SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

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Matemática nas migrações e em fenômenos cotidianos
Seção 3
Transposição didática: sistema de coordenadas 
cartesianas, posição e deslocamento no plano, 
construções com régua e compasso, múltiplos e divisores
• Conhecer e produzir situações didáticas envolvendo os conceitos: sistema de coordena-
das cartesianas, posição e deslocamento no plano, construções com régua e compasso, 
múltiplos e divisores e todos os aspectos relevantes para o domínio e a operacionalização 
deste conceito pelos alunos em situações cotidianas.
• Retomar as noções de currículo em rede, campos conceituais e conhecimento em ação 
presentes em diferentes situações de aprendizagem.
• Rever, no caso específico do sistema de coordenadas cartesianas, a possibilidade de 
explorar os conceitos que fazem parte de um mesmo campo conceitual.
• Compreender a Educação Matemática integrada à formação global do aluno, principal-
mente em relação à habilidade de localizar-se no espaço.
• Analisar propostas de trabalho que exijam do aluno o uso do instrumento de Geometria 
como uma alternativa na resolução de situações-problema.
Objetivo
da seção
Nesta Seção, serão consideradas atividades que deverão ser desenvolvidas em sala 
de aula, envolvendo os conceitos de: sistema de coordenadas cartesianas, posição e des-
locamento no plano, construções com régua e compasso, múltiplos e divisores.
Para iniciarmos o nosso trabalho, vamos refletir sobre alguns pontos relevantes em 
nossa proposta didática que devem ser considerados no planejamento de atividades em 
sala de aula. 
Aprendendo sobre Educação Matemática
Currículo em rede, campos conceituais e conhecimentos significativos
• Você conseguiria fazer um mapa conceitual dos conceitos relacionados ao sistema 
de coordenadas cartesianas?
Quando você trabalha com conceitos que fazem parte do mesmo campo concei-
tual, isto pode facilitar a compreensão, pois permite ao aluno visualizar a inter-relação 
entre os conceitos.
Por exemplo: como vimos nas Atividades propostas na Seção 1, em uma situação 
em que você exija do aluno a mobilização de conceitos relacionados ao sistema de 
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coordenadas cartesianas, é possível explorar múltiplos conceitos e as relações entre 
eles, tais como: retas perpendiculares ao traçar os eixos ortogonais, retas paralelas, 
localização e deslocamento no plano como reflexão e translação, etc.
• Ao contrário de trabalhar com conteúdos estanques e compartimentados torna-se 
mais produtivo propor situações em que vários conceitos interligados podem ser 
explorados.
• Explorar conceitos em rede permite que o aluno resgate conteúdos que foram traba-
lhados e que talvez não tenham sido bem compreendidos e, no momento em que 
precisam ser mobilizados em ação, ganham um novo significado.
Por exemplo, o trabalho com as coordenadas cartesianas sobre a superfície de 
um mapa possibilitará ao aluno compreender melhor as coordenadas geográficas. E, 
ainda, para construir a planta de uma casa, observando um modelo como no caso do 
Bruno, estudado nesta Unidade, o aluno terá a oportunidade de fazer o transporte de 
ângulos e segmentos, e esta atividade poderá adquirir um novo significado.
Nesta Seção, vamos discutir algumas possibilidades de trabalho com o sistema de 
coordenadas cartesianas, posição e deslocamento no plano, construções com régua e 
compasso, múltiplos e divisores.
Professor, algumas sugestões aqui apresentadas irão contribuir para a elaboração do 
seu planejamento de aula. Lembre-se de que é importante articular múltiplos aspectos dos 
diferentes conteúdos, o que ampliará a compreensão por parte do aluno.
Um excelente recurso didático que poderá enriquecer as suas aulas é a utilização 
do Logo, que é uma linguagem de programação com a qual se constroem programas. 
Estes geram desenhos geométricos na tela do computador. Ao construí-lo, o aluno or-
ganiza o pensamento e desenvolve o seu raciocínio lógico, além de aprender conceitos 
básicos de Geometria. Este programa poderá ser utilizado na construção de ângulos. É 
gratuito, e você poderá baixá-lo no endereço: www.mat.ufrgs.br/~edumatec/ (site de 
um grupo de pesquisa da Universidade Federal do Rio Grande do Sul).
Sistema de Coordenadas Cartesianas
É importante considerar que, ao se trabalhar este conceito, deve-se buscar situações de 
aprendizagem que levem o aluno a resolver problemas de deslocamento de pontos no 
espaço, reconhecendo, nas noções de direção e sentido de ângulo, de paralelismo e de 
perpendicularismo, elementos fundamentais para a constituição de sistema de coordena-
das cartesianas4.
Sabe-se que em situações cotidianas a falta de habilidade em ler e utilizar efetivamente 
guias, mapas e plantas pode causar grandes dificuldades, e estas situações em algumas 
propostas ficam distantes da sala de aula. Por exemplo, para entender fatos e notícias 
veiculados em televisão, jornais e revistas, é essencial localizar pontos do mapa do Brasil 
e do mundo. Para acompanhar o trajeto de um ônibus e decidir qual a melhor opção de 
transporte, de acordo com a sua necessidade, é importante saber ler um guia.
4. Retirado dos PCN.
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deslocamento no plano, construções com régua e compasso, múltiplos e divisores
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Na exploração de diferentes situações em que os mapas representam macroespaços 
ou representam uma localização mais específica, o trabalho com a construção da planta 
de um bairro ou de uma quadra poderá tornar significativo para o aluno o estudo das 
coordenadas cartesianas, e, como vimos, este levará também uma maior compreensão 
das coordenadas geográficas. 
A construção da planta de uma casa, como vimos, tanto contribuirá para o desenvol-
vimento de habilidades de transporte de ângulos e segmentos, quanto para a observação 
de relações entre tamanhos, proporcionalidade entre medidas, o que remeterá à noção e 
à utilização do conceito de escala, além de medidas de área, volume e comprimento. 
Ao se pensar no sistema de coordenadas cartesianas representado por uma malha 
quadriculada, existe a possibilidade de exploração de atividades que envolvem as trans-
formações de uma figura no plano. De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais 
e com a nossa experiência em sala de aula, isto permite o desenvolvimento de uma Ge-
ometria mais dinâmica, com figuras em movimento, sendo possível realizar a reflexão, a 
translação e a ampliação de figuras. 
Atividade 20
Peça aos alunos que pesquisem, em livros de Geografia, jornais e revistas, as cidades 
das regiões Norte e Nordeste nas quais ocorrem os maiores índices de casos de emi-
gração, ou seja, em que as pessoas mudam para outros estados em busca de melhor 
qualidade de vida.
Com estes dados, peça a eles que construam uma tabela e elaborem situações-
problema pensando nas dificuldades enfrentadas pelos migrantes: o deslocamento, 
a localização em outro município, a construção de um novo lugar para morar, entre 
outros problemas.
Construção com régua e compasso
É comum, ainda nos dias atuais, encontrar, em algumas propostas de trabalho, certa 
negligência com relação ao pensamento geométrico, principalmente quando se trata da 
utilização de ferramentas para a construção de ângulos e outras figuras planas. Sabe-se 
que, pelo fato de a Geometria ter sido colocada em segundo plano nas propostas pedagó-
gicas, alguns de nós, professores, não temos familiaridade com esta parte da Matemática 
e que, por este motivo, não nos sentimos à vontade para explorar estes conteúdos em 
sala de aula. 
É preciso então que busquemos formas de superação destas lacunas em nossa 
formação e que enfrentemos o desafio de criar e selecionar atividades que venham 
a ser significativas para o aluno. A construção de figuras com régua e compasso irá 
contribuir parao desenvolvimento do pensamento geométrico, na medida em que 
auxiliará na compreensão de conceitos geométricos, de propriedades de figuras geo-
métricas, no desenvolvimento de habilidades de traçado de triângulos, quadriláteros e 
outros polígonos e no transporte de ângulos e segmentos. Essas atividades estimulam 
a criatividade e desenvolvem atitudes de organização, de limpeza e de valorização da 
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beleza e da harmonia. O livro de 7a série de Luiz Roberto Dante, da Coleção Tudo é 
Matemática, apresenta algumas atividades interessantes no que se refere a construções 
geométricas.
Atividade 21
Peça para os alunos criarem diferentes tipos de compassos com material de sucata.
Múltiplos e divisores
É importante que o trabalho de múltiplos e divisores não fique restrito à apresentação 
de diferentes técnicas ou de dispositivos práticos que apenas conduzem o aluno a 
encontrar mecanicamente o m.m.c e o m.d.c entre dois números naturais, sem, no 
entanto, realmente compreender em que situações-problema esses conceitos podem 
ser utilizados.
A idéia de múltiplos e divisores deverá ser colocada por meio de situações-pro-
blema, considerando que estes conceitos são uma ampliação do campo multiplicativo. 
É importante possibilitar a descoberta de relações e de regularidades que ampliam a 
compreensão acerca dos números.
Em situações-problema contextualizadas, os alunos poderão perceber padrões 
e regularidades de seqüências, chegando à seqüência dos múltiplos de um número e 
às primeiras generalizações.
Atividade 22
Professor, estimule os alunos a inventarem seqüências de múltiplos e a fazerem generali-
zações. Traga essas produções para a sessão presencial.
Resumindo
Retomamos as noções de currículo em rede, campos conceituais e conhecimento 
em ação presentes em diferentes situações de aprendizagem, considerando que 
articular múltiplos aspectos dos diferentes conteúdos ampliará a compreensão por 
parte do aluno. 
Analisamos algumas propostas de trabalho que solicitam do aluno o uso do instru-
mento de Geometria como uma alternativa na resolução de situações-problema.
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Vimos ainda que:
• É importante propor situações de aprendizagem que levem o aluno a resolver proble-
mas de deslocamento de pontos no espaço, reconhecendo, nas noções de direção e 
sentido de ângulo, de paralelismo e de perpendicularismo, elementos fundamentais 
para a constituição do sistema de coordenadas cartesianas.
• A construção de figuras com régua e compasso contribui para o desenvolvimento do 
pensamento geométrico, pois auxilia na compreensão de conceitos, de propriedades 
de figuras, no desenvolvimento de habilidades de traçado de triângulos, quadriláteros 
e outros polígonos e no transporte de ângulos e segmentos. 
• Os conceitos de múltiplos e divisores são uma ampliação do campo multiplicativo. 
Situações–problema envolvendo estes conceitos possibilitam a descoberta de relações 
e de regularidades que ampliam a compreensão acerca dos números.
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Leituras sugeridas
MONTEIRO, A; POMPEU Júnior, G. A Matemática e os temas transversais. São Paulo: 
Moderna, 2001 – (Educação em pauta: temas transversais).
O livro traz algumas reflexões sobre transversalidade, ensino de Matemática, Ciência e 
Cultura. Aborda questões como: O que significa relacionar a Matemática ao cotidiano? 
O que se entende por cotidiano? Qual a relação entre a Etnomatemática e a proposta de 
transversalidade? Os autores apresentam algumas sugestões de projetos, onde colocam 
em prática a Modelagem Matemática, explorando conexões entre a Matemática e outras 
áreas de conhecimento.
ROSA, E. Em busca das coordenadas. Coleção A descoberta da Matemática. 11a ed. São 
Paulo: Ática, 2001.
O livro conta a estória de alguns amigos que fazem uma viagem espacial e que, para 
conseguir voltar para casa, usam as coordenadas cartesianas. É muito interessante e inclui 
resumos dos conceitos matemáticos. Toda a estória é ilustrada com desenhos coloridos, 
apresenta dicas e curiosidades sobre a Matemática, além de trazer um encarte com ati-
vidades e desafios.
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