escu y=x-5)</p><p>A)y3 B)5 0)7</p><p>D) 9 E) 11</p><p>Risolución:</p><p>i) tg(400 +x)sen(50 "-x") = cos(10*+x)</p><p>se deduce que sen(50”—x) =cos(40%+x)</p><p>sen(40" + x)</p><p>cos(40” + x)</p><p>cos(40” + x) = cos(10* + y)</p><p>=> sen (40%+ x) = cos(10%+ x)</p><p>=> (40%+x) + (10% +x) = 909</p><p>“lx =20P</p><p>ii) Observemos que</p><p>tg1?.tg2”.tg3”... tg87”.tg88".tg89"</p><p>ARENA O</p><p>equivale á</p><p>tg1?.tg2”.tg.3”...cty3"ctg2*ctg1" =1 : pla da</p><p>l</p><p>Luego:</p><p>tg (2x-5.tg v =1</p><p>tg (35%) tg y = 1</p><p>> ctg55".tgy=1 =>|y=55"</p><p>Finalmente:</p><p>C= sec45” + 18260” + cscr30”</p><p>CST 229</p><p>Rpta. D</p><p>Problema 12</p><p>En un triángulo rectángulo ABC</p><p>(B=90") se sabe que</p><p>eS rego= Josc A</p><p>Calcular tgA + cscC</p><p>A) 1 B) 4/2 O 3</p><p>D J3 E) 2</p><p>Resolución:</p><p>N METIA</p><p>A b+e</p><p>8) rs un</p><p>C b+a</p><p>Análogamente: gs”</p><p>el gráfico:</p><p>C</p><p>Reemplazamos en (1):</p><p>b+c,b+a = 3b</p><p>a á c</p><p>b+a_2b-c</p><p>c A</p><p>bara? = 2bc-c?</p><p>ba+(a? +c*)=2bc</p><p>2</p><p>hb</p><p>Simplificando: a +b=2c</p><p>TA</p><p>coc</p><p>Rpta. E</p><p>Problema 13</p><p>eo seng _ 2</p><p>Del gráfico : a 3</p><p>Calcular secA.secC, si: PO // AC</p><p>A N M c</p><p>A) 1,133... B) 2,133... — C) 1,166...</p><p>D) 2,166... E) 3,133...</p><p>Resolución:</p><p>INE O url recon (E</p><p>PRO: sen0 =</p><p>AQP: sena = or</p><p>Finalmente:</p><p>secÁA -secT=</p><p>Rpta. D</p><p>Problema 14</p><p>En la semicircunferencia mostrada,</p><p>calcular L = 2tga + 6tgP, si HB = 3AH</p><p>A —_H O B</p><p>A) 43 B) 243 C) 343</p><p>D) 2 E) 3</p><p>Resolución:</p><p>AAN MAT El al A ido</p><p>Se pide: L = 2tga + 6tg[</p><p>a a 4a</p><p>lc</p><p>Recuerde:</p><p>m rn</p><p>5e cumple: h* = mn</p><p>En tANB: (2a)? = b.3b</p><p>2a =/3b > - =243</p><p>En (1): L= 243</p><p>Rpta. B</p><p>Problema 15</p><p>Del gráfico, calcular "ctg0"</p><p>A,</p><p>H</p><p>ó :</p><p>2447 447</p><p>A) 3 B) 37</p><p>a E</p><p>54347 A</p><p>D == E) 3</p><p>Miedo</p><p>Resolución:</p><p>20 90")</p><p>O B</p><p>3</p><p>En el SOHC: sen20 = 4</p><p>Construimos otro triángulo:</p><p>Del gráfico: ctgU = enn</p><p>o</p><p>Rpta. B</p><p>Problema 16</p><p>En un triángulo isósceles los ángulos</p><p>congruentes miden a” cada uno y el lado</p><p>desigual mide "L”. ¿Cuál es el área del</p><p>triángulo?</p><p>E</p><p>A) Ulpa B) 3 Ba</p><p>( e”</p><p>D) 5 tg li) —tga</p><p>a 83) le</p><p>Resolución:</p><p>Problema 17</p><p>En un triángulo rectángulo isósceles</p><p>ABC (B=90"), se traza la ceviana AE</p><p>CE” en BO), tal que EAB=0 y AE =m.</p><p>Halle CE,</p><p>A) m(cos0 — senb) B) m(send -cosO)</p><p>O mítg0 — ctg0)</p><p>IM nxísecO - escl) E) m(esc0-secO)</p><p>Resolución:</p><p>3</p><p>(</p><p>u</p><p>e</p><p>s</p><p>u</p><p>tm</p><p>A MECOS (</p><p>SAMTBETO 0 0000000 6000 MATA</p><p>En el Es. AEB: En el +5 el sombreado: OP =R</p><p>EB = Mmsenó</p><p>AB = mcos0 PS = Rcosa</p><p>: OS = Rsena</p><p>Pero: AB= BC</p><p>=> McC080 = x+msen0 Enel És AQT: —AQ=xsen45</p><p>¿ox=m(cos0-senó) En el Es VBS: —SB=z cos45</p><p>Rpta. A Luego:</p><p>SB 2.c0s45</p><p>Problema 18 AO xsen45</p><p>ez E E F e - Jel gráfico hallar yr si AT=x (a VB=z R-Rsena z</p><p>A . R-Rcosa x</p><p>Q 3 TY e 2 1sena</p><p>x 1-cosa</p><p>Y Rpta. A</p><p>Problema 19</p><p>ul Del gráfico determinar el valor de</p><p>O 5 B 8%</p><p>senf$ cos</p><p>l —s5ena l-cosu 14 sena</p><p>1</p><p>) 1— cos ) l- sena C) 1 - cosa mA</p><p>B AC</p><p>o 1 sunt o 1 cost A</p><p>Y ea El Tosona 051 ?</p><p>1+ sena</p><p>esolución: A 0 A | , D</p><p>A OS</p><p>MS P A) 9/7 B) 7/2 O 2/9 QU | D) 9/2 Ej) 2/7</p><p>a</p><p>: Reso lución:</p><p>S Ry/- NV</p><p>o 8 =</p><p>6 Si 2> $ MA) E. 4 E , — 45 > 3]</p><p>O Rsenua 5 B A</p><p>a R + b de 2 5]</p><p>F</p><p>i</p><p>Ten</p><p>SABN: AB 7tge</p><p>SACD: AC 9cosp</p><p>, AB</p><p>ABC: senfi-—=-</p><p>AC</p><p>Luego:</p><p>senj) E EE</p><p>Icos|h</p><p>A tau</p><p>$ senf.cosf</p><p>Kpta. A</p><p>Problema 20</p><p>En el gráfico, hallar “send” en función</p><p>de “a” y "P", sí ABCD es un cuadrado.</p><p>B o Mi C</p><p>></p><p>G</p><p>i</p><p>a</p><p>A z DD</p><p>A) sena.senf B) cosa.cosf C) tga.tgP</p><p>1) seca.sech Ejesca.cscf)</p><p>Resolución:</p><p>B M E</p><p>a q</p><p>0</p><p>y A £</p><p>f po E</p><p>e</p><p>o</p><p>A p</p><p>1 f'</p><p>A í "D</p><p>(85)</p><p>Trazamos AbHLLMD</p><p>ES AHD: ATI > £cosf</p><p>ts ABM: AM = ¿secu</p><p>ts MEA: sent = ¡Csesh</p><p>Eseca</p><p>sen( = cosa cos)</p><p>Rpta. B</p><p>Problema 21</p><p>En un triángulo ABC se ubica "D” sobre</p><p>AC, tal que LE- 22, ABD=4 y</p><p>BOCA 0- Hallar tó en función de "0",</p><p>si además DBC =90".</p><p>2 2 6 2</p><p>A) GEN B) 7 CG) 5 tg0</p><p>2 7</p><p>D) ¿Etg0 E) ¿ctg0</p><p>Resolución:</p><p>[AE =2kcuosÚ</p><p>EAED:</p><p>ED = 2ksend</p><p>E DBC: (DB = 5ksend</p><p>Edi AE 2kcosU</p><p>SS ABE: 1897 ED4DB — 2ksend+ 5ksend</p><p>2kcos0 2 teo = ÉSLL =S 180 =Zctg0 SR y)</p><p>Kpta.</p><p>AMENT</p><p>Problema 22</p><p>En un triángulo isósceles ABC(AB = BC),</p><p>se traza la bisectriz interior del ángulo</p><p>"A" que corta a BC en "D", Si las áreas de</p><p>los triángulos ABD y DCA son 5, y 5,,</p><p>respectivamente, halle ¿l</p><p>de</p><p>A) secA B) 3secA 073 LsecA</p><p>D) cosA E) 2cosA</p><p>Resolución:</p><p>Conocemos:</p><p>q</p><p>a</p><p>= —senb > en</p><p>Luego:</p><p>AB-AD__A</p><p>ps sen (1)</p><p>ADAC A</p><p>S, = ———sen— 2 > 5 2 (2)</p><p>(0)+ (2) 3" de</p><p>AE Pl</p><p>Pera:</p><p>DO EA $ a</p><p>A</p><p>deecÁ</p><p>2 |</p><p>Rpta. €</p><p>a EOI</p><p>Problema 23</p><p>Si e! áres «¿e un triángulo rectángulo es</p><p>"5, 1 es uno de sus ángulos agudos,</p><p>expresar la bisectriz interior del ángulo</p><p>recto en términos de los lados.</p><p>245 y5</p><p>2 Vid Jo ig + JigO</p><p>CIN</p><p>o) tg0+ctg0</p><p>MS A</p><p>D) tg0 + ctgB E) /tg0 + /ctgó</p><p>Resolución:</p><p>Dato:</p><p>SAABC=5S</p><p>Del gráfico:</p><p>ge)</p><p>2</p><p>25-35 (11180) 3 (1+ct80)</p><p>A 4S</p><p>(1+tg0)(1+ctg0)</p><p>2_ 45 /</p><p>1+tg0+ctg0+tg0x ctg0</p><p>TER Cl iio</p><p>45</p><p>=> x*= ——_—_——</p><p>(Vig0+/c185)</p><p>245</p><p>Pa igor Ja a)</p><p>Rpta. A</p><p>Problema 24</p><p>Desde un punto en tierra se divisa la</p><p>parte alta del tercer piso de un edificio</p><p>con un ángulo de elevación "a” y la</p><p>parte baja del sexto piso con un ángulo</p><p>de elevación "P". Si la azotea del edificio</p><p>es vista con una elevación angular "0",</p><p>verificándose que</p><p>tg0 = 2tga + 3tgB,</p><p>¿cuántos pisos tiene el edificio?</p><p>A) 17 B) 19 21</p><p>D) 23 E) 25</p><p>Resolución:</p><p>a</p><p>a na</p><p>a</p><p>a</p><p>a</p><p>0 a</p><p>) FAL 4</p><p>hb. d +|</p><p>n: + de pisos</p><p>MTI</p><p>Del dato:</p><p>tg0 = 2tga + 3tgf</p><p>a (F)> n=21</p><p>d d) "Ud</p><p>Problema 25</p><p>Desde un punto en tierra, ubicado a una</p><p>distancia "d" de la base de un árbol, se</p><p>divisa su parte más alta con un ángulo</p><p>de elevación "P". El árbol es cortado a</p><p>una altura "h" de su base, y al caer su</p><p>punta forma con el suelo un ángulo "0"</p><p>Hallar = .</p><p>A) (sec0 + 1)tgP B) (cscO + 1)tgp</p><p>C) (secó + D)ctgH</p><p>D) (esco + 1)ctgB E) (cscf + 1)tg0</p><p>Resolución:</p><p>I d e</p><p>Del gráfico</p><p>hcscó + h</p><p>t — gb q</p><p>dtgf$ = h(escó+1)</p><p>, Em (esc 1ectgh</p><p>Rpta. |</p><p>TAO tia</p><p>Problema 26</p><p>Desde un punto en tierra se divisa la</p><p>cima de una torre con un ángulo de</p><p>elevación"q”. Si nos acercamos una</p><p>distancia "d" el ángulo de elevación</p><p>sería "[P”. Pero si a partir de este último</p><p>punto nos acercamos "2d", el ángulo de</p><p>elevación sería 45”. Calcule ]= ctgh—1</p><p>ctga — 1</p><p>A) 1/3 B)3 C) 3/2</p><p>D) 2/3 E) 3/4</p><p>Resolución:</p><p>u</p><p>l</p><p>t</p><p>Rpta. D</p><p>Problema 27</p><p>Se tiene dos torres de alturas h y El</p><p>(h a)”</p><p>A) tga +tga B) ctg9 +ctga:</p><p>C) tg9—- tga</p><p>D) ctga-etgo Ey POTES</p><p>8 $ ) tg0 — tga</p><p>Resolución:</p><p>1] k ma A</p><p>: le:</p><p>| HA</p><p>| ——— ki =—— cio]</p><p>Se tiene:</p><p>h =ktga</p><p>H = ktg0</p><p>Se pide: tgé= on</p><p>tgó= ea</p><p>ted =tg0 —tga</p><p>Rpta. €</p><p>Problema 28</p><p>Desde un punto en tierra se divisa la</p><p>azotea de una torre de 50 m de altura,</p><p>con un ángulo de elevación de 12. ¿Qué</p><p>distancia habría que acercarse, para que</p><p>el ángulo de elevación sea de 48, si</p><p>esc24” + csc48” = 3,804 ?</p><p>A) 152,16 m B) 57,06 m</p><p>C) 159,768 m E]</p><p>D) 190,2 m E) 228,24 m</p><p>(CES</p><p>Resolución:</p><p>e mi e</p><p>Y —— — y</p><p>Del gráfico: m= 50 csc24 *</p><p>n = 50 cse48”</p><p>xo meén=50(csc24" + 05048”)</p><p>x= 50x 3,804 = 190,2 m</p><p>Rpta. D</p><p>Problema 29</p><p>Un aficionado al deporle de aventuras</p><p>se encuentra en lo alto de una colina de</p><p>600 m de altura inclinada un ángulo "0"</p><p>respecto a la horizontal. Desciende de</p><p>ella y ya en la base recorre 300 m</p><p>horizontalmente para subir a otra</p><p>colina de 200 m de altura inclinada un</p><p>ángulo “a” respecto a la horizontal.</p><p>Estando en la cima observa lo alto de la</p><p>primera con un ángulo de elevación "9".</p><p>Si las colinas se hallan en un Neda</p><p>plano vertical calcular y == a: data</p><p>2ctg0 41</p><p>A) 2/3 B) 3/2 O)3/4</p><p>D) 4/3 E) 1/6</p><p>Resolución:</p><p>6</p><p>0</p><p>0</p><p>m</p><p>1</p><p>0D</p><p>ja</p><p>300 m</p><p>500 ctga “500 ctx0</p><p>Cs9)</p><p>A</p><p>Se Lera</p><p>600cte0 300 + 200ctp</p><p>OO</p><p>áctgo - 6clg0 + 3 + 2ctga</p><p>Lctad che</p><p>2etp00 +1 2</p><p>Kpta. B</p><p>Problema 30</p><p>Desde dos puntos A y B en lierra se ve</p><p>lo alto de un poste vertical CDC” en</p><p>el piso) con ángulo de elevación "a” y</p><p>(90 — «). Si desde el punto medio de AB</p><p>el ángulo de elevación es de 30%, y</p><p>además AC 1 BC, calcular iga + ctga.</p><p>A) 2 B) J6 C) /14</p><p>D) 4 E) 3/6</p><p>Resolución:</p><p>En el a ABC (plano horizontal)</p><p>y</p><p>(actga)' +(atga) = 2a43)</p><p>cty?a + 1% =12</p><p>cty%a + 2tgacigas+ lgóa =12+2</p><p>3</p><p>(ctga +tga)'=14 > ctga + tga = YLA</p><p>Rpta. B</p><p>EbEO EL ld</p><p>z e HOBLEMAS DE E XAMENES DE Á DW: IÓN</p><p>Prob'ema 1</p><p>El valor numérico aproximado de</p><p>Ex | dá ) -- son 5) es: (UNI - 011D)</p><p>4 "L12)</p><p>A) 1,06 B) 1,56 O 2,11</p><p>D) 2,19 E) 2,56</p><p>Resolución:</p><p>43 +1</p><p>== a? —uW15"</p><p>12 12</p><p>los = y3+1 sen1s5 _N3=1</p><p>A 2 2</p><p>Luego:</p><p>p 231) _43-1</p><p>al Ba] 22</p><p>e Y2(4+243) J6-y2</p><p>4x2 4</p><p>e EA VE VEA VE _ 32</p><p>po 4 4</p><p>A</p><p>3</p><p>Rpta. A</p><p>Problema 2</p><p>Hallar</p><p>E=sen*(22,5")+ sen30" 4 cos (22,5) + 00560"</p><p>(Cat — 0211).</p><p>A) 1 B) 2 Cy3</p><p>D) 4 L)5</p><p>Resolución: l</p><p>Sabemos que: pl | sen</p><p>sen0+cos* 0 =1 AD.</p><p>cosf</p><p>Luego:</p><p>E=sen* (22,5")+c05” (22,5")+sen30" +cos60"</p><p>]</p><p>E=14 ; , ; => E=2</p><p>Rpta. B</p><p>Problema 3</p><p>Resolver</p><p>x43t gas” a 2sen37" +1 (AG-02)</p><p>1-3tg45" 2sen37"—1</p><p>A) 1,2 b) 2,4 O 3,6</p><p>D) 4,0 E) 5,8</p><p>Resolución:</p><p>43: _ 2sen37" +1</p><p>1-3 2sen37" -1</p><p>+3 - 6sen37" +3</p><p>1-3 6sen37"-3</p><p>x= ó6sen(37")</p><p>3 dy</p><p>x1=6| =|¡>1=36 U O</p><p>Rpta. €</p><p>INEIMO!</p><p>Problema 4</p><p>En un triángulo rectangulo, el cuadrado</p><p>de la hipotenusa es igual a 2 del</p><p>producto de sus catelos. Calcular la</p><p>cotangente del ángulo mayor (SM *05-1)</p><p>A) 1 B , Cc sh 1 ] ) 2 ) 7</p><p>12 E) —1</p><p>Resolución:</p><p>A,</p><p>Dalo:</p><p>ei =_ab</p><p>Sa A</p><p>+ =—ab</p><p>a? —5ab+2b" =()</p><p>24 —b —=— 2l4u=b</p><p>tl he (=2b</p><p>Primer caso: Si 2a = b</p><p>ox</p><p>ys</p><p>ua</p><p>de</p><p>¡e</p><p>9/</p><p>L1</p><p>09</p><p>'1</p><p>9J</p><p>1M</p><p>]</p><p>b= 2a</p><p>a</p><p>Segundo caso: Si a = 2b</p><p>en , a ao]</p><p>En cualquiera de los dos casos:</p><p>]</p><p>cit -</p><p>Rpta: B</p><p>Problema 5</p><p>En un triángulo rectángulo ABC, recto</p><p>en €, se cumple secÁ = 18</p><p>e ON</p><p>Calcular N = A BER</p><p>(SM-0411)</p><p>A) 3 B) 1 Cr a</p><p>D) 6-4 42 E) y2</p><p>Resolución</p><p>B</p><p>E a</p><p>A b C</p><p>secA =l2nB</p><p>=> e => Zlae=b =>2ac=c?-4?</p><p>2=£-41 => 2=yecB- 1</p><p>d € secB</p><p>Ordenando: (secB-1)? =2 (1)</p><p>2 ; m see -A-—2secB+1</p><p>pde Ne 2-tagAsenBsecB</p><p>£ 7264</p><p>5 a de 9 £,.</p><p>N=(secB-1% 7 -</p><p>De (1): N =2</p><p>Rpta. €</p><p>INE</p><p>Problema 6</p><p>En un triángulo rectángulo ABC, recto</p><p>en € se tiene,</p><p>feenalsenAJi ena =tcos pi e9A</p><p>Hallar csc (A). (SM-051)</p><p>$8 12 sl</p><p>Ar 3111 07</p><p>D) 2 E) 1</p><p>Resolución:</p><p>A +B=90"</p><p>=3cosB=senA</p><p>Reemplazando en la expresión</p><p>VsenAysenAVsenA =(cospior*</p><p>dep ids d</p><p>(sena)? z Bl (senaren?</p><p>LLL => senA=>5+3 +3 S</p><p>o escA=É</p><p>Rpta. A</p><p>Problema 3</p><p>En la figura: PS LL, ; PQLL,;S5TLL,</p><p>Si Of=543, hallar PS (UNI - 0111)</p><p>P L,</p><p>A)5 5</p><p>B) 543</p><p>C) 10</p><p>D) 1043</p><p>E) 1543 60*</p><p>Resolución:</p><p>P</p><p>La</p><p>5 qn /</p><p>30%</p><p>mn 543 5</p><p>30,</p><p>6 Y (A Ll</p><p>Q 53 T :</p><p>PS'= m=2.5 > m=10</p><p>KRpta. €</p><p>Problema 8</p><p>La siguiente figura es un cuadrado,</p><p>donde Q es el punto medio del lado AB,</p><p>Determine cscO. (UNIT — 041)</p><p>A Q B</p><p>E</p><p>C D</p><p>5 E</p><p>A)j2 B)3 3</p><p>D) 4 E) 2/5</p><p>AT o GO h E ea</p><p>Resolución:</p><p>Ary g_Q a B</p><p>Y]</p><p>0</p><p>24</p><p>E</p><p>ds 5 o</p><p>Vemos: U = o = 53"</p><p>5</p><p>Luego: cscO= escaY= z</p><p>Rpta. B</p><p>Problema 9</p><p>En la figura mostrada, si ABCD es un</p><p>cuadrado, ADC un sector circular y M es</p><p>el punto medio de AC, entonces la</p><p>tangente del ángulo MAB es:</p><p>(UNI - 0011)</p><p>A B</p><p>M</p><p>D C</p><p>A) -1+ 42 B) 1+ 42</p><p>O) -14+43</p><p>D) 1+ 43 E) 1</p><p>Resolución:</p><p>A</p><p>o</p><p>R</p><p>AY,</p><p>D rR l E</p><p>42</p><p>R</p><p>HM pz E EE ml</p><p>R R</p><p>_HM Ñ 8</p><p>42</p><p>tgb = 2-1</p><p>Kpta. A</p><p>Problema 10</p><p>Por el vértice C del cuadrado</p><p>de lado L</p><p>se traza CH, perpendicular a AH de</p><p>manera que este último forma un ángulo</p><p>O con AD, tal que tg0 =3 . Calcular AH</p><p>en función de la longitud L. (CAT - 001)</p><p>É</p><p>H</p><p>O</p><p>A L D</p><p>7L "UNE P 7L</p><p>MM Do O 30</p><p>7L SL</p><p>D) 5 70</p><p>ata, A e ig A o o . di A dia</p><p>Ad e dodo ii</p><p>Resolución:</p><p>B E</p><p>á4k</p><p>5k H</p><p>E 3k</p><p>L- 5k</p><p>O</p><p>A L D</p><p>A A</p><p>L 4 20</p><p>AD=L=20k; DE=15k > AE =25k</p><p>AH = AE + EH = 25k + 3k</p><p>AS An</p><p>20 5</p><p>Kpta. D</p><p>Problema 11</p><p>En un triángulo isósceles, las medianas</p><p>trazadas de sus vértices de ángulos</p><p>iguales se intersecan perpendicular-</p><p>mente. Entonces el coseno de uno de los</p><p>ángulos iguales es: (UNI - 011)</p><p>1</p><p>A) 3 B) 5 C)</p><p>Y s|- E</p><p>Ra</p><p>S</p><p>Resolución:</p><p>a</p><p>cost = miACB=0 =</p><p>En el 5BHC: BC? = (3a)* + a?</p><p>BC = ay10</p><p>cosf = En ER</p><p>ay 10 4/10</p><p>Rpta. D</p><p>Problema 12</p><p>En la figura, los segmentos MN y LP</p><p>son paralelos, MN = NP = 12 cm, LM =8</p><p>cm y LP = 20 cm. Hallar tan «u</p><p>(SM “04 — 1) |</p><p>M N</p><p>2a</p><p>L P</p><p>3 4 AZ</p><p>nz B 3 Oia</p><p>v7 2/7</p><p>D) E E) 7</p><p>DEN. E dE OD: E a</p><p>Resolución:</p><p>1</p><p>la 20 "</p><p>Tracemos NQ//ML, en consecuencia:</p><p>LMNO: Paralelogramo.</p><p>El LUNOP es isósceles.</p><p>Trazando la altura OH se obtiene el</p><p>ts. OHP, donde:</p><p>2N7 _J7</p><p>tan = -</p><p>3</p><p>Rpta. €</p><p>Problema 13</p><p>Un automovilista viaja en una carretera</p><p>plana, en dirección a una montaña, a</p><p>60 km/h. En un instante observa la cima</p><p>de la montaña con un ángulo de</p><p>elevación de 307, y 10 minutos más tarde</p><p>vuelve a observar la cima con un ángulo</p><p>de elevación de 60%, Determine la</p><p>distancia, en km, a la cima de la montaña,</p><p>cuando se encuentra en el segundo</p><p>instante (UNI *06 — 11).</p><p>Dra Ola : Pa in.</p><p>¡ a EM |</p><p>es All</p><p>A</p><p>f</p><p>E 1</p><p>—e | = 10 m0 ho</p><p>Boo,</p><p>A) A B) 6 C) 543</p><p>D) 10 E) 643</p><p>Resolución:</p><p>Conocemos que:</p><p>d = vi</p><p>d=60x - =d -10km</p><p>Rpta. D</p><p>Problema 14</p><p>Una persona localizada en A observa</p><p>directamente al este y ve un OVNI con</p><p>un ángulo de elevación de 45". En el</p><p>mismo instante otra persona localizada</p><p>en Ba 1 km directamente al oeste de Á ve</p><p>el mismo OVNI con un ángulo de</p><p>elevación de 301 - Determine la distancia</p><p>en km de la persona localizada en B al</p><p>OVNI. (UNI - 0111)</p><p>A) 1,89 B) 2,22 E 273</p><p>D) 2,91 E) 3,01</p><p>Resolución:</p><p>OVNI</p><p>AO o e ea ee</p><p>Problema 15</p><p>Un cuadrado MNPQ cuyos lado mide</p><p>circunferencia. Calcular la distancia del</p><p>punto Q al punto medio del arco MN.</p><p>(UNI -021D</p><p>AJO5 u B) 1u Ol5u</p><p>D) Y2 E) z H</p><p>Resolución:</p><p>QN=NPxvV2 = /3/2- 2</p><p>m RON=22,5</p><p>00522,5% = —L-= 2 da</p><p>"NINA 2</p><p>y2(44-2)</p><p>q= 3</p><p>x= 1u</p><p>Rpta. B</p><p>Problema 16</p><p>De la figura mostrada calcule "tan a”,</p><p>2 21 si tanbd= 3 Y tanO= +77</p><p>(UNI — 0411)</p><p>B</p><p>| CL</p><p>2b 2 C</p><p>D</p><p>1 9</p><p>A</p><p>AJ3 B)4 O5</p><p>D6 E) 7</p><p>Resolución:</p><p>e o tanO= 3ntan0= 3240</p><p>2 a E</p><p>> 37 3b42a 7? b75</p><p>=> a=6kab=5k</p><p>ES AHC: AH=2acot0=>AH=3a</p><p>3/2</p><p>BH = AB- AH</p><p>BH = 4b —- 3a</p><p>_HC_ 2a LC iRl6R)</p><p>n= BH 1347 4G50-H60</p><p>tana =6</p><p>Rpta. D</p><p>Che</p><p>PROBLEMAS</p><p>Problema 1</p><p>= TT</p><p>bio tostr= 10 y D =1.- (1)</p><p>tga0 E (ago A ,</p><p>escl0* sec80" (2)</p><p>A) 5* B) 15% Cc) 10</p><p>D] 200 E) 35"</p><p>Problema 7</p><p>Si sen2x = cos(y + 10% y</p><p>tg3x = ctgy</p><p>calcule</p><p>Lc (Y) coc L4x)</p><p>A UNS</p><p>A) 2 B) 4 O 5</p><p>D) 6 E) 7</p><p>Problema 8</p><p>Si</p><p>sec2x-cos(24”=x) = 1</p><p>lg2x-tg2v = 1</p><p>calcular</p><p>C -3tg[211 3-10) 26en[ y+3+1")</p><p>A) 3 B) 4 C) 5</p><p>D) 6 E) 7</p><p>Problema 9</p><p>Si en un triángulo rectángulo, la media</p><p>armónica de los catetos es igual a la</p><p>tercera parte de su media geométrica;</p><p>calcular la suma de las tangentes de los</p><p>ángulos agudos.</p><p>A) 14 B) 34 C) 16</p><p>D) 36 E) 24</p><p>Problema 10</p><p>En un triángulo ABC(B=90") se sabe</p><p>Ei 2¿secÁ +3tgA+1_3</p><p>2secC+tgC43 2 .</p><p>Calcular y 25enA + senC</p><p>cos C— cos A</p><p>A) 2 B) 4 Cy 6</p><p>D) 8 E) 10</p><p>Problema 11</p><p>En un triángulo rectángulo la</p><p>hipolenusa es igual al doble de la media</p><p>geométrica de sus catetos. Calcular el</p><p>producto de las secantes de los ángulos</p><p>agudos.</p><p>A) 2 B) 3 O) 4</p><p>D) 5 E) 6</p><p>Proyecto Ingenio</p><p>7 y</p><p>Del gráfico, hallar SS</p><p>C</p><p>z</p><p>A _———E y</p><p>X y y</p><p>A) 1 Bj) 2 3</p><p>D) 4 E) 6</p><p>Problema 13</p><p>Del gráfico hallar "x" en función de a,</p><p>by"0"</p><p>A a D</p><p>A) acos0 + bsecl B) asend + bcosO</p><p>C) asenO +b</p><p>D) acosd +b E) asecó + bescÓ</p><p>Problema 14</p><p>Del gráfico, calcular</p><p>M= cteywv-—clgz</p><p>clgx</p><p>TDI II E</p><p>si CN = NB</p><p>C</p><p>Al +. B) 2 O 1/2</p><p>D) 1/4 E) 3/2</p><p>Problema 15</p><p>En la figura mostrada, calcular</p><p>KR =senx(l + c0sy)</p><p>A) 1/2 B) 1/3 O 1/4</p><p>D) 1 E) 2</p><p>Problema 16</p><p>Con un alambre de longitud “L* se for-</p><p>ma un triángulo isósceles cuyo ángulo</p><p>desigual mide "0". ¿Cuál sería la longi-</p><p>tud del lado desigual?</p><p>1 =1]</p><p>A) L(secz+1) B) L(esez +1)</p><p>-1</p><p>C) 03 + )</p><p>D) L(seco+1)? E) L(esc0+1)”</p><p>Problema 17</p><p>Si DA=CB, hallar AD en términos de</p><p>"A mi Y “ep”</p><p>D</p><p>q A,</p><p>al</p><p>R</p><p>E</p><p>O E B</p><p>== psi —scoedl</p><p>A) R(|l—tga).sena B) R(1-tga).cosa</p><p>C) R(l-sena).tga</p><p>D) R(1—cosa).ctga E) R(sena+tga).seca</p><p>Problema 18</p><p>En el gráfico "C" es punto de tangencia.</p><p>Hallar "tga" en función de "0".</p><p>L+send yy LÓsen0</p><p>cosÚ ) cosó</p><p>1 =epoR</p><p>send</p><p>14 cosÚ senf + cosU</p><p>D) senó E) tg0</p><p>= aL GER</p><p>Problema 19</p><p>Desde un punto en tierra se divisa la cima</p><p>de una torre con un ángulo de elevación</p><p>"a". Nos acercamos una distancia igual</p><p>a la altura de la torre y el ángulo de</p><p>elevación es ahora "(".</p><p>Calcule C = ctga — ctgH</p><p>A)1 B)2 0)3</p><p>1 |</p><p>D> E) Y2</p><p>Problema 20</p><p>Un árbol es cortado a una cierta altura y</p><p>después que cae su punta forma con el</p><p>suelo un ángulo de 37”. Pero si se hubie-</p><p>se cortado 1 m más arriba, su punta for-</p><p>maría un ángulo de 53* con el suelo.</p><p>¿Cuál es la altura del árbol?</p><p>A)l26m B)l34m C)l44m</p><p>D) 16,2 m E) 18,2 m</p><p>Problema 21</p><p>Una persona-mira con ángulo "f” un</p><p>edificio de 3 pisos, similar a la Torre de</p><p>Pisa, de inclinación horizontal "a"</p><p>(agudo) hacia el lado opuesto.</p><p>Si el ángulo de elevación para el techo</p><p>del segundo piso es *0”,</p><p>3ctgB —ctga</p><p>calcule =</p><p>ctg0</p><p>A) 1 B) 2 Ey3</p><p>Q</p><p>u</p><p>|</p><p>A A</p><p>, - z aa PEE</p><p>ip EII ta y E</p><p>Problema 2</p><p>Proyecto Ingenio</p><p>Un padre divisa los ojos de su hijo con</p><p>un ángulo de depresión "a", y los pies</p><p>del mismo con un ángulo de depresión</p><p>"P”, ¿Cuál es la relación entre la altura</p><p>del niño y la de su padre?</p><p>A) 1-tga.tgp</p><p>C) 1-tga.ctgh</p><p>B) 1-ctga.ctgp</p><p>D) 1-tgP.ctga E) ctga.ctgf-1</p><p>Problema 23</p><p>Una niña observa la cima de una casa</p><p>con un ángulo de elevación “a”. Se acerca</p><p>a la casa, y cuando la distancia que la</p><p>separa de ella es la tercera parte de la</p><p>inicial nota que el ángulo de elevación</p><p>.. * es el complemento de “a”. Calcular "a".</p><p>A) 15 B) 30" O) 45</p><p>D) 60" E) 18*</p><p>Problema 24</p><p>Desde un punto en tierra se divisa lo alto</p><p>de una torre con un ángulo de elevación</p><p>"0". Nos acercamos una distancia "d" y</p><p>el ángulo de elevación es de 45”, y si nos</p><p>acercamos otra distancia "d”, el ángulo</p><p>de elevación es el complemento de “0”.</p><p>Calcule el valor de J=ctg0 + tg0</p><p>C) 442</p><p>D) 4 F)8</p><p>AJO B) 242</p><p>TEN E IU</p><p>Problema 25</p><p>Un avión que desciende con un ángulo</p><p>"a" es visto a 2400 m con un ángulo de</p><p>elevación de 23”. Luego de sobrevolar al</p><p>observador,</p><p>tiene ahora una elevación</p><p>angular de 677 a 700 m. Halle la distancia</p><p>que recorrió.</p><p>A) 2500 m B) 500 m C) 4800 m</p><p>13) 1400 m E) 3100 m</p><p>Problema 26</p><p>Desde la base de una carpa rectangular</p><p>una hormiga divisa a dos de sus</p><p>esquinas superiores opuestas con</p><p>ángulos de elevación 45” y 37”, y las otras</p><p>dos esquinas superiores opuestas con</p><p>ángulos de elevación a y P (esca = v3).</p><p>Calcular "senp"</p><p>Y 2 3</p><p>A) 3 B) 3 O) 4</p><p>y2 J2</p><p>NS E) “6</p><p>Problema 27</p><p>Un picaflor que se encuentra posado so-</p><p>bre el pétalo de una rosa a 342 m de al-</p><p>tura, observa la parte más alta de un mo-</p><p>numento con un ángulo de elevación que</p><p>es el complemento del ángulo con que ve</p><p>su base. Si dichos ángulos de observa-</p><p>ción son iguales, ¿a qué distancia en</p><p>metros se encuentra el picaflor del pie</p><p>del monumento?</p><p>M</p><p>l</p><p>A) 342 B) 6 C)</p><p>D) 62 E) 3</p><p>el AA</p><p>Problema 28</p><p>Del gráfico, calcular "tg0” si</p><p>AE=EDaA AB=5FD.</p><p>B C</p><p>q</p><p>F</p><p>n</p><p>A E D</p><p>A) Jo B Y O J10</p><p>D 5 E) 4</p><p>Problema 29</p><p>En la semicircunferencia mostrada (cen-</p><p>tro "O" ) hallar M= tg0-tg20</p><p>B</p><p>A) 5/2 B) 7/2 0) 7/3</p><p>D) 3/2 E) 6/5</p><p>si E</p><p>Del gráfico halle "ctgx”.</p><p>E</p><p>B</p><p>»</p><p>37</p><p>A D</p><p>A) /3+1 B) 43+2</p><p>O 43+3</p><p>D) 43 +4 E) 2/3 -1</p><p>Problema 31</p><p>Del gráfico, calcular "tga”, si el triángulo</p><p>ABC es equilátero.</p><p>B</p><p>a 2</p><p>3</p><p>A E C</p><p>43 43</p><p>Me 93</p><p>Y3</p><p>a) A</p><p>43 43</p><p>D) . E) ri</p><p>a a 10z Arda E CEA CE TACA A PU PUT:</p><p>nt A as 3 Mis Ea</p><p>al fed llo</p><p>e o</p><p>Problema 32</p><p>nl 2 3</p><p>4 5</p><p>D) 7 E) 5</p><p>Problema 33</p><p>En un triángulo rectángulo</p><p>ABC (B = 90") se tiene que</p><p>elo) ale)</p><p>A E</p><p>Calcular 1 =tg—+ctg —</p><p>B7 "85</p><p>A) 1 B) 2 O 4</p><p>D) 443 E) y6</p><p>OB.</p><p>Problema 34</p><p>En un triángulo rectángulo ABC</p><p>im B=390") se cumple que</p><p>f l l 1 E.</p><p>secArrosecC is E IgA CY</p><p>paa al d e 8 t8</p><p>Calcule M-417senC + 4ctg A</p><p>A) 1 By 2 aqu</p><p>10) 4 E) 5</p><p>Problema 35</p><p>Del gráfico calcular "tgatgP” si</p><p>DA</p><p>d. 3</p><p>B</p><p>p</p><p>A D E Cc</p><p>A) 3/32 B) 5/27 C) 1/8</p><p>D) 1/16 E) 3/16</p><p>Problema 36</p><p>Del gráfico calcular</p><p>] =3c0s0 -4sent</p><p>A</p><p>17"</p><p>C</p><p>O DB</p><p>A) 9/4 B) 7/4 C) 5/4</p><p>D) 6/5 E) 3/10</p><p>O</p><p>Problema 37</p><p>Si DA- OByAC -CD=DB</p><p>calcule j]- 2 pr</p><p>A A E</p><p>D</p><p>Xx</p><p>A</p><p>O B</p><p>A) 43/3 B) 2 C) 5/4</p><p>D) 7/4 E) 7/3</p><p>Problema 38</p><p>Si el área de un triángulo rectángulo es</p><p>"5" y "0" es uno de sus ángulos agudos,</p><p>expresar la altura relativa a la</p><p>hipotenusa en términos de los dalos:</p><p>5 E 35</p><p>E) tg0 + ctg0 B) sect) +escU</p><p>O) de secl) — secó</p><p>( 28 , E 25</p><p>D) senB+ cosl ») csecó - cos</p><p>Problema 39</p><p>En el gráfico BC = CD. Llallar</p><p>P Nm ES E — Ue ) 2 )</p><p>Problemas 41</p><p>En un</p><p>ABC(B=90") se traza la bisectriz del</p><p>ángulo "A", que corta a BC en "D". Si las</p><p>triángulo rectángulo</p><p>áreas de los triángulos ACD y ADB son</p><p>S, y 5,, respectivamente, halle 5,</p><p>5)</p><p>A) cosA B) senA CO) secA</p><p>D) escA E) ctgA</p><p>Problema 42</p><p>En un trapecio isósceles de bases "a" y</p><p>"b” (b > a), el ángulo formado por uno de</p><p>los lados iguales y la base mayor es "0".</p><p>Halle la altura de dicho trapecio.</p><p>A) ES 5) (2 Jiso</p><p>C) (2 Joso</p><p>D) (57 Jesco</p><p>Problema 43</p><p>Jseco</p><p>b-a) nooo</p><p>sena senú</p><p>Del gráfico, hallar P=</p><p>sen</p><p>B</p><p>pro</p><p>S/ 251 45</p><p>A D E ¿DN</p><p>A) 1/7 B) 2/7 0) 3/7</p><p>Dj) 4/7 E) 6/7</p><p>ERE o OOO 0 MR</p><p>Problema 44 Problema 46</p><p>En el cuadrado ABCD se tiene que R=3 y Del gráfico, halle "clgr”, si las dos</p><p>r=1. Calcule ] = ctgó - 3ctga circunferencias son congruentes.</p><p>B</p><p>A D</p><p>AY 1 B) 2 C) 3</p><p>D) 4 E) 5</p><p>A) ctga-ctg0</p><p>Problema 45</p><p>En el esquema mostrado, "O" es centro</p><p>B) A iga - ctgt)</p><p>del sector AOB, donde AC=50A 2</p><p>y 1 al 0</p><p>Hallar el valor de E£= (cues) CO) 4083 = cg)</p><p>cscó</p><p>G apio D “85782</p><p>E Usen sen>)</p><p>AAA</p><p>Problema 47</p><p>Si en el gráfico se muestran dos</p><p>A) /21 B) 423 O) 425 cuadrados, hallar</p><p>D) 426 E) v27 J =tga —2ctg0</p><p>1] |</p><p>al</p><p>A) 1 B) 2 03</p><p>1 ¡gl D) > ) 4</p><p>Problema 48</p><p>ABCD es un cuadrado. Hallar "tg4” en</p><p>función de "0"</p><p>B C</p><p>bd</p><p>dl</p><p>Á D</p><p>A) E B) o</p><p>0) A most</p><p>o</p><p>Proyecto Ingenio</p><p>En un triángulo ABC (4«C=390") se</p><p>inscribe un cuadrado con dos de sus</p><p>vértices sobre los catetos y los otros dos</p><p>sobre la hipotenusa. Si la hipotenusa</p><p>es"c”, y "0” uno de los ángulos agudos</p><p>del triángulo ABC, determine el lado</p><p>del cuadrado.</p><p>A</p><p>) sen0 + cosÚ</p><p>C</p><p>B) 1+sen0 + cosO</p><p>€ pu</p><p>C) 1+tg0</p><p>_e£_</p><p>D) 1+tg0 + ctg0</p><p>E</p><p>E) 1+ctg0</p><p>Problema 50</p><p>Un poste de altura "H" está ubicado en-</p><p>tre un niño de estatura “h" y una torre de</p><p>altura mayor que él. Si el niño observa lo</p><p>alto de la torre con un ángulo de eleva-</p><p>ción "B”, ¿qué distancia debería acercar-</p><p>se para que, ubicandose antes del poste,</p><p>divise lo alto del poste y de la torre con el</p><p>mismo ángulo de elevación "a"? se sabe</p><p>que la distancia entre el poste y la torre</p><p>és "DD.</p><p>As E E A</p><p>A) (Dtga +11 —h)(ctg0 — ctga)</p><p>B) (Diga + H - h)(ctgÚ0 - ctga)</p><p>O (Detga + H — hi(ctga — tg0)</p><p>D) (Detga + H - h)(tga — tg0)</p><p>1) (Dtga + El — h)(ctg0 — ctga)</p><p>Problema 51</p><p>Sobre una misma línea horizontal que</p><p>pasa por el pie de un árbol, dos</p><p>campesinos, ubicados en lados del árbol,</p><p>observan la cima superior de éste, con</p><p>ángulos de elevación uno el doble del</p><p>otro. Si la menor visual mide 8 m y la</p><p>tangente del menor ángulo de elevación</p><p>es 0,5, calcular la altura del árbol.</p><p>A) 3,2m B) 64m C) 16m</p><p>D) 2,4m E) 4m</p><p>Problema 52</p><p>Por efecto de un movimiento telúrico, un</p><p>poste de altura "h" sufre una desviación</p><p>"a" respecto a su verlical; verificándose</p><p>que desde un punto en tierra, ubicado al</p><p>lado opuesto del que se inclinó, el ángulo</p><p>de elevación para su extremo superior es</p><p>"8", ¿Cuál es la longitud de la visual</p><p>trazada para dicha observación?</p><p>A) hscna-secp B) hsena-csc|)</p><p>O) hcosa-secf</p><p>D) hcosa-cscf E) hsecu-secf</p><p>Problema 53</p><p>Desde un punto se observa la parte más</p><p>alta de dos edificios de altura h y H (H2h)</p><p>con ángulos de elevación «a y 0,</p><p>respectivamente, (considerar el punto de</p><p>observación y las bases de dichos</p><p>edificios colineales). ¿Qué distancia</p><p>tenemos que acercar el punto de</p><p>observación para que los puntos</p><p>observados anteriormente se vean con el</p><p>mismo ángulo de elevación?</p><p>A) Hhctga.ctg0</p><p>B Pa a —ctg0) ) u B B</p><p>Hh(ctg0 —ctga)</p><p>h+H</p><p>Hih(ctga —ctg0)</p><p>H-h</p><p>Elh(ctga + ctg0)</p><p>H-=h</p><p>Problema 54</p><p>El ángulo de elevación al ver la parte</p><p>superior de una torre es "a". Sobre</p><p>dicha torre se encuentra verticalmente</p><p>el asta de una bandera de 1 m de</p><p>SENT) 3</p><p>longitud, la cual es observada desde el</p><p>punto de observación bajo un ángulo</p><p>"p". Calcule la altura de la torre en</p><p>términos de "a" y “P”.</p><p>A) (ctgP+ctga)-sena-cosa</p><p>sena + c0s pi</p><p>Seca. esco</p><p>ctgP.tga</p><p>seca.esca</p><p>ctga — ctgfi -</p><p>Seca. esca</p><p>, Iga+tgb</p><p>* senu, cosa</p><p>od O AO</p><p>Problema 55</p><p>Dos torres separadas a una distancia</p><p>de 24 m entre sí, están situadas en el</p><p>mismo plano. Colocándose sucesiva-</p><p>mente al pie de cada una de ellas se ve</p><p>con ángulos de elevación doble del án-</p><p>gulo de elevación que se ve la otra, pero</p><p>en la mitad del campo de las torres se</p><p>les ve bajo dos ángulos complementa-</p><p>rios. Encuentre las alturas de las torres.</p><p>(ota: 124 > 2tgo ]</p><p>1-tg%a</p><p>A)7 my 17m B) 9 m y 18 m</p><p>C)8 m y 20 m</p><p>D)5m y 15m E) 8 m y 18 m</p><p>"TRIGON OMETRÍA |</p><p>(e</p><p>=4/ CAPÍTULO :</p><p>RECTA NUMÉRICA DE LOS</p><p>NÚMEROS REALES O RECTA REAL</p><p>La recta numérica es la representación</p><p>geométrica de los números reales, con la</p><p>característica de que a cada punto de la</p><p>recta geométrica le corresponde un</p><p>número real y a cada número real le</p><p>corresponde un punto de la recta.</p><p>Ll punto</p><p>correspondiente al cero se llama</p><p>origen. Del origen a la derecha se</p><p>representan los números positivos y a</p><p>la izquierda, los negativos. El cero no es</p><p>positivo mi negativo.</p><p>Origen</p><p>Números Negativos| Números Positivos</p><p>A ii el</p><p>2 P (3 A</p><p>E S Z J dd de</p><p>3 3) 3]. VO $</p><p>El número corréspondiente a un punto</p><p>se denomina coordenada del punto. Por</p><p>ejemplo, en la figura, -2 es la coordenada</p><p>del punto P.</p><p>Razones</p><p>Trigonométricas</p><p>de Ángulos de</p><p>El conjunto de puntos de la recta</p><p>asociado a los números reales forman un</p><p>sistema unidimensional de</p><p>coordenadas.</p><p>DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DE</p><p>UN SISTEMA UNIDIMENSIONAL</p><p>La distancia entre dos puntos A y B es</p><p>la medida de la longitud del segmento</p><p>AB.</p><p>La distancia del origen a un punto A</p><p>de coordenada a se denota por [a| y se</p><p>denomina valor absoluto de a, donde:</p><p>[a|=a; sia>0</p><p>la] =—a; si a|/ ABI = lu—=b| = 16 at]</p><p>Ejemplos:</p><p>AE</p><p>2-2 -1.0 1.2 3</p><p>[PQ] = |143)1 = [4]=4</p><p>|QR| = [3-1] = [2] =2</p><p>[PR] = 13- (3) = |6]=6</p><p>[QP| = |-3-1] = |4]=4</p><p>La distancia dirigida de un punto A de</p><p>coordenada 4 a un punto B de</p><p>coordenada b, en una recta, está dada</p><p>por la distancia entre A y B y el sentido</p><p>es positivo si B está a la derecha de A y</p><p>negativo si B está a la izquierda de A.</p><p>la diferencia de</p><p>coordenadas nos da automáticamente la</p><p>distancia dirigida.</p><p>En este caso</p><p>GO) a o</p><p>jala</p><p>A MO Boo</p><p>A</p><p>AB=2- (3) =5</p><p>BA=-3-2 =-5</p><p>AM =-1 - (-3) =</p><p>MA = -3 — (-1) = 2</p><p>Ejemplos aplicativos.</p><p>En lo sucesivo usaremos el nombre del</p><p>punto para representar su coordenada,</p><p>1. Si AB=7 y A = -10, halle la</p><p>coordenada de B.</p><p>Resolución:</p><p>AB=B-A =7=B-(-10) =>B=-3</p><p>2. SLA=-3 y B=12, halle:</p><p>a) AB b) BA c) ¡AB|</p><p>Resolución:</p><p>a) AB=B-A => AB=12- (8)</p><p>=> AB = 20</p><p>b) BA=A-B = BA =-8-12</p><p>=> BA =- 20</p><p>c) |AB] = |B-A|</p><p>=> ¡AB] = 12-48). => |AB]=20</p><p>3. SiP=-5 y Q =-3, halle y Pano:</p><p>a) PQ b) QP c) [PQ]</p><p>do is RO</p><p>Resolución:</p><p>e —— .</p><p>TQ=Q-P</p><p>PO =-3- (25) :9> PQ =2</p><p>b) -= - 2 -</p><p>oOP=P-Q</p><p>QP =-5 - (3) = QP =-2</p><p>c) |PQ| = |2]=2</p><p>SISTEMA DE COORDENADAS EN</p><p>DOS DIMENSIONES O BiIDI-</p><p>MENSIONALES</p><p>Suv define un sistema coordenado</p><p>rectangular o cartesiano en el plano,</p><p>definiendo en él dos rectas coordenadas</p><p>perpendiculares que se intersecan en el</p><p>origen O de ambos. Las dos rectas se</p><p>denominan ejes coordenados y el punto</p><p>O es el origen.</p><p>La recta horizontal se llama eje X o eje de</p><p>las abscisas y la recta vertical, eje Y o eje</p><p>de las ordenadas. Entonces, el plano que</p><p>contiene a los ejes se denomina plano</p><p>coordenado o plano cartesiano.</p><p>Los dos ejes coordenados dividen al</p><p>plano en cuatro cuadrantes que se</p><p>denotan con números romanos.</p><p>Y</p><p>Y Utuadrante Cuadrante</p><p>(11) ,</p><p>Y pa -> + P(a,b)</p><p>. .</p><p>0 a X</p><p>11 Cuadrante W Cuadrante</p><p>(11 7) (WE)</p><p>de Trigonométria</p><p>Cualquier punto P del plano cartesiano</p><p>se determina mediante un par ordenado</p><p>(a. hb). El número a es la abscisa lo</p><p>coordenada x) del punto P. El número h</p><p>es la ordenada (o coordenada y) del</p><p>punto Pp:</p><p>Ejemplo:</p><p>AY</p><p>ATIÍTIT</p><p>(413) i | |] (3; 3)</p><p>P FI PT ca |</p><p>PEI eD</p><p>PETIT]</p><p>3331 J01 2345 x</p><p>MS (3:-2)</p><p>A</p><p>HA 1 la SS</p><p>EA E td Ed]</p><p>Distancia entre dos puntos del</p><p>plano cartesiano</p><p>Consideremos los puntos Al(x,. y,) y</p><p>B(x,. v,) del plano cartesiano. Hallemos</p><p>ahora la distancia [AB].</p><p>Yi</p><p>Ya</p><p>Ya Y,</p><p>Yi</p><p>a ></p><p>!</p><p>En la figura:</p><p>AB" = (xx, y (y j'</p><p>|AB]| = Jr — 1, + (Y, 1)</p><p>Ejemplo aplicativo:</p><p>4. Hallemos la distancia entre los</p><p>puntos A(3; -2) y B(4; -5)</p><p>Resolución:</p><p>lAB|= (4-3) +(-5-(-2)* =]AB]= 10</p><p>RAZONES TRIGONOMÉTRICAS</p><p>DE ÁNGULOS DE CUALQUIER</p><p>MAGNITUD.</p><p>Ángulo en posición normal</p><p>Un ángulo € está en posición normal,</p><p>estandar o canónica, si su vértice está</p><p>ubicado en el origen de un sistema de</p><p>ejes coordenados y su lado inicial</p><p>coincide con el eje X- positivo.</p><p>YA</p><p>El ángulo AOB está en posición</p><p>normal</p><p>El lado final de un ángulo en posición</p><p>normal, puede caer en uno de los</p><p>cuadrantes, en cuyo caso se dice que el</p><p>ángulo está en tal cuadrante; o bien estar</p><p>ALE OA MATT</p><p>en uno de los ejes X o Y, entonces se dice</p><p>que es un ángulo cuadrantal,</p><p>Ejemplos:</p><p>(0)-[=anc]</p><p>(20 )>[9ano]</p><p>7 esun ángulo = —-</p><p>[7 cuadrantal</p><p>“MEMO</p><p>DEFINICIÓN DE LAS RAZONES</p><p>TRIGCONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS</p><p>EN POSICIÓN NORMAL</p><p>Dado un ángulo O en posición normal,</p><p>un punto P cualquiera de coordenadas</p><p>(x, 1) ubicado en el lado final de 6 y un</p><p>radio vector r= |OP |, se define:</p><p>Va</p><p>Pra ya abscisa</p><p>y= ordenada</p><p>r= radio vector</p><p>Ejemplos aplicativos:</p><p>5. En la figura adjunta, determine</p><p>VA</p><p>secOcscó</p><p>21</p><p>Resolución:</p><p>¡OR=r= (+57 => 1 = 31</p><p>secÚ = yal ascí) = y</p><p>- 5</p><p>= secÚ-cscl = Nel NA = Al</p><p>4 5 20</p><p>6. En la figura adjunta determine</p><p>E= (sena +cosa)(sec «a —csc a Jtg ua</p><p>Yi</p><p>1</p><p>sas 6</p><p>P(-=5; -6)</p><p>Resolución:</p><p>lOP|=r = JSy +(-6 =r=10</p><p>3 -8 4</p><p>sena =—=-— cosa =—=-—</p><p>5 10 5</p><p>10 5 10 5</p><p>sta == — =—— CSC = — ===</p><p>—8 4 —6 3</p><p>tea=— => tga= 3</p><p>62" guy</p><p>Reemplazando:</p><p>E = (sena + cosa seca - esca )tga</p><p>E</p><p>da</p><p>¡DEN pese orgia</p><p>El ángulo 6 cae en el tercer</p><p>cuadrante.</p><p>Si tg0 > hallar las otras 5 razones</p><p>trigonométricas de 0.</p><p>Resolución:</p><p>Como tal = > tomamos un punto</p><p>1</p><p>P (-12; -5) en el lado final de 0.</p><p>[OP] =r= (127 +(-5P =>r=13</p><p>Luego: sen( = 3</p><p>13</p><p>3</p><p>PO SA cscl = —</p><p>-12 E</p><p>12</p><p>clurll = —</p><p>E</p><p>En la figura adjunta determinar</p><p>(ly 0 +ctg0)2n</p><p>D ></p><p>Q(3n; 211)</p><p>SE pan, 12d ESTAN a O APT ARI</p><p>Resolución:</p><p>I—14</p><p>Para P: tg0 =--—</p><p>”</p><p>-2n</p><p>Para Q: tg0= —</p><p>án</p><p>Igualando: ln ¿ 2H</p><p>n 3H</p><p>3-3n =-2n > n=3</p><p>1g0= => etgO ==</p><p>2 3 13</p><p>=> tg + ctgd = —-—— =-——</p><p>AA</p><p>¿¿(tg0 + ctg0)2n = - ho =-"13</p><p>E</p><p>SIGNOS DE LAS RAZONES</p><p>TRIGONOMETRICAS EN CADA</p><p>CUADRANTE</p><p>En el primer cuadrante las coordenadas</p><p>de cualquier punto son positivas, en</p><p>consecuencia todos los valores de las</p><p>razones son positivos.</p><p>En el segundo cuadrante, la abscisa x es</p><p>negativa y la ordenada y es positiva (5</p><p>siempre es posilivo) en consecuencia,</p><p>solamente send == y cesa) - E son</p><p>positivas; las otras cuatro razones son</p><p>negativas.</p><p>Análogamente se puede delerminar los</p><p>signos en los cuadrantes Ml y 1V.</p><p>En la siguiente tabla se resume los signos</p><p>de las razones en cada cuadrante.</p><p>ENT) A</p><p>Yi</p><p>Primero</p><p>todos son posilivos!</p><p>S egundo</p><p>[seño y cosecande</p><p>positivos)</p><p>Hangente y colangente tcoseño y secanle Xx</p><p>positivos) positivos)</p><p>T ercero Cc uarto</p><p>Ejemplo aplicativo:</p><p>9. Si 0 es un ángulo del tercer</p><p>cuadrante, ¿cuál es el signo de cada</p><p>una de las siguientes expresiones?</p><p>a) tg0secO</p><p>b) (1-cos0)(l —- sen()</p><p>c) sect - cscO</p><p>Resolución:</p><p>a) tgOsecO: (+) = (E)</p><p>b) 1 OJO) = EEE L+]</p><p>e) (+)-(-) = (+)</p><p>Ángulos cuadrantales</p><p>Se dice que un ángulo es cuadrantal</p><p>cuando su lado final coincide con uno</p><p>de los semiejes.</p><p>Las definiciones de las razones</p><p>trigonométricas son válidas para estos</p><p>ángulos, aunque para algunos no está</p><p>definido porque tienen denominador</p><p>cero.</p><p>A S</p><p>di X</p><p>IA A</p><p>a, P, y y 0 son ángulos cuadrantales</p><p>Tabla que muestra los ángulos</p><p>cuadrantales.</p><p>En radianes m2| 7 [m2 > | cc VA</p><p>En grades Ses. | 500 1180/2370 FO PA</p><p>En general:</p><p>=> E=0</p><p>11. Reducir:</p><p>ue (csc 90" —- sen20P)sec O"</p><p>E</p><p>sect Y —sect80")</p><p>Resolución:</p><p>Sustituyendo:</p><p>A ES,</p><p>-10-(-1) 11)</p><p>ÁNGULOS COTERMINALES</p><p>Los ángulos coterminales son aquellos</p><p>que, teniendo el mismo lado inicial,</p><p>aunque no necesariamente en posición</p><p>normal, tienen el mismo lado final,</p><p>obviamente, el mismo vértice.</p><p>Y</p><p>0 Lado</p><p>)</p><p>inicial</p><p>e</p><p>Y AE</p><p>Lado</p><p>final</p><p>O y y son</p><p>coterminales</p><p>Propiedades de los ángulos</p><p>coterminales</p><p>1. La diferencia de dos ángulos</p><p>coterminales siempre es un número</p><p>entero de vueltas. Esto es, si a y P</p><p>son coterminales:</p><p>a—-P=360% óá a—B=2xk</p><p>kilo El E</p><p>2. Las razones trigonométricas de dos</p><p>ángulos coterminales son iguales.</p><p>Esto se puede ver en la siguiente</p><p>figura.</p><p>y</p><p>sena =>?</p><p>F mo</p><p>+ [sena = seng]</p><p>senf=?</p><p>PF)</p><p>cosa == F 5</p><p>+ [COSA = COS y [ [Betel</p><p>cosfi == rr</p><p>tga = e</p><p>Xx =</p><p>tga = 18H $ ci</p><p>tgB ==</p><p>Análogamente las demás razones</p><p>En general:</p><p>l</p><p>Si a y $ son coterminales:</p><p>mw» ¡R.T. (0)=R.T. (8)</p><p>Ejemplos aplicativos:</p><p>12, Halle tg*2940* + sen*2190”</p><p>Resolución:</p><p>e 2940” es coterminal con 60% porque</p><p>2940* — 60" = 2880” = 3607. 8</p><p>> 192940" = 1g60* = 4/3</p><p>TEM:</p><p>2190" es coterminal con 30” porque</p><p>2190" - 30" = 2160” = 360" - 6</p><p>> sen2190* = sen30” = 3</p><p>“tg? 2940" + se 2190 - (43) / (3) « .</p><p>13.</p><p>14.</p><p>¿Son coterminales los ángulos?</p><p>a) 1792” y 352”?</p><p>b) 270" y 907?</p><p>c) 845" y -2757</p><p>Resolución:</p><p>a) 1792" - 352" = 1440" = 360"-4</p><p>+ Sí, son coterminales</p><p>b) 270? — (-90") = 3607</p><p>+ Sí, son coterminales</p><p>c) 845" - (-275*) = 1120" =</p><p>3607.3 + 40"</p><p>+ No son coterminales</p><p>Hallar la medida de dos ángulos</p><p>coterminales que están en la relación</p><p>de 3 a 5 si la suma de ambos está</p><p>comprendida entre 4032” y 4608”.</p><p>A RN pe ad</p><p>Resolución:</p><p>Sean los ángulos coterminales</p><p>*a “y “$ pb A</p><p>=> a - p = 360%» (1)</p><p>3</p><p>Dato. Pp (2)</p><p>Además: 4032” a=92900-</p><p>Reemplazando en (3):</p><p>403 >a = 900*(3)</p><p>la = 2700]</p><p>En (2): --[P=1620"]</p><p>Proyecto Ingenio</p><p>51 P(4; 5) es un punto del lado final de</p><p>un ángulo en posición normal "g”,</p><p>calcular:</p><p>M = /41c050- 5ctg0</p><p>A)2 B) 4 O 8</p><p>D) 10 E) 16</p><p>Resolución:</p><p>Graficando</p><p>land</p><p>4</p><p>M =yv41 5 —</p><p>ce a 41 P E E</p><p>M=4+4=8</p><p>Rpta. D</p><p>Problema 2</p><p>Si senó = 0 AQElC,</p><p>calcule E=tanb+cotú</p><p>A) 2 B) 4 CO)</p><p>D) 2 E) 4</p><p>Res ESUELTOS</p><p>Resolución:</p><p>l</p><p>senú = (sen3os endo” ls (2) 3)</p><p>y=1</p><p>1 y =</p><p>===> F= y</p><p>Y2 rr</p><p>x=??</p><p>Cálculo de x:</p><p>veP=/22=>x=-1</p><p>Luego:</p><p>YA</p><p>—</p><p>$</p><p>a NY</p><p>— 1 X</p><p>.-(2) (0)</p><p>Rpta. A</p><p>Problema 3</p><p>Si 3seca =-y13, tga v=2</p><p>ena -5 (1)</p><p>.« tgp+2=0-=>tpB=-2</p><p>Graficando:</p><p>YA</p><p>A E le Ad]</p><p>Cálculo de r:</p><p>r= len Oy => r= 45</p><p>5</p><p>esc E (2)</p><p>Reemplazando (1) y (2) en P:</p><p>P=4,5</p><p>Rpta: E</p><p>Problema 4</p><p>Se tiene un ángulo 0 en posición normal</p><p>que pertenece al MIC tal que su tangente</p><p>es 16 veces su colangente.</p><p>Calcular E = secó + ecsc0</p><p>$17 JT 17</p><p>de 4 8) 3 O 4</p><p>34/17 517</p><p>D) E E) 4</p><p>Resolución:</p><p>16</p><p>Dato: tgÚ=16ctg0 => tg0 = —</p><p>tg "0 =16> 180 =+4</p><p>Pero: 0 e IQ => tg0 = 4</p><p>Graficando:</p><p>YA</p><p>E A</p><p>ES Xx</p><p>Problema 5</p><p>Siendo:</p><p>tga=y2+y42+42+... n ae llIC,</p><p>calcule ¿5(sena + cosa)</p><p>A) -3 B) 2 C) -1</p><p>D)1 E) 3</p><p>Resolución:</p><p>Sia e HC = tga >0</p><p>Además: lga = p +24 /2...00</p><p>É gu</p><p>tga = 24 tea... elevando al cuadrado</p><p>tga=2+tg => tga-tga-2=0</p><p>Por aspa simple: (tg a — 2)(tg a + 1) =0</p><p>i) tga-2=0 > tga =2 (sí)</p><p>li) tga+1=0> tga =-1 (no)</p><p>x=-1</p><p>: 2</p><p>De (1): E y=-2</p><p>O</p><p>Cálculo de r:</p><p>?=(1P+(2) >r=45</p><p>(6-2 - —»</p><p>Nos piden: ES 5)- -3</p><p>Rpta: A</p><p>Problema 6</p><p>Si tg0 + tg = + tg z =sen90" y</p><p>cos*() senO to = —</p><p>5 253 5 6 (1)</p><p>De: cos? 0sen00xeR|</p><p>(+)</p><p>= seng 0 A sen00 e MIC</p><p>Graficando:</p><p>BETO E O 0 TA</p><p>Llallando r:</p><p>Rpta: D</p><p>Problema 7</p><p>Siendo ABCD un cuadrado, donde</p><p>AO = 4AB, determine el valor de</p><p>L = tg a -ctg [5</p><p>Y</p><p>C B</p><p>¡1</p><p>y ==</p><p>La A</p><p>D A O X</p><p>A</p><p>Aj) 5/4 B) 5/3 0) 4,6</p><p>D) 2,4 E) 4,5</p><p>Resolución:</p><p>Dato: AO =4AB</p><p>Sea: AB=n= AO =dn</p><p>Y dl</p><p>C(5n; 1) BLAn; n)</p><p>Ek</p><p>u</p><p>n</p><p>-L n= a”</p><p>La —L-—— 411</p><p>De la figura las coordenadas de "C” y</p><p>"B" son:</p><p>B (4n; 1) y CE5n; n)</p><p>Nos piden: /= 2 a») = :</p><p>Rpta: A ></p><p>Prablema 8</p><p>Del gráfico, determine lg a sabiendo</p><p>que AE=EB y que el sector AOB es un</p><p>cuadrante.</p><p>Y</p><p>:B</p><p>E</p><p>' E be</p><p>A ALO Xx</p><p>A) 4 B) 3 C) -2</p><p>D) -1 E) 0,5</p><p>Resolución:</p><p>Y 4</p><p>E H E H</p><p>E a Pa</p><p>45</p><p>A AY x</p><p>Trazamos OE:</p><p>=> maAOE =m«wEOB = 45?</p><p>R. EOH: Notable (45”, 45”)</p><p>EH = OH = 2n</p><p>ADE ii Ga</p><p>Además:</p><p>EP =PH=p</p><p>Luego las coordenadas de "P" son:</p><p>P(-1; 2n)</p><p>De la figura: tga = 2%, 2</p><p>$8</p><p>Rpta: €</p><p>Problema 9</p><p>Si ABCD es un cuadrado, calcule tg 0</p><p>Yi</p><p>B</p><p>A</p><p>€</p><p>537 Ml</p><p>D O, x</p><p>ys 3 A</p><p>y 27 57</p><p>Ey = z y | E) =></p><p>Resolución:</p><p>yA</p><p>B</p><p>A</p><p>3 Ñ</p><p>4: 5 3"</p><p>a 5340437 PE e</p><p>H D A] 0) X</p><p>A ATT</p><p>De la figura.</p><p>Señ: AD=DC'=5</p><p>ESAHD: notable (53%, 37%)</p><p>AH =4, HD =3</p><p>ESDCO: notable (53%, 37")</p><p>DO =4</p><p>Las coordenadas de A son: A(-7; 4)</p><p>4 4</p><p>tp0= —=--> Luego:</p><p>5 7 7</p><p>Rpta: C</p><p>Problema 10</p><p>De la figura, calcule T= J61senf + 6ctg</p><p>A) 1 B)2 Q3</p><p>D) 4 E) NA.</p><p>Resolución:</p><p>Hallando las coordenadas del punto Q:</p><p>Yi</p><p>a.:5</p><p>A 6</p><p>M_6P/ sp 0</p><p>O</p><p>r Mm</p><p>50 Pf y</p><p>Pi ss</p><p>(6; 5)</p><p>DAS? RS</p><p>miOPM = (0 => maNQO =0</p><p>MO = NO =6</p><p>POM = QON PM=0N=5</p><p>Luego las coordenadas de Q son:</p><p>Q65; 6)</p><p>Cálculo de r</p><p>= (5) + (67 => r= 461</p><p>dy) (joss</p><p>Rpta: A</p><p>Problema 11</p><p>Del gráfico, calcule el valor de</p><p>li ESORE500</p><p>30</p><p>7</p><p>siendo lgu =></p><p>Y:</p><p>CL As Xx</p><p>175 576 7</p><p>M3 B) 775 576</p><p>675 545</p><p>D) 576 El 576</p><p>MUDA A il ela</p><p>Resolución:</p><p>P(7Kk; 24)</p><p>7</p><p>Dato: tgpa =— ato: tg 24</p><p>OH =7k</p><p>HPO:</p><p>Saro lesa</p><p>Luego las coordenadas de *P” son:</p><p>P(—7k; -24k)</p><p>Radio vector: r = 25k</p><p>En £:</p><p>25 25 05 7+2,)</p><p>EZ. 7 24</p><p>24 24</p><p>7 7</p><p>o TIO</p><p>ESE</p><p>Rpta: €</p><p>Problema 12</p><p>Simplifique</p><p>7 _acsc907+ (bos ajsen?270* + b? cos360*</p><p>—alsensa0* 4h: sen90? + 2acos180”1g 180"</p><p>A) 0,5 Bl O 1,5</p><p>D) 1,8 E) 2</p><p>TE</p><p>Resolución:</p><p>Reemplazando valores:</p><p>y 203 OA +0)</p><p>a”(0)+5*(1)+2a(-1)(0)</p><p>Rpta: E</p><p>Problema 13</p><p>oo “ 0 ' z</p><p>Si “a” y "$" son ángulos cuadrantales</p><p>positivos y menores que 360” y</p><p>sena =-1; cosf=-1,</p><p>calcule E=42 na + Fcose</p><p>3 ¿d</p><p>A) 1 B) 4 C)2</p><p>D)7 E) 9</p><p>Resolución:</p><p>Dato:</p><p>"a? y CB” ángulos cuadrantales *</p><p>menores que 3607</p><p>Además:</p><p>sena =-1l => a =270</p><p>cos =-1 = [3 = 1807</p><p>En E:</p><p>Ex= A OL</p><p>6 4</p><p>E =/2sen45"+42 00545"</p><p>] 1 1</p><p>ESA Em 2</p><p>2 /2</p><p>Rpta: C</p><p>a a)</p><p>Problema 14</p><p>Si 120?sen0>0, cos0 tan300% [A=(+)]</p><p>Si 120% 20 e lNIQó IVO</p><p>= sen20 5 elQ</p><p>=> cos >0</p><p>Como 100% [IO = tan 100*[B=60]</p><p>Rpta: B</p><p>Problema 15</p><p>Si 270% 2 e 11Q</p><p>O E as</p><p>=> cos> sen215" pe IWQ</p><p>=cnmó sec (-150</p><p>están en la</p><p>relación de 8 a 3. Si el mayor está en el</p><p>intervalo de 1870% y 2450", halle la</p><p>medida del menor.</p><p>A) 864% B) 373" C) 273</p><p>D) 237 E) 11522</p><p>Resolución:</p><p>Scan 0 y « los ángulos.</p><p>0-6 =360%.n, nel (1)</p><p>Doo E</p><p>gu - 0)</p><p>(2) en (1): JE =360".</p><p>a =216%n (3)</p><p>Por dato, el mayor ángulo:</p><p>1870" n=4</p><p>En (3): a =864"</p><p>Rpta: A</p><p>SAME o O A TT</p><p>¿PROBLEMAS DE E XÁMENES DE ADMISIÓN</p><p>Problema 1 Calculando:</p><p>En la figura mostrada, halle tanÚ + coto, tand+cot0=-—£ 40M</p><p>sabiendo que m>0. (UNI-04 II) an €</p><p>Y 2</p><p>-¿tand+cot0 =- E</p><p>mm</p><p>Rpta: €</p><p>Problema 2</p><p>A) «3 Lem) B) - a(Lxm?) Si esc(0 55) - $5 , calcule el valor de:</p><p>: 13x 14 senl| 2%6</p><p>CO) (L mn 22) pe cos[32%. 9)</p><p>45 +ese 21% q)</p><p>D) 21m E) Le</p><p>+ pl AS dan (UNI-04 11)</p><p>Resolución:</p><p>ab E q</p><p>Resolución:</p><p>Del dato, por reducción al primer cua-</p><p>drante.</p><p>y5 v y escfo- 2-E)= a ese| E: -0)=P</p><p>En la recta L se considera un punto gené- => sec = ls jentonces 04 1CÓ IV E</p><p>rico P cuyas coordenadas son</p><p>P(x; v) = (a; am) De donde: sen0=+-L</p><p>45</p><p>P” punto ortogonal de P.</p><p>DEN an. == Trigonométria</p><p>Simplificando la expresión M: Resolución:</p><p>Sua:</p><p>Vo senf st 30) 8% +3-0</p><p>45 ese JOF + 5 0) 2 a sentra? cos(3 ej tantla re)</p><p>Luego de eliminar número entero de</p><p>vueltas</p><p>Mo £0s0_</p><p>45 secó</p><p>seno!</p><p>Sustituyendo valores</p><p>ae _45</p><p>a el ZN =-75</p><p>Rpta: A</p><p>Problema 3</p><p>Al simplificar</p><p>seníta+ a)-cos(H a)» ty(Qr+a)</p><p>— = o — a E</p><p>cosla— 1)-sen(E - a)</p><p>obtenemos (SM- 04 1):</p><p>A) _ Epa</p><p>2cosa B) lg a</p><p>D) 2sena+ Epa tga+sena</p><p>¿cosa cosa</p><p>costa x)- sen( 3 a)</p><p>Por reducción al primer cuadrante</p><p>y =senda-sena+ land</p><p>COsd- CUR</p><p>y-2sena- lana</p><p>2coOsa</p><p>Rpta: €</p><p>Problema 4</p><p>Calcule £= ja + 5) en términos de</p><p>“a”, sisecx=u+ lg x. (UNI- 05 1)</p><p>| 1 1</p><p>A e B) 3 A</p><p>Dn) + E) 2</p><p>Resolución:</p><p>Del dato: sec x— lg x= a</p><p>esc(3 4 x) + ctg(X + x) =</p><p>Kpta: €</p><p>TR ps a o</p><p>JP ROBLEMAS</p><p>Problema 1</p><p>El punto (-1; 1) pertenece al lado</p><p>terminal del ángulo “a” en posición</p><p>normal. Hallar la suma de todas las</p><p>razones trigonométricas de "q ”.</p><p>A) -2 B) 2 O5</p><p>D) 4 E) 8</p><p>Problema 2</p><p>Si P(-43; y5) es un punto del lado final</p><p>de un ángulo 0 en posición normal,</p><p>calcule</p><p>E =4/10csc0 - /6 secó</p><p>Ay 0 B) 2 O) 4</p><p>-D)8 E) 16</p><p>Problema 3</p><p>Sabiendo que sena =-—0,4 y ae IC,</p><p>determine el valor de</p><p>Bn</p><p>4/21 cosa</p><p>21 rn 48</p><p>5 f 18</p><p>D) 18 ) 5</p><p>Problema 4</p><p>cos*9=3 A DENC.</p><p>Calcule a, si senU = “.l</p><p>Aj) 1 B) 1,5 o?2</p><p>D) 2,5 E) 3</p><p>a</p><p>Phroruesros</p><p>Problema 5</p><p>Si sena =-1/% cosu > 0,</p><p>calcule E=y2cosu + V8tgu</p><p>A) 1/3 B) 1/2 C) 1/4</p><p>D) 3/5 E) 46</p><p>Problema 6</p><p>Si el punto P(-2; 3) pertenece al lado final</p><p>del ángulo “a” (en posición normal),</p><p>calcule el valor de la expresión.</p><p>Sena + COS Ol h=</p><p>tga + ctgaa</p><p>6/13 5/14 -8</p><p>A "ia Um</p><p>2/10 J14</p><p>a Y 5</p><p>Ds E) 54</p><p>Problema 7</p><p>Siendo el punto P(=3; 4) perteneciente al</p><p>lado final de un ángulo en posición</p><p>normal "(”, calcular "R” en</p><p>cscl + a cotO</p><p>sent</p><p>A) 2 B) 4 O)</p><p>D) 8 E) -12</p><p>Problema 8</p><p>Si (a; b) es un punto que pertenece al</p><p>lado final del ángulo en posición normal</p><p>8 del Il cuadrante, calcule</p><p>INE JO</p><p>asendl + heosU</p><p>asecU bescú</p><p>Ja + lb Jer Vb</p><p>Ip ¿AT</p><p>Ccy0</p><p>D) a E) 5</p><p>Problema 9</p><p>Si sena = 1/4, calcular sec [)</p><p>Y l</p><p>pS X</p><p>44/15 -4/10 a 2/15</p><p>15 15 12</p><p>o ¿85</p><p>D) 13 E</p><p>Problema 10</p><p>Del cuadrado ABCD que se muestra,</p><p>obtenga tg 0, si OD = BC.</p><p>YA</p><p>Elo. Y €. É— r</p><p>S E</p><p>A B</p><p>AJ05 B) 0,1 Cy 1</p><p>D) 2 E) 3</p><p>(29) RS Trigonométria |</p><p>Problema 11</p><p>Si "0" es la medida de un ángulo en</p><p>posición normal, positivo y menor que</p><p>una vuelta, cuyo lado final pasa por el</p><p>punto P(2-2a; 3/3 +as3) tiene un</p><p>radio vector igual a "3a +1", calcule (>)</p><p>Ca</p><p>A) 122 B) 48" C) 30"</p><p>D) 24” E) 6”</p><p>Problema 12</p><p>¿Qué signo tiene la expresión</p><p>h E Cos x Y, ,2,</p><p>cscx + senv sd</p><p>enel IV C?</p><p>A) (+) B) (-) O E)</p><p>D) (+)6(-) E) N.A.</p><p>Problema 13</p><p>Si senó,/ctg0 ></p><p>AJIC B) 110 OQ Mc</p><p>D) IC ó6 IVC E) UC ó IVC</p><p>Problema 14</p><p>Si a € (180*; 270%),</p><p>determine el signo de</p><p>sen( 5 + as ]tg[ 3 + 50)</p><p>p ES 2 3</p><p>se “E 420)</p><p>AO BM... O(mM60</p><p>D) (1) E) N.A.</p><p>¿Ta pts:</p><p>Problema: 15</p><p>Calcular dos ángulos coterminales que</p><p>están en la relación de 1.a 6, sabiendo</p><p>que su suma está entre 2520” y 3228",</p><p>A) 532,2592*</p><p>C) 452*,2592*</p><p>D) 432*,2592"</p><p>B) 432”,2692*</p><p>E) 504”,3228*</p><p>Problema 16</p><p>510” es un ángulo positivo menor que</p><p>una vuelta y 0 e lll cuadrante, ¿a qué</p><p>cuadrante pertenece</p><p>30-50?</p><p>a= ?</p><p>5</p><p>AYIC B)1, IC C)Uuc</p><p>1D) MC EI, IC</p><p>Problema 17</p><p>Si 0 y (4 elIC) son dos ángulos</p><p>coterminales, tales que liga =1/4, calcule</p><p>P=csc O +cosh</p><p>A) -34/17 B)-2./17 E) 17</p><p>D)-0,5 417 E) -1,5417</p><p>Problema 18</p><p>De la figura calcule</p><p>E =4tg 0 ctga</p><p>A)25</p><p>B) 31</p><p>C) 33</p><p>D) 35</p><p>L) 37</p><p>BO EAT</p><p>Problema 19</p><p>Á partir del gráfico, calcular ta 0, si</p><p>ABCD es un cuadrado de lado 2 m.</p><p>A</p><p>Y</p><p>C N B</p><p>Ú</p><p>a</p><p>H mm</p><p>D A(-3; 0) O XxX</p><p>7 3 ?</p><p>A) “3 B) 3 O 3</p><p>3 2</p><p>7 =></p><p>Problema 20</p><p>Del siguiente gráfico, las abscisas de los</p><p>puntos P y M son -43 y 1,</p><p>respectivamente.</p><p>Hallar k =ctg?0 + gu</p><p>Fil</p><p>y=x-4</p><p>len O LS O</p><p>aL X</p><p>PI|M</p><p>AJO B)1 EN A</p><p>D) 2 E) 4</p><p>OA 035 DAT. “za</p><p>Problema 21</p><p>De la figura, halle</p><p>E = sen 6 esca — tga clgÓ</p><p>Yi</p><p>M</p><p>L</p><p>P</p><p>A) -2 B) -1 C)0</p><p>D) 1 E) 2</p><p>Problema 22</p><p>ABCD es un cuadrado cuyo centro tiene</p><p>como coordenadas M(-3; 1).</p><p>Halle E= ¿J5sena — 3 cos0</p><p>Yá</p><p>A B</p><p>M</p><p>A Y e</p><p>(5;0) INS Xx</p><p>D C</p><p>A) 2/2 B) 442 O 642</p><p>D) 842 E) 104/2</p><p>Problema 23</p><p>Según el gráfico, calcule</p><p>E =senalesch| + ty0lctg0l|</p><p>Y A</p><p>6</p><p>EN _</p><p>LA EX</p><p>A) 2 B) -1 Cy0</p><p>D)1 E) 2</p><p>Problema 24</p><p>Se cumplen cos* 9. sen O > O y</p><p>ser O tg0 sen150" =</p><p>A</p><p>SATB ecos ae 0 IP 2 METIA</p><p>2. Reducir sec200” al primer 4, Hs ¿lar tg120?</p><p>cuadrante. Resolución:</p><p>Resolución: 1% Trazamos 120” en posición normal.</p><p>1%. Trazamos 200" en posición normal Como se puede observar se puede</p><p>y hallamos su ángulo reducido. reducir al primer cuadrante por</p><p>YA cualquiera de las dos farmas.</p><p>ar Er</p><p>| Xx</p><p>sec200” = sec(180" + 20%) = *sec20* tg120” = tg(180" — 60%) = yoo</p><p>2” Como 200” e HNIC => sec200” es (-)</p><p>320" e lIC => tg(-)</p><p>3" sec200" = — sec20"</p><p>tg120% 1860" = -/3</p><p>3. Calcular tg315* + cos315*</p><p>Resolución:</p><p>1”. Trazamos 315% en posición normal</p><p>tg120" = 1g(90%-30%)</p><p>= *ctg30"</p><p>120" € 11€ -> ctg(=)</p><p>tg120” = —ctg30” = -/3</p><p>18315" = 1g(360% — 45%) = *1g45"</p><p>cos315" = cos(360” — 45%) = *cosa5s2 5 Calcular:</p><p>2% Como315” € INC = tg (=) y COS (4 ), E = sen300* + cos240" 4 ctgl35'—csció30"</p><p>luego: Resolución: UE</p><p>315 =g45o=-1 a) > JE sen300" =sen(270* + 30%) =-cus30*=- .</p><p>cos315” = cos45” = > ; ? +</p><p>.18315%+c08315* = —1 + E mn 24 y2 clY $ sen(-) ————</p><p>2</p><p>O E re</p><p>1</p><p>ano =cos(180* + 609) =-cos60* =- a</p><p>tg(-37”) = -1g37"= ==</p><p>9. Hallar sec(-225%)</p><p>Resolución:</p><p>sec(-0)=secg => sec(-225%) = sec225"</p><p>Pero:</p><p>sec 225" =sec(180* + 45%) =-sec45* =</p><p>EMIC > sec(-)</p><p>Ett AMET</p><p>10.Hallar sen(-45607)</p><p>Resolución:</p><p>sen(- 8 ) = -sen 0</p><p>> sen(-4560%) = —sen4560"</p><p>4560*| 3607</p><p>4320 12</p><p>240" o. Resid o</p><p>(1)</p><p>sen4560* = sen240" = sen(180*+ 60%) = -sen60? ——</p><p>y</p><p>ell => sen(-)</p><p>y3</p><p>"- sen4560" - -sen60” = sen4560"= —- ></p><p>Luego, sustituyendo en (1):</p><p>(52) sen(-4560%) = =|--=7|=</p><p>2</p><p>ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS</p><p>Sabemos que R.T.(A) = Co.R.T.(90-A)</p><p>Entences:</p><p>[Si A + B=90%> R.T.(A) - Co R. TAB)</p><p>Ejemplos:</p><p>* sen65” = cos25"</p><p>* cos70” = sen20"</p><p>* tg40” = ctg50”</p><p>* sec80” = csc10*</p><p>* csc25” = secó5”</p><p>ctg48” = tg42?</p><p>MENO EST 2 TIA</p><p>ÁNGULOS UPLOMENTARIOS ÁNGULOS DE REVOLUCIÓN</p><p>A+ B = 180% > A = 180” - B</p><p>R.T.(A) = R.T(180* - B) = *R.T.(B)</p><p>Si A y B no son cuadrantales, uno de</p><p>ellos es del UC, por consiguiente * = +</p><p>sólo en los casos de seno y cosecante.</p><p>Luego:</p><p>Si A+B= 180" =>R.T.(A) = *R.T.(B)</p><p>*=+ «> R.T. = sen 0 esc</p><p>En las demás razones, * = —</p><p>Ejemplos:</p><p>* sen40” = sen140*</p><p>* cos70* = —cos110”</p><p>* 18100? = -tg80”</p><p>* csel20” = cscó0*</p><p>PROBLEMAS</p><p>Problema 1</p><p>Calcular</p><p>K = /sen240”+sen120*</p><p>A) 1 B)0 O yz</p><p>D) 43 E) 2</p><p>Resolución:</p><p>sen240"=sen(180*+60%) =-sen60"=- a ld</p><p>3</p><p>senl20"= sen(90* +30") =+c0530%= + $</p><p>5</p><p>Ángulos cuya suma es 360" ó 2 1</p><p>A+B=360” > A =360"—</p><p>R.T.(A) = R.T.(360*- B) = *R.T.(B)</p><p>SiA e IC => Be IVC, entonces cos y</p><p>sec son positivos =>*</p><p>Ó sec.</p><p>SiA e IC => BelllC, entonces cosÁ y</p><p>secA, así como cosB y secB sor</p><p>negativos, entonces * = + para R.T. = co:</p><p>Ó sec.</p><p>= + para R.1. = CO:</p><p>Luego:</p><p>Si A+B = 360% => R.T.(A) =</p><p>*R.T.(B)</p><p>*=+ 2 R.T. =c0s ó sec</p><p>En las demás razones * = —</p><p>Ejemplos:</p><p>* sen200” = -senl60"</p><p>* cos60* * = cos300"</p><p>* 18150 =-tg210"</p><p>R esueLros</p><p>e en “K”</p><p>pi YB, Y3 > K = JO</p><p>Rpta.</p><p>Problema 2</p><p>Simplificar</p><p>p- Sen (90*+x)-ctg (180"”—x)</p><p>“— tg(270%+x)-cos(360*-x)</p><p>A) 0 B) 1 C) 1</p><p>1 l</p><p>3 E) 72</p><p>TEMO 0 o:</p><p>Resolución:</p><p>_ (+cos sx) (—ctg x)</p><p>al -ctg xl +cos x)</p><p>Resolviendo:</p><p>E =1</p><p>Kpta: B</p><p>Problema 3</p><p>En un triángulo ABC, simplificar:</p><p>E= A e (ARBICTOEAB)</p><p>se</p><p>A) 1 B)-1 C)0</p><p>D) 2 E) -2</p><p>Resolución:</p><p>En un Á ABC, se cumple A +B+C= 180"</p><p>* sen(A+4+B)=senC</p><p>* tan(A+B+2C)= tg8(180%4+C)=+tan C</p><p>e cig(A+B)=clg(180"-C)=-=ctg C</p><p>Reemplazando en “£”</p><p>—5l a</p><p>o [+tane ][-cote]</p><p>Rpta: 0</p><p>Problema 4</p><p>Del gr pS bj calcular</p><p>tg 0. |</p><p>%) E</p><p>») y</p><p>Resolución:</p><p>Del ¡6 *ico</p><p>se observa:</p><p>Lia 3607</p><p>13</p><p>tu (0) = tg(360" 0)</p><p>180 =-—tgo</p><p>| lg0= 12</p><p>5</p><p>Problema 5</p><p>Tv</p><p>Calcular el valor de</p><p>E=sen3750*cot(-570")</p><p>y E</p><p>D) 43</p><p>B) 8</p><p>O</p><p>H)</p><p>¡8</p><p>A</p><p>E)</p><p>a A</p><p>Rpta. E</p><p>LEAL. omitir IA li iia</p><p>Resolución:</p><p>Dividiendo cada ángulo entre 360".</p><p>750" 1360" 570" [3607</p><p>o AO A</p><p>150P 210"</p><p>Reemplazando en “E”</p><p>E =[sen150%][-cot210"]</p><p>E = [+sen30"][+cot30"]</p><p>e AU</p><p>A 12145]</p><p>Rpta. E</p><p>Problema 6</p><p>Reducir</p><p>MS 18 (180? + )Jsen(360%—x) _ cos(90%+ x)</p><p>ctg(90%+ x)</p><p>A) -2senx B) -2cosx C) 2senx</p><p>D) 2cosx E) -senx</p><p>Resolución:</p><p>(“tgx)</p><p>Y = senx + senx</p><p>W = 2senx</p><p>Rpta: €</p><p>Problema 7</p><p>Reducir la expresión:</p><p>_sen(r+x), cos(—x) y 8(2r-x)</p><p>E sení=x) cosínm-x) ta(-x)</p><p>A) -3 B) -2 Ol</p><p>1D) 2 E) 3</p><p>a 'Trigonométria</p><p>Resolución:</p><p>e senta+x)- senx</p><p>e cosím —- x)= —cosx</p><p>e te(2x—1)=-lgr</p><p>. sen(-x) = -senx</p><p>. COSÍ--x) = COSX</p><p>. " tgl(=x)= gx</p><p>R= Sen y E9SY - lar</p><p>-Senx —cosx —IgY</p><p>R=1-1+1=1</p><p>Rpta: €</p><p>Problema 8</p><p>Calcular</p><p>R = sec40” + secB0” + sec100” + sec110P</p><p>+ sec140" + esc 1607</p><p>A) -A B) -2 Cy) —1</p><p>D 0 E) 1</p><p>Resolución:</p><p>* secl100” = -secBD”</p><p>* sec110” = —sec7 0"</p><p>* secl40" -sec4O"</p><p>* csc160"” = csc20” = sec70”</p><p>R = sec40” + secB0” + (=secg0”) +</p><p>(=sec70*) + (Esec40”) + sec70”</p><p>=D</p><p>Rpta: D</p><p>GO) o MET</p><p>ima:</p><p>Calcular ¿ j du e ol vw: dproximac mente ela alor de L 0+a= 360" => sen, _ =sens</p><p>- 120045") senó0"45 : Es sec4s] En! A — os) 8 a. en a a eus 30045) 0 Ccos150"45' O</p><p>A) 1,0 B) 3,0 C) 3,14 ll. 0+a= 180% => c0520=-cos2a</p><p>D) 4,14 E) 5,14 29 + 2u - 360%=> cos28 = cos 20</p><p>Resolución:</p><p>* senl120%45' = sen(90* + 30%45') =</p><p>= cos30%45'</p><p>* cos150%45' = cos(90% + 60%45') =</p><p>= — sen60%45'</p><p>se cos 30%45"</p><p>cos30%45'</p><p>secd</p><p>¿tg60" [ senó0'45'</p><p>=sen60%45'</p><p>E = sec45” + tg60"</p><p>E=424+./3 = 1,41 + 1,73 = 3,14</p><p>Rpta: C</p><p>Problema 10</p><p>indicar verdadero (V) o falso (F). Según</p><p>las proporciones indicadas:</p><p>L — 0+a=360%> sen? =-sen*</p><p>2 2</p><p>LL 0+0a=180% > c0528 =-—cos2a</p><p>IL 8+0=270* > tg0 =-ctga</p><p>A) VVV</p><p>>) FVF</p><p>B) VEF C) FVV</p><p>E) FFF</p><p>IT. 0+0=270=> tg0 =-ctga</p><p>0 = 270” - a. > tg0 = ctga</p><p>Rpta: E</p><p>Problema 11</p><p>Reducir al primer cuadrante csc(-1339%)</p><p>| y relacione con el dato tg11” = a</p><p>Vi+a?</p><p>Alisa Bra O</p><p>D) a Ela *</p><p>Resolución:</p><p>csc(-1339*) == csc1339"</p><p>= = (05s0259"</p><p>=sec11?</p><p>Dato: tg11?= a</p><p>Ad</p><p>AL”</p><p>1</p><p>esc(-1339%)=y1+ a?</p><p>Rpta: €</p><p>Problema 12</p><p>Six + y+:=180"</p><p>Calcular</p><p>N = seclx + y)cosz + tg(2y + 22)ctg2x</p><p>Aj) 2 B) -1 0y0</p><p>D)1 E) 2</p><p>Resolución:</p><p>x+y+2=1800 => x+y=180*-2</p><p>secíx + y) = -5ecz</p><p>Zx +2y + 2: = 360" > 2y + 2: = 3607” — 2x</p><p>tg(Qy + 27) = Agex</p><p>N = (=secz)cosz + (-tg2x)ctg2x</p><p>N =-sec= cos: —tg2xctg2x</p><p>A — ></p><p>N=-1-1 > N=-2</p><p>Rpta: A</p><p>Problema 13</p><p>De la gráfica calcular</p><p>E=tgP+ctgb</p><p>Y 4</p><p>e</p><p>AE</p><p>(7; 4)</p><p>|</p><p>AJO B a Cc Se</p><p>) ms ) 28</p><p>7 4</p><p>Da E) ></p><p>EAN DY A</p><p>Resolución:</p><p>Yi</p><p>e RS</p><p>pb o AN As</p><p>A</p><p>(7) 7 H</p><p>De la figura</p><p>P = 180 +0 => tgf = tg0</p><p>ctgf = ctg0</p><p>POH: PH =7 ¡OH =4</p><p>O</p><p>Y</p><p>t =</p><p>gb a</p><p>4> 4</p><p>ctab == gb ></p><p>Pp 7 H</p><p>. 7.34 65</p><p>E=s—+==—_</p><p>4 7 28</p><p>Rpta. t</p><p>Problema 14</p><p>Simplifique</p><p>cos 1-35</p><p>yy Sen am, A 2 ¿6 Jlx</p><p>sen(3x+x) sen(61+x) tg(5x — x)</p><p>A) -3 B)--2 O 1"</p><p>D 0 . E) 1</p><p>Resolución:</p><p>* sen(x- 41) =senx</p><p>+ sen(3m + x)=sen(m+ x) = -senx</p><p>* tur-1ix)- Ig +x)= tgr</p><p>* BO n-x)= tg(n-x) =-tgx</p><p>sSerr —Serx t</p><p>W =—-"4 de</p><p>-senx senx —tgx</p><p>W =-1-1 -1</p><p>W=-=3</p><p>Rpta: A</p><p>Problema 15</p><p>Jel gráfico mostrado calcular btg a.</p><p>Yi</p><p>P(-2; 3)</p><p>010; b)</p><p>1</p><p>| CABO) y</p><p>|</p><p>1) 27/25</p><p>B) 24/26 CG) 12/10</p><p>) -5/4 E) N.A.</p><p>tesolución:</p><p>b</p><p>ec 20.) 3 A(GB0 X</p><p>MD > MIT</p><p>Cálculo de “A”:</p><p>AOQ: tg0 .- ds</p><p>o 3</p><p>Es APC: tg0=2 0)</p><p>b a)</p><p>(1D=(27 7 9b=Í=tan0=2</p><p>4 05 5 5</p><p>De la figura:</p><p>a +0 = 180% > tgo: = —tgb</p><p>=> ga = -—</p><p>9/ a 27</p><p>bt O ==| == [===</p><p>Es U5)” 2</p><p>Rpta: A</p><p>Problema 16</p><p>Si 3x + 2y =3</p><p>Reducir:</p><p>sen| m—*"-</p><p>fa —_— 2</p><p>cos| 21 7 )-2sen[ 2, 2]</p><p>) 23</p><p>1 1</p><p>3 B)-3 0) 1</p><p>D 1 door</p><p>1 E) 5</p><p>Resolución</p><p>lol)</p><p>IRE</p><p>Reemplazando en E</p><p>E =—— sen) = : A</p><p>: leas</p><p>cos| )-2l cos E ] 3c0s| % ]</p><p>Pero: 3x + 2y =3</p><p>x y 1</p><p>Dividi bi => — ividiendo 7?</p><p>Multiplicando xT:</p><p>Tx Mu Tr Tx my</p><p>+ — =— 9 Sen— =c08—</p><p>2 3 2 2 3</p><p>PE</p><p>3</p><p>Rpta: E</p><p>Problema 17</p><p>Del gráfico mostrado calcular ctg0 .</p><p>7 = 7 7</p><p>3 so B) En a ></p><p>D) > E) ml</p><p>4</p><p>Resolución:</p><p>E a</p><p>E ABC: Notable (37,533 => AC=</p><p>SACD: T. Pitágoras</p><p>co 43? 4? E 7</p><p>De la figura: tga =</p><p>$</p><p>También: 6 +a+90* = 360"</p><p>a =270*-9</p><p>En (1): tg(270"— 0) =</p><p>ctgÓ = 307</p><p>7</p><p>Rpta. D</p><p>Problema 18</p><p>Calcular el valor de</p><p>E =sen481-Ec0s273-2tg181- 4</p><p>] 6 4 3</p><p>== CO)</p><p>/6 Y? y/2</p><p>4</p><p>ñ</p><p>D) =— E) 7</p><p>Resolución:</p><p>Y elas 6 |</p><p>aso Eh 50</p><p>Er</p><p>l</p><p>a</p><p>e</p><p>mu</p><p>Sa</p><p>nt</p><p>S</p><p>a</p><p>l</p><p>a</p><p>d</p><p>e</p><p>l</p><p>a</p><p>Ñ</p><p>i</p><p>a</p><p>to ANTES: DE</p><p>- Y</p><p>ii) BÉ la</p><p>31 3</p><p>T</p><p>80 3</p><p>¿3%</p><p>T</p><p>3</p><p>Rpta: D</p><p>Problema 19</p><p>Si 0(cIVC) y "f” son ángulos</p><p>l A</p><p>colerminales y senf=-=-2,</p><p>y5</p><p>calcular</p><p>Il = Y5sec(2a 4) + tg(04 4)</p><p>Aj 1 B)2 LS</p><p>D) 4 E) 5</p><p>Resolución:</p><p>Si 4 y P ángulos coterminales -></p><p>RT(6)=RT(B ):</p><p>En el problema:</p><p>” / 2 3</p><p>senó = senf = — JE aq = 7</p><p>Pero be WC:</p><p>“ %</p><p>exa ade 2) 857</p><p>a=:]</p><p>"seco 5</p><p>*tg9- 2</p><p>En H:</p><p>H=45 sec(2x $) + tg(r0+ 6)</p><p>H = 45 secó + 180</p><p>H=YV5(45)+(-2)=5-223</p><p>Kpta: €</p><p>a l+1gQn+a)</p><p>pra — 0</p><p>Por reducción al primer cuadrante:</p><p>-sena-=sena+tga —2sena+ tga</p><p>NS —=CO5d-COsd 200540</p><p>_2sen u—=lg</p><p>=— 2cosa</p><p>Rpta: €</p><p>Problema 2</p><p>z asas o e A Y - : Z</p><p>Calcule E=tg (E. Jen términos de</p><p>“a”, sisecx=a + tgx. (UNI- 05 1)</p><p>1 1 vids</p><p>A) ¿1 B) 05</p><p>dl</p><p>l y A DG E)</p><p>Resolución:</p><p>Del dato: secx-tgxo 3)</p><p>, n,1)-1</p><p>Luego: ta(7+3)=3</p><p>to2f, xj 1</p><p>4=t5 (5+3) e</p><p>Kpta: C</p><p>Problema 3</p><p>Si esc(0 sn). - y5 , calcule el valor</p><p>l3r -se n 350) di</p><p>de = IT —[cos[$7 -o)).</p><p>5+ese 300</p><p>(UNI-04 11)</p><p>1) E E) 345</p><p>Resolución:</p><p>Del dato, por reducción al prime:</p><p>cuadrante:</p><p>esc(0-27 la => esc(3-0)=>5</p><p>2 2 2 al</p><p>> secó =>h ¡entonces DEICóÓ6IVCE</p><p>1</p><p>e</p><p>NS</p><p>De donde send</p><p>MESTRE ies tintes a</p><p>Reduciendo al primer cuadrante:</p><p>Pm sen 6t+3 O 0) s+3-dl</p><p>YE rescl LO%. 3-0) -</p><p>Luego de eliminar números enteros de</p><p>vueltas</p><p>-(2/45)1, 1 4/5 lf= Al + lf=-=</p><p>45 + 5 | 3 Ñ 13</p><p>RKpta: A</p><p>«> ROBLEMAS</p><p>Problema 1</p><p>Calcular</p><p>K =sen225".c05300"</p><p>v6 v6 yY2 A) $ B) -2 a</p><p>v2 2 D) ar E) ==</p><p>Hallar el conjunto solución de</p><p>sen(m—x)+sen(21—x)</p><p>|</p><p>Y</p><p>(SM '03)</p><p>A) (-1;1)- B)(-1) O) [-51]-(0]</p><p>Resolución:</p><p>En primer lugar es necesario que x+0</p><p>Luego, por reducción al 1 2</p><p>sena + (—senx)</p><p>> +N «ig sa Ne)</p><p>esc(3607 — 1)</p><p>A) isen* B) senx C) —tgx</p><p>D) tax E) -1</p><p>Problema 8</p><p>Simplificar</p><p>Fi</p><p>N'"= cos| 5 + x Jsect2n— x)tg(rt-x)</p><p>cosí4i +)</p><p>A) -2 B) -1 CO) 0</p><p>IM 1 E) 2</p><p>Problema 9</p><p>Calcular W para 0= =</p><p>_sen(180* +0)cos(0- 90*Ag(1260" +0)</p><p>cos 2702 - 8)sen(540? + 0)tg (4507 +0]</p><p>A) -443 B) A O -av3</p><p>D) 3 E) -1</p><p>Problema 10</p><p>Según la fig ura</p><p>calcular: el valor de</p><p>secíx— y) + 00514 Cos Y</p><p>a</p><p>¡do |</p><p>cs ra Jeseno tsenuv</p><p>A) 0,6</p><p>D) -0,2</p><p>B) -0,5 C) -0,4</p><p>E) 0,1</p><p>ST +++ ++-></p><p>Problema 11</p><p>Reduzca:</p><p>ctg(360* — x)— -tg(450? — y)</p><p>tg(270? + x)+ctg(180* — x)</p><p>Pa</p><p>A</p><p>A) -2 B) -1 O 0</p><p>D) 1 E) 2</p><p>Problema 12</p><p>Si</p><p>= 12361" tg362* tg363" ...(10 términos),</p><p>calcular</p><p>V =ctg"181"ctg*182"ctg?183"...ctg*190"</p><p>1</p><p>AE B) E O) 21</p><p>l 2</p><p>D) 2 E)</p><p>Problema 13</p><p>Si tg10” = n, expresar E en términos de n,</p><p>donde £= tg40” + ctg80? + tg130*</p><p>A) —2n B) —n On</p><p>D) 2n E) 3n</p><p>Problema 14</p><p>Sia +b=2wn, calcular</p><p>R = Iga + sena + tgb + senb</p><p>C) ¿sena</p><p>E) —2tga</p><p>A) 0 B) 2tga</p><p>D) 2sena</p><p>+ Ge) RRE A Proyecto Ingenio</p><p>Problema 15</p><p>Hallar el valor de</p><p>: n 3 31 ></p><p>E=cos*-+cos* =-+c0s* se +cos" e</p><p>7 7 7 7</p><p>A) 1 B) 2 O) 4</p><p>IN) -—3 E) 0</p><p>Problema 16</p><p>Si tga=y2, calcular</p><p>__sen(-u)ct g(270* 4 a)sec(180* + a)</p><p>cos(360* — a )tg(a - 270%) csc(a — -180*)</p><p>A) 1 B) 3 0) 4</p><p>D) -3 E) -4</p><p>Problema 17</p><p>Simplificar</p><p>(xy) sec1620%+(x+ y) sen1890* -</p><p>(+ y senB10%+(x? 4 y2)cos 9009 +</p><p>2xycos 12600</p><p>3xpcsc1350*</p><p>A) -2 B) -3 O) -4</p><p>D) -5 E) -6</p><p>Problema 18</p><p>Reducir</p><p>Y = 18181" + 18183" + 19185 +... 12357" 4</p><p>(9359 + tg361</p><p>A)1 B) tg1” C) tgl"</p><p>D) 1 EJO</p><p>ENT AS IO O</p><p>Problema 19 NS</p><p>Reducir la expresión sí</p><p>171 p17 271 291 31 el E</p><p>[+ Br | : y 2 Y dl a</p><p>gira a3n=0)) -2 en y ES [AE HABUS O Da + E</p><p>A) —ctgx B) -tgx C) 2tgx Problema 23</p><p>D) 2ctg'x E) -2tgix m8</p><p>Si [qx )= 2</p><p>Problema 20</p><p>Si los ángulos internos de un triángulo</p><p>ABC (A —</p><p>CIRCUNFERENCIA</p><p>TRIGONOMÉTRICA</p><p>Una circunferencia con centro en el</p><p>origen de coordenadas del plano</p><p>cartesiano (C-1) que la contiene y radio</p><p>igual a la unidad, se llama circunferencia</p><p>lrigonométrica (CT). Por consiguiente,</p><p>st ecuación 0s:</p><p>(0; 1)</p><p>Cripen de</p><p>Complementos</p><p>THigen de Origen de</p><p>uplementos Arcos</p><p>TO Xx</p><p>(0; -1)</p><p>LY</p><p>Representación de las funcione</p><p>trigonométricas en la circunf</p><p>rencia trigonometrica</p><p>A continuación vamos a establecer ul</p><p>relación entre la longitud de arco y |</p><p>valores de las razones trigoneméótric.</p><p>A cada punto de la circunferencia de</p><p>corresponder el valor de la ras:</p><p>trigonométrica del ángulo que subtien</p><p>el arco, entendiendo que este arco e:</p><p>en posición normal y cuvo extremo</p><p>ubica en dicho punto.</p><p>Esta correspondencia es una funcid</p><p>por lo que en «delante hablaremos de</p><p>funciones trigonométricas en lugar de</p><p>razones trigonométricas.</p><p>Representación del seno</p><p>Dado un arco en posición norm</p><p>contenido en una circunlerene</p><p>trigonométrica, el seno del arco</p><p>igual ala ordenada de suextremo.</p><p>AA AI</p><p>Resolución:</p><p>PS 4 Ao H = sent] (+)</p><p>En la siguiente 1gura se muestra la</p><p>representación del seno ps algunos *</p><p>ircos en los cuatro cuadranlos.</p><p>YA</p><p>5 AB-CTI 2 son</p><p>2 Br o] z =</p><p>TE X E ent | : gs Sent</p><p>Representación del coseno</p><p>Variación del seno</p><p>-l£sen0£1l Y 0lekE</p><p>IE | ME |MHC|IVC</p><p>t + - e</p><p>“lA lA] A</p><p>A ¡Creciente</p><p>5 Decrecionte</p><p>Dado un arco en posición normal</p><p>contenido en una circunferencia</p><p>trigonométrica, el coseno del arco es la</p><p>abscisa de suextremo.</p><p>YA si EL ijemplo: UN 27</p><p>Cuál es el área del triángulo ACB de la . cost |</p><p>igura mostrada? Ñ D ML</p><p>cosg = =YX >| 20080</p><p>| :</p><p>A Box En la siguiente figura se muestra la</p><p>J representación del coseno para algunos</p><p>NS | arcos en los cuatro cuadrantes.</p><p>|</p><p>TE AI</p><p>YA</p><p>ps</p><p>A is</p><p>e AN</p><p>- |, ——E—Ú</p><p>. ñ — e</p><p>AA A</p><p>E lL-— —</p><p>1 di</p><p>AA</p><p>A + e</p><p>¡AMENA cerezos 4</p><p>A</p><p>== EA</p><p>Variación del coseno</p><p>-I</p><p>S cosO</p><p>— Daiana =* ></p><p>Observación:</p><p>YA</p><p>DB. A</p><p>icos5 cendd,' cos En</p><p>¿</p><p>Y</p><p>y [senó :</p><p>l 1</p><p>t _</p><p>bh h pc</p><p>,</p><p>,</p><p>k '</p><p>” e E</p><p>Representación de la tangente</p><p>La tangente de un arco asociado a una</p><p>circunferencia trigonométrica, es la</p><p>ordenada del punto de intersección</p><p>entre el eje de tangentes y la prolon-</p><p>gación del radio que pasa por el</p><p>extremo delarco.</p><p>—</p><p>a A</p><p>ADAP:</p><p>AP Al ]</p><p>G- NS [100 = AP</p><p>y A</p><p>TEMO 15d A</p><p>Tangentes de algunos arcos en erentes Representación de la cotangente de</p><p>cudidrantes . algunos ángulos en los diferentes</p><p>y Ejude cuadrantes,</p><p>Lirmtoritas ' A A L Ls</p><p>YA ; Ju delas</p><p>En</p><p>colanpentes RA e 4 clap ctevy| ctua ctud ¿e</p><p>7 a ¡ — dl —— —— A 7 —— ria a</p><p>» Ni :</p><p>xi yd : AT</p><p>NS ! 4</p><p>'</p><p>¡E “E 7</p><p>A 7 — - A | pa</p><p>s e 4 ' ; A A 7 A | 1?</p><p>Ne | e</p><p>E y a</p><p>Variación de la tangente</p><p>Variación de la cotangente</p><p>tas 02 Lln+ Dr line os Y] Cl</p><p>vO-E= no nl</p><p>AS A</p><p>7</p><p>Pic | e | me | 1vc |</p><p>+ - +</p><p>Ml RES AO</p><p>Ejemplo:</p><p>En la figura mostrada, determinar el área</p><p>del cuadrilátero ABPO, si el arco 0</p><p>circunferencia</p><p>pertenece a una</p><p>trigonométrica.</p><p>A</p><p>YA</p><p>E</p><p>DT</p><p>6</p><p>O O ) B X</p><p>Resolución:</p><p>secl</p><p>Santo a Sons = Sora</p><p>_ OB AR A! 00 =* PQ</p><p>Sano a ”</p><p>secOxtg0 ctg0xl</p><p>Sao = —— _ TA</p><p>, l</p><p>Sano = y SECttgo - ctg0)</p><p>Representación de la cosecanti</p><p>La cosecante de un arco É contenido er</p><p>una circunferencia trigonométrica es l:</p><p>ordenada del punto de intersección de</p><p>la tangente geométrica trazada por e</p><p>extremo del arco con el eje Y.</p><p>14</p><p>CO 5 > 0) ] A —</p><p>TL</p><p>3</p><p>AOTP:csc0= E £ _ > [0=0P</p><p>2</p><p>)</p><p>a</p><p>=</p><p>MIO O</p><p>Representación de la cosecante de vers(0) = 1 — cosb</p><p>algunos arcos en los diferentes Eo</p><p>cuadrantes. vers0 = Q-P</p><p>Y lis</p><p>[versd 172050] VO K</p><p>Variación</p><p>[0 1 complementos.</p><p>Ve R-—[n);neZ</p><p>IC | uc me IVC</p><p>+ + - = oi —— 1</p><p>ia |</p><p>senoverso</p><p>e]</p><p>aráficamente el senoverso de un arco es</p><p>| segmento dirigido en el eje X que parte</p><p>lel punto cuya coordenada es el coseno</p><p>le dicho arco hacia el origen de arcos.</p><p>covÚ = 1 - senó</p><p>cov0 =P - Q</p><p>covO = Qr!</p><p>[covO = - seno] Oc R</p><p>D 0</p><p>E E</p><p>Ejemplos:</p><p>r T 43 2-3</p><p>e vors—=1- cos PA</p><p>3 Y A 2</p><p>(3 mn, v13_2-43</p><p>5 cov[ 3 )=1=senz=1 A</p><p>3 3 2 2</p><p>Í E</p><p>E</p><p>ls -see| y) = sec=-1 Jl</p><p>3 4</p><p>Ejemplos:</p><p>Graficar; vers(-1, 3), cov(3) y ex-sec(4)</p><p>Resolución: Y</p><p>a ¡ex-sec(4)| R |</p><p>- IAE FEET</p><p>¡ vers(-1,3) A</p><p>1,3</p><p>vers( —1,3) = RA</p><p>cov(3) = PO</p><p>ex-sec(4) = AB</p><p>MEMO RIE a</p><p>«.Proszemas R esurros</p><p>Problema 1</p><p>Señale verdadero (V) ó falso (F), según</p><p>corresponda, en:</p><p>h sen 140" > sen 160" bt)</p><p>IL. sen 200% > sen 250" ( )</p><p>1. sen 200% > sen 3207 .</p><p>A) VVV B) VEF C) VVE</p><p>D) EVV E) FEF</p><p>Resolución:</p><p>,</p><p>sen 140% > sen 1607 (V)</p><p>IL sen 200" > sen 250" (v)</p><p>(IL. sen 200% > sen 320? (Y)</p><p>Rpta. A</p><p>Problema 2</p><p>in la C.T. mostrada, hallar el área de la</p><p>egión sombreada.</p><p>4 Y</p><p>se</p><p>U</p><p>N</p><p>Es</p><p>|</p><p>O E</p><p>1 a > A) ¿sen B) => cosU C) send</p><p>D) -cost0 E) —2sen0</p><p>Resolución:</p><p>X</p><p>-b.h S= 5</p><p>«NIC</p><p>w (1) [seno] . (1)(-senó)</p><p>S=— 3 $» 5- "E</p><p>“s S =- ¿senO</p><p>Rpta. A</p><p>TT 0 A</p><p>Problema 3</p><p>Señale la variación de</p><p>f(x) =7senx—5 x € 6</p><p>aAp72]) »B[122 OR 12]</p><p>D) [-2; 12] E) [-6; 8]</p><p>Resolución:</p><p>Se sabe:</p><p>-] cos70"</p><p>IL. cos 100” > cos 140”</p><p>TIL. cos 240” > cos 310"</p><p>A) VEV B) FFV C)VVV</p><p>D) VVF E) FFF</p><p>Resolución:</p><p>Analizando en la C.T.</p><p>LL. cos20% >cos 70" (V)</p><p>IL. cos 100” > cos 140" (V)</p><p>IL. cos 240" cos0 E) 2c050</p><p>Resolución:</p><p>4 Y</p><p>UAT OS</p><p>Se</p><p>y IcosH,</p><p>i</p><p>n= : 7 Sl</p><p>EN</p><p>NL</p><p>Rpta: B</p><p>CI</p><p>Problema 7</p><p>Halle la variación de</p><p>E=5c050+1; 06 R</p><p>(46) B46) 0146]</p><p>D) (4 8] E) |.-5; 5]</p><p>Resolución:</p><p>Como</p><p>=1 sen,/2</p><p>Il. cos4 cos10"</p><p>D) [7; 1) E) (-7; 14)</p><p>A) VVV B) FEF C) VEV</p><p>o D) FFV E) FVF</p><p>Resolución:</p><p>En la C.T. Resolución:</p><p>Graficando la C.T,</p><p>T/6</p><p>1 YA</p><p>1/2</p><p>| ] ml</p><p>-]</p><p>cos107 A 108</p><p>| LAS senlO =</p><p>3 ZTnab,28 »x</p><p>2</p><p>Mayor valor: 1</p><p>E . (si lo toma)</p><p>(si lo toma)</p><p>pa MENO ne</p><p>BZ a re Proyecto Ingenio</p><p>Ley de proyecciones,</p><p>Área de una región triangular.</p><p>Elementos auxiliares de un trián-</p><p>gulo. Área de una región cuadran-</p><p>gular.</p><p>0? ER IA</p><p>” , a aqi</p><p>— CAPÍTULO</p><p>INOMETRÍA -</p><p>A</p><p>TRIGONOMETRÍA</p><p>La Trigonometría es parte de la</p><p>Matemática. Etimológicamente,' la</p><p>palabra trigonometría proviene de</p><p>gonos (ángulo), trigono (triángulo) y</p><p>metros (medida), de lo que se puede</p><p>deducir que trata de la medida de los</p><p>triángulos.</p><p>La medición de las distancias largas ha</p><p>sido uno de los problemas que el hombre</p><p>ha buscado resolver con ayuda de la</p><p>Matemática. La Geometría ha resuelto en</p><p>buena parte este problema sin embargo,</p><p>el aporte de la Trigonometría ha sido</p><p>fundamental en la resolución del</p><p>problema de la medición de distancias,</p><p>porque ha establecido una relación entre</p><p>el ángulo y la longitud.</p><p>Aparte de la medición de distancias, las</p><p>funciones trigonométricas han logrado</p><p>modelar una serie de fenómenos de</p><p>carácter periódico, como la corriente</p><p>eléctrica, los latidos del corazón, las</p><p>vibraciones del sonido, de las ondas</p><p>sísmicas, la luz, ote.</p><p>1.1. ÁNGULO TRIGONOMÉTRIC</p><p>El ángulo trigonométrico es diferente</p><p>ángulo geométrico. El ángulo geométri</p><p>está formado por dos rayos que tienen</p><p>mismo punto de origen.</p><p>B</p><p>A</p><p>0? « ¿ + co</p><p>+-+00 e</p><p>2. Para sumar o restar ángulos</p><p>trigonométricos, éstos deben estar</p><p>orientados en el mismo sentido. Si</p><p>esto no ocurriese, se recomienda</p><p>cambiar la rotación, así:</p><p>a</p><p>mo:</p><p>0 = -0 =</p><p>Por ejemplo:</p><p>=></p><p>a —10 1-a</p><p>—a e</p><p>SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR</p><p>La medición de un ángulo requiere de</p><p>otro ángulo como unidad de medida. La</p><p>unidad de medida angular se ha</p><p>establecido principalmente con dos</p><p>criterios: dividiendo el ángulo de una</p><p>vuelta en partes iguales y utilizando. la</p><p>relación del arco con el g00 de la</p><p>circunferencia.</p><p>A continuación veremos tres sistemas de</p><p>medición angular:</p><p>ita et AT, MERA Br STAN aaa ed tp Ec ls dl</p><p>A sistema o mociml</p><p>(sistema inglés)</p><p>El sistema divide el ángulo de una vuelta</p><p>en 360 partes iguales y a cada parte</p><p>denomina grado sexagesimal, que es</p><p>la unidad de medida angular.</p><p>Cada grado se divide en 60 minutos y</p><p>cada minuto en 60 segundos.</p><p>1 Vuelta = 360]</p><p>Notación</p><p>Un grado sexagesimal ¿190</p><p>Un minuto sexagesimal :1'</p><p>Un segundo sexagesimal : 1</p><p>Sub-unidades:</p><p>1 vuelta = 360%</p><p>1 =60" =3600"</p><p>[Y 0 | a)</p><p>Operaciones</p><p>Adición Sustracción</p><p>ET</p><p>xr</p><p>480 38" go” a le E 36" _</p><p>34054 38" ME=- 28" 39 40"</p><p>82” 92" 80” (63”86' 96”</p><p>E,</p><p>py ” log 39 40"</p><p>83933207 35" 47 567</p><p>Multiplicación División</p><p>42% 25 34 x 45% 48" 48"|11</p><p>8 44" Ps"</p><p>3367 200" 2727 160.</p><p>Y 108'</p><p>339 24 32% 99" E</p><p>588"</p><p>583"</p><p>5</p><p>B. Sistema centecimal (sistema</p><p>francés)</p><p>Se divide el ángulo de una vuelta en 400</p><p>partes iguales y cada parte se lama</p><p>Cada</p><p>centesimal contiene 100 minutos</p><p>grado centesimal. grado</p><p>centesimales y cada minuto centesimal,</p><p>100 segundos centesimales.</p><p>1 Vuelta = 400* ]</p><p>Notación:</p><p>Un grado centesimal :1F</p><p>Un minuto centesimal :1'</p><p>Un segundo centimal : 1*</p><p>Sub-unidades:</p><p>lvuelta = 400*</p><p>14 =100" =10000*</p><p>| = 100*</p><p>e a) ca</p><p>»peraciones 360” = 2 x rad >> [180%= rm rad</p><p>idición Sustracción . De: (1) E (1D)</p><p>ABS 53" 20" + 9748 53% 79 — 400*= 21 rad></p><p>38€ 78" 46* 154% 98" 84*</p><p>- 48, 53208 + 974, 5379% — Ejemplos aplicativos:</p><p>— 38, 7846* 154 9684" 9684 Convertir:</p><p>— 87,3166* 819, 5495 -—]</p><p>» 87531" 66* 819% 547 95 —- 1. 40 => (Y</p><p>Ñ . 40% y = 36"</p><p>: Sistema radial, circular o 10%</p><p>internacional</p><p>ste sistema tiene por unidad el radián</p><p>| rad), que es la medida de un ángulo</p><p>entral que subtiende un arco cuya</p><p>ngitud es igual a la del radio de la</p><p>ircunferencia que contiene el arco,</p><p>></p><p>+</p><p>m4AOB = 1 rad</p><p>[1 Vuelta =2n5 rad|</p><p>¡quivalencias:</p><p>1 Vuelta = 3607 = 400" = 2nrad</p><p>=></p><p>T Y Mí</p><p>» De:(1)=()</p><p>360” = 400% > [9"=10*]</p><p>» De:(I) =(III):</p><p>1)</p><p>2)</p><p>:.(40* =36%] Rpta.</p><p>Trad > (y</p><p>3% ¿390 e 3 E E di</p><p>pa</p><p>8004 > (?) rad.</p><p>800% * rad</p><p>e » 200%</p><p>7 ad =135></p><p>ES</p><p>=135"</p><p>Rpta.</p><p>=4n rad</p><p>-,1800* = 4rr rad]</p><p>Observaciones:</p><p>4=15 30' 45"</p><p>£ =15%430'%+ 45"</p><p>4=7" 100' 110"</p><p>£= 7"4+60'+40'+60' '+ 50"</p><p>y</p><p>¿=8+41+50"</p><p>«¿=8" 41' 50"</p><p>T</p><p>t</p><p>w</p><p>i</p><p>t</p><p>t</p><p>e</p><p>r</p><p>.</p><p>c</p><p>o</p><p>m</p><p>/</p><p>c</p><p>a</p><p>l</p><p>a</p><p>p</p><p>e</p><p>n</p><p>s</p><p>h</p><p>k</p><p>o</p><p>Ebo Abra o a de ota a</p><p>dE + sil rá elias 13. li ds e]</p><p>3) £=4%* 5" 10*</p><p>4=4% +5" 4+10*</p><p>4) £=10" 120" 140*</p><p>¿=10* +100% +20" +100* +40"</p><p>— 1%</p><p>4=11 21" 40*</p><p>Identificar verdadero (V) ó falso (F) en</p><p>5) 40" + 20 = 60* (F)</p><p>6) 5 x 6” =30* (F)</p><p>7) 2x5 =10* (V)</p><p>20%,</p><p>8) F=4 (E)</p><p>E</p><p>9) 3 (v)</p><p>a. 10) 35"? (V)</p><p>44 _</p><p>11 A (F)</p><p>Regla práctica para convertir</p><p>unidades de medición angular.</p><p>Este método de conversión se basa en dos</p><p>principios,</p><p>1. Cualquier número o cantidad</p><p>multiplicado por 1 sigue siendo el</p><p>mismo.</p><p>2. El cociente de dos cantidades iguales</p><p>es igual a la unidad.</p><p>Teniendo en cuenta que:</p><p>l9=10*| [180%=x rad] [200* =5 rad]</p><p>Dado un ángulo en radianes, basta</p><p>multiplicar por el factor de conversión</p><p>180*</p><p>n rad</p><p>sexagesimales.</p><p>para expresarlo en grados</p><p>O da</p><p>En general, el factor de conversión es un:</p><p>fracción formada por dos medida</p><p>angulares equivalentes, cuyo numerado</p><p>está en la unidad a la que se dese.</p><p>convertir y el denominador en la unida:</p><p>que se quiere cambiar.</p><p>Ejemplos aplicativos:</p><p>4. Convertir 120” a radianes</p><p>Resolución:</p><p>Unidad a la que se desea pasar: radiane</p><p>Unidad que se quiere cambiar: grado</p><p>sexagesimales</p><p>Equivalencia: 180% = x rad</p><p>nr rad</p><p>180</p><p>rrad 2n</p><p>po _ f- esti E d Luego: 120? = 120" 1800 3 ra</p><p>Factor de conversión:</p><p>5. Expresar 3608 en grado</p><p>sexagesimales.</p><p>Resolución:</p><p>1809</p><p>200%</p><p>360* = 360" x 324"</p><p>También:</p><p>como 180? = 200* = 9* = 10</p><p>qye.</p><p>324"</p><p>10r</p><p>Luego: 360” = 360* x</p><p>6. Transformar: 1000% a radianes.</p><p>Resolución:</p><p>y nrad</p><p>Sd 10007, 77</p><p>Zi [1000* =51 rad]</p><p>órmula General:</p><p>ea el ángulo AOB cuya medida en</p><p>rados sexagesimales es S”, en grados</p><p>entesimales, Cf, y en radianes, R rad.</p><p>'elacionemos estas medidas:</p><p>e cumple:</p><p>SC _R</p><p>180 200 T</p><p>Fármulas auxiliares.</p><p>AAA,</p><p>LE Ls =L</p><p>9 10| 10 E</p><p>= Uk C=10k</p><p>Donde:</p><p>3 = + de grados sexagesimales</p><p>C = fi de grados centesimales</p><p>KR = 4 de radianes</p><p>Nota:</p><p>e 7 = 3, 1415926535...</p><p>e = 3,1416</p><p>e q.= 22/7</p><p>+ := 0</p><p>+= J3+42</p><p>a calcita a AM</p><p>TOA</p><p>Ejem pios aplicativos</p><p>7. Expresar 60" en radianes.</p><p>Resolución:</p><p>Como el ángulo está en grados</p><p>sexagesimales.</p><p>$ = 60; R=?</p><p>AAA</p><p>180 x 180 zx</p><p>:.|60%= 3 rad| Rpta.</p><p>8. Expresar 495” en grados centesimales</p><p>Resolución:</p><p>a=495*% *</p><p>S = 495; Car</p><p>Ls BL Es</p><p>9 10 9 10</p><p>pS [495*= 550*] Rpta.</p><p>9, Expresar ML rad en grados</p><p>sexagesimales</p><p>Resolución:</p><p>«=Hiradi. R</p><p>3x Ra 5</p><p>3</p><p>S R $ 4</p><p>— == RÁ A AAA</p><p>180 xx 180 Tu '</p><p>Analizando la CT. Problema 12</p><p>Lo sen) > sen Y2 mm F E ></p><p>: : ? _ , de, Si 0 e (—; dd hallar la extensión de</p><p>IS E => IL (V) A 6 6/</p><p>AL «en i0" > cosl0" HE ( E ) M = =(5 + senó)</p><p>3</p><p>Rpia: E 11 ;] 11</p><p>A) es 2 AER</p><p>b J 6</p><p>Problema 11</p><p>21 Sa 1%, |</p><p>Si Ler B) |-1; 5 Resolución:</p><p>| 7 Gralicando en la C.T.</p><p>Í y 2</p><p>C) po = ha</p><p>| a 1</p><p>DEE) Ñ 2</p><p>Resolución:</p><p>atalicando la C.T.</p><p>YA</p><p>Analizando la variación del seno</p><p>e l</p><p>Xx - 1 Sumando 5: 7 0</p><p>donde «a e (0; x)</p><p>Determine el intervalo al cual pertenece €</p><p>T dba T</p><p>0D: — -= 10;</p><p>A| 5) Dl s] ol a)</p><p>3 T</p><p>O: — 200; —</p><p>Dr . o a</p><p>SIENDO > sz: AN £J64 E CTA * Proyecto Ingenio</p><p>dá”.</p><p>Resolución: Resolución:</p><p>Graticando f(x) = (2senx + Diísena — 1)</p><p>(a) = 2sentr =senr— 1.</p><p>: |</p><p>1 (x) = 2(senty — 2 Senv) = l,</p><p>Completando cuadrados</p><p>: / LP 9</p><p>» v)= 2 sen -— | ¡ X Fix) i 3) 8 (1)</p><p>Como: -1 0</p><p>to) 421 a , ya</p><p>Restando --: 7 cosa > () (2) E $ A)</p><p>De (D) v (Q; 9</p><p>De (1): 3 £ Ma) «u e(o; 2)</p><p>Kpta: B</p><p>Rpta: E</p><p>Problema 17</p><p>Problema 16</p><p>o NN NN = 2 du</p><p>Hallar el máximo y mínimo valor de "/ Si Oc 3 7</p><p>$1 o</p><p>determine la variación de</p><p>Fx) = Qsenx + 1Msenx — 1)</p><p>NA NAO</p><p>9 9 9 Ú. m3 ali ol 8 8 8 | A) (1; 5) BS</p><p>O (5D</p><p>D) 8 2) E) [-9; 2] D) (0,5; 1) E) (-1; 0,5)</p><p>DB... o 165 4 Trigonométria”</p><p>Resolución: hallar da variación de:</p><p>craficando: 5</p><p>ART 492: 10, A |</p><p>EA iz Ol</p><p>1212; 10] 14) :2, 9]</p><p>YA Resolución:</p><p>2 ; Dato: No-tg 0 + 4HgO 5</p><p>ATA</p><p>ye N -(lgo +2) +1 (1)</p><p>» E.</p><p>Dil ]</p><p>p | O E om El</p><p>r | Graáficando en la CL e l E z</p><p>A y 1 1 [ | A , JE:</p><p>—Á A —— > He ,</p><p>Y J E d</p><p>4 a ' .| !</p><p>" =” y ' dl |</p><p>A A 3</p><p>vas! o ER Ni</p><p>2 dE A</p><p>A ¡a ! h</p><p>| A _— p</p><p>| | X</p><p>' y!</p><p>| N | ; n</p><p>A R Ñ AZ</p><p>y E e +</p><p>" 7 pa</p><p>Side lo” E |</p><p>Analizando la variación de 1g 0:</p><p>a ya zlelbea 5 Ñ</p><p>Y l</p><p>Problema 20</p><p>; Proyecto Ingenio</p><p>Un la figura mostrada, hallar la distancia</p><p>entre Py A.</p><p>* 0</p><p>Do /</p><p>Al A JA.</p><p>O ox</p><p>| /</p><p>| /</p><p>A ANA</p><p>A EA</p><p>Be + =1</p><p>A) .¿4£i-cos0) B) /2(1- senó)</p><p>C) 2(1+cos0)</p><p>D) 24 + sent)</p><p>Kesolución:</p><p>1) (U=cos0)</p><p>En la C.T. mostrada</p><p>Graficamos el seno y coseno.</p><p>YA</p><p>, 4 A</p><p>Picostksenú) 4 2311</p><p>senil</p><p>B</p><p>SA</p><p>ds Ñ</p><p>> A: 0_</p><p>-</p><p>7</p><p>|</p><p>M(sen0;-cos0)</p><p>D) (cos 0; =send) E) ( O-=sentr>-1</p><p>(+4): 4>4-sentx>3</p><p>a a</p><p>Y</p><p>La función varía entre 3 y 4</p><p>Kpta. B</p><p>Problema 3</p><p>Halle los valores de x en el intervalo</p><p>(0; 1) para los cuales existe f si</p><p>A A — —— Fa) A (UNI '03 — 1)</p><p>nba] A</p><p>o (sa) o (5)</p><p>Lu</p><p>la</p><p>Li</p><p>la</p><p>ag</p><p>ai</p><p>a</p><p>t</p><p>o</p><p>l</p><p>ABETO AD 0 ANTI</p><p>Resolución:</p><p>fexiste siempre que</p><p>l+senr-2cos?x>0, ve(0;1)</p><p>Li senx-2(1 -sen*x)>0</p><p>(Lesenv) -2(1 +senx)(1 —senx) > 0</p><p>(14 senv)][1 —2(1- senx)] > ()</p><p>qK—— e —ÉÁk =></p><p>bu1 -1--Zaerur</p><p>Observe que si: xe(0;1)</p><p>=>0=1 0</p><p>xc (0; 1)</p><p>Rpta. 1)</p><p>Problema 4</p><p>En la figura siguiente, calcular el árca de</p><p>la región sombreada. (UNI '00-2)</p><p>A) cos)? pia]</p><p>a á ></p><p>B) — cos (0yu?</p><p>C) =cos(0)* /</p><p>DD) z cos(0)u?</p><p>PJ</p><p>a E z</p><p>L) q cos(0)h</p><p>Resolución:</p><p>Lp EL</p><p>YA ; : ,</p><p>ms</p><p>E</p><p>40 X</p><p>Lil</p><p>(1,1)</p><p>Si y a=0> y 2</p><p>G= a MS</p><p>3) 2 3</p><p>Como: x |1|=-x</p><p>ce -x_ —-Ccosl Luego: $ = 3“ A</p><p>Rpta. €</p><p>Problema 5</p><p>En la figura mostrada, halle el área de la</p><p>región triangular OQP. (UNT - 04 1)</p><p>Y</p><p>401)</p><p>P</p><p>O</p><p>=X</p><p>A ( (1;0</p><p>A) - sen0cast B) -sengcost</p><p>O) renfeosó</p><p>p) -Sendcosó E) sentcos0</p><p>Resolución:</p><p>Y</p><p>[ (0; 1)</p><p>E</p><p>isentl 1</p><p>jua</p><p>Isenoól</p><p>AO0OP: Área = Htcos0lsenoy)</p><p>Como 6 e 1V Q => |cos0|=cosb</p><p>Además 'sen0| = —-senO</p><p>Arca = -Isenbcoso 4</p><p>Rpta. A</p><p>Problema 6</p><p>En el círculo trigonométrico mostrado,</p><p>halle el área sombreada. (UNFV '02)</p><p>«PROBLEMAS</p><p>Problema 1</p><p>señale verdadero (V) ó falso (F) según</p><p>corresponda, en:</p><p>L sen70” >sen 20” 9</p><p>Il. sen 216" > sen 254” Go</p><p>IL. sen 300% > sen 3207 ( )</p><p>A) VWV B) VEV O) VVF</p><p>D) Fvv E) VFF</p><p>Ea dr Proyecto Ingenio</p><p>z</p><p>Ay sen v0</p><p>1 B</p><p>1g Osenó o B) ></p><p>tgúsen*0</p><p>O 3</p><p>3 O D JA</p><p>py 20</p><p>2</p><p>tybUsenú</p><p>E) =></p><p>Resolución:</p><p>PL ss am?</p><p>l x x</p><p>5=[y+2 5) Mx (lx)</p><p>ox 0 2x</p><p>(Ma at sen*0tg0</p><p>a —_ Si, =</p><p>2x > 2</p><p>Rpta. C</p><p>Paopuesros</p><p>Problema 2</p><p>En la C.T. mostrada, hallar el área de la</p><p>región sombreada.</p><p>LY</p><p>A) sent o</p><p>B) 2sen0</p><p>CO) 2cos0</p><p>D) -cosd E) -2c050</p><p>Problema 3 Problema 7</p><p>Determine la variación de</p><p>F0)=7sem+l en</p><p>A)[-6:8] B)[-7:7] 0 Í[>5:8]</p><p>D) [77; 9] E) [=5; 9]</p><p>Problema 4</p><p>Determine la variación de</p><p>E =34sen0-1;0c12</p><p>A) (1; 4) B) (13) 0[-1:3]</p><p>D) [-1; 4] E) [-5; 3]</p><p>Problema 5</p><p>Señale verdadero (V) ó falso (F), según</p><p>corresponda, en:</p><p>LL. cos70" >cos 20"</p><p>cos 100 > cos 160"</p><p>IL. cos 200% > cos 230"</p><p>A) VVV B) EFE C) VVF</p><p>D) EVV E) FVF</p><p>Problema 6</p><p>En la C.T. mostrada, halle el área de la</p><p>región sombreada.</p><p>AY</p><p>A) -senú</p><p>B) —2senb AOS</p><p>C) cosU b l .</p><p>X</p><p>D) 2c050 A</p><p>E) Lcoso</p><p>Determine la variación de</p><p>E=3-2c050; Be lK</p><p>A) [1; 5) B) [1; 3] C) [-1 3]</p><p>D) [3; 3] E) [-5; 5]</p><p>Problema 8</p><p>Sabiendo que xe ll”,</p><p>determine la extensión de —</p><p>E=d4cosx+1</p><p>A) (35) — B)[1 5] C) (71; 5)</p><p>D E; 1) E) [3; 1]</p><p>Problema 9</p><p>Determine la variación de</p><p>1 =5sen20+ 1; 055]</p><p>A) (1; 6] B) [2; 6) C) (1; 6)</p><p>D) [1; 6] E) (1; 6]</p><p>Problema 10</p><p>Entre qué valores debe encontrarse "E”</p><p>para que sea posible la igualdad</p><p>3sena — 1 = 5E</p><p>ld:</p><p>Problema 11</p><p>Determinar el máximo y mínimo valor de</p><p>cada una de las siguientes expresiones:</p><p>L N =sen6 + 2senb</p><p>_ IL Q= sen?0 + cosa</p><p>"LR =9-5 cosix</p><p>Dar como respuesta la suma de todos los</p><p>valores extremos.</p><p>A) 10 B) 12 O 15</p><p>D) 20 E) 18</p><p>Problema 12</p><p>Hallar el intervalo al que pertenece</p><p>K = 3senx — 4 cosy,</p><p>si x es independiente de y</p><p>A) (7;7] B) E7:7%) C) (7;7)</p><p>D) [F7;7] E) [0;7]</p><p>Problema 13</p><p>Ordenar de menor a mayor</p><p>i. sen5; sen4; sen3</p><p>li. cos2; cos4; cosó</p><p>Dar como respuesta los valores menores</p><p>de cada grupo:</p><p>A) sen3; cosd B) send; cos4</p><p>C) sen5; cosé</p><p>D) sen5; cosé E) sen3; cos6</p><p>Problema 14</p><p>Hallar el máximo y mínimo valor de</p><p>M = 3sena - 2cosf - 5sentó e</p><p>indicar la suma de dichos valores.</p><p>A) -10 B) 5 0)0</p><p>D)5 E) 10</p><p>TO ></p><p>Loa - de ..</p><p>lo Adi ura, il</p><p>Problema 15</p><p>1</p><p>Sibde [5 E hallar la variación de</p><p>V=3- ./3 c0s8</p><p>0 a) 0)</p><p>D) (3: 3) a |33)</p><p>Problenadd</p><p>Ordenar de mayor a menor</p><p>sen o] ¿; cos3; cosd; sen2; cos(-6) y</p><p>dar como respuesta el mayor valor de</p><p>todos.</p><p>A) sen2 B)sen. 2 C) cos(-6)</p><p>D) cos4 E) cos3</p><p>Problema 17</p><p>Indicar verdadero (V) o falso (F) según</p><p>corresponda:</p><p>L sen(yY2) > sen(1) ()</p><p>[. cos(3) > cos(4) ()</p><p>IN. sen(3,29) > sen(4,93) ()</p><p>A) VVV B) VFE — C) FEV</p><p>D) VFV E). FFF</p><p>Problema 18</p><p>Si 59 tg(x,)</p><p>A) FEF B) EVF C) VEF</p><p>D) FVV E) VVV</p><p>Problema 19</p><p>Si 2180,</p><p>m 2020 senó, + send,</p><p>A) VWVV B) VFEFV C) FVF</p><p>D) FVW E) FFV</p><p>Problema 20</p><p>Calcular el perímetro del APBA,</p><p>sa = 135",</p><p>Yi</p><p>B CE</p><p>a7+ y =1</p><p>B) /2+2/2+ 42</p><p>D)J-212- Ya E V2+2/2+42</p><p>MAA</p><p>Problema 21</p><p>Halle las coordenadas del punto P en</p><p>términos de «.</p><p>E indicar la abscisa</p><p>taa 1+ tga</p><p>A) 1+tgo B) tea</p><p>1-tga</p><p>C) ta</p><p>M8 a Ó</p><p>1D) 1-tga E) 14 tga</p><p>Problema 22</p><p>¿Entre qué valores varía</p><p>E 3cosu 5</p><p>2cosa. -1'</p><p>si ae MIC ?</p><p>q></p><p>_—</p><p>—</p><p>A</p><p>y]</p><p>05</p><p>un</p><p>—</p><p>_</p><p>e</p><p>M</p><p>n</p><p>L</p><p>A</p><p>A</p><p>(</p><p>|</p><p>Go</p><p>LA</p><p>1</p><p>o</p><p>a tu</p><p>—</p><p>,</p><p>| a</p><p>—</p><p>_</p><p>_</p><p>5 8</p><p>D) E 5) 3h | (5: 10)</p><p>Problema 23</p><p>Hallar el área de la región sombread:</p><p>OTOA, en términos 6 .</p><p>B) secbH + csc()</p><p>C)tg0 +cota</p><p>teO(te08 +1</p><p>D) col ; ] E) BA</p><p>Problema 24</p><p>En la figura se muestra una C.T. Hallar</p><p>el área de la región sombreada en,</p><p>términos de 0.</p><p>Yi</p><p>A) cos6 (1 —senO) B)seng (1 -cosp) )</p><p>S) sen O (1 +c050 )</p><p>D) cosg (1 +senO) E) (I 2senf)</p><p>A) (o 231. [5 nad</p><p>Problema 32</p><p>Hallar el área de la región sombreada.</p><p>Yi</p><p>A) 2 - sena — sen)</p><p>B) 2 - cosa =senfi</p><p>C)4-sena =senf o</p><p>19) 4 - cosf — sena</p><p>E) 4 — cosa — cosf)</p><p>AE pe</p><p>Problema 33</p><p>Hallar los valores enteros de f que hacen</p><p>posible la igualdad:</p><p>1-3</p><p>13</p><p>A) (=43; -4) u (43; 4)</p><p>B) [-43; -4)U (43; 4)</p><p>2) (203; -4) u (243; 4)</p><p>) (43; - 413) (13; 413)</p><p>Ieosy|=</p><p>3) (1 -4)u(1 4)</p><p>"roblema 34</p><p>De E l determine los valores de</p><p>- (secB+1)(secó—1)</p><p>p sec”</p><p>1 1 1 va) Bloz| O = 5)</p><p>9 PT y) | 0; ad E) [-2; 3]</p><p>'roblema 35</p><p>alcular el área de la región sombreada.</p><p>Yi</p><p>A) 3 (Send -3cos0+1) B) ¿(5enO+3c080+1)</p><p>C) (seno 30050 +1)</p><p>D) ¿(Sen0-3cos0+1) E) L(cos0+3sen0+1)</p><p>Problema 36</p><p>Si hjsz. hallar el intervalo al que</p><p>pertenece</p><p>Fin) = tgix + dtgx +1</p><p>A) (26) — B) [P2:6) C) [26]</p><p>D) [?; 6] E) (-2; 6]</p><p>Problema 37</p><p>Si 9 € (180%; 270"),</p><p>sen0 — cosO_ %</p><p>y ¿Bsenó +Cc050 :</p><p>determine el intervalo al que pertenece 6</p><p>A) (225* ; 270”) B) (180%: 225")</p><p>C) (180*, 225")</p><p>D) [225* ; 270%) E) (180%; 270%)</p><p>Problema 38</p><p>Sabiendo que</p><p>send(senó — 2)(send - 4)(senf — 8) = N</p><p>7</p><p>cosÚ NE</p><p>M0</p><p>></p><p>1 a z</p><p>cosQ_</p><p>O H IP 1</p><p>E INELIMO) e</p><p>IDENTIDADES RECIPROCAS</p><p>l i : y + [lscOsenó 1]</p><p>“nt</p><p>008</p><p>secBcost=</p><p>|</p><p>OTI esc</p><p>OP 4 :osecó : , ></p><p>cost)</p><p>AOPN:ctg0= PL. ltg0ctg0=1</p><p>" PN tg0o BWBU=</p><p>IDENTIDADES POR COCIENTE</p><p>senú</p><p>MOL PT: ty U= ES</p><p>- cosó</p><p>> costí</p><p>MFTO: ¡ctgO ==</p><p>| sent</p><p>IDENTIDADES PITAGÓRICAS</p><p>AOHT-|sent0+ cos*9=1</p><p>MOPAE TR RN 180</p><p>AOTR:F + TR seco</p><p>r—.</p><p>| 1g%8 = sect b</p><p>MTS = AQOM(OT - 00 =1)</p><p>=> 1S= QM - ctel)</p><p>1+ cta? =csci 0</p><p>IDENTIDADES AUXILIARES</p><p>1) sen*8 + cos' 0 =1- 2sen*Bcos* 0</p><p>2) sen"D + cos" 0 =1- 3sen“Ocos* 0</p><p>3) tg 8 + ctg O = sec Bese O</p><p>4) sec" 0 +ccs'0 =sec* 0csc* 8</p><p>5) (LiEsen 9 cos0) =2(1 £sen 8X1+cos0)</p><p>BO Proyecto Ingento</p><p>Demostraciones de algunas</p><p>identidades axiliares</p><p>l. Identidad:</p><p>sen Di cos 0-1] JsenUcos ()</p><p>Demostración:</p><p>Sabemos que:</p><p>send +cos0=1</p><p>Elevando al cuadrado ambos</p><p>miembros</p><p>(sen 0 +cos' 0) 1</p><p>Desarrollando el cuadrado</p><p>sen'0 +2sen*Dcos”: Ocos*0 1</p><p>Trasponiendo 2sen'Ocos 0</p><p>:- [sent0 +cos'0 = 1- 2sen“0cos*0] lqqd</p><p>4. Identidad</p><p>sec 0+csc U= sec Desc” 0</p><p>Demostración:</p><p>Se sabe que:</p><p>secO = > sec t = 2. (1)</p><p>cosÚ cos O</p><p>Se sabe que:</p><p>esco —L.., ese a - Q)</p><p>sen 0 sen 0</p><p>Sumando (1) + (2):</p><p>| |</p><p>sec" (+ esc O = AA</p><p>cos” 0 senil</p><p>Efectuando el 22 miembro</p><p>: sn senD+cos 0</p><p>sec 0 + ese 0 == ———__ 2</p><p>cos” DsentO</p><p>SEM) 1815 pao</p><p>. ia A</p><p>Pero sendOs vos 0] Demostración:</p><p>; |</p><p>Se sabe que secf</p><p>cut Dress</p><p>ers dl</p><p>cas 1] sen 0)</p><p>Arreglando el 27 miembro</p><p>4630" ==" 0</p><p>sen ll ese 4</p><p>Sustituvendo (1) y (2)</p><p>E</p><p>eno rose sea Desc Al</p><p>Algunos tipos de problemas</p><p>frecuentes que requieren el uso</p><p>de las identidades</p><p>trigonometricas</p><p>A. Problemas de demostracion</p><p>Para demostrar una identidad se sugieren</p><p>las siguientes recomendaciones:</p><p>1. Se puede partir de uña identidad</p><p>conocida 0 y a demostrada y</p><p>haciendo usa de las identidades</p><p>fundamentales se consigue la</p><p>igualdad que se quiere demostrar.</p><p>Pa</p><p>Se puede escoger uno de los</p><p>miembros de la identidad que se</p><p>quiere demostrar, generalmente el</p><p>más complejo, y mediante uso de las</p><p>identidades fundamentales se lrata</p><p>de obtener una expresión igual al otro</p><p>miembro.</p><p>a]</p><p>Se sugiero, cuando no se tiene a la</p><p>vista el camino a seguir, poner las</p><p>expresiones en términos de seno y</p><p>coseno.</p><p>Ejemplos:</p><p>01. Demestrar: secO(l--sen D)escO = ete</p><p>(1 sentg)= vos O y uscb=</p><p>: Sent)</p><p>Simplificando en el ler miembro:</p><p>3 1</p><p>- - (ei a 0) - 2. cial</p><p>cnt step ]</p><p>Simplificando en ol ler miembro:</p><p>sd</p><p>ell!</p><p>71)</p><p>cial dl</p><p>02. Demostrar sec 0-40 se 00</p><p>Demostración:</p><p>De la identidad: lo tr dd. eL</p><p>Hlevando al cuadrado:</p><p>fl + 14 o) = (sue 0)</p><p>Efectuando: 140 4 0= secóO</p><p>nel der miembro:</p><p>OA A</p><p>Sustituvendo y trasponiendo:</p><p>sec 04 40 = sec 0180</p><p>B. Problemas de reducción y</p><p>simplificación</p><p>Ejemplos:</p><p>03. Reducir: M=señtl cos) + 2cos 0</p><p>Resolución:</p><p>h</p><p>ici ——</p><p>1 Í e</p><p>Ma sen O dos” Y +2eost 0 -</p><p>M-= [sento ¿cost 0) (seno cos 0)+ 2005"</p><p>send costO-1</p><p>nd rado sun) — sj</p><p>La 0 a</p><p>po 4)</p><p>C. Problemas condicionados</p><p>Dadé una o turias condiciones se pido</p><p>hablar ana relación un términos de ls</p><p>cunduiones dadas</p><p>Ejemplos:</p><p>A |</p><p>05. Sí senx + cosx = 7 hallar senx.cosx</p><p>=</p><p>Resolución:</p><p>o (IA</p><p>De la condición; (Sena + e0s xy «| >|</p><p>= q</p><p>Desarrollindo los cuadrados:</p><p>a |</p><p>O A A AMES</p><p>4</p><p>| Ml</p><p>Iriispomiende: Tserxcos a —- 1]</p><p>«l</p><p>=Pn</p><p>»</p><p>D. Problemas de eliminación de</p><p>angulos</p><p>Consiste en eliminar las expresiones</p><p>isrigonómetricas y hallar una</p><p>vspresión algebraica que no contiene</p><p>variables angulares.</p><p>Ejurnmalo:</p><p>Do. Flhiminar y e partir der senvo= e</p><p>COS = +</p><p>Kesolución:</p><p>*</p><p>Ss SpnaA 7 |</p><p>Si h pad Po]</p><p>“tuincoda Hi. po</p><p>” 3</p><p>SWUTITA enim PU</p><p>¡</p><p>Ll pr</p><p>Lasa br</p><p>07. Calcular una relación entre</p><p>.e Gl tE Y mf bh , : aj</p><p>a=tanú + colÚ (1)</p><p>b=secb esc tl (11)</p><p>Resolución:</p><p>De(l — a-tinb «cot0</p><p>d=sccós cscUl</p><p>= “ a</p><p>=secU.ar O</p><p>De(I): A —wecO. [nm =--2]</p><p>Rpta: 1</p><p>Problema 5</p><p>Siendo:</p><p>tanx+cotx=3</p><p>Calcule:</p><p>G=tan x+ coUx á</p><p>A) 27 B) 15 O 17</p><p>D) 18 E) 21</p><p>Resolución:</p><p>De la condición</p><p>(tan x+cotx)' =(3)”</p><p>tan? x+cot'x+3tanxcotx(tan x+cotx)=27 A AAA —_—_—__—_—_——></p><p>Se 1</p><p>G+9=27</p><p>.[G=18]</p><p>Rpta: D</p><p>Problema 6</p><p>Si</p><p>2</p><p>S£TLT — COS = 3</p><p>Calcular:</p><p>K =sen'x+c0s! x</p><p>A) D</p><p>Bla</p><p>elo</p><p>B) Es</p><p>O</p><p>j</p><p>oh</p><p>D) tl</p><p>p</p><p>a</p><p>Resolución:</p><p>De la condición</p><p>?</p><p>(senx—cos x)! -( 5 ]</p><p>sentxr+ cos! x—2senxcos x=</p><p>senxcosa =</p><p>Piden:</p><p>2</p><p>3</p><p>K =1-3(senxcos.x)</p><p>K=1- A)</p><p>"|K=</p><p>f</p><p>u</p><p>l</p><p>| t</p><p>d</p><p>ys</p><p>Rpta: D</p><p>O + MATT</p><p>Problema 7</p><p>Simplificar:</p><p>K= sentx+cos* x+4+3</p><p>senóxr+cos" x45</p><p>A) B) o o)</p><p>A</p><p>G</p><p>i</p><p>a</p><p>a</p><p>j</p><p>i</p><p>D) LE</p><p>Resolución:</p><p>k - 1-2sen *xcos? 1 +3</p><p>1-3sen?rcos? x+5</p><p>2(2-</p><p>3(2-sentxtos” x)</p><p>kia ml</p><p>|K=</p><p>Ga</p><p>lo</p><p>Rpta: D</p><p>Problema 8</p><p>Reducir:</p><p>- Lvers"0 +cov*0- 1)</p><p>_ cers0.covÚ</p><p>A)2 B) 4 06</p><p>D8 E) 16</p><p>Resolución:</p><p>Operando el numerador:</p><p>N =[(1-cos0Y +(1-seno? 1]</p><p>N=[1+cos*9-2c0s0+1 +sen'0—2seng- 1]</p><p>$</p><p>N =[2-2sen9 -2c0s0]'</p><p>SEMI):</p><p>N=4x[1-sen0— cos0]'</p><p>dl Lt, ptas milpa</p><p>N =4x2(1-sen8)(l —cos0)</p><p>Reemplazando en “M”</p><p>Rpta: D</p><p>Problema 9</p><p>Reducir:</p><p>E = (secx.cscx-—ctgx).cscx</p><p>A) 1 B) senx C) cosx</p><p>D) secx E) cscx</p><p>Resolución:</p><p>E = (Secx.CsCx —elgr).osex</p><p>Lc</p><p>E a)</p><p>* Acosx)lsenx</p><p>, a</p><p>COS Y</p><p>Rpta: D</p><p>Problema 10</p><p>Reducir:</p><p>p=1-</p><p>1+ Gr</p><p>=1+ Al 7</p><p>snóx</p><p>A) cos” x B) sec” x C) sen"x</p><p>D) tg"x E) ctgx</p><p>AB MATT</p><p>Resolución:</p><p>pep — —</p><p>1 diz y 2 e</p><p>=l+eosoctx</p><p>P=1- —+4-</p><p>cig"x</p><p>fu Y |</p><p>1+ tgóx sec”</p><p>P.=1-c08s* x =senÚx</p><p>Rpta: €</p><p>Problema 11</p><p>Simplificar:</p><p>f= sec” xX.CS5C.</p><p>Ñ (secx+ tax) -(secx- tax) +4cscx</p><p>|</p><p>A)1 B) 2 C) 3</p><p>|</p><p>D)4 E) 4</p><p>Resolución:</p><p>L sec x.05cx</p><p>(secx + tex) —(secx—tgx) +4cscx</p><p>4secx tgr</p><p>% sec? x.0scx</p><p>4 (secxtgx+cscx)</p><p>- ae</p><p>y [sem )</p><p>Lcos?x Xx * senx</p><p>1</p><p>OS” xa LY</p><p>4 (sen” 14 5OS x)</p><p>qPuáA</p><p>En la igualdad:</p><p>(senx/ lx + C0OSX Jctgx] Agr</p><p>Hallar: “AC</p><p>A) sec” y B) secx C) esca</p><p>19) secx.cscx |) escox</p><p>Kesolución:</p><p>Pasando a senos y cosenos:</p><p>Jseny dsp</p><p>Sen COSx :</p><p>Ves COS.X Jsenx Ccus.y</p><p>sen%x 1cos' sl > - A Senx</p><p>senx cos x COSX</p><p>E A+</p><p>Senx cos Y COS x</p><p>esc x= A</p><p>Rpta: E</p><p>Problema 16</p><p>Hallar el valor de "4"</p><p>SeCY— tar, secx + lar e% gl</p><p>SOCx+ tan Secx - gx</p><p>Ay 2 B) 1 O3</p><p>1 2 E) -1</p><p>Resolución:</p><p>Sumando en el primer miembro:</p><p>2</p><p>: t secxyal (secx= 18) +Hsecya e)</p><p>sect x— ga Xx</p><p>Es Rs</p><p>'</p><p>A 5 ud</p><p>Recuerde: tad by eta db)! Aa? +b*)</p><p>Y</p><p>dls xt tgóx | ka ko</p><p>24 Hex =k+ kt</p><p>Rpta: A</p><p>Problema 17</p><p>lallar “M” para que la siguiente igualdad</p><p>sea una identidad.</p><p>2senx.cos x</p><p>A Aena cosa + M</p><p>5enx + 605 1 + |</p><p>A) -1 B) 2 Cy 1</p><p>';»)2 E) 3</p><p>Resolución:</p><p>En la condición</p><p>(1+ 2seracosx)- 1</p><p>senx + cosx4 1</p><p>= senx+c0s x+ M</p><p>Recuerde: (senx + cosa)" = 14 2senxcos y</p><p>(senx + cosx)' -1</p><p>e A |</p><p>senx +cosx +)</p><p>o</p><p>: +1</p><p>senx + cosa M</p><p>sen x +08 x - 1-=s$sen x+ cos x + M</p><p>. M=-1</p><p>Rpta: É</p><p>sei o a E A E</p><p>Problema 18</p><p>la rad:</p><p>pls dr + rr) icos.cclax sen)</p><p>j Md]</p><p>(tar +clpr)</p><p>¿Cuibes el valor de "1"?</p><p>UN B)2 (0) .</p><p>1</p><p>|</p><p>LH. — yA ] )</p><p>Resolución:</p><p>lsi41 Vias) lus Luv == 011</p><p>la vl; 2) !</p><p>4 0 A 4 1</p><p>CAME, 5 CA</p><p>y | 4 pa</p><p>A AN |</p><p>NA</p><p>= Y Í A Señor y:</p><p>Ll : => p</p><p>| SOY ]</p><p>i,</p><p>had "a En Pa ars</p><p>0 En pue? x= ( lar + Clay A</p><p>ST so lr rt]</p><p>ia</p><p>liga clar) (lar clean)!</p><p>Rpta: A</p><p>Problema 19 -</p><p>Ñ br a l : zo Si senivar semacos y senóxcos</p><p>COS" 4</p><p>4 a,</p><p>senfx+ cos” 1</p><p>Calcular: “min”?</p><p>A) 6 B) 8</p><p>IM 12</p><p>kesolución:</p><p>= A ————__—</p><p>senv- cos” y</p><p>Y</p><p>a 1 4 E . ANNO Y SEAN di +</p><p>AE</p><p>q</p><p>[sen?x- cos! x) (senta UR</p><p>“SOIL CO sor i</p><p>(sen 1 TA H pt</p><p>(sen, A</p><p>Pr</p><p>(sen ruca y]</p><p>, E a</p><p>Sen 1008 1.</p><p>bh - *</p><p>Send cua Y sl hi</p><p>nin 10</p><p>Problema 20</p><p>Pa</p><p>Calcular el valor de “1 pura que</p><p>independiente de "x” si: Ñ</p><p>PA</p><p>l=(14 senx +cosx) + (E ssuma a</p><p>+ IMSOnr</p><p>A) 2 B)-=3</p><p>D)5</p><p>5</p><p>SOM Y - ide 4</p><p>ATV “ars</p><p>Res dLRME) Dn</p><p>Aplicando</p><p>tenemos:</p><p>identidades auxiliares</p><p>Es 214 send + cos) + 2(l +senv)</p><p>(l-cosx) + msenv</p><p>E</p><p>p</p><p>2(1 + senx) (Q) + m senx</p><p>4 + (44 m) sonx</p><p>Para que "E" sea independiente de los</p><p>valores que toma "x”, el coeficiente (4+m)</p><p>debe ser igual a cero.</p><p>> Jem=0 A E-4</p><p>m= —</p><p>Rpta: €</p><p>Problema 21</p><p>¿Para qué valor de "m” la expresión:</p><p>/. =sen x(1 + msentx)+ cos* x(1 +mcos” x)</p><p>es independiente de "1"?</p><p>7 2 3</p><p>Nz 3 05</p><p>3 1</p><p>MD) 5 Ds</p><p>Resolución:</p><p>L=sentr +msentx+cos? x + mocos” x</p><p>l a (sen*x +cos' x)+ misentx +cos" x)</p><p>: : . z</p><p>[. = (1-2sen“xcos” x) + m1 —3senTxcos? x)</p><p>L=(1+m)-(Q+ 3m)sen*x.cos” x</p><p>£189* A</p><p>Para que “1” sea independiente de "x” el</p><p>cooficiente (2 +3m) debe ser igual a cero.</p><p>¿Ll lia Aa 21r3m"0</p><p>2</p><p>ai 7</p><p>RKpta: B</p><p>Problema 22</p><p>Si sen +00s Y .</p><p>calcular:</p><p>E (LiesendOl + cosa) (1 =senv)(l -cosx,</p><p>Ay] 13) —l 2</p><p>A</p><p>—</p><p>L</p><p>i</p><p>r</p><p>m</p><p>|</p><p>15</p><p>+</p><p>Resolución:</p><p>Dato: senv+c0sx = 3</p><p>Se pide:</p><p>E = (Lesenx)(l+cosy)-(1-senx)(1=cosx)</p><p>senrcusr= ! 2</p><p>3</p><p>- sentx+ 2c05” KE Sa pides E</p><p>p Cos "y sen'y sentxcosÍy +sen"cos'y EXP</p><p>A cos” y sen” Y</p><p>senxcos Y - sentacosx</p><p>FAclorizamos; Dividimos entre cosó 1</p><p>oo ooo ad 3 2 " cos x[cos v+sen x) sen x(sen x+C08 y) ,</p><p>A A AN L PE i 2</p><p>senxcos x(cos* x-senta) Ga e</p><p>1+2tg" y</p><p>(cos* x—sen tx)</p><p>E y</p><p>senicosx(cos x—sen x) Reemplazando:</p><p>E SECIesCx y Ja. ¿O E = lar chpr ciar 22 214</p><p>2 17 pe</p><p>"or condición: E=2n 1 225)</p><p>Rpta: D Rpta: B</p><p>DI nes En).</p><p>Problema 26</p><p>E ES ala</p><p>Faclorizamos:</p><p>..</p><p>» = 3</p><p>Su senx(1 -sen"x)+sen"x(1--sen”x)</p><p>5 2 ] 5 s a A ta</p><p>La O ese sect esc a cosa(l -cos*x)4 cos M1 cos” x)</p><p>Entonces el valor de: Al +sen*. y)</p><p>Mi = tax ectalx (Lecos*x)</p><p>A)3 B) 8 C) 64 senx(l-=sen?a) (Lisa) Alesis)</p><p>D) 32 E) 2 cosx(1—cos? x) (Trees) (Leeos*y)</p><p>Resolución:</p><p>,</p><p>Senx,COS Xx</p><p>A y clgr=2</p><p>sec” restar esc y esc x.sect + sec” x COS x.SENÓX</p><p>Factorizamos: Luego: tgx + clgx = 3 +2 = 2,5</p><p>secxlese?x—1)=esc” x(sect x-1)</p><p>Rpta: €</p><p>1 1 ( ] ></p><p>A IC A</p><p>cos” XxX lá lg? xXx | sen a (tg x) Problema 28</p><p>tgx = 1</p><p>Siendo:</p><p>: ti? x+ cta? L=2 Aer cosxY a 4 (E 2500 +06. 1 =8</p><p>"es l + senx+ cos x l-senx—cosx)</p><p>Rpta: E Calcule: O = cos x.ctg x; xelC</p><p>Problema 27 A) 0,0210 B) 0,240</p><p>Sabiendo que: 0) 0,03410</p><p>senx—sen'x+sen'x-sen'x . 2(1+ser esentx) DD) 0,3410 E) 0,15/10</p><p>cosx-cos'x+c085 x-cos x (l+cos'x)</p><p>Calcula: L = tgx + ctgx Resolución:</p><p>Recuerde:</p><p>A) 4 B)2 025</p><p>D) 4.25 E) 8 (1+send+cos0)' =2(L+ sen0)(1 + cos0)</p><p>Luego en la condición:</p><p>Resolución:</p><p>== 2 (Lise (1 EN 2 (1 seri) (1 + cos)</p><p>Senysen x+5en X- sen x - AE 'x) 2 (Loser) (1+cos 1). 2 (1=serú)(1-cosx).</p><p>cosx—cos x+cos x-cos x (l+cos' x)</p><p>NINE] O!</p><p>dl Cos Y) 4 (l *cosx)</p><p>J</p><p>l--cos* y</p><p>Despejando: cos x = ==</p><p>E y2</p><p>5e pide:</p><p>133</p><p>SR</p><p>O 0,3410</p><p>Rpta: D</p><p>Problema 29</p><p>sabiendo que:</p><p>l+senx $</p><p>cd deca E Ma a ME</p><p>l-cosr 2 t</p><p>a</p><p>l</p><p>a</p><p>A</p><p>lalle: L=escxi4 ctgx</p><p>Y -1 13) du ></p><p>3 42511</p><p>») 4/1 +1 E) Ja ></p><p>EEES</p><p>Resolución:</p><p>lesent 11</p><p>locos 2</p><p>Al +senv)(L¿ cosa)</p><p>(1 -cosx)(l. cos x) El</p><p>á</p><p>(l 4 senva cos a)?</p><p>A e += a mn</p><p>Var</p><p>2</p><p>Sn A</p><p>></p><p>—</p><p>A</p><p>SOnLY a</p><p>le sena 4 cos y |</p><p>2</p><p>(escxi Ta cla)” =$</p><p>esexa clara] - du</p><p>eseviciax Ji —1</p><p>Rpta: A</p><p>Problema 30</p><p>Sic tg ips 3ctgx rm</p><p>Halle: J otero ció</p><p>A) m?-2 14) mo+2</p><p>O Yin? 2</p><p>13) Sly 2 42 1:) dm ' ¡ A</p><p>Kesolución:</p><p>De la condición:</p><p>tó 1 Mpx + 3ctga + cepto m</p><p>lu Wa 3tgrclar(lgr e cue) dato mn</p><p>a</p><p>(gr a clgx)- 1</p><p>lg + ctgx Y</p><p>SATA A E TS</p><p>Elevamos al cuadrado:</p><p>8 7 y 2</p><p>lx + 2lgrctexe celo y m</p><p>o</p><p>da te?v+ ctgóx - on 2</p><p>Rpta: €</p><p>Problema 31</p><p>Dado: tgrretgr= 4241</p><p>lincontrar el valor de:</p><p>senTx ; cos” x</p><p>M == > -</p><p>clar Y ta. Y</p><p>AJ4 B) 2/2 O) y2</p><p>D) 342 E) 4/2</p><p>Kesolución:</p><p>* 3</p><p>: / seny cos x</p><p>Se nos pide: M=</p><p>a *</p><p>cx gx</p><p>Pasamos a Senos y COSenos:</p><p>4 4</p><p>5enx Cos Xx</p><p>- i</p><p>M = - -</p><p>cos xXx seníx</p><p>seníy +e0s” Y</p><p>M = ==</p><p>SON TACOS” x</p><p>A</p><p>| -3Jsen?xcos” x</p><p>M == 4 =</p><p>500 XCOS Xx</p><p>M = sec? xesc? x-3 (a)</p><p>De la condición:</p><p>lg + clar 42 4]</p><p>AN (B)</p><p>Reemplazamos (P) en (ce):</p><p>M =(42 +1) -3=242</p><p>Rpta: B</p><p>A e</p><p>Problema 32</p><p>Sabiendo que:</p><p>ro lr MN o lr 1</p><p>Calcule: M = ctax +18" x</p><p>A) 1 1) 2 03</p><p>10) 4 E) 5</p><p>Resolución: :</p><p>tera tarta rc = 1]</p><p>(a)</p><p>multiplicamos por clgx</p><p>ETA O TO</p><p>lgritgix+.. tg" lx =clgr -1 ($</p><p>(B) en (a):</p><p>clgx- 14 gx =1</p><p>Entonces: M = clgx + tgór = 2</p><p>Rpta: |</p><p>Problema 33</p><p>Sabiendo que:</p><p>A</p><p>Calcule:</p><p>L = Vlésenx +1 seny</p><p>Y SA Ns 1 AS</p><p>7 y YM DI ENS"</p><p>END</p><p>Resolución:</p><p>Dato: Jlisenv JY senx 1</p><p>o : v2</p><p>5e pido: 41 isenvi 41 E senv =</p><p>Se conoce: (a+ by +(a—-bY Aa? o?)</p><p>2</p><p>=> FEOS ; dis 4 A</p><p>o</p><p>-=</p><p>+| YA rsenx-- Yi senx | =2(2)</p><p>EA</p><p>42</p><p>ut 4/14 L: a =P L==23=</p><p>Kpta: E</p><p>Problema 34</p><p>Siendo: mfgU+nsecl 1</p><p>allar: L + Sec0:-1</p><p>pa: 1 le0i ></p><p>A) senO 13) cosO C) 10</p><p>13) club E) secO</p><p>Resolución: E</p><p>mig0 +nsecl = 1</p><p>Á mtg0 +nsecO =sec* 018%</p><p>Agrupamos:</p><p>te0(m+ 120) =secO(secO —n)</p><p>189 _secO—n</p><p>secó m+itg0</p><p>, Secg—n</p><p>mr tgÚ0</p><p>=senú</p><p>Rpta: A</p><p>GD a a iS</p><p>Problema 35</p><p>Sabiendo que:</p><p>tgó = senú</p><p>tg0 + cosh ; (0 y 9: ángulos agudos)</p><p>Halle: secó</p><p>A) J2 B) 43 O Y2</p><p>D) Y3 ) Y6</p><p>Resolución:</p><p>De: tó = send > escl - cted</p><p>120</p><p>= coso ->cto0 secó</p><p>Se sabe que: esctO= cte0 +]</p><p>Reemplazamos:</p><p>cleTó =seco +!</p><p>_ (secó +1)</p><p>clado</p><p>|</p><p>I=(sectó + 1)1a%</p><p>l=(sectó + Iisecto--1)</p><p>l=sectó-]</p><p>“=> SecO= Y</p><p>Kpta: €</p><p>Problema 36.</p><p>Sabiendo e</p><p>Sec x + 1gy = sena</p><p>Sec y + 12x =c0s0</p><p>Calcule: M =1aysena + tarcosa</p><p>3 N;5 5-5 Wee</p><p>Resolución:</p><p>secx + tg) = sena (1)</p><p>sec y + gr = Cosa (2)</p><p>De (1): secx = sena — lay</p><p>Pe (2): sec y = cosa — tgr</p><p>Luego:</p><p>2</p><p>sec? IF sec? y = (sena — tay)? + (cosa —tpr)</p><p>2</p><p>sec? x+sec* y=(sen'a—2senatgy+tg"y)+</p><p>+(cos* a —2cosalgxr+ tg"x)</p><p>(sect x—tg?x) + (sec? y-tg"y)=</p><p>= (senta + cos” a)- Asena.tgy+cosa.tgx)</p><p>|</p><p>sena tgy+cosa tpr=--=</p><p>Rpta: B</p><p>Problema 37</p><p>Siendo:</p><p>(tg0.clgó + tgó.sec0)' = 4tg0.secO</p><p>Hallar: csct 4 -escO</p><p>Ay 1 B) -1 o2</p><p>D) 2 E) -3</p><p>Resolución:</p><p>Observemos que:</p><p>(a+ by =4ab => a- 8 =></p><p>IE aa al lo</p><p>En el problema:</p><p>2</p><p>| tg0.clgó + 5) = 4tgó0. sec</p><p>a b axb</p><p>> tg0.ctgó = tgh.secÚ</p><p>senó</p><p>sosU ii E) Py</p><p>clap =cscO</p><p>esco -1cscO</p><p>“esc” y—cescO=1</p><p>Rpta: A</p><p>Problema 38</p><p>Sabiendo que:</p><p>1 1 - ja+b ÓN Je e == A</p><p>Hallar: L=bctgix—atgóx</p><p>A)a+b B)a- b 0)b-a</p><p>D) ab(a — b) E) ab</p><p>Resolución:</p><p>1 1 _ farb</p><p>A E = ab</p><p>> Jb.senx-+ a.CoOsx= Ja+ b</p><p>Recuerda que:</p><p>Si msend + ncost = p A</p><p>entonces:</p><p>mm</p><p>seny = — A cos = q. 0</p><p>En el problema:</p><p>(5) (da) (4575)</p><p>Jo > tgx= La</p><p>Se nos pide: ] => m= tgx(secx + tx)</p><p>L=hctg?x-atg?x-= ol ya ] - da yb 0</p><p>vb ya m=gxr.secx+tgóx</p><p>. L=a-b</p><p>Rpta: B => 2m= Ptgx.secx+ 22</p><p>Problema 39 2m =2tgx.secx + tg? x+ (sec? r-1)</p><p>Siendo: Teerern 5 E (secxatgx)? A</p><p>== secx— gr</p><p>Calcular: fs, + fa, sc</p><p>m AE</p><p>A) 12 B) 16 O) 17</p><p>D) 18 E) 20</p><p>En (1):</p><p>Resolucion: (secx+ tax) 1</p><p>SN</p><p>Sea: f :(secx+ tgx) =" A</p><p>BL</p><p>occ "Geri" E</p><p>2.</p><p>Luego: , »</p><p>[gx (secx+ tex) oq m</p><p>— (secx—tgx) (seca + tgx) HO IS16</p><p>o ml</p><p>1 Rpta:</p><p>PP” ROBLEMAS DE EXÁMENES DE ADMISIÓN</p><p>1--cos* x Problema 1 ta</p><p>Para que valor de "k" se cumple: 1 sen'x</p><p>senx</p><p>SOX COS X _ sen*y</p><p>2 = tg *x (F.V. '96) ERE</p><p>Escx—senx LOL. = gy</p><p>cos” x</p><p>sent</p><p>A) 2 B) 2 O) 2</p><p>a D SEnx _ ¡pl</p><p>y3 E) 1 oa gx</p><p>Resolución: es - ta</p><p>1</p><p>cosa 0? 5</p><p>] AR A tg Xx de Kk - 3</p><p>—— — SEnx</p><p>0 METIA</p><p>sera ' Rpta: D</p><p>¿TEMO</p><p>Problema 2</p><p>lallar "2" en la siguientes expresión:</p><p>tg?x-sen*x==senéx (SM' 98)</p><p>A) 2sen*x B)0 O itgx</p><p>D) tgóx E) 3sec* x</p><p>Resolución:</p><p>sentr _ sen?x = =senty</p><p>cos! y</p><p>senta -1) = 2senix</p><p>cos* x</p><p>sent Ios x)> s5eñ Y</p><p>cos? y</p><p>seníx _ -</p><p>cos*x</p><p>tgix =</p><p>Rpta: D</p><p>Problema 3</p><p>Si x es un ángulo en el primer cuadrante</p><p>que satisface la ecuación:</p><p>3 tgx + /3ctgx =2</p><p>Entonces, el valor de senx es:</p><p>2 y/2 1</p><p>2x3 1 0%</p><p>Y3 y 12 D) E) A</p><p>Resolución:</p><p>tex 43 tgx</p><p>+5 a“ . E= 3 ; Sea: 43</p><p>1 ;</p><p>esla > P.241=0</p><p>(1-1) = => tl</p><p>1. > tanx= 4/3</p><p>y= 60" y3 => sen =-5</p><p>2</p><p>Rpta: D</p><p>Problema 4</p><p>Si tgíx+ctgix=2 y x pertenece al</p><p>segundo cuadrante; haller el valor de la</p><p>expresión: (SM '04 - II)</p><p>tex+ctgx+ 4</p><p>E= — _—ea</p><p>cg" x+tg" +ctgóx</p><p>A)-4 B) 4 o2</p><p>D) - 2 E)-6</p><p>Resolución:</p><p>De la condición se obtiene:</p><p>tgix+ctgx-2 =0</p><p>tgix+ctg?x-2tgx ctgx =0</p><p>A A KÁKÁXÁA</p><p>1</p><p>(tgx—ctgx)” =0</p><p>tx =ctgx</p><p>tgix=1> tgr=+1</p><p>Como x e 1lQ > tgx=</p><p>Reemplacemos en E;</p><p>EDEMA</p><p>Ecco</p><p>Rpta: E</p><p>Sea a un ángulo del tercer cuadrante</p><p>indicar la alternativa correcta al</p><p>Simplificar:</p><p>E=1+(V1=sena Joso</p><p>2</p><p>(SM ' 02)</p><p>A) cos* a B) -sen C) 1+c0s"a</p><p>D) 2+senía E) senta</p><p>Resolución:</p><p>E=1+wvc08* a cosa</p><p>E=1+|cosalcosa</p><p>Como a eTHO = cosa |cosa|=-—cosa</p><p>Reemplazando, tenemos:</p><p>E=1-cos* a</p><p>E =senza</p><p>Rpta: E</p><p>Problema 6</p><p>Expresar A = ( .- nn esca Pon función</p><p>de tga. (SM '04 — I)</p><p>A) 1+tg% 01- c)1</p><p>D) (1+tga) Dd</p><p>Resolución:</p><p>De la condición</p><p>1</p><p>1+cosa.</p><p>a</p><p>Sena +cosa |</p><p>Proyecto ingenio =*</p><p>=| Sena.</p><p>OS</p><p>SAR a "(sena) =esctn</p><p>Reemplazando:</p><p>A=1+col%a => 4=1+-L,-</p><p>ltan“a</p><p>Rpta: E</p><p>Problema 7</p><p>Si: secór+esc?x=7, hallar:</p><p>E=(sec* x+ tgix)[esc? x+otgix: (UNI '02-11)</p><p>A) 13 B) 14 O 22</p><p>D) 16 E) 15</p><p>Resolución:</p><p>Sabemos que:</p><p>tgóx=sectx-1; ctgix=cse”x-1</p><p>Luego:</p><p>E =(2sec* x- 1)(20sc* x- 1)</p><p>E=4sec*xcsc x—2sec? x + 050? x)41</p><p>E =4(sec* x+csc' x)-2(sec* esc? x)o 1</p><p>E=4A7)-2(7)+1</p><p>=> E=15</p><p>Kpta: E</p><p>Ains ON</p><p>Problema 8</p><p>Si senx+cosx = a, hallar el valor de:</p><p>3</p><p>7 +sentx+cos"x (SM '06-1D)</p><p>3a a +1 a?</p><p>A) + B) 5 CO Ss</p><p>5 y 3Ja-a?</p><p>DIS E</p><p>Resolución:</p><p>3</p><p>i 3</p><p>Sea y= E +sen'x+c0s' x</p><p>y= 5 +(senx+cosx)(sen”x-senxcosx +C08' 1)</p><p>- y —___</p><p>dato 1</p><p>4</p><p>y= Ss + a(l—senxcosx) (1)</p><p>Del dato se obtiene:</p><p>E 2</p><p>(senx + cosx)" =a</p><p>2 2 2</p><p>senti +cos” x+ 2senxcosx= a</p><p>e —</p><p>1</p><p>1</p><p>2</p><p>Reemplacemos en (1):</p><p>¡MÍ id</p><p>y: «4 1</p><p>Sera Cos Y =</p><p>Rpta: A</p><p>Problema 9</p><p>Sabiendo que es un ángulo agudo, el cual</p><p>satisface la ecuación: (SM '01)</p><p>clgx +escx=5</p><p>Determine el valor de la expresión:</p><p>E = 24tgx + 26senx</p><p>A) 10 B) 20 015</p><p>5 5</p><p>Dz E</p><p>Resólutión:</p><p>Se sabe que:</p><p>esc? x--ctgóx =1</p><p>(escx +ctgr)(escx—etgx)=1</p><p>5</p><p>Cscx —elgx = z</p><p>(+)</p><p>Además: cscx+ctgx=5</p><p>205sCx = 26</p><p>CSCx = E</p><p>13</p><p>5</p><p>ki</p><p>12</p><p>E= 24/43) + 263</p><p>E=10+10 => E=20</p><p>Kpta: E</p><p>Problema 10</p><p>En la siguiente figura:</p><p>B</p><p>O</p><p>r</p><p>A HS C</p><p>| e |</p><p>p</p><p>La relación —7 es equivalente a: E</p><p>(UNI '01-1 )</p><p>A) 21 -cos$) -B)2(1+c0sa)</p><p>C) 2(1-sena)</p><p>D) 2/1 +cos$) E) 2(1-cosa)(1-seno</p><p>SST: -</p><p>Resolución:</p><p>AC= € = AR + RC</p><p>ce =AP + CO</p><p>ce =AB=5r + CB-5r</p><p>AB=csena y CB =ecosa</p><p>¿PROBLEMAS</p><p>Problema 1</p><p>Simplificar</p><p>K =senx(l + col x) + cos x(1-tan y)</p><p>A)2 B) 1 C) 2senx</p><p>D) 2cosx E) 0</p><p>Problema 2</p><p>Reducir:</p><p>E=ssenx(l+ sen cos) +c0s(1+c08 404 sera)-1</p><p>A) senx B) cos x</p><p>C) 2senxcosx</p><p>D) senx+cos x E) senx cos x</p><p>Problema 3</p><p>Reduzca:</p><p>M =(3senx + 2cos x)2 +(2senx -3cos.x)*</p><p>A)7 B) 5 C)12</p><p>D) *> E) 15</p><p>A RIO MAA</p><p>e=c(sena +cosa)- Ty</p><p>2r =c(sena + cosa —1)</p><p>=</p><p>m4</p><p>el a » - — (2) = (sena cosa —1)</p><p>y</p><p>e = (1-2sena —cosa)'</p><p>lo</p><p>e =2(1-cosa)(1 sena)</p><p>Propuesros</p><p>Problema 4</p><p>Hallar *n” en la igualdad:</p><p>3</p><p>sen'x—sen*x=n(cos' x-cos” x)</p><p>A) senx B) cosx CO) tanx</p><p>19) cotx E) secx</p><p>Prablema 5</p><p>Siendo: tanx=cotx=2</p><p>H= tan” x—cot'x-+1</p><p>tant x+cot?x—1</p><p>Ay 2 B) 13 CO)4</p><p>D)5 E) 7</p><p>Problema 6</p><p>Si: Senxr+ cos = 5</p><p>Calcular:</p><p>K =sentx+cos* x</p><p>A) ; B)</p><p>0</p><p>0</p><p>3</p><p>se</p><p>lu</p><p>n 1</p><p>2</p><p>E</p><p>D) z</p><p>E A Par</p><p>dE</p><p>4</p><p>sentx+c08 Xx sentx+cos! x</p><p>Simplificar: K=</p><p>2 3</p><p>A) 5 B) 3 05</p><p>D) +3 4</p><p>Problema 8</p><p>versiB+cov?*B-5 Reducir: M = .</p><p>ii (L+send) +(1+c0s0)' -1</p><p>AJA B) - 1 2) 2</p><p>D) -2 E) -5</p><p>Problema 9</p><p>Simplificar:</p><p>=— por ! 7% na" L.</p><p>l+sentx l+cosx l+secóx 1+csc"x</p><p>A)y1 B) 2 y</p><p>D) 4</p><p>E) a</p><p>Problema 10</p><p>Reducir: £= a PERE</p><p>a BI senx C)cosx</p><p>D) escx</p><p>E) secr</p><p>Problema 11</p><p>Si: sénx gosx =>; re 16;</p><p>Calcule: ] = secxr+esex</p><p>A) JB B) 9 03</p><p>D) 15</p><p>E) y7</p><p>Problema 12</p><p>Determinar el valor de "senax”, si:</p><p>14+senr—cosx _ $5</p><p>1-senx—=cosx</p><p>A) B) Y 0%</p><p>L</p><p>a</p><p>j</p><p>a</p><p>D) - E</p><p>G</p><p>a</p><p>O e os 0 MTI</p><p>Problema 13</p><p>Sj senx- cos x= 5</p><p>Determina: £=(1+senW(l-cosx)</p><p>ndo E 07</p><p>D% EP</p><p>Problema 14</p><p>Siendo: senx-cosx=m</p><p>Hallar: D = tgxa+ctgx+secx-cscx</p><p>A) (1-m" B)(1+m" C) 2(1-m"</p><p>D) 2(1+ my” E) A1-—m)</p><p>Problema 15</p><p>Reducir:</p><p>_secx—=tgx-1 secx+tgx+1</p><p>—secx+tgx+1 *Secx- tex +1</p><p>A) —2tgx B) 2secx C) -secx</p><p>D) 2tgx E) 2</p><p>Problema 16</p><p>Tí</p><p>Si: mis), l:xe 7</p><p>reducir: O = q .</p><p>e Ji 2</p><p>SECIOSC Y SECA CSC.</p><p>A) 2senx B) 2cosx C) -2cosx</p><p>D) -2senx E) senx-cos.</p><p>Problema 17</p><p>Si de la ecuación: 5cosx-4senx=4; "senx</p><p>asume dos valores a y b,</p><p>Calcule: O=a+b+0b.</p><p>AJO B) -1 01</p><p>D) -1+ 42 E) 14%</p><p>Sea: tg09+ctg8 =3; calcular el valor de:</p><p>E = (sen0 + cos0)' + (send —cos0y'</p><p>13 17 26</p><p>A) 9 B) > O a</p><p>19 yA</p><p>D) 7 ) 3</p><p>Problema 19</p><p>Si se sabe que:</p><p>tg?x -ctgóx 43</p><p>SOCXHCOSOX</p><p>Calcule: Q= tgx + ctgx</p><p>A) -3 B)3 O5</p><p>D) 5 E) 6</p><p>Problema 20</p><p>Sabiendo: ryxsec” x +ctgx.csc? x= 21</p><p>Calcule:</p><p>O =tgxsen?x + ctgr.cos? x</p><p>A) 3 3 c)3</p><p>D) 3 E) 2</p><p>Problema 21</p><p>En la igualdad:</p><p>a+btg"x= 0 O</p><p>l+senx cscr-1l</p><p>Calcule: Q = axbxce</p><p>A)-6 B) 2 C)4</p><p>D) 8 E) 12</p><p>OR ao A a</p><p>Problema 22</p><p>Si: tgx + ctgx = 3. Calcular:</p><p>O =(sec* x+ctg*x)csc? x + tg? x)</p><p>A)9 B) 16 C) 36</p><p>D) 64</p><p>E) 49</p><p>Prablema 23</p><p>Eliminar "x" de:</p><p>Senx+cosx = 1 (1)</p><p>SECX+oscx = m (2)</p><p>A) n= mis? +1) B) 22= m1? + 1)</p><p>C) m=2n(m* -1)</p><p>D) m=x(nm"-1) E) 2n=m4*+1)</p><p>Problema 24</p><p>Simplificar:</p><p>C-cov x(1 + senx)+ versx(1+c0s x)</p><p>ler cos x + sentxescx</p><p>A) senx B) cosx Cc) ¿sena</p><p>1 O D) 7 CSCx E) a AS</p><p>Problema 25</p><p>Hallar "K" de:</p><p>A=(1+senx+ cos x)' -2(1+c0sx)</p><p>B=(1 +senx-—cosx)' —2(1-cos x)</p><p>K = AxB.csc* y</p><p>A) 2 B) 1 0)4</p><p>D) 8 E) /2</p><p>EL AA a 203)- A</p><p>A A AA o a a E E</p><p>Problema 26</p><p>Siendo: sen?txsecxi+c0sx=h</p><p>2</p><p>Hallar: 48 La</p><p>sen</p><p>A) (1-"Y</p><p>2 y</p><p>C) (A )</p><p>3 2 n Y</p><p>A</p><p>Problema 27</p><p>B) (1-1)?</p><p>Simplificar:</p><p>y = (tsenv+ cos.x)'</p><p>— (senx+tgx)(cosx+ctgx)</p><p>Ay 1 B) 2 Cc) -1</p><p>DD) tgx E) ctgx</p><p>Problema 28</p><p>Simplificar:</p><p>Sen x4COS x</p><p>serxtgx+cos xclgx</p><p>A) senx B) cosx</p><p>C) senacosx</p><p>13) secxoscx E) 1</p><p>Problema 29</p><p>Sabiendo que: Pe IC; señala el valor</p><p>mínimo de:</p><p>C = (senf + secf) +(cosf+cscH)-</p><p>AtgB-clgB)</p><p>A) 3 B) 5 C)7</p><p>D) 9 E) 11</p><p>Problema 30</p><p>2 2</p><p>q o xe IC</p><p>clg"x—cos” x</p><p>Sabiendo que:</p><p>calcule: € = secx.tgx</p><p>A) J3 B) -/3 C) v6</p><p>D) -J6 E) Age</p><p>Problema 31</p><p>Reducir:</p><p>_ [cos x+tgx)lescx + tex)</p><p>—— (senx+ctgx)(secx + ctgx)</p><p>A) ctg"x B) escx C) secx</p><p>D) ctgx E) tgx</p><p>Problema 32</p><p>Hallar "m" en la siguiente identidad:</p><p>cos x1(3 + (gx -2sec? x) _ Im</p><p>2tgx+1 secx</p><p>A) -secx B) -tgx O tgx</p><p>D) tedx E) -senx</p><p>Problema 33</p><p>Eliminar "x":</p><p>ta7x + te7r =m? (1)</p><p>cty Se clgóx =P (2)</p><p>A) mn +1 =(mn)*</p><p>B) mn =1</p><p>O) + =1</p><p>D) mi? +1? =(mnYP</p><p>E) m* +1? =(mn)'</p><p>Problema 34</p><p>Reducir: .</p><p>ve | ielx+ctgix7) (tglr+ctgtx+1</p><p>mo tgx+ctgx—3 tgx+ctgx+1-</p><p>A) 2 B)3 O 4</p><p>D5 E)6</p><p>Prablema 35</p><p>4</p><p>Reducir: 5=94-008 x= sen”x)</p><p>l-cos* r-sen?x</p><p>a4)1 B)2 03</p><p>4 E) 5</p><p>Problema 36</p><p>Je la igualdad:</p><p>Seca — V3sena) (esca + 43 cosa) =</p><p>_senfa , cos a</p><p>cosa — sena</p><p>e verifica una identidad para "£” igual a:</p><p>A) 2 B)3 04</p><p>5 E) 6</p><p>"roblema 37</p><p>2 4</p><p>leducir: £= E E, lg</p><p>sec” x +!tgx</p><p>4) ta?y B) te*x C) sec” x</p><p>)) sec? y E) tgx</p><p>Problema 38</p><p>si: sen?0- sen*r+008' x, hallar:</p><p>E=sec* x+csc? x en términos de ”B</p><p>4) sen?0 B) csc* 8 C) tg%0</p><p>) ctg%0 E) cos*0</p><p>LA as == CA Win Mp Ao an es ñ</p><p>DENT os parao OPE</p><p>Lia E Proyecto Ingenio</p><p>Problema 39</p><p>Reducir:</p><p>L=1+sen*x(l+cos* x+cos! x+c0s' x)+c0s! y</p><p>A) 1 B) 2 O) sen'x</p><p>D) sen*x E) 2sen*x</p><p>Problema 40 a</p><p>Siendo: versx+covx = m;</p><p>Halle: M = versx.covxe</p><p>A) (m+1$ B) (m+1) O) (m-1y</p><p>2 4 E</p><p>(m-1) , (m-1) D) = 4 E) .</p><p>Problema 41</p><p>Réduéelé be (sen?x-—cos 1) +1</p><p>. sentxr+ cos? y</p><p>A) 1 B) 2 O) 4</p><p>D) >. E) 4</p><p>Problema 42</p><p>Siendo: tgx + ctgx = 3,</p><p>calcule: C= tgxsen*x+ ctgxrcos? x</p><p>A) 1 B) 2 (3</p><p>D) 4 E) 6</p><p>Problema 43</p><p>Eliminar "x" de:</p><p>senx—senix=a</p><p>cosx—cos? x =b</p><p>A) a +b2=(ab)2 B) a+bi=(ab)”</p><p>CO) ad+b?= (aby</p><p>D) a +bé=(ab E) a yb?=(ab)”</p><p>ha</p><p>fa</p><p>= ==</p><p>p</p><p>A E A</p><p>Calcule el mayor valor de:</p><p>sectx+ctaóx</p><p>tg?x+esc*x-2</p><p>. al al A) — z y</p><p>D3 E) 2</p><p>Problema 45</p><p>Sabiendo que:</p><p>_2ctgx_ == cscx+2 ==</p><p>escx—1 ctgx</p><p>Hallar: M=sec*x+tg?x</p><p>A) +2 B) ni +2n CO) 2n-n?</p><p>D) 2n+1 E) 2n-1</p><p>Problema 46</p><p>Si: senQ +c0s0 +tg0+ctg0+sec0 +cscÓ =</p><p>_ a+cos0— -cos*0 , a+send- sen*0</p><p>senÚ cosB</p><p>halle el valor de "a"</p><p>Ay 1 B) 2 O 3</p><p>D)4 E) 5</p><p>Problema 47</p><p>Sabiendo que:</p><p>1+sernx+cCosx _</p><p>Tenor. A? 1</p><p>hallar "senx"</p><p>2n PE á 8</p><p>A) 1+7? B) n +1 0) n*-1</p><p>AM. p*=1</p><p>1)) mó -1 E) 2n</p><p>A A</p><p>SOL" 1</p><p>Sabiendo que:</p><p>[3ctg* + 2cscx)(2secx + 3tgx) =</p><p>(meoscx + n) (psecx + q)</p><p>Calcular: L=m+n+p+q</p><p>A) 5 B) 10</p><p>D) 20</p><p>Problema 49</p><p>Si: seco x-—vV2secx=1</p><p>6 == +</p><p>calcule: fe eZ</p><p>tg"x+sec" x</p><p>A) 1 B E ) y</p><p>D) 2</p><p>Problema 50</p><p>Eliminar "x” de:</p><p>senóx +sentx=m</p><p>cos x+c0s'x=n</p><p>A) (m+n- 2y =4(mn+1)</p><p>B) (men -2y =4(mn-—1)</p><p>C) (mn-4) =4(mn+1)</p><p>D) (m+n-4) =4(mn-1)</p><p>E) (m+n- ay =2(mn+1)</p><p>Problema 51</p><p>Reducir: £=-</p><p>C) 15</p><p>E) 25</p><p>escx(tg*r— sen*x.sec? x)</p><p>A) 1 B) tgx</p><p>D) tgóx</p><p>secix(ctgix=cos*r.esc*x)</p><p>O) ctgx</p><p>E) ctgóx</p><p>[iepc tte</p><p>Problema 52</p><p>Si se cumple:</p><p>e / ( +senx clgx+c05x</p><p>¿VOTSX.COV x= [gr — senx a) ></p><p>a+ bsenx cos x</p><p>calcule: O =a-b</p><p>AJO B) 2 C)-2</p><p>D) 4 E) 4</p><p>Problema 53</p><p>in el gráfico, HC es la media geometrica</p><p>le AB y BC. Calcular: L=tg*0+ 2tg0</p><p>B</p><p>H</p><p>Le</p><p>A C</p><p>l</p><p>4) 1 B) 2 O) 3</p><p>3)4 E) 8</p><p>roblema 54</p><p>Moxe IC; además:</p><p>A, (ae</p><p>2005x 2¿versx :</p><p>+bescx+ctgx+dctgx</p><p>calcule: Q=a-hb+c-d</p><p>1) 1 B) 2 03</p><p>)0 E) 2</p><p>II Proyecto Ingenio</p><p>Problema 55</p><p>Si: cscx—1 3 secx+l_]_ 45</p><p>A secx— kgr escx+ctgr</p><p>calcule: J=tg?x+csc? x</p><p>A)3 B) 4 O5</p><p>D 6 E) 7</p><p>Problema 56</p><p>Si M,,, = sec" x — tg" x: hallar</p><p>Es M5 - M3</p><p>M5 + M3</p><p>A) cos? x B) sen* x C) cos yr</p><p>D) sen x E) tg x</p><p>Problema 57</p><p>Sabiendo que:</p><p>sen*x—2sen?x+c0os? x - 2senx =0</p><p>”</p><p>calcule: R=csc xr+senix</p><p>A) 3 B)5 O?</p><p>D) 9 E) 11</p><p>Problema 58</p><p>Del gráfico mostrado, determine:</p><p>M =ctgx+tg x</p><p>Si:. OA=0B y OC//DB</p><p>A</p><p>A) 1</p><p>B) 2</p><p>03</p><p>D) 4</p><p>0</p><p>E) 3</p><p>») VO ".</p><p>d</p><p>us CAPÍTULO</p><p>Arcos</p><p>Compuestos</p><p>——_ ==.</p><p>8.1 RAZONES TRICONOMÉTRICAS</p><p>DE LA SUMA DE DOS ARCOS</p><p>Frente a la expresión sen(a4(f), se</p><p>podría pensar que</p><p>sen(a + B)=sena +senf (?)</p><p>Vamos a demostrar que esto no es cierto.</p><p>partamos de que siempre es posible</p><p>expresar R.T. (a.+f) en términos de</p><p>R.T. (a) y RT. (8).</p><p>Para ello vamos a acudir a la siguiente</p><p>figura:</p><p>4 Y Circunferencia</p><p>A Trigonométrica</p><p>ASS M</p><p>o (ap)</p><p>$ A</p><p>= ></p><p>8 :</p><p>6 1 ]</p><p>| j</p><p>tt n al =X</p><p>O p O Al</p><p>osa +3) | |</p><p>SENO DE (a+8)</p><p>sen(a + fB)= PM = PS +5M=0QR +SM</p><p>sen(a +9) = QR+SM (</p><p>AOQR: QR = OR sena =senacosfB (2</p><p>comp</p><p>AMSR: SM = MR cosa =cosusenf (3</p><p>sen]i</p><p>(2) y (5) en (1)</p><p>A. | sen (u +) =sena cos + cosasenf |</p><p>COSENO DE (a+f)</p><p>cos(a+$)=OP=0Q-PQ=0Q-SR</p><p>cos(a +) =00Q - SR (</p><p>AOQR: OQ = OR cosa = cosHcosa (</p><p>cf</p><p>AMSR: SR = MR sena = senfsena (</p><p>sup!</p><p>(2) y (3) en (1)</p><p>cos(au + )= cosacos senasenf 2.</p><p>SIEM te</p><p>TANGENTE DE (a+8)</p><p>- Senacos[ + cosuser 0</p><p>cosacos ()- senasenfi</p><p>sen(a-+()</p><p>a lar”</p><p>Jividiendo ambos términos del 2”</p><p>miembro entre cosa cosf):</p><p>senacosB cosasenf</p><p>tg(a+8)= cosacos) cosacos [)</p><p>cosacos senasenf</p><p>cosarcosfh coseicosf)</p><p>tga +teB t h E A</p><p>ala+p) 1—tgutgh</p><p>8.2 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS</p><p>DE LA DIFERENCIA DE DOS</p><p>ARCOS</p><p>Recordemos:</p><p>sen(-0)=-sen0 ctg(-8)=-ctg</p><p>cos(-6)=cos0</p><p>tg (-0) = -1g0</p><p>sec(-0) = sec</p><p>esc (8) = esc</p><p>SENO DE (a-$)</p><p>En sen(a +) =sena cosfH+cosasenf)</p><p>sustituimos f por (-f):</p><p>sen(a -B)= sena cos[-P)+c0sasen(-PB)</p><p>A A/A</p><p>cos|i sen</p><p>o no</p><p>4. -.| sen(a—f)=senacosP—cos asenf</p><p>COSENO DE (a-B)</p><p>En cosla + B)= cosacos) -senasenf</p><p>sustituimos B por (-$):</p><p>cos (au — PB) = cosacos (- B) seno sen (- $3)</p><p>¿| cos(u—P)=cosa cos f+senasenfi</p><p>CO E o ETT</p><p>TANCENTE DE (a-B)</p><p>E HE +tgB Entg(a +1)</p><p>sustituimos P por (-f)</p><p>TS</p><p>tga + +tg_ b)</p><p>ga: 84 P)</p><p>ab</p><p>lg(a-P)=3</p><p>605 slo: -[4)=</p><p>e tgf</p><p>OTROS TRIANGULOS NOTABLES</p><p>e PARA 15* Y 759:</p><p>Calcule: sen15”</p><p>Resolución:</p><p>sen(45” — 309)</p><p>= sen 45” cos 30" — cos 457 sen 30"</p><p>Ja 43 2 1 6: -f2</p><p>202 22 4</p><p>Llevando a un 4:</p><p>* senl5” --</p><p>sen15" =</p><p>v6 —y/2</p><p>Y6 + 42</p><p>+ PARA 16* Y 74”:</p><p>Calcule: cos16?</p><p>Resolución:</p><p>cos16”= cos(53"--37*)</p><p>= 0853 c0837"4+sen53"sen37"</p><p>¿mera A A Md f z E s</p><p>o ONO</p><p>MENE ETE Ejemplo:</p><p>-(5)(5)* 5) 5) |</p><p>Hallar E = sen75” + cos 75” + tg 75”</p><p>Resolución:</p><p>sen75” = sen(30* + 45”)</p><p>Llevando a un .4</p><p>= sen30"cos 45” + cos30* sen45”</p><p>25</p><p>7 sen75= 1.2, 3 Y N34J0</p><p>16</p><p>24</p><p>* cos75” = cos(307 + 457)</p><p>« Parag8”y82”</p><p>= cos30"cos45” - sen30” sen45”</p><p>Calcule: tan8? |</p><p>Resolución: cos 75" = 521 Ya - Je</p><p>tan8” = tan(45”-37")</p><p>. tg 75” = tg(30* + 457)</p><p>_ tan459-37%</p><p>1+ tan 45” tan 37"</p><p>_ tg30"+tg45"</p><p>1-3 1-tg30" tg45</p><p>3 1+((5 (3) E.</p><p>a a a) a tan8”=35 1430</p><p>Llevando a un 4 nt</p><p>> Es — +24 3</p><p>4 4</p><p>5/2 j y</p><p>; so les 4+v6+24/3</p><p>+, EA -= — a</p><p>IDENTIDADES ADICIONALES</p><p>. | sen (a—P)sen(a+B): senta -sen*B</p><p>| cos(o—P)cos(a+p)=cos"a—sen”p</p><p>sen(u— eo cp</p><p>Y OA4</p><p>e|clga + clgh = = A</p><p>a Ssen(P-a) e | ctga —ctgf= senasenf)</p><p>«PROBLEMAS</p><p>Problema 1</p><p>Reducir</p><p>_ sen(a +0)-sendcosa</p><p>"costa +0) + senasenó</p><p>A) tana B) tanó CO) cota</p><p>D) cot0 E) 1</p><p>Resolución:</p><p>Desarrollando:</p><p>- Sena cos 8 + senOcosa —senOcosa</p><p>cosa cosÓ —senasenó +senasend</p><p>= E == lana</p><p>Rpta: A</p><p>O GOyso > 0 MTI</p><p>e | tga+ la B)ltga.tgB=tg(a+p)</p><p>«| tga—tgP-Ig(a-P)tga.tgB=tg(a—f)</p><p>Si A+B+C=1x 23m; ...:km, ke Z</p><p>e [+ tgA+tgB+tgC = tgA-tgB-tgC</p><p>. ctgA-clgB+ctg A-clgCO+ ctgB-ctgUE= l</p><p>FAA</p><p>A</p><p>Si A+B+ C=>; dt 2 E kez</p><p>>» 2</p><p>e |. cigA+rcteB+ctgC=ctgA ctgB:ctaC</p><p>* tgA-tgB+tgA:tgCHgBtgC = 1</p><p>e |-JA7+B"sAsenx+Bcosx</p><p>calcule</p><p>C=cos(4x+ y)oos(2x-1) -sen(4x+ y)sen(21=1:)</p><p>A) ye B) ya 01</p><p>D) 5 E) 3</p><p>Resolución:</p><p>Dato:</p><p>sen(2r+ y)cos(x—»)rsen(a=9)eos(2r93)=2</p><p>sen[(2x + v)+(1- 1)] = a</p><p>senáx = z Aia 30"</p><p>Se pide:</p><p>C=cos(dx+ y)0os(2x— 1) -sen(4x=+ y)sen (21 p)</p><p>C=cos[(4x+ 1) +(Qx- y)]</p><p>|</p><p>C=cosébxr => C=cos60* E</p><p>Rpta: D</p><p>Problema 7</p><p>Reducir</p><p>R=(sen6”—cosé”)(sen3"—cos3")+sen9"</p><p>A) sen3” B) cos3" C) senó”</p><p>D) cos6” E) 2sen9”</p><p>Resolución:</p><p>R=(sen6” —os6”)(sen3”—cos3")+sen9</p><p>ID a e t- E pl</p><p>: Proyecto Ingenio</p><p>R= >n6"sen3"-sen6"cos3”—cosó*sen3” +</p><p>+cos6*cos3* + sen?</p><p>R=(cos6"cos3"+sen6*sen3”)</p><p>cos(6*-32 )</p><p>-(sen6*cos3” +c0s6*sen3”) + seng*</p><p>sen(6"+30)</p><p>. R=c083"</p><p>Rpta: B</p><p>Problema 8</p><p>Reducir</p><p>J> sec10”cos17”+tg10"sen17"</p><p>esc5"sen12*—ctg5” sen?”</p><p>A) tg5” B) ctg7” C) tg10?</p><p>D) tg12" E) 1</p><p>Resolución:</p><p>: cos17” , senl0'senl7”</p><p>¡=cos10* * — cosl0*</p><p>sen12" _cosS'sen?”</p><p>sen5” sen5"</p><p>cos(10*4+7%)+ sen10'sen17”</p><p>¡Fa costo</p><p>sen(5"+7”)-cos5"sen7" A</p><p>=> 4=1</p><p>Kpta: E</p><p>re cb a EE!</p><p>Sabiendo que seca = 2secB</p><p>hallar</p><p>e sen(x+a)-sena.cosx</p><p>-— sení(x—P)+senficosx</p><p>A) 2 B) 5 O 1</p><p>D) 4 E) 1</p><p>Resolución:</p><p>Del dato:</p><p>seca =2secf</p><p>1</p><p>= 1</p><p>cosa cosf ()</p><p>Se nos pide:</p><p>. sen(x+a)-sena.cosx</p><p>C=</p><p>sen(x-— fp) +senfcosx</p><p>_ (senx.cosa + cos xsena ) - sena.cosx</p><p>(senxcosP —cosxsenf)+senfcosx</p><p>(Ber .cosa</p><p>serí cos[)</p><p>De (1):</p><p>(= osa 1</p><p>2cosa 2</p><p>1</p><p>Rpta: B</p><p>Problema 10</p><p>Señale el intervalo de variación de</p><p>l.= 4sen(30"+x)+cos.x</p><p>A) [-437;/37]</p><p>C) [-421;421]</p><p>D) [-419;419]</p><p>B) |-26;/26]</p><p>E) [-2; 2]</p><p>Resdtución:</p><p>L=4sen(30% + x)-+cosx</p><p>L=4(sen30*cosx+ cos30"senx)+cosx</p><p>E cos sen] ecos</p><p>L=3c0sx+2V3senx</p><p>Por propiedad:</p><p>Las = (3 + (243)</p><p>Lo (324 (243 y</p><p>ip Add</p><p>Luego:</p><p>21</p><p>3a</p><p>Reemplazando en (1):</p><p>la? l-a?</p><p>sen[x+vw)=a| 1-| — +24</p><p>( | | 34? ] E |</p><p>2</p><p>sen(x+ y)= ld.</p><p>3d</p><p>Rpta: €</p><p>Problema 12</p><p>Sabiendo que tg(26"+x)=35</p><p>Calcule tg (19%-x)</p><p>A) 0,1 B) 0,2 CG) 0,3</p><p>Resolución:</p><p>Dato: t8(26"+x)= 5</p><p>tg(1-x)=m, —m=??</p><p>Observamos que:</p><p>(267 + x) + (19% — x) = 45”</p><p>> tg[(26"+x)+(19-v)]=1</p><p>Qi) aid dd 101 Proyecto Ingenio</p><p>—60S +x)+t8(19%-x) _</p><p>1-tg8(26%+ x) 18 (19%x)</p><p>+ mM</p><p>7</p><p>=1] 2</p><p>> => m=—</p><p>1 - qa 5</p><p>Rpta: D</p><p>Problema 13</p><p>Si tgx+ctgóx=sec"x,</p><p>calcule tgx+tg5x</p><p>A)1 B) 2 0) 5</p><p>D) > E) 2</p><p>Resolución:</p><p>tgx+ctgóx=sec* x</p><p>1 real ae</p><p>l-tgrtg5xr 2.</p><p>+ ter +tgSa TSE</p><p>t 2, io Be — birx:. ra tg"x+tgrtg5x+1- ty ta5x a</p><p>ty +Eg5x</p><p>tgr+tg5x=1</p><p>Rpta: A</p><p>Problema 14</p><p>Si 2senx+3c08 x= ksen(x+8); donde'0'</p><p>es agudo, calcule £ = (4? -1)tg0</p><p>A) 12 B) 16 C) 15</p><p>D) 18 E) 21</p><p>E ¿ 15 Aa ras 10]</p><p>pres</p><p>Resolución:</p><p>2senx +3 cos x= kseníx 4-0)</p><p>y2? + 2sen(x 4 0)</p><p>donde: 1gÚ =></p><p>luego: k=413</p><p>L=(k -1)tg0 =></p><p>L-: 18</p><p>L=(vi3” -1)3</p><p>Rpta: 1)</p><p>Problema 15</p><p>Simplilicar</p><p>L += (sen40”-csc20%-c 05409. sec20”)</p><p>(senó5” icos65*)</p><p>A) Jésec20" 1) Y secao"</p><p>4</p><p>D) Jécse20* E) 8 05020"</p><p>Resolución:</p><p>[sendO” cos40* a mo L> (ense: oops Jísenes +cos65”)</p><p>Lo pena A</p><p>” sen20".cos20"</p><p>V2sen(65% +45")</p><p>60 cos20*</p><p>A sen60” o</p><p>cosa) Va senti</p><p>v3.2 0 NS cc200 a ME</p><p>Rpta: E</p><p>ÓN NP LAO</p><p>Problema 16</p><p>lallar el valor de la expresión</p><p>p . cos20" + 2cos50" + /3cos70"</p><p>88 cos 5%</p><p>A) Y2 B) 2 0) 242</p><p>D) J6 1) 2/3</p><p>Resolución:</p><p>ope</p><p>4. 50820" + 2c0550% + J3 cos70*</p><p>cos5"</p><p>AR</p><p>i V3sen20" + cos20- + 2c0550"</p><p>cos 5"</p><p>' _d2sen(50+4 4 45 3)</p><p>de 2(senS0” + cos 50%)</p><p>eN cos5”</p><p>sen (90? 4 ES) 4.24</p><p>242: cos5”</p><p>Rpta: C</p><p>Problema 17</p><p>Reducir</p><p>E =cosóx--2cosx.c0s y.cos(xi y) cos? (x+3)</p><p>A) sen?x B) cosy C)seniy</p><p>D) sec?x li) escóx</p><p>Resolución:</p><p>E=cosóx - 2c05x.c05 p.cos(r v) ' cos? (7 ry)</p><p>E cost xo cosa + y)] cosíx + v)- 2cosicos y]</p><p>Como cos(x + 1) C= _ =6</p><p>CS A COS 1.COS -</p><p>Rpta: B</p><p>Problema 19</p><p>Si 3tg0+4tga = m3)</p><p>determine el valor de £0S%</p><p>Coso</p><p>3 4 7 A) 3 B) 5 5</p><p>3 1 D) - E) ></p><p>MO an a ia dida</p><p>3sen 5 d4sen 3 ju</p><p>cos6. sn cos 2 COSsa</p><p>cos0ó 3</p><p>cosa 4</p><p>Rpta: A</p><p>Problema 20</p><p>Del gráfico calcular</p><p>sen(0+a)sen(0a), siR=2 y r=1</p><p>A) 0,29 B) 0,21 C) 0,17</p><p>D) 0,42 E) 0,32</p><p>Resolución:</p><p>k Ros Ro. Tomor o</p><p>Del gráfico:</p><p>senb = =</p><p>_3 sena = +7 PE</p><p>Se pide: CD=34= 2Rsena (2)</p><p>J=sen(0+a)sen(0=x) (1). 1 sen(60-a)</p><p>(24 sena</p><p>J=sent0-senta</p><p>sena = 4(sen60”cosa-—cosó60”sena )</p><p>E le E sena 4 cosa 7sena</p><p>RKpta: B ñ</p><p>. Clga = -</p><p>Problema 21</p><p>. Kpta: B</p><p>Del gráfico, calcule ctga si '</p><p>AB=1 n CD=4 Problema 22</p><p>De la figura, hallar te0</p><p>mE</p><p>D) ala a) B) Y3 0%</p><p>Resolución: py É E) 5</p><p>Resolución:</p><p>Recuerde: Po NN A</p><p>JM El</p><p>Y 20 N yA 1</p><p>== Del gráfico:</p><p>2aseni)</p><p>t ó pe 1 vw otra a tb</p><p>=> AB=1=2Rsen(60”- a) (1) *" Ba? PB</p><p>TINO pos Ge</p><p>Además:</p><p>0-a.-ó :> tg0- hy(a -6)</p><p>lga--tgó</p><p>e, (ga. tgo</p><p>1 1</p><p>teo. 1321 Vel,</p><p>5 (11d 1805 ] ¿ E</p><p>las +1)</p><p>Rpta: E</p><p>Problema 23</p><p>De la figura, calcular tgó si</p><p>ABCD os un cuadrado.</p><p>hat</p><p>A</p><p>A |</p><p>A o D</p><p>3 1</p><p>> B) 5 O5</p><p>3</p><p>Y, E) -1</p><p>tesolución:</p><p>—B an.</p><p>q</p><p>| |</p><p>|</p><p>p3</p><p>L |</p><p>E 2</p><p>lb Cl</p><p>A D</p><p>2 —. 3</p><p>Lai pis</p><p>De la figura:</p><p>tga = 1180350 -0.a</p><p>1g0+tga tgeórtg(0ta) > tgó:- E g0tgl0ta) 8 1 tgOtgo</p><p>2</p><p>lgó * 7 mn sn tgo =5</p><p>¡E</p><p>3</p><p>Rpta: €</p><p>Problema 24</p><p>En el cuadrado ABCD, calcular tg0</p><p>B Cc aq</p><p>0 y</p><p>. A d A D</p><p>y N 5 a 03</p><p>1) 3 E)</p><p>Resolución:</p><p>| 2a | B SIP ae</p><p>a la</p><p>TO. : + (</p><p>| SR m</p><p>m+«a | De</p><p>: E a</p><p>¡ Lo+p > ¡. — Ll, de</p><p>2m-a</p><p>eno.</p><p>Del gráfico: tgH =- ;</p><p>En el is PI1D):</p><p>(2) =(m+a) +(2mY ></p><p>m 3k</p><p>. tg(0+P)= mada -8</p><p>2m—«e</p><p>18(0+B) _</p><p>1-1g0tgp</p><p>tg0+ l</p><p>2-=8 > 1g0=></p><p>1-(tg0 (180),</p><p>Rpta: €</p><p>Problema 25</p><p>Del gráfico, calcule *x"</p><p>3</p><p>A) 2 B) 3 C) 245</p><p>D) 443 E) /7</p><p>Resolución:</p><p>Del gráfico:</p><p>ted E ds tu (ó+ (1) = So ty (26 +0) = 6</p><p>A 4 A</p><p>A</p><p>Tenemos;</p><p>tg(26 +0)= tgl(6 +0)+ 0]</p><p>18(0+0)+ teo</p><p>g(29+0)= 1-18 (0+0)tg0</p><p>Reemplazando:</p><p>EH</p><p>E</p><p>Xx oq z ;</p><p>Xx</p><p>Resolviendo: =¿3</p><p>Rpta: B</p><p>Problema 26</p><p>Si tgxr+te-=7clgv</p><p>tay +tu=3clgz y</p><p>rn</p><p>XNEYVRiI=—,</p><p>" 2</p><p>calcular tg ter</p><p>21 2] Ed</p><p>AS BG Ox</p><p>D)5 E) 9</p><p>Resolución:</p><p>Dato:</p><p>lgr+tg=7Ctgr. (1) AN+r+=>= 2</p><p>tgw'+ Lg = 3ctgz......(2)</p><p>) De (1) tex. gy + tez lev |</p><p>4</p><p>De (2) ¡gp Igo +tex.te- =3]</p><p>=> tirlpv+ tardo Apio + lg ber =10</p><p>Mi</p><p>Rpta: E</p><p>Problema 27</p><p>En un triángulo ABC se cumple:</p><p>igA _tgb _ tgC</p><p>2 3 5</p><p>Calcular EE"</p><p>3 SB Y</p><p>A) ab B) ad O) 3</p><p>y3 AB D) 5 E) 30</p><p>Resolución:</p><p>tgA = 2k</p><p>2 3 5</p><p>tgC=5k</p><p>Como A+B+C= 180"</p><p>> tgA+tgB+tgC= tgA -tgB-tgC</p><p>2k+3k+5k =(2k)(3k)(5k)</p><p>10k=304? : k=-=</p><p>|</p><p>Luego: ctgC= a 5-3</p><p>Rpta: D</p><p>Proyecto Ingenio</p><p>Problema 28</p><p>Si sen*15"-sen*5"-=: k</p><p>reducir</p><p>_ 21g80"+tg20" 2tg70”+1tg40"</p><p>pS re 18701840"</p><p>A) k B) 5 O 24</p><p>D) + Ez</p><p>Resolución:</p><p>Dáto: sen?15*-sen?5" =k</p><p>sen(15%5)sen(15%5)</p><p>sen20”.senl0? =k</p><p>cos70"cosB0” = k</p><p>Nos piden:</p><p>14 — 880" + 1880" +tg20" 1870" + t870" 41940"</p><p>tg80”.tg20" tg70”.tg40"</p><p>En el numerador de ambas fracciones,</p><p>observamos que la suma de los ángulos</p><p>es igual a 180%.</p><p>Luego:</p><p>1 - E880".1880".1820” | 1870”.tg70*.tg40*</p><p>tg80*.tg20* t70”.tg:40*</p><p>sen(80" + 70) 1</p><p>M =1880%4+t870"= 200 70 = 37</p><p>Rpta: D</p><p>LO TO</p><p>¿Í ROBLEMAS DE EXÁMENES DE ADMISIÓN</p><p>Problema 1</p><p>: T</p><p>Sabiendo que senx = cos| x+ 5)</p><p>determinar tgx +ctgr (sM' 01)</p><p>A) 243 B) 2 0)4</p><p>DJ E) 4-23</p><p>Resolución:</p><p>TI Tr</p><p>Sen = COSA COS 3 —= senisen —</p><p>43 ] COS.</p><p>sent| 14 — | = =—</p><p>¡Ñ 2 2</p><p>ctgxr =2+ Y3</p><p>tea =2-43</p><p>Luego:</p><p>py a + clgr= 4</p><p>F</p><p>Rpta: €</p><p>Problema 2</p><p>En la identidad trigonométrica</p><p>2seny+3cosx = A cos(x—a)</p><p>determinar lg 4 (UNI '01-1D)</p><p>2 2 >=</p><p>Ai B) 3 O Vi</p><p>Resolución:</p><p>e. A nj ne 2senx + 3c0sx = Cosa cosx + sena sena</p><p>Si esta igualdad es una identidad</p><p>2=kcosa 4 =sena</p><p>De donde tga = : e =></p><p>Rpta: D</p><p>Problema 3</p><p>Hallar la menor solución positiva de la</p><p>ecuación</p><p>seca+csca + V2seca csca=0.</p><p>(SM 04-1)</p><p>A) 45" B) 135" 1225</p><p>Dy 315" E) 215</p><p>Resolución:</p><p>seca+osca+ 2 seca csca =0</p><p>Seco + E5ca =- y2secu ESCU</p><p>SecuTtESsceM 2 => sena+cosa=- ¿2</p><p>SOCOaCsce</p><p>Poro sena+cosa=Y2senla +45")</p><p>= senta +45%=-4/2</p><p>senta+45%)=-1</p><p>Para la menor solución positiva:</p><p>a+45%2707 0=225"</p><p>Rpta: €</p><p>A E tae ll e 905 ei</p><p>a 4 ahi a! etnias Rai</p><p>Problema 5</p><p>Determinar tg a, según el gráfico que se</p><p>indica: (Ag. '02)</p><p>A)1/2</p><p>B) 2/5</p><p>D M C 0)5/2</p><p>> D)3/4</p><p>E) 4/3</p><p>Calcular tgx (UNI '02-I)</p><p>| -—</p><p>99</p><p>—</p><p>+</p><p>lia</p><p>|</p><p>| 7 |</p><p>Resolución:</p><p>A B Del gráfico:</p><p>= 45" 8 a +</p><p>3 a =45”-p</p><p>17 tga = tg(45”—P)</p><p>9 e tg45”—tgP</p><p>—1+tg45"tgB</p><p>Resolución: 3</p><p>13</p><p>AT B) FG C)</p><p>D) Z E)</p><p>tga</p><p>sea MC = 34 = DM; CB = 4k y AB = 8k</p><p>D 34% M 3k C pz</p><p>Rpta: B</p><p>Problema 6</p><p>En la figura adjunta, la longitud del</p><p>segmento AB es: (UNI '01-1)</p><p>a</p><p>T</p><p>A)24/3 1</p><p>E 22 B) 343 |</p><p>SETA O AS 0)443 4</p><p>5k'6k</p><p>D) 543 l</p><p>y Rpta: B E) 643 Ñ</p><p>c</p><p>o</p><p>Resolución:</p><p>C</p><p>3</p><p>Q</p><p>4</p><p>HE</p><p>(0</p><p>Ml 2</p><p>A m E</p><p>is APB: tga = Z</p><p>; mn</p><p>6s AQB: tg(a+0)=-$</p><p>sa ES ACB: tgla+0+0)= ps</p><p>igla +0) + tga 9</p><p>1 -tygloc+ Oiga mM</p><p>5 uz</p><p>Mm m__9</p><p>1-6,2 mM</p><p>mon</p><p>8: ol 2)</p><p>m</p><p>mi 9,12 => m=6v/3</p><p>Rpta: E:</p><p>Problema 7</p><p>Si sena = 2senf) y cosP=3cosa, hallar el</p><p>valor de cos(u (3) (UNI '02-1).</p><p>á Z 23</p><p>7 Br 7 y</p><p>D)> E) 5</p><p>Resolución:</p><p>Si sena =2senfik y cosf= 3cosa</p><p>A</p><p>ÍA</p><p>Por arcos compuestos:</p><p>costa — $) = cosa cos [+ senasenf</p><p>cos(a —P)= cosa (3cosa)+ senal y ]</p><p>cos(a — P) = 3cos"a + 2</p><p>6cosu +(1-cos*a)</p><p>cos(a - $) = ——— 5 _—</p><p>cos( a - 6) Aaa (1)</p><p>2</p><p>De las condiciones inicialos:</p><p>senta=4senf y 36c0s%'u =4cos*p</p><p>Sumando:</p><p>4 = ¿ y ¿ senta + cos” a +35c0s a =4 (0)</p><p>í</p><p>35c0s* a =3</p><p>Scos? 7-5costa=3 > a?</p><p>7</p><p>Reemplazando en (1):</p><p>3. +1 5</p><p>Rpta: D</p><p>Problema 8</p><p>Si tga y tgB son raíces de</p><p>24? 4 -1=0, hallar tg(a+P)</p><p>(SM 05-11)</p><p>2 DS 4</p><p>Ay= 3 B)-1 O “4</p><p>1 e 1</p><p>D) 6 :) 3</p><p>Resolución:</p><p>24 +x-1=0</p><p>Si tga y tgf son raíces</p><p>> igu+tgO==></p><p>tga t6P=-></p><p>tga+tgB E Piden:</p><p>Rpta: E</p><p>Problema 9</p><p>Si tg(x+3y)=5 y tg(2y+x)=4,</p><p>entonces el valor de ctg y es (SM 04-11)</p><p>A) 20 B) 21 018</p><p>D) 14 E) 15</p><p>Resolución:</p><p>G t 3 =5 E omo tg(x+3y) > tg=5 y</p><p>a</p><p>tg(2y+x)=4 => tg0=4</p><p>AA AA</p><p>0</p><p>Observamos que:</p><p>au—-0=y</p><p>=> t =| a—Ó _ Iga-tg0 gy =tg(a-0) + ag</p><p>re 5-4 Y</p><p>1+5-4 21</p><p>23 Ciy=21</p><p>En un triángulo rectángulo ABC recto en</p><p>C, calcular el valor de M.</p><p>M= (14184 > 2)(1+185)/1+85)</p><p>AJO B) 1 oO2</p><p>D)3 E) 4</p><p>Resolución:</p><p>Como C=90* => g5=1</p><p>Luego:</p><p>M= (1+134 J1+3) (2) (1)</p><p>Aplicando:</p><p>tga +tgb+ tg(a + BligatgB = tela + B)</p><p>Tenemos:</p><p>A. ,B A BLA</p><p>Poli</p><p>Reemplacemos en (1):</p><p>M=2(2) =4</p><p>ala a e) : rad</p><p>PROBLEMAS Pr ROPUESTOS</p><p>Problema 1</p><p>Reducir</p><p>_sen(a +0) sena cosÚ</p><p>— cosía + 0) +senasend</p><p>A) tana Bj tanO C) cota:</p><p>D) cotó E) 1</p><p>Problema 2</p><p>Reduzca</p><p>Af seníx- mi ” + tan y</p><p>COS Y cos</p><p>A) 1 3) tanx CO) cotx</p><p>D) lan y E) 2tan y</p><p>Problema 3</p><p>Si lana+tany+tanz =4</p><p>calcular</p><p>sen(r+3), send y +2) y sení: +x)</p><p>COSY.COS Y — COSVCOSL —COS B) z O)</p><p>Z</p><p>E)</p><p>“</p><p>i</p><p>n</p><p>d</p><p>E</p><p>l</p><p>t</p><p>r</p><p>Problema 9</p><p>+ T SL x= 34), calcular el valor de</p><p>2 A</p><p>N -(senz sen) +( cosa cos$</p><p>A) 1 B)3 Ej 2 43</p><p>D) 2+/3 E) 1-4</p><p>Problema 10</p><p>Simplificar</p><p>- Br tar, tot tgy</p><p>le(x=y) Blrey +y)</p><p>A)2 B)0 C) 2 tgxtgy</p><p>D) 4 tgrigy E) 1</p><p>Problema 11</p><p>Calcular el valor de</p><p>Es 667</p><p>AJO B) -1 O) 1</p><p>Dj) 2 E) 2</p><p>Problema 12</p><p>Calcule el valor de</p><p>C = (141817) (1+tg23)</p><p>A) 1</p><p>B) 2</p><p>C) 14 tg17".1g28*</p><p>D) 1+tg17"+tg28*</p><p>E) 1-1817%.tg280</p><p>Sa</p><p>Problema 13</p><p>En la figura mostrada, calcular el valor de:</p><p>tg(x — 60%)</p><p>A) 0 3) 4 c)-%4</p><p>y3 a _y3 D) -G E) y</p><p>Problema 14</p><p>Si cosa =msecH</p><p>halle. 1. - O5(4+B)</p><p>A sena =ncsch.</p><p>cosla P)</p><p>Ni+.n mn HE</p><p>A) m-n b) men 7</p><p>” m-</p><p>Dm Dm</p><p>Problemas 15</p><p>Las tangentes de los ángulos de un</p><p>triángulo ABC son enteros y</p><p>consecutivos. Calcular la. Ni de, dichas</p><p>tangentes.</p><p>A) 6 B)9 C) 12</p><p>D) 15 E) 18</p><p>BED: +</p><p>Problema 16</p><p>Reducir la expresión E=</p><p>si sen(x—y)=c05x</p><p>A) 2 "o B)-1</p><p>D) 1</p><p>Problema 17</p><p>gx =3</p><p>Sabiendo que</p><p>3”) = E :</p><p>tgla-b+9%)= ></p><p>1 1 A) 3 B)5 0)></p><p>1 1</p><p>Di E) 13</p><p>Problema 22</p><p>Reducir:</p><p>W = (sen28"csc17” + cos28"sec17”)</p><p>(cos28” + sen28")</p><p>A) esc17* B) ysec17*</p><p>C) 2csc17”</p><p>D) 2sec17” E) esc17”</p><p>Problema 23</p><p>Hallar el valor.aproximado de</p><p>P = (sen23" + cos23") (sen?” + cos7”)</p><p>A) 0,78</p><p>D) 1,41</p><p>B) 1,46 C) 2,92</p><p>E) 0,63</p><p>Problema 24</p><p>Hallar el valor de</p><p>P=(3c087*- 4sen?>)| V3c0s7*- sen7*)</p><p>A)2 B)4 O) 3</p><p>D) 5 E) ¿</p><p>Problema 25</p><p>De la figura, calcule "tgó"</p><p>PERS</p><p>e A q.” A</p><p>y pS</p><p>A sr A</p><p>Problemas 26</p><p>Simplificar</p><p>,_ 1g29+tg16"</p><p>- cig29"-tgl6?</p><p>A) tg16* B) tg29" C) ctg16?</p><p>D) ctg29" E) 1</p><p>Problema 27</p><p>Sit (22,9)-2</p><p>as) 3</p><p>calcule (8 32-0)</p><p>P</p><p>a</p><p>j</p><p>a</p><p>A) B) ¡0</p><p>BL.</p><p>p</p><p>a</p><p>D) Dz</p><p>Problema 28</p><p>Hallar el valor de</p><p>É= send” + 059" a cos17"-sen17”</p><p>cos 36” sen28"</p><p>AA. BY. aq%</p><p>DE. E) 4/2</p><p>Problema 29</p><p>En un triángulo ABC se tiene que</p><p>calcular m=84+18B —tgAtgB</p><p>tg</p><p>A) 4 B) 3 C)3</p><p>D)5 E) 5</p><p>Problema 30</p><p>Determinar el valor de</p><p>p= sen60"+/3sen17"sen43"</p><p>cos17”cos43"</p><p>A) 243 B)2 O y3</p><p>D) 6 E)1</p><p>Problema 31</p><p>Del gráfico, calcular "tg.0", si "P" dista</p><p>de AB, AD y CD; 2, 1 y 4,</p><p>respectivamente.</p><p>tu</p><p>ña</p><p>p</p><p>—</p><p>—</p><p>e</p><p>A)J3 B)6 C)9</p><p>D) 12 E) 18</p><p>AMP A</p><p>Problema 32</p><p>Calcular</p><p>_(sen 240" -sen* 2200) -(sen*55"-=sen*5"]</p><p>cos20</p><p>A) E B) 7 o 3</p><p>a 3 D) -5 E) -3</p><p>Problema 33</p><p>Señale el máximo de</p><p>L=3senx +4c0sx +12sen(37"-x)</p><p>A) 12 B) 1242 C) 13</p><p>D) 15 E) 7</p><p>Problema 34</p><p>Reducir</p><p>. sen20 senló”</p><p>Ag "+1g 13 ctg7"-ctgl3”</p><p>A) sen20" B) cos20" O senó”</p><p>D) cosé* E) tg6”</p><p>Problema 35</p><p>Si</p><p>cos(x+ 13 _cosx _ seny</p><p>a bh Cc</p><p>hallar tgx-tgy</p><p>ee Pra</p><p>Ntra ar —e? za bae</p><p>Ll qe?</p><p>o) ? Ha e</p><p>py tu =s , bi +al e?</p><p>DD) Po e? E) NA</p><p>ES IA</p><p>Problema 36</p><p>Sabiendo que</p><p>senwcos y = 4m</p><p>cosxserw=2m,</p><p>¿cuál será la variación de "m" para que</p><p>las dos relaciones anteriores sean</p><p>posibles?</p><p>t</p><p>a</p><p>]</p><p>E</p><p>x</p><p>B) 5 E</p><p>0)</p><p>A</p><p>A</p><p>T</p><p>O</p><p>|</p><p>(a)</p><p>A</p><p>n</p><p>'</p><p>|</p><p>i</p><p>a</p><p>P</p><p>l</p><p>a</p><p>j</p><p>a</p><p>aj</p><p>a</p><p>D</p><p>A</p><p>aj</p><p>os</p><p>o</p><p>A</p><p>|</p><p>]</p><p>E) E</p><p>q</p><p>m</p><p>]</p><p>1</p><p>,</p><p>2</p><p>Problema 37</p><p>. Calcular el valor de</p><p>K = tg55"- tg55"tg30”- tg10*</p><p>AJO B) 1 O) 1</p><p>0) -2 E) 2</p><p>Problema 38</p><p>Calcular el mínimo valor de</p><p>N = 2sen(» + 5). 43 (senv-—cosx)</p><p>4</p><p>AJ2 B) -45 C)-J6</p><p>D) -24/2 E) -/10</p><p>Problema 39</p><p>Sabiendo que:</p><p>tga+ tgH + ntgo:tgo=n</p><p>teB+ t80+(1+1)tgB:g0=(1+1)</p><p>hallar cig(0-a)</p><p>A) 1211</p><p>D) 112»</p><p>B) 111» O 211»</p><p>E) 122n</p><p>Problema 40</p><p>Del gráfico mostrado, calcular cos(x- y)</p><p>qa</p><p>ñ a</p><p>if</p><p>AX</p><p>A) pa</p><p>mn</p><p>C) main</p><p>A p [2</p><p>Problema 41</p><p>Sabiendo que $ 1) y que</p><p>sen (a +B)sen(a =B)+sen'B _,</p><p>cos(u + o p)+sentB</p><p>calcular</p><p>€ =seca.tga +esca.ctga</p><p>A)243 p) 46</p><p>c)12(43-3)</p><p>D)13(V2-5) — 5 V3(v2+3)</p><p>Problema 42</p><p>Las tangentes de los ángulos de un</p><p>triángulo ABC están representados por</p><p>3 números enteros consecutivos.</p><p>Calcule tgA.tgB.tgC</p><p>A) 24 B)6 C) 60</p><p>D) 48 E) 18</p><p>Problema 43</p><p>Simplificar |</p><p>y By) + 8(Y-=)+ tg (Gx)</p><p>tg(x- y)tg(y-=)tg(=-x)</p><p>A) 1 B) -1 0</p><p>l</p><p>D) 2 >></p><p>Problema 44</p><p>Determine el valor de la expresión</p><p>J=/3sen46*—cos46" +2co516?+14/2c0561"</p><p>A) 9 B) 12 C)16</p><p>D) 642 E) 5/2</p><p>Problema 45</p><p>Si cigx+tgw=clgz+tgy</p><p>Xy Z40=T</p><p>calcular M =ctgxtgy+ctg-tgo</p><p>A)1 B)0 0) -1</p><p>D) 2 E) 2</p><p>Problema 46</p><p>Si ctgx+ctgy =kctez</p><p>x+p+2=3</p><p>"ctgx clgy" es igual a:</p><p>O) +1</p><p>E) k+1</p><p>A) k B) z</p><p>D) *-1</p><p>EMO DO TEA</p><p>Problema 47 Calcular tg(30*+0)</p><p>En un triángulo acutángulo ABC,</p><p>! S ó A) 1 B 43</p><p>reducir</p><p>La IgA +tgB(1-IgAtgC) C) ya</p><p>— AgB+1gC(I-tgAtgB) |</p><p>D) y2 E) $</p><p>A) tgA.tgB</p><p>B) tgA.tgB Problema 50</p><p>O) tgB Si ABCD es un cuadrado, donde</p><p>DD) tgC.ctgB</p><p>E) —tgB.ctgC</p><p>Problema 48</p><p>Eliminar los ángulos "x” e "y" de las</p><p>expresiones</p><p>SONICOS Y =M</p><p>COSISENV=H y</p><p>senix-sen*y= p</p><p>A) mé+ nó - p?</p><p>2</p><p>B) mienta p?</p><p>3 3</p><p>CO) pin =2mn</p><p>3</p><p>D) mw Pp</p><p>L) mn=p</p><p>Problema 49</p><p>Para 0</p><p>EF=-2FD + calcular la tangente de</p><p>menor ángulo</p><p>AE y UF</p><p>formado po</p><p>A</p><p>5 3 5</p><p>17 B)17 O</p><p>3 7</p><p>19 E) 19</p><p>a</p><p>Señale el intervalo de variación de</p><p>T T</p><p>L=se +cosi|</p><p>n( 5) +12</p><p>A Mot Arcos</p><p>g” na Múltiples</p><p>A</p><p>Seno de arco doble: cos(u +0) =cosacoa — cosacosa</p><p>En sen(a +) == sena cosfh+ cosasenf : =</p><p>e e cosa =c05" a -— sen” |</p><p>sustituimos PB por «a:</p><p>senta +a)= sena cosa + COS a sen a Y puesto que senía + cosóa = 1, se tiene:</p><p>E | senda = 2sena cos al i) cos2a=1-2senta</p><p>ii) | cos2a =2cos'a—1</p><p>Ejemplos: Desarrollar</p><p>Ejemplos: Desarrollar</p><p>por ángulo doble:</p><p>por ángulo doble:</p><p>1. sen4x =2sen2xcos2x</p><p>l. cos8x=c0s* 4x-sen* 4x</p><p>E A</p><p>senx=2sen+c0s5 2. se se 5 7</p><p>2. cos30"=1-2sen*15”</p><p>3. sen100"= 2sen50"cos 50%</p><p>xXx 2x</p><p>x Xx_ x 3. cos5=2c05" 5-1</p><p>4. 2sen q“0s7 = sen; 2 4</p><p>5. 2sen15*co515".=sen30" 4. cos? 10* -sen*10*=cos20"</p><p>6. 25en40"cos40”= sen80* Degradación del ángulo doble</p><p>RS</p><p>Coseno de arco doble: e |(2senta=1=co52a</p><p>En cos(u +) =cosacosB- cosa cosp</p><p>bs e [2cos"a=1+c0s2a</p><p>sustituimos P por a:</p><p>CAMEO e 0000000 MATA</p><p>Ejemplo: Identidades adicionales</p><p>1. Calcule:</p><p>3</p><p>- fi=cosáx e |senta+costu== + ota</p><p>—Wl+cosdx 4 4</p><p>[Zsen?2x Poo o 5,30, M = ÑZcos 72 e |Ssen'+c0s ao</p><p>=tan2x] Rpta. Ejemplo:</p><p>Tangente de arco doble: 1. Calcular aproximadamente</p><p>t E = sen74" + cos16" 4 1874”</p><p>En lg(a + f) = o sustituimos S</p><p>gp Resolución:</p><p>P por a:</p><p>e sen74” = sen(2.37") = 2sen37"c0537"</p><p>tga +tga</p><p>tg(a+a) = —= 24 0</p><p>l-teatea se TA? = Pao</p><p>sd o 55 25</p><p>5 24</p><p>O ¡92o- 118% e cosl6” = sen74” = 75</p><p>21837"</p><p>Llevando a un 4 1+tu ae e tg74” =tg(2.37”) = 119237"</p><p>3 3</p><p>2 Se puede hallar: gra tera 4-24 -</p><p>2ga a /</p><p>1. sena 1- 16 +tg%o 4)</p><p>2. cora A a, 24 _ > 20</p><p>HERO 25.25 7 15</p><p>1-tg%a</p><p>3, cot2a = pa</p><p>5 IDENTIDADES DEL ARCO</p><p>Ejemplo: MITAD</p><p>1. Sitgx=2</p><p>Resolución: Sabemos que cos2 ) = 1 2sen* 9</p><p>_ 2gx</p><p>Cama: 2" 7 qa de donde send = +. LES4D</p><p>__ 22)</p><p>1-(2Y a</p><p>1) Para 0 ge</p><p>e z ae tg2x=-=3 Rpta.</p><p>[eno (3 z -Trigonométria</p><p>er Resolución:</p><p>7 4 7 si ha a</p><p>ii 30" fi +cos 30" Pa</p><p>El signo + 6 — de la fórmula depende del sen15”= sen ZN | a</p><p>cuadrante al que pertenece Y</p><p>Ejemplos:</p><p>1. sen22” 30'= sen /(43" =+, [1-cos45"</p><p>| V2/1* 2</p><p>elC> sen(+)</p><p>E.</p><p>2</p><p>sen22"30' = y</p><p>- 400”</p><p>2. senzo0"=sen[ => )- pa</p><p>Lane et</p><p>sen200*= -— a = 0,342</p><p>Coseno del arco mitad:</p><p>Sabemos que cos2 0) = 2cos*8 —1</p><p>de donde cos0 = “ z aa</p><p>Haciendo U => tenemos:</p><p>Ejemplo:</p><p>1. Hallar sen15"</p><p>Tangente del arco mitad:</p><p>aL f1-cosa</p><p>ó sen 5 ] a ></p><p>ta—= e = Hr</p><p>2 cos| ] + ¡ 1 cosa</p><p>2 2</p><p>Ejemplos: Desarrollar</p><p>E</p><p>1 -— Cos ></p><p>1. 83 El</p><p>A+ cos:</p><p>ha</p><p>la</p><p>" l—cos5"</p><p>a =3+,]-: 2. 1g2"30'"=+4 oa</p><p>3. Hallar — tg18"30" en forma</p><p>aproximada.</p><p>Resolución:</p><p>. 1g18"30' e )> AA</p><p>2 1+c0537"</p><p>|</p><p>—</p><p>'</p><p>C</p><p>l</p><p>e</p><p>IA</p><p>il + 1g18%30'=</p><p>p</p><p>d</p><p>+</p><p>Q</p><p>u</p><p>]</p><p>AMEN 020 0 O o 2 ITA</p><p>IDENTIDADES ADICIONALES</p><p>tl q</p><p>- en +08 =+4/1+senu</p><p>tg 5 =c5c a. — clga</p><p>a</p><p>ce =ESCcOaL +clga ll</p><p>IDENTIDADES DE ARCO TRIPLE</p><p>Seno del arco triple</p><p>Demostración:</p><p>senda =sen(u+2a)</p><p>=sena.cos2a +c0sa + senZa</p><p>sen3a =sena(1-2sen*a)+</p><p>cosa 2sena cosa)</p><p>sen3a =sena(1-2sen*a)+</p><p>2sena(1-sen*a)</p><p>senda = seno - 2senta +</p><p>2sena — 2sen gu</p><p>$b | senda = 3sena - 4sen*u</p><p>Ejemplo: Desarrollar</p><p>l. sen15* = 3sen5” — dseni5”</p><p>y Xx. 3X e senx = 3sen y 4sen 3</p><p>Coseno del arco triple</p><p>e [cos 3u = deosta— 3cosa |</p><p>Ejemplo: Desarrollar</p><p>1. cos9r=4c0s* 3x-3c083x</p><p>2. cos27"=4c08*9"-3c059"</p><p>Tangente de arco triple</p><p>Ejemplo: Desarrollar</p><p>31810" 1g?</p><p>1. g30"= 810-1810</p><p>1- 3tg"10*</p><p>IDENTIDADES ADICIONALES</p><p>, 4senta = 3sena. — senda:</p><p>e 4cos'a = 3cósa + cosda</p><p>* senda = sena (2cos2ca + 1)</p><p>* cosda = cosa (2cos2a — 1)</p><p>tgda _ 2co0s2a + 1</p><p>: tga 2cos2a—1</p><p>e senda = 4sena: sen(60” —a) sen(60”+ 01)</p><p>* cos3a =4cosa cos(60” — a) cos(60% q)</p><p>* tgda = tga tg(60”—a) tg(60% a)</p><p>Ejemplos:</p><p>1. Hallar E = sen15*sen45"sen75"</p><p>Resolución:</p><p>ES 4sen15”sen(60” -15")sen(60*+15")</p><p>d</p><p>_sen3(15%) _ sen45*_ y2</p><p>4 4 8</p><p>E</p><p>2. Calcular cos10”cos50*cos70*</p><p>Resolución:</p><p>cos10”cos50%cos70” =</p><p>4cos10* cos(60”-10%)cos(60%+10")</p><p>4</p><p>30243</p><p>4 8</p><p>cos</p><p>TE O AS E</p><p>PROBLEMAS R; ESUELTOS</p><p>Problema 1</p><p>Si ctg =4</p><p>calcule sen2x</p><p>4 4</p><p>A) 15 13) 17</p><p>8</p><p>D) 17</p><p>Resolución:</p><p>417</p><p>clgx=% » ,</p><p>Xx</p><p>«)</p><p>sen2x = 2senycosx</p><p>puna A ls)</p><p>senz:=23 ¿|[sen2x = 17</p><p>Problema 2</p><p>¿ ses sen2x + senx</p><p>Simplifique E= ral”</p><p>A) senx B) cosx</p><p>, DD) secx</p><p>Resolución:</p><p>Es 2senxc cos x + sena</p><p>2cosx+1</p><p>e senx [2co5 FT]</p><p>Problema 3</p><p>]</p><p>S| sent+C0s x= 3»</p><p>halle sen2x</p><p>8 8 10</p><p>ES A) > B) 3 O 3</p><p>7 : 15 8 5 E</p><p>Resolución:</p><p>=</p><p>.</p><p>1</p><p>* De la condición: (senx 4-cos 1)” =(3)</p><p>al</p><p>sen” % + cos” x + 25enxcosx =</p><p>sen2y</p><p>1+sen2x=] = ¡sens --5</p><p>Rpta: D</p><p>Problema 4</p><p>Rpta: D</p><p>Reduzca:</p><p>M =8sen7,5c057,5*c0515*c0s5 30"</p><p>2 Sa A 5 yA C) y</p><p>C) escr ú 5</p><p>E) tgr D) 3 E) 5</p><p>Resolución:</p><p>M = + 4x2sen7, 5 cos7,5"c0515"c0530"</p><p>hs</p><p>M=2x2sen15"cos15"cos 30"</p><p>A = 2sen30"co</p><p>s 30% q</p><p>= sen60” => |M = =></p><p>Rpta: E</p><p>Rpta: A pta</p><p>Problema 5</p><p>Simplifique</p><p>M = (2c050 - sen20)(1+senb)</p><p>A) senó0 B) 2sen'd C) 2cos'6</p><p>D) cos*0 E) cos*0</p><p>Resolución:</p><p>M =(2c050 - 2sen9cosBNK1 +send)</p><p>M =2co50(1 -senG)(l + sen6)</p><p>M =2cos0(1—sen' 0)</p><p>M =2c050.cos*b</p><p>Problema 6</p><p>Simplifique</p><p>p=0082x+ sentx</p><p>cos2x-cos! y</p><p>A) 1 B) tan? y</p><p>D) cot? x</p><p>C) -tan? x</p><p>E) -cot? x</p><p>Resolución:</p><p>Desarrollando</p><p>2 1-2sen*x+sen?x</p><p>2cos*x-1—cos* x</p><p>- 1-senix</p><p>E=</p><p>costx-1</p><p>E ca cos? X</p><p>-sen'x</p><p>£JE= —ctg?x</p><p>Rpta: E</p><p>Proyecto Ingenio</p><p>¿A qué es igual</p><p>M =co0s*15"-sen*15" ?</p><p>A) 5 B) E 03</p><p>D) ya E) 5</p><p>Resolución:</p><p>M= (cos*15" +sen* 15%)(cos* 15"-sen? 15)</p><p>pa aa</p><p>1 cos 30"</p><p>M =co0s 30"</p><p>ro %</p><p>¿Mo 5</p><p>Rpta: D</p><p>Problema 8</p><p>Si: ctg x= 3</p><p>Calcular: tg2x</p><p>1 2</p><p>4 3</p><p>D) 3 E) 1</p><p>Resolución:</p><p>16</p><p>clgx=+ ”» a</p><p>3</p><p>1</p><p>2(3) tg2x = Z 18% = 84</p><p>l-tg"r 12%</p><p>Operando ..|tg2x =3</p><p>Rpta: E</p><p>DRM... a E</p><p>Problema 9</p><p>¿A qué es igual</p><p>Ba 2 10" ,</p><p>L-cp 35" -</p><p>Ayl 13) tan20" O tan 10"</p><p>1) tanso” 1) cot80*</p><p>Resolución:</p><p>21840"</p><p>] la 40"</p><p>[e 1880")</p><p>Kpta: D</p><p>Problema 10</p><p>Su clar —igx- 4,</p><p>halle: clg2y</p><p>l Egrv AS 4)- lg</p><p>l-(1-te7x)= dig</p><p>1_1 gr | 8 TEO</p><p>a to ly</p><p>ñ [ctg2x = 2</p><p>Rpta: €</p><p>Probiema 11</p><p>Simplifique</p><p>o JUcosio”</p><p>"NT coslÚ0"</p><p>A) tan=" + ona" CO tan10”</p><p>12) cot10" Ey 1</p><p>Kesolución:</p><p>A Bl AE AA</p><p>dE (E</p><p>Lcos*5"</p><p>sens” MER</p><p>cosh</p><p>[1 =tans”]</p><p>Rpta: A</p><p>Problema 12</p><p>5</p><p>M--2sent10" seno” y</p><p>NÑ =2e08 20" -sens0"</p><p>Indique el valor de (M)*</p><p>AJO B) 1 O 5</p><p>5 0 D) $ ></p><p>Resolución:</p><p>Por degradación del ángulo doble:</p><p>e Moel- cor207 + con?"</p><p>(M1)</p><p>as N=1 + gos" coro”</p><p>¡N= 1] AAAOO</p><p>(1) + EM</p><p>Rpta: !</p><p>TEO</p><p>Problema 13</p><p>Si 90"</p><p>nn</p><p>[r</p><p>ol</p><p>Además: sen</p><p>Hallando:</p><p>> -COS.X</p><p>14005</p><p>23 COSx</p><p>P</p><p>d</p><p>Rpta:</p><p>Rpta: E</p><p>GENT</p><p>Problema 16</p><p>Simplificar</p><p>/ + cosx 1</p><p>l= cos: io?</p><p>52</p><p>A</p><p>Ay 1 B) —1</p><p>DM) -2</p><p>Resolución:</p><p>Como rel</p><p>A 1</p><p>foo [Lieosr _ 3</p><p>VI osx te ></p><p>4 4</p><p>hor Y ( V Ec > - cla</p><p>0]</p><p>Problema 17</p><p>Reduca</p><p>Ñ 1] - secx)ctg o</p><p>A) sem 15) cos y</p><p>1 —lany</p><p>Resolución:</p><p>i |</p><p>A - (1 “- co )tese xa cter)</p><p>Fo q! COS y J 1 Lost)</p><p>COSA sena</p><p>E</p><p>SOMA</p><p>COSTSOTLV</p><p>02</p><p>190</p><p>Rpta: E</p><p>C) tanx</p><p>|:) tax</p><p>KR pta: 1)</p><p>Problema 18</p><p>Reduzca</p><p>A =escI0"+osc20"+ esc 40 +ctg40"</p><p>A) ctg5" B) lg" Cc) etgl0"</p><p>D) tgl0" E) 1</p><p>Resolución:</p><p>Recordar:</p><p>cla 5 = 050 + Cc lga</p><p>JA=eosciO"+ esc 20" Hesc40"+ctg 40"</p><p>AAA a</p><p>cta 20"</p><p>clg 10"</p><p>AAA 0 II AáAAÁAXAX</p><p>27</p><p>Rpta: B</p><p>Problema 21</p><p>Calcular</p><p>E=4c0s* 10"--3c05 10"</p><p>y p% 0 pu</p><p>ja</p><p>o) 2 E)</p><p>L</p><p>a</p><p>]</p><p>Resolución:</p><p>Como |cos3x=4c05' x-3cosa|</p><p>E=4c0s*10"-3cos10"</p><p>E=cos3(10") = E=cos30"</p><p>el y43 ¿JE=$</p><p>Rpta: A</p><p>Problema 22</p><p>Si clgx = z</p><p>Calcule: lg3x</p><p>13</p><p>AG B E)</p><p>Resolución:</p><p>n= A .</p><p>Se sabe: |tg3y = 228%</p><p>Pero: clgx= z 3 Igr=3</p><p>_-33)-6)</p><p>1-3(3)</p><p>Operando: .. | igdx= $</p><p>tg3x</p><p>+</p><p>Rpta: €</p><p>Problema 23 5</p><p>ps sen3x+ sen Y Simplificar Y ===</p><p>COS” x COS” Xx</p><p>A) clgx B) secx C) escx</p><p>D) tgx E) senx</p><p>Resolución:</p><p>_ 3senx—4sen*x+sen"x</p><p>Ú == 3 A :</p><p>cos" 1—-(4c0s*x-3c05.x)</p><p>4 3senx—3sen e</p><p>3cosx=3cos? y</p><p>_ senx.cos” x</p><p>cosx.sen*x</p><p>7 = £05%</p><p>L Ser</p><p>[0 = ctgx]</p><p>Rpta: A</p><p>Proyecto Ingenio</p><p>END.</p><p>Prob'zma 24</p><p>Si Cscx =: ÓCOSx</p><p>calcular cos4x</p><p>A) 1/9 B) 2/9 Cy) 1/3</p><p>D) 5/9 E) 7/9</p><p>Resolución:</p><p>De la condición se obtiene:</p><p>e COX</p><p>SON</p><p>. = ISONACOSY</p><p>3</p><p>de sen2v</p><p>E |</p><p>Luego:</p><p>cosá4X = |] - 2sen 2x</p><p>Te 7</p><p>cos dí =1- 23) = ;</p><p>Rpta: E</p><p>Problema 25</p><p>Dada la igualdad ,</p><p>(senx 4 cosv)(cosx — seny) - 7 Sen2x,</p><p>halle Sen</p><p>cosí(x + 1)</p><p>A)1 B)1/2 O)</p><p>Dm -1 E) 1/2</p><p>Resolución:</p><p>De la condición:</p><p>(senx + cosy)(cosx — senv) = y Sen2x</p><p>SOnYicos: — Senxseny + COSICOSy —</p><p>Senycost => (2senicosx)</p><p>- AS da E</p><p>Ordenando:</p><p>COS COST -Senísend - senyeos y</p><p>—</p><p>mA</p><p>cost + y] a EE</p><p>Sen2y_</p><p>costx + 1)</p><p>Rpta: €</p><p>Problema 26</p><p>Calcular</p><p>Ro [E ol cos4]" 5)</p><p>sen29" cos29" cos 17" senl7”</p><p>Ay 1 B) 1/4 042</p><p>1D) 4 E) 1/2</p><p>Resolución:</p><p>R [sos27" cos 29" sen27"sen29" -)</p><p>. gen29" cus 29"</p><p>[en "sent?" lsendl" cos 17" ]</p><p>DS cos ! 7"senl 7</p><p>cos(27"+29%) sen(41" 117")</p><p>Ri: (se n58* T pe n34</p><p>( 2 a]</p><p>_Acos56*:sen58"</p><p>sens8"senS4”</p><p>Rpta: D</p><p>Problema 27</p><p>Reducir la expresión</p><p>cos20(senú +cos0)</p><p>a Er ER</p><p>_ -( +Sen2ONCOsO su n0)</p><p>N1 B)2 0 ></p><p>D) -3 1) 1</p><p>IDO ata</p><p>Resolución: A ee 2 Accór+B</p><p>- cos2MXsenú +cos0) o</p><p>ndice e</p><p>Recuerde: ] ze sax a =Acset2x+B</p><p>3 3</p><p>(send + cos0)' =1+sen20 4 ,</p><p>=> A: 3 y E= E</p><p>js [eos 0-sen*0)(cosO + send)</p><p>o A A=B=2</p><p>(send +cos0) (cosO sent)</p><p>Rpta: B</p><p>- (cos0 -sen0)(cosd +send)”</p><p>- (sen0+cos0)(cosO0 send) A</p><p>Si lgx + senx = cosy</p><p>EE calcule: L = 1tg2x 4 sen2x</p><p>A B) 2 033</p><p>Problema 28 Dar Do sen2x = 1 - gir (1)</p><p>D) 4/3 E) 5/3 o</p><p>cz sentx</p><p>Resolución: También sen2x=1- A</p><p>sentx+cos? x ) ES (o0s2x</p><p>— —— A = NC 24 + B Sener =-—></p><p>l-(sentx+cos” x) cos”</p><p>=> (g2x = secir (2)</p><p>_A2senircos ta to</p><p>1--(1-3sentxcosx) Reemplazando (1) y (2) en L:</p><p>|.= tg2x + sen2x</p><p>2 2 a —</p><p>. Y Xx 1-2sen“xcos Le 2. (2) (1</p><p>EF Acsc2x+ B</p><p>3Isenóxcos” x</p><p>L=secx+1- EgTx</p><p>Separando en fracciones parciales: —— |</p><p>es -£-Accd2r+B ¿L=2</p><p>3sen“xcos x 3</p><p>Cher</p><p>Problemu 30</p><p>Siosenda 4) (sento senx),</p><p>“Pro lo 1] equivalente de</p><p>isenyásen2 y</p><p>V serv + sen2y</p><p>ve son 45 agudos)</p><p>' sen</p><p>lO SII OIN 1)</p><p>sent</p><p>Qe</p><p>SA</p><p>SUTIL E STA 1) senx</p><p>2solución:</p><p>la condición:</p><p>|</p><p>y (sent senx) MY yy</p><p>AICOS) — COSYSCT) sent — sena</p><p>actorizando:</p><p>semflcost « 1) = seny(l + 2cosv)</p><p>Zposr+.] sen»</p><p>Tinsi+]. sen</p><p>|</p><p>senti2cos vil) sen”;</p><p>soml2cosxai 1) sena</p><p>a 2 sendre sent sentv</p><p>z Mar - Le (1) sentí sen: senta</p><p>“cemplazando (1) en E, resulta: ,</p><p>k ia Loss</p><p>] senti :Senv ¡sonTy</p><p>Vesen2r e seny Msentx</p><p>AN</p><p>SL FLY</p><p>. [S=135] Rpta.</p><p>a</p><p>PROBLEMAS R ESUELTOS</p><p>Problema 1</p><p>Del gráfico, expresar * x” en función de</p><p>“a” y =p"</p><p>A) x+0 B) x-0 C) O-a</p><p>D —a-0 E) 2a-8</p><p>Resolución:</p><p>Dando a los ángulos trigonométricos el</p><p>mismo sentido.</p><p>Se cumple: [x = a —0]</p><p>Rpta: B</p><p>Problema 2</p><p>En el gráfico, hallar * x ” en función de</p><p>los otros ángulos trigonométricos.</p><p>A) 0-90" B) 90”-0 CO) 90%+0</p><p>D) -90”-0 E) 0-180*</p><p>Resolución:</p><p>Dotando a los ángulos trigonométrico</p><p>el mismo sentido.</p><p>Se cumple: 0-—x=90*</p><p>s, [lx =0-90*</p><p>Rpta: :</p><p>Problema 3</p><p>De acuerdo al gráfico, señale lo correct</p><p>x</p><p>y</p><p>A) x+ y =180* B) x+ y =360*</p><p>C) x-y=360*</p><p>Dj) x- y =180" E) x- y =270*</p><p>Resolución:</p><p>Del gráfico, se cumple:</p><p>y +x- 907 +90"= 3607</p><p>2 lx y = 3601 |</p><p>Rpta:</p><p>E AAN a</p><p>Resolución:</p><p>—-.</p><p>lalle “ x ” en función de “au” si OQ es</p><p>isectriz del 4 AOB.</p><p>5ys 32900</p><p>—— ————</p><p>Del gráfico se cumple:</p><p>-3x -90 + ez = 180%</p><p>10%</p><p>9v -3r=9004+ 2 a Y + > 180</p><p>ay: de 9 3y 1) a5 3 B) 30*+ > C) 45 > rr O > mE 60</p><p>._2 45”-a 3v-2x</p><p>) 5 2 E) 2 Operando: A</p><p>tesolución: Rpta: €</p><p>Problema 6</p><p>Calcular:</p><p>E. rad —- 20 m*</p><p>E=</p><p>6n?</p><p>A) 1 B) 3 O5</p><p>Jel gráfico, se cumple D) 7 E)9</p><p>aL S al</p><p>e = > =90%4> Resolución:</p><p>Convertimos a grados sexagesimales:</p><p>Rpta: B</p><p>T , 1807 o</p><p>>roblema 5 Sa</p><p>Jel gráfico, calcular: 20m% - z 7 18m" E 3y-2x , 10</p><p>6 Reemplazando en * E”</p><p>q</p><p>ES 60m*-18m" _ 42m"</p><p>5y8 e, _ . - [E=7</p><p>A) 10 B) 20 C) 30</p><p>3) 15 E) 40 Rpta: D</p><p>t</p><p>w</p><p>i</p><p>t</p><p>t</p><p>e</p><p>r</p><p>.</p><p>c</p><p>o</p><p>m</p><p>/</p><p>c</p><p>a</p><p>l</p><p>a</p><p>p</p><p>e</p><p>n</p><p>s</p><p>h</p><p>k</p><p>o</p><p>IN O at o AT</p><p>Problema 7</p><p>Del gráfico, calcule “n”</p><p>A) 1 B) 2 03</p><p>D 4 E) 5</p><p>Resolución:</p><p>Convertimos a grados sexagesimales</p><p>160n* 9</p><p>TN 167”</p><p>E n rad = 607"</p><p>3</p><p>Por ser ángulos internos de un A:</p><p>1410"+16n"+60n”= 180"</p><p>90n =180 =>...</p><p>Rpta: B</p><p>Problema 8</p><p>Si</p><p>1832'41"+21714"22"+372612"=a"b'e"</p><p>calcular:</p><p>A) 1 B) 2 C0)3</p><p>D) 4 E)5</p><p>Resolución:</p><p>18" 32 41” +</p><p>21" 141 22”</p><p>3" 26' 12"</p><p>427 72 75"</p><p>43 13 15"</p><p>o e</p><p>a” hb" e</p><p>[a = 43] [6 =13] [e=15]</p><p>Hallando “K ”:</p><p>K- 43-13</p><p>15</p><p>Rpta: B</p><p>Problema 9</p><p>Calcular:</p><p>12" 293</p><p>y</p><p>2 3</p><p>M =</p><p>A) 23 B) 61 CO) 62</p><p>D) 71 E) 72</p><p>Resolución:</p><p>11600 7 260 3</p><p>= — A + —</p><p>PET ZST</p><p>M=3041+40+1</p><p>M</p><p>Rpta: 1</p><p>Problema 10</p><p>Los ángulos interiores de un triángulc</p><p>miden:</p><p>la</p><p>¿(AX)? y pan</p><p>( 160x</p><p>UY Lale</p><p>Problema 12</p><p>Siendo de 5 . de C m” y mi pr las medidas de</p><p>y 161 B) 151 C) 181 un mismo ángulo, reducir: .</p><p>y 211 E) 231 20 S-30R 3</p><p>tesolución: E +HA0N Z</p><p>"ransformando los ángulos a grados A) 1 B)2 a : ></p><p>exagesimales. ></p><p>: 3 4 “160 9 D + E) = O</p><p>—=16x"</p><p>9 ) pora S s 3</p><p>Y rad = 30x* Resolución: S</p><p>sabe: 0</p><p>in un Á se cumple: Se sabe: "y</p><p>6x" + 30x” + 14x” = 180" AER 5</p><p>tesolviendo: [x= 3] S=9k]; [C=104]; => =</p><p>lallando “E” =</p><p>93 o</p><p>Es rá 3' 2x(9k)-30 a)</p><p>: ; 20 l 39</p><p>resolviendo: NN = —_—_——_—_—L 3 N =</p><p>TÁ 2x11</p><p>Rpta: € ;</p><p>rica Problema 11 Operando: * N =5</p><p>siendo “5 * y “C ” las medidas en grados</p><p>sexagesimales y en grados centesimales —.”</p><p>de un ángulo no nulo, reducir: pta:</p><p>M= pee Problema 13</p><p>Cc-=85</p><p>AA Siendo “$5 y “C” las medidas</p><p>A) 6 B) 12 C) 18 convencionales, calcular:</p><p>D) 8 E) 16</p><p>Resolución: ema Cc Pe</p><p>Se sabe : [S =9k]; NaAc=S) Y CS</p><p>mM = 2009-29) _, yy _ 30-184 | Xy</p><p>+ 41 =12 D) 3 E) 4</p><p>Rpta: B</p><p>AI</p><p>Resolución:</p><p>Se conoce: [S = 9k|; [C==T104</p><p>Reemplazando en “Q ”</p><p>e</p><p>10% po ger)</p><p>O-=</p><p>Nk)</p><p>Operando. 0=0</p><p>Rpta: A</p><p>Problema 14</p><p>Calcular el número de grados</p><p>centesimales si se cumple que:</p><p>(254 CY (5-20) =181C</p><p>Siendo “S * y *C ” las medidas</p><p>convencionales.</p><p>A) 10 B) 20 0) 30</p><p>19) 40 E) 50</p><p>Resolución:</p><p>Desarrollando:</p><p>5740?) = 1810</p><p>Se sabe: $S=9k] a [€ =104]</p><p>5(1814*) =181(10k) => [4 = 2]</p><p>Piden: € +*10(2) =>... [C= 20]</p><p>Rpta: B</p><p>Problema 15</p><p>Siendo: “S %,¿*C * y UK ” los valores</p><p>conocidos, se cumple:</p><p>s fe f20R ,</p><p>a</p><p>: ld</p><p>Calcular:</p><p>m= +03</p><p>A) B)2 0)3</p><p>D) 4 E) 5</p><p>Resolución:</p><p>Se sabe que: S=9k; C=10k a r-</p><p>Reemplazando en la igualdad:</p><p>19% Ok 20 xk</p><p>y — + Y 4 M— — = 3</p><p>g 10 = 20</p><p>Vk + Yk + Yk =3</p><p>Resolviendo:</p><p>Hallando: “M”</p><p>mM [BT</p><p>MM =4/3+10+3 => M =V16</p><p>.|M =4</p><p>Rpta: L</p><p>Problema 16</p><p>De la figura que se muestra, calcular e</p><p>valor de * x*, en el sistema radial.</p><p>B) 20></p><p>D) 18" E) 9</p><p>A) -20* C) -18"</p><p>LL MO</p><p>tesolución:</p><p>-ambiando de sentido el ángulo — x.</p><p>r+3r+x=90" => x=18"</p><p>Rpta: B</p><p>*roblema 17</p><p>Jel gráfico hallar ” y</p><p>A) 105 B) 1157 C) -125"</p><p>3) -130" E) -135”</p><p>Resolución:</p><p>Cambiando todos los ángulos a sentido</p><p>intihorario.</p><p>B</p><p>De la figura:</p><p>90%+10%-x +(=x - 107) = 3607</p><p>=> x=-135</p><p>Rpta: E</p><p>Convertir 1”</p><p>OA MTI</p><p>- Problema 18</p><p>(x segundos sexagesimales</p><p>a radianes)</p><p>AT</p><p>d E</p><p>Aza” B) 0 iS</p><p>MT d</p><p>O rason</p><p>xE E d</p><p>D) 2” Pro</p><p>Resolución:</p><p>Recordar: 1? = 3600”</p><p>mesmo E nrad_ xT</p><p>y =Ux</p><p>3600 180" "648000</p><p>Rpta: B</p><p>Problema 19</p><p>Ordenar de mayor a menor</p><p>a=0,199 P=0,204* 0=0,002x a rad</p><p>Aj0>a>p B)6>f>a</p><p>OP>a>0</p><p>D a>p>090 E a>p>0</p><p>Resolución:</p><p>* a=0,194*</p><p>Ñ 7 o . $ =0,20a Wer 0,184</p><p>. G=0,0021 a q PE BN 364”</p><p>n Jad</p><p>Luego, se cumple:</p><p>0>a>p</p><p>Rpta: A</p><p>OX</p><p>YS</p><p>UI</p><p>AR</p><p>|L</p><p>9/</p><p>LU</p><p>O0</p><p>9"</p><p>19</p><p>JJ</p><p>1M</p><p>]</p><p>ADE ARA nl</p><p>Problema 20</p><p>Siendo el número de grados</p><p>sexagesimales y centesimales de un</p><p>mismo ángulo dos números pares</p><p>consecutivos, calcular la medida del</p><p>ángulo en el sistema radial.</p><p>T T 2</p><p>—rad — rad ——rad A 5 C B) 0" C) q</p><p>Tí T</p><p>—rad — rad</p><p>2 E) 60</p><p>Resolución:</p><p>Sean $ = 2n y C=2n+2</p><p>Z*, ad o s E_ 20R</p><p>yne€ a emás: 910 z</p><p>2n 2n+2</p><p>Reemplazando: 910 > 2n = 19</p><p>Luego: 5 = 18</p><p>18 20R T A a Entonces: 9 - 10</p><p>Rpta: B</p><p>Problema 21</p><p>Si “5” y “C” son el número de grados</p><p>sexagesimales y centesimales de un</p><p>ángulo, hallar su medida en el sistema</p><p>radial sabiendo que:</p><p>S$S=vYx-1-5 ; C=yx-1-2</p><p>r</p><p>AY E B= az 5 20 17</p><p>D) ¡ a E) 55</p><p>"MZA</p><p>Resolución:</p><p>S=x4x-1-5 (1)</p><p>C=yvx-1-2 (2)</p><p>$ C 20R</p><p>Se sabe que: o</p><p>Reemplazando:</p><p>e=t=9 5 _ de 12 1-2</p><p>9 10</p><p>104/x-1-50=9y/x=1-18</p><p>Jx=1 =32</p><p>En (1): S=32-5=27</p><p>Luego: LR q</p><p>1eB% 9 2 20</p><p>Rpta: !</p><p>Problema 22</p><p>Reducir la expresión:</p><p>C+5 TC+20R</p><p>25 15 -20R</p><p>E =</p><p>Siendo S, € y R, los números de grade</p><p>sexagesimales, centesimales y númer</p><p>de radianes, respectivamente, de u</p><p>mismo ángulo.</p><p>A) 0,001 B) 0,01 C) 0,1</p><p>D) 1 E) 10</p><p>Resolución:</p><p>STAR</p><p>Se sab La =—= sabe que: 97m. ”</p><p>20</p><p>e INEIJIOR</p><p>T</p><p>¡=9 C = R=-—1 ; n lOn 20</p><p>teemplazando en “E”:</p><p>x10n+20 2 p- [1Mn+9m "099"</p><p>229 10n 1x9n-20 1</p><p>90 Mer 2 A</p><p>8n Ban</p><p>Rpta: D</p><p>Problema 23</p><p>Determine la medida radial del ángulo</p><p>para el cual se tiene que: (R > 0)</p><p>E</p><p>A E</p><p>T</p><p>ayan B) 41 C)x</p><p>5 a</p><p>21</p><p>DE y E ) 5</p><p>Resolución:</p><p>Se sabe que:</p><p>3.6.</p><p>As => 5=9nyC=10n</p><p>Reemplazando en la ecuación dato:</p><p>2</p><p>25R +35)</p><p>Tí</p><p>2</p><p>rx19n -5| 25R +3n]</p><p>T</p><p>r(10n+9n)= |</p><p>La E</p><p>ap 5 2</p><p>197 = 258 3 2 1672 HE</p><p>ñ T</p><p>E AR</p><p>25 5</p><p>Rpta: B</p><p>Problema 24</p><p>Se sabe que 5 y R son los números de</p><p>grados sexagesimales y radianes de un</p><p>ángulo y se cumple;</p><p>AS+5R rn5-5K</p><p>+ =124</p><p>5</p><p>Hallar "R”"</p><p>A)1 B) 2 O3</p><p>D) 4 E) 5</p><p>Resolución:</p><p>S=180k; C=200k; R=xuk</p><p>Reemplazando en la ecuación dato:</p><p>AS 5mk 5 1.1804 —5nk - 124</p><p>185rk 4 175xk</p><p>5 7</p><p>37nk + 25mk = 124</p><p>=124</p><p>Luego:</p><p>SENT - AO NATA</p><p>Problema 25 Se sabe que:</p><p>Ll doble del número que representa la e</p><p>medida de un ángulo en radianos más el 180 200 au</p><p>triple del número que representa la 51804; € -2004; K= xk; x= 3</p><p>medida del mismo ángulo en grados</p><p>Reemplazando en (1</p><p>sexagesimales, es igual a 1092,56. Hallar di a cibliid</p><p>el ángulo que satisface la condición 2x4 + 3x 1804 - 1092,56</p><p>(utilizar n= 3,14) * 2mk + 5A0k = 1092,56</p><p>K(2 1 + 540) = 1092,56</p><p>A) 300* B) 400: C) 500: (23,14 + 540) - 1092,56</p><p>1)) 600* E) 700" A(6,28 E 540) = 1092,56</p><p>546,28 = 1092,56</p><p>Resolución:</p><p>k=2</p><p>Sea) =8$*=04 =Reorad : UOYo:</p><p>Según la condición: C = 2004 = 200 x 2 = 400</p><p>2RK + 3 = 1092,56 (1) O = 400%</p><p>Rpta: )</p><p>1</p><p>A ROBLEMAS DE F, XAMENES DE ADMISIÓN</p><p>RKpta: €</p><p>ME a</p><p>Problema 3 1</p><p>Hallar BD,</p><p>si AB 17 ADE. 10</p><p>e</p><p>A y (</p><p>Aj) 21 B) 23 O 20</p><p>DD) 25 EJ 28</p><p>Resolución:</p><p>H</p><p>m= 7</p><p>y? cad — AL ABD; cos2x = En</p><p>10</p><p>BED: son = y,</p><p>Como cosla - 1 -—2sentr</p><p>Reemplazamos:</p><p>+ f na 17 o [10</p><p>E LM</p><p>Ordenando:</p><p>O= m — 17m -— 200</p><p>O =p» -17m- 200</p><p>m JE 25</p><p>4 LE o 3 “Y</p><p>nt</p><p>O (m-— 25)(m +8)</p><p>5edonde m..25</p><p>Kpta: D</p><p>AA ns esa</p><p>Problema 32</p><p>En el gráfico. mAOB=2mCÓD.</p><p>Calcular “cosx"</p><p>e EE A</p><p>o e APN</p><p>PL 5 .. A</p><p>¿ CT - e 4</p><p>|. É E E A l</p><p>D O E</p><p>A) 5/16 B) 3/17 O 7/18</p><p>D) 5/18 E) 6/17</p><p>Resolución:</p><p>s o = : E A</p><p>z ></p><p>£ EAN</p><p>07 l- E »</p><p>A [A 7 Y,</p><p>¿ A A 1</p><p>1 5 a F l</p><p>L- senZy= s2x=-=</p><p>e >? 6</p><p>Se pide:</p><p>sendx+1-cos4x i=2s AAA</p><p>sendi+l+cosdx</p><p>(2sen2xcos2x)+(2sen*2x)</p><p>(2sen2xcos2x)+(2cos* 2x)</p><p>B=</p><p>II</p><p>_ 2sen2x (cos2v+-serzx)</p><p>— 2c052x (sen2a+cos2x)</p><p>sendx</p><p>cos 2x</p><p>Luego: B= sa</p><p>É=</p><p>Rpta: A</p><p>Problema 35</p><p>sing[ 152) E2—, donde a, b y e</p><p>b- ¿COS y</p><p>son números enteros positivos, y</p><p>Xx v El</p><p>te —= dt e. . , 85 83: calcule ()</p><p>7 B - C E A) 2 ) 8 ) 5</p><p>4 " 5</p><p>D 7 3</p><p>Resolución:</p><p>En la condición, sea</p><p>Loy Uuseny = | 1</p><p>ls 1813 E b=e-cos y a)</p><p>x y</p><p>- 478)</p><p>1191497</p><p>Como (85 =Alg5, tenemos:</p><p>"EMAIL</p><p>dtg=-tgó</p><p>5. —2</p><p>Pasando a senos y cosenos:</p><p>e</p><p>, =.“wy?</p><p>3sen? cos” pl</p><p>. 22</p><p>cos” > +4sen? 2</p><p>z a Sabemos que:</p><p>yo y _ ¿E</p><p>a 25en cos ] 8 [I-cos0 .s</p><p>E=— 4 . sen== |—— ss roo</p><p>> 2 Y >» V 2 Z</p><p>2005” 2 + 4(25en* :</p><p>2 2 ,</p><p>7 ra 7</p><p>cos 1 Izoos y sen== |— (1)</p><p>2 10 ]</p><p>Finalmente, en (1):</p><p>1 2</p><p>| [ . cos O 5</p><p>pr de 2 2 2</p><p>5-3cosy b-e-cosy</p><p>c=3 E</p><p>cos=== (2)</p><p>a _3 2 10</p><p>bre 8 Luego reemplazando (1) y (2) en N:</p><p>Rpta: B Ñ 3</p><p>N= mz i 943 f)</p><p>Problema 36</p><p>Sabiendo que sono; n L=- 2 e</p><p>2</p><p>L, = sen5”</p><p>Kpta: €</p><p>Problema 38</p><p>Sabiendo que:</p><p>: Be, it</p><p>289</p><p>calcular t B E 54</p><p>O 5/3</p><p>E) 4/5</p><p>A)5/3</p><p>D) -3/5</p><p>B) 3/5</p><p>Resolución:</p><p>240) 5T</p><p>J : 70 = — +0 e Por dato: se 289</p><p>de leía</p><p>aa dd de</p><p>Tenemos:</p><p>0 (3 )</p><p>El —¡—) 005 tBg-= l+cosa) | 1+cosf</p><p>Y » ></p><p>E=2| —E2 AHH</p><p>14 — (1+ -</p><p>a+l a+l/</p><p>í E</p><p>nh HE)</p><p>1a+3 a+3</p><p>e =1</p><p>Rpta: E</p><p>a</p><p>Problema 40</p><p>Reducir la expresión</p><p>E =ctgx+ cosal tgx- 163)</p><p>A) senx B) escx C) tgx</p><p>D) cosx E) 2ctgx</p><p>Resolución:</p><p>E= clgx +0osa tex-tg</p><p>sen[x- -</p><p>E = Cta + Cosx</p><p>E=ctgx+ 85 = CScr</p><p>tr</p><p>SCA CHT</p><p>Rpta: B</p><p>Problema 41</p><p>Reducir</p><p>_ escdr + csc2x csc2y—escáx</p><p>ctgr—ctgdx z tgx + clg4x</p><p>A) 2ctax B) 2tgx 2</p><p>DO t E) 2csx</p><p>Resolución:</p><p>Recuerde:</p><p>» clg > = CSCX + Clgx</p><p>. 85 =€5Cx — Clgx</p><p>EMO</p><p>En les denonmnadores de 1:</p><p>ascdv+ oc or otr</p><p>Sc2y+ clg2x ad esca ely +elgdx</p><p>y cscdr á csczv</p><p>esc2x + “escdr+clgdo —clgdr</p><p>UsgZy - CA +y</p><p>+ e hn</p><p>esc2a esca cedo +clgdx</p><p>escha a] esclr csedr</p><p>fr —= e</p><p>exc ed esciár esca</p><p>Rpta: €</p><p>Problema 42</p><p>¿Cianto vale Cp en</p><p>gx -clgr clas + lg7r- clgx. clar -</p><p>+ lyo=- clpx clar = 8</p><p>“1</p><p>csc2x i csc2i + 0502: + clelr -</p><p>+ Ctg2r + clg2: ?</p><p>2)</p><p>A) B)6 Ej-3</p><p>PJ</p><p>5</p><p>-</p><p>D)</p><p>Resolución:</p><p>De la condición:</p><p>(escix- -ctu2x) + (csc2r — ctg2r) +</p><p>. A</p><p>bi</p><p>(esc2z—etg2:) = 0</p><p>=> lg 4 tgv + tg =0 (1)</p><p>En”:</p><p>a. ya ta” y 4 -</p><p>teria tezlgx tevtgr</p><p>CTA a!</p><p>gx ria "y mb =</p><p>bx: lar+t</p><p>De (1):</p><p>como: lgx + ler + lez 0</p><p>lglx +1glr+tg' >= 3igr- lev lg</p><p>Reemplazando (3) en (Q):</p><p>, Mgr:tev-ta-</p><p>ET o io</p><p>tux- tar tez</p><p>+</p><p>Hi=>a</p><p>ia</p><p>(2)</p><p>(3)</p><p>Kpta: A</p><p>Problema 43</p><p>A partir de</p><p>A</p><p>viscia + eClEr= cla lx + Y OeSsen</p><p>se comprueba que</p><p>yesc2x " yclg2x</p><p>SÁ SOM) A</p><p>SUSON + clar</p><p>Calcule ln +2)</p><p>A) 2 1) 1,5 ErS</p><p>D 2,5 E) 0,5</p><p>Resolución:</p><p>De la condición:</p><p>Jesc2x - Jelg2x =ÍCSEN y clar =></p><p>esca Y - Ae</p><p>De la condición: 0)</p><p>A</p><p>A</p><p>qa ct 2x</p><p>189 — = SC (MX) + MH</p><p>(1)</p><p>(2)</p><p>CATRE 0 BB MITA</p><p>Multiplicamos (1) y (2) Problema 45</p><p>esc2r—ctg2y | Calcule</p><p>——_——__2- CMA) AH A</p><p>escx—cigx : y o V3sen21" pl cos21* ]</p><p>2cos14"+1 2c0514”-1</p><p>E = secímx)+n</p><p>5> A) 3/5 B) 3/7 (0). 2/3</p><p>D) 6/5 E) 3/10</p><p>=> tgxlescx=+ctgr) =secímx) +n</p><p>secr+1=secimi)+n >m=1lAan=1 Resolución:</p><p>md Apliquemos:</p><p>senda = sena(2cos2a +1)</p><p>Rpta: A</p><p>cosda =cosa(2cos2a —1)</p><p>Problema 44</p><p>o 11 = A3sen7*(2cos14> +1)</p><p>sabiendo que a ostia</p><p>) 1</p><p>JAsenx + cos x= , Y cos7o(2cos14%-1)</p><p>calcule cos3x (2c0514”-1)</p><p>A) 2/9 B) 1/8 C) 3/16 M =yV3sen7"+c0s7"</p><p>XA a</p><p>D) 7/16 E) 11/16, ae)</p><p>6</p><p>Resolucion: : M=2sen37"= 5</p><p>:</p><p>De la condición: YV3senx+cosx</p><p>ENT , Rpta: D</p><p>sen(x +30") = 1 Problema 46</p><p>4</p><p>Reducir</p><p>* Tenemos:</p><p>sen3x + 30% = 3sen(x + 30”) —4sen'(x + 30)</p><p>E 90") = aL) sen(3x + 909) = 4 a)</p><p>cosóx = a</p><p>1</p><p>Rpta: E</p><p>C = sen3 f).csc 1 — 2c082 P (tg2 P tg f +2)</p><p>A) 1 B) 2 O -—2</p><p>DJ . E) 3</p><p>Resolución:</p><p>_sendP _ ena E= e 2cos2P(tg2P-tgB +2)</p><p>-EBETS</p><p>seni(2cos 2-1)</p><p>E senH .</p><p>2c052P[tg2P.(csc2($--cot 2/3) +2]</p><p>Co (2cos2f8 +1) — 2co82 f) [sec2 Y -1+ 2]</p><p>(> Ze0s2P + 1-— 2c052 f) (sec2B +1)</p><p>C= 20082 +1-2c0s2Bsec2f4-2c052P</p><p>A A</p><p>l</p><p>-1</p><p>Rpta: D</p><p>Problema 47</p><p>Del gráfico hallar "y</p><p>mi</p><p>20</p><p>A</p><p>m + AR 3 A Ez</p><p>) 2 mi ) 2 m</p><p>n mn -- A</p><p>) 2 m</p><p>py fon y [mon</p><p>) a V m ) 2 n</p><p>CL</p><p>Resolucion:</p><p>SABO: AB mcos30</p><p>ABI AB pcos0</p><p>Igualando (1) y (2), tenemos:</p><p>mcos 30 = cosÚ</p><p>mses0(2c0s20—1)-nuesO</p><p>H</p><p>2c0520 -1=—</p><p>di</p><p>H+ni</p><p>cos20 rolls</p><p>2m</p><p>» NT]</p><p>]=2sen*h=-———-—-</p><p>1 mi</p><p>Pb</p><p>y</p><p>1 La” o + on |m-</p><p>nm 2m 2 y y</p><p>Rpi</p><p>Problema 48</p><p>En la igualdad sen-60" — senóx = kse</p><p>hallar "k”.</p><p>A) 3senx B) Scsex</p><p>O) Es na —Sunx</p><p>24</p><p>DY) o</p><p>4</p><p>Resolución:</p><p>De la condición:</p><p>sen” 60" -sen?x = ksen3x</p><p>sen(60"— x).sen(60" + x) = ksen3x</p><p>sen(60”— 1). sen(60" + x) =</p><p>k.4senx.sent60". = Msen(60* + x)</p><p>Despejando:- ' se Y</p><p>Kpt:</p><p>></p><p>4</p><p>ln</p><p>senl0? cosl0”</p><p>E al cos60” a</p><p>sen10” cos10”</p><p>¿_ Acos10*cos60”-sen10”sen60”)</p><p>(sen10”cos10”)</p><p>y 2cos70"</p><p>- sen20*</p><p>2</p><p>Es ¿Sen20" 4</p><p>sen20"</p><p>R pta: E</p><p>Problema 2</p><p>Hallar la suma de los valores de</p><p>x€[0;21] que satisfacen la ecuación</p><p>sen(2x)csc(x)-1=0 (SM 04-1D)</p><p>A) 3n B) 51 C) 4x</p><p>D) 2 E) xi</p><p>Resolución:</p><p>senZ2x cscx —-1=0-</p><p>KA A A</p><p>l</p><p>¿Sen COsx ——</p><p>senx</p><p>SAME AO TIA</p><p>sonrie</p><p>:</p><p>(laa)</p><p>Y</p><p>> 2cosx-1=0 sendas es</p><p>+ Costa + rob E senda)</p><p>pe US ena pS lisenla</p><p>=> COSY= 1 r senda</p><p>2</p><p>Analizando en la C.T: / e</p><p>Y y7 st</p><p>Á dl</p><p>E</p><p>us =l</p><p>o Rpta: C</p><p>Problema 4</p><p>Si x es un ángulo agudo tal que</p><p>secresex=242, hallar el valor de</p><p>lsentr=costx. (SM '05-11)</p><p>IS</p><p>Me A) Y2 13) 3 O 242</p><p>La suma de valores de x es 2x1 2 2 iS: :</p><p>3 JZ</p><p>Rpta: D D) 3 E) e</p><p>Problema 3 Resolución:</p><p>El valor de x al simplificar la expresión Del dato se obtiene:</p><p>_(l+tga (Iosenza , E 1</p><p>(pue e] (SM '04-1) 2Senxcosx</p><p>A) 1 + senla B) lga ás 42 = sen2x = eb '</p><p>8 sen2x E</p><p>6) 1</p><p>De donde cos2r= +2</p><p>D) -1 E) sen2a</p><p>Piden hallar:</p><p>Resolución:</p><p>y= lsentx-cost xl</p><p>¡Sena a</p><p>o coso -sen2a</p><p>*=| sena (pHeenza pu (sen? a cos?x)</p><p>cosa l =c052x</p><p>2</p><p>cosa +sena v=|c0s2x1 => l sol => y= 2</p><p>Y= sosú (Iosenza)</p><p>: cosa -—sena l+senla</p><p>A</p><p>Rpta: A</p><p>A pese</p><p>Problema 5</p><p>Si” senrx+cosx=a, hallar</p><p>M=cos*2x-sen2x-1 (SM 05-11)</p><p>A) a?(1 -a*) B) a (1+a?)</p><p>C) a?*-1</p><p>D) a (a?-1) E) 2 Uat 1)</p><p>Resolución</p><p>Del dato: senx+cosx =a</p><p>Al cuadrado: 1 + 2senxcosx =p</p><p>1 +sen2x= a?</p><p>sen2r= a? —]</p><p>Al cuadrado:</p><p>sen? 21 = (a? - y</p><p>1-cos*2x=(a? 1)</p><p>cos? (21)=1- (a? -1 y</p><p>Reemplazando en:</p><p>2 ” M=1-(u?-1) -a?</p><p>=(1-a?)-(1-a?Y</p><p>M=(1 -a) , (1-a?)]</p><p>M=a4(1-a?)</p><p>Rpta: A</p><p>Na e a do</p><p>Problema 6</p><p>cosa La e LO50L_</p><p>expresión sa E equivalente a:</p><p>(SM 041)</p><p>TF</p><p>B) t[a 5)</p><p>TL</p><p>asa-3)</p><p>C) aga +5)</p><p>odio) ali</p><p>Resolución:</p><p>Sea</p><p>p =-£05a</p><p>l-sena</p><p>que equivale a:</p><p>a 2) En 3)</p><p>e cos: a</p><p>14 2 la 2</p><p>></p><p>E sena]</p><p>1 -c0s a)</p><p>2</p><p>——</p><p>2 E a)</p><p>2)</p><p>INEJIO</p><p>Problema 7</p><p>tap 45) DEJA hallar sen 24. (15M</p><p>04-110)</p><p>bl a] il</p><p>A) 5 13) 73 0) ></p><p>Lai? . a] bla</p><p>mi úl</p><p>13) " 1 RÁÑ</p><p>| 1 o .</p><p>Resolución:</p><p>IA r];</p><p>Sisabe ie(A. B)=-" 'E</p><p>l- ERA Lgb</p><p>S 1 yA</p><p>Dela figura: teo 27</p><p>Nos piden: A ES</p><p>3 ve</p><p>E "</p><p>Lin l Y Ma il Ye</p><p>Ei E</p><p>A A</p><p>Problema Y</p><p>leoseno del menor angdo quie Jornian</p><p>mom hexdecro regular</p><p>sw iCat 01-31</p><p>03 od ol</p><p>A) 3 3] ñ Ñ E:</p><p>1 3</p><p>» l 1, We</p><p>1! ” 1]</p><p>Resolución: -</p><p>t</p><p>A. E A</p><p>* :</p><p>A." 4</p><p>—</p><p>E</p><p>e</p><p>EMT</p><p>De la figura:</p><p>13 19</p><p>ia UN ON cost). 2, o</p><p>ud 43</p><p>1</p><p>luego: cos20 2050]</p><p>19</p><p>cos20 25] |</p><p>cos20 - !</p><p>a</p><p>Kpta: €</p><p>Problema 10</p><p>El mayor ángulo diedro que forman dos</p><p>caras advacentes de un octaedro regular</p><p>de arista Los tal que su coseno vale:</p><p>(UNT '02-11)</p><p>wo a pi 3 3 ¿ ”</p><p>ta - =</p><p>yá</p><p>1) == E)” 5</p><p>*</p><p>Resolución:</p><p>(058) Proyecto Ingenlo</p><p>El ángulo cn mención mide 20</p><p>cos20 + 2cos!0 —1</p><p>|</p><p>cos ceo</p><p>M 3 3</p><p>pa</p><p>cos20-2 =>] -1</p><p>AND,</p><p>cos20 --</p><p>Kpta: E</p><p>Problema 11</p><p>El valor de</p><p>G=clg24" clg57" — ctg2P clg33” es:</p><p>(UNI *02-1)</p><p>A) 2 BM 02</p><p>12M —- 13) 1</p><p>Resolución:</p><p>G = clg24(c1g57" — clg33”)</p><p>— = apa (Ig33" - clg33")</p><p>(+ —clg24(1833" — 1833")</p><p>Apliquemos:</p><p>clga —tga-- 2otaZa</p><p>(1=-clg24" 2ctg66"</p><p>(j > -21g66".ctgo6"</p><p>0D</p><p>(her 2 |</p><p>li tt</p><p>Problema 12</p><p>Si a es un ángulo agudo, halle el valor</p><p>de M. (UNI 04-1)</p><p>Pe ctg(a/4)-tg(0/4)</p><p>esca + ctgal</p><p>A) 5 B) Yy2 C)2</p><p>D) 2,5 E) 4</p><p>Resolución:</p><p>Recordando las identidades</p><p>ctga—tga =2ctg2a</p><p>a</p><p>esca + ctga = cta 2</p><p>Reemplazamos en el problema</p><p>y - 5 la/4)- tg(a/4)</p><p>esca + etga</p><p>¡1-2 tg(0/2)</p><p>=> M=</p><p>cta(a/2)</p><p>Rpta: C</p><p>Problema 13</p><p>Si tg(x+45%=n.n, n*0</p><p>calcular 1 = sec2x — tg2x (CLL' 02-1)</p><p>A)n” B) 21 Elf”?</p><p>D) 2n 7 E) n *</p><p>Resolución:</p><p>1 =csc(90*-2x)- ctg(90”-2x)</p><p>Apliquemos:</p><p>esca —clga = ty5</p><p>haa: ] 259): tl ha. Lai ¿E E ¡</p><p>Trigonométtta</p><p>I=tg(45"-x)</p><p>[ =ctg[90”-(45"-x)] =ctg[45”+x]</p><p>= 1 o AAA:</p><p>na IAB Ex) > Ea 20</p><p>Rpta: A</p><p>Problema 14</p><p>Del gráfico, calcular ctg( >)</p><p>(UNT '99-2)</p><p>8</p><p>A) 2-1 BY3B-2 Oy/2+1</p><p>D) 43 +42 E) 2+ 43</p><p>Resolución:</p><p>Del gráfico:</p><p>(1)</p><p>4</p><p>ST (2)</p><p>Reemplazando (1) y (2), resulta:</p><p>2</p><p>LE eli</p><p>ko 4)</p><p>k*</p><p>«E ROBLEMAS</p><p>Problema 1</p><p>51 senx = z</p><p>halle sen2x</p><p>1) > B) 5 Cc) 45</p><p>Jñ a</p><p>A E</p><p>Problema 2</p><p>: “e - SEen2x+cosx Simplifique £= AT</p><p>A) senx B) cosx C) escx</p><p>D) secx E) tanx</p><p>Problema 3</p><p>Si senx-cosx=</p><p>halle sen2r</p><p>l6 15 16</p><p>mi B) 16 O-77</p><p>15 1</p><p>ica a 2b0) >. ae</p><p>Le tl iada ri</p><p>dd e</p><p>A pr dd i</p><p>e Proyecto Ingenio</p><p>En (1): g0=35+=> z 1</p><p>Luego: v2</p><p>ctg[9)=csco+ ctg0</p><p>as(9)-43+42</p><p>Rpta: D</p><p>Propuestos</p><p>Problema 4</p><p>Reduzca</p><p>W =8sen10"cos10"c0520"c05 40"</p><p>A) sen80? B) cos80" C) cscó0*</p><p>D) secs8o* E) tan80"</p><p>Problema 5</p><p>Simplifique M-=(sen2x+2senx)(l—cosx)</p><p>A) sen?y B) 2sentr C) 2cos* x</p><p>D) cos” x E) 2sen*x</p><p>Problema 6</p><p>Simplifique</p><p>Es cos” x—cos2x</p><p>sentr+c0s2x</p><p>A) 1 B) tan? x €) =tan? x</p><p>D) coté y E) =cobÉ y</p><p>DEMO</p><p>Problema 7</p><p>¿A qué es ipil Af</p><p>Ay 1 1) cos 10"</p><p>19) cos?"</p><p>Problema 8</p><p>5 lar</p><p>p . Ye Calcular: (ges</p><p>B)3</p><p>Problema 9</p><p>Y qué es igual</p><p>EL</p><p>B) tg5"</p><p>1 etg 10"</p><p>Problema 10</p><p>5 clgy—igx= 6</p><p>halle lg2x</p><p>A)</p><p>Li</p><p>dl</p><p>By 3</p><p>1) 2</p><p>Problema 11</p><p>Simplifique</p><p>1 > [| +cos8x</p><p>NT -cosBx</p><p>A) clg4x B) tgdv</p><p>Dr lg2x</p><p>Lis</p><p>Cia na</p><p>(0) cos 15"</p><p>l-) cos20"</p><p>C)</p><p>a</p><p>i</p><p>d</p><p>+)</p><p>EY 3</p><p>O) tgl0</p><p>1) clg de</p><p>gy</p><p>L)</p><p>h</p><p>a</p><p>—</p><p>C) ctg2x</p><p>E) 1</p><p>£261,</p><p>Problema 12</p><p>ll</p><p>ser sena” Y</p><p>Bo Zc0s 14 seno?"</p><p>indique el valorde Aci bB</p><p>AJO 912</p><p>15) -</p><p>(0) 1</p><p>ba</p><p>Problema 13</p><p>Si OUex</p><p>Teneis pur ce</p><p>Problema 16</p><p>Reducir</p><p>¡ficos 1</p><p>Vli+cosx ctas</p><p>A) 1 B) -1 C) s</p><p>D) =3 EJ O</p><p>Problema 17</p><p>Reduzca K£ =(1+secxltg5</p><p>A) senx B) cscx C) cosx</p><p>D) secx E) tg</p><p>Problema 18</p><p>Reduzca ÁA=cscx+0sc2x+0sc4x+ctg4x</p><p>A) ctg5 B) 85 C) 2ctg5</p><p>D) 2185 E) 485</p><p>Problema 19</p><p>¿A qué es igual</p><p>E =sec140"+tan140* ?</p><p>A) =ctg20”— pyelg20? (7) —clg25*</p><p>D) ctg25” E) -tg25"</p><p>Problema 20</p><p>Si senx = z</p><p>calcular el valor de sen3x</p><p>16 11 24</p><p>0 BZ Os</p><p>11 11</p><p>D) Tá E) 17</p><p>Problema 21</p><p>Calcular E=4c0s* 15*%-3c0815"</p><p>1 y2 43</p><p>A) ? B) + E s</p><p>> A</p><p>2) 3 E) A</p><p>Problema 22</p><p>. 1</p><p>Si ctgx= 7</p><p>calcule tg3x</p><p>11 2 1</p><p>A) 3 B) 11 C) 11</p><p>3 4</p><p>IM Da</p><p>Problema 23</p><p>Reducir p - (/3 sends” — cus38")</p><p>(sen29" + deos29")</p><p>A) 0,7 B)0,/12 (014</p><p>13 0,14 E) 0,25</p><p>Problema 29</p><p>“si 2c05lx —- cosidr —l</p><p>halle M = tax — 2tga1</p><p>A) 1 B)-1 2</p><p>1) 2 0</p><p>Problema 30</p><p>Sabiendo que % 00.2</p><p>42 - 7</p><p>5) 3 |) A</p><p>(263. CRL</p><p>Problema 31</p><p>Si se verifica que</p><p>CDS: Y</p><p>4 . mm</p><p>USO X</p><p>sen A ></p><p>ÉS INSOnZ</p><p>SEN</p><p>calculo Sm — 12m</p><p>1</p><p>venmsen 2x</p><p>A) 1 13) 3 (O) 5</p><p>IN 7 lp 9</p><p>Problema 32</p><p>Señale la extensión de</p><p>Fe | cosóx</p><p>1-c0s2 x</p><p>AYTO; $ 15) 10; 9, CO0IH;:9</p><p>DD) (1: 9] 1) 11; 8)</p><p>Problema 33</p><p>Reduci</p><p>v ese 22". sec” 77</p><p>ce” y soc 23"</p><p>Ajo B) Ig 6"</p><p>0) tg22". co25"</p><p>DD) tg23”. cot22" E) 122" 1423"</p><p>Problema 34</p><p>Reducir</p><p>pa 1 cos ls 2x</p><p>l, costar Y cos2r</p><p>nr</p><p>A) 2csc2x É B) desc2x</p><p>O) desci2r</p><p>IN Bose 2v E) doscidx</p><p>TO 0 O ATT</p><p>Problema 35 Problema 39</p><p>Si vV2senx+ 43 cosx= 4/5 Hallar el valor de</p><p>calcule tg4x</p><p>; Tx n</p><p>E =d4cosx] cos: + os C0Sx— COS</p><p>: nl</p><p>2/6 2/6 4/6 para x=--</p><p>— — Ei 12</p><p>=> Da Uy</p><p>4 JE AE a) E B) 1-48 y</p><p>D AN E) —- 2 3</p><p>23 2 y</p><p>D) 1-43 E) 1</p><p>Problema 36</p><p>] Problema 40</p><p>Reducir</p><p>¿Cuál es el valor máximo de , 1</p><p>J=c08" r+—sen2r.sendx—sen' y sia : ber</p><p>8 C = sentir. costx + senta- cos" y!</p><p>A) sen2x B) cos2a C) senda A) 1/2 B) 1/4 O 1/6</p><p>D) cos4x L) cosóx D) 1/8 1:) 1/16</p><p>Problema 41</p><p>Problema 37 Sabiendo que</p><p>Si cscZx- str</p><p>2 ¿4</p><p>«co x=Leos* y +2senáx a Sena «005 6 57 $ 0 cea Lary</p><p>calcule L = senty- cosx calcular € = 3sen2y + 2c082y</p><p>A)1 B) 0)2</p><p>A) 0,01 B) 0,02 C) 0,03 DI 9 ,</p><p>D) 0,13 E) 0,11 E 1</p><p>Problema 42</p><p>Problema 38 I : : z</p><p>de AE id</p><p>Simplificar /.= E . al Ae cos7y cos2n EconZr A</p><p>l-6tg"x+1g"x</p><p>re(: ")</p><p>1 1 2</p><p>A) iia B) ¿E</p><p>calcule tgdx</p><p>1</p><p>C) —tg4x-ctgx Y3 2 | 6 4 A) EN B) -/3 Ora</p><p>1 AD Dj) ——tg4x-ctgr PP - 6 ) 4 B 8 E) tg4x- ctgar D) -45 E) a</p><p>Ce</p><p>Problema 43</p><p>llallar el equivalente de sen2x si</p><p>sen = cost</p><p>T Tn</p><p>Ssen— +c08—</p><p>P q</p><p>donde p,qe%'., calcular “p +4 go</p><p>A) 56 B) 88 0) 40</p><p>1D) 160 li) 80</p><p>Problema 51</p><p>A partir del gráfico, donde OA — AB, se</p><p>demuestra que</p><p>ti</p><p>AN (0</p><p>— E</p><p>calcule y</p><p>e</p><p>“A</p><p>Ay2</p><p>10) 1/4</p><p>Problema 52</p><p>SI 0scx + 0sey - SOC) (1)</p><p>clgx + clar =1g0 (2)</p><p>A 1</p><p>3,18:</p><p>halle A-= ) desár 4</p><p>Y v</p><p>E, +8</p><p>A) 1 B) 2 C) 1/2</p><p>D) 1/4 EJ 4</p><p>O as yecto Ingenio</p><p>Problema 53</p><p>De acuerdo al gráfico, sume las áreas de</p><p>los triángulos ABC y ADC.</p><p>D</p><p>B</p><p>: L</p><p>L/ ></p><p>: pS E</p><p>Z</p><p>A |? 1d</p><p>| , E</p><p>/ cos", 17 cos”</p><p>NN ==? 13) yA</p><p>sen sen</p><p>2</p><p>CNE tes</p><p>> 21)</p><p>[2 sen</p><p>Dial y—?</p><p>2 0</p><p>cos</p><p>2</p><p>Problema 54</p><p>Si tg%a= cosb +cosl</p><p>li cosficosó</p><p>rl Pb , U</p><p>hallar A =1g 5 ,</p><p>A) sen2 a B) 2senla. C) cos2u</p><p>1D) 2c082 a E) tg2a</p><p>Problema 55</p><p>Sabiendo que</p><p>la '57 = 2C0SCx</p><p>calcular cos?</p><p>7</p><p>A) 1/2 B) 155 a</p><p>D) 2/3 EY 3/5</p><p>ada SEMI</p><p>Problema 56</p><p>Calcule: m +1 + p</p><p>en la identidad</p><p>(lga + escd a cta a - cscd a) =</p><p>cs" ma —clg"pa</p><p>AJ4 B)6 (08</p><p>Dy2 * 1) 12</p><p>Problema 57</p><p>CACA A ce, y</p><p>Reducir / = al</p><p>e id</p><p>2 yA 4 ty” ant</p><p>5xX y</p><p>Li CE a A D) cg” 3 E) 85</p><p>Problema 58</p><p>51</p><p>csc2x + 0sc2y + 0502: =</p><p>col2x + clg2y + ctg2s</p><p>calcule</p><p>lx li" 4 gs CEN</p><p>gt) Meg tg)-3</p><p>AO B) 1 02</p><p>1 -2 E) 1</p><p>Problema 59</p><p>Del gráfico, calcular la longitud de CD.</p><p>B</p><p>A E</p><p>A) 1,21 B) 1,36 C) 2,32</p><p>D) 2,21 E) 3,21</p><p>E</p><p>Problema 60</p><p>Reducir</p><p>5 3 dcos" x—5005 Xx +CO0Sx</p><p>4sen x-5sen'x+senx</p><p>A) ctg3x B)</p><p>calcular</p><p>Pp L=set L+sec po -=sec* 7 +sec? sec</p><p>A) 1,5 B) 2,5 075</p><p>DJ3,5 E) 9,5</p><p>Problema 62</p><p>Halle el valor de tg?0, si</p><p>sec2g = tg36" + tg12? + tg:36"tg18"</p><p>A) 1g6" B) tg3?</p><p>D) tg12”</p><p>():t89*</p><p>E) tg18”</p><p>SAME RO o GAZIT</p><p>Problema 63</p><p>Reducir</p><p>(esca — ciglctg > +(escx+clgr)- tg a</p><p>4d = - =</p><p>Xx Xx</p><p>la - t g 5 + ctg s</p><p>A) senx B) cosx C) 2senx</p><p>D) 2cosx E) tgx</p><p>Problema 64</p><p>Reducir</p><p>i 1</p><p>K = senixsen2x + cosixcos2x — q cosóx</p><p>A) cosx B) q 0osx</p><p>O) q “osx</p><p>o. y ) 4 cos3x E) 4 Cos 3x</p><p>Problema 65</p><p>Simplificar x =2-28n</p><p>tg0 +ctgb</p><p>sen20 cos40 send0</p><p>A) 4 B) A C) 37</p><p>cos 40 - sendó</p><p>d E) 4</p><p>Problema 66</p><p>Si (m + njescx + (m — n)ctgx =2</p><p>calcular E=mct E mt E</p><p>E</p><p>AJ1 B)2 ao3</p><p>p2 El</p><p>n . m</p><p>Problema 67</p><p>Sir C) sens</p><p>D)1 E) 0</p><p>Problema 68</p><p>Simplificiar ctg (esc x+ctgx)+1</p><p>A) sec B) esc” x C) esc?</p><p>D) sec* x EJO</p><p>Problema 69</p><p>Si2x+y=1</p><p>2</p><p>calcular el valor de seny - 2c08*x</p><p>1</p><p>A) -1 Es 00</p><p>1</p><p>D) 2 E) 1</p><p>Problema 70</p><p>Reducir 3cos10" — 4sen*10%cos10*</p><p>1 1 1</p><p>il 1 a — e 1] qn 0 A) > te10 B) 7 “t820 C) 7 etg10</p><p>D X, 20" ya 10" )3 8 E) 38</p><p>Problema 71</p><p>ctg80” + ctg20” es equivalente a:</p><p>A) sec20” B)es20s</p><p>D) sec10?</p><p>C) tg20"</p><p>E) esclo*</p><p>rr sel :</p><p>TRIGONOMETRÍA</p><p>1 0 e Tronsformaciones</p><p>E CAPÍTULO. cae Trigonométricas</p><p>CASOS: 3. cos28” —cos24"=</p><p>dy TRANSFORMACIÓN DE SUMA O pr gy (28 a</p><p>DIFERENCIA DE SENOS Y «en — Jen</p><p>COSENOS A PRODUCTO</p><p>1>1|</p><p>pa /</p><p>o senAs+senb= 2sen] —. cos</p><p>= ¿Isen26*sen2?</p><p>4. cos35" — 36" +14" 36" - 14" y</p><p>Ae is 2) e cos(x—y)=c0sxcos y + senvseny</p><p>=2sen25"sent1? A partir de estas identidades vamos a</p><p>deducir otras que nos permitirán</p><p>2. sen33”-sen27"= realizar factorizaciones trigonométricas,</p><p>3394270 339-971 esto es, transformaciones de suma y</p><p>Jsen(* ] diferencia a productos. cos| 2 2</p><p>Transformación de Suma y</p><p>Diferencia de Senos a productos</p><p>(1) + (2):</p><p>sen(x1+ 1)+ sen(x- 1) = 2senxcos y</p><p>Haciendo:</p><p>+ r=A A r-y=bB</p><p>A+B A-B</p><p>=> =— A y=—— > : 2 en(5)</p><p>sera +senB = 2: B Jeos| A- )</p><p>« (1)-(2)</p><p>sen(x+ y) -sen(x-1)=2senrcos y</p><p>Efectuando el mismo cambio de variable:</p><p>A=B></p><p>3 ' E</p><p>(Ar</p><p>senA — senH = a! 2 Joer</p><p>A</p><p>.</p><p>Transformación de Suma y</p><p>Diferencia de Cosenos a</p><p>Producto</p><p>e (+ (4)</p><p>cos(x+11)+cos(x-1)=2co5sxcos v (6)</p><p>Para: r+y=A A x-y=B</p><p>A+B A-—B</p><p>1 =—— A</p><p>2 ></p><p>en (6):</p><p>cosÁ + cosB = 2cos|</p><p>e (3)-(4)</p><p>cos(x+ y)-cos(x- y) =-—2senxseny</p><p>Haciendo el mismo cambio de variable:</p><p>A+BY pa ]</p><p>cosA — cosB = -2sen| sen</p><p>L 2)</p><p>IS Y Trigonométria |</p><p>«1» TRANSFORMACIÓN DE</p><p>PRODUCTO A SUMA O</p><p>DIFERENCIA</p><p>[> 7</p><p>2senueos y =sen(x+ y)+seníx-y)</p><p>2senicos y =sen(x + 1)-sen(x—y)</p><p>2cosxacos y = costlx+ v)+cos(x— y)</p><p>—</p><p>2senxseny = cos(x- y) -cos(x+ y) G0</p><p>0</p><p>5</p><p>0</p><p>0</p><p>S</p><p>Ejemplos: :</p><p>Transformar a suma o diferencia:</p><p>5. 2sendacosxy =sendx + sen2x</p><p>6. 2sen10*cos20"=sen30"=sen10"</p><p>7. 2cos18"cos10”=</p><p>=c0s(18%+10%) + cos(18”-10*)</p><p>=c0528"+c088"</p><p>8. 2sen23"sen17"=</p><p>=c08(23"-17")-cos(23"+17")</p><p>=cosb”-cos40”</p><p>Demostraciones</p><p>Escribamos nuevamente las primeras 4</p><p>relaciones, pero inviertiendo los</p><p>miembros:</p><p>* Senrcos y+cosxiseny= sen(x+ v)</p><p>e senxcos y-cosxseny =sen(y-=')</p><p>* COSXCOS y —Ssenxseny=cos(x+ y)</p><p>* COSxCOS y +senxseny = cos(x— y)</p><p>INELIJIO e</p><p>* Sumando (1) + (2):</p><p>ISO Cost sen (e</p><p>1)+ senda 1)</p><p>* Sumando (3) + (4):</p><p>cos icos y cos(x+ 1) 1) Cos Í A</p><p>e Restando (3) — (4)</p><p>Isenaser > cos( a + 1) cos(v - 1)</p><p>mn A O ES cos(v = | )- cos( Es v)</p><p>Auxiliares</p><p>e |jseni=sen y =sen(a</p><p>-1</p><p>jseriix- v)</p><p>A — A</p><p>e (COS YX -Sen”i</p><p>cos (xa + 1 )cos(x— 1)</p><p>Demostraciones</p><p>Multiplicando (3) = (4)</p><p>1 ñ v Y</p><p>COS COS” 1— SEN XSeInO y</p><p>=cos(x + v)cos(x- 1)</p><p>e 2 2 cos” x(Iosen”y)- (1- cos" v)sen”y=</p><p>=CcOS(xr + v)cos(v-)</p><p>CS</p><p>»)]</p><p>a Ro.</p><p>cos a sen —cos(1</p><p>Pp Yer 1 ( ></p><p>Multiplicando (1)x (2):</p><p>sentacos” y - cos! asen? y</p><p>=sen(x+1)sen(x— 1)</p><p>senTx( I=sen” y) (1- senty)sen” ys</p><p>=sen(+ )sen(tx- 1)</p><p>lseni=sen” y = enla v)sen(x- 1)</p><p>IDENTIDADES ADICIONALES</p><p>Att PA A</p><p>ici 5 com A -cosB</p><p>| : A B C</p><p>e 5enA : senB y senC - cos 005-7005</p><p>| 2 2 2</p><p>od C</p><p>cosA cos Bcos O -4sen E sen Sen 1 1</p><p>4senAsenBsent e |serdA +sen2H + sen2C</p><p>e'|cos2A=cos2B+c051= mus Aci cos —1</p><p>IET + A — Trigonométrio</p><p>,P ROELEBMIAS R ESUELTOS</p><p>Problema 1 robos</p><p>UNES Simplifique</p><p>E = Sen50”: +senl0” -cos7x+c0s3.x</p><p>cos20 - senvx—sen3x</p><p>--] Ay1 B) 1/2 Cc) A) tanx B) cotx C) tan2x</p><p>D) -1/2 E) 2 :</p><p>D) cot2x E) tan4y</p><p>Resolución:</p><p>Resolución:</p><p>y -25en30" 10520"</p><p>2020" - Zcos Bxc0s2x</p><p>y pó E endarcos Bix</p><p>Az)</p><p>ui ¿AE =cot2x|</p><p>Rpta: A Rpta: D</p><p>Problema 2 Problema 4</p><p>Reduzca - sen5r4+senr _ 3</p><p>_ senB0*-sen20* cosbxr+cosx" 4*</p><p>cos3U calcule tan3x</p><p>A) 1 B) 1/2 C)- A) 0,25 B) 0,50 C) 0,75</p><p>D) -1/2 E) 2 D) 1,00 E) 1,25</p><p>Resolución: Resolución:</p><p>y - 2sen30*cos50*</p><p>“7 c0s50" Zsen3xgesÍx _ 2</p><p>l Zcos3xgesóx 4 Ay</p><p>[tan x= 0,75]</p><p>Rpta: A Rpte: €</p><p>21 =1</p><p>TSE A A CR MATT</p><p>Problema 5</p><p>Reduzca</p><p>senda +sendx + sena</p><p>“7 cos5x+COs3x+COSx</p><p>A) tan3x B) tan5x O tan2x</p><p>D) tandx E) tan8x</p><p>Resolución:</p><p>Agrupando de 2 en 2:</p><p>y (sen5x + senv) + sendy</p><p>“(cos 5x+c0sx)+c053x</p><p>y - 2sen3xcos2x + senda</p><p>decos Arcos 2x4 c00s3x</p><p>E sen3x]2c092F 1]</p><p>cos3x[2c</p><p>+. [£ = tan 3x]</p><p>Rpta: A</p><p>Problema 6</p><p>Simplifique</p><p>K =2(c0s5x +c0s31)(sen3x - sen)</p><p>A) senóx B) sen?x C) senBx</p><p>D) sen9x E) senlÚx</p><p>Resolución:</p><p>K =2[2c054xc0s x][2senxcos2x]</p><p>K =4x(2senrcosx)cos2xc0s4x</p><p>K=2x2sen2xc052xc054x</p><p>K = 2sendxcosdr</p><p>Rpta: €</p><p>Problema 7</p><p>Calcule</p><p>M =cos20"+c05100%+c08140"</p><p>AJO</p><p>D) 1/2</p><p>Resolución:</p><p>B) 1 O).</p><p>E) 1/2</p><p>M =cos20"+(cos 140%+c05100")</p><p>M =c0820"+2c05120"c0s20"</p><p>M = cos200+Z|</p><p>E</p><p>1 =c0520"-cos20"</p><p>10]</p><p>Problema 8</p><p>Reduzca</p><p>nd + sen? py = SEnAx + se</p><p>cosdx+cos</p><p>A) -1</p><p>D) 1/3</p><p>Resolución:</p><p>B)0</p><p>dE</p><p>E</p><p>Y</p><p>Jos 20"</p><p>Rpta: A</p><p>sen5x +senx</p><p>COSÓX + 005</p><p>Ol</p><p>E) 2</p><p>pp = 2Sen3xcosx _ 2sen3xcos2x</p><p>2cos3rcosy 2¿cosáxcos2x</p><p>H=tan3x- tan3x y</p><p>E =0</p><p>%</p><p>Rpta: B</p><p>ADO o OO MATT</p><p>Problema 9</p><p>Calcule</p><p>E=sen?24"-sen* 6?</p><p>45 +1 45 -1 45 +41</p><p>45 1 y A</p><p>D) 3 E) 4</p><p>Resolución:</p><p>E =(sen24"+sen6”)l(sen24” -sen6”)</p><p>=2sen15"co0s9".2sen9” cos 15"</p><p>E =(2sen15"c0515*)(2sen9”.c0s9”)</p><p>£ =sen30" sen18"</p><p>460)</p><p>qe te.</p><p>Rpta: D</p><p>Problema 10</p><p>Calcule</p><p>Af =2sen45"cosB"</p><p>A) 5/7</p><p>1) 4/5</p><p>B) 3/4 O7/5</p><p>E 3/5</p><p>Resolución:</p><p>M =sen(45"+8) +sen(45"-—8)</p><p>AM =sen53"+sen37"</p><p>Rpta: €</p><p>Problema 11</p><p>Calcule</p><p>M =c0540"c0510*-sen55*sen5"</p><p>A)1 B) 43 qué</p><p>43 +1 1 D) 3 E) a</p><p>Resolución:</p><p>241 = 2c0540"cos10"--2sen55"sen5”</p><p>21/ = 108507 + cos 30" +[cos60*— c08950*]</p><p>23 A +3</p><p>Rpta:</p><p>Problema 12</p><p>Simplifique</p><p>E =sentosenda—sen150en13+seni9sen9r</p><p>A) -1 B)1 (cy 1/2</p><p>DO E) 2</p><p>Resolución:</p><p>2E = 2senbxsendx-2senl5xsen13x+</p><p>2sen19xsen9x</p><p>2E =(c052x-cos10x) +(c0528x—c052x) +</p><p>(cos 10x-+cos28x)</p><p>2E=0</p><p>.[E=0 |</p><p>Rpta: D</p><p>CEN</p><p>Problema 13</p><p>Qué valor de 0" (agudo) maximiza la</p><p>cxpresión</p><p>A sen(40+0)+sen(20%+8)</p><p>Ay 40" B) 50" C) 60"</p><p>1 70" E) 80"</p><p>Resolución:</p><p>A sen(0" , SY 4 sen(20"+ 0)</p><p>A ¿sen 10%+0)c0s 10%</p><p>Para que" A'sca máximo, sen(30%40)=1]</p><p>== O +0 4-60"</p><p>Kpta: €</p><p>Problema 14</p><p>Si = íe , calcule el valor de</p><p>K- cos "60 sen* 30</p><p>cos110 4 cos56</p><p>|</p><p>Ay 1 B) - E</p><p>| 9)</p><p>1)) 3 E) e</p><p>Kesolución:</p><p>. cos"60-sent30 7</p><p>cos] 10+ c0850 ' 17</p><p>4 £os(60+ 30)cos(60 -30)</p><p>: 2cos80cos 30</p><p>0225: Er Ear</p><p>li a ae Ca</p><p>| cost)</p><p>2 080)</p><p>A a</p><p>Pero: 90 -8U:c0890 -- cossU</p><p>Kia- Luego en (1) )</p><p>Rpta: D</p><p>Problema 15</p><p>Transformar a producto</p><p>"is cos cos Arcos 4 cos 15</p><p>A) 4cos1cos2xcos7 x</p><p>B) 4sen3xsenhxsen? y</p><p>C) 4cos3xcos5xcos7 y</p><p>D) 2c083xc087 xc0s 9x</p><p>E) 2cos 1 cus 3ísenów</p><p>Resolución:</p><p>K= Cos x 1 cos5x t cos dx i cos 15x</p><p>R =2cosóxcos2x + 2cos121c053v</p><p>R =2c0sAx(cos 2x4 cos 12x)</p><p>K + 2c053x(2c057xc085x)</p><p>¿hk=aAcosdicos5aicos7y</p><p>Rpta: €</p><p>Problema 16</p><p>Transformar a producto</p><p>A 3sendr a 2senxa sen5x</p><p>E h i nm</p><p>A) Bsenxcos” y B) l6senacos” y</p><p>C) l2cos asen y</p><p>DD) l6cos xsen'y E) 32senxcos” y</p><p>ATADO 00 MATTE</p><p>Resolución: Se pide tg 62”:</p><p>el = 3(sen3x + senx)+(sen5x-—senx) > tg62”= tg (45%417%) A A — —a JÁ</p><p>d=3x 2sen2rcosx42c0s3xsen2x</p><p>o 45 +tg17?</p><p>y . . te62"= el = 2sen2r(3cos x +c0s3x) g6 1-tg45'tg17"</p><p>4= 2sen2r(3cosx +4cos* x-3cos x)</p><p>Reemplazamos (1</p><p>H= 2sen2r(4 cos” x) p /</p><p>: 3 á Ep</p><p>A = 2(2senxcosx)(4cos x) > tg62"= 14p</p><p>-.A=16senxcos' x</p><p>Rpta: D</p><p>Rpta:B— problema18</p><p>Problema 17 Halle el valor de "k ” en la igualdad</p><p>cos47"-cos13% _ p cd</p><p>cos47"+cos13% 3 cos12%(cos120” + cos24%) = kcos9”</p><p>A) 4 B) 2 O 242</p><p>calcule 1862” ) 242</p><p>D) e E) ya</p><p>1+ 2 —2 4</p><p>de —Á A ER 7</p><p>P P P Resolución:</p><p>p) 1? pr ) 1+ p L+4 p? sen72*(cos36"-cos60*) + cos12”</p><p>Resolución: (cos120* + cos24”) = kcos9”</p><p>o</p><p>cos47*-cos13" p</p><p>= sen72*(2sen48"sen12”)+ 0512"</p><p>cos47*+cos130 7 /3 id</p><p>(2co0s72"c0548") = kcos9"</p><p>Zsen30”sen(-17)" _ p</p><p>Z cos30"cos177 43 2sen12"sen(60"-12")sen(60"+12%)+</p><p>- sendo*</p><p>4</p><p>8 tgl7"= L</p><p>3 3 2c0812*cos(60"-12")cos(60%+12") = kcos9”</p><p>tg17"=-p (1) :</p><p>= (sento. cos db) Acos90</p><p>2 den (36%445%) = c0s9"</p><p>—-</p><p>se</p><p>2</p><p>hs</p><p>Rpta:</p><p>Problema 19</p><p>Si sent l'+send9"+sen 31*=senz1"..</p><p>senl7"</p><p>=mcos pl+n,</p><p>p"</p><p>Rpta: E</p><p>SE sc</p><p>Problema 2 1</p><p>Del gráfico, halle el área del trapecio</p><p>AEDC, si OA = OB =R.</p><p>A) 3Rósen*3x B) 2R?sen? y</p><p>C) 2R*cos*2x</p><p>1) Rósen 2x E) Rsen?2x</p><p>Kesolución:</p><p>A</p><p>K</p><p>/ E</p><p>Zo y</p><p>SE A A pa)</p><p>O C DB</p><p>AC € c )</p><p>E .</p><p>=> (rendir cos senasen2x)</p><p>2 al</p><p>PATA</p><p>S: ARDG= Rósen *2x</p><p>Rpta: D</p><p>Problema 22</p><p>Si sendO"+sen6” —</p><p>sen73"</p><p>2n de F</p><p>halle el equivalente de la forma</p><p>aproximada de sen21*esc7"</p><p>A) 1,21 + 1 B) 127 +2</p><p>C) 2,4n + 1</p><p>13) 2,4n + 2 E) 3,6n +1</p><p>Resolución:</p><p>De la condición se obtiene</p><p>2sen23*cos17" _</p><p>senz3”</p><p>paleta</p><p>cu]</p><p>2n</p><p>= sen23"=n (1)</p><p>Se pide:</p><p>hn sen21”' sen7"(2c0514"+1)</p><p>sen7" sen?”</p><p>J=2cos Ir</p><p>%</p><p>¿J= 2c0514"-2c0560" +2</p><p>TENSO E CO AA Proyecto Ingenio</p><p>J=2cos14"--cos60")= 2 Preblema za</p><p>Recuzca la expresión</p><p>=2(25en37"sen23")+ 2 fia seníisenZr ¿ 0Os bxsendy</p><p>we COS. Y sen2y</p><p>J=dx sen? Y +2</p><p>==</p><p>A) 2sen2y B) 2sen2isen5x</p><p>MATT . = . O dia a Reemplazamos (l) o. >=. l €) 2cosxcoshs</p><p>Rpta: D D) 2cosxsenóx El 2c05.x</p><p>Problema 23 Resolución:</p><p>Señale el valor de L equivale a:</p><p>J= ag23 -tg7" Ez sen7x(2senxgosf) ]</p><p>> post</p><p>A) 2,22 1) 2,36 2,17</p><p>13) 2,44 E) 2,67 -056x(2senZ2xcos 21)</p><p>som</p><p>Resolución:</p><p>l. =2sen7xsenx +2 cosbxc042r</p><p>cos23" sen?” ¡ua OS, SE L=(cosór—cos8x)+(cos8x+cos4x)</p><p>sen23”" cos?"</p><p>L=cosbx+cosdr</p><p>AA</p><p>cos23"cos7”-sen2V sen?"</p><p>A</p><p>sen23"cos7" L =2c0s5xc0s</p><p>die cos(23"+7") Rpta: C</p><p>sen23"cos7"</p><p>Problema 25</p><p>po 43 Reduzca</p><p>2sen23"cos7" A =sen70'sen50” + sen10"sen70"</p><p>43 senl0'sen50”</p><p>d= ñ</p><p>sen30"+senl6* y</p><p>_ A) 1+4cos407 2) 1 BJ q + cos50"</p><p>y3 50 y a</p><p>di 1 7 Z>y) = 39 y l el</p><p>$ a . 4</p><p>235 Cc) > + 2cos40</p><p>1 47 1 0</p><p>Rpta: A D) 4 + cosd() E) > + 200550</p><p>SSTTBENOS>0000000000) 05000 MTTTATA</p><p>Resolución: Resolución:</p><p>b</p><p>24 = 2sen70"sen50" + 2 sen1O'sen70"y A,</p><p>+ 2sen10"sen50” AA</p><p>HEY</p><p>2A = (cos20" —- cos120") + (cos60” - e ¿D y</p><p>E y</p><p>cos80) + (cos40” — cos60”) >, F Sá A</p><p>24 =cos20"—cos80” +c0s40"-cos 120" EZ ul</p><p>E Ye 4</p><p>2A = 2sen50'sen30” + cos40*- cos120" A . LC</p><p>SKADC: AD=2seng48"</p><p>2A =sen50? + cos40"+ ) y 7 SAHD: HD=AD senl2”</p><p>' z HD = (2sen48”)sen12"</p><p>.A= +c0510"</p><p>+ Es BHD: x= HDesc18"</p><p>Rpta: D x= (2sen48"sen12”)csc18"</p><p>Problema 26 _ cos36"—cos60"</p><p>e sen18”</p><p>Del gráfico, halle BD, si AC = 2</p><p>E 24</p><p>Ba NE 4 2 =>Y=1</p><p>DN Y</p><p>¿ A dl</p><p>E ; % Rpta: A</p><p>é AD 4</p><p>PO ES , Problema 27</p><p>E e A</p><p>ER o A ¿Para qué valor de "y", la expresión</p><p>E o</p><p>Es, ¡eu 21) Tr E 4 z= + | za A qe AM sen( y 9 Jscn(« 5)</p><p>A E</p><p>adquiere su máximo valor?</p><p>$5 7 ss 2R TÍ</p><p>A) 1 B) 2 a Ay DJ</p><p>_ 5 41 >:</p><p>D) 45 E 3 D) y any</p><p>sen y sen | do a |</p><p>E $) )</p><p>A? f</p><p>DAS * sen e,</p><p>he k y</p><p>|</p><p>2 Lt at |</p><p>a L) ,</p><p>Kpta: D</p><p>Problema 28</p><p>51m" y Un" verifican la igualdad</p><p>cosl6"cos13" — cos20"eos59" =</p><p>msen25” —- nsen21”,</p><p>calcule "m«+ y"</p><p>Y2 43 43</p><p>A) > 13) > m0 00 3</p><p>1 8</p><p>1D) 3 E) 4</p><p>Resolución:</p><p>5[2c0s16"cos1 3” -2c0520"c0559"| =</p><p>msen25" — nsen21*</p><p>[cos 29" +05 30) - (cos79" + cos39%) | Ñ</p><p>msen25” — nsen21"</p><p>z (cos29*-cos79")+(c0s3”-cos39")|= 2</p><p>men? - nssen21*</p><p>Fa A RO IE, ; a</p><p>2 [2sen25"sens4" ¿2sen21"sen18*]=</p><p>msen25" —- asenZl"</p><p>sen25"sens4"+senl8 "sen21"=</p><p>msen25" — nsen21"</p><p>Luego:</p><p>m=sen54"'-'n n=-senl8"</p><p>| [4341 62] l</p><p>o mán= | — |=-—</p><p>4 4 2</p><p>Rpta: D</p><p>Problema 29</p><p>; 5 1 7</p><p>Si cos5acos3r= . + _cos8x,</p><p>Pa</p><p>e</p><p>halle</p><p>Ma 1 x 2senéxcos 3x—sen1lx ]</p><p>cos9x + 2sen5xsendx</p><p>4 l ñ 2 1</p><p>1 3</p><p>2) 6 E) y</p><p>Resolución:</p><p>De la condición se obtiene:</p><p>2</p><p>2cos5xcos3x= _+C058.x</p><p>¡ERA A 3</p><p>cos bras da -</p><p>=> c052y = (1) u</p><p>l</p><p>Se pide:</p><p>Met «| 2sen6xcos5x=seml 1)</p><p>| cos 9 + 2senbxsendx</p><p>(senl1x+sen x) -sen11x Mag LA A</p><p>cos9x+(cosx—cos9x)</p><p>EA ett e</p><p>IC</p><p>AS ata</p><p>M= tp? ta Xx se V2sen(65"+45%)</p><p>Aplicando: senza”</p><p>se cos20 |</p><p>te Us _— Fsenzo” Y</p><p>l+c0520 A TS</p><p>————_—_—_— 20) senzO" Z</p><p>2 Rpta: €</p><p>sip Iocos2r_ 31 E</p><p>l+cos2r y, 2 5 Problema 31</p><p>3</p><p>Reduzca</p><p>Rpta: €</p><p>senóx</p><p>d=cte7x+ Sen</p><p>Problema 30 5 cos4rcosx—cosbxcos3r</p><p>Calcule A) tg2x B) clg2x C) ctgr</p><p>L = cos5”- sen25"sen40"esc70" D) tgx E) tg3x</p><p>1</p><p>A) = B) 1 C) y? Resolución:</p><p>2 2</p><p>n</p><p>D) 5 E) B Á=ctg7x+ 2senos</p><p>2 2cosdxrcosx—2cosbxcos3x</p><p>Resolución: 2sen5x</p><p>A=cte7x+</p><p>5 (cos5x+cos 3x)-(cos9x+c0s3x)</p><p>y sen25"sen40”</p><p>La cos5 == nO</p><p>sen . S</p><p>A=clg7xr+ 2senóx</p><p>cos5x—cos9y</p><p>L= sen70"cos5”=sen25"sen40*</p><p>sen?o A =clg7x+ ESOO</p><p>2sen7isenZx</p><p>21 = 2sen70”cos5” 2¿send5*send0?</p><p>sen70* d=ctg7r+ sen(7x-2x)</p><p>sen7xsendx</p><p>2= (sen75"+sen65”)-(c0s15”=cos65")</p><p>= ——— en7O" A=ctg7x+(ctg2x- ctg7x)</p><p>¿A =ctg2x E]</p><p>21 = sen65”+c0s65*</p><p>sen70* Kpta: B</p><p>ATTE A OI SEEN</p><p>Problema 32 2senbasenx 2senx</p><p>Reduzca cosYxcoshr sen2x</p><p>: 8 . . cosi—cos3x cosdx—cos5x</p><p>p- senZy mr senda us Senóx 00 (2senx)P = > y</p><p>cosdacosí coshxcosdx cos7xacosóx COS 3xCOS.1 cosBxcos3x</p><p>Ls 1 , coshx—cos7x $ 2senx</p><p>—SECÍXOSCA —EPCHISEC Y EA e</p><p>A) :9 2 B) > Cd cos7xcoshx 2senrcosx</p><p>me _</p><p>l</p><p>O) yl lrsecx</p><p>1 l</p><p>D) y SECESCS E) y eciaSeca</p><p>Resolución:</p><p>Multiplicando la expresión por 2senx</p><p>(2senx)P = —</p><p>cos3xcosx coshxcos3x</p><p>Separamos en fracciones parciales</p><p>(2senx)P =(sec3x-secx)+(sechx-sechx)+</p><p>(sec7x—sec5x)+secx</p><p>2senx) P =sec7x</p><p>sec7x</p><p>P=</p><p>2senx</p><p>= Po ¿Sec7xesex</p><p>2senZ2xsenx 4 2¿sendisenx '</p><p>Rpta: Á</p><p>«JP rosiemas pe EXÁMENES DE ADMISIÓN</p><p>Problema 1</p><p>Al simplificar la expresión</p><p>sen17”+cos 17"</p><p>sen3l'cos 310</p><p>se obliene: (SM' 07-1)</p><p>an BÉ 0%</p><p>D) 242 e</p><p>Resolución:</p><p>Sea:</p><p>p sen?” +cos17"</p><p>-=— sen3l'cos31"</p><p>Como senl7*=c0s73"</p><p>Luego:</p><p>E = £05 73+c0517"</p><p>“ 2sen3T cos 31</p><p>2</p><p>Transformando a producto el</p><p>numerador:</p><p>p - 200545"cos28"</p><p>Dado que: senó2"=cos28"</p><p>= E=4c0545"=242</p><p>Rpta: L</p><p>ITT5ER</p><p>Prablema 2</p><p>Dada la identidad trigonométrica</p><p>co l jeta) ) 1 lá Jen</p><p>cos! x- sentx</p><p>el valor de AB es: (UNI 01-1)</p><p>Aj 2 B) -1 00</p><p>D) 1 E)2</p><p>Resolución:</p><p>Sea:</p><p>cl 15 =-Sen “x</p><p>2 A (1)</p><p>_2cos* ($) -2sen*(3)</p><p>z</p><p>Acos* x—sen'x)</p><p>Pp ——— Loa</p><p>- COS ÍA + COSA</p><p>2¿cos2x</p><p>E 2eesZX cos x</p><p>1 AS 4 E US (2)</p><p>Zen</p><p>Como (2)=(1):</p><p>2cos* (7) -1= acos*[F)+ B</p><p>A=2, B=-1 => AB=-2</p><p>Otra manera de resolver:</p><p>Aplicando cos* u-sen*P=cos(a +) cos(a—P)</p><p>en (1):</p><p>TE Y xo ox</p><p>cos[ Y + ¿Jos ></p><p>cos* x-sen' X</p><p>= Acos* (3) HB</p><p>RIN A MATT</p><p>gos 2% CoSx _ A os "(3)+ +B</p><p>2cos*[3)-1 - cos*|3)+ B</p><p>J=2., B=-1 => AB=-2</p><p>Rpta: A</p><p>Problema 3</p><p>Halle el valor numérico de</p><p>M =sen*10"+c0os? 20" -sen10*cos 20"</p><p>(CLL '01-11)</p><p>3 A) E B) 1 03</p><p>D) 1 E) z</p><p>Resolución:</p><p>2M =2sen*10"+2c08*20"--2cos20*sen10"</p><p>2M = 1-c0s20"+1+c0540"-[sen30”-sen10"]</p><p>241 =2+(c0s4 *-00820")-3+sen10*</p><p>211 => -25en30"senl0*+sent0*</p><p>4</p><p>Rpta: E</p><p>Problema 4</p><p>El valor de E= cos80”cos20"cos40” es:</p><p>(UNT 99-11)</p><p>A)2 B) % AL</p><p>D) 3 bg</p><p>¿e</p><p>Resolución:</p><p>E =(2c0880"c0520")c0540"</p><p>2E =(cos100%+c0860%)c0530"</p><p>2E=c0s40" cos 100%+></p><p>ay. - SEn50"(2cos100"+1) is ”</p><p>LE ROBLEMAS</p><p>Problema 1</p><p>Reduzca</p><p>_sendO"+sen20"</p><p>- cos 10</p><p>Ay 1 B) 1/2 Cy-1</p><p>1D) -1/2 E) 2</p><p>Problema 2</p><p>Reduzca</p><p>qe = 5en70"—sen50"</p><p>a senl(”</p><p>Ay! B1/2 O -</p><p>1 =1/2 EY2</p><p>Problema 3</p><p>Calcule</p><p>-—sen80"+sen40"</p><p>= cos80"+cosJ0"</p><p>A) 1 B) 2 O 43</p><p>43 /3 E) 1/2</p><p>OS - Proyecto Ingenio</p><p>Recuerde que:</p><p>senO2cos20 +1) = sendú</p><p>sen150 2] e</p><p>1 yl 2E 3 => i $</p><p>Rpta: E</p><p>Problema 4</p><p>Si ó6x=x</p><p>calcule</p><p>11 Sn 4 senda</p><p>— sera sendx</p><p>A) 1 B) -1 6)1/2</p><p>D) 1/2 E) Y</p><p>2</p><p>Problema 5</p><p>Catulo XK = 29 sen2y+sendx +sendy</p><p>cos1+cos2r+cosix</p><p>+cosdr</p><p>pe</p><p>A) tanx B) lan; C) tan2x</p><p>5x ></p><p>10) lan =5 E) tan3x</p><p>Problema 6</p><p>Simplifique A =(tan20 +lan0)(cos304c080)</p><p>A) 2sen30 B) 2cos36 — C)sen30</p><p>10) cos 30 E):1</p><p>A eo</p><p>Problema 7</p><p>Calcule</p><p>M =co0s20"+c05100"+c05 220"</p><p>A) 1 B) -1 Cc) 1/2</p><p>D) -1/2 E) 0</p><p>Problema 8</p><p>Reduzca</p><p>¡1 - Sen60”+sen20” _ sen70”+senl0”</p><p>cos60"+cos20" cos70"+cos10"</p><p>A) -1 B)O0 Cc) 1</p><p>D) 1/2 E) 2</p><p>Problema 9</p><p>Si a+p=600 A</p><p>a—B=45"</p><p>calcule</p><p>E=sen'a —sen*p</p><p>l6 J6 6</p><p>A) G B) Fs a 3</p><p>6 y 6 D) de E) +</p><p>Problema 10</p><p>Calcule el valor de</p><p>E=sen24".cos6”</p><p>A) 45 B) a</p><p>o qe</p><p>D) Sel E) ves</p><p>GIVE ATT</p><p>Problema 11</p><p>Factorice</p><p>E=cos2xcosx-sendxsenr</p><p>A) cos3xcos2x B) sen3xsen2x</p><p>C) sen2xcos3x</p><p>D) sen3xcos2x E) cos4xcos2x</p><p>Problema 12</p><p>Simplifique</p><p>E = senóxserw +sendrsenx —sen5xsen2x</p><p>A)1 B)0 €l-1</p><p>D) 2 E) 2</p><p>Problema 13</p><p>Si 3(sen5x+senx)esc4x = 4,</p><p>calcule M =3(sen7x+senx)cos4x</p><p>nd al ¿2</p><p>15 13 5</p><p>4 y 17</p><p>D) 9 Ej 9</p><p>Problema 14</p><p>Reduzca</p><p>¡ - Senx+cos y</p><p>Seny +08 x</p><p>A PY 5 Y ayi -L | B) tg] 459-242</p><p>A)g[45%s3 2) El Z A</p><p>og[* y</p><p>D) (53) E) tE (45%x +y)</p><p>e ER A E</p><p>al ra. o lle de il a el al</p><p>Problema 15</p><p>Ñ cos3dx—cosó5a í</p><p>-tosdy</p><p>PO</p><p>l+c0s2x</p><p>A) Yn Dn O 1?</p><p>py! E) 7?</p><p>mM</p><p>Problema 16</p><p>Reduzca</p><p>f</p><p>cos7x+cos5x Cos x—cosAx /</p><p>A) csc2x B) sec2r O) escáx</p><p>DD) tag2r E) 2 tex</p><p>Problema 17</p><p>Factorice trigonométricamente</p><p>4M =1 + 2seni0"</p><p>A) 4sen10%cos20" B) 8sen10” cos” 10?</p><p>C) 8sen20" cos” 10%</p><p>f y a Eñ > 1</p><p>19) 4sen5"cos10" E) 8senP"cos” 5"</p><p>Problema 18</p><p>senfa+b=-u)+senla+h+c) 3</p><p>A. —_—————_ _— _ —_—— == A</p><p>cos(a+b+co)+cos(e=a—h) 2</p><p>1 har te 5</p><p>halle M= (taa) 50</p><p>Aj) L B)3 04</p><p>25</p><p>D) 1 E) 3</p><p>AR</p><p>E =| sen7x- sen5x ) sendx-—seny |</p><p>Proyecto Ingenio</p><p>Problema 19</p><p>Factorice trigonométricamente</p><p>M=J6+243 +4/2</p><p>A) 8sen7"30" cos22"30'</p><p>B) 8c057"30' cos22"30'</p><p>O) 4sen64"30' sen61"30'</p><p>D) 8sen7"30" sen22"30'</p><p>E) 8sen28"30" sen43"30'</p><p>Problema</p><p>20</p><p>Reduzca</p><p>VW =cos ñ + Ss. +COS e 5 = ps Dc AT a a</p><p>16 16 16 16</p><p>A) esc B) ser</p><p>Il</p><p>a 31</p><p>O) ese</p><p>ló</p><p>la la</p><p>13) E A</p><p>Problema 21</p><p>Exprese como producto</p><p>E = cos0” + cos20” + sen20"</p><p>A) 442 cos 10"sen35"</p><p>B) 22 cos10%t9s38 7</p><p>C) 2/2sen10"sen35"</p><p>D) 242cos10"sen35"</p><p>E) 242sen10"sen35"</p><p>oblea 22</p><p>Simplifique</p><p>J =sendxcos2x + sendrcos4yí — senvcosóx</p><p>AJO B) senx C) sendr</p><p>D) sen5x E) sen9x</p><p>Problema 23</p><p>Determine el valor de</p><p>J = sen40”cos20? + sen100%cos40* —</p><p>sen20”cos80"</p><p>ais ig als</p><p>2 4 go</p><p>3 3 D) 2 E) 2</p><p>Problema 24</p><p>Halle el valor de la expresión</p><p>_ 2sen42" cos18” -sen24"</p><p>sen17*+2sen18* 00535</p><p>543 5 5</p><p>A) a B) 3 O ó</p><p>8 8</p><p>Problema 25</p><p>Simplifique</p><p>M-= ¿sendxcos2x —senóxr</p><p>= 2Acos2Zxcosx—cos3x</p><p>A) senx B) 2senx C) cosx</p><p>D) 2c0s5.x E) -2senx</p><p>Problema 26</p><p>Calcule A = coso > + sent00"senz00*)</p><p>A) 1 B) 3 aj</p><p>D) $ EL</p><p>Problema 27</p><p>Si las funciones f y g son equivalentes,</p><p>calcule AB</p><p>cos3xsendx-—cosdisenx</p><p>hy” cos5xcos2x-cosáxrcos3x</p><p>8. = ActgBx</p><p>A) 2 B) -1 Ol</p><p>1</p><p>Da EJ == ) ) s</p><p>Problema 28</p><p>Calcule el valor de</p><p>E = cos55” sen25” + sen35"sen25”—</p><p>- sen80? + sen90?</p><p>A) “5 B) 1 c)0</p><p>1</p><p>E — D)1 S</p><p>Problema 29</p><p>Reduzca</p><p>_ sen20* +4/3 00520" +/2 (sen5”-cos5*)</p><p>sen20"+4/3 cos20"+4/2 (cos 5"-sen5")</p><p>A) /3tg20" B)y/3ctg20” C) Bayon</p><p>PE 20" E) 2tg10*</p><p>ais ENT: E Ono o</p><p>Problema 30</p><p>Halle el valor de</p><p>I=cosdx+cosBx 4 cos2x</p><p>si sen2rescl4x = ></p><p>A)2 B) 8” O;</p><p>l :</p><p>=</p><p>D3 E) 0</p><p>Problema 31</p><p>Reduzca</p><p>AM = sen47"+sen61*- sen11” — sen25”</p><p>A) cos3” B) cos5" C) cos?”</p><p>D) cos9” E) cos11*</p><p>Problema 32</p><p>Si 4= 191-183 +t875 tas</p><p>um Tr</p><p>ecruivale a MOE , halle el valor de "£”.</p><p>5 3 y pá El</p><p>3</p><p>a ñ 845 Ne</p><p>M3 E) 5</p><p>Problema 33</p><p>Elimine 'x" y "y" de:</p><p>cos(x+7y) cosdxr+5v_</p><p>a b</p><p>_cos(5x+3y) _ cos(7x+ y)</p><p>€ d</p><p>A) ata + b)=dí(b + d)</p><p>B) ad+o?=h+d?</p><p>O) cla +e)= b(b + d)</p><p>D) b(a + b)= ete + d)</p><p>E) día +d)= clc + b)</p><p>Email ts ad A enio</p><p>eo (289%. e EAT el</p><p>Problema 34</p><p>A partir del gráfico, halle</p><p>pe sen149sen80</p><p>Ñ sen*30</p><p>17d | UN</p><p>2)</p><p>7] )</p><p>e/ l</p><p>, pS Su “A y</p><p>ÁS E RA</p><p>SA o a Dl E</p><p>A) 9 B) 8</p><p>C) 16</p><p>D) 20 pzz</p><p>4</p><p>Problema 35</p><p>2. exmreci?</p><p>ol la po atun</p><p>2sen3x</p><p>cosdx+cos2x cos3xr+c0sx</p><p>2sen?2x</p><p>equivale a tg4x+tgBx,</p><p>halle 4x3</p><p>A)1 B) 2 03</p><p>Dé E) 8</p><p>Problema 36</p><p>En un triángulo rectángulo ABC (C = 90")</p><p>se tiene que:</p><p>a = (sen20” + sen40” + senó60”)A</p><p>b=(cos20" 4+c0540" + cos60%)k</p><p>Hilo: cl inraállo dediého triángulo.</p><p>A) (Jásen35*cos20*)A</p><p>B) (V2sen25*cos10")k</p><p>C) (V2sen25"sent0”)4</p><p>D) (2V2sen35"cos20”)k</p><p>E) (V2sen10"cos25")4</p><p>Problema 37</p><p>Si</p><p>sen*xcosdx=c0s20+c05 40 +c0560</p><p>cos*xsendx =sen20 +send0 +senód</p><p>halle la expresión más reducida de</p><p>_sen4(0+x)</p><p>sen4(0- x)</p><p>A) cos2x - B) sec2x</p><p>C) sen4rx</p><p>1830 send</p><p>2) tg0 sen</p><p>Problema 38</p><p>Si (cos24 -sen99)” =(1+senay)(1 +senby)</p><p>halle "a + 5”.</p><p>A) 11 B) 7 C)9</p><p>D) 18 E) -18</p><p>Problema 39</p><p>Reduzca</p><p>sena sen2x</p><p>An A 7</p><p>cosrecoslóx cos?r+cos2”r</p><p>(¿BL y E 19 términos</p><p>cos31+c0s3 r</p><p>1 1</p><p>A) 5 ctg209 B) 7ctg190x</p><p>1</p><p>C) 7*8171x</p><p>1 1</p><p>D) 7 820% E) 7 !g190x</p><p>Problema 40</p><p>Si</p><p>in E</p><p>y5</p><p>halle el valor de</p><p>M =ysen*5x —sendxsen7x</p><p>_ 4 3</p><p>3 5 05</p><p>D) z E) ?</p><p>Problema 41</p><p>Sabiendo que</p><p>l6sen*xcos? x = asenx +bsen3x +csen5x</p><p>calcule a+b+e</p><p>A) 1 B2. O.3</p><p>D) 4 E) 5</p><p>L5E MO OIM IA</p><p>Problema 42 Problema 45</p><p>Reduzca En la figi1.., halle “x"</p><p>pe 2. senl(x-y) Mn</p><p>tgr+lgy 2(sen*x-sen” y)</p><p>Y</p><p>SA bx</p><p>A) tg(x+ y) B) sen(x+ y)</p><p>C) cta(x— y)</p><p>, A B) 5” 6</p><p>D) sen(x— y) E) ctg(x+y) ZUR )</p><p>Dy7? E) 8?</p><p>Problema 43</p><p>Problema 46</p><p>Si sen'0=sen(0-15")sen(9-75%),</p><p>) ( ) Calcule el valor de</p><p>halle</p><p>P= cos: 41"+c08*19%-cos41cos19"</p><p>J = send sen(0 +45")</p><p>o 3 5</p><p>A) — B) =</p><p>A) y2 B) y2 4 4</p><p>2 4</p><p>0) =</p><p>O y2 2</p><p>6</p><p>6 a 3 DS E) 2</p><p>2 5 8</p><p>p) 2 ae</p><p>3 8</p><p>Problema 47</p><p>Problema 44 Si cos26” = a, calcule en términos de "a"</p><p>Si el valor de la expresión</p><p>: Sa 8</p><p>tg (307 30"+x)+ tg(34*30 -x)= qe EL 2sen78? ></p><p>- Ag26"+1g52* 7</p><p>calcule cos2x. y</p><p>A) a B) 2a O a*-1</p><p>A) 0,28 B) 0,14 C) 0,07</p><p>D) 0,47 E) 0,35 D) 24? +1 E) 3a -1</p><p>ATI ct Copia</p><p>Problema 48</p><p>En un triángulo ABC, a qué es igual</p><p>J = AsenA cosB cosC</p><p>A) sen2A — sen2B — sen2C</p><p>B) sen2B + sen2C — sen2A</p><p>O) senlA — sen2B + sen2C</p><p>D) sen2A + sen2B + sen2C</p><p>E) sen2A + sen2B - sen2C</p><p>Problema 49</p><p>Si en un triángulo ABC</p><p>8senA cos A = sendA +senA ,</p><p>calcule y = Sen2B - sen2C</p><p>sen(B - C)</p><p>1 1 | Ay B) a</p><p>4 ) 4 2</p><p>p)-? E) -1</p><p>2</p><p>Problema 50</p><p>¿Cuál es el valor máximo de</p><p>J= [/3sen(20" +x)+ cos(20%+x)]</p><p>[3sen(63*-x) - 4cos(63”-x) | ?</p><p>A) 10 B) 543</p><p>5</p><p>5 y Ao D) 7 E) 32-43)</p><p>A ade</p><p>Problema 51</p><p>Si</p><p>T</p><p>+(2k+1)= x ( o y</p><p>sengxcos1lr+sendrcos17x=0,</p><p>calcule</p><p>L= Lo</p><p>sendx senx</p><p>A) 1 B) 2 C)0</p><p>D) 1 E) 2</p><p>Problema 52</p><p>Calcule el máximo valor de</p><p>A= cos2x+2c053xc051x</p><p>3</p><p>A) => B) -1 C)2</p><p>5</p><p>D)3 Ej £ ) ) ></p><p>Problema 53</p><p>Calcule el valor de</p><p>L = esc38” + esc22"</p><p>v2 2/2</p><p>Na 3</p><p>70</p><p>— 2</p><p>C) 3”</p><p>35 35</p><p>E =P</p><p>D) 3? E) 23</p><p>ALDEA LS es</p><p>Problema 54</p><p>51 4(c0850 +c0530)(sen30 — send) =</p><p>= tg20” tg40” tg80?</p><p>donde</p><p>80 e (o, 2)</p><p>2</p><p>calcule</p><p>tg20+1tg60+tg100</p><p>A)5 B) 4 C)3</p><p>D) 243 -1 E) 543</p><p>Problema 55</p><p>Calcule el valor de x, comprendido entre</p><p>0* y 180%, que hace máxima la expresion</p><p>sen(x +20”) +sen(x-507)</p><p>A) 60" B) 75” C) 95*</p><p>D) 105% E) 120?</p><p>Problema 56</p><p>Simplifique la expresión</p><p>cos7A +cos5Asen3B + cos3A</p><p>sen7A + sen5Asen3B +sen3A</p><p>A) tg3A B) ctg3A C) ctg5A</p><p>D) ctg5A E) tg2A</p><p>Proyecto Ingenio</p><p>Problema 57</p><p>En la siguiente identidad</p><p>a sen*5x—sen*3x E senÁx</p><p>sen3x +senx cos Bx</p><p>k, A y B son constantes.</p><p>Calcule AB</p><p>A) 4 B)3 C)2</p><p>D) 1 E) 0</p><p>Problema 58</p><p>En un triángulo ABC se cumple</p><p>sen2A + sen2B = 2senC.</p><p>Luego, el triángulo es:</p><p>A) acutángulo</p><p>B) rectángulo</p><p>C) obtusángulo</p><p>D) isósceles</p><p>E) equilátero</p><p>Problema 59</p><p>La igualdad</p><p>sen? xsendx + c0510x = kÁcos Arcos Br</p><p>es una identidad trigonométrica, donde</p><p>k, A y B son constantes positivas.</p><p>Calcule AB + k</p><p>A) 19 B) 21 C) 22</p><p>-D)24 E) 25</p><p>¿AIDEMD” +.</p><p>Problema 60</p><p>La expresión</p><p>sen(30"-24) + cos(60"-2c1)</p><p>escóa</p><p>es equivalente-a:</p><p>A) 0,5(senga</p><p>B) 0,5(cosda</p><p>C) 0,5(senga</p><p>D) 0,5(cosda + cosda)</p><p>E) 0,5(cosña — cosda)</p><p>+ cosda)</p><p>+ senda)</p><p>+ senda)</p><p>Problema 61</p><p>Si sen35"sen25"= 7</p><p>MAINE A E : Mt</p><p>Problema 62</p><p>De acuerdo al gráfico, halle el equivalente</p><p>de</p><p>xy."</p><p>halle el equivalente de A) sen60 +send0 —sen20</p><p>= E 47 Y .</p><p>IN =1E0850 epeHl B) sen60 —send4o — sen20</p><p>a, 1 a_l Srl C) sen40 +sen20 — sen60</p><p>Y 3472 lo"</p><p>D) sen60 + sen40 + sen20</p><p>py £- 1 E) a E</p><p>2 4 2.9 E) sen20 -send0-sen60</p><p>——</p><p>TX vO</p><p>CAPÍTULO</p><p>A,</p><p>11.1 FUNCIÓN REAL DE VARIABLE</p><p>REAL</p><p>Se denomina función real de variable real</p><p>al conjunto de pares ordenados de</p><p>números reales (x, y), en el que y está</p><p>relacionado con x por una determinada</p><p>ley de correspondencia, de modo que</p><p>para cada valor de x hay uno y sólo un</p><p>único valor de y que le corresponde. La</p><p>relación que empareja y con x se puede</p><p>expresar mediante una ecuación O</p><p>cualquier enunciado y se puede</p><p>representar gráficamente mediante</p><p>diagrama de flechas o en el plano</p><p>cartesiano.</p><p>Es importante reiterar que en una</p><p>función, en cada par ordenado (x, y) para</p><p>cada x hay uno y sólo un valor de y. La</p><p>variable x se denomina variable</p><p>independiente y la variable y, variable</p><p>dependiente.</p><p>Por ejemplo, la edad es función de la</p><p>persona, porque a cada persona le</p><p>corresponde una, y sólo una edad. No</p><p>hay personas con dos edades, aunque</p><p>pueden haber dos o más personas con la</p><p>2. fa</p><p>Funciones |</p><p>Trigonométricas</p><p>misma edad.</p><p>Ejemplos:</p><p>E A SS (3; 2), (1; 5),(4; 39,11; 5); e s</p><p>una función, porque en cada par</p><p>(x.y) para cada x hay uno y sólo un y.</p><p>= (11 0,3; 5,0; 2,2; 4)</p><p>No es función, porque hay 2 valores</p><p>de y para x =1: 4 en (1; 4) y 2 en (1; 2)</p><p>3. En la gráfica</p><p>9 h]</p><p>g, es una función y g, no lo es.</p><p>4. En los gráficos:</p><p>Y</p><p>3 e A E .</p><p>f</p><p>YA</p><p>dp .</p><p>3h. hrs</p><p>al</p><p>5</p><p>2 ananinaddna $</p><p>PE | .</p><p>1311123 0%</p><p>fes una función. g no es función</p><p>porque a x=2 le corresponde 2 y 3.</p><p>5. En los gráficos.</p><p>YA</p><p>frepresenta una función, mientras que g</p><p>no es función, porque, por ejemplo, para</p><p>x = x, hay dos valores de y que le</p><p>corresponden.</p><p>Notación de la función:</p><p>* Una función real de variable real,</p><p>esto es, que en todo par (x, y),x € R</p><p>A y€R se denota:</p><p>[1=r>R]o [SERR]</p><p>+ Una función f que depende de x o</p><p>que tiene por variable independiente</p><p>a x y por variable dependiente a y, se</p><p>denota por:</p><p>y=/f(x)</p><p>Donde f (x) puede representar una</p><p>expresión en x. Por ejemplo:</p><p>y = 3x-51+42 6 f (x)=3x* - 51+2</p><p>DOMINIO Y RANGO DE UNA</p><p>- FUNCIÓN</p><p>Dada una función y= f(x), el dominio de</p><p>f es el conjunto de valores que toma x en</p><p>la función, y el rango es el conjunto de</p><p>valores que toma y en la función. El</p><p>dominio de f se denota por Df y el rango</p><p>de f' se denota por Rf.</p><p>Ejemplos:</p><p>1. En y=43x-12, los valores de x</p><p>están restringidos por la raíz</p><p>cuadrada, variable real, de modo que</p><p>3x-1220 >x>24</p><p>Los valores de y también quedan</p><p>restringidos por su naturaleza real.</p><p>[y20> Rf =[0; +0o)]</p><p>2. En la función:</p><p>f(x) =3x +12</p><p>x puede tomar todos los valores</p><p>reales y también f(x) puede tomar</p><p>todos los valores reales. Luego:</p><p>ENE ROI AA</p><p>3. En la función:</p><p>Ho) =2x 10; -1 -12x=</p><p>10</p><p>—2 Rf =[-12; 0]</p><p>GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN</p><p>La gráfica de una función, es el conjunto</p><p>de puntos del plano cartesiano RxR</p><p>cuyas abscisas pertenecen al dominio y</p><p>cuyas correspondientes ordenadas, al</p><p>rango de la función.</p><p>Gf=ÑUx,1)e RxR/xe Df A y= FoD</p><p>Ejemplo:</p><p>1. Graficar la función</p><p>F=16L -2),(0; 0),(1; 2),(2; 4))</p><p>e indicar el dominio y el rango</p><p>Resolución:</p><p>YA</p><p>+</p><p>Al</p><p>no</p><p>4 04 1 21 3 4 ey</p><p>=P</p><p>La gráfica de la función f son 4 punt</p><p>, coloniales.</p><p>Df = 1-1; 0; 1; 2]</p><p>Rf =1-2; 0; 2; 4;</p><p>2. Grafique la función g(x)=2x</p><p>YE (E 2]. Indique gráficamente «</p><p>dominio y rango de la función.</p><p>Resolución:</p><p>Si g(x) es de primer grado, entonces s</p><p>gráfica es una recta.</p><p>Para graficar una recta es suficient</p><p>ubicar dos puntos de paso.</p><p>Los puntos de paso de cualquier recta</p><p>curva se hallan dando un valor arbitrari</p><p>a x, dentro del dominio, y hallando s</p><p>correspondiente ordenada.</p><p>Los puntos de paso de la recta son el</p><p>(1,2) y (1; 2)</p><p>1% Ubicamos los puntos.</p><p>YA</p><p>2 (152)</p><p>-l 1 ]</p><p>ll</p><p>>=</p><p>(-1;-2)</p><p>2” Trazamos la recta que pasa por estos</p><p>puntos.</p><p>YA</p><p>3</p><p>SM A MN A ></p><p>5oy ole : aia 1” Ubicando los punto: y bosquejando son dos elementos del Df y x*:</p><p>la gráfica.</p><p>entonces fx)+ /(x3,) para cualqui</p><p>valor x, y x3enA.</p><p>fesinvectiva Y dy E Df, x, 4</p><p>> f(x) 4 f(x,)</p><p>Ejemplos:</p><p>YA</p><p>». a)</p><p>Xx</p><p>Pisa</p><p>2” Ubicando el dominio y, hallamos el ;</p><p>gráfico final de la función. -</p><p>eE lr):</p><p>PR</p><p>ya >/J(1)+ Ax,)</p><p>fes invectiva</p><p>Rf</p><p>b)</p><p>Fixid/ ] FUNCIÓN INYECTIVA O UNIVALENTE .</p><p>A y</p><p>Una función f:4->8B donde Rf = f(A) |</p><p>es inyectiva o univalente si cada a COIN</p><p>y El mismo valor de Rf es imagen de x</p><p>elemento f(a) del rango /() es la</p><p>l x,, siendo 1x4: La función no</p><p>imagen de solamente tii elemento « del :</p><p>dominio de f(Df = A). Estoes, si 1,4 * inyectiva.</p><p>CEM</p><p>YECTIVA O EPIYECTIVA</p><p>9 fes una función de A y B (f:4->8)</p><p>se dice que la función es sobreyectiva,</p><p>suryectiva o epiyectiva, si Rf -B</p><p>Fial= kB suryectiva Rf =B = FA)</p><p>Esquemáticamente:</p><p>F:A>B F:iA=>.b</p><p>A o B Ar"—bB</p><p>f: imyectiva fono es suryeciioa</p><p>Ejemplos:</p><p>l. ¿La función /:[-1; 3) >[-4; 4), tal</p><p>que f(x) =2x-2, es suryectiva?</p><p>Solución:</p><p>Hallemos Rf. Si Rf coincide con [-4;4)</p><p>entonces es suryectiva, en caso contrario,</p><p>no lo es</p><p>Df =[-1:3) >-1-2-452r-2 AS flx)Rf =[-4;4)</p><p>-, es suryectiva</p><p>2. ¿La función f:[-1;2)->[-1;4) tal</p><p>que f(x)=x*es suryectiva?</p><p>(300) TE 2</p><p>FUNCIÓN SURYECTIVA, SOBRE-</p><p>a)</p><p>Resolución:</p><p>Construvendo la gráfica de la función</p><p>tenemos.</p><p>Vemos que Rf +|-1,4) entonces la</p><p>unción 20 0s suryocliva.</p><p>FUNCIÓN BIYECTIVA</p><p>Una función f: A-> Bes biyectiva, si es</p><p>inyectiva y suryectiva.</p><p>Ejemplos:</p><p>1. La función f:[0;+00)->[0;400) tal</p><p>que f(x1)=x% 05 biyecliva, porque es</p><p>univalente y suryoctiva.</p><p>y |</p><p>b</p><p>5</p><p>3 .</p><p>Jia</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>(0 1 . 2 pa</p><p>Df =[0;+=0) A RA=([0;00)</p><p>COEM</p><p>2. ¿La “unción £:10; +%)->8 tal que</p><p>Fx). dx es biyectiva?</p><p>Resolución:</p><p>Graficando la función:</p><p>e Fesinvocliva</p><p>. Í no 25 5 Li rvectiva,</p><p>Rf =[0; +00)+ E</p><p>porque</p><p>+. La función no es biyectiva,</p><p>Para que la función f(x) = Vx sea</p><p>bivectiva tiene que estar definida en</p><p>F0;+[0;+00)</p><p>FUNCIONES MONÓTONAS</p><p>Función no creciente</p><p>Una función f se llama no creciente, si</p><p>rara cualesquiera dos valores Y, Y *, del</p><p>Jominio de f:</p><p>six, 1) > f(x)</p><p>Función decreciente</p><p>Una función f es decreciente, si para</p><p>cualesquiera dos valores x, y x, del</p><p>dominio de f</p><p>lsi y f(x)</p><p>2 GO TU</p><p>Ejemplos:</p><p>y Y</p><p>|</p><p>Fix) ;</p><p>Piición ho recio nde Puinión decntciente</p><p>Función no decreciente</p><p>Una función fes no decreciente, si para</p><p>cualesquiera dos valores x,, x, del</p><p>dominio de fx:</p><p>| si x, /(x,) Fix,) —re Df</p><p>id fE)=/6)</p><p>En una función par, la regla de</p><p>correspondencia no cambia cuando se</p><p>sustituye x por (-x)</p><p>La gráfica de una función par, es</p><p>simétrica respecto al eje Y. Al reflejarlo</p><p>respecto al eje Y no varía.</p><p>TEMO:</p><p>plas:</p><p>1. La función — f(x)= porque</p><p>est = Y, es decir,</p><p>Mex) = fl)</p><p>Y</p><p>. mn</p><p>Mie = 007</p><p>X</p><p>2. La función</p><p>f(x) = cosx es par, porque,</p><p>como se ha visto:</p><p>cosí-x)=cosx => f(x) = cos(-x)</p><p>=> Mex)=cosx= (1) > Mex) => £(x)</p><p>Función impar</p><p>Una función f se llama impar si:</p><p>i) xeDf=>-xeDf</p><p>e AS</p><p>Al sustituir x por —x, se obtiene la misma</p><p>regla de correspondencia pero con signo</p><p>opuesto.</p><p>Gráficamente, al reflejarla respecto al eje</p><p>X resulta igual que reflejarlo respecto al</p><p>eje Y, por lo que la gráfica de una función</p><p>impar es simétrica respecto al origen.</p><p>Ejemplos;</p><p>4</p><p>1. La función f(x)=x" es impar,</p><p>porque</p><p>ala > ero on)</p><p>A GIA A MT</p><p>2. La función /(x)=senx es impar</p><p>porque, como se sabe</p><p>sení—x) = -senx</p><p>=> f(x) = sen(-1)=-senx</p><p>> fox) =-f(x)</p><p>Yi 3. y</p><p>06: | ha Lem 20</p><p>Mozo (xv) . L</p><p>o f(x)</p><p>aL a) Fes ina función impar de</p><p>ho es par niimpar</p><p>Función periódica</p><p>Una función f se llama periódica, si</p><p>existe un número real 7+0 tal que:</p><p>iD si xeDf =(x+7)e€ Df</p><p>1) f(r+T)=/(): WreDf</p><p>El número T se llama periodo de la</p><p>función f. Gráficamente, al trasladar</p><p>horizontalmente una distancia igual al</p><p>período, la gráfica coincide con la</p><p>original.</p><p>Ejemplos:</p><p>1. La función f (x) cuya gráfica se</p><p>muestrá</p><p>Adi</p><p>AS > X X</p><p>es una función periódica de pertolla</p><p>1=4</p><p>SENO o 0 TO</p><p>2. Sabemos que sen(x+21)=senx 11.2 FUNCIONES</p><p>entonces la función /(x)=senx es TRIGONOMÉTRICAS</p><p>periódica porque => f(x+21)= f(x) Se denomina función trigonométrica al</p><p>donde el periodo es 7 =2x conjunto de pares ordenados (x, v), tal</p><p>3. La función cuya gráfica se muestra que la primera componente “x” es la</p><p>medida de un ángulo trigonométrico en</p><p>radianes (número real) y la segunda</p><p>componente “y” es el valor de la razón</p><p>trigonométrica de *.</p><p>Es decir:</p><p>no es periódica, porque FT =((x,1) RxE/v=R. 4x0)</p><p>fa+Dr fx)</p><p>FUNCIÓN SENO</p><p>[Y = (xy) RxR / y =senx, x€ R)]</p><p>Como muestra vamos a ilustrar un método para construir el gráfico de la función seno.</p><p>La gráfica de las otras funciones las expondremos sin mayores explicaciones,</p><p>entendiéndose que se pueden obtenerlas por un procedimiento análogo al utilizado</p><p>para la gráfica de la función seno.</p><p>e,</p><p>a e A ERE q a,</p><p>rai ir</p><p>Si graficamos también para los arcos negativos, resulta.</p><p>5 INE JJ A MN</p><p>MIC eds IE la O ei LIE ja MIC a INE] *</p><p>as Nugátiva e Positivo ca Negativa es Positivo e</p><p>A Creciente es Decriciente e. Creciente</p><p>de Peris = 1: A</p><p>Dominio: Df =R Rango: Rf =[-1¡1U(EH Creciente Es Decreciente Es Creciente +</p><p>«Negativo es Pusitivo sia Negalivo</p><p>ia ¿Periodo = 27T...' -</p><p>Dominio: Df =K Rango: Rf =[-1,1]4 ax, NEZ -(20+1)5; ne)</p><p>Gráfica de la función tangente</p><p>vá</p><p>ty</p><p>(tangentuide) : E — Asintita</p><p>: , al</p><p>E :</p><p>E A: ) E: v</p><p>; eN 2:</p><p>on aa</p><p>Doa</p><p>E</p><p>ia Creciente ma Creciónte "</p><p>. Periodo - JE mo Periodo Tr .</p><p>la se en a e</p><p>Negativo: Pusitivo + Negativo? Posilivo</p><p>Rango: Rf =R</p><p>FUNCIÓN COTANGENTE</p><p>F=Ktx:y)eRxR/ y =ctgx, x € lR -[m); ne 2%)</p><p>GIN ATT</p><p>v ='¡ctglx)</p><p>Cotangentoide;</p><p>Asíntotas Se</p><p>S MIC >> IVC 5,</p><p>mia mo »</p><p>* Positivo - : Negativo”? * Posilivo + Negativo: Positivo :</p><p>s Deurec tente .. Decreciónte »:</p><p>- Periodo = TI . Pernodo =X "</p><p>Rango: Rf = E</p><p>FUNCIÓN SECANTE</p><p>f=(x;y)eRxR/y=secx, xeR-(2n+1)5; A</p><p>SEMI) Ra A ja “Goy E Ec CERO Proyecto Ingenio</p><p>Gráfica de la función secante</p><p>Ya</p><p>0 socrsecan told</p><p>a</p><p>21</p><p>TN A</p><p>: a Positivo es Negativo e</p><p>e bl</p><p>* Decrec +: Derrec: Urec + Uroc + Decrec:</p><p>: ' : Penodo TT : -</p><p>Rango Rf =R-(-1 1)</p><p>FUNCIÓN COSECANTE</p><p>f=Uxy)eRxR/y=cscx, xeR-=m nel;</p><p>V=i5cr</p><p>¿ (oosecantoide)</p><p>A</p><p>ls Negativo — «$. — Positivo es Nelativo</p><p>a mn ms E *</p><p>+: Crec ¿Decrec : Decre: Circe : Cree ; Deeres ;</p><p>: la E Periodo = 27 :- "</p><p>Rango: Rf =R-(-1; 1)</p><p>Desrilazamientos de la gráfica de</p><p>una función</p><p>Desplazamiento vertical</p><p>Dada la gráfica de la función y= f(x) la</p><p>gráfica de y =fla)+c resulta de</p><p>desplazar la gráfica de f(x). e unidades</p><p>verticalmente.</p><p>i) hacia arriba si c>0Ú</p><p>ii) hacia abajo si c 0</p><p>Wal tad</p><p>Ejemplo:</p><p>En la siguiente figura se muestra la</p><p>gráfica de y=sen( +3). En líneas</p><p>discontinuas la gráfica de y=5Senx</p><p>. o</p><p>vo senfíx*+ —1,comprimirla, si 0 1,</p><p>estirarla, si 0</p><p>: EE NE 3 FX</p><p>A s 3 3 E</p><p>7</p><p>vesenir 1=sene</p><p>En la gráfica y =sen(x+C), de el efecto</p><p>que produce C en la gráfica de y=senx</p><p>os desplazar (desfazar) a la izquierda si</p><p>C>0Dala derecha si € A=3</p><p>El periodo es a =T</p><p>El ángulo de fase es € =></p><p>La gráfica resulta estirando el gráfico de</p><p>y = senx verticalmente 3 unidades, com-</p><p>primiendo horizontalmente y despla-</p><p>zando + a la izquierda.</p><p>ESTI DS E a</p><p>.Prosremas KR esueros</p><p>Problema 1</p><p>Señale verdadero (V) ó falso (F) en:</p><p>L— En (0; 1) la función</p><p>y =senx posee un máximo *1 ()</p><p>1, 31 se</p><p>IL En E =) la</p><p>función</p><p>2 2</p><p>y =senx es decreciente ()</p><p>UL En y=(3 5 3) la función</p><p>y =senx es creciente l )</p><p>A) VWF B) FVV O)VVvV</p><p>D) VFV E) FVF</p><p>Resolución:</p><p>Graficando la función</p><p>y =senx:</p><p>*) q</p><p>2 2</p><p>y</p><p>L.. Verdadera: máx = 1 (V)</p><p>IL Verdadera: ,/ es decreciente (VW)</p><p>IL. Verdadera: / es creciente (V)</p><p>Rpta: €</p><p>Problema 2</p><p>Señale verdadero (V) ó falso (Fjen:</p><p>Il. En (0;x) la función</p><p>y=cosx* es decreciente ( )</p><p>3</p><p>IL En (5 > ") la función</p><p>Y=Ccosx posee un máx +1 ()</p><p>UL. En (353) la función</p><p>y=cosx es creciente y</p><p>decreciente ()</p><p>A)VWVV B)FFE C)VFV</p><p>D) FVF E) FVV</p><p>Resolución:</p><p>Graficando la función y =cosx diremos</p><p>4)</p><p>Ll Verdadera</p><p>O. Falsa</p><p>IL. Verdadera</p><p>: Y es decreciente</p><p>: mín =-1</p><p>ely ñ escreciente y</p><p>decreciente</p><p>Rpta: C</p><p>Problema 3</p><p>Señale el rango de la función</p><p>fx) = 3senx +1</p><p>20152</p><p>E) 53; 4)</p><p>A) [-1; 4] B) [-2; 4</p><p>D) [-3; 3]</p><p>RS a a o ta a pte ia pd A</p><p>Resolución:</p><p>Como -1 y = ——= X</p><p>cos</p><p>Pero: cosx *0</p><p>a. 3n</p><p>RMN RS</p><p>2 2</p><p>Graficando:</p><p>sy =sera; (EX ei =.7 | Rpta: 1</p><p>E</p><p>ENS</p><p>Problema 6</p><p>Del gráfico, calcule el área de la región</p><p>sombreada.</p><p>+</p><p>E</p><p>Y= COnY</p><p>A) 1/2 B) 27 C) 5</p><p>ny2 a 1/2</p><p>D) 7 E) a</p><p>Resolución:</p><p>Note que en “P”</p><p>senx=cosx => ¿EM -. 7</p><p>COS 1</p><p>1</p><p>>lanx=1>x=3</p><p>Luego la ordenada de “P” será:</p><p>x _ y2</p><p>Hallando el área:</p><p>bh 5.1, S=>7 => 5=>3T. 2</p><p>á y 1/2</p><p>4 ad >> d</p><p>Rpta: E</p><p>Problema 7</p><p>Proyecto Ingenio</p><p>Halle el rango de la función</p><p>S(x)= 3sen|3)+ 43, xe(3m;4m)</p><p>24.43) (44)</p><p>4,43)</p><p>D) ($45) E)(1:43)</p><p>Resolución:</p><p>Dato: 3n» n-Eseni =></p><p>S x_n F(0=2sen(13 s)</p><p>Dato: G Lx7 kn, keZ</p><p>En el problema:</p><p>FG) =(cscx+ctgx)sen 5</p><p>= ce Asent J(x)= ctg5sen;5</p><p>(e) = X. ej XX f()=c083; six*kn>>3*4>5</p><p>f(x) e 1 0)u(0; 1)</p><p>Rpta: €</p><p>Problema 10</p><p>Halle el rango de la función</p><p>_senx+sen2x+sen3x</p><p>F)> sen2x</p><p>ay (5; 1)u(1 5) 8) | 6)-12)</p><p>o|-+: ó)-12)</p><p>D) (=1; 0)U(0; 1) — E)(=L MUÍL 3)</p><p>Resolución:</p><p>sen2x=0 => xx*kE, keZ</p><p>Simplificando:</p><p>_ (sen3x + senx) +sen2x</p><p>O sen2x</p><p>f)= 2sen2xcosx+ sen2x</p><p>sen2x</p><p>fx) =2c0sx +1</p><p>De teoría:</p><p>-1 senx +sendx=0</p><p>Cálculo de valores no admisibles:</p><p>senx+sen3x=0</p><p>de donde 2sen2xcosx =()</p><p>¡)sen2x=0>x=43</p><p>X= E</p><p>li)cosx=0 >x=(2k+ 05 keZ,</p><p>Rpta: B</p><p>Problema 12</p><p>Calcule el rango de la función</p><p>si Df =| 0 5)</p><p>A) (1; 2) B) E 2)</p><p>D) (1; 2] E) (E >|</p><p>_ ta2x42</p><p>Fx) = lgar+T</p><p>e ae</p><p>O it</p><p>Resolución:</p><p>Expresamos la función f (x) en términos</p><p>lineales.</p><p>_tg2x+1+1 1</p><p>Jx)> ST - +21 (1)</p><p>Dato: OSx 505x+GSx</p><p>He ES</p><p>4" 4 4 4</p><p>Cálculo del Rango Rf:</p><p>Sabemos que:</p><p>Us sen(x+3) 1 =2</p><p>B) tg 3r>T=3</p><p>C) sendx > E >=</p><p>ul</p><p>a</p><p>D) esc or</p><p>E) sec2x > = To T=x</p><p>Rpta: E</p><p>yA RATA</p><p>Proba 11 E</p><p>¿Cuál es el periodo principal de la función</p><p>f()=2tg' [4 A ?</p><p>A) B)5 O 7</p><p>D)5 E)2n</p><p>Resolución:</p><p>Como se trata de la tangente:</p><p>fi E</p><p>p.+ 4</p><p>Rpta: €</p><p>Problema 16</p><p>Halle el período de la función</p><p>Fx) =sen3x [etg 2 -tg 3)</p><p>A)5 B)3 C)</p><p>D) Z E) yx</p><p>Resolución:</p><p>Simplificando la función por arco doble:</p><p>ctg0 - tg0 = 2ctg20</p><p>f(x) =sendx cg —tg 4)</p><p>f(x) =sen3x(2ctg3x)</p><p>f(x) =2c053x ></p><p>Cálculo del periodo:</p><p>2</p><p>di</p><p>Rpta: 1</p><p>Problema 17 Resolución:</p><p>Señale el período principal de</p><p>Fla)= cos” sena; VreR</p><p>Ajr B) ></p><p>4</p><p>0 |</p><p>D) 27 E) 5</p><p>- Resolución:</p><p>Simplificando la función:</p><p>Fx) = cos” x sonx</p><p>2 /(x) = (2senxcos)cosx</p><p>2 f(x) = sen2xcos x</p><p>4 f(x) = 2sen2xcosx</p><p>E</p><p>4 f(x) = sendx +senx</p><p>J(x)=(sendx+senx)</p><p>h</p><p>21 .4x.f>.</p><p>332</p><p>h =[2n;4n...</p><p>JT = 2</p><p>TI, =</p><p>Rpta: D</p><p>Problema 18</p><p>Graficar y hallar la amplitud en cada una</p><p>de las siguientes funciones:</p><p>F) y]</p><p>A) f(x) =2senx B) f(x)=>35emx</p><p>O) £(x) =3cosx</p><p>D) g(x)= Acosx</p><p>Í</p><p>E) Mx) =-Asenx F) Hx)=-5c05x</p><p>V=-5COSx</p><p>AD)5eM[]):> +</p><p>Problema 19</p><p>Graficar la función</p><p>fx) =sentx+cos*x, x€ (1; 1]</p><p>A) YA B) YA</p><p>A A RS</p><p>: :</p><p>—E</p><p>AA TT TR Xx</p><p>C) YA</p><p>——</p><p>1%</p><p>D) 5 E) va Resolución:</p><p>1 A —— Simplificando la función</p><p>e E =] 1Y</p><p>f(x) =senúx+ 3 cos? x</p><p>Resolución: Fx) =senix+cos?x+2cos” x</p><p>AAA</p><p>Sabemos que: 7</p><p>Pero: 2cos"x =1+c052x</p><p>Ji) = senix + cost y =1</p><p>fi) =1+1 +c0s2x</p><p>fO=1x€ (r 1]</p><p>f(x) =2+c082x</p><p>Graficando</p><p>Cálculo del periodo (7):</p><p>YA</p><p>: mn</p><p>-1 lx</p><p>Rpta: D</p><p>Problema 20</p><p>Graficar la función</p><p>f(x) =sen?x + 3cos” Xx</p><p>n =</p><p>GEA</p><p>Problema 21</p><p>Si f(x) =asenhx es una función cuya</p><p>gráfica se muestra en la figura adjunta,</p><p>determinar «+ bh.</p><p>Y</p><p>A) 15 B) 2,5 035</p><p>D) 4,5 E) 2,3</p><p>Resolución:</p><p>De la gráfica</p><p>X</p><p>Amplitud (A):</p><p>En y =asenbx: A=a</p><p>En el gráfico A = 3</p><p>.la=3</p><p>Periodo: (T)</p><p>En y=asenbx:T'= o</p><p>En el gráfico: f =4n</p><p>21 _ za = y = dr >1h = 7</p><p>Luego:</p><p>arb 3 ></p><p>Rpta: €</p><p>o ee a</p><p>Problema 22</p><p>Hallar $</p><p>vt oucoshx</p><p>Aj2 06</p><p>10) 8 E) 10</p><p>Resolución:</p><p>Graficando:</p><p>YA</p><p>y acoshx</p><p>|:</p><p>De la figura:</p><p>Periodo: T =8x (í)</p><p>De la ecuación: y = acosbx</p><p>12 (íi)</p><p>(1)= (ii):</p><p>2r</p><p>h =Bx=>bh= 1</p><p>4</p><p>Cálculo de a:</p><p>Six=41 > y=1</p><p>3</p><p>En la ecuación: y =acos%</p><p>>1=ac0s7>4=2</p><p>Luego: 578</p><p>Rpta: D</p><p>Graficar</p><p>y= Jsenxcos xtgx</p><p>Resolución:</p><p>Analizando la función</p><p>y ==, [senxcos xtgx</p><p>De tgx>x*(2k+ 105</p><p>Reduciendo:</p><p>Sena | E.</p><p>y= ¡[senxcosa 22 =wsenóx COSX</p><p>Si ac R= Va? =ja|</p><p>Luego: y=|senx] (í)</p><p>a 31 51 71</p><p>ET</p><p>Para graficar y=|senx graficamos</p><p>primero y=senx y luego la parte que cae</p><p>debajo del eje x la reflejamos respecto al</p><p>eje de abscisas:</p><p>Rpta: €</p><p>Problema 24</p><p>¿Para qué valores de x; O cosx ?</p><p>5</p><p>A) 0 1=%. => se 4074</p><p>De la gráfica se observa que si</p><p>5 T</p><p>Senx>cosx =>] EX</p><p>Ja) =sendacsecx + cos 3xsecx</p><p>Aj 7</p><p>4</p><p>= e</p><p>EN</p><p>-á</p><p>O ></p><p>4</p><p>- sm</p><p>-)</p><p>Resolución:</p><p>Cálculo del dominio de f:</p><p>>reOkr+nA secx—» x*(24 az her</p><p>escx > xt km |</p><p>15 ul Df :R 143)</p><p>De arco triple: sena =2c052x +1</p><p>Sener</p><p>cos 3x =2c052x-1</p><p>COS Xx</p><p>En f(x):</p><p>f)= sendx, cos3x</p><p>senx — COSy</p><p>f(1)=2c082x+1+4+2c052x-1</p><p>f(x) =4c082x</p><p>Cálculo del periodo</p><p>a nr 5 FF =1k</p><p>Graficando:</p><p>y</p><p>Rpta: A</p><p>Problema 26</p><p>Graficar la función</p><p>Fx) = (tg + |tgx])</p><p>A) 5'A</p><p>B) YA</p><p>a</p><p>]</p><p>=Y</p><p>DE TO tooo</p><p>Resolución:</p><p>Reduciendo la función</p><p>100 =>3(tgx+[t8x]) (+)</p><p>IN SEEN</p><p>tgx>0 = |tgx| = tgx</p><p>1) Si xel,IvC</p><p>2x|=—tgx</p><p>AGD MATT</p><p>En la ecuación (*):</p><p>qe rel, MC</p><p>Í0=Y Ox, IVC</p><p>Graficando:</p><p>o ye</p><p>a</p><p>3</p><p>Rpta: Á</p><p>«IP ROBLEMAS De Exámenes De A DMISIÓN</p><p>Problema 1</p><p>Dada la función</p><p>f(x) =tgxr+cotxr+ /senx + ycosx, halle</p><p>el dominio de /. (UNI 04-1)</p><p>A) (kx, A+ /2), Vk e 2</p><p>B) Qkx,2kn+1/2), Vk eZ</p><p>(O) Qkr+m, 24431 /2), Vk e Z</p><p>D) (2kx-1/2,2km), Vke7,</p><p>E) [kn,kn+1/2], Vk € Z</p><p>Resolución:</p><p>f(x) =tgx + cotx+/senx + /cosx</p><p>Expresando en términos de senos y</p><p>cosenos:</p><p>sen S COS Y</p><p>cost sent</p><p>+4 SenY + cos. x f()=</p><p>Observamos que:</p><p>senx*DaAcosxx*0 a senx>0aAcosx > 0</p><p>Se concluye que x pertenece al primer</p><p>cuadrante.</p><p>ve (24 2kn+ 2) keZ</p><p>Rpta: E</p><p>Problema 2</p><p>El valor máximo que toma la función</p><p>f(x) = 3sen?x+ 4cos* x, x € 2, (UNTOLID)</p><p>A)3 B) 4 Os5</p><p>D) 6 E) 7</p><p>Resolución:</p><p>f(x) =3sen?x+ Acosta cos Y</p><p>SS 31) +c05 x y</p><p>pur Ia ed</p><p>Valor máximo de f(x) es 4</p><p>Mrntas</p><p>Problema 3 Resolución:</p><p>Sim y Aison los valores mínimos y Para que festú definida:</p><p>máximos, respectivamente, de la función</p><p>: E senx + 0</p><p>Mao) = sendas cos” x, entonces m + Mos:</p><p>(UNI *99 - 11) Luego:</p><p>A) 1 B)1 05</p><p>z 1 fx) = ESencosór + 2senrcosóx ,</p><p>5 2seny</p><p>D)2 3</p><p>Resolución: ¿2senvcos2x—sen7x</p><p>2senx</p><p>Ma) =sentx+cos" y</p><p>ets , _ [sen7x-sen5x)+(sen5x—sen3x)</p><p>Fla)=1-3sentéxcos” x ) fx) A +</p><p>f(0=1 | 2Eenzcos:]</p><p>85031 —seru) sen/x</p><p>Fr)=1- Psen?2a 2senx</p><p>Sabemos que: ——Senx a. ME</p><p>] Mix) = e > A) 32 R=| 3)</p><p>O mi M=>z3 (UNT 00-11)</p><p>Rpta: E aa) B) (1; 1]</p><p>Problema 4 O (11</p><p>Si R es el rango de la función f y D) R=(-1; 1) E) la; 1)</p><p>Ñ 4 cencdr Gen7x</p><p>f(x)=cos6x + cosdx+c0s2x ONE</p><p>Resolución:</p><p>entonces podemos afirmar:(UNI 02 - [)</p><p>Fostá definida si x+ 4 ,ked</p><p>A) RE(0; 1) B) RE (1 0)</p><p>=>c0sx*+l => -—1I f(x) =(-ctga)senx</p><p>D) (+1 Yer E) (0; 1) =R f(x) =-cosx</p><p>Como -1-1 f(x)e(-1; 1)</p><p>li) Si ctgx>0 —> f(x)=ctgrsenxr</p><p>JN) = cosx</p><p>Como -1 fe; 1)</p><p>Rpta: A</p><p>Problema 6</p><p>dh Si f(tgóx+ctgtx)=sect + esc x</p><p>hallar /(2)+/(B) (UNI '02-D</p><p>A) 20 B) 21 C) 22</p><p>D) 23 E) 24</p><p>Resolución:</p><p>Mtra =(M+tgi + cgi)</p><p>¡gica -Atgir cgi) tgi+2+ctg y</p><p>fitgioragia) =Atgth+ctgh)+(tgtr+ cg)</p><p>Luego: /(1)=2n+n?</p><p>/(2)=2(2)+2* =8</p><p>N(3)=23)+3* =15</p><p>FD+/6)=8+15=23</p><p>Rpta: D</p><p>Problema 7</p><p>lalle el número de cortes de la gráfica</p><p>de F(x)=Ersecx, con la gráfica de</p><p>Gx) =cosx en el intervalo [-20x; 201]</p><p>(Nota: Exsecx=secx-1) (UNI 05-1)</p><p>A) 20 B) 30 C) 40</p><p>D) 60 E) 80</p><p>E</p><p>Resolución:</p><p>Fiy=secx-1 a G;y=c0sx</p><p>Graficamos las funciones en el tramo de</p><p>[0; 21] y observamos en cuántos puntos</p><p>se corlan.</p><p>Á</p><p>Como en [0; 2x] hay dos intersecciones,</p><p>entonces en [-201; 201] habrá cuarenta</p><p>intersecciones.</p><p>- + de intersecciones = 40</p><p>Rpta: €</p><p>Problema 8</p><p>Sea la función f definida por</p><p>$(x) =-cotx + (sec? xesc? x 4) P</p><p>xe (a; e). Halle el rango de £</p><p>(UNT04-11)</p><p>A) [-1; 0) B) (+1 0]</p><p>C) (-1; 0)</p><p>D) (1; -1) E) [1; 0]</p><p>05m</p><p>Resolución:</p><p>Dato -n)</p><p>1) FFV B) FFF C) FVW</p><p>10) VEFV E) VVvV</p><p>Del gráfico observamos:</p><p>ter tgr-ctgr O ¿ Rf=(-1; 0)</p><p>Rpta: €</p><p>P ropuesros</p><p>Problema 2</p><p>Señale verdadero (V) ó falso (F) en:</p><p>L En (0; 1) la función</p><p>y=c0sx es decreciente [ >)</p><p>ll. En (x; 2n)la función</p><p>y=cosx és decreciente ( )</p><p>IL En (5 3) la función</p><p>y=cosx posee un máx.+l.. LJ</p><p>A) EVF B)VVV. C)FFV</p><p>D) VFV E) VVF</p><p>Grafique en el intervalo [0; 21]</p><p>la función y =ctgx.senx</p><p>Problema 4</p><p>Del gráfico, halle el área de la región</p><p>sombreada.</p><p>Y LOs</p><p>A) n2 B) 21 O5</p><p>12 ny2</p><p>Ja E)</p><p>Problema 5</p><p>Señale el rango de la función</p><p>Fx) =4cosx-3</p><p>A) [-6; 2] B) [7; 2]</p><p>O 17; -1</p><p>D) [=5; 1) E) [-7; 1]</p><p>Problema: 6</p><p>Señale el rango de la función</p><p>3 3</p><p>yyy — SONXCOS” X — SENÚXCOS Y</p><p>f(x) =</p><p>A</p><p>le</p><p>+ aa</p><p>Problema 7</p><p>a</p><p>j</p><p>e</p><p>—</p><p>L</p><p>i</p><p>[m</p><p>e</p><p>—</p><p>_</p><p>—</p><p>—</p><p>|</p><p>ha</p><p>l=</p><p>—</p><p>b</p><p>a</p><p>]</p><p>L</p><p>—</p><p>p</p><p>j</p><p>d</p><p>e</p><p>—</p><p>A</p><p>0</p><p>0</p><p>|</p><p>—</p><p>O</p><p>|</p><p>Hallar el periodo de</p><p>Fi) 4senn5cosn5 2</p><p>A) 5 B)3 C)2</p><p>D) 3 E) 4</p><p>Problema 8</p><p>Calcule la suma de los valores máximo y</p><p>mínimo de la función</p><p>e2(x) = (2 -senx)(2 +senx) +2</p><p>A)5 B) 4 0) 9</p><p>D) 11 E) 12</p><p>Problema 9</p><p>Si xe(0; 1) halle elrango de la función</p><p>J(x) = 2senx—c0s2x</p><p>B) (1; 3) A) (3; 1)</p><p>C) (1; 3]</p><p>D) (-1 2] E) [-1: 21</p><p>¿MEN</p><p>Problema 10</p><p>Hallar el rango de la función</p><p>eS</p><p>g(1)=xc08(2x- : 93 TER</p><p>Problema 11</p><p>Dadas las funciones</p><p>Fx) =(2-senx(2+senx) y</p><p>g(x)=(cosx-3][cosx+3),</p><p>determinar E = [fo Ma Fun</p><p>Bats Enná</p><p>A) 0 B) 1 C) 2</p><p>D) v3 E) 2</p><p>Problema 12</p><p>Respecto de la función f(x)=senx es</p><p>erróneo afirmar que:</p><p>A) es creciente en (0;3)</p><p>B) es decreciente en (5: 5)</p><p>7)</p><p>31).</p><p>C) es creciente en $</p><p>IS</p><p>"</p><p>E</p><p>d</p><p>D) es creciente en (En, FP</p><p>E) es decreciente en (3 25)</p><p>28) . AS</p><p>Proyecto Ingenio</p><p>Pobla 13</p><p>Hallar el dominio de la función</p><p>FU) =lescx- ctgx)cos5</p><p>A) R* B) E</p><p>C) R-|43)</p><p>D) R-((24+1)3) E) R-(kn]</p><p>Problema 14</p><p>Si g(x)=4c053xc0s* + -4sen3xsen*x,</p><p>hallar su rango.</p><p>A) [-1:1] B) [24] C)[-13]</p><p>D) (-2;4] E) [214]</p><p>Problema 15</p><p>El punto (3 ¿a)pertenece a la gráfica de</p><p>la función f(x) = V3senx+cosx.</p><p>Calcular el valor de f (2)</p><p>A)1 B) z O 3</p><p>Problema 16</p><p>Hallar el valor máximo de la función</p><p>Fx) = (4-10 + tgx)</p><p>A)3 B) 5 oz</p><p>D) 9 E) 11</p><p>ER AA A A A dida AL.</p><p>o!</p><p>Problema 17</p><p>Si</p><p>_ sen2xsenx —sendxsen2x</p><p>iS COS x—cos3x</p><p>pd a E aida</p><p>halle DINRF</p><p>A) (-1:1)-103 — B)(-11) C) (10)</p><p>D) (0;1) E) [0;1)</p><p>Problema 18</p><p>Graficar g(x)=2 [cos* 3 — sen” 5)</p><p>» E: en rel in]</p><p>2</p><p>ao ces 5 MT</p><p>Problema 19</p><p>Hallar el periodo de las siguientes</p><p>funciones y dar como respuesta la suma</p><p>de ellos.</p><p>A) f(=1 +25enf3x - 2)</p><p>B f(m= 2- 3cos|4x +3)</p><p>O g(a)= 4-25em[2x+ 2)</p><p>a</p><p>D) f(x)= 3 +2c05[3x +3)</p><p>E) hx)=2-4sen?(3x 4 ]</p><p>u</p><p>l</p><p>a</p><p>F) h(x)= 3+ 4cos* (2x les</p><p>i</p><p>s</p><p>GO) Mm=1 +28 (2x+3</p><p>A</p><p>E) (2)=1+ 3s0c(3x+ 7</p><p>A) 21 B) 61 C) 3r</p><p>12 57 E) 4rx</p><p>Problema 20</p><p>En la figura, hallar el área de la regió:</p><p>sombreada.</p><p>4</p><p>a</p><p>Problema 21</p><p>Halle los puntos donde la función</p><p>Hx) = clglcosx)+sen(cosx);A c</p><p>no está definida.</p><p>k</p><p>2</p><p>E) (2k + 15</p><p>A) E-nk B) nk C)x</p><p>D) RA 415</p><p>Problema 22</p><p>Si f(x) =asenbx es una función cuya</p><p>gráfica se muestra en la figura adjunta,</p><p>determinar el periodo de g(x)= cos|»*)</p><p>y</p><p>m5 B)3 0</p><p>D) + E) E</p><p>Problema 23</p><p>Hallar las coordenadas de P y Q</p><p>Aj P(1,0), 01,0) B) P(x;1),O(6x,0)</p><p>c) P(5:1),044x00)</p><p>D) P(27,1),0(8x,0) E) P(x;1),0(41;0)</p><p>Problema 24</p><p>Calcule el dominio de la función</p><p>Fx) = (senv + cos v)llesca + soci) (ke 2)</p><p>T A D=R= IA BR AS)</p><p>O) Df= 2-24 03)</p><p>D) Df = rl 5 E) Df = R-[43)</p><p>Problema 25</p><p>¿Cuál es el periodo principal de la</p><p>función: |</p><p>y=</p><p>Problema 1 Resolución:</p><p>5ubre una circunferencia de centro O,</p><p>se toman los puntos A, B, €, D, E y E;</p><p>los cuales dan arcos no conseculivos</p><p>iguales. Desde O se observa al punto</p><p>A con un ángulo de elevación u, al</p><p>al</p><p>de relerena da punto B con un ángulo de elevación</p><p>0% (cero grados) y al punto € con un</p><p>ángulo de depresión de 70%, hallar «.</p><p>(UNI '97-11)</p><p>3(70%) + 34 360" => (1 = 50”</p><p>A) 40% B) 50” Cy) 60” A</p><p>IM 70" FJ 80" Rpta: |</p><p>Ob</p><p>Problema 2</p><p>sa medidas de un angulo en el sistema</p><p>wxagesimal y en el sistema centesimal</p><p>son:</p><p>5 y- z y C=4ó4 z ¿el valor del</p><p>19 19 * :</p><p>ingulo en radiales es (Cat. '01-11)</p><p>om B Ne C ¿E</p><p>M9 ) 109 110</p><p>D E El. ) 19 ) 190</p><p>Resolución:</p><p>Ss €</p><p>Se cumple: —= --—</p><p>eS 3 10</p><p>2 Eo 41</p><p>A</p><p>c 10</p><p>c</p><p>10m” - ? Ona E</p><p>1 19</p><p>" 9</p><p>19</p><p>R_ Lo) SA</p><p>n 180 x 180119 190</p><p>Rpta: E</p><p>Problema 3</p><p>Halle la medida en el sislema</p><p>sexagesimal de un ángulo mayor de una</p><p>vuelta, si en la siguiente ecuación Ñ</p><p>representa el número de radianes que</p><p>mide dicho ángulo (UNI 04 - ID)</p><p>det R=></p><p>A) 390"</p><p>D) 625"</p><p>C) 555"</p><p>E) 810"</p><p>B) 405"</p><p>, (2x-3Mx-1)=0</p><p>METE</p><p>Resolución</p><p>js</p><p>9 IR, E =</p><p>Nx ds R ></p><p>Para E EX Ava 25</p><p>=> 212%-51+3=0</p><p>3</p><p>=> x=> a |</p><p>Como KR >21 tomamos:</p><p>Ela = 4507</p><p>T 2 4</p><p>. Ángulo = 450"</p><p>o</p><p>x</p><p>M</p><p>y</p><p>s</p><p>u</p><p>a</p><p>d</p><p>e</p><p>¡</p><p>e</p><p>9</p><p>/</p><p>1</p><p>0</p><p>9</p><p>:</p><p>1</p><p>9</p><p>3</p><p>1</p><p>M</p><p>]</p><p>Rpta.: B</p><p>Problema 4</p><p>Calcular la longitud del radio de una</p><p>circunferencia en la que un ángulo central,</p><p>que comprende un arco que mide 61% mm,</p><p>5U</p><p>tiene una medida en grados centesimales</p><p>representada por un número entero y en</p><p>grados sexagesimaies representada en la</p><p>forma x% y' (UNI '99-1D).</p><p>A) 3m B) 4m C) 2m</p><p>D) 2,5 m E) 3,5 m</p><p>Resolución:</p><p>Sea a el ángulo central tal que:</p><p>u =( rad</p><p>Siendo r el radio se cumple:</p><p>611 611</p><p>l== >a=-=</p><p>, 50r</p><p>rad (1)</p><p>a Fl , = A] ' =J Eh L 3 |</p><p>Dato: 1 =3 1 =x ; AS</p><p>61" 10% 6lx*</p><p>ol = hd =</p><p>60 2 54</p><p>EEN cas</p><p>Para que ses enteros + 5d Kesolución:</p><p>su 06 Seti a. mavor, A menor</p><p>sra ela</p><p>a al tail (2)</p><p>200% 200 Ha AO</p><p>ama . h A</p><p>(1)- (27 pia biz b4 30 5 b Tk lr a</p><p>She 200 ]</p><p>pd a=h M0 l[acó)</p><p>Kpta.: B</p><p>J£--34 == 360591 => A -= 36079</p><p>Problema 5</p><p>Se biene des ángulos que se diferencian 1080"</p><p>Ta Ple PCI</p><p>Problema 16</p><p>En la figura, hallar * xv”</p><p>Bx — 201 =dí - 20"</p><p>e ></p><p>A) -20* B) 10* Cc) 20”</p><p>D) 59 E) 60"</p><p>Problema 17</p><p>De la figura, calcular "y"</p><p>(Ma - 2J (x- 901</p><p>— a</p><p>A) 5 B) 10 Cc) 15</p><p>D) 20 E) 30</p><p>Problema 18</p><p>Del gráfico, calcular el valor de "y"</p><p>10(10— $</p><p>A) 9</p><p>BJ 10</p><p>CO) 18</p><p>D) 20</p><p>E) 36</p><p>Problema 19</p><p>0d En un trángulo ABC, se tiene A = x</p><p>B=10x%, C= A x rad . Calcular la medid:</p><p>del mayor ángulo del triángulo.</p><p>A) q tad B) rad C) ad</p><p>2m</p><p>D) rad E) q ea</p><p>LE ta:</p><p>"roblema 20 Problema 23</p><p>implificando la expresión:</p><p>142"+3%+... +89</p><p>12434 4898</p><p>e obliene un cociente de la forma ab</p><p>Jallar D+a ) en el sistema radial.</p><p>E</p><p>Tr d E</p><p>1620" B) 590 ed</p><p>El ad</p><p>T</p><p>E e</p><p>») a E) 35p 4</p><p>roblema 21</p><p>r a 2 ¿(BES seran Esñcodo j E y 3 suman z 1 donde 5 y</p><p>son los números de grados</p><p>exagesimales y centesimales de un</p><p>nismo ángulo, calcule la raíz cuadrada</p><p>lel número de radianes de dicho ángulo.</p><p>z [E al</p><p>E 27 15</p><p>z pr</p><p>» 29 ></p><p>'roblema 22</p><p>MS y R son los números de grados</p><p>exagesimales y radianes de un mismo</p><p>mgulo, y:</p><p>SE 179%,</p><p>181</p><p>wallar “R"</p><p>a 1 B) 2 q) 3</p><p>4 E) 5</p><p>El número de grados sexagesimales de</p><p>un cierto ángulo y los 2/3 del número de</p><p>grados centesimales de otro ángulo están</p><p>en la relación de 9 a:10. Hallar el valor</p><p>de la diferencia de ellos, sabiendo que</p><p>son suplementarios.</p><p>A) 30% -B)36" C) 60*</p><p>D) 72* E) 120% *</p><p>Problema 24</p><p>Determinar la medida, en el sistema</p><p>centesimal, de un ángulo cuyas medidas</p><p>en los sistemas convencionales cumplen</p><p>con la relación:</p><p>0,20” _12</p><p>(+0d4R)</p><p>9 10 T 5</p><p>A) 20 B) 24 C) 28</p><p>D) 32 Ej) 36</p><p>Problema 25</p><p>Siendo "S” y "€" los números en grados</p><p>sexagesimales y centesimales de un</p><p>ángulo se cumple:</p><p>7542 100-8 a,</p><p>q Em”</p><p>calcular £=V25S+Y5C</p><p>AJ6 B) 10 C) 16</p><p>D) 18 -E) 20</p><p>Problema 26</p><p>> (Es</p><p>calcule 1 +y+ 2</p><p>A) 60 B) 61 C) 62</p><p>D) 63 E) 65</p><p>CoNo AS</p><p>Problema 27</p><p>A py</p><p>e En + a y ¿ id ñ » q calcular ;</p><p>| 4</p><p>Mio, 13) y O) y</p><p>| | E A e mm. a</p><p>a :) 6</p><p>Problema 28</p><p>Hallar dar de</p><p>Ys</p><p>2 A</p><p>Doa 0) 5</p><p>s Cr</p><p>E</p><p>5</p><p>oblea 29</p><p>e</p><p>ho 127 0) 133</p><p>po A</p><p>Probiema 30</p><p>1</p><p>vi ss 0</p><p>a 6073</p><p>11</p><p>| ¡E</p><p>: ler 54</p><p>tumeros de grados</p><p>(oatesimales de un</p><p>¿1H EL:</p><p>calcular el numero de radianes de</p><p>angulo,</p><p>x A A</p><p>Mo 1) I5 O 1</p><p>- 1</p><p>11 ss E) 7</p><p>- Problema 32</p><p>siendo 5, Co y K los valores de un misma</p><p>angulo en los tres sistemas conocidos</p><p>cumple:</p><p>45 O Lar 3321416</p><p>Calcular el ángulo expresado</p><p>radianes.</p><p>IN B) 3 Y 20 00 £L</p><p>MÍ</p><p>00 E) a</p><p>Problema 33</p><p>Del gráfico mostrado</p><p>ll A Lv</p><p>Mg</p><p>WM l sistema sexagesimal si su diferencia</p><p>os (505.</p><p>Ay at</p><p>10) 18" y 20"</p><p>B) 5" y 32% C)15y30"</p><p>E) 27" y 30"</p><p>Problema 36</p><p>Si PTA IT As,</p><p>hallar cl mínimo valor entero que</p><p>adopta "x”.</p><p>A) 84" B) 122" O 142*</p><p>D) 182" E) 249%</p><p>Problema 37</p><p>De la figura:</p><p>calcular m=43(5)</p><p>db</p><p>A) -0,0] B) -0,1. .C) -0,2</p><p>D) -0,4 E) -0,3</p><p>Go Ll</p><p>di mo</p><p>Problema 38</p><p>El factor que convierte cualquier numero</p><p>de radianes a minutos centestmales es:</p><p>(Considere 2-7)</p><p>7</p><p>A) 3436,36</p><p>B) 3436,63</p><p>C) 6363,63</p><p>1(x)=2sen*(3x- 3)' 1?</p><p>A)r B) 3 0)23</p><p>D)3x E) 5n</p><p>Problema 26</p><p>Si el dominio de la función</p><p>glx)= 2sen|x- 7)</p><p>es (557), calcular su rango.</p><p>A) (0;2) B) (250) 0 (-20]</p><p>D) [0;2) E) (-2;2)</p><p>Problema 27</p><p>Hallar la ecuación de la función</p><p>fíx) = ksen(BA); B>0, cuya gráfica se</p><p>muestra</p><p>cari caga pan</p><p>. s .</p><p>, + y</p><p>. : . . E</p><p>. . . + .</p><p>+ ' E</p><p>joa sd e Y a</p><p>A fa) ksenBx).B>0</p><p>COR Ro OT</p><p>;</p><p>- Dar como respuesta A)</p><p>J2k 4 10(43 + 4238 A</p><p>A, Ll</p><p>Ay B3 OA AA</p><p>DM 5 E) 2 B)</p><p>y</p><p>Problema 28 ARTS</p><p>Hallar el dominio de la función ES | A | Ñ</p><p>f(x) =2senW1-a? + cos Jx o ,</p><p>A) (0;1) B) [0;1) O (OA). e 2 Ñ</p><p>D) (0:1] E) [0;1] ZRII</p><p>Problema 29 D) YA</p><p>Hallar el dominio de la función EE N Aa</p><p>fo) =3tg (4x-1)+8 E o NI | Y</p><p>a) R- (pr 13) 8) R-(( -0E+3)</p><p>E)</p><p>> iaa mn 1 C) R- [0 +1E- y</p><p>: Y</p><p>A] > ER ln,! D) (43 ») E) R-¡G+3</p><p>Problema 30 Problema 32</p><p>Hallar el rango de la función Si</p><p>ia A 4</p><p>fx) = (sen x+ 005%) (senx +cosx)”, fs) = 4senx.sen(60%—x)sen(60*+x),</p><p>T,n</p><p>sl re (3 construir su gráfica.</p><p>A) (=1,1] B) (22) 0)(21) A) y B)</p><p>D) (1;2] E) (-2;2]</p><p>Problema 31</p><p>Esbozar la gráfica de la función C)</p><p>Fo lion 2r+cos* x</p><p>Ho lia a</p><p>Problema 33</p><p>Sea hx) = (serv +cos x + 1)(senx +08. -1)</p><p>Construir su gráfica.</p><p>A) B) 1</p><p>0 Y</p><p>0)</p><p>Problema 34</p><p>Hallar el periodo de f(x) =senxw+sen2x</p><p>A) í B) 21 03</p><p>E] 1 D) 3 Dj</p><p>Problema 35</p><p>De la gráfica mostrada, obtener el valor</p><p>e $)</p><p>A) 1</p><p>D)2</p><p>Problema 36</p><p>Hallar el rango de la</p><p>MO Reni reR</p><p>E</p><p>o) [+31 a)</p><p>función</p><p>L</p><p>a</p><p>]</p><p>SÍ</p><p>Problema 37</p><p>Sea f(x) =8seraecosxcos2rcos4x</p><p>construir su gráfica</p><p>A) 3 B) r</p><p>Problema 38</p><p>Con respecto a la función</p><p>_ COS”. x- sen*x</p><p>Fx) COS.x — Senx</p><p>indicar verdadero (V) o falso (F)</p><p>L Df=R- [rd ¡| tez</p><p>0 ar [-3:3)</p><p>lIL Es función impar</p><p>A) VVV B) FVF C)VFV</p><p>D) VEF E) VVE</p><p>Problema 39</p><p>Si el punto P=(x,;2a-b) pertenece al</p><p>senoide y el punto O=(x;a+b)</p><p>pertenece al cosenoide, y además</p><p>a+b Xp +Xo =>, hallar a ÑS</p><p>A)3 B) 2 | 01</p><p>D) 1 E) 2</p><p>Calcule el rango de f(x) =(cosx-—2)c05x</p><p>o m.</p><p>Sabiendo que su dominio está en (770</p><p>oq) bo</p><p>C) a E</p><p>D) (1:1+24/2)</p><p>E) (1:42 +1)</p><p>" Problema 41</p><p>El punto P = (a, b) es la intersección de</p><p>las gráficas de</p><p>f(x) =cosx y</p><p>g(x) =u(ne 2)</p><p>Evaluar Ecos Lc05( Lc0s[%cosa))</p><p>a A rn Ñ</p><p>A)" B) n* C) nb</p><p>D) n E) ?</p><p>Problema 42</p><p>Hallar el dominio de la función</p><p>— + 5</p><p>O</p><p>2</p><p>; l+cosx , 1-cosóx Fi) = ad. e la</p><p>A) R-(kr) ¡ke Z B) R-(2k1):k eZ</p><p>O) R-|4zj:tez</p><p>D) R—((2+193):4 eL ER</p><p>Problema 43</p><p>Si f(senx+cosx) = tgx+ctgx</p><p>calcular f(seng+ cosH)</p><p>3</p><p>p Y E) 43</p><p>Problema 44</p><p>Dada la función f definida por:</p><p>£()= V2sen (+5)</p><p>señale el valor de verdad de las</p><p>siguientes proposiciones:</p><p>Il, fesde periodo 2x</p><p>IL. fes continua para todo xecR</p><p>IIL fes decreciente en el intervalo</p><p>Ea</p><p>44</p><p>A) VFF B) VFV C) EVV</p><p>D) VWVF E) VWVWWV</p><p>Problema 45</p><p>Hallar el dominio de la función</p><p>f(x) = secxoscx + Sen cos Y</p><p>AJR-[kmh;keZ</p><p>B) R</p><p>C) R-(2km);k eZ</p><p>D) R-|43):kez</p><p>E) R- (C4+D3)4eZ</p><p>Problema 46</p><p>Hallar el rango de la función</p><p>f(x) = senxcosx +sen +1</p><p>z</p><p>—</p><p>=</p><p>1</p><p>A</p><p>]</p><p>L</p><p>l</p><p>3</p><p>á</p><p>|</p><p>Fa</p><p>lL</p><p>a</p><p>T</p><p>E</p><p>L</p><p>i</p><p>0</p><p>a</p><p>|</p><p>m</p><p>u</p><p>R</p><p>l</p><p>=</p><p>pi</p><p>ja</p><p>[</p><p>O</p><p>_</p><p>—</p><p>—</p><p>—</p><p>i</p><p>o</p><p>r</p><p>tu</p><p>] laa</p><p>Problema 47</p><p>Halle el rango de la función</p><p>Fx) =c08x tgx+1</p><p>A) (0;2] B) [0;2) C) (0;2)</p><p>D) [0;2] E) (0;1)</p><p>Problema 48</p><p>Al graficar la función</p><p>y=f(x)= 2cos*(3x- 5) +1</p><p>se observa que el punto más alto tiene</p><p>como ordenada a:</p><p>A) 1 B)3 O5</p><p>D)2 EJ 6</p><p>Problema 49</p><p>Hallar el área de la región triangular</p><p>cuyos vértices son el origen de</p><p>coordenadas y los puntos de intersección</p><p>de las gráficas de las funciones f y g</p><p>definidas por</p><p>f)=% y e(x) =21% cosx</p><p>a a e</p><p>1d el</p><p>Problema 50</p><p>Halle el rango de la función</p><p>F(x)=2|c0s x]" +|1=cosx]</p><p>A) [j2| B) [33] 8 E</p><p>D) 155] E) [2;6]</p><p>SEE</p><p>Proyecto Ingenio</p><p>Problema 51</p><p>Calcular el dominio de la función</p><p>fo= Jtgr+ Jotgx; xed0; 21)</p><p>Problema 52</p><p>¿Cuál es el periodo principal de la</p><p>función</p><p>y=f(x)= 3sec [3 2] ?</p><p>A) 3x B) 51 C) 61</p><p>T 1</p><p>D) 25 E) 3</p><p>Problema 53</p><p>Hallar el dominio de la función</p><p>ba [3 4cos”x</p><p>F)= 2+4senx</p><p>A) E + 2km,>: us =</p><p>a Funciones</p><p>T 2” e Trigonométricas</p><p>— CAPÍTULO: Inversas</p><p>ci (TRA</p><p>12.1 FUNCIÓN INVERSA Gráficos en el sistema cartesiano</p><p>Y</p><p>Dada la función biyecltiva f£ A—>B, se 9</p><p>llama función inversa de f, aquella de- abi, :</p><p>notada por f ” tal que ':B=>A. 1 E pete</p><p>O : E</p><p>1123 AL</p><p>Ejemplos: Función $ Función</p><p>inversa de /</p><p>1. Dada la función 2. Dada la función f: y = 2x + 1, para</p><p>hallar la función inversa de f, susti-</p><p>f= 11,4) (1; 3), (2; 2), (3; DL tuimos x por y así como y por x, luego</p><p>la función inversa de f es despejamos y:</p><p>f7= (4,1), 3; 1), (2; 2), (1; 3)). Función f: y=2x+1</p><p>Sustituyendo: x=2y+1</p><p>Gráficamente: Despejando y: y= Z ; ;</p><p>F. 1 sa fo: ja . Inversa fi. ></p><p>Graficando</p><p>=</p><p>.</p><p>+</p><p>. de</p><p>Py ></p><p>Ñ qn</p><p>Función f Función</p><p>inversa de f</p><p>y</p><p>AD o</p><p>Se observa que la gráfica de f ' es</p><p>simétrica a frespecto a la recta y = y</p><p>12.2 FUNCIÓN TRIGONOMÉ-</p><p>TRICA INVERSA</p><p>Las funciones trigonométricas son perió-</p><p>dicas y como tales no son biyectivas, lo</p><p>que implica que no tienen inversa en</p><p>todo su dominio.</p><p>Sin embargo, podemos redefinir las fun-</p><p>ciones restringiendo su dominio a un in-</p><p>tervalo en el que son inyectivas y</p><p>suryectivas, para que tengan inversa.</p><p>Á continuación se muestran las seis fun-</p><p>ciones trigonométricas y la restricción</p><p>respectiva de sus dominios.</p><p>FUNCIÓN| — DOMINIO RANGO</p><p>r oK | E |</p><p>Y = AunY _: o</p><p>Y = cosr [0:=] [11]</p><p>RR</p><p>y =lgr Ey 0 y=t8 E 5) (oa)</p><p>y=ctgt (01) [ omo)</p><p>y = secx o 4 U de E -=:-1]U [l;+ => l ia 7 ; i</p><p>E T E Y = cscr -" 0) UÍLO; -00-1]U 11; +02 2 ) ] bos</p><p>A continuación damos la denominación</p><p>y notación de las funciones</p><p>trigonométricas inversas:</p><p>* Función seno inverso o función arco</p><p>seno: arc sen ó sen”</p><p>* Función coseno inverso o función</p><p>arco coseno: arc cos ó cos”</p><p>ni IE Proyecto Ingenio</p><p>* Función tangente inversa o función</p><p>arco tangente: arc lg ó tg '</p><p>* Función cotangente inversa o fun-</p><p>ción arco cotangente: arc clg ó ctg!</p><p>* Función secante inversa o función</p><p>arco secante: arc sec Ó sec”</p><p>* Función cosecante inversa o función</p><p>arco cosecante: arc esc Ó csc”</p><p>Gráficas de las funciones</p><p>trigonométricas inversas:</p><p>1. Función seno inverso:</p><p>Y = arcsenró y = senTlx</p><p>0 ></p><p>Dominio:[-1; 1]</p><p>Tm TH</p><p>Rango: | -=; —</p><p>e | 2 |</p><p>2. Función coseno inverso:</p><p>y=arccosxó y = cos” ix</p><p>4Y</p><p>cm y</p><p>ha</p><p>la</p><p>SINE</p><p>Dominio:[-1; 1]</p><p>Rango:[0; 1]</p><p>2 ATTISENTOO o GO A TT</p><p>3. Función tangente inversa 6. Función cosecante inversa</p><p>Ei £ —|</p><p>y = arc [gr Óy = tg xj Y = arc eoscex 0ypy=C5 Xx</p><p>ñ</p><p>a</p><p>nn</p><p>Rango: LS ») Dominio : (so; - 1]u[1; +20)</p><p>Rango: | E; 0)u(0; a</p><p>4. Función cotangente inversa A "a</p><p>y =arcctgr óy =ctgTlx Ejemplos:</p><p>1. arc tgl E t E 1 . E > =— r * == 1 => Porque 83</p><p>2. Cta 1=7 porque yz =1</p><p>lonerdod +00)</p><p>Rango: (0; x) porque sen Ds</p><p>2</p><p>ZE</p><p>= , 6</p><p>5. Función secante inversa</p><p>: =1</p><p>v =arcsecx Óy =sec "x A ñ</p><p>: ' 4. arcesecy2= 4 porque c5c-¿= Y2</p><p>1 T T</p><p>- sec 2¿=-— sec—=2 5 Cc 3 porque 3</p><p>6. sen'=* porque sen==1</p><p>el EN 2</p><p>[Dominio : (==; -1]u 11; +)</p><p>; arcctg0=- tg== 0</p><p>Rango: [0; oa E 5-== Porque cg,</p><p>AMEN GOTTA</p><p>Propiedades de la Funciones Ejemplos:</p><p>Trigonométricas Inversas</p><p>l. aresen(sen=) = 1</p><p>; _— 6 6</p><p>1. [El Larc.F.T. (19) =x0; si e Dom yy > 27</p><p>2. arc cosícos 20) = —</p><p>Esto es: S 3</p><p>Tn x</p><p>+ sen(arc senx)=x ; si re|-1;1] 3. arc sen(sen a = arc sen(-sen E )</p><p>3</p><p>cos(arc cosx)=x; six e|-1; 1]</p><p>" arc sen(sen(- ))</p><p>Iglarc tgx)=x; sirelk</p><p>r</p><p>e ctglare ctgxr)=x; sixeR 6</p><p>e . 2] — ay Wo pi!" d; e seclarc secx)=x; sixe R-(-1; 1) A are A | ate :)> :</p><p>e csclarc</p><p>cscx) =x ;sixe R=(-1; 1) 51 m</p><p>5. arc etglctg "y 7) = arcctg(ctg - y=3 E</p><p>Ejemplos:</p><p>L Sos len= - 0 ig? 3. Funciones Trigonométricas</p><p>Eso inversas de valores</p><p>Sustituyendo «a : arc tg= =). 7 negativos.</p><p>1 1 Veamos esta propiedad con un par</p><p>2. 5ea cosf = 3 => B = are cos de ejemplos:</p><p>Sustiluyendo ([): cos| are cosz )-= 1. Hallar arc sen(-x) en términos</p><p>de arc senx:</p><p>En la figura se observa que tanto arc sen x</p><p>are F-T.(F.T.(0))= 0; si 0e Ran. y como arc sen (-x) son iguales en valor</p><p>Esto es: absoluto, sólo que arc sen x es positivo y</p><p>* arcsen(sen0) = 0 ;si Be - ; z] . arc sen (-x) es negativo.</p><p>2 2 Luego: arc sen(x) = -arc senx</p><p>arc cos(cos0) = 0 ¡si 0 €[0; x] AY</p><p>l</p><p>a</p><p>: rn. ñ ></p><p>arc tg(tg0) =05si0e(-5, >)</p><p>arc ctg(ctg0) = 0 ; si Oe (0; 1)</p><p>arc sen(a)| arc sec(secd) = 0 ; si O € 0; 5)-(5)</p><p>arc osc(csc0)= 0; si0e|- 2 10]</p><p>2. Hallar arc cost-x) en términos de</p><p>arc cos1x).</p><p>De la figura</p><p>arc cosx + arc cos — (x) =</p><p>De donde:</p><p>arc cos(-x) = T — arc Ccosx</p><p>A Y</p><p>4 T</p><p>COST</p><p>ja</p><p>arc cos(-1)</p><p>ardcosx</p><p>-X Xx XA</p><p>En general tenemos:</p><p>e arc sení=x) = arc senx</p><p>e arc Ccos(-x) = T—-arc COS x</p><p>e arc tg(=x) = —arc tgx</p><p>* arc ctgl(=x) = 1—arc ctgx</p><p>* arc secí=x) = T— arc secx</p><p>e arc csc(-x) = are csex</p><p>Ejemplos:</p><p>1) 12</p><p>Í: are sen -3) = arc sen “76</p><p>f_y2</p><p>Ze a 2.</p><p>e 12 n Anc cos =A . E</p><p>—AE</p><p>3. arctge(-/3)=-arctgJ3 = 7</p><p>3 3</p><p>4. arcclig( == )= n-arc ctg[ —) E 3</p><p>4. Arcos : complementarios</p><p>Sabemos que:</p><p>Si a+p=i (1)</p><p>B 2</p><p>=> senf =cosf</p><p>Si sena =x => a =arcsenx</p><p>cosf =x => PP = arc cosx</p><p>TT</p><p>En (1): arc senx + arc cosx = 3</p><p>Tenemos:</p><p>. o.</p><p>arc senx + arc cosx == si xe [-1; 1]</p><p>Análogamente:</p><p>arc tgx + arc clgx =</p><p>p</p><p>l</p><p>a</p><p>¿sixeR</p><p>T</p><p>aresecxi+arcescx==35; sixeR-—(-1; 1)</p><p>2</p><p>Ejemplos:</p><p>1 1 E</p><p>1. arctg; +arcctg>=></p><p>2. arc esc2 + arc sed2 = n</p><p>arc te(m) + arc tg(1) =</p><p>man</p><p>ar cial Ju</p><p>Bli=m "</p><p>Siendo:</p><p>k =0, simn 1 a m>0,n>0</p><p>k=-1, simn>1 a m + arc cos 2</p><p>R T 5</p><p>A) Y B) 4 C) Tm</p><p>a</p><p>DE py</p><p>Resolución:</p><p>O =arc senx3 tar cos 2</p><p>A</p><p>T A</p><p>lg 3.</p><p>S 0-53]</p><p>Rpta: €</p><p>Problema 2</p><p>Calcular: 0 =arc son 7) arc cos|-3]</p><p>mE B) 3 07</p><p>D) 3 E) 5</p><p>Luego: D=are tgl - E</p><p>li) a=arc tg343 + arc tg24/3 y como</p><p>(3/3/23) >1, entonces k=1</p><p>a =arc oo</p><p>543</p><p>A =1-arc e</p><p>R esueLros</p><p>Resolución:</p><p>a y3 1)</p><p>B =arc se 5 + arc cos 3</p><p>Recordar:</p><p>* arc sen(—x) = arc senx</p><p>* arccos(-x)=T- arc Cosx</p><p>0=-arc sen[ 2] =arc cole)</p><p>TC T</p><p>g = =3 + [n- 5|</p><p>Operando: .. 0=3</p><p>Rpta: B</p><p>Problema 3</p><p>Calcular J= tglare sen3Jatg[are cos3)</p><p>2410 y5 y2</p><p>p) Ao E) 345</p><p>Resolución:</p><p>J=tg (arc sen 3jos ES cos 5)</p><p>4 Es</p><p>. OS</p><p>G</p><p>o</p><p>3</p><p>dl</p><p>e 45</p><p>e. [)=arc cosy costal da</p><p>Luego en E</p><p>J =tg0.cotf</p><p>A</p><p>Rpta: D</p><p>Problema 4</p><p>Calcule Af =senfare tan + arc tany)</p><p>B) qe C) y2 ></p><p>ai E) y</p><p>Resolución:</p><p>M =sen| arc tan táinx=>3 => 1 3 3 3</p><p>E</p><p>> 7= =1- E e P=arc tan; > tanf=>3=> .</p><p>M =sen(a +[)</p><p>M =senacosfp +senf cosx</p><p>eo ida</p><p>M= JE * + . Ro</p><p>m=%</p><p>Rpta: E</p><p>Problema 5</p><p>Calcular</p><p>E =cos|2arc cos y]</p><p>A) =5 B) + 0</p><p>D) $ E) E</p><p>Resolución:</p><p>E=cos| 2arc cos]</p><p>—</p><p>uu</p><p>= 1 =1] Q =arccos y => [cosa =-q</p><p>Como [cos2a = 2cos* a -1</p><p>En HEN</p><p>E=cosla</p><p>Ma sena = x (1)</p><p>E GQ =Aarc COSx => COSa = Y (1)</p><p>(1)=(0):</p><p>sena =CO50 => 0 +0 = ></p><p>_H</p><p>EA</p><p>En(1)L í=sena</p><p>e E senZ</p><p>| E</p><p>“E</p><p>Problema 11</p><p>Rpta: E</p><p>Sea la función</p><p>f(x) = arc sen(V3x-1) +</p><p>an y3) 5) [1 3| O E 2)</p><p>D) E 3] E) (0; 1]</p><p>Resolución:</p><p>Tx) = Farc senv3x—1 + 10</p><p>Cálculo del dominio:</p><p>Como /3x-1>0</p><p>Para la función arc sen 3x-1</p><p>Tenemos /3x-1 e [0; 1]</p><p>=>0= iré</p><p>3</p><p>L</p><p>a</p><p>u</p><p>l</p><p>|</p><p>pe [Domin 10; =| :</p><p>Rpta: A</p><p>IM5eMTa >>> . e</p><p>Problema 12</p><p>Halle el valor de</p><p>O arc sen(-3) - Zarc cos] - »)-</p><p>arc tg (-1)+ zar tai)</p><p>A Or B) 90" O 180"</p><p>D) 270" E) 360"</p><p>Resolución:</p><p>Como are sen(-) = arc sena</p><p>- 1 do bi</p><p>=+ arc sen -3)> —árc Sen5=-Z = —30</p><p>Como arc cos(-h)=x1.-arc cosb</p><p>=> arc cos( -7)= T- Arc cos) = = =120*</p><p>Como arc tan(-x)=-arc tanx</p><p>=> arc tan(-1)=-arc tanl=-%=-45" E</p><p>4</p><p>Reemplazando:</p><p>0 =-30"+2(120")-(45")+ 3.45"</p><p>0 = 270"</p><p>Rpta: D</p><p>Problema 13</p><p>Simplificar</p><p>J2 1 42 $2</p><p>arcsen——+>—arccos] —-— + arc se O</p><p>E 2 2</p><p>T Tr T</p><p>A) 4 B) - $ O 3</p><p>3 Jn</p><p>D) E E) $</p><p>Resolución:</p><p>Sea:</p><p>GAO</p><p>Apliquemos las propiedades:</p><p>are sen( -a) = arc sena</p><p>are cos(-4) = 1-arccosh</p><p>is</p><p>u-= arc PL n arcos A añ</p><p>2| 2 2</p><p>o aj E] 3</p><p>== 1-==|[=-.|= =</p><p>2 4 a 8</p><p>Rpta: E</p><p>Problema 14</p><p>Halle el dominio y rango de</p><p>f(x) =2arc sentr--2) + z</p><p>A: A) D; 11:3] Ro</p><p>21 2r</p><p>B)D; [1; 3] Ro]</p><p>"2 da</p><p>OB; 113] Ros</p><p>Resolución:</p><p>Sea</p><p>=-1£1-2</p><p>Ss y£</p><p>m</p><p>i</p><p>l</p><p>a</p><p>E</p><p>2</p><p>Cálculo del dominio:</p><p>> [1 x>20 (1)</p><p>Por teoría: -1| ell 9</p><p>Cálculo de rango:</p><p>Dominio:</p><p>Por teoría: O-1</p><p>de la función</p><p>f(x) = arc senx + 2arc cosx</p><p>ajoz] mlzsa] ol"</p><p>D) [0; 1] |</p><p>Resolución:</p><p>La función es equivalente a:</p><p>f(x) = arc senx + arc COSx + arc COS:</p><p>Apliquemos la propiedad:</p><p>T</p><p>arc Senx + arc COSx = 2</p><p>2</p><p>Luego: Jo) = , +are cosx</p><p>Sabemos que: Ú a=arc secx</p><p>1 1</p><p>cosa =— => 0 =arc COs—</p><p>Xx Xx</p><p>= Arc Secx = Arccos:</p><p>YX</p><p>1</p><p>=> árcsecv5 =arc Cos L L $</p><p>Luego:</p><p>1</p><p>E= cos ar cos) + sec[arc sec 45)</p><p>cos(arccosa)= a</p><p>Recordemos que:</p><p>secíare sech) = h</p><p>o YS 2 645</p><p>Eto tdo 5</p><p>Rpta: B</p><p>Problema 20</p><p>Calcular</p><p>E=arc tg Zar Aa</p><p>5 3</p><p>A) 2,0 B) 40,1 O 10,6</p><p>DO E) 0,6</p><p>Resolución:</p><p>Sea</p><p>3 3</p><p>B=arc 85 => g0== (i)</p><p>De(i):</p><p>De la figura:</p><p>2arctg| 3 ]</p><p>2 UB AAS</p><p>Observación:</p><p>Luego:</p><p>E= arc (5) - 2arc el A z]</p><p>E=09-8=0</p><p>Rpta: D</p><p>Problema 2 1</p><p>Hallar</p><p>€ = sec(arc tgn) + sent(arc cosa)</p><p>B) 2»? do 2 A) "-2</p><p>D) 1-8" E) 1+»*</p><p>Resolución:</p><p>Sea a =arctga => tga =n=></p><p>Ss</p><p>1</p><p>Sea: O =arccosn => cosÚ =n =></p><p>e ar</p><p>> A esa Mall A o : 4</p><p>A</p><p>En el enunciado:</p><p>( =sec" (a) +sen* (0)</p><p>o |</p><p>C=l+41-"”</p><p>EZ</p><p>Problema 22</p><p>era arc sen di</p><p>Si E=—— =</p><p>arc sen sen - )</p><p>12</p><p>hallar el valor de arc sec JE</p><p>A) B)</p><p>T</p><p>O</p><p>=</p><p>ol</p><p>i</p><p>D) y</p><p>Resolución:</p><p>(e, arc sen| sen</p><p>6</p><p>> a</p><p>arc sen( sen z)</p><p>E=</p><p>Tengamos en cuenta la propiedad:</p><p>- T</p><p>arc sen(senx) = x, si ES</p><p>Como</p><p>5</p><p>sen=¿ =seng (</p><p>Reemplazamos (2) en (1):</p><p>), 0</p><p>arc sen( sen)</p><p>Es</p><p>¿ T</p><p>re sen| sen —</p><p>. =)</p><p>SERIE GO ZA</p><p>Ahora aplicamos la propiedad indicada</p><p>arriba:</p><p>1</p><p>E=L.=>E=2</p><p>T</p><p>12</p><p>Nos piden arc sec./E = arc sec 3</p><p>arc sec E =7</p><p>Rpta: €</p><p>Problema 23</p><p>Hallar el equivalente de</p><p>0 = arc sen cos| are 643)</p><p>T T T</p><p>A) 17 B) 5 CO 4</p><p>T Sr D) 3 E) y</p><p>Resolución:</p><p>1</p><p>tl = arc sen| cos[ qa 143)</p><p>(s(73) Ú =arec sen| cos| —-— 13)</p><p>0= el = arc sen c0577) (1)</p><p>Aplicando razones trigonométricas de</p><p>arcos complementarios, resulta</p><p>Kon dr cos77 =Seni; (2)</p><p>Problema 24</p><p>Si tglarc tgx) = sen(arc sen ></p><p>calcular</p><p>C = cosí2arc tg2x)</p><p>12 5 12</p><p>A) B B) 15 O NE</p><p>y 8 gr E</p><p>35 13</p><p>Resolución:</p><p>Propiedad:</p><p>seníarc senx) =x, xeR (-1;1]</p><p>tglarcigr)=x ., xERx</p><p>En el problema:</p><p>tglarc (gx) = sen(arc sen 3)</p><p>Luego:</p><p>2</p><p>C =cos(2-arc tg 3)</p><p>0</p><p>B=arc 15; => tg0 ==</p><p>NBA,</p><p>Y q</p><p>3</p><p>3 2</p><p>C=cos20=2c08'0-1=2| ]-</p><p>413</p><p>Cc? NN</p><p>13 Í f</p><p>Rpta: B</p><p>CAMEO oo o ROA o MATT</p><p>Problema 25</p><p>Resolver</p><p>sen| arc cos(2y/-* 1) | = ></p><p>A) arc cos 3) arc senz¿</p><p>] 3</p><p>C) arc sen -</p><p>4</p><p>3 . 3</p><p>D) arc sen[ >] E) are:cos| 2)</p><p>16 16</p><p>Resolución:</p><p>— 1</p><p>sen(arc cos(2/senx)) = ></p><p>T</p><p>6</p><p>a = arc cos(2ysenx)</p><p>2ysenx = cos => 2vsenx = se</p><p>3</p><p>y seny = e == Sen = 16</p><p>ar en A ] ¿.x=arcsen| —</p><p>16</p><p>Rpta: D</p><p>Problema 26</p><p>Kkesolver la ecuación</p><p>arc sen| sen— |+arc cos! sen | =</p><p>6 Vo 2</p><p>TL</p><p>= are cos| cos)</p><p>A) 5 B) 3 Oz</p><p>Resolución:</p><p>Apliquemos las propiedades:</p><p>2 E</p><p>arc sen(senx) = x,Ssi -- EE</p><p>T</p><p>2</p><p>arc cos(cosx) =x,si 0</p><p>Apliquemos el operador "sen" a cada</p><p>miembro:</p><p>sen| arc sen(W3 - 4x) | = sen ,</p><p>Aa Y</p><p>AA e => 3 =%</p><p>De donde: E</p><p>Rpta: B</p><p>Problema 28</p><p>Resolver la ecuación</p><p>arc sen(2 —5x) + arc cos(1 — x) = 3</p><p>A) 1/2 B)1/3 O 1/4</p><p>D) 1/5 E) 1/6</p><p>Resolución:</p><p>are sen(2 — 51) + arc cos(l —x) = 5 (1)</p><p>TI Como arc sena + arc cosa = 5</p><p>para que la ecuación (1) sea posible se</p><p>debe cumplir:</p><p>2-5r=1-x</p><p>l =4x</p><p>1</p><p>De donde: x:=-=</p><p>4</p><p>Kpta: €</p><p>Problema 29</p><p>Resolver la ecuación:</p><p>arc tela + x5)+ arc tell +x- x) =0</p><p>A) -3 B) z C0)0</p><p>mb</p><p>a]</p><p>1 : D) 3 E) 5</p><p>A Aena . E a</p><p>Resolución:</p><p>arc ig(x + )+ arc tg(l+x- x?) =))</p><p>arc. tg(l + xx?) = arc tg(x + y!)</p><p>Apliquemos la propiedad:</p><p>arc Ig(-a) = arc tg(a)</p><p>arc tg(l + 1 — y") = arc tg [a +v?)]</p><p>Luego:</p><p>l4+x-x?*=-=,</p><p>Rpta: E</p><p>Problema 30</p><p>Y</p><p>Hallar -- si</p><p>v</p><p>A</p><p>arc sen(2x + y) = E Y</p><p>e da + r == arc tg (x-2y)= q</p><p>A) 4/3 B) -3/4 O) 4/3</p><p>D) 2/5 E) 3/10</p><p>Resolución:</p><p>A r</p><p>arc sen(2x + y) = ¿> 2x + y = sen E</p><p>1</p><p>A+ y=> (1)</p><p>e. T</p><p>arc tg(x- 2y) = > x-2y= tg A</p><p>x--2y=1 (2)</p><p>Resolviendo (1) y (2):</p><p>510 EM,</p><p>Rpta: C</p><p>on INEM aaa</p><p>Problema 31</p><p>Si xy+ytzx=)</p><p>calcular</p><p>arc clgx + arc clgy + arc ctgz</p><p>z E AE A) 7 ) E</p><p>E ></p><p>Resolución:</p><p>Sea</p><p>a =arcclgx => clga =x</p><p>B =arcclgy > clgf =y</p><p>9 =arcctgz > ctg0 =2</p><p>En —xyp+yz+2x=1</p><p>ctga ctgB +ctgBctgo +ctgO ctga =1</p><p>Por propiedad: a+p+0=x</p><p>arc clgx +arc clgy +arc ctgz =x</p><p>Rpta: B</p><p>Problema 32</p><p>Si 2x?+y?= J3xy</p><p>hallar el valor de</p><p>, Xx y</p><p>y= tal — Le [-=— E=arc 83) rar 82)</p><p>A B A C 4</p><p>Al 4 ) 3</p><p>T E xx</p><p>Dm 35</p><p>Resolución:</p><p>Sabemos que</p><p>arc tga + arc tgb = arc (25)</p><p>— al</p><p>xx,</p><p>E 217 + y?</p><p>E =arc tg z =arcta| |</p><p>q, X xy</p><p>y 2x</p><p>Como 2x? + y? = /3xy</p><p>E =arc tg( 3 =>E=l 8(V3)> E=;</p><p>Rpta: €</p><p>Problema 33</p><p>Sabiendo que</p><p>sen(2arc tgx) = cos(2arc tgy)</p><p>señale un valor de (x + 1)(y + 1)</p><p>A) 1 B) 2 CO) 4</p><p>D) 6 E) 8</p><p>Solución:</p><p>Sea: O=arctgx => tgO=x</p><p>a=arctgy > tgo = y</p><p>En condición:</p><p>sen20 = cos2a => 20 +2a =</p><p>0+a= (1</p><p>l</p><p>d</p><p>r</p><p>n</p><p>i</p><p>a</p><p>Propiedad:</p><p>Si 0+a = E > tg0+tgo +tgbtga=1 (1)</p><p>Reemplazando en (11):</p><p>x+y+xy=1</p><p>(x+1)+ y+x1y= 1+1</p><p>(x +1) + y(x+1)=2</p><p>(x + 1)(+ 1) = 2</p><p>Rpta:</p><p>SIE 6 pupa) ad</p><p>Problema 34</p><p>Del gráfico mostrado, hallar la medida</p><p>del ángulo AOB, en términos de a y bh</p><p>sabiendo que 0, y O son centros y que</p><p>AD=ayAB=b,</p><p>D</p><p>O, O B</p><p>A) 4arc 8(2) B)2arc (2)</p><p>a á</p><p>C) 2arc 5[* +)</p><p>a,</p><p>D) 2arc as[+) EMarc (7)</p><p>Resolución:</p><p>Graficando:</p><p>Trazando OA: sea me«AOB=x</p><p>AAOO isósceles : m1AO¡O= A</p><p>ADOLB isósceles (0,D = OB)</p><p>=> m«B = m mxABD=7</p><p>Y Proyecto Ingenio</p><p>En el gráfico: 87 = a</p><p>> : = arc tg z => x=darc 8</p><p>Rpta: E</p><p>Problema 35</p><p>Hallar el área de la región triangular</p><p>APA.</p><p>Y, y= 7 sen</p><p>p):</p><p>IN BA 0)</p><p>2</p><p>Ay Ep? B E 2 Cc a</p><p>) Ge ri ) Y</p><p>E a D) + | E) pe</p><p>Resolución:</p><p>De la gráfica:</p><p>YA</p><p>_x/2 Y =b=aí seno b=27</p><p>az)</p><p>SÁ ra = z =E y?</p><p>LE 3</p><p>Rpta: C</p><p>Problema 36</p><p>Grafique</p><p>Fl)= ".. ae cos2x</p><p>Resolución:</p><p>Primero graficamos:</p><p>y = arc cos2x</p><p>Recordar que:</p><p>-1 -</p><p>Segundo graficamos:</p><p>y= ar cos2x</p><p>Recordar:</p><p>O -. .</p><p>Y erro la</p><p>A| - Ma</p><p>a</p><p>1 E Xx</p><p>-1 1 1 1</p><p>2 2</p><p>Rpta: A</p><p>de</p><p>REO DE E xÁMENES DE A DMISIÓN</p><p>Problema 1</p><p>El valor del ángulo 4 que forman las rec-</p><p>tas L, y L, es: (UNI '97-1)</p><p>A) 0 =arc cos| 25) B) B=arc cos 55)</p><p>625 25</p><p>C) 0=arc cos 5)</p><p>625</p><p>- 48 a +6 D) 8=arc cos| 5) E) O=arccos| 22)</p><p>Resolución:</p><p>Y L</p><p>A/o;2s)</p><p>B L,</p><p>in 24: 7)</p><p>0 7</p><p>N a | ></p><p>O D € Xx</p><p>la 24 .|</p><p>cosB = cos(90”—20) = sen2a</p><p>cosó = 2sena cosa</p><p>7 24</p><p>27535</p><p>336</p><p>625</p><p>cos =</p><p>cosB = ==</p><p>O= arc cos| 23)</p><p>Rpta: €</p><p>Problema 2</p><p>Réducir</p><p>M = secYarc tg3) + csc*(arc clg4)</p><p>(CLL '01-11)</p><p>A)7 B) 13 015</p><p>D) 27 E) 12</p><p>Resolución:</p><p>y10/ 13</p><p>EA,</p><p>Sea Q=arcctg(4) ></p><p>4</p><p>2</p><p>ca) =17</p><p>M =sec O+cscta</p><p>M= 10+17=27</p><p>Rpta; D</p><p>Problema 3</p><p>El valor de</p><p>A — A AAA A</p><p>F=arc sec sec | 5) 16ses| 5)' 20 0s:</p><p>Ny 12 12</p><p>(UNT'98-11)</p><p>E E E</p><p>A) 12. b) 3 Cc) 6</p><p>D) de</p><p>Resolución:</p><p>soc 7 =seci5"= VA — 2</p><p>2 sect</p><p>28-212</p><p>" equivale a A</p><p>Fe aresec, [sect 5 16sec e +64+20-64</p><p>IF =arc sec y/(sec* 55 - 8) 48</p><p>| =arc sec ($ 2128) -44</p><p>T</p><p>=arc sec? = 3</p><p>Rpta:</p><p>Problema 4</p><p>Si x=arc ctg secó — arc tg secó y</p><p>cosx > 0, el valor de sen x es:</p><p>(UNI '00-1)</p><p>q nel</p><p>O) 8 (5)</p><p>D) tg*(0)</p><p>(0 o «el</p><p>E) cg?)</p><p>Gra</p><p>A A</p><p>Resolución:</p><p>end</p><p>a=arcuigVseco y P=arc tg/secó</p><p>Graficando:</p><p>A y E</p><p>ALC</p><p>== p</p><p>como: (+4 =90*</p><p>=> x=90"-2p</p><p>senx = sen(90"- 2)</p><p>senx = cos2 f)</p><p>Identidad auxiliar:</p><p>| -ta? saco 1188</p><p>1+1tgP</p><p>Reemplazando:</p><p>1-secó</p><p>SETLY EE A AKÓÁ</p><p>l+secó</p><p>cosB—1</p><p>Sen = ———</p><p>cosO0+1</p><p>2ens! - —1-1</p><p>sena = A</p><p>2c05*---1+1</p><p>Z</p><p>10</p><p>cos” -—1</p><p>sena = Me</p><p>20</p><p>cos</p><p>2</p><p>AN</p><p>senx = AH E] tg? 9</p><p>20 2</p><p>COS ></p><p>Rpta: Cc</p><p>a</p><p>Problema 5</p><p>Calcular el valor de m para que secumpla</p><p>la igualdad</p><p>sen(arc tgm) = tg(arc sem) (UNI '00-11)</p><p>A)1 B)0 C) -1</p><p>D) 2 E) 2</p><p>Resolución:</p><p>Sea a =arc tgm => tga =m</p><p>y € =arcsenm =seng=m</p><p>En la condición:</p><p>sena =!tg6 (1)</p><p>Como ya se sabe arriba:</p><p>send =tga =m (2)</p><p>Multiplicando (1) x (2):</p><p>sena seng = tgatgó8</p><p>De donde:</p><p>cosacosB=1 => au =8 =0"=m=0</p><p>Rpta: B</p><p>Problema 6</p><p>Determine el rango de la función</p><p>definida por: (UNI 04-D)</p><p>3n :</p><p>A 0: 0)</p><p>F)= farc tgx]-Jarc ctgx]</p><p>A) D)</p><p>B)</p><p>E) C)</p><p>Resolución</p><p>Dato: x 7 SAnigr => -3</p><p>A</p><p>Resolución:</p><p>Aplicando</p><p>u+b</p><p>arctga + arctgh=arc (Ez)</p><p>+= arctg z + arc lg +arc E +arctgg</p><p>E ¿E</p><p>+= arc y] are o 5 8,</p><p>3 58</p><p>LP ROBLEMAS</p><p>Problema 1</p><p>Calcular ]</p><p>Ú = arc tgv3 arc tg eS</p><p>Mz E at</p><p>a n XA</p><p>13) A</p><p>E) z</p><p>Problema 2</p><p>Calculars</p><p>Y</p><p>P = are sen(-3)+arc cos| - $)</p><p>5 71 + 2</p><p>NE 512 O</p><p>> T</p><p>D) a E) 7</p><p>Problema 3</p><p>Calcular</p><p>J=sen(arc tg2).cosfarc tg3)</p><p>YE v3 3</p><p>eE a O</p><p>y2 3</p><p>25 E) +</p><p>a Tata</p><p>P= arctg Js arctga</p><p>E, 7</p><p>== +</p><p>E=45> F=</p><p>el</p><p>a</p><p>Rpta: B</p><p>PD ropuestos</p><p>Problema 4</p><p>Calcule</p><p>5</p><p>M =senfarc tg arc ta 5)</p><p>*=</p><p>] 1 15 ></p><p>a Es 8) 67 a</p><p>e</p><p>a</p><p>GS</p><p>A</p><p>GS</p><p>8]</p><p>Problema 5</p><p>Calcule</p><p>e</p><p>s</p><p>3) M= ecal pare sen -</p><p>L</p><p>o</p><p>O</p><p>n</p><p>G</p><p>l</p><p>.</p><p>tu</p><p>—</p><p>A) B)</p><p>u</p><p>n</p><p>a</p><p>s</p><p>n</p><p>i</p><p>o</p><p>D) rr</p><p>r</p><p>r</p><p>Problema 6</p><p>Reduzca</p><p>K =cos(3arc cosa) +3cos(arc cosx)</p><p>O) ay</p><p>E) y?</p><p>B) 4x*-</p><p>DI E</p><p>Piblema 7</p><p>Calcule</p><p>E= cos|arc cos| tgíare tg 2 Jl</p><p>1 A) y B) > O) ></p><p>] ad</p><p>O) 5 EE</p><p>Problema 8</p><p>Reducir</p><p>tg “(arc secx)- ctg*(a rc C5c y)</p><p>g= sen(arc senvr) - cos(arc cos y)</p><p>A)x B) y C)x+y</p><p>D)x-y E) 2xy</p><p>Problema 9</p><p>Reduzca</p><p>J =sen(3are senx+2arc cosx);</p><p>xe(0; 1)</p><p>A) x - B)1 00</p><p>TM —r* Hd. r</p><p>Problema 10</p><p>Calcular x en</p><p>arc sen2x=arc cos2r</p><p>y é E) 5</p><p>OO AE</p><p>O</p><p>Problema 11</p><p>Determine el dominio de la función</p><p>Fix) = arc | 3</p><p>La]</p><p>A) (5 0/0; 20) B) (-00; -1]U(1 x)</p><p>O (+ -—UuN; e)</p><p>D) 1; 1] E) (+1 1)</p><p>Problema 12</p><p>Calcular</p><p>a 2</p><p>arc sen(-0,5)+ arc ll N -</p><p>E</p><p>H = E arc tg (43)</p><p>A)0/2 B) 0,25 0) 0,5</p><p>D) 0,55 E) 0,75</p><p>Problema 13</p><p>v3</p><p>Resolver arc senx = arc BS —-</p><p>3 3 E 3</p><p>A) F Bi €)</p><p>2</p><p>D) E E) E</p><p>Eroblema ] 4</p><p>Calciiiar</p><p>arcsen| > ?liarecos os</p><p>a =</p><p>art co, ] + arc sen</p><p>A) 0,5 BE AICA</p><p>D)2 EY 3</p><p>y</p><p>) H</p><p>i</p><p>|</p><p>A</p><p>A AA A 359. ad, il</p><p>a ns lat rs CR o par ¿</p><p>Problema 15</p><p>Determinar el valor de</p><p>a = arc sen(tg*60* — sec'45%) +</p><p>arc cos(cos0” + cos180")</p><p>z Sr</p><p>AJO B) > (0) 3</p><p>. Sn</p><p>D) x E) 2</p><p>Problema 16</p><p>Calcular</p><p>a) te(3 = arctgó]</p><p>btt</p><p>D) Él 28 E) a, 2</p><p>Problema 17</p><p>Calcular</p><p>3 arc lt >) en=+. a sec( ares 85</p><p>5/41 64/41</p><p>A) a B) z</p><p>54/31 is</p><p>1 54/41</p><p>(2 ate</p><p>Problema 18</p><p>Calcular</p><p>(arco ag(ercom!))</p><p>A) 47 B) -/7 C) $)-</p><p>1</p><p>D) 417 E 5</p><p>Problema 19</p><p>Simplificar</p><p>ares core sen) E =arcsen| cos| arc en +</p><p>+ arc 6o| sena cos — 2)</p><p>: y</p><p>A) 3 a a</p><p>Tr E 21</p><p>Dz 13</p><p>Problema 20</p><p>Simplificar</p><p>are sen ) arc cos| $)</p><p>2 2</p><p>Arc sen 2 J are cos|-¿)</p><p>5 5</p><p>2 4 1</p><p>A) 3 23 O 6</p><p>1 1</p><p>D 3 5</p><p>tii íe</p><p>E “MTENT. ai 0 Te</p><p>Problema 21</p><p>Calcule el valor de</p><p>cos|are sen 5) + sen[ an cos|- 1 )</p><p>Ms 2 2;</p><p>o tglarc tg1)+ tg(arc tg0)</p><p>Ay1 BY C0)15</p><p>EAS E) 3</p><p>Problema 22</p><p>Calcular</p><p>Est (Zarc sen y Jeos|Zare $5) B 3 87</p><p>2 442 342</p><p>AG 23 OF</p><p>y21 4/21</p><p>D) > E) 7</p><p>Problema 23</p><p>Resolver</p><p>are ser + tl zar 63) = to zare 165)</p><p>1</p><p>A) sen] B) 5 C) sen0,2</p><p>1</p><p>D) sen2 EZ</p><p>Problema 24</p><p>1 1</p><p>Si =- == kh i an 3 arc Cos 3</p><p>TA</p><p>calcular cos[ 3-5)</p><p>4 2</p><p>1 1 es</p><p>2 13 173</p><p>1 E ll</p><p>Ds jas</p><p>Problema 25</p><p>Si 0, =arc tg4 y 0, =arc 183,</p><p>calcular tg(0,-20,)</p><p>A) 13/16 B) 1/16 O 7/16</p><p>D 3/2 E) 4/3</p><p>Problema 26</p><p>Calcular</p><p>C =seníarc 182)cos| are sens) tg(arc sec3)</p><p>845 164/5 164/5</p><p>A 33 Oy</p><p>5 5 y ES gis</p><p>16 15</p><p>Problema 27</p><p>Calcular</p><p>Ea</p><p>C=Zcos| 50os "(8 ]</p><p>27 m2 _2</p><p>M3 173 Oz</p><p>mi 29 q</p><p>2) 3 Dz:</p><p>Problema 28</p><p>Calcular x si</p><p>21</p><p>2arc cos! + 3arc senx = E</p><p>3 1 3</p><p>A) E Bi e</p><p>1</p><p>D) 5 E) 1</p><p>Problema 29</p><p>Si</p><p>1 1</p><p>arc te +arctg—=arcsenx,</p><p>hallar x</p><p>1 ys</p><p>A 3 ) 29</p><p>29</p><p>O 841</p><p>30 11</p><p>DJ 5) Jen</p><p>Problema 30</p><p>Dada la función</p><p>y= > arc cos(2x-—3)+ E</p><p>T 3</p><p>hallar D, NR,</p><p>p 4 . 13</p><p>5 yA</p><p>a 5) 5) | 3)</p><p>21 13]</p><p>ke) =1; 3]</p><p>413 [4.2]</p><p>3 3 E) 3 1</p><p>Problema 31</p><p>Hallar el dominio de</p><p>E) y=marccos| — [+1</p><p>> x+1</p><p>A) x1</p><p>O x0 E) 0</p><p>A</p><p>a</p><p>j</p><p>a</p><p>m</p><p>a</p><p>2</p><p>ad</p><p>Problema 39</p><p>Resolver arc cosi + aresenl = 7</p><p>A) 0 B) 0,5 C) LO</p><p>IN 40,5 E) -1,0</p><p>Problema 40</p><p>Hallar el dominio de la función</p><p>y = are sen(l — varc cos(r — 1)</p><p>A) (11,2) B)[1; 2]</p><p>C) [0; 2]</p><p>D) [1,2] EJ [0; 2)</p><p>Problema 41</p><p>Determinar el valor de</p><p>1</p><p>sen[ ar sen, ] + son arc sen a</p><p>des</p><p>c0s| arc cos -J tg arc tg 5)</p><p>E 5 2</p><p>UT] Bm ET</p><p>p E py 2 35 ) 6</p><p>Problema 42</p><p>Hallar el dominio y rango de la función</p><p>v=aresenJx—1 +arc cos JI- y</p><p>AY10; 1 3 3 4 (71 310; ha 35 0,12</p><p>>. (3) Ob, fs</p><p>01), (5) 0, E</p><p>E EA cl TA</p><p>Problema 43</p><p>Hallar x si arc lgxs = arc sec2r</p><p>Y 3</p><p>A) 25 B) ca O Ja</p><p>3 ; E</p><p>2) —= E) 13</p><p>3</p><p>Problema 44</p><p>Si</p><p>a =sen(2arc tg2) y</p><p>hb =tg(Qarc tg2)</p><p>el valor de > eS:</p><p>Vd” y 155</p><p>3 mE</p><p>D 5 E) 3</p><p>Problema 45</p><p>En el gráfico mostrado hallar el rango de</p><p>las funciones, si el área de la región</p><p>ÍT></p><p>sombreada es qe</p><p>y=karecosl</p><p>- A</p><p>Ñ |</p><p>a 07, 0, [03]</p><p>Cam</p><p>C) [o _</p><p>es 3</p><p>D) o = E) lo _</p><p>Problema 46</p><p>Calcular el dominio de la función</p><p>x Xx</p><p>f(x) = are sen + arc cos</p><p>” 3</p><p>A) [-1,1) B) [22] 0 (22)</p><p>a 1,1</p><p>-1;1 E =—i —</p><p>AH il 2 ,)</p><p>Problema 47</p><p>Hallar el dominio y rango de la función</p><p>Xx</p><p>y = 2arc cse[ 3-3) —- 4</p><p>A) (=x; 4]Ju[8; +0) B) (=>; 4u1(8; +00)</p><p>C) [=x; 1/2; +0)</p><p>D) (=o; 8]u110; +20) E) (o; 4] u[LO; +50)</p><p>Problema 48</p><p>Hallar el dominio de la función</p><p>y=3arc il ca A:</p><p>xa-1/ 4</p><p>A) E B) k* O) W</p><p>D) E --10) E) *-(1)</p><p>Problema 49</p><p>Si el área de la región sombreada es 5</p><p>hallar 5K.</p><p>A) 81</p><p>D) 641</p><p>Problema 50</p><p>Graficar y = f(x) = 2arc sen E</p><p>A)</p><p>C)</p><p>Problema 51</p><p>Graficar y = f(x) = z = ATC COSX</p><p>XxX</p><p>GO METIA</p><p>Problema 52</p><p>Si arc ctg(secx) = arc cos(tgx), calcular</p><p>cos2r.</p><p>A) 2-45 B) 45 -2</p><p>0 pea</p><p>D) 28 E) gel</p><p>Problema 53</p><p>Hallar el dominio de la función</p><p>fix) = qe Jarc sen 22 )</p><p>ay , 3 _5. |</p><p>A Ba</p><p>E 5</p><p>CO) 4"</p><p>b 3,5 E z</p><p>rider lara</p><p>Problema 54</p><p>Hallar el rango de la función</p><p>10) =>+ Meco</p><p>E |</p><p>A) 5 o! B) o 2</p><p>C) | =; n|</p><p>T 35 y E</p><p>D) |w; = E) [552]</p><p>DP e</p><p>Problema 55</p><p>Resolver la ecuación</p><p>x</p><p>Xx</p><p>son arc sen 7 ] + cos(arc cos) =</p><p>p</p><p>a</p><p>|</p><p>| 1</p><p>A) 1 B) > O) 3</p><p>y il</p><p>D) y; E) Z</p><p>Problema 56</p><p>Calcular el valor de x en</p><p>7</p><p>Farc senx + 2arc COsx = e</p><p>Y3 y2</p><p>1 WE</p><p>D3 DS</p><p>Problema 57</p><p>Establezca la veracidad (V) o falsedad</p><p>(E) de las siguientes proposiciones:</p><p>l) Sixel-1;1] => aresenx > arc cosx</p><p>II) Si xe[-1; 0] => arc cosx > arc tgx</p><p>IM) Si xe(0;1] =—> arc tgx : 7a</p><p>O. = 3TCCOS| COS— | Farcsen| sen --—</p><p>4 12 ) 12 €</p><p>+) hallar el valor de P=arc son! sen</p><p>A</p><p>S</p><p>T Ñ T</p><p>Au BIZ C) n</p><p>Tí T</p><p>> E</p><p>Problema 59</p><p>Resolver la ecuación</p><p>——</p><p>sen(arc senx) = cos| arc cosv 1? |]</p><p>LE 12 ] ¿2</p><p>A) > 19) > EJE ></p><p>443 4/3</p><p>pi y +- 1) ) E) 3</p><p>Problema 60</p><p>Hallar la relación que existe entre x e y si</p><p>Tí</p><p>arc lgx + arc tgy = ></p><p>A) x+y-—xy=1</p><p>B) x+y=1</p><p>O *+y-D=sl</p><p>ID) r1+y4+xp=1</p><p>E) + y+xy=1</p><p>AMI oo AGANES</p><p>Problema 61</p><p>PR a</p><p>A) (b — ajarc 62)</p><p>De la figura mostrada, BH = a, AC = b,</p><p>Hallar 9 +HT, siendo TAH un sector cir- B) (1 +6 — ajare tg —</p><p>=0a</p><p>- bh</p><p>O (1-5 + ajarc tg ]</p><p>ha</p><p>dl</p><p>LO, D) (1 + - ajarctg| 2 ]</p><p>ar</p><p>LO E) (b - aJare (5)</p><p>a</p><p>cular. | (</p><p>|</p><p>73.1 ECUACIONES</p><p>TRICONOMÉTRICAS</p><p>La resolución de un problema</p><p>matemático, por lo general, culmina con</p><p>la resolución de una ecuación. En el</p><p>algebra se estudia una serie de reglas y</p><p>procedimientos con la finalidad de</p><p>aplicarlos en la resolución de ecuaciones.</p><p>Una ecuación que contiene términos</p><p>trigonométricos en los que la incógnita</p><p>aparece como arco de una o varias</p><p>funciones trigonométricas, se llama</p><p>ecuación — trigonométrica, cuya</p><p>resolución exige tener presente los</p><p>hasta esta conocimientos parte</p><p>desarrollados en el texto.</p><p>Ejemplos:</p><p>ij Son ecuaciones trigonométricas</p><p>l. sen2” = cosx</p><p>2. secx = 2sendx + 5</p><p>3, cosdx = 1</p><p>11) No son ecuaciones trigonométricas</p><p>l. sendx = x</p><p>2 tgr=x*-1</p><p>A. coar =P</p><p>Ecuaciones</p><p>Trigonométricas</p><p>Resolución de una ecuación</p><p>trigonrmétrica</p><p>SUN SOnY (1)</p><p>¿ara qué valor de x se cumple la igual-</p><p>dad (1)?</p><p>Si observamos el gráfico, vemos que</p><p>hay muchos arcos que lienen como</p><p>seno a 1/2:</p><p>Tenemos:</p><p>Sisenx = L => es a T 3. E,</p><p>Ma . 2 a 6 e" 6 6 q.</p><p>Valor principal (Vp)</p><p>Se denomian valor principal a aquella</p><p>solución que pertenece al rango de la</p><p>función inversa de la función dada.</p><p>MENO:</p><p>Ejemplo:</p><p>Hallar el valor principal (Ip)</p><p>1 ; 1</p><p>l, COS = > > lFp=arc c085</p><p>2</p><p>. A</p><p>2. tanx=1=>Yp=arc tan]</p><p>=> Vp= 4</p><p>3. sena =-1 >> VMp = arc sen(-1)</p><p>> lp=-5</p><p>ha</p><p>la</p><p>4. secx=-2=> Vp =arc sec(-2)</p><p>> Vp = x1—arc sec2</p><p>=> Vp=xr.- 5</p><p>> lp = =</p><p>solución general:</p><p>En forma análoga a la que acabamos de</p><p>ver, podemos hallar la solución general</p><p>para cualquier ecuación trigonométrica</p><p>simple.</p><p>ET.(ax+b)= NN</p><p>En el cuadro siguiente se presentan las</p><p>ecuaciones trigonométricas simples, con</p><p>su respectiva solución general.</p><p>E</p><p>Ecuación Valor Conjunto Solución | Limites</p><p>Trigonométrica] Principal | (Sol. General); eZ | de “N"</p><p>sentar)" NW arcsen (N] s kxH-1'V INI</p><p>Resolución:</p><p>senZx E V,,= arc sen Y =l</p><p>2 2 3</p><p>Luego:</p><p>kx T E O PL x= An+(-1) 3 x q ) ;</p><p>NX</p><p>2. Resolver: 3</p><p>Resolución:</p><p>Xx T</p><p>E” -1; Vp=arc tg(-1) = arc tg(1)= a</p><p>Luego: .</p><p>Xx 2) 3n|</p><p>==kr+|-—| => |x = dkn-—</p><p>3 4 | 4</p><p>3. Resolver sec(5x) =</p><p>Resolución:</p><p>5</p><p>sec(S5x) = 2,5 = 2</p><p>2 2</p><p>cos5x==—, Vp=arc cos—</p><p>nr 5</p><p>Luego:</p><p>51 =2ind arc cos r</p><p>ben</p><p>4. Resolver: cos2x :</p><p>Resolución:</p><p>cosa = E lp=a.. cos 1</p><p>2 2</p><p>> lp = os</p><p>Dr</p><p>Es</p><p>ad Luego:</p><p>A E</p><p>A</p><p>;</p><p>ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS</p><p>NO ELEMENTALES.</p><p>No existe un mélodo general para</p><p>resolver ecuaciones trigonométricas, que</p><p>se puede seguir en todos los casos, sin</p><p>embargo daremos algunas sugerencias</p><p>que permitan transformarlas en</p><p>ecuaciones simples.</p><p>1% Expresar todas las funciones</p><p>trignométricas que entran en la</p><p>ecuación, en términos de funciones</p><p>de un mismo ángulo, aprovechando</p><p>las identidades conocidas.</p><p>Así, si aparecen 2x y x en la ecuación,</p><p>ces conveniente expresar las</p><p>funciones de 2x en lérminos de las</p><p>fuciones de x,</p><p>Ejemplo:</p><p>1</p><p>Resolver 2c0s*x — cos2x + cosx = 1 + 5</p><p>Sabemos que cos 2x = 2cos*x — 1</p><p>Sustituyendo en la ecuación: q</p><p>2cosix — (2cos*x — 1) + cosx =1+ +</p><p>$)</p><p>q. =>Vp=</p><p>COSAY = WA</p><p>¿ e=kQmal</p><p>se</p><p>|</p><p>Gn > alo</p><p>2% Es conveniente expresar todas las</p><p>funciones en lérminos de una misina</p><p>función:</p><p>Ejemplo:</p><p>Resolver:</p><p>Cclgx + 050x = 50Nx</p><p>Sabemos que:</p><p>COSx 1</p><p>ct = —— yo USO ———</p><p>Sena serv</p><p>Luego:</p><p>COSY 1 ,</p><p>—— + = SONY (senx = (4)</p><p>sen seny</p><p>cosr +]</p><p>-——— = Sent</p><p>sen</p><p>1</p><p>cosr+l=sentx</p><p>3</p><p>cosv+l=1l=cos” y</p><p>costa + cosr=0</p><p>cosx(cosx + 1)=0</p><p>cosx=0 (1)</p><p>os |cos.x +1=0 (2)</p><p>De (1):</p><p>cosx=0= p=-= =></p><p>65</p><p>1</p><p>-</p><p>De (2):</p><p>cosx=-1> Y'p=n>x=k(21)t7</p><p>Pera si:</p><p>%</p><p>x= kn(k e 2) =>senx=senkr =0</p><p>x, = kQu)jtr no es solución</p><p>porque senx +0</p><p>ENTE rare</p><p>Casos especiales:</p><p>T</p><p>le Si sev=1=>1=241+2;4e7</p><p>e Si ser=0 >r=kx;tkeZ</p><p>. T sd</p><p>eS cosr=0 =>x=4r+-=;keX</p><p>E Y</p><p>le Si sen: =-] A</p><p>* Si cosr=1 =>vY=2km:fkeX</p><p>O E</p><p>* 51 cosr=-1 =>r=2k1i+xkeZ</p><p>Proyecto Ingenio</p><p>Ejemplos:</p><p>a Y Xx ss</p><p>i) Sisen==0=>>=kx ..x=5kx</p><p>5 5</p><p>dit a )</p><p>11) Si cos7r=) =>7x=2kxr + == Hi</p><p>ii) Si tg3x=0</p><p>send:</p><p>E o cr Mirad</p><p>cos3x</p><p>kx</p><p>E=</p><p>3</p><p>«Proszemas R esuenros</p><p>Problema 1</p><p>Halle la menor solución positiva de la</p><p>ecuación:</p><p>senix—-0,5=c0590"</p><p>A) 10* B) 20? O) 307</p><p>D) 15" E) 25"</p><p>Resolución:</p><p>Epta D</p><p>Problema 2</p><p>Halle la menor solución positiva de la</p><p>ecuación:</p><p>2senx + tan 3 5 cos</p><p>A) 150? B) 2107 O 270</p><p>D) 180? E) 240"</p><p>Resolución:</p><p>2senx+V3=0</p><p>El 30 ny = se 7</p><p>re lllÓ xe liv o</p><p>Piden el menor:</p><p>1=180%460" => Lx = 240"</p><p>Rpta: E</p><p>Problema 3</p><p>Resolver:</p><p>Ssen(x+10%)-4=0</p><p>A) 13 B) 33 0437</p><p>D) 235 E) 53</p><p>MINEJIJIO!</p><p>Resolución:</p><p>Rpta: €</p><p>Problema 4</p><p>Resolver:</p><p>ib and 0 b0": el</p><p>Ay 500% Bb) 510" (09) 320"</p><p>D) 330" E) 345</p><p>Resolución:</p><p>iros Es</p><p>CORO = ></p><p>Pero veis</p><p>AA |</p><p>a</p><p>50060</p><p>Rpta: A</p><p>Problema 5</p><p>Resolver:</p><p>(senv+cosx) =1+c08.x</p><p>Indicar la suma de las tros primeras</p><p>soluciones positivas.</p><p>A) 180"</p><p>D) 450"</p><p>B) 270" C) 360"</p><p>EY 720"</p><p>$7).</p><p>Resolución:</p><p>7</p><p>isenxa cos)? «e cusx</p><p>X 2senicosx= A +cosx</p><p>O</p><p>2sonv = )-> senx =</p><p>p</p><p>a</p><p>E</p><p>¡CUIDADO!</p><p>cosr = 0 (factor cancelado se iguala</p><p>d cero)</p><p>AO</p><p>¿Las tres primeras soluciones positivas</p><p>serian:</p><p>Mo AMO AO</p><p>270</p><p>Kpta: B</p><p>Problema 6</p><p>Señale la suma de las tres primeras</p><p>soluciones positivas de la ecuación:</p><p>Isecroscr+ dana 2cobv + 543</p><p>A) 360" B) 540" (3) 270"</p><p>D) 720" E) 450"</p><p>Resolución:</p><p>De la igualdad:</p><p>2secxesex +3 ta nx 2 2cotx 4543</p><p>(tan iscobr] Md</p><p>2tany+ ZeoTí +3 tan y Zeoty 543</p><p>=tanx=vY3 ; Ip=60"</p><p>It ia;</p><p>x, =.m+lp</p><p>y; =180%n +60"</p><p>e Si: n=0=>x=180"(0)+60"</p><p>* Si: n=1=>x=180"(1)+60"</p><p>e Si n=2>x=180"(2)+60*</p><p>2 =60%+240*+420"</p><p>Rpta: D</p><p>Problema 7</p><p>Resolver:</p><p>4</p><p>l+c05x = 2sentx</p><p>Indicando la suma de sus dos primeras</p><p>soluciones positivas.</p><p>A) 180? B) 120" C) 200</p><p>D) 2409 E) 3601</p><p>Resolución:</p><p>De la igualdad:</p><p>l+cosx1=2(1—cos? x)</p><p>(Lteosí) = 2 (L1cosT)(1-cosx)</p><p>iy 1+cosr=0>cosx=-1; Vp=180*</p><p>xr, =2m+Vp</p><p>= 360" n+180*</p><p>a ELE) Ao</p><p>e Si: n=0 >= 360"(0)+180*</p><p>o</p><p>_ |x==—180*</p><p>e Si: n=1->x=360"(1)</p><p>+ 180*</p><p>r= 360060</p><p>O lx =-180"</p><p>Además:</p><p>ll ) 1 = 2(1 COS x) =$ 05 Y = 5 Vp = 60"</p><p>X= 3601 +60"</p><p>e Si n=0=>x=360%(0)+ 60"</p><p>x=60"</p><p>x= +60</p><p>' Le</p><p>Las 2 primeras soluciones son: 60% y 180?</p><p>Y =60"+180"=></p><p>Rpta: D</p><p>Problema 8</p><p>Resolver:</p><p>A Aa es ku</p><p>senTa cos? x lanéx cotóx sex CSCTX</p><p>indicando el número de soluciones</p><p>positivas y menores que una vuelta,</p><p>A)1 B)2 03</p><p>D) 4 E) 5</p><p>Resolución:</p><p>1 L 1 1 ] Z 3 3</p><p>sena us tar aer = e</p><p>, 4 Ñ A 4</p><p>cr sex 00 y > tanteo sent =-3</p><p>INELÍMO</p><p>da veo) “(sera tana la net) A</p><p>E | AE l</p><p>lara lio No libó Estan 31</p><p>=> tana =1 — z = JJ 25</p><p>=> tanx =-—1-> Si ta 137315"</p><p>¿o [Hay 4 soluciones</p><p>Rpta: D</p><p>Problema 9</p><p>Resolver:</p><p>sen3. + seno 3</p><p>cos 3x + COS.</p><p>></p><p>A) na B)= + 5</p><p>O) mz ></p><p>Dr E) m3)</p><p>Resolución:</p><p>sen3x + sen 3</p><p>COS ÍN+COSX</p><p>Zsen2ygesk _ 3</p><p>Z cosx cost</p><p>lan2x=v43; l'p= q</p><p>x, =m+Vp</p><p>; T</p><p>Bix = HT +</p><p>A</p><p>E MES</p><p>Rpta: B</p><p>(3733</p><p>Problema 10</p><p>Resolver: sen 0,301 + cosu),</p><p>donde: ve (0;7)</p><p>z E ye</p><p>8) b 1) 3 ) 3</p><p>AT 3</p><p>D) 6 E) “4</p><p>Resolución:</p><p>senix = 0,511 + c0osx), ve(0m)</p><p>Sabemos que sentx = | — cosíx,</p><p>Luego:</p><p>1 =cosr = 0,5(1 + cosx)</p><p>(Liceos) (1 -cosx)=0,5(L1eos1) (1)</p><p>Al cancelar, analicemos la posibilidad</p><p>de que:</p><p>l+cosx=0 , ojo: xe(0;1)</p><p>De donde: cos =-1 => x=1</p><p>=> no cumple con x x=-</p><p>2 3</p><p>Kpta: B</p><p>Problema 11</p><p>Resolver:</p><p>2senxcos2r — seny = 2cos2x — 1</p><p>Ay (4n+1 de 3) A</p><p>T 2n+1 ao ( n+ y</p><p>D)Aó6B E) BUC</p><p>MEMO...</p><p>Resolución:</p><p>senx(2cos21 — 1) = (2c052x — 1)</p><p>(2co52x — 1)(senx — 1) = 0)</p><p>¿) 2cos2r-1=0 ->c052x = .</p><p>2j=t</p><p>3</p><p>En general:</p><p>2x2 + y</p><p>3</p><p>1</p><p>x=m + —</p><p>> 6</p><p>ti) senx-1=0 => senx=1</p><p>4</p><p>Solución 1</p><p>ñ</p><p>N=—</p><p>2</p><p>En general:</p><p>dm A</p><p>| SELINA 2 | Solución 2</p><p>Finalmente:</p><p>*="mti E Ó xx =24n1+ ></p><p>6 2</p><p>Rpta: D</p><p>Problema 12</p><p>Resolver: 2tg"r + 3secx=0 nez</p><p>T T + + A) em 3 Bi) att</p><p>, 21</p><p>+ ma CO) mit 3</p><p>21</p><p>D) 21m + : 4 ) 21 3 E) Am</p><p>a OA</p><p>Resolución:</p><p>2tgi + 3secx = 0</p><p>Asectx= 1) + Asecr =0</p><p>Fer a + Jsecí 2 =()</p><p>al Sl -1]</p><p>SY 2</p><p>(2secy —l)(secx +2) =0</p><p>¡i) 2secr-1=0 =>secx -5</p><p>(No hay solución)</p><p>li) secr+2=(0 >secx = —2</p><p>21</p><p>x= —</p><p>3</p><p>Solución general:</p><p>x=2m 4 2</p><p>Rpta: DD</p><p>Problema 13</p><p>Señale la suma de soluciones compren-</p><p>didas en 10; 7) de la ecuación:</p><p>dsenta + 2senticos2xr = 1</p><p>5</p><p>A) r B) 4 C) 21</p><p>3</p><p>ID) 3 1) 3</p><p>Resolución:</p><p>Asentx + 2sentx (1 — 2sentx) = 1</p><p>dsertx + 2sentx — dsente 1</p><p>0=1-2sen%s</p><p>con2r</p><p>cos2x =</p><p>2x = (2n+ »> e Y = A</p><p>as CATE +Trigohbmétria::</p><p>¡ E y 120P7</p><p>50 A 4 . 5 pl ts</p><p>hay 1205"</p><p>00</p><p>ñ | => 0. 2</p><p>Calcular la suma de las bres primeras A sa</p><p>soluciones positivas de la ecuación:</p><p>2cosZx == - LY _ A A) TA m</p><p>AY) 720 B) 540 (O 450" 1</p><p>] ] 13) A+ arc cos-</p><p>10) 360" ly 540</p><p>y |</p><p>Resolución: CC) 2emdare cos;</p><p>A | | l 2(2c05x — 1) = —Ácos, DD) mi ze cos</p><p>¿)</p><p>dcosix + dcosx + 1-0</p><p>l |</p><p>ó E) 211 *- are cos</p><p>(2cosx + 1) =0 2</p><p>| -</p><p>Webs + 1T=0 =>c05x=-= Resolución:</p><p>Eb IN A nn</p><p>x= 120" Esc x + 25007 y selgóa— 2tg"x +</p><p>tutrrl bn</p><p>Solución general:</p><p>v= 360" + 120" A —————</p><p>Acos” r+ sen ix 2s0c Y</p><p>3</p><p>STE 2 O TT</p><p>Luego reduciendo:</p><p>6 = 2secx</p><p>3 = secr => cosx= E</p><p>o X=Arc Pe 3</p><p>Finalmente la solución general será:</p><p>x=2n1 + arc 205</p><p>Kpta: €</p><p>Problema 16</p><p>Resolver: — tgix-4tgx+1=0</p><p>Dar como respuesta la menor solución</p><p>positiva perteneciente al tercer</p><p>cuadrante.</p><p>yy 3</p><p>JET 12 07</p><p>ES 2</p><p>E 7</p><p>Resolución:</p><p>ter JHgr+1=0</p><p>l+ lat: ¿d ter</p><p>1. 2tgx</p><p>2 1+tgx</p><p>Recuerde:</p><p>Tí</p><p>=> sen2x =- => 2x=-</p><p>6</p><p>La solución general será:</p><p>f</p><p>21 = 14 (-1)- x=»n4( Pe</p><p>HT T</p><p>x= -——+(-1)' -—</p><p>2 EY 12</p><p>lo 1-2 n= => 2 12</p><p>221 A "n=¿2 3 12</p><p>= 17n</p><p>1n=3 2 M=)</p><p>Luego la menor solución positiva</p><p>perteneciente al tercer cuadrante es:</p><p>Rpta: B</p><p>Problema 17</p><p>Calcular la suma de soluciones positivas</p><p>y menores que 360" de la ecuación:</p><p>2sentx + 3 sen2x = 2</p><p>A) 300” B) 360" Cy 4009</p><p>ID) 450% E) 600"</p><p>Resolución:</p><p>2sentr + dá sen2x=2,0% x=30" (11)</p><p>Otra solución es la que pertenece al tercer</p><p>cuadrante:</p><p>y = 180%, 30" =210 (1V)</p><p>De (1), 1D) y (VW) obtenemos lo que nos</p><p>piden:</p><p>90" + 2700 + 30% + 210 - 600</p><p>Kpta: E</p><p>Problema 18</p><p>Rosolver:</p><p>cosóx + cosdx — cosx=0 (164)</p><p>m ZE, E</p><p>ANO E% da, A) ad 3) 5 30</p><p>EE RS</p><p>c) —= + —</p><p>5 15</p><p>Dj) AB E) AC</p><p>Resolución:</p><p>cosóx + cosdx—cosx 0</p><p>——</p><p>cosacos - cos = 0</p><p>cosi(2cos5x — 1) = 0</p><p>i) cosr=0=> x=(Qn+ »> (S,)</p><p>1</p><p>ji) Zcos5x=1=0 =coshx= ></p><p>T</p><p>Dx = 3</p><p>GI: : y AO</p><p>Solución general:</p><p>a</p><p>51 = 2n1m1 -</p><p>¿nn ; it $</p><p>n= -———i--</p><p>5 TA (5)</p><p>Luego el conjunto solución será:</p><p>S= (5 45]</p><p>Rpta: E</p><p>Problema 19</p><p>T</p><p>Si xe (0,7), resolver</p><p>E AE sec 85 es</p><p>dE 3 mE bid</p><p>A) 13) 3 0) 3</p><p>21 ón</p><p>D) 3 ) 6</p><p>Resolución:</p><p>A 2sec> 837 tes» nE0</p><p>Conocemos la identidad auxiliar:</p><p>tg0 + ctgÚ = secbescO</p><p>Luego:</p><p>5 E — AS 2 yÓ os (1)</p><p>Al cancelar deberíamos analizar la po-</p><p>sibilidad:</p><p>Xx</p><p>sec—==0</p><p>2</p><p>IO</p><p>Pero la de mos, porque la secante</p><p>no puede ser cero. Recordemos que:</p><p>il: sena</p><p>secO1</p><p>Ahora, continuemos en (1):</p><p>Y n</p><p>2=cosc, ojo: xE(0; —= 505, ojo ( 7)</p><p>3</p><p>Recordemos que: esc = =4</p><p>También: cscT=2</p><p>NOR ,x 5 Luego: === ú ===</p><p>2 6 zz 6</p><p>mr Tr</p><p>Yi 3 Ó == 40, 2)</p><p>La solución 0s; x=-</p><p>Rpta: €</p><p>Problema 20</p><p>Sume las soluciones positivas y menores</p><p>de tuna vuelta que verifican la ecuación:</p><p>(43 +1)senx+ (3 - 1)cos.x = y2</p><p>A) 140" Bj 1501 o 120</p><p>DD) 180" E) 90"</p><p>Resolución:</p><p>(13 +1)senx +(43-1)cosx =y/2</p><p>(607, (62)</p><p>— Sent + —</p><p>4</p><p>cos =—</p><p>acid, ado O</p><p>cos15*senw +sen15*cosx =</p><p>Hi</p><p>]</p><p>—i</p><p>sen(ra 15%) = 5</p><p>=> +15” = [30% 150%; 390%; ...]</p><p>x € 115% 135% 3757...)</p><p>Luego las soluciones positivas menores</p><p>a una vuelta son:</p><p>x € (15% 135"</p><p>[Fania</p><p>Rpta: B</p><p>Problema 21</p><p>Resolver lg2x + ctgx = Bcostx</p><p>e indicar un conjunto solución:</p><p>A) NS 1Y5 > B) y</p><p>HT</p><p>C) E ds</p><p>D) or Haya E) «1 «y</p><p>Resolución:</p><p>senda</p><p>cos 2x</p><p>COS Y )</p><p>+——>=BCOS" x</p><p>Sen</p><p>senvsen2x 4 cosicos2y</p><p>A A A BCO</p><p>cos 2 sen"</p><p>COS x s</p><p>BOS” Y</p><p>cos 2isenx</p><p>cosx = Bsenaicos*rcos2y</p><p>cosx(1 — 8senxcosxcos2r) = 0</p><p>cosr(1 - 4sen2rcos2x) = U</p><p>cosx(1 - 2sen4 x) = 0</p><p>IXE«Á</p><p>A E » (5)</p><p>iy) 1 -2sendx = 0</p><p>ñ |</p><p>sendx ===> 41 =--</p><p>2 6</p><p>En general:</p><p>1</p><p>dx = "1 +(-1)"— ( ) 6</p><p>na T q EJ baste</p><p>EEN (5)</p><p>Rpta: €</p><p>Problema 22</p><p>Resolver:</p><p>cosr + cos 2x = cosióx + cos dr</p><p>e indicar el número de raíces en el inter-</p><p>valo [0 ; 1].</p><p>A)J5 B)6 IZ</p><p>D)8 E) 9</p><p>Resolución:</p><p>cos! 3x +cos* 4x</p><p>—</p><p>sentár</p><p>cos? +008*2x =</p><p>ab</p><p>”»</p><p>O</p><p>2 2 z 7 cos 2x-sentx=cos dx -sen”"3x</p><p>A — PAÁKÁKÁ +</p><p>cos3áxcosr = COS7ICOSX</p><p>cosiícos3x — cos7x) = 0</p><p>cosr(2sen5x-sen2x) = 0</p><p>0 >= 70 ¡) COSx is”</p><p>ñi ) sen2dx =0 => 21 =m 2.</p><p>Tm 3 |</p><p>x= e 075% Sa</p><p>ici 979): SE iii</p><p>==</p><p>NE</p><p>dif) senóx 0 > ÍX=M=>3 X=</p><p>* soluciones = 7</p><p>Rpta: €</p><p>Problema 23</p><p>Hallar el menor valor positivo de "x” que</p><p>satisface la ecuación:</p><p>tg "9 — lgi3x =1 - (g9vtg3x</p><p>A) 109 B) gr O) 30"</p><p>DD 1 E) 2"</p><p>Resolución:</p><p>ig9x — tg?3x = 1- tg 9rlgó3x</p><p>_(lg9x—tg83x)(tg9x+tg3x) 1</p><p>(1+tg9xtg3x)(1-tg9xtg3x)</p><p>tg(9x—3x)tg(9x+3x) = 1</p><p>=> lgóx-tg12v = 1</p><p>sentxrsenl2x = cosóxcosl2x</p><p>O = cos(6x+12x)</p><p>Luego:</p><p>cosl8x = 0 => 18x= (21 + 1)90"</p><p>x=(21+160] 10 Pp</p><p>Buscamos el menor valor positivo de Y</p><p>S-=0 -. “ME</p><p>Rpta: B</p><p>E AG esos</p><p>Problema 24</p><p>Sabiendo que: nel</p><p>Resolver:</p><p>secir + escóx + 4sec*2x = 64ctgdx</p><p>NA T MT T dir E Y Bl NA A) o Ser B) ¿Ya</p><p>HT</p><p>T</p><p>e a 1 _— O Hoz</p><p>MET nT T — + A — —+*+[-] 5 E) 4 (-1) D) 24</p><p>Pr r</p><p>ED 48</p><p>Resolución:</p><p>sectx + csctxr + 4seci2x = 64ctgdx</p><p>Observación:</p><p>sec? 0 + esc? 0=4 esc? 20</p><p>> desc 2x+4sec 2x=64ctg4x</p><p>4(sec*2x +05c?2x) =64ctg4x</p><p>csc'4x = 4ctgdx</p><p>1 ñ 4cos4x</p><p>sen*4x send</p><p>5 = 2sen4dxcos4x</p><p>senBx= ; => Br=</p><p>P</p><p>l</p><p>a</p><p>Solución general:</p><p>T</p><p>8x = "+ (-1)"— x= 4+(-1) ,</p><p>nm T</p><p>A =p —</p><p>. 5 +EY 48</p><p>Rpta: D</p><p>Problema 25</p><p>Rosolver:</p><p>tg2xt _Bértgr + 2 =2;neZ</p><p>tg2xctex + 3</p><p>Amin are cos</p><p>1</p><p>B) mi Za ¡arc cos></p><p>2 2 7</p><p>1</p><p>C) mr + 13 —arc cos</p><p>1</p><p>arc COS;</p><p>7</p><p>mit 1</p><p>E) a in z Ac cos ></p><p>D) mit-3</p><p>R</p><p>l</p><p>a</p><p>n</p><p>=</p><p>Resolución:</p><p>tg2x(csc2x—ctg2x) +2</p><p>=.2</p><p>tg2x(csc2x + ctg2x)+3</p><p>(sec2x—1)+2 e</p><p>(sec2x + 1)43</p><p>sec2x41 = 2sec2r+8</p><p>=/ = secix</p><p>is</p><p>7</p><p>2r = are cos| - >)</p><p>7</p><p>1</p><p>e 2x=xk-arc cos></p><p>Solución general:</p><p>Zx= 2 arc cos]</p><p>Rpta: D</p><p>ARDE MIO ondo e oi</p><p>Problema 26</p><p>Resolver:</p><p>seni3xescr esendacos3xsec?v lisenór</p><p>eZ</p><p>HT T TT T ES sE ts</p><p>a 13 "y</p><p>nT r</p><p>—+i-11 —</p><p>Se 4 33</p><p>ma T mM T</p><p>o e ap a A 2 o) E +1) E HAZ</p><p>5 30</p><p>Resolución:</p><p>sent3x sendxcos3x</p><p>—— $ A = | + Sen</p><p>Ser cos 2x</p><p>serí (2c0s2x + 1)sen3x %</p><p>serí</p><p>(2senZx cos2x )cos 3x >"</p><p>csos2Y</p><p>+sen3x</p><p>(2sen3xcos2r+sendxa)+2sen2xcos31=1+4+sen3x</p><p>2senidx+2x) = 1</p><p>senSx = z >="</p><p>2 6</p><p>Solución general:</p><p>ñ</p><p>5 =m+(-1)"— ( y</p><p>HT T E TA</p><p>EY</p><p>Rpta: D</p><p>(ELY "+Trigohométria</p><p>Problema 27</p><p>Resolver:</p><p>2 E. "o</p><p>(cos4v--cos2x) =sendx+5 910%</p><p>A) Mm B) 2 + O mio</p><p>T T</p><p>D) 2n1 += Ej) ni+=—</p><p>Resolución:</p><p>(2sen3xsen(-x))' =sendx+5</p><p>” ”</p><p>¿sen 3xsen xr =sendx +5</p><p>et lc rei,</p><p>máx:d -1</p><p>Luego: sen3x=-1 an senix=1</p><p>TT</p><p>Entonces: x= ></p><p>x=2m+ z</p><p>2</p><p>Kpta: B</p><p>Problema 28</p><p>Calcular la menor solución positiva de</p><p>la ecuación:</p><p>csc2x — secdx = 2</p><p>q e e</p><p>A 30 570 O 5</p><p>x A</p><p>13) 4 E) 3</p><p>Resolución:</p><p>csc2x — secdx =2</p><p>1 1 2</p><p>sen2x cosdy</p><p>cos4x-—senZx</p><p>sen2xcos4x</p><p>cosdx - sen2x = 2cos4xsen2x</p><p>OL LO a emi ra Proyecto Ingenio</p><p>cosdxr — senZx = sen(4x+2x) — sen(4x-2x)</p><p>cosdx — senZx = senóx — senZx</p><p>cosdx = senóx</p><p>Por propiedad de razones trigonométricas</p><p>de ángulos complementarios:</p><p>T Tr</p><p>4x + 6x = 7 > 10x = al</p><p>T</p><p>Des do: == pejando: x 20</p><p>Rpta: A</p><p>Problema 29</p><p>Hallar la solución general de:</p><p>3tg2x — 4tg3x = tg3xrtg2x; nel</p><p>A) nu</p><p>T 1</p><p>2n+1)-+ >. B) (Qn )> aci</p><p>Ca nácar es</p><p>2 4</p><p>D) — are cos</p><p>4</p><p>E) AUC</p><p>Resolución:</p><p>3tg2x — 4tg3x = (gi3xtg2x</p><p>4(tg2x — tg3x) = tg2x + tg*3xtg2x</p><p>al sen(—x) )- sen2x</p><p>sos2% cos3x) cos2%</p><p>—Asenx Ñ sen?2x</p><p>cos3x cost 3x</p><p>(1+tg*3x)</p><p>sen2x</p><p>Asenx =</p><p>cos3x</p><p>A senx -cos1(2c0s2x-1) = sen2x</p><p>—2sen2x(2co052x - 1) = sen2x</p><p>0 = senr2x [1 + 2(2c0s2x - 1))</p><p>Ú = sen2x(4cos2x — 1)</p><p>i) sen2zx=0 >2x=nx</p><p>cm FT</p><p>=> (5)</p><p>ii) 4cos2x-1=0</p><p>cóbdr=2</p><p>4</p><p>a:</p><p>Xx = arc Cos 4</p><p>En general:</p><p>2x=2nnztarc cos-</p><p>1 1</p><p>sE PEE ar Sir (S,)</p><p>Conjunto solución:</p><p>S=|S, WS,]</p><p>Rpta: €</p><p>Problema 30</p><p>¿Qué relación debe cumplir a, 6 y c,en la</p><p>ecuación mostrada, para que el "senx'</p><p>admita un solo valor (x+ Ar; ke Z), en</p><p>la ecuación:</p><p>asen3x + bcos2xr + csenx-b=0 ?</p><p>A) Va+ b?4 3ac=0</p><p>B) 1224 bP44ac=0</p><p>C) 164? + b*+ 4ac = 0</p><p>D) 1l64-b*+ ac =0</p><p>E</p><p>Ob</p><p>Resolución:</p><p>asenóx + bcos2y + osenx—h=0</p><p>asenóx — A(1-— cos2x) + esenx = 0</p><p>al3senx — dsen?y) — MAsentx) + elsenx) = 0</p><p>senvibo —= desen — 2bsenx +0) =0</p><p>- sonxftasenta + 2bsenx — (3a + c)) = 0</p><p>$ senx=0 => x=dkxI</p><p>Pero por condición x= An</p><p>no hay solución</p><p>Y deseróx + 2bsenx —- Ca+c)=0</p><p>Por condición: sen:</p><p>“clhmite un solo valor: A = 0</p><p>(2-4 dE a+ 0) =0</p><p>Jh*4 1603 +0) 0</p><p>Padalda +00</p><p>12 — h* , Sen = 0</p><p>Rpta: B</p><p>Problema 31</p><p>Para qué valores de 4 tiene solución el</p><p>sistema:</p><p>COSTCOSU = dr</p><p>senvsenr = 24 + 1</p><p>Ay [22 0]up2; 2+ 43]</p><p>B) (2; 1-43]ul[2; 2: 43]</p><p>C) 120]</p><p>1D) 11-43; o:</p><p>E) 1-43; 2|</p><p>></p><p>IAN</p><p>a</p><p>Resolución:</p><p>COSVCOSP = di (1)</p><p>senvseny =2a 4 | (2)</p><p>De (1D) + (0)</p><p>cosíx —= 4) = (a + 1)</p><p>Pero:</p><p>Tecos 1) € 1</p><p>=0 r-y= 90 (1)</p><p>2coslx + y)costr — y) = 0 Además, por dato:</p><p>Dato: x + v= 120" x + y=120" (11)</p><p>Reemplazando: Sumando miembro a miembro, (1) + (II):</p><p>2x=210" => 6= 105"</p><p>2cos120"costx = y) := 0</p><p>Rpta: D</p><p>«E ROBLEMAS DE FixÁMENES DE Á DMISIÓN</p><p>Problema 1 Problema 2</p><p>Los valores de los ángulos comprendidos El menor valor de x que satisface la</p><p>entre (" y 150", que satisfacen la ecuación: ecuación es:</p><p>2 842. AA Vr -</p><p>En e 17J3 Son (SM 04-1) [sen(3)- = =P</p><p>3 2 1</p><p>Reduciendo a =4 => a Rpta: D</p><p>Problema 3</p><p>de donde 2x =60% v 2x= 300"</p><p>Halle el valor de x en:</p><p>T</p><p>= 30" == Li 1 7 .</p><p>=8 t. '01-</p><p>— , Lesenx 1- seny (Cat. 911)</p><p>x=1500=%</p><p>e A) 30" B) 60* O 45"</p><p>Rpta: A D) 37" E) 53"</p><p>be Za,</p><p>cesolución:</p><p>a</p><p>-</p><p>mr</p><p>=</p><p>vola E</p><p>Pristihs.</p><p>ARTO A dl E</p><p>. 5 11 As</p><p>ETA TOMA ETA ME Eo A</p><p>rs rloneco al iiterialo: UNT 01-00)</p><p>AY Ue LI80% 240"</p><p>9) x= E</p><p>Rpta: A</p><p>ALEM a e Y E</p><p>Problema 6</p><p>Halle la suma de las soluciones positivas</p><p>menores de 21 de la siguiente ecuación:</p><p>(UNI 06-11)</p><p>2 lan? sec l=0</p><p>T T E A) tE B) 3 O) 2</p><p>DD) a E) 2x1</p><p>Resolución:</p><p>La ecuación equivale a:</p><p>Asec” x--l)+secr+1=0</p><p>2eCc+secx—1=0</p><p>Iserr. | l|>s.ecx= L 3 5</p><p>SON “Sl >secx=1</p><p>Solo cs posible:</p><p>|</p><p>La única solución positiva menor de 27</p><p>os:</p><p>Rpta: D</p><p>Problema 7</p><p>La suma de los valores de xc[0;27)] que</p><p>verifican la ecuación</p><p>2tgrcosx-2cos1+tgr-1-0 0s (SM 04-1)</p><p>ya ya e E ) 13 ) 7</p><p>py Y yan E 5</p><p>a</p><p>Resolución:</p><p>2lgrcosx - 2cosx+tgr 1-0</p><p>2cosx(tgx-1)+(tgx-1): 0</p><p>(tgx- 1)(2cosv + 1)=0</p><p>i)lex-1=0 => lex-=1</p><p>ii) 2cosx4+1=0 => cosy=---</p><p>La suma de los valores de y, tal que</p><p>Fx</p><p>xe [0; 27] Ce O</p><p>Rpta: E</p><p>Problema 8</p><p>Resolver la ecuación:</p><p>sen(2x) + 5seníx) + 5cos(w) + 1=0</p><p>ñ . + A) 3 + kr: k E E 13) a +2kr; ke E</p><p>O) -+2kukc 2</p><p>j</p><p>D) -E + km; ke? E ci ke z — o T E 5 + AE a 4 E E ha y 277</p><p>Resolución:</p><p>2senxcos: + 5(senxicosr) +</p><p>(sentv+cosix) = 0</p><p>(senx + cosx)" + 5senx cos) = 0</p><p>(senx + cosa)ísenx + cost + 5) 0</p><p>senx + cost +0 > tgars-].</p><p>"T</p><p>fa——+4 E</p><p>E</p><p>Kpta: D</p><p>DB.</p><p>Problema 9</p><p>Dada la ecuación trigonométrica:</p><p>2V2cos*x=1 +(y2 -2)co5x ¿Cuál de los</p><p>siguientes ángulos nu satisface a dicha</p><p>ecuación? (SM 04-1)</p><p>AY 225"</p><p>D) 60"</p><p>By 30" O 135"</p><p>E) 300*</p><p>Resolución:</p><p>—</p><p>VA cost x=14 (2 -- 2)cosx ba</p><p>i</p><p>2/2 cos! v+ (2 - V2)cos.x -]=0</p><p>Ácosy | 1 A Pa</p><p>de — "qual</p><p>(V2cosx+ 1)(2cosx -1)=0</p><p>4 cosx+1=0 => cosx=-—==</p><p>/2</p><p>NN 1 135"; 225")</p><p>Meosr-1=b0 = cosr=</p><p>p</p><p>i</p><p>]</p><p>—</p><p>-. 1 =160%; 300";</p><p>No satisface la ecuación:</p><p>$=30"</p><p>Rpta: B</p><p>Problema 10</p><p>Determinar el número de soluciones que</p><p>tiene la ecuación lgx + tg2x = tg3x en el</p><p>intervalo (a =) (UNI '96-1)</p><p>Ay O Bj) 4 j 3</p><p>15) 1 E) 2</p><p>Resolución:</p><p>La ecuación equivale</p><p>a:</p><p>sentar 20) sem3í</p><p>O y</p><p>Analicemos:</p><p>senda =0</p><p>x=kr , keZ</p><p>x=, keZ</p><p>En este conjunto no hay ninguna</p><p>0d de</p><p>solución en (r; E.</p><p>Luego de cancelar continuemos en (1):</p><p>cosicos2x =cos3x</p><p>2c0s2xcosx= 20053</p><p>cos3x+ cos =2c053x</p><p>cos —cos3x=()</p><p>Zsen2xsenx =0</p><p>Zsenxcosx.senx =0</p><p>sen?x.cos.y=0</p><p>En (1) vemos que cosx +0</p><p>Luego, sólo es posible:</p><p>senx=0</p><p>x=M,Nn€L,</p><p>En este conjunto también no hay</p><p>ninguna solución en (ri E)</p><p>-, Número de soluciones = U</p><p>Rpta: A</p><p>BE ic ac</p><p>Problema 11</p><p>Indique una solución general para la ecua-</p><p>ción: decos xcos2xc0s3x=1 (UNI 04-1)</p><p>A) Kx4 q UK Ex B) Kn+E,vK BR</p><p>C) Kx+ qe WK Ez</p><p>D) Kxt2YKez E) Kn+3 vkez</p><p>ñ 5</p><p>Resolución:</p><p>De la ecuación 2(2co52xc051)c0s3x=1</p><p>Por transformaciones:</p><p>2(c0s 31 +c0sx)c0s3x=1</p><p>=> 2cos*3x+2c0s 3 cos. x= |</p><p>l+cos6x+cosdx+c0s2x =1</p><p>me Proyecto Ingenio</p><p>Agrupando:</p><p>COSbr +CcOos 21 +cos4x 2ecos2x+1=0 => cos2r=- ></p><p>f</p><p>>) 2x=2kmt | sd ! keX</p><p>21 T E 2x=2knt— => y=4nt2:tez</p><p>3 3</p><p>Kpta: €</p><p>LP roBLEMAS Propuestos</p><p>Problema 1</p><p>Halle la menor solución positiva de la</p><p>ecuación:</p><p>tan 5x — cot 30"= tan 180"</p><p>A) 10" 3) 12* O) 13</p><p>13) 15" E)11*</p><p>Problema 2</p><p>Halle la menor solución positiva de la</p><p>ecuación:</p><p>2sen5x+005c90"= tan 180”</p><p>A) 12"</p><p>D) 18"</p><p>B) 22% C) 42"</p><p>E).32</p><p>Problema 3</p><p>Resolvor:</p><p>2 cos(x —5")--2sen30"= cas 90"</p><p>A) 10* B) 20" C) 307</p><p>D) 407 E) 50"</p><p>Problema 4</p><p>Resolver:</p><p>tan 45 esc 5 ) =sec45"= cos 90"; x Enz</p><p>A) 90?</p><p>D) 2008</p><p>B) 120" Cy 270"</p><p>E) 180"</p><p>“ÉSTE 0</p><p>Problema 5</p><p>Resolver:</p><p>(senx — cosa)! =1-senr</p><p>Señale la suma de las tres primeras</p><p>soluciones positivas.</p><p>A) 6307 B) 240" C) 1020”</p><p>Dj) 540" E) 420”</p><p>Problema 6</p><p>Señale la suma de las tres primeras</p><p>soluciones positivas de la ecuación:</p><p>3tanx+2secxcsex = 5tanx+2</p><p>A) 525 B) 6009 C) 645*</p><p>D) 675" E) 8159</p><p>Problema 7</p><p>Sume las tres primeras soluciones</p><p>positivas de:</p><p>2cos? y -1=senx</p><p>A) 330" B) 4507 C) 240?</p><p>D) 540" E) 4107</p><p>Problema 8</p><p>Señale el número de soluciones positivas</p><p>y menores que una vuelta de la ecuación:</p><p>4sen*x-5sentx+1=0</p><p>A)2 B) 4 06</p><p>D)1 E) 3</p><p>a E E RRCOT</p><p>Problema 9</p><p>Resolver:</p><p>sen7x—=senx _ 1</p><p>COSY—COS7 x</p><p>mn, m_i mi_4 Ai "rr 077</p><p>HE m,xñ D) 776 078</p><p>Problema 10</p><p>Resolver: senf2r-12%=2, Dar como</p><p>respuesta la suma de las dos primeras</p><p>soluciones positivas.</p><p>A) 1007 B) 210" C) 126?</p><p>D) 202* E) 102*</p><p>Problema 11</p><p>Señale la suma de las tres primeras</p><p>soluciones positivas de la ecuación</p><p>></p><p>2senóx =3c05x</p><p>A) 7807 B) 720" O) 440"</p><p>D) 420" E) 540"</p><p>Problema 12</p><p>Resolver:</p><p>COSx sent</p><p>l+cos2x 1-cos2x</p><p>ayomeho py miel</p><p>8 2 8</p><p>CE) mia</p><p>NW</p><p>D) mm E) Ne</p><p>Problema 13</p><p>Resolver: sen2x+c0s2x = 4/2 senx</p><p>A) 2n1 e B) mi+l</p><p>4 3 4</p><p>T Ti</p><p>O (4n41)—-— ) (4n + YE :</p><p>D)AoB EjBoC</p><p>Problema 14</p><p>Resolver: (ne Z)</p><p>sen(a + x) + sen(a — x) = cos(a — x) —</p><p>= costa + x)</p><p>A) nn +arc tg2 B) mi are 8</p><p>se 2</p><p>1 CO) 3</p><p>D) m1+arc t8> E) mo</p><p>Problema 15</p><p>Calcular la suma de soluciones de la</p><p>ecuación:</p><p>4/3 senx + cosx = 2 , donde x e[0; |</p><p>Tr T 27</p><p>A) 5 B) 3 O 3</p><p>T HE</p><p>D) 3 E) E</p><p>Problema 16</p><p>Resolver:</p><p>1 + senx + cosx + sen2x + cos2x =0</p><p>3 om? 3 C)AoB</p><p>27</p><p>2 + A) 21 3</p><p>T</p><p>D) mito EJBoD</p><p>Proa 1 7</p><p>Resolver la ecuación: 2cos2x + 3 = decosx</p><p>Luego, hallar la diferencia entre las dos</p><p>menores soluciones positivas.</p><p>%</p><p>A) 120? B) 180* C) 2409</p><p>D) 300% E) 360"</p><p>Problema 18</p><p>Resolver:</p><p>2 -— 2c0s'x — 3(senx-—1)=2; neZ</p><p>T q MT 1)" = T+(-1— 2) A B) nn+( "3</p><p>C) m+(1) ,</p><p>D)AoB E)BoC</p><p>Problema 19</p><p>Resolver:</p><p>5sentx + 6sentrcostx + 5cosíx = 4</p><p>T T T</p><p>A) kx+— B) kn+— ) krit— ) kr > ) 3 CO) kr z</p><p>kx TI</p><p>== Fkm+— D) 4 E) 2k1 + z</p><p>Problema 20</p><p>Resolver:</p><p>2cos3xcos4x + 2sen2xsen5x =</p><p>cos2x + cosdx</p><p>Indicando el número de soluciones en</p><p>(0, )</p><p>A) 2 B) 3 C) 4</p><p>D) 1 E) 5</p><p>CeTO e</p><p>Problema 21</p><p>Calcular la suma de las 3 primeras</p><p>menores soluciones positivas de la</p><p>ecuación:</p><p>sendí — sendy = cosón</p><p>Aj 180" B) 270" Cy 390"</p><p>D) 540" E) 570"</p><p>Problema 22</p><p>Lina solución al resolver la ecuación:</p><p>cosSí=cosóx +cosir=1; keZ es:</p><p>hs bx Ln</p><p>A) ñ 13) > DA</p><p>y (QA-1)- E) A y Cson</p><p>solución</p><p>Problema 23</p><p>Si 1g98x = lg 5 , ¿cuántos valores de "x</p><p>positivos menores de una vuelta hay en</p><p>cl segundo cuadrante?</p><p>Gs) A</p><p>Problema 25</p><p>Resolver senda —tgr + Ssendx 0; e indi-</p><p>car la suma de soluciones comprendi-</p><p>das en el intervalo de (0; 1]</p><p>ám</p><p>Aj Y Br 21 O _</p><p>T 5</p><p>13) = E) =</p><p>Problema 26</p><p>Resolver: (ne 7.)</p><p>seniitgx + costacigy + 2senxcosx = 2</p><p>T 04 T . $ T</p><p>1 +— mn mA mi+— A" + b) j O 8</p><p>A , ; T</p><p>IV) IT + 3 1:) d+ 6</p><p>Problema 27</p><p>Resolver; son: + cos = 1 + 2s0n2x</p><p>indicando la suma de soluciones</p><p>comprendidas en |0; 1]</p><p>Ar 2 ST 42</p><p>A) —+arc sen B) —+arecsen—</p><p>7 JE 3</p><p>y? A) 46 B) 47 C) 48 Cy aresen E</p><p>1) 49 E) 50</p><p>dl 13) are sE E) sm sa dE</p><p>4 4 a... 4</p><p>Problema 24</p><p>a ES Problema 28</p><p>Resolver la ccuación:</p><p>> Indicar una de las soluciones de la</p><p>escly + clg2r - sec + lav ecuación:</p><p>sentx —2c0st%r + 5 sen2y =0</p><p>A) É 5 dd ME A</p><p>= Aj Y B 15" Cy) 30"</p><p>T sq P EV</p><p>Ej 53 D) 45 E) 60%</p><p>DEMERTOT- 1392</p><p>Problema 29</p><p>Calcular la menor solución positiva de</p><p>la ecuación:</p><p>»</p><p>(Vseny + Ycos 1) (Vseny -/cosx)</p><p>ze n “y E A) 8 B) > O) 6</p><p>TI ss T D) 5 1) 4</p><p>Problema 30</p><p>Si “a” es la menor solución posiliva de la</p><p>ecuación:</p><p>ó T ] z )- |.</p><p>Cu E y CU +x|=-— A A</p><p>Calcular: cos[u En)</p><p>] y2 Y3 A) 3 13) > C) 2</p><p>El 4</p><p>Problema 3 1</p><p>Resolver:</p><p>send + sendx + 2sentx=1 ; neZ</p><p>AR</p><p>+7 HN MG e</p><p>CO) AoB</p><p>AT T</p><p>add: PRE ani s D) 740 E) BoD</p><p>T A) B) an</p><p>Problema 32</p><p>Calcular el menor valor positivo de “y</p><p>em cosx—cosy=y3 dondex+v= 1x1</p><p>A) E B) 4 C) SS</p><p>5 pá Es</p><p>Problema 33</p><p>¿Cuántas soluciones, en el intervalo</p><p>[0; 21), ticne la ecuación:</p><p>cser— lg ss 1?</p><p>AJO B) 1 02</p><p>D) 3 E) 4</p><p>Problema 34</p><p>Calcular el número de soluciones de la</p><p>ecuación:</p><p>1-Cosy = lgr—senx; 0" -aresen, B) mn 1) aresen—</p><p>ma (y " C) —+“—- arc sen— 4</p><p>2 —</p><p>D) ares E) ml E arcsen,</p><p>Problema 36</p><p>Calcular la menor solución positiva de:</p><p>tglx + 45%) + clg(45*—4) = 2ctgy</p><p>A) 15 B) 22%30'</p><p>Cy 30%</p><p>D) 37%30' E) 4530"</p><p>MEMO...</p><p>Problema 37</p><p>Resolver: (NEL)</p><p>(sendx + cosda)ísenx — cosx) + sen?y = 1</p><p>1 T</p><p>Anal BJn+D5 €) (20417</p><p>T T</p><p>D) 41 + 05 E) (4n-1) 3</p><p>Problema 38</p><p>Resolver la ecuación:</p><p>cos2r+senti- asp</p><p>2 2</p><p>DondeD HELL</p><p>rd 2 =-</p><p>A</p><p>A) Bur+2x B) dni+ (1) E</p><p>O) 2m1+(-1) z</p><p>INAobB EA OC</p><p>Problema 42</p><p>Resolver:</p><p>sendx + 2cos2x = 2; para: x* Ar</p><p>Dar la suma de las soluciones en el</p><p>intervalo (0; 21)</p><p>A) x B)34x (5</p><p>1)2x 4r</p><p>Problema 43</p><p>Resolver;</p><p>tg3x + clgr3x — 6tg3x — 6ctg3x + 10=0</p><p>A == po</p><p>) AD Ps 36</p><p>O (40,92</p><p>8]</p><p>D) AoB E)BoC</p><p>Problema 44</p><p>Hailar el número de soluciones de la</p><p>ecuación trigonométrica:</p><p>cigx + clg2x +Igdr =0;en0</p><p>l</p><p>a</p><p>Problema 49</p><p>¿Cuántas soluciones tiene la ecuación</p><p>c052%_ _ 9 en el intervalo (0; 1)?</p><p>1+sen2y</p><p>A) 0 B) 1 O) 2</p><p>D) 3 E) 4</p><p>Problema 50</p><p>Resolver: (ne Z)</p><p>sen3x — sen2x + senx =</p><p>4/3 (cosdx — cos2x + cos x)</p><p>T nt T</p><p>2m+t= —+= A) 2m B) E</p><p>Cri</p><p>D)A oB EjBoC</p><p>Problema 51</p><p>Resolver:</p><p>sen[ E ) + sena +42=22+6</p><p>+1 e -</p><p>A) x=/+1)</p><p>B) y= HE; eZ</p><p>CO) 3=2</p><p>DD) A y B son respuestas</p><p>E) A, B y € son respuestas i</p><p>A X N</p><p>> f h IS Les</p><p>rene</p><p>AA e Mes</p><p>> e</p><p>o Identidades</p><p>/ cariruo : Trigonométricas</p><p>7.1 IDENTIDADES</p><p>FUNDAMENTALES</p><p>IDENTIDAD</p><p>Una identidad es la igualdad de dos</p><p>expresiones matemáticas que al asignar</p><p>cualquier valor real a sus variables</p><p>siempre se obtiene una igualdad</p><p>numáórica .</p><p>Ejemplos:</p><p>1 (xl =x34+21+1</p><p>Parár=1 : (+0) >1P+2A1+1</p><p>4=4</p><p>Parax=-—5: (-5+1) =(-S + 2U5)+1</p><p>16=16</p><p>2% senx.cscx=1</p><p>P A E 0 ara x= 1 sen ¿esco -</p><p>:S 2=1 -</p><p>1=1</p><p>p sen ese =l ara Xx ==: Sen esco =</p><p>Epa</p><p>1=1</p><p>IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICA!</p><p>Una Identidad Trigonométrica es un</p><p>igualdad que involucra expresione</p><p>trigonométricas que se verifican par</p><p>todos los valores admisibles de la</p><p>variables.</p><p>Con la ayuda de la siguiente figur</p><p>vamois a deducir las identidade</p><p>fundamentales.</p><p>.</p><p>er |</p><p>1 Q ctgd M</p><p>3</p><p>$ N</p><p>í cost) E</p><p>6</p><p>Fo</p><p>1 z -</p><p>cosO</p><p>O H pP R</p><p>seco ——1</p><p>Cba</p><p>Ejemplos:</p><p>1. En un triángulo ABC, mo A 37"</p><p>AB-20m y BO 24m</p><p>Resolver ol triángulo en cuestión.</p><p>Resolución:</p><p>Graficando:</p><p>Cálculo de €:</p><p>24 24</p><p>7 a > om</p><p>UTE 04m b</p><p>d</p><p>Cálculo de B:</p><p>ABE IBP e 57% Ba4- 30" - 180"</p><p>> 1139]</p><p>Calculo de lb:</p><p>h 20</p><p>A 0 sen 113</p><p>send13% sen 30' N ></p><p>-</p><p>=> 1h: 36.8]</p><p>En el triángulo ABC,moA =80'</p><p>m/C=70" y AB=18m</p><p>Resolver el triángalo ABC</p><p>146</p><p>Resolución:</p><p>Craficando el triángulo</p><p>Cálculo de B:</p><p>B= 180" - (80 + 70%</p><p>Cálculo de (h:</p><p>h</p><p>sen 20"</p><p>Cálculo de «:</p><p>_18</p><p>sen 70" sen 8K0" "0,94 0,985</p><p>I5</p><p>tl</p><p>Cr</p><p>sem Or</p><p>lb-9,57m |</p><p>LEY DE COSENOS</p><p>En la figura:</p><p>h</p><p>05 0,94</p><p>1</p><p>15</p><p>- 18,56 m |</p><p>230</p><p>4</p><p>Is</p><p>al</p><p>IBENO</p><p>A AHI: BE ¿(6 -acosC)</p><p>10H: BE = a- (avosC)</p><p>e (b-acosOP = 0 (arosCY</p><p>eb? - 2ahcosC + aros) = a atcosO</p><p>análogamente para los otros lados:</p><p>wo = bl +e —2becosA</p><p>3 ” »</p><p>bb =Fec-daccosh</p><p>Ejemplos:</p><p>3. Encl triángulo mostrada, determinar</p><p>la longitud del lado AC.</p><p>E</p><p>y!</p><p>20m 18m</p><p>At TT</p><p>Resolución:</p><p>Por ley de cosemos:</p><p>b* = 20 + 18? - 2(20)(18)c0945"</p><p>y2</p><p>bi = 400 + 324-720 E > b*= 214,88</p><p>b= 14,66m</p><p>LEY DE TANGENTES</p><p>De la ley de senos:</p><p>ul b</p><p>A</p><p>senÁ —senB</p><p>Se ts o :</p><p>A</p><p>a sená</p><p>hb senil</p><p>u+bo senA +senB</p><p>Transformado a producto el 2" miembro:</p><p>ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR</p><p>En el triángulo ABC mostrado:</p><p>B</p><p>ucosC</p><p>A —</p><p>P== —+.</p><p>b</p><p>paa</p><p>5 asen ll, _absenC</p><p>Van = -- O</p><p>AL 2</p><p>Análogamente:</p><p>—</p><p>ecsenB.</p><p>Saa = 3</p><p>SILENT) ccoo a ies ecturs: SIA 000 MEZZO</p><p>Ejemplo;</p><p>Calcular el área del triángulo mostrado</p><p>3</p><p>20m</p><p>A=]</p><p>24m</p><p>C</p><p>2A- (br+c+a)jh+ cai)</p><p>ná 2 Abe o</p><p>Para:</p><p>a+h+c=2p</p><p>FÓRMULAS ADICIONALES</p><p>Razones trigonométricas de los</p><p>semiángulos de un triángulo</p><p>Sea ABC un triángulo de lados a, h y c.</p><p>En él se cumple:</p><p>4 pues</p><p>2 he</p><p>de</p><p>B h ho cos7= [PL )</p><p>da no</p><p>A iS</p><p>' cos = AL=O</p><p>ab</p><p>Por consiguiente se demuestra:</p><p>. sendos [(o-bP-0)</p><p>2 V be</p><p>. sen = (Edte-a</p><p>(dE</p><p>[--aAWw-b)</p><p>ún (</p><p>e sen==</p><p>2</p><p>donde: la+b+¿=2 |</p><p>o eee</p><p>Elementos auxiliares de un</p><p>triángulo</p><p>A. Bisectriz interior:</p><p>OH 2</p><p>[ 2ab ] ¿ME</p><p>l,.=| —-=|.cos—</p><p>kh 2</p><p>B. Bisectriz exterior:</p><p>(en 2</p><p>" kb=e 2</p><p>(5) B</p><p>y, =| —— [sen—</p><p>ue 2</p><p>y == sen</p><p>a—bh 2</p><p>C. Altura:</p><p>h, = bsenC = csenB</p><p>hr, = asenC = esenA</p><p>h, = bsenA = asenB</p><p>D, Mediana:</p><p>Y</p><p>4m;=b" +e* +2bc cosA</p><p>¡ ”» ” u)</p><p>| dm¡=a? +c" +2ac cosB</p><p>| Am¿= a" +b* +2bc cosC</p><p>Otras relaciones del área de un</p><p>triángulo</p><p>_ abc</p><p>9= dy</p><p>S=pr</p><p>S=¿p(p-aMp=b)Mp=c)</p><p>S=ra(p-a)=rb(p-b)=rc(p-c)</p><p>S =2R9senAsenBsenC</p><p>$=S= fra</p><p>e 2p=(a+b+c)</p><p>e ri = Ex radio relativo al ángulo A</p><p>+ R= Circunrandio.</p><p>e r=Inradio</p><p>SMTDEMO o 0 0 EZ</p><p>Área de una región s.. Ldysen0</p><p>2</p><p>Ss JÁ z ap : bXp Mp d) z abedeos? u</p><p>a : semisuma de dos ángulos de ABCD</p><p>cuadrangular</p><p>Para un cuadrilátero inscriptible (a = 901)</p><p>SN</p><p>Para un cuadrilátero cireunscriptible</p><p>(a+c=b+d)</p><p>S = Jfabed sena</p><p>Para un cuadrilátero bicéntrico</p><p>(inscriptible y circuncriptible)</p><p>SvVabcd</p><p>.Prosemas Resuenros</p><p>Problema 1</p><p>7) -</p><p>En un triángulo ABC E 2). 243 Y2</p><p>£i=60% b=2: XB=45* E 2 Y2</p><p>Calcular “a”</p><p>A) 243 B) 242 C)4 a=v6|</p><p>D) v6 E) 2/6 Rpta: D</p><p>Resolución: Problema 2</p><p>Graficando el triángulo: En un triángulo ABC</p><p>£A=60%"; 40 =45"</p><p>a=4W3-1. Calcular “b”</p><p>A -AEÑNEr</p><p>A a 5 2 Md</p><p>Por ley de senos: :</p><p>a _ 2 , - 2senó0" D) 3 E) SS</p><p>senó0” ” send5? 7 seng45?</p><p>Resolución:</p><p>Graficando el triángulo</p><p>4 a</p><p>y3 a</p><p>Rpta: D</p><p>Problema 3</p><p>En un triángulo ABC</p><p>£¿A=30"</p><p>¿Cuánto mide el cireunradio del AABC?</p><p>a=6 y</p><p>Ay? B)3 O6</p><p>10) 9 E) 12</p><p>Resolución:</p><p>Graficando:</p><p>AS O io</p><p>AR ata</p><p>Por ley de senos:</p><p>ao. e</p><p>A Rar</p><p>Kpta: €</p><p>Problema 4</p><p>En un triángulo ABC,</p><p>simplificar</p><p>¿ - asenB + bsenA</p><p>"— asenT + cesen</p><p>si: b=3c:</p><p>A)3 B) z 06</p><p>1 -</p><p>Dz E) 9</p><p>Resolución:</p><p>Por ley de senos:</p><p>asen = bsená</p><p>asenC =csenA</p><p>p=¿senA+ bsenA</p><p>“— gsenA + esenÁ</p><p>E= bserA bh</p><p>JesenPf ce</p><p>p=3£</p><p>=</p><p>«I6=3] |</p><p>Rpta: A</p><p>Problema 5</p><p>En un triángulo ABC,</p><p>reducir</p><p>> 4COSA + hcosB +ccosC</p><p>senAsenBsenC</p><p>si su circunradio es “R ”</p><p>AJR B) 2R C) 4K</p><p>D) 5 E:</p><p>Resolución:</p><p>Por ley de senos:</p><p>a=2RsenA ; h=2RsenB ; e=2RsenC</p><p>Luego:</p><p>2RSenA cos A+2 RsenBcos B+2RsenCcosC</p><p>ds —</p><p>senAsenBsenC</p><p>Jo R(sen2A +sen2B + sen2C)</p><p>> senA senBsenC</p><p>Como: A+B=+C sen2A +sen2B+sen2C=4senA senBsenC</p><p>' RaAserrX senB sen</p><p>—serrA senf send</p><p>| J =4R</p><p>Rpta: C</p><p>Problema 6</p><p>En un triángulo ABC,</p><p>a_b-e</p><p>3.5 7"</p><p>Calcular "xC"</p><p>A) 60?</p><p>D) 30”</p><p>Bj 120" O 155”</p><p>E) 457</p><p>AUDE</p><p>h</p><p>A Proyecto Ingenio</p><p>Resolución:</p><p>De la condición</p><p>+“ 1=3k</p><p>a_b_¿_, E qbajorjoos</p><p>ec=7k</p><p>Por ley de cosenos:</p><p>== a? + -2ahcose</p><p>a + p”</p><p>cr</p><p>9” 4 254? -- 494?</p><p>ABNSK) —</p><p>cosC =</p><p>cosC =</p><p>Operando:</p><p>1 cosC = 73</p><p>[€ =120*]</p><p>Rpta: B</p><p>Problema 7</p><p>En un triángulo ABC</p><p>se cumple e =b+0%4b0.</p><p>Hallar el“ £ A"</p><p>A) 607 B) 120? O 135%</p><p>D) 150* E) 30"</p><p>Resolución:</p><p>Sabemos: «e =h?4+0? -2he cosA</p><p>Como: a? =b* +0? + he</p><p>>-2 4 cosA = p£</p><p>cosA=-5 U A</p><p>.[x A=120"]</p><p>Rpta: B</p><p>“ETE tl ei o 0 EAS</p><p>Problema 8</p><p>El coseno del mayor ángulo de un</p><p>triángulo cuyas longitudes de sus lados</p><p>son tres números enteros consecutivo, es</p><p>igual a 1/5. Calcular el perímetro de</p><p>dicho triángulo.</p><p>AJ15 B)10 C) 20</p><p>D) 18 E) 19</p><p>Resolución:</p><p>Graficando:</p><p>(+1) =(n-1P +1 -2n-1)ncos0</p><p>1</p><p>a</p><p>Operando:</p><p>2n a</p><p>3 (n-1)=. án</p><p>Operando: 2(1 1) =5(1-4)</p><p>Operando: [3 = 18]</p><p>Piden perímetro:</p><p>2p=n+X+n+n-K</p><p>2p=3n</p><p>:.[2p =18]</p><p>Rpta: D</p><p>Trigonométria</p><p>Problema 9</p><p>En un triángulo ABC, reducir</p><p>_u4=bcosC ,h-ecosÁ | e acosB</p><p>cosB</p><p>cosC " cosÁ</p><p>Si su perímetro es 20 cm.</p><p>A) 10 cm B) 20 cm O) 30 cm</p><p>D) 40 cm E) 50 cm</p><p>Resolución:</p><p>Como</p><p>a=hcosC+ecosB > a=hcosC =ccosB</p><p>b=acosC+ccos A =>h-=ccos Á = acosC</p><p>é=sacosB+hcos A =>ec-acosB= hcos A</p><p>Luego en “] *</p><p>J=c+ra+h Al</p><p>perimetro</p><p>- [/=20 cm</p><p>Rpta:</p><p>Problema 10</p><p>En un triángulo ABC de perímetro 20 cn</p><p>calcular</p><p>K=(a+b)cosC+(b+c)cosA +(c+4)c0s</p><p>A) 10 cm B) 20 cm C) 30 cm</p><p>D) 40 cm E) 50 cm</p><p>Resolución:</p><p>Operando: A ></p><p>E acosí'+bcósC+bcos A +ecosÁ+</p><p>+ccosB+acosB</p><p>SO ts</p><p>ordenando:</p><p>K =acosC Focos A bcosCtecos B+</p><p>h al</p><p>Mo Ka pr o —</p><p>+ bcosÁ- | acosB</p><p>q</p><p>K=a+bre</p><p>a</p><p>K=2p</p><p>K=20</p><p>Rpta: B</p><p>Problema 11</p><p>Del gráfico halle ./ = nf ,si AB = QP</p><p>n</p><p>ol</p><p>p</p><p>p</p><p>A mi 0 n Ú</p><p>mM y .n+m</p><p>A) y B > m C) m</p><p>nm a H=mM</p><p>D) ) R+imn</p><p>Resolución:</p><p>A</p><p>En ABC:</p><p>men sena</p><p>a Senú</p><p>(1)</p><p>En POC:</p><p>a. senf</p><p>a sen (2)</p><p>Dividimos (1) y (2); 222. M2</p><p>n senf</p><p>Kpta: D</p><p>IRON:</p><p>Problema 12</p><p>En un triángulo ABC, reducir</p><p>¿A(sen2A + sen2B)</p><p>== senAcos(A- 1)</p><p>A) c 3) 2c Os</p><p>D) 4e L:) 3t</p><p>Resolución:</p><p>O= dsen2A +sen2B)</p><p>“senA.cos(A — B)</p><p>_ a2sen(A + B)cosíA - B)</p><p>— senÁ. cosíA—B)</p><p>o</p><p>a.2senC</p><p>9 senA</p><p>Por ley de senos:</p><p>ADA</p><p>0 24) => 0-2</p><p>2R</p><p>Rpta: B</p><p>Problema 13</p><p>En la figura mostrada se tiene que</p><p>AB=2 y AC= 6. Calcular y.</p><p>B</p><p>A) 301 1) 37" 045"</p><p>1) 53" E) 60</p><p>ox</p><p>My</p><p>su</p><p>ad</p><p>e¡</p><p>e9</p><p>/u</p><p>10</p><p>9'</p><p>19</p><p>41</p><p>M]</p><p>Cm...</p><p>Resolución:</p><p>Primero. calculamos el ángulo “0”:</p><p>B</p><p>Es</p><p>Pa</p><p>Apliquemos la ley de senos:</p><p>2. N6</p><p>senda" senú</p><p>Despejando, resulta:</p><p>sonD- yO send5"-. ye y2 At 243</p><p>2 2. 2 22</p><p>3</p><p>senú E =% 0 = 60"</p><p>Luego:</p><p>b</p><p>En el AABP se ve que:</p><p>E= 300</p><p>Kpta: A</p><p>Sr CR Trigoñométria</p><p>Problema 14</p><p>se ó senf)</p><p>En la figura mostrada, calcular ——-</p><p>seny</p><p>si: BP =2 y PC=3,</p><p>nia al ) y B) 5 ¡y 3</p><p>2 0%</p><p>D) 5 5</p><p>. Resolución:</p><p>En el triángulo ABC, apliquemos la ley</p><p>de senos:</p><p>€ hb senf b</p><p>a A. A. (1)</p><p>seny senp) seny €</p><p>Observemos que AP es bisectriz, por lo</p><p>tanto, apliquemos el teorema de la</p><p>bisectriz interior:</p><p>h 3</p><p>e (2)</p><p>a)= 0 22</p><p>sen</p><p>e Rpta: E</p><p>SEMI ie O) ls</p><p>Problema 15</p><p>Sabiendo que BC = 6 y CD = 4, calcular</p><p>te O.</p><p>S B</p><p>bug</p><p>E 0</p><p>A D Cc</p><p>2 aa y B) 5 a</p><p>1 43</p><p>D) 4 E) EN</p><p>Resolución:</p><p>D 4 E</p><p>En el triángulo BCD, apliquemos la ley</p><p>de senos:</p><p>1 «4</p><p>sen(0 + 60") senf</p><p>6senU = 4sen(0 + 60")</p><p>3senó = 2[senbcos60” + cosOsen60"]</p><p>V3</p><p>3sen0 = Z senO. q + Z cosb. 7</p><p>3senú - send + ./3 cosÚ</p><p>2sen0 = ,/3 cosÚ</p><p>senO 3 En 43 AS is</p><p>cosO 2 $ 2</p><p>, Rpta: €</p><p>ES Proyecto Ingenio</p><p>Problema 16</p><p>Los lados «a, h y e de un triángulo ABC</p><p>están en progresión aritmética.</p><p>Calcule tg A 85</p><p>| 1 l</p><p>A) 4 B) > C) 3</p><p>2 4</p><p>D) 3 E) 5</p><p>Resolución:</p><p>Por condición: a + « = 2h</p><p>Como:</p><p>a=2¿KsenA</p><p>h=2kRsenB</p><p>¡c=2RsenC</p><p>=> 2RsenA + 2RsonC = 2(2RsenB)</p><p>SS</p><p>AE A E</p><p>pea. cos 2 + sen > sen 2</p><p>sta e MO</p><p>A C</p><p>cos > Cos ) - sen ></p><p>></p><p>Luego:</p><p>Á sen 5 sen</p><p>2</p><p>Prolland 17</p><p>En un triángulo ABC, reducir</p><p>acos(B+] 3)* heos| A -5)</p><p>a CacosB+hcosA</p><p>A) LN B) E 1</p><p>D, 3 | e</p><p>Frida</p><p>Tenemos: ja = 2¿RsenA</p><p>la = 2Rsenb</p><p>En !:7 ,</p><p>a (2RsenA Ieos(B + ") 4 (2RsenB)cos| Ns 3)</p><p>(2RsenA)jcosB + 2RsenB)cos A</p><p>(senA) A tcosb senB)+ (soni) E lcos A 1sena)</p><p>seníA + B)</p><p>Y2 4 (senAcosB +senBcosA)</p><p>L = E sen XEBJ ></p><p>E</p><p>EE a</p><p>Rpta: B</p><p>Problema 18</p><p>En un AABC se traza la mediana AM</p><p>tal que mx4BAM=a y m B) 4 O) Sy</p><p>2 2</p><p>4 Mn</p><p>»— E) —</p><p>E) «1 ) Ló</p><p>= (s07y o A</p><p>Ha PU! A</p><p>Resolución:</p><p>Dato:</p><p>Rar =0S Rama Rage (1)</p><p>, Recordemos que</p><p>=2¿R=>R: =></p><p>Y E</p><p>En (1):</p><p>da a</p><p>dl al css 2</p><p>2senA Y 2sena' 2senf</p><p>Elevando al cuadrado:</p><p>»</p><p>dl - a 2 a</p><p>]2</p><p>¿dseníA lé6senasenf</p><p>sena 4</p><p>Rpta: D</p><p>Problema 19</p><p>En un triángulo ABC, ap? +p? +=5ho ;</p><p>Calcule tg 5 A</p><p>ai ABBA 0h</p><p>7 ol</p><p>></p><p>E JE</p><p>SENO</p><p>Kesolución:</p><p>Del dato: ¿=)24+ 2 he</p><p>» de</p><p>, E</p><p>A E y De ba e 2becosA</p><p>—hecosA = y he</p><p>cosA - - j</p><p>on A... HE COS A Luego: tg > VEA</p><p>jr] 1</p><p>11 A pl 4 A 15</p><p>82 : HA) E7= 5</p><p>a</p><p>Kpla: €</p><p>Problema 20</p><p>En un triángulo los lados están</p><p>representados por 3 números en</p><p>progresión geométrica de razón 2. Si el</p><p>coseno del mayor ángulo del triángulo</p><p>es igual a — 0,25, calcule su perímetro.</p><p>A) 15 B) 16 O 18</p><p>DO 21 E) 24,</p><p>Resolución:</p><p>B</p><p>0</p><p>si tl</p><p>A a+ Cc</p><p>Dato: —cosO0=-0,25= 3</p><p>E40BY “E Proyecto Ingenio</p><p>Por ley de cosenos para el lado AC</p><p>la 4 2Y — (a - 2) 4 0 Me — 2JacosÚ</p><p>(a+ 2% > (4-2 +0"-Ya—2)0- y)</p><p>Resolviendo: a -6</p><p>“2 Pano 30 = 18</p><p>KRpta: E</p><p>Problema 21</p><p>En un triángulo ABC se cumple que</p><p>la + bla -b)- c(e— A).</p><p>Calcular senA</p><p>1 y/2 2/3</p><p>A) > B) uN C) 5</p><p>3 E:</p><p>DD 5 E) 5</p><p>Resolución:</p><p>(a+ bXla—=4h) ele =b)</p><p>d=bsec-eb (1)</p><p>Por ley de cosenos, sabemos que</p><p>a= bee ZhecosA (11)</p><p>Reemplacemos (HU) en (1):</p><p>b"4+ e 2hocosA — be = e? ch</p><p>—2hecosA =— he</p><p>COSA = á 3 A = 60"</p><p>Nos piden:</p><p>senA = senb0" 3 dy ya</p><p>Rpta: €</p><p>LAS, E 0</p><p>Problema 22 ces</p><p>Calcular la diagonal AC del cuadrilátero</p><p>ABCO sabiendo que "O" es el centro de</p><p>la circunferencia, AB=2 y BC =1.</p><p>Aplicando la ley de cosenos:</p><p>e = 24 1 2:2- 1605120"</p><p>Ao añ</p><p>E</p><p>Rpta: €</p><p>Problema 23</p><p>Siendo ABCD un cuadrado, hallar el</p><p>valor do x. NE B) 4/5 C)</p><p>A</p><p>D) 242 k:) E</p><p>t</p><p>i</p><p>]</p><p>S</p><p>h</p><p>Resolución:</p><p>D</p><p>AY 3 Bj 4 E) 5</p><p>9 a y</p><p>DM 5 E) 8</p><p>Resolución:</p><p>24?</p><p>Ñ En el APAB, apliquemos la ley de</p><p>Observemos que AOC es un ángulo</p><p>cosenos:</p><p>central, por lo tanto ABC =120* dio” = H+ 5-2 35c050</p><p>Lo cual implica que APC 240" 10 = 34 — 30c050</p><p>¡Ojo!, ABC es un ángulo inscrito y su</p><p>medida 0s: Despejandá PS</p><p>ABCe de. EN = 120" cosÚ -= => 0 =37*</p><p>2</p><p>Luego, por las dimensiones que tiene el</p><p>APAD, podemos concluir que es</p><p>rectángulo:</p><p>IA</p><p>D A p</p><p>Por lo tanto: y +4</p><p>Kpta: B</p><p>Problema 24</p><p>Cuatro jóvenes, ubicados al Este, Oeste,</p><p>Norte y Sur de un poste de 4 m de altura</p><p>observan el extremo superior de éste con</p><p>el mismo ángulo de elevación igual a 53”.</p><p>Calcular el coseno de menor ángulo que</p><p>las visuales forman entre sí.</p><p>N 25 > +25</p><p>18 23</p><p>D) 35 | 5</p><p>AO</p><p>a</p><p>Resolución:</p><p>Observemos que los menores ángulos</p><p>que las visuales torman entre sí son</p><p>iguales a 0,</p><p>Apliqguemos la ley de cosenos en el</p><p>AAPB:</p><p>(342)</p><p>18 : 25</p><p>5DcosÚ</p><p>A</p><p>15 -2-5-5c080 yl</p><p>: 25 — 5Ucos0</p><p>32 ad</p><p>ló</p><p>cosO)</p><p>25</p><p>Rpta: €</p><p>Problema 25</p><p>En un triángulo ABC, se cumple que</p><p>a</p><p>2 4 y6</p><p>donde "m,” es la mediana relativa al lado</p><p>E</p><p>Calcular mxB</p><p>13) 609</p><p>PA</p><p>A) arccos ; Charecos Y</p><p>D k 2 ) arccos 6 3) arccos 5</p><p>ATEO 0 0 GD 0 MATTE</p><p>Resolución: Resolución:</p><p>En el AABD: Ley de cosenos:</p><p>PQR: (Ley de cosenos)</p><p>(2/6k) = xy +(4K)-22K(4k)cosa E</p><p>4177 =./26"+ 413" -2426.413 cosd</p><p>a — cosa == 134/2</p><p>26/2c0s0=22 = “;, =sec0</p><p>y como a+6=180"</p><p>0030 ! Rpta: E</p><p>Problema 27</p><p>= 1</p><p>ca 4 Si a, b y e son los lados de un triángulo</p><p>ABC, reducir</p><p>Rpta: C</p><p>Problema 26 M = (a be -c IgA+ ta” ja —b")gB</p><p>En el prisma rectangular mostrado, Aja-b Ba p De</p><p>calcular secó</p><p>D) c?- $? EJ 0</p><p>A) 342 Resolución:</p><p>B) 26.2 y Por ley de cosenos:</p><p>15</p><p>al =b* +0? -2becosA</p><p>a 2/2 : 2,2 29 4 : b*=a* +0? -2arcosB</p><p>D) 13% A Reemplazándo se obtiene:</p><p>pr ' J .—</p><p>13 pS 3 gs senA senB E) 1 Y2 z M=(-2bccosA). c05k +(2accosB) cosB</p><p>M = 2c(-bsenA + asenB)</p><p>M =20[ -6 a, aL)</p><p>2R 2R</p><p>M=0</p><p>Rpta: €</p><p>Problema 28</p><p>En un triángulo ABC de lados</p><p>d= 45 ii b= 43 Y o 7</p><p>Calcule</p><p>M = 4R*'senBsenCcosA *</p><p>2 9 i</p><p>A) 2 B) > O ></p><p>4</p><p>D) - E) 7</p><p>Resolución:</p><p>Por ley de cosenos:</p><p>M5 TA 3? 2 7 Af3 cos A</p><p>> cos A = 7</p><p>Calculemos</p><p>M = 4KR*senBsenCcosA</p><p>M=4R* (LE Jeosa</p><p>M = becosA</p><p>Mr aca</p><p>Rpta: A</p><p>Problema 29</p><p>Si en un triángulo ABC, se verifica que</p><p>(sená + senB + senC)ísenA + senB — senC)</p><p>=senAsenB, hallar la medida del ángulo</p><p>20%</p><p>A) 60" B) 120? O) 307</p><p>D) 90? E) 135?</p><p>Resolución:</p><p>Condición:</p><p>(senA, + senB + senCXsenA +senB — senC) =</p><p>senÁAsenB</p><p>Recuerde:</p><p>senA = 4</p><p>senA senB senC</p><p>A 1</p><p>senBsenCcosA +senAsenCcosB + senAsenBcosC</p><p>E</p><p>(Jonas</p><p>AR E</p><p>hecosA+accosB+abcosC 4</p><p>32 = 2becos A + 2accosB+ 2abcosE</p><p>ye s pe + A</p><p>+ + e? = 32</p><p>Rpta: €</p><p>Problema 31</p><p>En un triángulo ABC, se sabe que a = 3c.</p><p>Calcular /= ON</p><p>A)3 B) 7 os</p><p>D) 3 E 2</p><p>ANA E</p><p>q 2 jos</p><p>D) 6334,34</p><p>E) 4637.43</p><p>Problema 39</p><p>Calcular el número de radianes de un</p><p>ángulo que cumple con:</p><p>(180 -1)1t" a mn</p><p>E</p><p>ml T 10 10 HS > e</p><p>A) 9 1) 9 O) Or</p><p>my —</p><p>) 91 E) 1</p><p>Prablema 40</p><p>Se mide un ángulo cn grados</p><p>sexagesimalos (5), centesimales (0) y</p><p>radianes (XK), obteniéndose:</p><p>R</p><p>T</p><p>(x + 2)5 4 (x + 1)C 600</p><p>vs TO | --</p><p>Calcular £= (Es) dh 31D</p><p>C-S A</p><p>A) 19"</p><p>D) 19</p><p>B) 19 Cc) 19*</p><p>E) 19*</p><p>229) CAPÍTULO</p><p>rongltud de Arco</p><p>y Área de Sector:</p><p>Circular</p><p>2.1 LONGITUD DE ARCO</p><p>Un arco de circunferencia es una parte</p><p>de ella a cuya medida se llama longitud</p><p>de arco.</p><p>Al dividir la longitud de cualquier</p><p>circunferencia entre la longitud de su</p><p>radio siempre se obtiene el número '</p><p>21(€/R= 21). Si se toma una longitud</p><p>de arco cualquiera y se divide entre el</p><p>radio se obtiene el número de radianes</p><p>del ángulo que subtiende el arco.</p><p>Entonces.</p><p>E = ou donde:[£= 0R] > [n- +</p><p>Donde:</p><p>O: Medida del ángulo central en</p><p>radianes</p><p>£: Longitud del arco</p><p>R: Longitud del radio de la circunferen-</p><p>cia</p><p>Ejemplos aplicativos:</p><p>1. ¿Cuál es</p><p>contenido en una circunferencia de</p><p>la longitud del arce</p><p>15 cm que está subtendido por ur</p><p>angulo de 150%?</p><p>Kesolución:</p><p>150% a radianos</p><p>nrad Sr</p><p>0=150% - 150 2 = rad</p><p>180 6</p><p>: 5</p><p>OR E. 15= a em</p><p>PJ</p><p>Halle el radio del sector circular de</p><p>758, si ebarco que subliende mid:</p><p>361 cm.</p><p>HDD ret e 03 OE artis rel</p><p>Resolución:</p><p>75% a radianes</p><p>£ 35 Sn.</p><p>A A fs JOTA |</p><p>3. ¿Cuántos grados sexagesimales</p><p>mide el ángulo central de un sector</p><p>circular si la longitud del arco que</p><p>subtiende mide el triple del radio de</p><p>la circunferencia.</p><p>Resolución:</p><p>;</p><p>¡RL O =3rad</p><p>O</p><p>180% 540"</p><p>3 rad=3 radx</p><p>r rad A</p><p>¿10=171.53' 13"</p><p>ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR</p><p>Ángulo Área</p><p>2irad—— 6? «7</p><p>0 rad ys</p><p>On? _. [y- OR”</p><p>q. da 2</p><p>É</p><p>Para £=0R: $ = 5</p><p>_ E |</p><p>Para R=$: S= ></p><p>Ejemplos aplicativos:</p><p>4. Halle el área de un sector circular de</p><p>radio 24 cm y ángulo central</p><p>2 rad.</p><p>Resolución:</p><p>ss 122 576 cm</p><p>5. El ángulo central de un sector</p><p>circular de 15 cm de radio subtiendeo</p><p>un arco de 24 cm de longitud. ¿Cuál</p><p>os el área del sector circular?</p><p>Resolución:</p><p>E => a A 180cm*</p><p>2 2</p><p>a A ie e]</p><p>a ri cp 8</p><p>ad A de</p><p>IL. Si el ángulo central está en grados</p><p>sexagesimales:</p><p>EMO Slots</p><p>Ángulo Área</p><p>360" => AR</p><p>o" y 5</p><p>Ejemplo aplicativo:</p><p>6. ln la figura adjunta OB = BC = 12</p><p>cm y DBC es un sector circular cuyo</p><p>contro es B. Calcular el árca de la</p><p>parte sombreada.</p><p>pa A</p><p>> ></p><p>O B €</p><p>Resolución:</p><p>A</p><p>OD*= BD = OB (Radios)</p><p>=> AOBD equilátero</p><p>=m. DBC=120</p><p>$ - E == $</p><p>360" 3607</p><p>Il. El incremento de un mismo radio</p><p>“% a" en un sector circular inicial de</p><p>área “$” produce un incremento de</p><p>área proporcional a los impares de</p><p>0“. yo</p><p>33) MEAT</p><p>da?</p><p>S= 2</p><p>- 0QuP DA</p><p>COD= q 7 45</p><p>> 2</p><p>ABC == ze Ye =45-=5= 35</p><p>Ejemplo aplicativo</p><p>7. Enla figura adjunta OA = AB = BC =</p><p>CD. Si el área de la parte sombreada</p><p>es 48 em”, ¿cuál es el árca del sector</p><p>circular?</p><p>o</p><p>A Ss</p><p>B</p><p>C</p><p>D</p><p>Resolución:</p><p>P</p><p>ha</p><p>hy</p><p>CEN</p><p>56+3558-48 => S-:Bem!</p><p>Say = 168 = 16(8) 5S yy, = 128 env</p><p>Área de un trapecio circular (Sr)</p><p>>e Hama trapecio circular a aquella</p><p>región circular formada por la</p><p>dilerencia de dos sectores circulares</p><p>concéntricas.</p><p>E,</p><p>(OR, +0R,)</p><p>Sy = 1. PAR, —R,)</p><p>4122 en (2)</p><p>SON Proyecto Ingenio</p><p>Ejemplo aplicativo:</p><p>8. Del gráfico, halle el área del trapecio</p><p>sombreado.</p><p>Resolución:</p><p>Utilizamos:</p><p>2.2 NÚMERO DE VUELTAS DE</p><p>UNA RUEDA Y LONGITUD</p><p>DE ARCO</p><p>Una rueda en rotación barre arcos cuyas</p><p>longitudes dependen del número de</p><p>vueltas que da la rueda y la longitud del</p><p>radio. Á continuación analizaremos 5</p><p>a</p><p>situaciones distintas.</p><p>1. Rotación de una rueda sobre</p><p>el plano.</p><p>ln hn</p><p>GIO)</p><p>l= f=2xkKn E</p><p>En cada vuelta barre la longitud de la</p><p>circunferencia (27), entences en ”</p><p>vueltas barre 2xRa. Luego:</p><p>EN</p><p>22080] o</p><p>Cm. £35</p><p>Donde:</p><p>im Número de vueltas que da la rueda</p><p>al desplazarse.</p><p>Longitud de arco barrida por la</p><p>rueda.</p><p>R: Radio de la rueda,</p><p>Ejemplos aplicativos:</p><p>9. Ún auto ha recorrido 20 km. 51 el</p><p>radio de lá rueda mide 30 cm,</p><p>¿cuántas vueltas ha dado durante el</p><p>recorrido, sien ningún momento ha</p><p>resbalado?</p><p>Resolución:</p><p>20 km = 2 000 000 cm</p><p>"20 AS > [10610 vueltas</p><p>2 2730) Lo. a. ellas]</p><p>10. Se debe diseñar rodillos de modo</p><p>que con 24 vueltas haga girar</p><p>completamente una faja de 12,36 m.</p><p>¿Cuál debe ser el radio del rodillo?</p><p>Resolución:</p><p>TOO</p><p>i=24 £ dde => PR: 8,2 um]</p><p>aa e AAA</p><p>pS rigonométria—</p><p>2. Rotación de una rueda sobre</p><p>una superficie circular</p><p>convexa.</p><p>1 = IHR nf Fl</p><p>To Gen</p><p>2 de vueltas: pra</p><p>A</p><p>la - mm a —:</p><p>Ejemplos aplicativos:</p><p>ll. Se colocan dos monedas iguale-</p><p>sobre la mesa. Una se mantiene Hija 4</p><p>la otra se hace girar una vuelta</p><p>completa alrededor de la fija, sir</p><p>resbalar y manteniéndose los bordes</p><p>siempre en contacto. ¿Cuántas</p><p>vueltas da la moneda móvil sobre sí</p><p>ejo?</p><p>Resolución:</p><p>ANA,</p><p>a DA 197?</p><p>IN</p><p>[Da 2 vueltas :</p><p>A</p><p>ha</p><p>Resojurter:</p><p>a</p><p>==> 1 a ¿</p><p>1</p><p>4 Ín</p><p>. .</p><p>a:</p><p>a ¿E</p><p>livuellas:</p><p>ls</p><p>3) 25 > n=</p><p>2</p><p>Í</p><p>l= — z</p><p>2ar 211)</p><p>dl ON</p><p>im MY</p><p>AA z</p><p>ii a dE</p><p>3. Rotación de una rueda 2:</p><p>pre una superficie circula:</p><p>concava</p><p>LEA E</p><p>de di pl o.</p><p>Ejemplo aplicativo:</p><p>2 3. Desde data AE</p><p>estara o Eat E “poca</p><p>1 resbalur uta da posicion lt</p><p>ustra +2 gara. ¿Cuántas vetados</p><p>les bira durante el travecioó E</p><p>traveclo cel rtedior dui casal.</p><p>esfbricodesenico)d vi Aeniade racito</p><p>3</p><p>Kesolución:</p><p>22) on</p><p>É de vueltas</p><p>a.</p><p>“DEMO</p><p>Rotación de ruedas unidas</p><p>por fajas o ruedas engranadas.</p><p>En cualquiera de los dos casos, el</p><p>arco que barren ambas ruedas son</p><p>iguales, ya sea por efecto de la faja</p><p>(la misma para ambas) o por lener</p><p>un punto en común por el cual pa-</p><p>san la misma longitud de arco de</p><p>ambas ruedas.</p><p>de</p><p>0,8, = 0,8, | mk, > nl)</p><p>p=0,R, nf=0,R,:> 0,R, =0,k,</p><p>É (</p><p>MH, = A Ho ==</p><p>20R, —* 2mk,</p><p>f</p><p>nm 27k,</p><p>to o 1d ale ES:</p><p>Ejemplo aplicativos:</p><p>Trigonométria</p><p>14, Dos ruedas de 36 cm v 48 cm están</p><p>unidas por una faja. Si la primera da</p><p>400 vueltas por minuto, ¿cuántas</p><p>vueltas da la segunda en media hora?</p><p>Resolución:</p><p>En un minuto</p><p>aj, = 4.40, > 36400 — 48n,</p><p>ri</p><p>=> n= 300</p><p>La segunda en un minuto da 300</p><p>vueltas, en 30 minutos da</p><p>30-300 = 9000 vueltas.</p><p>. Dos ruedas en contacto tienen 24 cm</p><p>y 18 cm de diámetro. Si la más</p><p>grandes gira 480% por segundo, ¿en</p><p>cuántos segundos gira 4320 grados</p><p>la segunda?.</p><p>Resolución:</p><p>Si aplicamos 0,r, = 0,1,,0, y 0,</p><p>deben estar en las mismas unidades,</p><p>aunque no necesariamente en</p><p>radianos.</p><p>También, en lugar de los radios</p><p>podemos considerar los diámetros.</p><p>En un segundo:</p><p>24-480" =0,18 > 0,= 640</p><p>Luego:</p><p>Si en un segundo gira 640” entonces</p><p>4320” lo hace en: 4320". 640" = 6,75</p><p>segundos.</p><p>INEIMO</p><p>5. Rotación de ruedas con ejes</p><p>comunes</p><p>Dado que están =ajetos al mismo eje,</p><p>o mbas giran lo mismo que el eje. Sin</p><p>embargo, los arcos que barren</p><p>dependen del radio, y si éstos no son</p><p>iguales, tampoco lo son los arcos.</p><p>r,=9R, Af, =0R,</p><p>GR GR</p><p>o Ri Ea Ra</p><p>hi</p><p>q EROS</p><p>dl CU PAE a 5</p><p>Ejemplo aplicativo</p><p>l6. En</p><p>mostrado, el disco mayor gra 121%</p><p>este sislema de enveran ¡e</p><p>ta!</p><p>RPM. ¿Cuántas revoluciones por</p><p>hora gira el disco más pequeño” 5 per</p><p>Resolución:</p><p>Discos A y B en un minuto:</p><p>1200 + 5r = n,(2r) nm, = 3 000</p><p>Discos B y C en un minuto</p><p>n= n, => mn. = 3000</p><p>Discos € y Den un minuto</p><p>3000(3r) = n, (r) => n,,= 9000</p><p>Para disco 1):</p><p>En un minulo da 9 000 vueltas, en</p><p>1h = 60 min da 9000 + 60 = 150 vueltas.</p><p>CAGE o AO 0 TITO</p><p>.ProBremas R esueLroS</p><p>Problema 1</p><p>En un sector circular el ángulo central</p><p>mide 36” y el radio 25 cm. ¿Cuánto mide</p><p>él arco?.</p><p>Resolución:</p><p>Graficando: A) 1 B)</p><p>TO ER) — Trigonométria |</p><p>Resolución:</p><p>Dado: a=3c</p><p>bcosC</p><p>Se nos pide: ¿==</p><p>P c-bcosA</p><p>ia (bcosC +cc05B)-hbcosC</p><p>(acosB+hcosA)-hcos A</p><p>- ecosB [=£</p><p>—acosB ll a</p><p>Del dato:</p><p>é E L=w L=</p><p>Y > 3</p><p>Rpta: B</p><p>Problema 32</p><p>En un triángulo ABC se cumple:</p><p>acosB + bcosA = 4RsenBsenC</p><p>donde R es el circunradio.</p><p>Calcular senBcosB</p><p>JZ J3</p><p>E E "a</p><p>1 43</p><p>D)5 E</p><p>Resolución:</p><p>Por la ley de proyecciones, sabemos que:</p><p>e = acosB + bcosÁ</p><p>Luego: e = 4RsenBsenC</p><p>Por la ley de senos, sabemos que:</p><p>e = 2RsenC</p><p>Donde R es el circunradio</p><p>En consecuencia:</p><p>2RsenC = 4RsenBsenC</p><p>2=AsamB</p><p>senB=>, > B=30</p><p>TE Ens pomos</p><p>Se pide: senBcosB = sen30%cos30”</p><p>143</p><p>senBcosB = EN</p><p>senBcosB = y3</p><p>4</p><p>Rpta: €</p><p>Problema 33</p><p>Calcular el perímetro de un triángulo</p><p>ABC, si</p><p>,B ¿A</p><p>asen" —+ bsen?—+c=8</p><p>2 2</p><p>A)J8 By 10 O 12</p><p>D) 14 E) 16</p><p>Resolución:</p><p>Multipliquemos por 2 a cada miembro:</p><p>2 asen? y +bsen' - +e)=28</p><p>a-2sen' 7 +0-25en1 2420 =16</p><p>Apliquemos la propiedad:</p><p>2senéx = l-cos2x</p><p>Entonces:</p><p>a(l—cosB)+b(1) JU ; e</p><p>Rpta: A</p><p>rad ER $ o ai bs Aa</p><p>K a E oda E</p><p>Problema 37</p><p>Á partir de un triángulo ABC de lados</p><p>respectivos a,b yc, y h, h, y h alturas</p><p>respectivas a los tres lados, exprese</p><p>M=-—PE_4 Mc ¿Mb</p><p>acscÁA bescB ceseC</p><p>en términos de kh, h,yh</p><p>A) As B) UA Cc hh,</p><p>h, h, A,</p><p>D) h,+h,+h. E) hh, h</p><p>Resolución:</p><p>Á</p><p>Sabemos que:</p><p>SA = BEsenA = 2.</p><p>E Z</p><p>be == h</p><p>acsc A : (1)</p><p>Análogamente:</p><p>út—=</p><p>beoscB</p><p>A (2)</p><p>ge... h,</p><p>coscC (3)</p><p>Reemplazando (1); (2) y (3) en M resulta:</p><p>M = h, + +».</p><p>Rpta: D</p><p>1 PEPA E cali ARE ara Proyecto Ingenio</p><p>Problema 38 !</p><p>En un paralelogramo ABCD, se sabe que</p><p>AC=5;¡BD=3 m £ BAD=0 y el ángulo</p><p>agudo formado por las diagonales, "a",</p><p>Calcular</p><p>O = tg0.csca</p><p>A)7,5</p><p>D) 1,125</p><p>B) 3,25 C) 3,75</p><p>E) 1,875</p><p>Resolución:</p><p>n= Absend = 33 sena (1)</p><p>2</p><p>En AABD:</p><p>3 = a+ b?- 2abcosÚ (2)</p><p>En AABC:</p><p>5 = + b?*- 2abcos(180” — 0)</p><p>5 = a+ b*4 2abcosó (3)</p><p>De (3) - (2)</p><p>5-3 = dabcosb</p><p>abcosd =4 (4)</p><p>(1) + (4):</p><p>tg0 = Posena</p><p>-. tgBesca = q =1,875</p><p>Rpta: E</p><p>a MOE</p><p>«PROBLEMAS DE EXÁMENES D£ ADMISIÓN</p><p>Problema 1'</p><p>La medida de un ángulo de un triángulo</p><p>es 120”. Si sus lados adyacentes miden 3</p><p>y 5 cm, el valor del tercer lado, en</p><p>centímetros es:</p><p>A) 19 B) 6 0) ./50</p><p>D)7 E) 4</p><p>Resolución:</p><p>Ley de cosenos:</p><p>x= 34 5*- 2(3)1(5)c05120*</p><p>xi = 34 — 205) (-3)</p><p>x= J49g => x=7com</p><p>Rpta: D</p><p>Problema 2</p><p>En el triángulo ABC, las longitudes de</p><p>sus lados a, b y e cumplen</p><p>d= be. be</p><p>Calcular la medida del ángulo A.</p><p>(CLL'01-1)</p><p>A) 457 B) 537 060”</p><p>D) 301 E) 37"</p><p>Resolución:</p><p>B</p><p>c ú</p><p>A b E</p><p>Por ley de cosenos:</p><p>al = bs ce 2becosA (1)</p><p>Dato:</p><p>alt= b+e-b0.f (2)</p><p>Igualando (1) y (2) se obtiene:</p><p>2c0s A =4/2</p><p>42</p><p>cod Ando?</p><p>Rpta: A</p><p>Problema 3</p><p>En la figura, tga = 2,4. El valor de a, es:</p><p>26</p><p>al</p><p>17 a</p><p>A) 24 B) 25 27</p><p>D) 24 E) 23</p><p>Resolución:</p><p>: 24 12 5</p><p>Si ir O</p><p>5 13</p><p>Ley de cosenos:</p><p>al = (26)? + (17) — 2(26X17)xcosa</p><p>a? = 676 +289 =2(25x17)| 3)</p><p>ai = 625 dl y 293</p><p>Rpta: B</p><p>Í</p><p>Problema 4</p><p>En la figura hallar send + cosb</p><p>D</p><p>d5</p><p>3</p><p>A B É</p><p>1</p><p>2 3 á EZ 0 E A) 5 B) ¿Y O) 519</p><p>4 E 3 E D) 5 E) 5 3</p><p>Resolución:</p><p>A ss — CB 313 €</p><p>Apliquemos la ley de cosenos en el</p><p>ABDC:</p><p>1? (3/2) +5? -2.34/2.5c050</p><p>5/2 di</p><p>7</p><p>1=43-3042c050</p><p>e=2</p><p>A a</p><p>senó = 1</p><p>5/2</p><p>¡a pr cd de id dc a tar gp e mps td pto int E</p><p>E TA E E BN</p><p>Nos piden</p><p>senB +c050 = - 442</p><p>a sE 5</p><p>Rpta: D</p><p>Problema 5</p><p>En la figura, O es el centro de la</p><p>circunferencia, AB es diámetro,</p><p>mBD=30", mBE=120*. Si CD=2m y</p><p>EC=10m. entonces AC es igual a:</p><p>(UNI'02-1)</p><p>D</p><p>C</p><p>Á Ó B</p><p>E</p><p>A) 2/37+6/3 — B) 2/37+4./3</p><p>C) 24/37 +2/3</p><p>.D) 2/37-6/3 E) 237-443</p><p>Resolución:</p><p>150”</p><p>sd E TR Gu: :</p><p>Aplicando la ley de cosenos: AADC (a+b).2 se > =46: y</p><p>e = (12 + (2 - 2(12)(2)c0530*</p><p>$5 a+ b=2e</p><p>xi = 148 - 48,</p><p>2 Rpta: €</p><p>x=24 37-643</p><p>Problema 7</p><p>Rpta: D</p><p>Problema 6</p><p>En la figura se muestra un triángulo en</p><p>el que se cumple</p><p>cosÁ + cosB = 4sen? 2</p><p>Luego, el valor de a + b es: (UNI '99-11)</p><p>3</p><p>A) 3c B) > O) 2e</p><p>D 5 E .</p><p>) 3 Je</p><p>Resolución:</p><p>Por ley de proyecciones sabemos:</p><p>a=bcosC+ccosB</p><p>b=acosC+eccosA</p><p>Sumando miembro a miembro:</p><p>a+b=(a+b)cosC +c(cosA +cosB)</p><p>dato</p><p>(a+b)[1=cosC) =c( 4sen*S)</p><p>En el triedro O-ABC, las caras AOB y</p><p>AOC miden 45%. Si PCOA, QcOC y</p><p>R 4 =150*</p><p>Rpta: D</p><p>Dos circunferencias de radios 2h y 3p,</p><p>tienen sus centros separados una</p><p>distancia igual a 41. El coseno del ángulo</p><p>agudo que forman las tangentes a ambas</p><p>circunferencias en un punto de corte, es</p><p>igual a (UNI *'00-11):</p><p>1 3 1</p><p>A) 2 B) Y O Y</p><p>D E Z 13 13</p><p>Resolución:</p><p>Por ley de cosenos:</p><p>4 = (3)+ (2) — 2(3)1(2)cosa</p><p>1</p><p>cosa “4 (1)</p><p>Del punto de tangencia, se tiene:</p><p>a + 90% + 90” + 8 = 360</p><p>0 =180”-a, cosó= cos (180”- a)</p><p>cos Ó =- cosa (2)</p><p>Luego (1) en (2):</p><p>cos o=-(-4) 3 Cos 0=7</p><p>Rpta: E</p><p>Se tiene un triángulo isósceles cuyos</p><p>lados de igual longitud miden b cm. Para</p><p>poder obtener un triángulo con la mayor</p><p>área posible, el tercer lado debe tener una</p><p>longitud de: (UNI '02-II)</p><p>2</p><p>A) Y2 bcm B) Ao cm</p><p>C) 43 b cm</p><p>D) ¿cm E) /n b cm</p><p>Resolución:</p><p>A</p><p>0</p><p>b b</p><p>B E</p><p>El área S del triángulo está dado por:</p><p>$ = Pb song</p><p>2</p><p>2</p><p>s.£ send</p><p>—— 2 — —</p><p>edo máx = ]</p><p>El área es máximo cuando:</p><p>B = 90?</p><p>El ABAC es rectángulo isósceles.</p><p>Luego, el tercer lado BC mide:</p><p>BC =»y/2</p><p>Rpta: A</p><p>SABEN + O A MT</p><p>«PROBLEMAS PROPUESTOS</p><p>Problema 1</p><p>En un triángulo ABC</p><p>a=4 4B=105* y 4C=60"</p><p>Calcular “c”</p><p>A) 2/6(43 -1)</p><p>O) 243(46 +1)</p><p>D) 243(46-1)</p><p>B) 2/6(43 +1</p><p>E) V6(43 +1)</p><p>Problema 2</p><p>En un triángulo ABC</p><p>ZA=75% 4B=30% b=242</p><p>Calcular: “e”</p><p>A) 442 -1) B) 243 +1)</p><p>O) 2143 -1)</p><p>D) 342 +1) E) 2/3 +1</p><p>Problema 3</p><p>En un triángulo ABC</p><p>b=12, 4 B=45</p><p>¿Cuánto mide su circunradio?</p><p>A) 3/2 B) 542 C) 1042</p><p>D) 1242 E) 8/2</p><p>Problema 4</p><p>En un triángulo ABC, a =2b.</p><p>Reducir</p><p>f = asenC +esenA</p><p>- bsenC+cesenB</p><p>A)1 B) 2 03</p><p>D) 4 E)5</p><p>Ll</p><p>Problema 5</p><p>En un triángulo ABC</p><p>reducir</p><p>2U4COS B-— Cc</p><p>sen(B-C)</p><p>si su circunradio es “R”</p><p>AJR B) 2R C) 4R</p><p>0 os</p><p>Problema 6</p><p>En un triángulo ABC</p><p>b- se cumple q E ,</p><p>Calcular "xB"</p><p>A) 30" B) 60" C) 459</p><p>2 03</p><p>D > E - 13 13</p><p>Resolución:</p><p>rrad 1</p><p>> () =. e, a</p><p>5</p><p>e Pero:iL=0xkR Luego: Utilizamos: [L=8R]</p><p>- (04)+(0)(2a)</p><p>L=*%.25 NAAA XA</p><p>co 05 (0)(3a)</p><p>Operando: ..[£ =5x cm] Operando: ..|K=1</p><p>A) 3xcm B) 5x cm O 7xcm Rpta. A</p><p>D) 9x cm E) 11 cm Problema 3</p><p>Rpta. B Del gráfico, calcule K _</p><p>d</p><p>Problema 2</p><p>De acuerdo al gráfico, calcular</p><p>_L +L,</p><p>E,</p><p>K</p><p>A) 12 B) 18 C) 20</p><p>Li, La y L, son arcos con centro en “0” D) 24 E) 26</p><p>Mila</p><p>Resta cm</p><p>4</p><p>del" Y</p><p>la To des ji</p><p>2 2</p><p>á ARA e 1</p><p>a:</p><p>120</p><p>Later Ro - y Ko 2d,</p><p>Ú; "</p><p>2</p><p>Meno rra tel</p><p>lhsz on</p><p>a cd 1</p><p>4</p><p>+1</p><p>. ! Se</p><p>e</p><p>1 E</p><p>Pdo A, Ld 2</p><p>Lo 4 EJ-X |</p><p>Hiesolución:</p><p>HMucbracimos</p><p>«N , |</p><p>a</p><p>ni 7]</p><p>$ “ 4, ba Von</p><p>E</p><p>Lar:l alive</p><p>7 an</p><p>¿A</p><p>A | (S | 5</p><p>ÉS 3! Y</p><p>E E |</p><p>- A a ;</p><p>Luego: N- -. . FR</p><p>Operando e Ñ</p><p>Rpta. A</p><p>Problema 5</p><p>En el gráfico:</p><p>5 AOS IS. MUS,</p><p>Calcule: *S,</p><p>Ps == 5 '</p><p>ez - E á opone tic)</p><p>k pi]</p><p>de ; mi .. e Sá</p><p>ñ</p><p>Aj 2 IN. 0</p><p>Ey 10 Ms</p><p>Kesolución:</p><p>Del gráfico se cumplo la propiedad:</p><p>Meno.</p><p>Del gráfico:</p><p>S,:S,=8,:S</p><p>(3) (12) = (9) (5)</p><p>0</p><p>Rpta. B</p><p>Problema 6</p><p>Dos ángulos centrales de una</p><p>circunferencia son complementarios y</p><p>las longitudes de los arcos que</p><p>subtienden suman 11 cm. Luego, la</p><p>longitud del radio de la circunferencia</p><p>es aproximadamente:</p><p>Aj 11 cm Bj) 22 cm O 6cm</p><p>11M 8cm E) 7 cm</p><p>Kesolución:</p><p>Graficando:</p><p>Dalo:</p><p>Uca => rad (1)</p><p>L, +L,=11 cm (2)</p><p>Pero:</p><p>L,=OR L...: ak</p><p>Reemplazar. ao en (2)</p><p>OR 4 uR=11</p><p>AE</p><p>Mita la</p><p>R(O +0) 31</p><p>[Recordar]</p><p>T</p><p>R+-=11 22 T=---</p><p>? qué |</p><p>RE => R =7 cm</p><p>x 7 2</p><p>Rpta: E</p><p>Problema 7</p><p>Hallar 41 =*“ > a partir de los sectores</p><p>a-</p><p>circulares 77 A</p><p>ul</p><p>Aj 1 B) 2 O 7</p><p>D) 4 E) 9</p><p>Resolución:</p><p>Sea 0 el ángulo del sector circular.</p><p>Por longitud de arco:</p><p>03 y 1 =*</p><p>0 b</p><p>St in lo de o E TZ</p><p>Reemplazando en da $ 4</p><p>5 o b+y</p><p>4,3 7</p><p>' A</p><p>M=9-2-3 mó) M =7 => A + x) 0</p><p>9.0.0 ra?</p><p>3</p><p>Kpta: €</p><p>Rpta: A</p><p>Problema 8 Problema 9</p><p>Del gráfico, halle 3" A partir de la figura, calcule</p><p>as [Ll Eyes</p><p>Y E,</p><p>Lj Lx</p><p>5 5</p><p>A) 3 B) 3 ol ></p><p>a 5 A) 1 $3 O 5</p><p>ni 6 E) 7 Dy 7 E) 9</p><p>Resolución:</p><p>Resolución:</p><p>¿dd</p><p>Asumiendo un radio de a unidades y</p><p>ángulo central 0 rad para el sector</p><p>circular AOB. ,</p><p>Los ángulos DOA y COB son iguales. Por longitud de arco: e</p><p>Luego, se cumple: L_=340 ; L,=240; L,=a0</p><p>ARE Ta TAO</p><p>Reemplazando: Hallando AB: AB=40 => AC=40</p><p>200.340 + 0.300 Luego: CD=0(4+40)</p><p>E</p><p>(8) 3 = 40 +40”</p><p>407 +40-3=0</p><p>(20 + 31(20 - 1) =0</p><p>3 l AS iS $: 20+3=0= 9 =-> (valor descartado)</p><p>Rpta: Bs; 20-1=0=>0=,</p><p>Problema 10 Rpta: A</p><p>En el sector circular mostrado,</p><p>Problema 11</p><p>La bolita se deja caer a partir del punto</p><p>calcule 0.</p><p>A y recorre los arcos L, y L, hasta el</p><p>punto C. Calcule y, si L, + L, = 12x.</p><p>A) 1/2 B) 2/3 O03/4</p><p>D) 1 E) 4/3 A) 8</p><p>Dm 24</p><p>Resolución:</p><p>Resolución:</p><p>ATEO ></p><p>Dato: L, + q pp</p><p>De la figura:</p><p>A A A</p><p>L, mi y L, =3(8 +x)</p><p>Reemplazando en (1):</p><p>—x1+-(8+1)=127 A 7 )</p><p>x. 1</p><p>—+=(8+1)=12>x=16m</p><p>4 3</p><p>Rpta: C</p><p>Problema 12</p><p>Calcular el perímetro de la región</p><p>sombreada, si AO= OB=12m(0: centro)</p><p>A</p><p>p</p><p>O B</p><p>A) 3(1+4) m B) 4(r+3) m</p><p>O (51+12) m</p><p>D) 6(1+2) m E) (7x+12) m</p><p>Resolución:</p><p>AAA MT</p><p>Trazando AP y OP:</p><p>A: Centro de arco</p><p>Luego: AP =0A = OP = 12 m</p><p>AAOP: Equilátero</p><p>Cálculo de "0"</p><p>TT</p><p>B==-- h== > 3 ad</p><p>2,90 = AQ+ AD + PQ</p><p>« AQ=AO=12m</p><p>e. AP= 12 m=4x m</p><p>TE</p><p>. =—xl12m=xm</p><p>PO 12</p><p>2Papo = 12 m+4x m+x m</p><p>= (12 +5x) m</p><p>Kpta: E</p><p>Problema 13</p><p>¿Cuánto debe medir el radio de un sec-</p><p>tor circular para que su área sea numéri-</p><p>camente igual a la longitud del arco?</p><p>A) 1m B) 2m C) 3m</p><p>D) 4m E) 5m</p><p>Resolución:</p><p>Graficando</p><p>MTRO OO 2 MTI</p><p>3, : Área del sector circular Reemplazando en (3)</p><p>yl (2:07 17, Q50P_0</p><p>2 Ca J)z 16 2</p><p>Dato:</p><p>yal «eo 4+40+0* =80->07 -40+4-0</p><p>2 (0-2) =0->0=2</p><p>Rpta: B</p><p>Rpta: D</p><p>Problema 14</p><p>Hallar el ángulo central de un sector Problema 15</p><p>circular en el sistema circular, sí tiene S</p><p>. . . Calcular</p><p>igual áreca y perímetro que un Sy</p><p>cuadrado. A</p><p>A) 0,5 rad B) 1 rad CC) 15 rad C</p><p>1 2 rad E) 2,5 rad</p><p>Resolución: o</p><p>Graficando:</p><p>a</p><p>D</p><p>¡</p><p>a S el B</p><p>A) 1 Bb) 2 O 3</p><p>u DD) 4 E) 6</p><p>Condición: 5, =S, (1) Nec:</p><p>Pao E PP adinds (2)</p><p>De (1):</p><p>1 . > úl Y l</p><p>- DR"=pa”- (5) -—Q 3 > a RJ “3 (3)</p><p>De (2):</p><p>2R + L = 4a = Pero: L = 0R</p><p>2KR + 0KR =4 e Ei EF</p><p>a</p><p>+ = 41 + R 4</p><p>a</p><p>(aa</p><p>3 e</p><p>Ls y (1)</p><p>a 211</p><p>: | .</p><p>Da + = e da (2)</p><p>5-5</p><p>(2) (1): A</p><p>5.</p><p>5 S 1854 Ugg</p><p>Kpta: €</p><p>Problema 16</p><p>Se tiene un sector circular cuyo ángulo</p><p>central mide 36%. ¿Cuánto hav que</p><p>aumentar el ángulo de dicho sector para</p><p>que su área no varíe, si su radio</p><p>disminuve en un cuarto de la longitud</p><p>inicial?</p><p>Aj 20"</p><p>IM +40"</p><p>15) C) 36"</p><p>L)</p><p>20</p><p>45"</p><p>Resolución:</p><p>Ab</p><p>sector cireulas Observemos que en el</p><p>MON: a</p><p>R. IR</p><p>2 4</p><p>Radio R-</p><p>Además, por dalo:</p><p>o 30 Esa</p><p>”»</p><p>Dela figura —Xojr Lor (1)</p><p>1 y 3 xo</p><p>Sun + > (0 4 ll 1 KR )</p><p>a 1 ug 53</p><p>us = za +1) 16 R (2)</p><p>Dato: Sas So</p><p>; PA</p><p>or .5 Lo bajo Ko</p><p>y 2 b</p><p>kh</p><p>1 e (Daria > y- en</p><p>lo t)</p><p>x-25</p><p>Kpta: B</p><p>Problema 17</p><p>Del gráfico mostrado, calcular el valor</p><p>de ta</p><p>MS</p><p>A) y2 B) Y3 MS</p><p>D)3 EJ /10</p><p>12</p><p>De la figura, en el sector COD:</p><p>a</p><p>ass » H=3</p><p>Y</p><p>En el sector AOB:</p><p>AB= 0 -4x = (3)(4x) => AB= 12:</p><p>Para el trapecio circular:</p><p>Dx 4 3a)3x IA 3x (1244398 40 150:3X 0</p><p>9 2</p><p>5 z =45 => 1x=y42</p><p>Rpta: A</p><p>Problema 18</p><p>Dados los sectores circulares, si el área</p><p>de la región sombreada cs 8x Hu”,</p><p>calcular q-</p><p>2</p><p>2</p><p>41 4</p><p>0</p><p>O 6</p><p>e da , 3 Aa = BE O de ) 3</p><p>py E 0 =</p><p>12 7</p><p>] ie</p><p>Resolución:</p><p>A</p><p>hd</p><p>E</p><p>O 6 B</p><p>Dato:</p><p>Área de la región sombreada = 8x</p><p>De la figura:</p><p>Área sombreada = Su — Soy</p><p>E Tos 1[(1n 7 8=*(6* -| 4-0 la</p><p>4 242</p><p>81 -9m-8|= -0)</p><p>2</p><p>3n</p><p>81 = 91-41 +80 => ==</p><p>Kpta: €</p><p>Problema 19</p><p>Una rueda de bicicleta tiene un punto</p><p>en contacto con el piso horizontal. Al</p><p>avanzar la bicicleta 809 m dicho punto</p><p>toca el suelo otras 20 veces. Calcular el</p><p>22</p><p>radio de la circunferencia (Usar 1= 7 ).</p><p>3 6 7</p><p>= B) -m —m</p><p>pd A Aa) Sm</p><p>a 4 D 2 m y 2</p><p>11 11</p><p>NERO</p><p>Resolución:</p><p>PiraÉcancHa</p><p>Si “A” toca 20 veces el piso, entonces da</p><p>20 vueltas.</p><p>- e</p><p>+ vueltas =</p><p>er</p><p>De la figura: Le = 80 m</p><p>sl</p><p>Alda =</p><p>Lea</p><p>57 A</p><p>a e e = MM</p><p>a 3</p><p>Ir 11</p><p>Kpta: €</p><p>Problema 20</p><p>se fienen dos ruedas en contacto</p><p>vxteriormente. Si los radios de dichas</p><p>ruedas miden 4 y 8 m, y el ángulo que</p><p>gira la menor es de 2409, calcular el</p><p>ángulo que gira la mayor.</p><p>A) 60" B) 90 Cc) 120"</p><p>Dy 240" E) 300"</p><p>Resolución:</p><p>Graficando</p><p>Datos: RK=B3m O a D, 5 240"</p><p>Para ruedas en contacto se cumple:</p><p>L, =L,, es decir: 0, -R 0, =0, (1)</p><p>Reemplazando datos:</p><p>o</p><p>a</p><p>04 36.000 >) =7 200"</p><p>1</p><p>O, 7200-</p><p>360 360</p><p>a</p><p>5 vueltas,</p><p>vueltas, = 20</p><p>Rpta: B</p><p>Problema 22</p><p>Calcular la diferencia del número de</p><p>vueltas que da una moneda al</p><p>desplazarse por todo el aro de radio "R”</p><p>por primera vez, exterior e interiormente.</p><p>Ay 1 B) 2 0 3</p><p>D) 4 E) 5</p><p>Resolución:</p><p>Graficando:</p><p>pa</p><p>Recorrido por el exterior:</p><p>Le,</p><p>$ vueltas, = =-—-</p><p>Tr</p><p>(0</p><p>De la Fig: Le, > 27 (Ror)</p><p>2HR er] Rar</p><p>vueltas, + -- E E</p><p>dar r</p><p>Recorrido por el interior:</p><p>De la Fig: Le, =2 2 (R — r)</p><p>2H K-—r) R-=r</p><p>vueltas, = —--—==- —</p><p>] Zar r</p><p>Luego:</p><p>R ml</p><p>vueltas, — H vueltas, = R+r_Ror</p><p>r r</p><p>É vueltas, — ii vueltas. =2</p><p>Rpta: B</p><p>Problema 23</p><p>Calcular el número de vueltas</p><p>que da la</p><p>rueda de radio * r "al recorrer el circuito</p><p>circular (A - B- C).</p><p>Ksr E 3R Hr</p><p>A) Fr ) 6r</p><p>c ¿INEA</p><p>,) br Ap</p><p>R-r E, A</p><p>D) 2r -) 2r</p><p>TEA 305</p><p>Resolución:</p><p>Graficando:</p><p>AN</p><p>NS KR ></p><p>j - Eros</p><p>E EU”</p><p>E</p><p>O</p><p>De la figura:</p><p>rt 21</p><p>L, ==(R L. = —(R - 1 z +1) ) 3 r)</p><p>Le L,+L,</p><p>É vueltas = ——</p><p>E:</p><p>Zar ¿nr</p><p>(3R —r) _</p><p>vueltas E o al 3R—r</p><p>2rr br</p><p>Rpta: €</p><p>Problema 24</p><p>Calcular la longitud de la trayectoria</p><p>descrita por el centro de la rueda, que</p><p>parte de A hasta chocar con la pared.</p><p>AB=>mM,r=6m</p><p>A) 4dxm B) Exm C) 10xm</p><p>D) l2xm E) lóxm</p><p>Resolución:</p><p>Graficando</p><p>Dato: AB=>m r=6m</p><p>A AQB: Notable (30%, 60%)</p><p>Si AB=5 m>AO0=xm</p><p>De la Fig. L, = AQ=x1 m;</p><p>TE T</p><p>L,==r=2am vv L,=-—3r=Y%nm 253 A 17)</p><p>L, +L,+L, = l2x m</p><p>Rpta: D</p><p>TEMO A</p><p>ma KOBLEMAS DE EXÁMENES DE Á DMISIÓN</p><p>Problema 1</p><p>Se tiene una plataforma circular de radio</p><p>100 m y en su centro se levanta un faro</p><p>perpendicular a la plataforma que</p><p>ilumina un sector circular de ángulo</p><p>central igual a 96”. Calcular la longitud</p><p>del arco del sector. (Cat. '05 - ID)</p><p>A) 71m B) 24m C)40xm</p><p>D) 722 m E) 1607 m</p><p>Resolución</p><p>e. 96"=96%x A rad m dd ra</p><p>180" 15</p><p>Aplicando: L=0R</p><p>L=*%% 100</p><p>15</p><p>L=160m</p><p>3</p><p>Rpta: E</p><p>Problema 2</p><p>¿Cuál es el arco, expresado en metros, de</p><p>la circunferencia de 2 m de radio que</p><p>subtiende un ángulo central, tal</p><p>que si sumamos su complemento y su</p><p>suplemento, expresados en grados</p><p>sexagesimales, nos da 13 veces el valor</p><p>del ángulo? (Cat. '98-11)</p><p>x Ea</p><p>A) a B) 40 O 50</p><p>D - E =</p><p>) 10 ) 10</p><p>Resolución:</p><p>Se tiene: e</p><p>. AN</p><p>a” en sexagesimal</p><p>L</p><p>Del enunciado: )</p><p>E</p><p>(90*- a) + (180 4 )= 134 => a =185</p><p>Pasando a radianes:</p><p>u=18" >u == tad</p><p>Rpta: A</p><p>Problema 3</p><p>La figura muestra un memtacarga con ul</p><p>tambor de 60 cm de diámetro. Si €</p><p>Tn</p><p>montacarga gira 7 radianes, entonce</p><p>E</p><p>la carga se eleva aproximadameni</p><p>a una altura de: (tomar z =3,141</p><p>(UNI '02-11)</p><p>A) 165 m B) 167 m C) 166 m</p><p>DJ) 1,65 m E) 1,6% m</p><p>Resolución:</p><p>Ki</p><p>h</p><p>l, $</p><p>A</p><p>«)</p><p>713,14 16350</p><p>h 4 164,93 cm</p><p>h=16193m -> h=165m</p><p>Kpta :D</p><p>'roblema 4</p><p>e tienen dos cireunferencias tan gentes</p><p>le radió R: Una tercera circunf prencia</p><p>eradio R rueda alredodor de l as otras</p><p>TT</p><p>dos. Determine la longitud del circuito</p><p>que recorre vilcentro du Vs. LOEcera</p><p>circunferencia. END '06-1),</p><p>da í Saki</p><p>3 3, Cidaí</p><p>lbn A</p><p>y => E) 8x R</p><p>a</p><p>Resolución:</p><p>len</p><p>A 0d mantener</p><p>| A Ol</p><p>RR ) :</p><p>RGÑ</p><p>O RON</p><p>f, . 4 mos do | 1</p><p>K Ro MN Me 4 :</p><p>AROS</p><p>A</p><p>240" 4% rad</p><p>Aplicando / Ue</p><p>di Bak</p><p>.</p><p>¿Y d</p><p>e</p><p>La longitud del circulo que hace "0% es:</p><p>51 lr E</p><p>3</p><p>RKpta: D</p><p>Problema 5</p><p>Hallar el perímetro de la figura mostrada.</p><p>si los puntos O, A, B y C son dos centros</p><p>du los arcos que la limitan, lal que</p><p>OB += Ry m AOB- 90", (UNI '00 - 1)</p><p>“MBE o BO TT</p><p>Problema 6</p><p>En la figura los radios de las dos</p><p>circunferencias concéntricas miden R y</p><p>r (KR > 1). La diferencia de longitudes de</p><p>los arcos BB' y AÁ' es Ho y el ángulo</p><p>AOB' mide 120”, Calcular la suma de las</p><p>longitudes de los arcos AA' y BB.</p><p>(UNT '01-1)</p><p>R=54 cm</p><p>ERA TE) ds. se</p><p>Lucgo:</p><p>A (S4cm y</p><p>B</p><p>y</p><p>|</p><p>1</p><p>0</p><p>]</p><p>MM Mi =></p><p>A ¡q = 486% cm”</p><p>Kpta: D</p><p>Problema 9</p><p>Dos ángulos centrales de una</p><p>circunferencia cumplen lo siguiente:</p><p>1) Son suplementarios.</p><p>2) La diferencia de los arcos que</p><p>sublienden es 2 cm.</p><p>3) La razón entre la medida de los ángu-</p><p>loses 4/1.</p><p>Halle (en cm) la longitud del radio</p><p>de la circunferencia. (UNT '04-1)</p><p>244 3441)</p><p>A) (4-1) B) r(4-x)</p><p>7d er)</p><p>C) 2m(4--1)</p><p>H4 4 10) y Hd a)</p><p>1)) nd 1) E) 2m(4-—1)</p><p>Resolución</p><p>Según los datos</p><p>Ll u+f=x (1)</p><p>2. Considerando que (u>/[)</p><p>aR=BR=2 > a-B=é (2)</p><p>2 0.4 > 0+P_4in 3. 47 => ap 4 (3)</p><p>(1) y (2) en (3):</p><p>Kpta: A</p><p>do</p><p>Problema 10</p><p>O" es la nueva ubicación del punto “Q”</p><p>al girar la rueda desde la posición (1)</p><p>hasta la posición (2). Determine la</p><p>distancia (menor a 277 )que hay entre Q</p><p>y la proyección de Q' sobre el plano</p><p>horizontal. (UNI '05-1)</p><p>A) 1,1r</p><p>D) 4,15</p><p>B) 2,15 O 3,1r</p><p>E) 5,1r</p><p>v: distancia pedida.</p><p>a=30" =>. a=r/4=0,58r</p><p>De la figura: x=L-a</p><p>Por teoría: e > e</p><p>L=08r(0: PA er =2,6r</p><p>=> == 2 b6A =0,5r Pi ná 2,15</p><p>Kpta: B</p><p>Prablema 11</p><p>Un molinete de riego tiene un alcance de</p><p>l2m y un ángulo de giro de 135".</p><p>Calcular el area (en m ) del sector circular</p><p>mojado por el molinete, (Usar x= 3,14)</p><p>(UNI *01-1)</p><p>A) 161,56 B) 163,56 C) 165,56</p><p>D) 167,56 E) 169,56</p><p>Resolución:</p><p>Pasando el ángulo central a radianes:</p><p>2;</p><p>135*= rad</p><p>A</p><p>El área del sector circular es:</p><p>2</p><p>Br” S== 2 —</p><p>5-54 =>5= M(3, 14) = 169,56</p><p>Rpta: E</p><p>Problema 12</p><p>En la figura se tiene un ángulo central</p><p>de medida b radianes y arcos de</p><p>longitudes b y c respectivamente.</p><p>Entonces el área de la región sombreada</p><p>mide. (UNI *01-D)</p><p>. Ni e)</p><p>1D A</p><p>es a e | DAT)</p><p>Resolución:</p><p>A</p><p>M</p><p>OC lb €</p><p>=</p><p>MM</p><p>Bo</p><p>Sn |</p><p>El área de la parte sombreada es:</p><p>S= Son — MON</p><p>Da io tiosa</p><p>Problema 13</p><p>Calcule la medida del arco AB en el</p><p>rráfico adjunto: (SM *'06-1)</p><p>Dn</p><p>AM</p><p>7</p><p>==> y 16pé — |451</p><p>Ay 13 By 14 O) 27</p><p>D) 35 E) 15</p><p>Resolución:</p><p>45</p><p>E! a 2</p><p>A</p><p>5 2081</p><p>2</p><p>E</p><p>a” 29</p><p>y. MN a q ER</p><p>8l</p><p>Rpta: €</p><p>Problema 14</p><p>Sean AOB, EOF sectores circulares. Si la</p><p>iongilud del AB-=8 ,OÉ = «4. Halle el área</p><p>de la región AOB si las áreas de las</p><p>regiones EOF, ECDF y ABDC son iguales.</p><p>(UNI *05-1)</p><p>IA Had</p><p>1 fa 45 A) a B) eya O) eya</p><p>D) ea E) Aya</p><p>Resolución</p><p>C Pp</p><p>E</p><p>00. . i</p><p>rad</p><p>O</p><p>o</p><p>E</p><p>DB</p><p>De la figura:</p><p>Ao 35</p><p>Le E</p><p>Ú z</p><p>o] 1</p><p>A A</p><p>ER</p><p>Luego:</p><p>Dad A 1 4 e A</p><p>A</p><p>ES 3</p><p>Du . a</p><p>Rpta. E</p><p>ATADO 00000000000 0 TT</p><p>Problema 15</p><p>Se liene una malla de longitud L con la</p><p>Dato: a+b+x2x=L=>a+h=L=2x</p><p>que se desea cercar un terreno que tiene S= [ L- O) stos 52</p><p>'á forma de un trapecio circular. Calcule RDA E</p><p>el área máxima del terreno que se puede</p><p>cercar con dicha malla. (UNI '06 - 11) > 2</p><p>sm de i É ,</p><p>E 1 Ñ- E Xx |</p><p>E a EL, Z j Ap B) > C) A</p><p>ni f : B|) El .=- ; y ; 3 3 s a</p><p>16 [4 |</p><p>Resolución z MRE e</p><p>a z e</p><p>16</p><p>KRpta. E</p><p>FP roBemMas Propyesros</p><p>Problema 1 3 ñ 4</p><p>A) = B) Cl</p><p>£n un sector circular, el ángulo central 5 4 5</p><p>mide 60” y el radio 24 cm. ¿Cuánto mide I 6</p><p>] 5 0) = Ez al arco?. 5 5</p><p>A) 2 cm B) 4xcm C) 6xr em Problema 3</p><p>0) Sr cm E) 10 cm Del gráfico calcule A - SN</p><p>Problema 2 :</p><p>Del gráfico, calcule A = la=£y 1</p><p>La,</p><p>A) 1 B) 2 al)</p><p>9</p><p>D) 4 E”</p><p>«CEM.</p><p>Problema 4</p><p>Calcular el área de la región sombreada.</p><p>A) 48 B) 44 C) 40</p><p>ID) 46 E) 43</p><p>Problema 5</p><p>Del gráfico calcular</p><p>Si fi2A 8</p><p>Ear a</p><p>1]</p><p>A)1 p) 2 O3</p><p>ID 4 E) 42</p><p>Problema</p><p>6</p><p>Un tramo de vía férrea curvilínea está</p><p>formado por dos arcos sucesivos. Ll ler</p><p>arco corresponde a un ángulo central de</p><p>20” con un radio de 2 500 m y el 2du</p><p>corresponde a un ángulo central de 25”</p><p>con un radio de 3 000 m. Encontrar la</p><p>longitud del tramo.</p><p>A) 62501 m B) 63501 m</p><p>C) 6250 m</p><p>Tr . A</p><p>10) 6231-m E) 6110-- ) ; ) ga</p><p>IE</p><p>Problema 7</p><p>Calcular “14” a partir de los sectores</p><p>arculares mostrados.</p><p>A) 7/3 B) 3/7 O7/3</p><p>D) 4/5 E) 5/4</p><p>Problema 8</p><p>Se tienen dos sectores circulares cuyos</p><p>radios miden 8 m y 6 m. La longitud del</p><p>arco del primero es 3 x m. Si las medidas</p><p>de sus ángulos centrales son las mismas,</p><p>hallar la diferencia de sus longitudes de</p><p>arco.</p><p>3</p><p>AJ2 m B) 2x2 m C) qa</p><p>D) 5 BS ) 2 m ) 4 m</p><p>Problema 9</p><p>Del gráfico hallar 6.</p><p>D</p><p>A) 0,5 B 075 008</p><p>D) 1 E) 1,25</p><p>Problema 10</p><p>En los sectores circulares mostrados,</p><p>calcular K-= a—b</p><p>A) 2 B) 4 O5</p><p>D)7 E) 8</p><p>Problema 11</p><p>Calcular el área de la región sombreada.</p><p>g</p><p>2</p><p>25 25 25</p><p>A) 4 B) 8 C) 16</p><p>25 20</p><p>3 9</p><p>Problema 12</p><p>fa</p><p>Del gráfico mostrado calcular (5).</p><p>A) Y3</p><p>B)2</p><p>C) 242</p><p>D) 243</p><p>é</p><p>CS</p><p>: a)</p><p>Problema 13</p><p>En la figura, la región encerrada por el</p><p>trapecio circular mide (b'-a*) m. Hallar</p><p>el número de radianes del ángulo</p><p>central del sector circular en términos</p><p>dea y b:</p><p>A) 2(a? + b*) B) (a? + b*)</p><p>C) 2(a + b)</p><p>D) ai pr py 2+0)</p><p>2</p><p>Problema 14</p><p>Calcular el perímetro de la región</p><p>sombreada.</p><p>61 62 063</p><p>M5 BG Os</p><p>E 96 D) 5 E) 5</p><p>MMS: sto 00</p><p>Problema 15</p><p>En la figura, se cumple que ab = 1.</p><p>Calcular el área de la región sombreada</p><p>b</p><p>rn E his A) B) E Oz</p><p>D) + E de yr</p><p>Problema 16</p><p>Fj » PM</p><p>Calcular Eoagana de MO MO</p><p>Longitud de AM</p><p>siguiente figura.</p><p>, A partir de la</p><p>Mi</p><p>A)8/3 B) 1/9 Cy 2/3</p><p>D) 3/8 E) 4/3</p><p>Problema 17</p><p>De la figura hallar P= (-+ 0</p><p>AOB es sector circular</p><p>Ay?</p><p>2 C</p><p>B) 42</p><p>C)2 O t</p><p>1</p><p>EN —</p><p>E D</p><p>E)1</p><p>día</p><p>Problema 18</p><p>En la figura calcular la menor longitud</p><p>del arco PQ, siendo P y Q puntos de</p><p>tangencia. OA = 0B = Y2 42</p><p>A</p><p>¿n</p><p>A)5 B) 57 C) /2x</p><p>4/3 T</p><p>DS E</p><p>Problema 19</p><p>En la figura, los radios de los sectores</p><p>circulares están en la relación de 2:3, ¿En</p><p>qué relación se encuentran 5, y 5,?</p><p>S,; área del trapecio circular</p><p>Sis área del sector circular menor</p><p>B) 21/2 A) 21/9</p><p>D) 2/3</p><p>C) 5/2</p><p>E) 5/4</p><p>NEO</p><p>Probiema 26</p><p>catctlar ol área de la región sombreada,</p><p>“Mi - 66m -</p><p>A</p><p>qe7</p><p>5 HB</p><p>A) nn” B) 21m (03m</p><p>10) 42m E) 61 m'</p><p>Problema 21</p><p>Al elevar al cuadrado el perímetro de un</p><p>svctorcircular se obtiene 16 veces su área.</p><p>Calcular la medida de su ángulo central.</p><p>A) 1 rad B) 2 rad O) 3 rad</p><p>D) 4 rad E) 5 rad</p><p>Problema 22</p><p>1 perimetro de un sector circular es 6m</p><p>«su área, 2 nv. Calcular la medida del</p><p>ingulo central en radianes.</p><p>15 414 03</p><p>9) 2 E)8</p><p>Problema 23</p><p>Del gráfico calcular x sí S=1*-3</p><p>S: área</p><p>A</p><p>A) 1 B) 2 025</p><p>D) 3 EJ 4</p><p>CA, Proyecto Ingenio</p><p>Problema 24</p><p>En la</p><p>circunferencias concéntricas. Determine</p><p>figura se observa dos</p><p>la relación que existe entre las áreas del</p><p>trapecio circular y del sector circular</p><p>T</p><p>sombreados. Dato: U= E"</p><p>Jo</p><p>Ay2/3 B) 1/4 03/4</p><p>D) 1/2 E) 1/3</p><p>Problema 25</p><p>El radio del sector circular COD</p><p>mostrado es dk. Bes punto medio de</p><p>JD. Tomando como diámetros las</p><p>longitudes de arce ABoy CD se</p><p>censtruveron dos circunferencias</p><p>concóntricas. lHallar el área de la corona</p><p>circular que se forma:</p><p>c</p><p>Na</p><p>A) 5mxR? B) 4xR*? Cy 25 Re</p><p>D) 27 R? E) nR?</p><p>Cien</p><p>Problema 26</p><p>Dos estudiantes observan un reloj</p><p>electrónico cuvas agujas están detenidas,</p><p>Uno de ellos dice que el área que generan</p><p>las agujas es de 7,2 env. Si el reloj tiene</p><p>un radio de 6 em, ¿cuál es la longitud del</p><p>arco entre las agujas?</p><p>AJ 1,2 cm 3) 1,6 cm CIA</p><p>1D) 2-4cm E) 48cm</p><p>Problema 27</p><p>Halle el número de vueltas que da la</p><p>rueda al ir desde “A” hasta tocar la</p><p>pared, (r = 2 cm)</p><p>O</p><p>E)</p><p>A ñ</p><p>[——— 24 em ———</p><p>A) 15 B) 1,25 O) 25</p><p>IM 2,25 Ey 1,75</p><p>Problema 28</p><p>Una rueda de 2 cm de radio recorre una</p><p>cierta distancia girando 1 050". ¿Cuántas</p><p>vueltas da?</p><p>A) 1 BJ) 1,5 Cy 2</p><p>D) 2,5 E) 3</p><p>(635</p><p>Problema 29</p><p>Una rueda de | em de radio recorre sin</p><p>resbalar una pista rectilinea de 44 cm de</p><p>longitud. ¿Cuántas vueltas da?</p><p>2Y*</p><p>pm = ” |</p><p>3</p><p>A) 2,5 B) 44 CC) 22</p><p>IM 7 E) 35</p><p>Problema 30</p><p>Se tiene una rueda de radio 1 que da 15</p><p>vueltas alrededor de una pista circular</p><p>de radio KR. 51 la rueda ha generado sobre</p><p>la pista un ángulo de 36”, ¿qué relación</p><p>existe entre el radio de la rueda y el de la</p><p>pista?</p><p>AY 17 B) 1/50 CO) 3/100</p><p>DD) 1500 E) 1/150</p><p>Problema 3 1</p><p>Si en el sistema el bloque desciende 4 m,</p><p>determinar el ángulo que barre el ravo</p><p>op</p><p>ÓN</p><p>a,</p><p>a</p><p>Blucue</p><p>A) 1rad ¿Bj 2rad, C) 3rad</p><p>D) 4 rad | Y E E) 3 rad</p><p>INEJIO 2005: |</p><p>Problema 32 Problema 33</p><p>“ile ol número de vueltas que da la Calcular el número de vueltas que da la</p><p>cueca de radio 3Acmalirdesde A hasta rueda al recorrer el circuito P- Q-M</p><p>» (hasta chocar con el piso).</p><p>a ——</p><p>*</p><p>Pis</p><p>PQ = 10m</p><p>QM =4(2n 41) myr dm</p><p>Ay) 1 B) > E 3 A) 2 vueltas 13) 3 vueltas</p><p>C) 2 vueltas y media</p><p>D) 2jn E) 0,5 .</p><p>10) 4 vueltas E) 5 vueltas</p><p>po</p><p>de ci: q ero ;</p><p>Ey ER</p><p>CAPÍTULO</p><p>ld de tE il ti A IEA ib AA</p><p>3.1 RAZONES TRIGONOMÉ-</p><p>TRICAS EN EL TRIÁNGULO</p><p>RECTÁNGULO</p><p>Dado un 4:</p><p>Se cumple:</p><p>[O" => reciprocas,</p><p>Curs le y cosi Se</p><p>] | í</p><p>| cl</p><p>| $ | 0 . las | gn Ele</p><p>| 15 |</p><p>E z E</p><p>| 5 Í 8 , 2 »</p><p>E s 1. Si Sena =-- => 0sect - | Cliit - 3 chal =-—— 3 ></p><p>| C</p><p>ll</p><p>17 1 | secu | secf)-—- 2. Si cosa =—-> secu = 4 Ue YA 15 8 ¿4 9 e</p><p>17 17</p><p>escu — esc Ph = — : 4 7</p><p>| 8 15 3. Si tga==>ctga =-</p><p>Ll 7 4</p><p>INE 110!</p><p>O icón . pt</p><p>AA a</p><p>El producto de dos razones recíprocas</p><p>del mismo ángulo es l.</p><p>na csca = |</p><p>uE</p><p>2. [ta cta =1|</p><p>Ángulos iguales</p><p>3. [cosa seca =1]</p><p>Ejemplos aplicativos:</p><p>2. Si tg(3r + 10ctg(Qr + 24)" = 1, hallar</p><p>el valor de “x”</p><p>Solución:</p><p>Dado que lg y ctg son recíprocos:</p><p>A+ 10 = 20 + 24 3 1= 14</p><p>l</p><p>3. Si csc (x +20)” = sen2x 18)</p><p>hallar el valor de “x”.</p><p>Solución:</p><p>esc y sen son recíprocos:</p><p>r+20=2r-18 51-38"</p><p>II. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS</p><p>DE ÁNGULOS COMPLEMENTA-</p><p>RIOS. CO-RAZONES.</p><p>Dado el triángulo rectángulo ABC:</p><p>PR</p><p>Mi PA</p><p>'</p><p>a</p><p>| ¡Seno con</p><p>: L Sena = cosB | j coseno sun</p><p>a E |</p><p>dsp [co razones.</p><p>z A</p><p>%</p><p>a</p><p>lpa = b | Tangente con</p><p>tga =ctgB] + cotangente son</p><p>a</p><p>c tep E co-razones</p><p>b</p><p>c</p><p>Seca == Secante con</p><p>| seca =cscf | ¿cosecante son</p><p>E ds .. . esc = — co-razones</p><p>b</p><p>En general:</p><p>[R.T. (a) = Co— R.T. (complemento de a)|</p><p>Ejemplos:</p><p>e sen 70% = cos 20"</p><p>porque 70” + 20” = 90%</p><p>* ta 80" = cti 107</p><p>porque 80” + 10” = 90%</p><p>e esc 40” = sec 50"</p><p>porque 40" + 50” — 90</p><p>Ejemplos aplicativos:</p><p>4. Hallar “1” en:</p><p>sen cos 40"</p><p>Resolución:</p><p>Se cumple: gd!</p><p>r-+ 00 E 637</p><p>:[x=50%] Rpta.</p><p>5.</p><p>Fa</p><p>8.</p><p>ME</p><p>Calcule “1%; en</p><p>Tg c=cotr</p><p>Resolución:</p><p>Se cumple</p><p>x+x=9)9"</p><p>2r = 90"</p><p>E x=45"] Rpta.</p><p>Calcule x y y en:</p><p>sen(x+ y)=cos10" (1)</p><p>seclx— y) =csc507 (11)</p><p>Resolución: Se cumple</p><p>Del) : x+y=80" ()</p><p>De(1I): royo. 40% *"</p><p>2x= 120"</p><p>ar [y=20</p><p>Si tg(x+ 4) =ctg (x- y)</p><p>$e +</p><p>calcule:</p><p>Resolución:</p><p>Se cumple</p><p>(+11) +(x— 1) =90"</p><p>2x=90"</p><p>[x= 45% Rpta.</p><p>Si u+P+0=90",</p><p>calcule:</p><p>senfóro), tga</p><p>cos cos(8+[)</p><p>Resolución: se observa</p><p>(9+a)+P=90" => sen(B+a)=cosp</p><p>+7tg(0-+0)teB</p><p>ar + (8 +) = 90” > tga = ctg(8 + B)</p><p>(9+a)+P=90"> tan(8+a)=cotf</p><p>ECO ESE ria Í ' a Proyecto ingenio</p><p>Luego reemplazando en “| ”</p><p>_cosB,</p><p>7et E 7 c El. gb</p><p>'» Rpta.</p><p>DADA UNA RAZÓN TRIGONO-</p><p>MÉTRICA DE UN ÁNGULO, CÓMO</p><p>CALCULAR LAS OTRAS CINCO</p><p>RAZONES</p><p>Sea sena = 0,5. El valor de la razón</p><p>trigonométrica no depende de las</p><p>longitudes de los lados del triángulo,</p><p>sino, sólo del ángulo. Entonces podemos</p><p>escoger cualquier triángulo uno de cuyos</p><p>ángulos mide «a:</p><p>1</p><p>sena =0,5= sena = 7</p><p>3</p><p>x</p><p>Por T. de Pitágoras:</p><p>44+1=2=>r=43</p><p>Luego:</p><p>v3</p><p>cosa = — seca = So</p><p>1</p><p>ga =-3</p><p>esca =2</p><p>ctga=y3</p><p>ATT EE ARS</p><p>Veamos otro ejemplo:</p><p>pa</p><p>. 5 .</p><p>Sabiendo que cosa = 3" determinar las</p><p>otras 5 razones trigonométricas de «.</p><p>Solución:</p><p>cosa = —</p><p>13</p><p>Por T. de Pitágoras</p><p>4x?=13 > x=12</p><p>12 13</p><p>sena = — SECO = —</p><p>13 5</p><p>tro E esca =— Ti =— K a</p><p>ps 12</p><p>clear = a</p><p>2712</p><p>TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS</p><p>Se denominan triángulos pitagóricos a</p><p>los triángulos rectángulos cuyos tres</p><p>lados tienen una medida expresada en</p><p>números enteros.</p><p>Sea el triángulo pitaygórico ABC, recto</p><p>en C, entonces:</p><p>B</p><p>> a</p><p>a</p><p>A b C</p><p>T. de Pitágoras en el ABC</p><p>c=at+b</p><p>c-p =a*</p><p>(c+blc-b)=a' (1)</p><p>Si a es impar, los dos factores del primer</p><p>miembro son impares y se puede</p><p>expresar como:</p><p>(c+b)(c-b)=a".1</p><p>cib=a" y c-b=1</p><p>De donde:</p><p>7 2_</p><p>e] 2</p><p>af-1</p><p>2</p><p>[Para A impar ya>1 |</p><p>Ejemplos:</p><p>Para a=3</p><p>5</p><p>3</p><p>4</p><p>Paraa=5</p><p>13</p><p>A</p><p>12</p><p>Si a es par, entonces a = 2k,</p><p>Cria. 7</p><p>En (1): (e+b) (eb) = (0h) 71ZONES TRIGONOMÉTRICAS DE</p><p>(e +b) (cb) =4k ÁNGULOS NOTABLES</p><p>os d0s factores del'primer miembro de Para 45"</p><p>2) son pares, de donde:</p><p>(cb) (e-b)= 2k e</p><p>Á</p><p>¿nlonces: c+b=2k*</p><p>c-b=2</p><p>Ye donde:</p><p>Para 30” y 60”</p><p>[Para ke Zn Kk>1</p><p>Ejemplos:</p><p>Para k = 3</p><p>5 ¿4</p><p>3</p><p>Para k = 4</p><p>15</p><p>= ¿ : 50</p><p>3+1</p><p>ll ty15" =ctg75” = pa =24+ 43</p><p>y3—1</p><p>(3-1</p><p>1915" = 1875 = 2=2-y43</p><p>e > 43 +1</p><p>co ,_ 242</p><p>secl5” =csec75" = e ==</p><p>esecl5" =sec75" = 7 =/6 +42</p><p>E a</p><p>Ejemplos aplicativos</p><p>9. Del gráfico mostrado calcule (vr + 13</p><p>Resolución:</p><p>Del gráfico se cum ple:</p><p>e or=3x (8) = 24</p><p>e y=4x (8) =32</p><p>.Jv+v=56| Rpta.</p><p>10. Siendo:</p><p>D = 2 sen 30" tan 45"</p><p>P—= sec 60" + sect4s”</p><p>| =5 (sen 53" —- sen 37”)</p><p>calcular</p><p>M=D=+P+T</p><p>Resolución:</p><p>. D= 7 )e)> =2</p><p>PJ</p><p>e P=(2):V2) => P=14</p><p>4 3 IE AS</p><p>(555) —</p><p>>1/=2+441 SE</p><p>2 Rpta.</p><p>puro Mie O</p><p>11. En la figura mostrada, hallar</p><p>Á =tand+cota</p><p>5</p><p>A) 1 B) 2 ya</p><p>D 2 E A ) 3 ) ></p><p>Resolución:</p><p>Del gráfico</p><p>2 2 2</p><p>3.3 1.3</p><p>K=-=4- => Á =-+></p><p>6 2 2 2</p><p>Operando: [A =2] Rpta.</p><p>III. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGU-</p><p>LOS RECTÁNGULOS</p><p>Se presentan los siguientes casos:</p><p>CASO Il: Se conoce un ángulo (0) y la</p><p>hipotenusa (r)</p><p>Se desea conocer los dos</p><p>caletos:</p><p>En lá figura:</p><p>reenti</p><p>A rcosí E</p><p>OA a</p><p>Ejemplo”,</p><p>1. RéstlVer los siguientes triángulos</p><p>a) E</p><p>73</p><p>. ISsens3”</p><p>A Ios 5)" B</p><p>30</p><p>AB= 1-3 10,8</p><p>5</p><p>Bc=18[2)-1</p><p>15</p><p>CASO Il:Se conocen el ángulo 0 y</p><p>el cateto adyacente a 0</p><p>Se desca conocer la</p><p>hipotenusa y el catelo opuesto a (</p><p>En la figura: B</p><p>12 1860"</p><p>EMO. E 73</p><p>CASO MT :Se conocen el ángulo () y el</p><p>cateto opuesto a O</p><p>Su desca conocer la</p><p>hipolentsa y el caleto advacente a 0. ></p><p>En la figura:</p><p>B</p><p>A</p><p>Ea</p><p>d Usd E a</p><p>se</p><p>LAN A</p><p>A vc C</p><p>Ejemplo:</p><p>3. p</p><p>15</p><p>A0u d</p><p>A FA</p><p>Ejemplos aplicativos:</p><p>12.En la figura adjunta hallar el valor</p><p>de or</p><p>is? Trigonométria</p><p>Solución:</p><p>b ly 37 esc 37</p><p>Qu</p><p>Rpta: 7,5</p><p>Dela figura; ,</p><p>A x</p><p>13. En la siguiente figura, determina la</p><p>longitud del cateto menor del</p><p>triángulo ABC,</p><p>¿AB</p><p>po</p><p>A)</p><p>A O 34 C</p><p>Solución:</p><p>2 B</p><p>MO</p><p>A acta30”</p><p>En el DMABC:</p><p>JAI AUS 3</p><p>3 a(2)+2</p><p>án+d=3n+0 ==. q=5</p><p>BC = AB tg30*</p><p>BC == (a csc30 + 2)tg30"</p><p>BC=(5x24 e =44/3</p><p>Rpta: 4/3</p><p>ÁNGULOS VERTICALES Y</p><p>HORIZONTALES</p><p>ÁNGULOS VERTICALES</p><p>Los ángulos verticales son ángulos</p><p>ubicados en un plano vertical. Para</p><p>mediciones angulares en un plano</p><p>vertical tienen interés los ángulos</p><p>verticales que tienen como lado inicial</p><p>una línea horizontal y lado final,</p><p>MNainado línea visual, ya sea sobre o</p><p>debajo de la línea horizontal,</p><p>Explicación gráfica</p><p>1. Ángulo de elevación</p><p>Es el ángulo vertical cuyo lado final</p><p>parte del ojo del observador y se</p><p>ubica sobre la línea horizontal.</p><p>A</p><p>A</p><p>¿A</p><p>- LT /</p><p>Linea horizontal</p><p>a: Ángulo de elevación</p><p>=></p><p>po</p><p>2. Ángulo de depresión</p><p>Es el ángulo vertical cuyo lado final</p><p>se ubica por debajo de la línea</p><p>horizontal.</p><p>a dues AT - PO 20 AAA E MATA</p><p>Linea horizontal</p><p>B: Ángulo de depresión</p><p>ANGULOS HORIZONTALES</p><p>Los ángulos horizontales son los</p><p>contenidos en el plano horizontal. Sirven</p><p>para mediciones topográficas así como</p><p>para fines de orientación marina.</p><p>Los ángulos horizontales generalmente</p><p>se miden respecto a la línea Norte - Sur</p><p>o meridiano terrestre.</p><p>Explicación gráfica</p><p>Kumbo.- El rumbo de uña recta está</p><p>dada por el ángulo agudo que forman la</p><p>recta y la dirección norte o sur.</p><p>La lectura y escritura del rumbo siempre</p><p>están referidas al Norte o al Sur eindicando</p><p>hacia dónde se ha medido, hacia el Este (E)</p><p>a hacia el Oeste (W', de west).</p><p>En la figura:</p><p>Y!</p><p>oy</p><p>ys</p><p>ua</p><p>de</p><p>¡e</p><p>9/</p><p>u0</p><p>o9</p><p>19</p><p>33</p><p>1M</p><p>]</p><p>PEA Aa de</p><p>(Lines | Lestaa del Bamba] Notación |</p><p>OP Na grados Oeste ny q? y</p><p>LS un iia —= E</p><p>¡100 UN f grados Este NP?" Ej</p><p>| OR _ [SU grados Este S pa E |</p><p>Rumbo inverso.- Dado un rumbo, el</p><p>rumbo inverso tiene la misma dirección</p><p>pero sentido opuesto al rumbo.</p><p>| ll Rumbo Rumbo inverso</p><p>[IN ar E Sa” W</p><p>Sur W Na? E |</p><p>4 e</p><p>RF $ e</p><p>Lectura de los rumbos notables</p><p>Nombre Lectura Rumbo</p><p>¡ NNE Norte noreste | N 22? 30" E</p><p>NE Noreste N 45" E</p><p>'ENÉE Este noreste |[N67730'E</p><p>ESE Este sureste 1567"30'E</p><p>S5E Sur sureste 522” 30" E</p><p>SSW Sur suroeste [1522 30" W</p><p>| Oeste noroeste] N 67” 30" W WNM |</p><p>el AL</p><p>ÁNGULO DE OBSERVACIÓN</p><p>Se denomina ángulo de observación o</p><p>de visibilidad de un objeto, al ángulo</p><p>formado por las visuales que pasan por</p><p>los extremos del objeto,</p><p>(4: Angulo de observación</p><p>Ejemplos aplicativos:</p><p>1. Desde un punto del suelo se observa</p><p>el punto más alto de una torre con</p><p>un ángulo de elevación “0”. Desde</p><p>la mitad y la distancia que separa el</p><p>punto de la torre el ángulo de</p><p>elevación hacia el mismo punto es el</p><p>complemento de * 6”. Hallar “tg 0 ”.</p><p>Resolución:</p><p>Graficando:</p><p>0 300</p><p>hb a | dl el</p><p>h acot'Ú $l</p><p>Se cumple: Ácot0=2</p><p>cot B=2</p><p>ha</p><p>Desde el pie de un poste se observa</p><p>la parte alta de una torre con un</p><p>ángulo de elevación</p>