EqConservacao_JEM2017_AngelaNieckele

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Equações de Conservação
Angela O. Nieckele
- Grupo de Dinâmica dos Fluidos ComputacionalDFC
Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro
Departamento de Engenharia Mecânica
2
Objetivo
 Apresentação das equações de conservação 
para analisar escoamento multifásicos 
3
Introdução
 Fases: 
 Sólida (partículas)
 Líquido (uma ou mais imiscíveis)
 Gás
 Escoamentos Bifásicos:
 Gás/Líquido
 Gás/Sólido
 Líquido/Líquido
 Multifásico
 Gás/Líquido/Líquido
 Gás/Sólido/Líquido
 Gás/Sólido/Líquido/Líquido
4
Introdução
 
 
estratificado 
 
estratificado 
ondulado 
 
bolhas alongadas 
 
golfadas 
 
anular 
 
bolhas dispersas bolhas golfadas caótico anular 
 Classificados de acordo com a estrutura
 Separados, misturados ou dispersos
Escoamento multifásicos são mais complexos de serem 
modelados do que escoamentos monofásicos, devido a 
estrutura complexa e desconhecida das interfaces
5
Introdução
 Padrão de Escoamento: A importância em 
conhecer o padrão de escoamento é clara. É 
necessário para:
 avaliar a transferência de calor, queda de 
pressão, etc., 
 Realizar cálculos, visando determinar a condição 
de operação de equipamentos. 
 modelar o escoamento, pois dependendo do 
padrão, diferentes aproximações e 
consequentemente modelos podem ser mais 
apropriados
6
Introdução
 Escoamento monofásico: 
 Leis de conservação: massa, quantidade de movimento e 
energia
 Condição de contorno: entrada, paredes, simetria e saída
 Classificado em laminar ou turbulento
 Escoamento multifásico
 Mesma leis de conservação que o escoamento monofásico
 Dificuldades:
 Múltiplas interfaces, deformáveis, móveis e desconhecidas
 Descontinuidade de propriedades
 Campos complexos nas regiões de interface
7
Leis de Conservação para 
Escoamento Monofásico
 Conservação de massa 0


)div( u
t

 Conservação de quantidade de movimento
 
  ])u)(u[(uu
u Tr 


p
t
uxg 
3
2r pp
 
  q
tD
pD
h
t
h



u:τqu
)(u
)()(




ttD
D
 Conservação de energia
Tk q
8
Leis de Conservação para 
Escoamento Multifásico
 Mesma leis de conservação que o escoamento 
monofásico
Balanços 
Interfaciais
1
2
n2
n1
Ai
ui
21 nn 
9
Balanços Interfaciais
 Balanço de massa interfacial
0
2
1
 
k
ikkk )u(un
S
tS
kini



/
nuu
tinii uuu 
0
2
1

k
km
)u(un ikkkkm 
 Fluxo de massa interfacial
 uni velocidade de deslocamento da interface
 Posição da interface S(x, t)
kini nuu 
ou
10
Balanços Interfaciais
 Balanço de quantidade de movimento interfacial
kkkikkkk  nu)u(unM
kkk p τI 
 Fluxo momentum interfacial
m
k
k MM 

2
1
 kkkkkk pm τInuM  
)u(un ikkkkm 
11
Balanços Interfaciais
 Parcela normal representa o efeito líquido da curvatura da 
interface, onde k é a curvatura média da superfície e g é a 
tensão superficial. 
 Parcela tangencial devido ao gradiente da tensão superficial.
kg mm κ MnM 2
 Fonte de momentum de mistura
normal tangencial
12
Balanços Interfaciais
 Balanço de energia
 



1 
2 
A1 
A2 
n2 
n1 
Ai 
 Energia interna por unidade 
de área interfacial:


1
2
1 



diia
 





















2
1
2
2k
kkkk
k
kikkkikia
a
u
ii
t
i
qun)u(unuMu
taxa de 
variação da 
energia da 
superfície
trabalho 
realizado pela 
tensão 
superficial
transferência de energia do fluido de 
cada lado da interface
13
Balanços Interfaciais
 



1 
2 
A1 
A2 
n2 
n1 
Ai 
m
k
k EE 

2
1
 Balanço de energia interfacial
  kkkkkkkkk p
u
imE quτIn 









2
2

 Fluxo energia interfacial
 Fonte de energia de mistura: mE
14
Escoamentos Multifásicos
 Formulação local e instantânea para escoamentos 
multifásicos é muito difícil
Classes de Modelos
 Modelos de “um fluido”: solução detalhada 
das equações de Navier Stokes
 Modelos de equações reduzidas, uso de 
grandezas médias
15
Modelos de “um fluido”
16
Modelos de “um fluido”
 solução detalhada das 
equações de Navier
Stokes:
 Malha Adaptativa
 Fronteira Imersa
 Volume of Fluid (VOF)
 Level-Set
17
Modelos de “um fluido” 
 Os diferentes fluidos podem ser identificados 
com a função degrau H (Heaviside). 
Fluido 1: H = 1, Fluido 2: H = 0
 
A
adyyxxyxH ')'()'(),( 
n)('n')'()'(),( nsdnsyxH
S
 
A
H=1
n
H=0
S
 
)(
'n)'()'(
tS
dsxxxxH 
y s n
x
 O gradiente de H pode ser avaliado utilizando o teorema 
de divergência 
 introduzindo coordenadas locais, 
tangente (s) e normal (n) à frente
18
Modelos de “um fluido”: 
Tratamento das Propriedades
 Massa específica:
 Equações análogas podem ser escritas para as outras 
propriedades, como viscosidade e propriedades termo-
físicas
)],([),(),( yxHyxHyx o  11 
n)()(),()(),( nyxHyx oo   11
líquidogás
sl
glg
g sg
sólido
gsl











lg
slsg
g
gg
 arccos
 Ângulo de contato
g= tensão interfacial
19
Malha Adaptativa
 Equações de conservação são escritas em um sistema de 
coordenadas curvilíneas móvel.
 Movimento da interface governado pelas condições de 
salto de massa, quantidade de movimento e energia na 
interface.
Fase 1 Fase 2
(2D)  21 Oct 2000 STRFCN(2D)  21 Oct 2000 STRFCN(2D)  21 Oct 2000 STRFCN(2D)  21 Oct 2000 STRFCN
(2D)  21 Oct 2000 STRFCN(2D)  21 Oct 2000 STRFCN(2D)  21 Oct 2000 STRFCN(2D)  21 Oct 2000 STRFCN
 
  ])u)(u[(uu~
u
uuu~
Tr 



p
t
mesh

26
Malha Móvel  Fusão em uma cavidade
(Rocha e Nieckele, 2000)
31
Método de Fronteira Imersa
 As equações de Navier-Stokes são resolvidas em 
uma malha fixa
 Uma frente móvel e deformável é usada para 
marcar a interface
Conhecendo 
informações da frente, 
as direções normais e 
tangenciais são 
facilmente obtidas
32
 Interpolando da malha
 As velocidades da malha fixa são interpoladas 
para serem utilizadas na malha móvel
Os pesos wijk podem 
ser selecionados de 
diferentes formas
ijkijk w 
Método de Fronteira Imersa
33
 Aproximando os termos singulares
 Os valores da frente são distribuídos na malha fixa 
na frente: por comprimento
na malha: por volume
3h
S
wijkijk



 
Método de Fronteira Imersa
34
Métodos de Captura de Interface: 
VOF e Level-Set
00 


 C
t
C
tD
CD
u
 Função marcadora: C
 VOF: fração volumétrica de uma fase
 Level-Set: distância à interface
 Evolução da função marcadora
35
VOF
 Função marcadora: 
 fração volumétrica de uma fase
a
a0
Phase 1
Phase 2
a 0,interfacea
a0
 Excelente em satisfazer a conservação de massa. 
 Dificuldades com falsa difusão.
36
Level-Set
 Função marcadora: 
 Função Distância com Sinal
a
 O campo distância é suave ao longo de todo o domínio, 
inclusive ao redor das interfaces. 
 Problemas em satisfazer conservação de massa.
37
Modelos de “um fluido”
 Conservação de Quantidade de Movimento Linear
  0


u

t
    n)(])u)(u[(uuu np
t
kg



 Tr
uxg 
3
2r pp
nk
k= raio de curvatura
g= tensão interfacial
 Equações de conservação:
 Conservação de Massa:
38
Estimativa da Curvatura
 Level-Set / VOF acoplamento 
 Height-Function
 Reconstructed Distance Function (RDF)
 Kernels suavisado no VOF field
 Campo de VOF ajustado com superficies em 
intervalos quadráticos
 Point-cloud VOF








a
a
k
 CSF (Continuous Surface Force)
a








a
a
gkg n)(n
39
(Melo e Nieckele, 1995)
Movimento ascendente de uma bolha 
através de uma restrição
53
Imagem de uma bolha de 
Taylor e campo de 
velocidade com PIV
(Azevedo, 2005)(Melo e 
Nieckele, 
1995)
Formação de Golfada
 Escoamento água/ar em uma tubulação com 2 in de diâmetro
 solução numérica com VOF (Febres, 2009)
 experimental (Fagundes Netto, 1999)
Calda da golfada Nariz da golfada
Um= 1,8 m/s
Um= 0,6 m/s
Formação de Golfada
 Escoamento água/ar em uma tubulação com 1 in de diâmetro
experimental numérico 
(Fonseca Jr, 2009) VOF (Febres, 2009)
 
 
0.0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
y/
R
W(m/s)
-0.2D Fonseca(2009) Presente
-0.4D Fonseca(2009) Presente
-0.6D Fonseca(2009) Presente
-0.8D Fonseca(2009) Presente
0.0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
y
/R
W(m/s)
-0.2D Fonseca(2009) Presente
-0.4D Fonseca(2009) Presente
-0.6D Fonseca(2009) Presente
-0.8D Fonseca(2009) Presente
VOF 
VOF 
VOF 
VOF 
Um= 0,6 m/s
Formação de Golfada
Um= 0,77 m/s
- 0,8D -0,6 D -0,4 D -0,2D 0,0 D
 Escoamento água/ar em uma tubulação 
com 1 in de diâmetro
57
Bolha ascendente
Re=35
Eo=9
Ca=0,286
We=10
Re=35
Eo=125
Ca=3,571
We=125
Kassar et al, Cobem, 2015
Kassar et al, ICMF, 2016
58
Modelos de Equações Reduzidas
59
Modelos de Equações Reduzidas
 O escoamento em geral é caótico, com a 
exceção de casos muito simples. Uma 
descrição estatística é necessária.
 É necessário definir propriedades médias da 
mistura: médias no volume, na área, médias 
temporais, médias de conjunto, ou uma 
combinação destas.
60
Definição de Médias
 Média temporal:
 Média espacial:
volume área linha

t
dttF
t 
)x,(
1
 
 
)x()x,( dtF
1

A
dAtF
A 
)x,(
1

C
dCtF
C 
)x,(
1
 Média temporal: intervalo de tempo [ t ] deve ser grande o suficiente 
para suavizar as variações locais das propriedades, mas pequeno o 
suficiente quando comparado com o tempo macroscópico do 
escoamento. 
61
Definição de Médias
 Médias no volume da fase  


k
dZtZ k
k
k
1
)(x,
 Fração volumétrica da fase k :


 kka
•Volume:  =1+2 → a1 + a2 = 1
•Fronteira do volume  : S = S1 + S2
• S1 (pontilhada) e S2 são as partes de 
que estão em contato com as fases 1 e 2
• A soma das interfaces separando as 
duas fases dentro de  é Si.
62
Formulação de Médias
 Consequências do processo de média
 suavização das flutuações de forma 
análoga a que ocorre em um escoamento 
monofásico turbulento 
 existência de duas fases, que ocupam 
alternadamente um elemento de volume, 
no mesmo ponto, com uma probabilidade 
adequada para cada fase
63
Modelos de Equações Reduzidas
 Modelos de Dois Fluidos
 Fases separadas, um conjunto de equações de 
conservação para cada fase 
 Modelo de Deslizamento (Drift)
 Modelo intermediário entre os outros dois. Determina o 
escoamento médio, porém, permite deslizamento entre 
as fases
 Modelo Homogêneo
 Pseudo propriedades de um único fluido
O Modelo de Deslizamento e o Modelo Homogêneo podem ser 
obtidos a partir do Modelo de Dois Fluidos
64
Modelos de Equações Reduzidas
 Processo de obtenção do conjunto de equações que 
caracteriza o Modelo de Dois Fluidos
Média Temporal
Navier-
Stokes
• Formulação local instantânea 
para cada fase
• Equações constitutivas/Salto na 
Interface
Modelo de 
Dois 
Fluidos 3D
• Equações médias para 
cada fase
• Equações constitutivas 
e fontes interfaciais
Modelo de 
Dois 
Fluidos 1D
Média Espacial
(seção transversal)

t
dttF
t 
)x,(
1

tA
tk
t
k dAF
A
tF
1
)(x,
65
Equações Médias 3D
Conservação média volumétrica de massa 
  kkkkkk
t
a

a
u
)(



iS
ikk Sdm
1
 kikkkm n)u(u 
fluxo de massa da fase k
através da interface Si
  kkkk
kk
t
a

a
û
)(
k
kk
k



u
û
Média de Favre: 
0
1


N
k
k
kkk ûj a
fluxo volumétrico da fase k ou
velocidade superficial. 
66
Equação média volumétrica de conservação 
de quantidade de movimento linear 
 
kkkkk
kkkk
kkk
t
Mg)σ(
uu
)u(
aa
a

a






 Iu)u(uτ;τIσ kkkkkkkk p
3
2T
Fluido Newtoniano
m
N
k
k MM 
1
Equações Médias 3D
67
Média de Favre: kkkkkk uuuu 
kkkkkkkkk τûûuuûûuu 
Introduzindo a definição de 
flutuação
kkk ûuu 
Equação média volumétrica de conservação 
de quantidade de movimento linear 
     kkkkkkkkkk τûûuu aaa
Equações Médias 3D
68
Equação média volumétrica de conservação 
de quantidade de movimento linear 
)τ()()σ( kkkkkk p aaa
kkk p τIσ 
)τ()σ( kkkkkkkk pp aaaa
kikikkkikkikk p Mτ)û(uM aa
Força de arraste 
generalizada
Equações Médias 3D
69
 
 
kikikkkkikkki
kkkkk
kkkkkk
kkk
pp
p
t
M)()ûu(
g)(
ûû
)û(
aa
aa
aa

a
Equação média volumétrica de conservação 
de quantidade de movimento linear 
 Equações de fechamento: ; ; ;k kiM k ki
Equações Médias 3D
70
Equação média volumétrica de 
conservação de energia
Equações Médias 3D
 
kkkk
kkk
kk
kkkkkk
kkk
E
tD
pD
qh
t
h
a
a
a
aa

a
u:τ
)(
)q(
u
)(

m
N
k
k EE 
1
  kikikkikkikikkkikikk
t
pq
u
hE uτM
ˆ
ûu a

a










2
2
71
Equação média volumétrica de 
conservação de energia
Equações Médias 3D
Introduzindo a média Favre e a definição de flutuação
 
  )ûu(τM)(
)]qq([
û
)(
kkikikki
kk
kikkikik
kk
kk
kkkk
kkkkkk
kkk
tD
D
ppqh
tD
pD
qh
t
h
a
a



aa
aa

a


)τ(uu:τ;û:τ kkkkkkkkkkk
aaa

Dissipação viscosa Fonte de energia turbulenta
72
Equação de Energia Simplificada
 Desprezando: 
 geração de calor
 termos devido aos efeitos mecânicos 
(transferência de calor e mudança de fase dominantes)
 
kikikkkk
kkkk
kkk
qh
h
t
h
a
a

a
)]qq([
û
)(
0
2
1
 

kiki
k
k qh
73
Modelos de Dois Fluidos Isotérmico
 Conservação de massa para cada fase
 Conservação de quantidade de movimento para cada fase
  kkkk
kk
t
a

a
û
)(
 
 
kikikkkkikkki
kkkkk
kkkkkk
kkk
pp
p
t
M)()ûu(
g)(
ûû
)û(
aa
aa
aa

a
74
Modelos de Deslizamento (Drift)
 Conservação de massa
 para cada fase
 uma fase e a mistura, onde a conservação da mistura é 
obtida somando as equações de conservação de cada 
fase
21 ek 
  0


mm
m
t
u     11111111 ûuu
)(



mm ραρα
t
ρα
2221112211 ûûu aaaa mmm
ou 
  kkkk
kk
t
a

a
û
)(
75
Modelos de Deslizamento (Drift)
 Conservação de quantidade de movimento para a mistura
   




iS
immmmmm
mm dSmp
t
)u(ugJuu
)u(
21
1
22112211 τττ; aaaa mm ppp
(desprezando termos de 
correlação cruzada e para 
fluidos incompressíveis)
  12122121 ûûûûJ aam
J é o fluxo de deslizamento (“drift flux”) generalizado
 Modelo para a velocidade de deslizamento
utiluza-se modelos empíricos (Ishii, 1975, Hibiki e Ishii, 2002 e 2003).
 12 ûû 
76
Modelo Homogêneo
 As duas fases escoam com a mesma velocidade: J = 0
 Conservação de massa da mistura
 Conservação de quantidade de movimento da mistura
  mmmmmm
mm p
t



guu
)u(
  0


mm
m
t
u
77
Comentários sobre as Equações 
Reduzidas
 Os modelos baseados na equações reduzidas, são 
baseados nas equações médias temporais
 Necessitam de equações de fechamento para 
avaliar as iterações existentes nas interfaces
78
Modelo de Dois Fluidos 1D
79
Modelo de Dois Fluidos 1D
 O Modelo de Dois Fluidos 1D é extremamente usado na 
simulação de escoamentos bifásicos em dutos
 Ex. Indústria do petróleo, nuclear, etc
 Natureza complexa (3D) do escoamento (ex. regime de 
golfadas)
 Apesar disso, estratégia 1D ainda 
é a mais adequada para a 
simulaçãode longos dutos
 No entanto, é preciso ter extremo cuidado 
 O processo de média leva a perda de informação
 Modelos de fechamento devem ser incorporados
 Efeito crítico sobre o caráter matemático das equações
(bem- ou mal-posto)
80
Modelos de Equações Reduzidas 1D
 Processo de obtenção do conjunto de equações que 
caracteriza o Modelo de Dois Fluidos
Média Temporal
Navier-
Stokes
• Formulação Local 
Instantânea para cada fase
• Equações 
constitutivas/Salto na 
Interface
Modelo de 
Dois 
Fluidos 3D
• Equações Médias 
para cada fase
• Equações 
constitutivas e 
fontes interfaciais
Modelo de 
Dois 
Fluidos 1D
Média Espacial
(seção transversal)

t
dttF
t 
)x,(
1

tA
tk
t
k dAF
A
tF
1
)(x,
Média Espacial
(seção transversal)

tA
tk
t
k dAF
A
tF
1
)(x,
Média Temporal

t
dttF
t 
)x,(
1
1D
81
Modelo de Dois Fluidos 1D
 integrar as equações tri-dimensionais através da seção transversal
 introduzir valores médios apropriados. 
O componente axial da 
velocidade média na área 
ponderada da fase k
fluxo volumétrico da fase k ou
velocidade superficial. 

tA
tk
t
k dAF
A
tF
1
)(x,
k
kk
k
F
tF
a
a
)(x,
 Fração de vazio


a
k
k
k
k
k
kk
k
ju
u
aa
a



kkk uj

a 

2
1
2
1 k
kk
k
k ujj

a
82
Conservação de Massa 1D
 






a

a
tt A
tk
tA
tkkk
kk
t
dA
A
dA
tA
11
)u(
)( 
 Escoamento 1D na direção x: 
 𝑢𝑘𝑦 ≪ 𝑢𝑘𝑥 𝑢𝑘𝑧 ≪ 𝑢𝑘𝑥
𝜕
𝜕𝑡
𝛼𝑘 𝜌𝑘 +
𝜕
𝜕𝑥
𝛼𝑘 𝜌𝑘 𝑢𝑘𝑥 = Γ𝑘
𝜕
𝜕𝑧
~ 0
 Equações de fechamento: Γ𝑘
83
Conservação de Quantidade de 
Movimento Linear 1D
   
  t
A
kikikkkkikkki
t
t
A
kkk
t
t
A
kkkkk
t
t
A
kkkk
kkk
t
dApp
A
dA
A
dAp
A
dA
tA
t
tt
t
 aa
 a aa







a

a
M)()ûu(
gττ
)uu(
u
1
11
1 

 Escoamento 1D na direção x: 
 𝑢𝑘𝑦 ≪ 𝑢𝑘𝑥 𝑢𝑘𝑧 ≪ 𝑢𝑘𝑥
𝜕
𝜕𝑧
~ 0
84
Conservação de Quantidade de 
Movimento Linear 1D
 Termo 
convectivo
t
A
kkkk
t
t
A
kkkk
t
dAuu
xA
dAu
A
tt
 a


 a )()u(
 11
 kkkkt
A
kkkk
t
uu
x
dAu
A
t

a


 a )u(
1
 Parâmetro de distribuição 𝐶𝑢,𝑘 =
𝑢𝑘
2
𝑢𝑘
2
 kkkkkut
A
kkkk
t
uuC
x
dAu
A
t

a


 a ,)u(
1
𝐶𝑢,𝑘 =
𝑢𝑘
2
𝑢𝑘
2
=
𝛼𝑘𝑢𝑘
2
𝛼𝑘 𝑢𝑘
2
=
𝛼𝑘𝑢𝑘
2 𝛼𝑘
2
𝛼𝑘 𝑢𝑘
2
=
 𝛼𝑘𝑢𝑘
2𝑑𝐴 𝛼𝑘𝑑𝐴
 𝛼𝑘𝑢𝑘𝑑𝐴
2
85
o tensão cisalhante que atua na parede do duto
 Fluxo líquido viscoso na direção x
         tkkkkkk
A
kkk
t
dAτ
z
ττ
y
ττ
xA xzxzxyxy
t
xxxx



a


a






a


 τ
1
    
xxxx
t
kkk
t
kwk
t
A
kkk
t
ττ
xA
Sτ
dA
A
a


 a ττ
1
Conservação de Quantidade de Movimento 
Linear 1D
wkτ
    a t
A
kkk
t
dA
A
t
ττ
1
86
 
x
pp
dApp
A
k
kki
d
kkkki
t
A
kkkikikikkkki
t t

a

 aa
)(M)ûu(
)(M)ûu(
1
 Termo interfacial
xkikxik
d
k
τMM a
t
iid
k A
S
M
força cisalhante interfacial total:
o Tensão cisalhante na interface
Conservação de Quantidade de Movimento 
Linear 1D
iτ
87
Conservação de Quantidade de Movimento 
Linear 1D
 
 
 kki
k
t
ii
kkkixkk
kkk
t
kwk
kk
kkkkku
kkk
pp
xA
S
uug
ττ
xA
Sτ
p
x
uuC
xt
u
xxxx


a


a
a





a
a




a
ˆ
,



 Equações de fechamento: 𝐶𝑢,𝑘 ; 𝜏𝑤𝑘 ; 𝜏𝑖
𝑝𝑘𝑖 − 𝑝𝑘 ; 𝑝𝑔𝑖 − 𝑝𝑙𝑖
89
 Conservação de energia
Equações de Conservação 1D
  kikkikkk
t
kwk
kkkkkh
kkk
qhqq
xA
Sq
huC
xt
h
xx
a







 a




a
ˆ
ˆ
,

o Sem transferência de massa e sem difusão axial
o Eliminando as barras para simplificar
𝜕
𝜕𝑡
𝜌𝑘𝛼𝑘 ℎ𝑘 +
𝜕
𝜕𝑥
𝐶ℎ,𝑘 𝜌𝑘𝛼𝑘𝑢𝑘ℎ𝑘 =
𝑞𝑤𝑘𝑆𝑘
𝐴
±
𝑞𝑖𝑆𝑖
𝐴
 Equações de fechamento: 𝐶𝑢,ℎ ; 𝑞𝑤𝑘 ; 𝑞𝑖
90
Modelo 2 Fluidos Isotérmico 1D
𝑢𝑘 = 𝑢𝑘𝑥
 Hipóteses: 
o Sem transferência de massa, isotérmico, 
sem difusão axial
 Eliminando as barras para simplificar
𝜕
𝜕𝑡
𝜌𝑘𝛼𝑘 +
𝜕
𝜕𝑥
𝜌𝑘𝛼𝑘 𝑢𝑘 = 0
𝜕
𝜕𝑡
𝜌𝑘𝛼𝑘 𝑢𝑘 +
𝜕
𝜕𝑥
𝐶𝑢,𝑘 𝜌𝑘𝛼𝑘 𝑢𝑘
2 =
= −𝛼𝑘
𝜕 𝑝𝑘𝑖
𝜕𝑥
+
𝜕𝛼𝑘 (𝑝𝑖𝑘 − 𝑝𝑘)
𝜕𝑥
− 𝛼𝑘𝜌𝑘𝑔𝑥 −
𝜏𝑤𝑘𝑆𝑘
𝐴
±
𝜏𝑖𝑆𝑖
𝐴
91
Modelo Homogêneo Isotérmico 1D
A
S
g
z
p
z
uu
t
u ww
m
mmmmmm 










sen
)()(
0





z
u
t
mmm )(
 Hipóteses: 
o Bifásico, sem transferência de massa, 
isotérmico, sem difusão axial
 Equações de fechamento: 𝜏𝑤
Modelos 1-D de Deslizamento (Drift)
 
0





z
u
t
 aa )( 
0





z
u
t
ggggg aa )(
ou
0





z
u
t
mmm )(
   
z
V
z
u
t
gmggmgggg







 aaa )(
mggm uuV 
 Equação de conservação de massa
 Hipóteses: 
o Bifásico, sem transferência de massa, 
isotérmico, sem difusão axial
Modelos 1-D de Deslizamento (Drift)
 Equação de conservação de quantidade de movimento
z
J
A
S
g
z
p
z
uu
t
u ww
m
mmmmmm










 


sen
)()(
  
m
gggg uuuu
J

aa  
Fluxo de drift
 Equações de fechamento: 𝜏𝑤 ; Vgm =(ug - um) ; ur = (ug - uℓ)
velocidade relativa 
entre fases
94
Co : parâmetro de distribuição: considera o 
efeito de ag e um nos perfis
Vdrif : velocidade de deslizamento
a
j
ug Vgj
 velocidade entre fases:
 velocidade relativa entre a fase gasosa 
e o fluxo volumétrico j = ag ug + aℓ uℓ
 velocidade relativa entre a fase gasosa 
e velocidade média
■ Formulação de Zuber-Findlay (1965):
)( uuu gr 
rggj
ggj
uuuV
juV
 aa 

)(
ou
driftog VjCu 
jCVV odriftgj )( 1
2
gj
m
gg
VJ


a
a 


gj
m
mg Vuu


gj
m
g
g
g
m Vuu


a
a


1

mggm uuV 
Modelos 1-D de Deslizamento (Drift)
95
Análise das Características do Modelo de 
Dois Fluidos 1D
 Segundo Courant e Lax (1949) um modelo é 
considerado "bem-posto" ("Well-posed") se as 
condições de Hadamard são satisfeitas
 A solução existe
 A solução é única
 A solução depende continuamente das condições 
iniciais e de contorno
 Para tal, a análise das características é realizada
96
Análise das Características do Modelo de 
Dois Fluidos 1D
 Linearização do sistema de equações
são matrizes Jacobianas de dimensão 
é um vetor coluna de dimensão
 Características do sistema, são definidas tais que
 reais distintas: sistema hiperbólico
 nulas: sistema parabólico
 complexas: sistema elíptico
"Mal-posto"
97
 Montini (2011)
o Taxa de crescimento das 
perturbações 
o Bem-posto vs. Mal posto
Modelo "Bem-posto" vs. "Mal-posto"
 Carneiro (2006)
o Transição escoamento 
estratificado -> golfadas
o Frequência das 
golfadas para 
casos bem e mal-
postos
98
Escoamento Estável vs. 
Instável
99
Estabilidade vs. Bom-Condicionamento
 Escoamento 
estratificado e golfadas
 Região estável (bem 
posto)
 Região instável e 
bem–posto 
(golfadas!) 
 Região mal-posta 
(golfadas, 
comportamento não 
físico)
100
o Altera o fluxo de quantidade de 
movimento
o Escoamento monofásico:
• Laminar: 𝐶𝑢,𝑘=4/3=1,33
• Turbulento (lei de 1/7): Cu,k=1,02
(Febres, 2010)
o Escoamento multifásico:
• 𝐶𝑢,𝑘 geralmente empírico, pode depender de 
velocidades, geometria e frações volumétricas
 Parâmetro de Forma/Distribuição
o Geralmente considera-se 𝐶𝑢,𝑘 = 1
o 𝐶𝑢,𝑘 corrige o fato de que o perfil de velocidades não é 
uniforme (ex. Escoamento estratificado)
Modelos de Fechamento
101
 Tensão Cisalhante das fases com a parede e na interface
Modelos de Fechamento
kkkkwk uuf ˆˆ
2
1
fk: fator de atrito, determinado empiricamente em função do número 
de Reynolds da fase k
1212
2
1
uuuufτ iii ˆˆˆˆ 
 Difusão axial frequentemente desprezada
 Salto de pressão na interface:
 Tensão superficial: g
 Curvatura:k
kg )( iig pp
g
102
 Diferença entre a pressão média em cada fasee 
pressão interfacial
Modelos de Fechamento
o É possível demonstrar que, se a pressão média em cada fase for 
constante e igual a pressão interfacial, o modelo é mal-posto sob 
qualquer condição ( exceto ) 
o Escoamento horizontal ou levemente inclinado: Banerjee e Chan 
(1980) propuseram a consideração de uma distribuição hidrostática de 
pressão 

 𝜕𝛼𝑘(𝑝𝑘 − 𝑝𝑘𝑙
𝜕𝑥
= 𝛼𝑘𝜌𝑘𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝛽
𝜕ℎ𝑙
𝜕𝑥
103
 Diferença entre a pressão média em cada fase e 
pressão interfacial
Modelos de Fechamento
o Escoamento vertical:
 𝜕𝛼𝑘(𝑝𝑘−𝑝𝑘𝑙
𝜕𝑥
Reference Formulation
Model 1 
(Fowler and Lisseter, 1992)
∆ 𝑃𝐿𝑖 = 𝑊𝑓 𝜌𝐿 𝑈𝐿 − 𝑈𝑤𝑎𝑣𝑒
2
𝑈𝑤𝑎𝑣𝑒 = 𝑋 𝑈𝐿, 𝑋=const.
Model 2 
(Gonzalez, Nieckele and Carneiro, 
2016)
(Berna et al., 2014)
∆ 𝑃𝐿𝑖 = 𝑊𝑓 𝜌𝐿 𝑈𝐿 − 𝑈𝑤𝑎𝑣𝑒
2
𝑈𝑤𝑎𝑣𝑒 = 𝑈𝑤𝑎𝑣𝑒(𝑈𝑠𝐿, 𝑈𝑠𝐺 , 𝜌𝐿, 𝜌𝐺,𝜇𝐿, 𝜇𝐺,𝜎)
Model 3 
(Bestion, 1990)
∆ 𝑃𝐺𝑖 = ∆ 𝑃𝐿𝑖 = 1.2 𝜌𝑚 𝑈𝐿 − 𝑈𝐺
2
104
Outros métodos de regularização
 Massa virtual
 Difusão Artificial
 Equação de Quantidade de Movimento
 Equação da Conservação de Massa
Silva et al, 2013
Escoamento em Horizontal
Anular
Estratificado e Golfada 
com troca térmica
Simões et al, 2014
Golfada
Ondulado
Óleo viscoso + gás denso 
Água + ar
Espessura 
do filme
Escoamento Vertical
Modelo 1
Gonzalez, 2016
Modelo 2
Experimental (Zhao et al, 2013)
Anular Golfada
Inácio, 2012
Água + ar
107
Comentários Finais
 Diferentes tipos de modelos podem ser utilizados 
dependendo do tipo de aplicação
 Modelos de “um fluido”:
 Apresentam uma demanda computacional maior
 Envolvem um grau menor de hipóteses simplificadoras
 É necessário determinar com precisão da posição da 
interface, raio de curvatura para obtenção de solução de 
qualidade
108
Comentários Finais
 Modelos baseados na equações médias:
 são mais simples e de solução mais rápida.
 Possuem diferentes graus de aproximação e necessitam 
de equações de fechamento para avaliar as iterações 
existentes nas interfaces
 Fechamento 1D possui profundo efeito no caráter 
matemático das equações do Modelo de Dois Fluidos 1D
 Se manifesta, por exemplo, na impossibilidade de se 
obter uma solução independente da malha
 É preciso ter extremo cuidado: softwares comerciais 
frequentemente "mascaram" os efeitos de um modelo 
mal-posto pois malhas grosseiras são utilizadas
109
Obrigado !
Agradecimentos:
João N.E. Carneiro (Sintef do Brasil)