Resumo da Educacao Matemática 2 Univesp - 5º semestre

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SEMANA 1
Educação Matemática II
Duas percepções parecem tem contribuído para o surgimento da representação da Educação Matemática como campo autônomo de pesquisa:
• Ensino estratégico para as práticas bélicas.
• Importância para o desenvolvimento econômico de uma nação.
	Concepções sobre o ensino da Matemática no Brasil
	Tendências
	Concepção de Matemática
	Concepção de ensino-aprendizagem
	Professor
	Aluno
	Formalista Clássica
	A-histórica
Estática
Dogmática
Idealista (ideias matemáticas existem independentes do homem).
Existe num mundo ideal
	Aprendizagem por memorização e repetição.
Centrado no professor.
Bem dotados intelectualmente e economicamente. 
Ênfase nas estruturas internas da matemática.
Livresco.
	Professor transmissor e expositor de conteúdos
	Passivo
	Empírico-Ativista
	Idealista (ideias matemáticas são obtidas por descobertas: existem no mundo físico de onde são extraídas).
	Parte dos interesses dos alunos.
Atividades em grupo.
Material didático.
Ambiente estimulante (uso dos sentidos)
Manipulação e visualização.
Aprende-se fazendo.
Ênfase nas relações da Matemática com as outras ciências empíricas e com o cotidiano.
Valoriza o processo de aprendizagem.
	Orientador/Facilitador
	Ativo/Centro da aprendizagem
	Formalista -Moderna
	Visão internalista da matemática/ Autossuficiente
	Centrada no professor/Ênfase nas estruturas algébricas/ Uso de linguagem formal/ Rigor nas demonstrações/ Formação no especialista em matemática ( e não do cidadão)/Influências do Movimento da Matemática Moderna.
	Professor expositor e rigoroso.
	Aluno passivo a maior parte das vezes
Reprodutor
	Tecnicista
	Formalista Estrutural/ Matemática pela Matemática/ Autossuficiente
Neutra, sem relação com interesses sociais e políticos.
	Centrado nos objetivos instrucionais, nos recursos e nas técnicas de ensino. Conteúdos como informações, regras e macetes.
Formar para ser útil à sociedade.
Ênfase nas mudanças comportamentais.
Ênfase nas tecnologias de ensino.
Início da era da informática aplicada à educação.
Treino de habilidades técnicas.
	Professor executor do que é proposto por especialistas.
	Aluno executor do que é proposto por especialistas.
	Construtivista
	Matemática é uma construção humana, constituída por estruturas e relações abstratas entre formas e grandezas reais e possíveis.
Conhecimento matemático não se produz isoladamente pelo sujeito (o mundo físico também é fonte do conhecimento matemático).
Conhecimento matemático se dá na ação/interação/reflexão do homem com o meio.
	Construção das estruturas do pensamento lógico-matemático
Aprender a aprender
Uso de materiais concretos
Prioriza-se o processo
Valoriza o erro como potencial para a aprendizagem
Foco no aluno
	Professor orientador/mediador.
Está junto do aluno
	Foco da aprendizagem no aluno/ Aluno ativo
	Sócioetnoculturalista
	- arte ou técnica de explicar, conhecer e entender diferentes contextos.
O conhecimento matemático só tem significado em um grupo cultural.
- saber prático produzido histórico culturalmente.
	- Ensino a partir de problemas da realidade.
- Relação dialógica entre professor e aluno.
- Não concebe a existência de um currículo preestabelecido e comum.
	- Em diálogo com o aluno.
	- Em diálogo com o professor. 
- Tem a iniciativa no diálogo.
	Histórico-Crítica
	Saber matemático não é pronto, é um saber vivo, dinâmico e que vem sendo construído historicamente a partir de estímulos externos e internos.
	Formação cidadã
O aluno deve conseguir atribuir significado e sentido às ideias matemáticas, e sobre elas fazer relações, justificar, criar.
	Postura crítica e reflexiva diante do saber escolar, do processo de ensino-aprendizagem e do papel da escola.
	Ativo
	Sociointeracionista-semântica
	É um texto ou discurso com linguagem própria, constituída historicamente de símbolos.
	O processo de significação é essencial no ensino e aprendizagem
Linguagem é constituinte do pensamento.
	O professor é um planejador de atividades significativas/um mediador
	Ativo.
	Fundamentos e práticas do Ensino da Matemática
	1950
	• A educação matemática se estabeleceu como prática social ao longo da Guerra Fria.
	1767 -1776 - 1789
	• Durante a Revolução Industrial (1767), Americana (1776) e Francesa (1789), as preocupações de educadores, psicólogos com o ensino da matemática foram intensificadas.
	1770 a 1820
	• Profissionalização do matemático e do professor de matemática; criação da disciplina escolar matemática; criação de pesquisa matemática na Europa.
• Matemática como núcleo fundamental de formação de especialistas (militares)
• Raízes militares na educação brasileira.
	Transição do século XIX para o XX
	• Educação matemática como área prioritária.
	1895
	• Reação contra o Formalismo por John Dewey. Defendia relação cooperativa entre aluno e professor e integração entre as disciplinas.
	1908
	• Intuição geométrica e aritmética, matemática com bases psicológicas e menos sistemáticas – grande passo para emergência do campo da educação matemática.
	1970
	· Trabalhar por temas e ideias-chave (projeto)
	1980
	· A denominação “Filosofia da Educação Matemática”.
· Projeto de trabalho e construtivismo.
· Movimento Educação Matemática Crítica.
	1991
	• Paul Ernest distingue quatro conjuntos de problemas como os mais relevantes para a Filosofia da Educação Matemática:
· Temas da filosofia da matemática: o que é matemática e como podemos explicar sua natureza? Quais filosofias da matemática foram desenvolvidas?
· Questões sobre a natureza da aprendizagem.
· Perguntas sobre o objetivo da educação.
· Questões sobre o ensino da matemática, enfocando aquelas de seus fundamentos.
	1996
	• Ernest toma o construtivismo social e especifica os modos pelos quais ele sustenta concepções e práticas da Educação Matemática nas quais a construção do conhecimento é entendida primordialmente em suas dimensões sociais.
Filosofia da Educação Matemática
	Filosofia da Educação Matemática
Os fundamentos da Filosofia da Educação Matemática trazem aspectos da Filosofia, Filosofia da Educação e Filosofia da matemática.
	Da Filosofia
	O pensamento analítico, reflexivo, sistemático e universal. Iluminada pelas grandes perguntas de caráter: 
- ontológico – o que existe na educação matemática?
- epistemológico – como se conhece isso que existe? 
- axiológico – o que vale isso que existe, desse modo que existe?
	Da Filosofia da Educação
	- Análises e reflexões às situações específicas de ensino e aprendizagem (ensino, aprendizagem, escolarização, avaliação, políticas públicas da educação).
- os procedimentos assumidos para trabalhar esses temas e o olhar da perspectiva da Filosofia da Educação Matemática serão sempre da perspectiva daquele que aprende.
	Da Filosofia da Matemática
	- Traz questões sobre os conteúdos matemáticos, pois no campo da matemática não tem um só modo de pensar a matemática. Há várias maneiras de produzir o conteúdo matemático.
	Filosofia da Educação Matemática
	- Através da influência dessas vertentes acima, constrói seu modo de argumentar, de articular ideias, de investigar, de agir na realidade educacional, de expressar seu pensamento por meio de uma linguagem apropriada ao seu universo de questionamento.
	O que cabe à filosofia da educação matemática?
	- Analisar e refletir sobre as propostas e ações educacionais no tocante ao ensino e à aprendizagem da matemática, nos diferentes contextos. 
- Analisar criticamente as bases que organizam os currículos, as propostas pedagógicas.
- Esclarecer os elementos que constituem a Educação Matemática. Como a matemática se manifesta em uma concepção construtivista? Como a matemática se manifesta na concepção tecnicista? 
- Estabelecer uma relação entre a prática e a teoria. O filósofo analisa o que está acontecendo na prática; teoriza sobre isso e ao teorizar sobre isso retorna para a prática. 
Educação Matemática Crítica
Abordagem teórica de Ole Skovsmove (2000, 2008, 2014)
· Na década de 1980, surge o movimento da Educação Matemática Crítica, que se preocupa sobretudocom os aspectos políticos da educação matemática: A quem interessa que a educação matemática seja organizada dessa maneira? Para quem deve estar voltada? 
· Educação Matemática Crítica (EMC) – preocupa-se com aspectos políticos da Educação Matemática, suas discussões giram em torno da questão da democracia, pontos chaves que estão relacionados com problemas existentes fora do universo da Educação.
· Objetivo da Educação Matemática Crítica: “discutir Educação Matemática como parte de uma tentativa democrática em uma sociedade altamente tecnológica” (PASSOS, 2008, p. 41).
· Em constante mutação e capaz de contribuir com a transformação social, para tanto, preconiza a emancipação humana e a prática cidadã crítica.
· Ensino capaz de fornecer subsídios para o desenvolvimento profissional, humano e social.
· Trabalhar a disciplina sob a perspectiva da realidade social das escolas, professores e alunos, priorizando a investigação e a criatividade e se contrapondo às práticas mecanizadas.
· Um olhar crítico sobre os modelos matemáticos pode motivar os alunos a tomar decisões no momento da resolução dos problemas, reconhecendo os componentes históricos, sociais e culturais neles implícitos.
· Se contrapõe às concepções que enxergam a matemática como um conjunto de técnicas e procedimentos, ao formalismo ou à ideia de verdades absolutas atemporais e inquestionáveis.
· Concepção de matemática em toda parte, através da prática social, dos utensílios à disposição no contexto social e no aparato tecnológico.
· Rompe com o entendimento de que a matemática é infalível e se aproxima das concepções falibilistas, na medida em que admite que é uma ciência que pode ser questionada e ressignificada pelos sujeitos e pelas sociedades. 
· O pensar a realidade, vivendo-a, é o ponto de referência do que chamam de análise crítica, reflexiva e abrangente, necessária ao que comumente denomina-se ação/reflexão/ação.
Educação, Matemática e Linguagem: esboço de um exercício em Filosofia da Educação Matemática.
Linguagem e textos matemáticos
• Compreender as diferentes formas de linguagem, tanto na produção do matemático, como na atuação do professor de matemática é central para a Filosofia da Educação Matemática.
• Na perspectiva da linguagem matemática, pesquisas evidenciam dificuldades de interpretação dos alunos e dificuldades dos graduando da área de exatas em acompanhar essa linguagem.
• O processo de ensino e de aprendizagem de Matemática envolve práticas, conceitos, abordagens e tendências. Esses aspectos exigem um tratamento filosófico que, alimentando as ações a serem efetuadas, pode, cada vez mais, aprofundar e ampliar as visões.
• Linguagem gestual, pictórica (um sistema que representa objetos e ideias por meio de um esboço gestual que imita suas características mais marcantes).
• Questão escrita muito forte.
• Texto matemático é essencial para caracterizar tanto o discurso científico da Matemática quando o pedagógico (livro didático). Manifestação da linguagem matemática formal nos textos; e tem estilo, gramática (lógica) e símbolos próprios.
Linguagem da produção do matemático
• O profissional publica o resultado de seu estudo, não problematizando caminhos da produção daquele conhecimento.
• Comunica-se conhecimento em estado nascente.
• Circula em grupos restritos, com formas de ação específicas e cifradas.
• Produção, discussão, comunicação em textos especializados - competência de conteúdo e domínio de linguagem especializada.
• A função do texto é a divulgação.
Linguagem de ensino matemático
• O professor comunica as ideias matemáticas produzidas pelo outro. Trabalha com uma Matemática já solidificada.
• Não são transmitidos os caminhos da produção daquele conhecimento.
• No campo educacional, o conteúdo precisa fazer sentido, precisa ter uma necessidade de uso mais prática dessa aprendizagem.
• Se dá em diversas situações de ensino e aprendizagem, incluindo a hegemônica – a escolarização formal.
• A comunicação é plural. Interagem posturas, didáticas, metodologias, textos escritos e falados.
• A função do texto é a aprendizagem
Interpretação de textos matemáticos
A hermenêutica (interpretação do texto) na formação do professor
- Transcender uma postura técnica para uma postura crítica frente ao texto matemático (meandros do texto, suas teias de produção, sua gramática, exigências de uma comunidade que se manifesta no texto, o que cerca o texto, não só o conteúdo).
Crítica à abordagem dedutiva e formal como proposta pedagógica.
Na abordagem dedutiva, o discurso científico desliza para o pedagógico e isso contribui para um ensino lógico, formal, sem espaço para criatividade, intuição, tentativas e erros. O problema disso, é que as abordagens mais modernas de ensino defendem que a prática pedagógica da matemática precisa ter espaço para a experimentação, para tentativas e erros, intuição, etc. Precisa ser menos formal e conservadora, e lembrar que no ensino da matemática não tem verdade absoluta, pois podem existir vários caminhos para o mesmo resultado.
Uma opção para isso seria a Etnoargumentação:
- A prática pedagógica da Matemática não é só eurocêntrica, pois existem outros povos que produziram e sistematizaram suas matemáticas.
- Como compreender as formas de argumentação relativas aos conteúdos matemáticos que ocorrem
em salas de aula?
- Programa Etnomatemática - não parte de um referencial de racionalidade e sim de outros sistemas de construção de verdades.
Modos de ver e conceber a educação matemática
Alguns modos de ver e conceber a educação matemática no Brasil
· O estudo das relações que envolvem a tríade aluno-professor-saber matemático é hoje reconhecido como um dos principais projetos de investigação em Educação Matemática.
· Essa investigação tem como eixo fundamental a transformação qualitativa, ainda que nem sempre imediata ou direta, mas o conceito de qualidade do ensino é relativo e modifica-se historicamente sofrendo determinações socioculturais e políticas.
Diferentes modos de ver e conceber
· Rigor e formalização dos conteúdos mat. trabalhados na escola.
· Emprego de técnicas de ensino e do controle do processo ensino-aprendizagem com o propósito de reduzir as reprovações.
· Uso da matemática ligada ao cotidiano ou à realidade do aluno.
· Colocar a Educação Matemática a serviço da formação da cidadania.
SEMANA 2
Alfabetização Matemática
BNCC
· O conhecimento matemático, de acordo com a BNCC, é essencial na educação básica seja por sua grande aplicação na sociedade contemporânea, seja pelas suas potencialidades na formação de cidadão críticos, cientes de suas responsabilidades sociais. Assim, nosso compromisso no Ensino Fundamental é com o desenvolvimento do letramento matemático.
PNAIC
· O Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa é um compromisso formal assumido entre Governo Federal, Distrito Federal, estados, municípios e sociedade de assegurar que todas as crianças estejam alfabetizadas até os 8 anos de idade, ao final do 3.o ano do Ensino Fundamental.
O que é letramento matemático
· Um instrumento para a leitura do mundo, uma perspectiva que supera a simples decodificação dos números e a resolução das quatro operações básicas, ampliando assim a tradicional tríade ler-escrever-contar. É a capacidade individual de formular, empregar e interpretar a matemática em uma variedade de contextos.
Qual seu papel?
Contribuir para o raciocínio matemático e a utilização de conceitos, procedimentos, fatos e ferramentas matemáticas para descrever, explicar e predizer fenômenos.
“Isso auxilia os indivíduos a reconhecer o papel que a matemática exerce no mundo e para que cidadãos construtivos, engajados e reflexivos possam fazer julgamentos bem fundamentados e tomar as decisões necessárias.”
Alfabetização Matemática
· Como o compromisso do 1º ciclo do EF1 é com a alfabetização, e os textos que circulam na sociedade são marcados por elementos de quantificação, ordenação, medição e organização de espaços e formas, é preciso trabalhar também com a alfabetização matemática que proporcionanoções necessárias para aprender a ler e escrever. 
· Exemplos das ideias matemáticas na composição dos textos:
· Quantidade que informa o tamanho de coleções; Pontuação em jogos e certames esportivos; horários e datas; Medidas de ingredientes de uma receita, medidas de seu próprio corpo. 
O que é alfabetizar matematicamente?
· Alfabetizar matematicamente é ensinar a escrever e ler os números, gráficos, tabelas, entre outras noções, e suas relações com as práticas sociais. Assim a criança aprende como funciona os modos de organização, descrição, apreciação e análise adotados por nossa sociedade, proporcionando assim desenvolvimento da sua capacidade de análise, argumentação e intervenção em situações da vida real.
· Além do ambiente escolar, as crianças já vivenciam situações de letramento em outros ambientes, por isso a ação pedagógica deve aproveitar essa vivência, trazendo esse conhecimento para a sala de aula e problematizando essas situações.
· Para promover uma aprendizagem significativa e desenvolver os processos de argumentação e comunicação matemática dos alunos, devem-se explorar diferentes tipos de texto e estimular o indivíduo a pensar, observar, relacionar, perguntar e argumentar, individualmente ou em grupos, com um adulto por perto interagindo e ajudando-os a organizar seus conhecimentos e descobertas, de modo a favorecer o estabelecimento de conjectura, a formulação e a resolução de problemas em uma variedade de contextos, utilizando conceitos, procedimentos, fatos e ferramentas matemáticas. 
Direitos e objetivos de aprendizagem e desenvolvimento: a Matemática como instrumento de formação e promoção humana
· A insuficiência de aprendizado das crianças brasileiras da escola pública está na raiz da desigualdade e da exclusão, problema a ser enfrentado com ações políticas de estado que extrapolem mandatos ou condições econômicas vigentes.
· O PNAIC e Dallari considera direito da criança as necessidades essenciais ao ser humano, que podem mudar de acordo com as exigências sociais do momento histórico. E, de acordo com a PNAIC, o momento histórico atual corresponde ao reconhecimento da cidadania, pressupondo a vigência de um Estado Democrático de Direito, para tanto, compreendendo a educação como fator determinante.
· A definição de Direitos de Aprendizagem para o Ciclo de Alfabetização inclui várias ações do governo brasileiro no âmbito das políticas públicas para educação. Como pilar desse movimento, destaca-se o Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa, firmado entre o Governo Federal, Distrito Federal, Estados e municípios, com o objetivo de alfabetizar as crianças na idade certa. 
· A definição de direitos e objetivos de aprendizagem também se insere em num movimento que compreende a educação escolar como uma ferramenta para mudança social. Por isso assumimos o papel transformador da escola, o de desenvolver a reflexão crítica sobre a realidade e o exercício consciente da cidadania, apropriação criativa do saber socialmente relevante e compromisso com a transformação social. 
· O saber matemático contém elementos que ajudam o indivíduo a se ver no mundo, a compreender a realidade natural e social na qual está inserido e a se colocar de forma ativa nas relações sociais. Além disso, tem importância no desenvolvimento e no uso de tecnologias, as quais têm funcionado como um fator importante no estabelecimento e na manutenção de desigualdades. Por isso, para superar essas desigualdades e o indivíduo praticar o exercício pleno da autonomia e da soberania, é essencial a apropriação democrática dos conhecimentos matemáticos.
Esse clamor pela melhoria da qualidade de ensino têm dois pressupostos:
· Demanda por mão de obra e todas as relações de emprego atreladas a esse aspecto. 
· Urgência em garantir direitos básicos de aprendizagem pode estar relacionada à posição que o Brasil está assumindo no contexto internacional, como destaca Freitas (2012). 
Eixos estruturantes e objetivos dos Direitos de Aprendizagem para a Alfabetização Matemática na perspectiva do letramento que a criança tem direito, conforme a PNAIC:
I. O aluno pode utilizar caminhos próprios na construção do conhecimento matemático: Classificar, comparar, medir, quantificar e prever, sempre de forma inclusiva e colaborativa, favorecendo o convívio e as trocas de conhecimento dentro de variadas práticas sociais e culturais.
II. O aluno precisa reconhecer e estabelecer relações entre regularidades em diversas situações: Manipulando objetos; construindo e desconstruindo sequências; desenhando, medindo, comparando, classificando e modificando sequências estabelecidas por padrões. Essas atividades são mobilizadas pelo uso do próprio corpo como referência para contagens e medições, pelo uso de jogos, materiais diversos e livros de literatura.
III. O aluno tem necessidade de perceber a importância das ideias matemáticas como forma de comunicação: O falar e o conversar sobre a matemática, sobre elementos presentes nos conteúdos e ideias matemáticas, na apresentação e explicitação de pontos de vista. Além da linguagem comum, fazendo referência a triângulos, quadrados, somar, dividir, ordenar, etc., a linguagem matemática também tem um aspecto específico, cuja aprendizagem se inicia com as práticas de argumentação, de defesas de pontos de vista e de organização temporal das ações.
IV. O aluno precisa desenvolver seu espírito investigativo, crítico e criativo, no contexto de situações-problema, produzindo registros próprios e buscando diferentes estratégias de solução: A tentativa e o erro fazem parte do seu processo de construção do conhecimento e, para isso, a criança precisa ser instigada a refletir sobre suas ações, para despertar a curiosidade, o desejo de responder, de ajustar-se ou de contestar as regras de um jogo, de seguir ou questionar as estratégias sugeridas por um colega. Mas, isso só é possível quando a escola trabalha em uma perspectiva de convívio, de inclusão. 
V. O aluno precisa fazer uso do cálculo mental, exato, aproximado e de estimativas, utilizando as Tecnologias da Informação e Comunicação em diferentes situações: O cálculo mental contém e revela estratégias que podem ser usadas pelos professores para a sistematização de estimativas (com variadas formas de registro) e, posteriormente, de cálculos “exatos”, obtidos através de algoritmos escritos ou calculadoras. A informática pode ser utilizada para o desenvolvimento da autonomia dos alunos em práticas de pesquisa. As tecnologias também se mostram importantes para que sejam instituídas – na prática – várias possibilidades de convívio e comunicação com os alunos com deficiência sensorial, intelectual ou motora.
Os eixos estruturantes do ensino de matemática
Apesar de serem apresentados separadamente devem ser abordados de forma integrada para proporcionarem experiências com as práticas de representar, pois são constituídos por conceitos, propriedades, estruturas e relações. Os símbolos, os signos, os códigos, as tabelas, os gráficos e os desenhos são representações que atribuem significação às operações do pensamento humano. 
· Números e Operações
· Pensamento Algébrico
· Espaço e Forma/Geometria
· Grandezas e Medidas
· Tratamento da Informação/Estatística e Probabilidade
Conteúdos
· Mesmo complexo e nem sempre possível delimitar um momento específico para que os conhecimentos e as capacidades estejam consolidados, é importante estabelecer os momentos em que é necessário introduzir o ensino e aprofundá-lo. Em Matemática, adotamos a perspectiva do ensino em espiral em que os temas sejam sempre ser retomados e aprofundados.
Avaliação
· De acordo com PNAIC, o sistema de avaliação tem como objetivo proporcionar um ensino eficaz ao aluno através de registros e análises realizadas pelo professor. Para tanto, o professor precisa estudar, planejar e reavaliar suas práticas de ensino.
· Não basta apenas garantir o acesso de todas as crianças brasileiras à escola, definir direitos e objetivos de aprendizagem e desenvolvimento, é necessário também prover condiçõesmateriais, tais como a estrutura de ambiente formativo à Alfabetização matemática. Todos são responsáveis pelo sucesso no aprendizado do aluno, o professor, a família, o Estado e a sociedade.
Letramento e BNCC
- O modo como a criança vai desenvolver as habilidades matemáticas, também vai depender do modo como o professor vai propor o desenvolvimento da matéria. O modo como o professor concebe o ensino da matemática, é o modo como ele vai organizar o ensino da matéria.
- De acordo com a BNCC, a resolução de problemas, investigação, desenvolvimento de projetos e modelagem matemática são formas privilegiadas da atividade matemática, pois, esses processos de aprendizagem são potencialmente ricos para o desenvolvimento de competências fundamentais para o letramento matemático (raciocínio, representação, comunicação e argumentação) e para o desenvolvimento do pensamento computacional. (BNCC, 2018)
- No Ensino Fundamental – Anos Iniciais, deve-se retomar as vivências cotidianas das crianças com números, formas e espaço, e também as experiências desenvolvidas na Educação Infantil, para iniciar uma sistematização dessas noções. Nessa fase, as habilidades matemáticas que os alunos devem desenvolver não podem ficar restritas à aprendizagem dos algoritmos das chamadas “quatro operações”, apesar de sua importância.
- No que diz respeito ao cálculo, é necessário acrescentar, à realização dos algoritmos das operações, a habilidade de efetuar cálculos mentalmente, fazer estimativas, usar calculadora e, ainda, para decidir quando é apropriado usar um ou outro procedimento de cálculo. (BNCC)
Unidades Temáticas
	Unidades temáticas 
	1º ano
	2º ano
	3º
	4º
	5º
	
Números
	• Contagem de rotina, ascendente e descendente; 
• Reconhecimento de números no contexto diário: indicação de quantidades, indicação de ordem ou indicação de código para a organização de informações;
• Quantificação de elementos de uma coleção: estimativas (Quanto será que tem? Será que tem menos de 10? Será que tem mais?), contagem um a um, pareamento (onde tem mais? Onde tem menos?) outros agrupamentos e comparação; 
• Leitura, escrita e comparação de números naturais (até 100);
• Reta numérica;
• Construção de fatos básicos da adição;
• Composição e decomposição de números naturais;
• Problemas envolvendo diferentes significados da adição e da subtração (juntar, acrescentar, separar, retirar).
Fatos fundamentais
• Os fatos fundamentais aditivos e multiplicativos se referem às combinações, nas quais ambos os valores são menores que 10.
• Dominar um fato fundamental significa que a pessoa pode dar uma resposta rápida sem recorrer a algoritmos (contas) ou à contagem. (Van de Walle, 2009)
• 9+3=12 (9+1=10, 3-1=2, 9+3=12=10+2)
• 8+0=8=0+8
• 9-5=10-6=4
• 3.5=15
	• Leitura/ escrita/ comparação/ ordenação de números de até três ordens pela compreensão de características do sistema de numeração decimal (valor posicional e papel do zero);
• Composição e decomposição de números naturais (até 1000); 
• Construção de fatos fundamentais da adição e da subtração;
• Problemas envolvendo diferentes significados da adição e da subtração (juntar, acrescentar, separar, retirar), envolvendo adição de parcelas iguais (multiplicação), envolvendo significado de dobro, metade, triplo e terça parte.
	• Leitura, escrita, comparação e ordenação de números naturais de quatro ordens;
• Composição e decomposição de números naturais;
• Construção de fatos fundamentais da adição, subtração e multiplicação; reta numérica; procedimentos de cálculo (mental/ escrito) c/ números naturais: adição e subtração;
• Problemas envolvendo significados da adição e da subtração: juntar, acrescentar, separar, retirar, comparar e completar quantidades e problemas envolvendo diferentes significados da multiplicação e da divisão: adição de parcelas iguais, configuração retangular, repartição em partes iguais e medida; significados de metade, terça parte, quarta parte, quinta parte e décima parte.
	Sistema de numeração decimal: leitura, escrita, comparação e ordenação de números naturais de até cinco ordens;
• Composição e decomposição de um número natural de até cinco ordens, por meio de adições e multiplicações por potências de 10; 
• Propriedades das operações para o desenvolvimento de diferentes estratégias de cálculo com números naturais;
• Problemas envolvendo diferentes significados da multiplicação e da divisão: adição de parcelas iguais, configuração retangular, proporcionalidade, repartição equitativa e medida; problemas de contagem; 
• Números racionais: frações unitárias mais usuais (1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/10 e 1/100); 
• Números racionais: representação decimal para escrever valores do sistema monetário brasileiro.
	• Sistema de numeração decimal: leitura/ escrita/ ordenação de números naturais (até 6 ordens);
• Números racionais na forma decimal e representação na reta numérica; 
• Representação fracionária dos num. racionais reconhecimento, significados, leitura e representação na reta numérica; 
• Comparação e ordenação de num. Racionais na representação decimal e na fracionária utilizando a equivalência; 
• Cálculo de porcentagens e representação fracionária; 
• Problemas: adição e subtração de números naturais racionais cuja representação decimal é finita;
• Multiplicação e divisão de num. racionais cuja representação decimal é finita por números naturais;
• Contagem do tipo: “Se cada objeto de uma coleção A for combinado com todos os elementos de uma coleção B, quantos agrupamentos desse tipo podem ser formados?”.
	
	1º ano
	2º ano
	3º
	4º
	5º
	Álgebra
	• Padrões figurais e numéricos: investigação de regularidades ou padrões em sequências;
• sequências recursivas*: observação de regras usadas utilizadas em seriações numéricas (mais 1, mais 2, menos 1, menos 2, por exemplo).
• sequência recursiva ou recorrente – os termos são obtidos a partir de termos já presentes na sequência (1; 4; 7; 10;... A partir do 2o termo (4), os demais termos são obtidos adicionando 3 ao último termo existente).
	• Construção de sequências repetitivas e de sequências recursivas; 
• Identificação de regularidade de sequências e determinação de elementos ausentes na sequência.
	• Identificação e descrição de regularidades em sequências numéricas recursivas. 
• Relação de igualdade.
	• Sequência numérica recursiva formada por múltiplos de um número natural; 
• sequência numérica recursiva formada por números que deixam o mesmo resto ao serem divididos por um mesmo número natural diferente de zero; 
• relações entre adição e subtração e entre multiplicação e divisão;
• propriedades da igualdade.
	• Propriedades da igualdade* e noção de equivalência;
• Grandezas diretamente proporcionais. 
• Problemas envolvendo a partição de um todo em duas partes proporcionais.
• Operações realizadas em ambos os membros da igualdade e que mantém a mesma relação entre os termos.
	
	1º ano
	2º ano
	3º
	4º
	5º
	Geometria
	• Localização de objetos e de pessoas no espaço, utilizando diversos pontos de referência e vocabulário apropriado; • Figuras geométricas espaciais: reconhecimento e relações com objetos familiares do mundo físico;
• Figuras geométricas planas: reconhecimento do formato das faces de figuras geométricas espaciais.
	• Localização e movimentação de pessoas e objetos no espaço, segundo pontos de referência, e indicação de mudanças de direção e sentido; • Esboço de roteiros e de plantas simples; 
• Figuras geométricas espaciais (cubo, bloco retangular, pirâmide, cone, cilindro e esfera): reconhecimento e características;
• Figuras geométricas planas (círculo, quadrado, retângulo e triângulo): reconhecimento e características.
	• Localização e movimentação: representação de objetos e pontos de referência; 
• Figuras geométricas espaciais (cubo, bloco retangular, pirâmide, cone, cilindro e esfera): reconhecimento, análise de características e planificações;
• Figuras geométricas planas (triângulo, quadrado, retângulo, trapézio e paralelogramo): reconhecimento e análise de características; 
•Congruência de figuras geométricas planas.
	• Localização e movimentação: pontos de referência, direção e sentido Paralelismo e perpendicularismo;
• Figuras geométricas espaciais (prismas e pirâmides): reconhecimento, representações, planificações e características;
• Ângulos retos e não retos: uso de dobraduras, esquadros e softwares; 
• Simetria de reflexão.
	• Plano cartesiano: coordenadas cartesianas (1º quadrante) e representação de deslocamentos no plano cartesiano;
• Figuras geométricas espaciais: reconhecimento, representações, planificações e características;
• Figuras geométricas planas: características, representações e ângulos;
• Ampliação e redução de figuras poligonais em malhas quadriculadas: reconhecimento da congruência dos ângulos e da proporcionalidade dos lados correspondentes.
	
	1º ano
	2º ano
	3º
	4º
	5º
	Grandezas e Medidas
	• Medidas de comprimento, massa e capacidade: comparações e unidades de medida não convencionais;
• Medidas de tempo: unidades de medida de tempo, suas relações e o uso do calendário;
• Sistema monetário brasileiro: reconhecimento de cédulas e moedas.
	• Medida de comprimento: unidades não padronizadas e padronizadas (metro, centímetro e milímetro);
•Medida de capacidade e de massa: unidades de medida não convencionais e convencionais (litro, mililitro, cm3, grama e quilograma; 
• Medidas de tempo: intervalo de tempo, uso do calendário, leitura de horas em relógios digitais e ordenação de datas; 
• Sistema monetário brasileiro: reconhecimento de cédulas e moedas e equivalência de valores.
	• Significado de medida e de unidade de medida; 
• Medidas de comprimento (unidades não convencionais e convencionais): registro, instrumentos de medida, estimativas e comparações;
• Medidas de capacidade e de massa (unidades não convencionais e convencionais): registro, estimativas e comparações;
• Comparação de áreas por superposição;
• Medidas de tempo: leitura de horas em relógios digitais e analógicos, duração de eventos e reconhecimento de relações entre unidades de medida de tempo; 
• Sistema monetário brasileiro: estabelecimento de equivalências de um mesmo valor na utilização de diferentes cédulas e moedas.
	• Medidas de comprimento, massa e capacidade: estimativas, utilização de instrumentos de medida e de unidades de medida convencionais mais usuais;
• Áreas de figuras construídas em malhas quadriculadas;
• Medidas de tempo: leitura de horas em relógios digitais e analógicos, duração de eventos e relações entre unidades de medida de tempo; 
• Medidas de temperatura em grau Celsius: construção de gráficos para indicar a variação da temperatura (mínima e máxima) medida em um dado dia ou em uma semana;
• Problemas utilizando o sistema monetário brasileiro.
	• Medidas de comprimento, área, massa, tempo, temperatura e capacidade: utilização de unidades convencionais e relações entre as unidades de medida mais usuais;
• Áreas e perímetros de figuras poligonais: algumas relações;
• Noção de volume:
 • Volume e capacidade não têm o mesmo significado: o volume de um metro cúbico (1m3) corresponde a uma capacidade de 1000 litros.
• o volume de um metro cúbico (1cm3) corresponde a uma capacidade de 1 mililitros (ml)
	
	1º ano
	2º ano
	3º
	4º
	5º
	Probabilidade estatística
	• Noção de acaso; 
• Leitura de tabelas e de gráficos de colunas simples;
• Coleta e organização de informações;
• Registros pessoais para comunicação de informações coletadas.
	• Análise da ideia de aleatório em situações do cotidiano; 
• Coleta, classificação e representação de dados em tabelas simples e de dupla entrada e em gráficos de colunas.
	• Análise da ideia de acaso em situações do cotidiano: espaço amostral; 
•Leitura, interpretação e representação de dados em tabelas de dupla entrada e gráficos de barras; 
• Coleta, classificação e representação de dados referentes a variáveis categóricas, por meio de tabelas e gráficos.
	• Análise de chances de eventos aleatórios;
• Leitura, interpretação e representação de dados em tabelas de dupla entrada, gráficos de colunas simples e agrupadas, gráficos de barras e colunas e gráficos pictóricos;
• Diferenciação entre variáveis categóricas e variáveis numéricas;
• Coleta, classificação e representação de dados de pesquisa realizada.
	• Espaço amostral: análise de chances de eventos aleatória;
• Cálculo de probabilidade de eventos equiprováveis;
• Leitura, coleta, classificação interpretação e representação de dados em tabelas de dupla entrada, gráfico de colunas agrupadas, gráficos pictóricos e gráfico de linhas.
SEMANA 3
Conexões Matemáticas
Ensino antes das Reformas Curriculares de 1980
• Com pouco potencial de significados válidos para as crianças, com conteúdos fragmentados e mecanicistas do cálculo, do início do século XX.
• A fragmentação e o tratamento isolado de conteúdos é uma abordagem nociva para a aprendizagem de ideias, conceitos e procedimentos matemáticos. A exposição de tópicos desconectados contribui para que os alunos percam a noção do todo e, em consequência, do processo que caracteriza o desenvolvimento do pensamento matemático. (HOUAISS; VILLAR; FRANCO, 2001, p. 1384).
O que são Conexões Matemáticas?
· É a relação entre situações da escola ou da vida cotidiana e os conteúdos matemáticos, que devem ser exploradas em sala de aula. Elas foram apresentadas como uma alternativa adequada ao ensino fragmentado e mecanicista. 
· As conexões podem acontecer entre campos conceituais da própria Matemática, para a aprendizagem de conceitos e procedimentos, para a problematização, entre a Matemática e outras disciplinas, etc.
· Valoriza as relações, os problemas, o raciocínio, os contextos e as conexões. Uma Matemática viva na qual os alunos são os sujeitos, problematizando, pondo coisas em relação e raciocinando. Estudos indicam que, quando o aluno tem oportunidade de relacionar ideias matemáticas, sua compreensão é mais profunda e duradoura.
· Conexões internas: entre conceitos e procedimento matemáticos.
· Conexões externas: Estruturas, conceitos, métodos e técnicas que são usados em outras áreas do conhecimento, seja como aplicações diretas para resolver problemas, seja como forma de ampliar a compreensão de fenômenos que estão sendo estudados.
· A Educação Matemática Realista tem seus fundamentos na contextualização, nas conexões, na problematização e nas interações: O que importa é saber como se encaixa um determinado tema em todo o corpo do ensino de Matemática, se se pode integrar com o todo, ou se é tão estranho, bizarro ou isolado que, finalmente não deixaria nenhuma marca na educação do indivíduo (FREUDENTHAL, 1982).
Conexões entre campos conceituais da própria Matemática (conexões internas)
· Os campos conceituais da Matemática são ricos de conexões e, em muitos casos, se desenvolveram juntos até serem arbitrariamente “separados”, tanto pelos matemáticos – ao definir as áreas e subáreas de pesquisa – quanto pelos especialistas de currículo e gestores dos sistemas educacionais.
· No século XIX, as disciplinas de natureza matemática eram ensinadas em aulas separadas e muitas vezes por professores diferentes. Assim, um currículo da escola básica oferecia Aritmética, Geometria e Álgebra como se fossem disciplinas diferentes, um não fazia referência aos conhecimentos que poderiam estar sendo tratados no outro.
· No Brasil, somente no ano de 1931, com a Reforma Francisco Campos, é que a disciplina integrou os três principais campos conceituais em uma única disciplina. Porém, do ponto de vista das práticas didáticas, o ensino dos tópicos de Matemática manteve as marcas de disciplina isolada, um tipo de prática que ocorre ainda hoje.
· A partir de 1961 e por quase três décadas, a discussão sobre a Matemática contextualizada e interconectada perdeu protagonismo pela influência e intensiva presença do Movimento da Matemática Moderna, que privilegiou uma abordagem estruturalista e formalista da Matemática. 
· A abordagem contextualizada, as conexões e o foco na resolução de problemas ganharamnovo impulso na maioria dos países nos últimos 30 anos e, no Brasil, com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), em 1997, com referências explícitas a Temas Transversais e o recurso a:
• Resolução de Problemas;
• História da Matemática;
• Tecnologias da Informação;
• Jogos.
· Dispomos hoje de um conjunto de documentos curriculares, descritores de avaliação e materiais instrucionais, com exemplos e modelos de sequência didáticas e projetos em que uma situação-problema é explorada de múltiplas perspectivas.
Conexão Externa 
· Nos currículos mais recentes foram valorizadas com o estímulo à interdisciplinaridade, adotando-se como recursos a abordagem histórica ou a realização de projetos.
· Tal valorização coincide com as reformas curriculares, a partir de 1980, que, nos seus princípios e recomendações, rejeitaram o tratamento fragmentado e petrificado de conteúdos matemáticos, o formalismo exagerado e precoce; criticaram a ausência de situações com potencial de provocar e promover o raciocínio e a pouca relação com ideias e situações significativas do universo dos alunos.
Objetivos das Conexões Matemáticas
· Possibilitar aos alunos:
· relacionar seus conhecimentos conceituais com processos de pensamento;
· relacionar diversas representações de conceitos ou procedimentos entre si;
· reconhecer relações entre distintos temas de natureza matemática;
· utilizar a Matemática em outras áreas do currículo escolar;
· usar a Matemática na vida diária.
· Reflexões sobre contextos e problemas
· Os indivíduos têm seus próprios modos de ver e pensar sobre as coisas. No universo das crianças, mais importante que a questão aritmética embutida na pergunta do problema, é a situação, portanto devemos estar atentos ao mundo das crianças, pois elas não pensam como os adultos. Devemos considerar os fatores afetivos que intervêm em seus processos de aprendizagem, os quais, muitas vezes, determinam o padrão de respostas das crianças na sala de aula.
· Contextos: deve-se colocar a criança como o sujeito e o grupo de alunos como o centro do processo de aprendizagem. Já dizia Paulo Freire: a criança não é uma cabecinha oca na qual os adultos vão depositando conhecimentos, como colocam moedas num cofrinho. O que é óbvio para o adulto, nem sempre é para a criança. Isto deve ser levado em conta para o ensino de populações com uma cultura própria, como os indígenas, os caiçaras, os quilombolas e outros grupos específicos.
· O professor deve estar atento ao universo da criança e levar em conta suas experiências, sua cultura, seus afetos e principalmente o fato de ser criança.
· Quanto aos problemas, é importante desenvolver o espírito investigativo desde cedo, propondo uma variedade de tipos de problemas. Problemas com e sem solução, com várias soluções, problemas com falta ou excesso de dados.
· Em um problema sem solução, é mais importante que os alunos saibam argumentar e justificar porque o problema não tem solução.
· Problema com excesso de dados: A importância de propor este tipo de problema é propiciar um debate sobre a situação em vários aspectos: a interpretação, os dados relevantes e não relevantes, as estratégias, a verificação do resultado, os estilos de cada um. As descobertas e os procedimentos mais organizados e reflexivos devem ser socializados.
· Problema com falta de dados: aqui o importante é que os alunos discutam e decidam que informações têm disponíveis e qual é o dado que falta.
Conexão 1: Números e Geometria
O estudo da multiplicação, relacionado a áreas de retângulos, é um dos exemplos mais emblemáticos da conexão entre o campo dos Números e o da Geometria.
Tal abordagem era ausente na grande maioria dos livros publicados até o final do século passado (séc. XX) e estudos recentes reforçam a importância de explorar a disposição retangular como uma das “ideias” da multiplicação, ao lado de outras ideias mais comuns como a soma de parcelas iguais e a ideia combinatória.
Conexão 2: Geometria e Medidas
Há uma variedade de situações e atividades com medidas se relaciona a geometria e vice-versa.
A própria sala de aula é um cenário se provocarmos os alunos a pensar e investigar questões, como: “Qual é o comprimento do rodapé da sala?”, “Quantas lajotas foram usadas para fazer o piso?”, “Como o pintor determina a quantidade de tinta que vai usar para pintar uma parede?”. Estas questões relacionam figuras geométricas e medidas de área e perímetro.
Conexão 3: Números e Medidas
 A relação entre números e medidas ocorre para calcular comprimentos, perímetros, áreas e volumes, mas também pela utilização de contextos de medidas para prover de significado os números decimais.
No cotidiano das crianças, os “números com vírgula” (números decimais) estão em toda parte, nos preços dos produtos, nas embalagens, nas notícias. Porém, a construção do sentido da medida pela criança pode ser feita levando-a a pensar sobre as medidas das coisas mais familiares e do seu entorno. 
Nada é tão próximo da criança do que seu próprio corpo. Quando vão ao posto de saúde ou nas aulas de educação física para medir sua altura e serem pesadas, têm contato com números que não são inteiros, mas que ainda assim tem que ser significados.
Conexão 4: Números e Estatística
No mundo atual, a informação é organizada por meio de ferramentas e representações matemáticas, em especial, os gráficos e tabelas que utilizam a linguagem matemática e os números com todos seus significados: quantidade, medida, código, localização, símbolo, entre outros.
Nos anos iniciais, os alunos ainda não dispõem de recursos matemáticos e estruturas de pensamento para trabalhar com conceitos e ferramentas estatísticas utilizadas em muitas atividades profissionais, mas podem produzir significados para determinadas representações gráficas como gráficos de colunas e tabelas.
Calendários podem e devem ser utilizados nas aulas de Matemática como contextos ricos de relações com potencial de proposição e formulação de problemas interessantes. O calendário é, podemos dizer, um “portador numérico”, cuja estrutura na forma de quadro proporciona relações com e entre várias disciplinas e campos conceituais, como a Estatística.
Conexões e relações numéricas - Pares e ímpares
Desde cedo, as crianças jogam par ou ímpar para decidir quem inicia um jogo ou quem vai ser escolhido para fazer algo. Quando muito pequenos, a estratégia para decidir se deu par ou ímpar é fazer uma espécie de agrupamento dois a dois, enquanto falam em voz alta “ímpar-par”. Se a última palavra é ímpar, sabem que a quantidade é ímpar, caso contrário, sabem que a quantidade é par.
Conexões para a aprendizagem de conceitos e procedimentos
A aprendizagem das tabuadas por meio de conexões matemáticas
Uma tabuada é um tipo especial de tabela, usado na escola para organizar e consultar fatos aritméticos. Apesar de o termo ser comumente associado à tabela da multiplicação, é possível construir e consultar tabuadas de adição, subtração, divisão, quadrados perfeitos, potências e outras relações numéricas. As palavras tabuada, tábua e tabela possuem o mesmo radical e, em muitos contextos matemáticos, têm o mesmo significado.
a. Tabuadas: conteúdo básico e controverso.
b. Método muito comum de aprendizagem: decoreba.
c. Estudos recentes mostram que ela pode ser compreendida sem a “decoreba”, de forma bem mais natural, prazerosa e permanente.
• A “construção” mecânica da tabuada não passa de um esquema de registro pobre de significado e com pouca eficácia para a consecução do objetivo maior, que é o de levar os alunos a aprender com compreensão os fatos da multiplicação. Entre os vícios dessa tentativa de ensinar tabuadas, está a não explicitação das conexões matemáticas tão fundamentais para a compreensão dos fatos da multiplicação, do domínio de esquemas e ferramentas de pensamento que levam à memorização das tabuadas, o que contribui para que os alunos utilizem esta habilidade para resolver problemas, avaliar dados e tomar decisões.
Para que servem as tabuadas?
As tabuadas deveriam ser construídas e ensinadaspara serem consultadas e, no âmbito escolar, se as atividades de construção e consulta forem significativas, é grande a probabilidade da maioria dos alunos as memorizarem naturalmente. Nessa perspectiva, os fatos aritméticos da multiplicação tendem a ser apreendidos e internalizados pelos alunos tal como já o fizeram com seus nomes, endereços e telefones de parentes e amigos.
Princípios fundamentais para a aprendizagem de tabuada
•Contexto: Explorar contextos e situações-problema tão familiares quanto possível e preferencialmente acompanhados de imagens que sugiram uma multiplicação.
• Construção: Oferecer oportunidades para que os alunos construam a tabuada com o professor e os colegas. No processo de construção, os alunos têm que entender construtivamente porque o resultado de 3 x 4 é 12 e não simplesmente aceitarem um resultado prescrito pelo professor ou impresso no livro ou em um lápis.
• Representação: associar imagens aos fatos da multiplicação contribui para desenvolver a fixação, por meio da memória visual. 
• Consulta: Propor problemas que, para serem resolvidos, é necessário ter o domínio de um fato da tabuada (um resultado). A consulta pode ser liberada no início. A frequência da consulta provocada pelos problemas ajuda na memorização. A tendência é que deixem de consultar as tabuadas quando já as tiverem memorizado naturalmente.
• Análise: Problemas sobre a própria tabuada contribuem para uma memorização reflexiva. Por exemplo, propor perguntas aos alunos que os levem a conhecer melhor as regularidades, relações e propriedades. 
• Calculadora: A calculadora, se bem utilizada, contribui para a percepção de regularidades que levam à familiarização e a fixação de fatos da multiplicação, não para obter um resultado direto como 7 x 8 = 56, mas sim para perceber padrões.
• Memorização não é sinônimo de “decoreba”
Enquanto os alunos ainda não tiverem memorizado os fatos da multiplicação, todo plano de ensino deveria prever uma etapa de construção e outra de consulta da tabuada. Porém a consulta não tem sido encorajada, muitos professores exigem que os alunos as decorem, pura e simplesmente. A “decoreba” é incentivada, porque foi dessa maneira que se perpetuou o seu ensino desde o final do século XIX e foi assim que a maioria dos professores aprendeu.
Propostas didáticas para a tabuada
• Deve-se partir dos fatos da multiplicação mais familiares aos alunos. Por isso, é recomendado que o trabalho inicial seja com multiplicações de números de 1 a 5 por números de 1 a 5 e também por 10, que são cálculos mais simples e intuitivos.
• Embora os produtos 3 x 4 e 4 x 3 tenham o mesmo resultado se olharmos apenas o aspecto do resultado aritmético, em uma situação contextualizada, nem sempre se produz a equivalência.
Imagine dois cenários: no primeiro temos 3 estojos com 4 canetas cada e no segundo temos 4 estojos com 3 canetas cada.
• A equivalência 3 x 4 = 4 x 3 nem sempre é percebida ou aceita pelas crianças quando estão aprendendo as primeiras ideias da multiplicação.
Esta característica, conhecida como propriedade comutativa da multiplicação e popularizada pela frase “a ordem dos fatores não altera o produto”, não é tão intuitiva e exige atividades adequadas para que os alunos a integrem ao conjunto de conhecimentos matemáticos que utilizará para resolver problemas.
• Uma estratégia para levá-los a relacionar as duas multiplicações é explorar uma das ideias da multiplicação, a disposição retangular que está associada à ideia de área. 
Os dois retângulos, embora estejam em posições diferentes, têm as mesmas medidas de lados e também a mesma área. Podem ser sobrepostos.
• O professor deve ficar atento, não para “corrigir” e sim para entender como o aluno está pensando e assim poder ajudá-lo a reconhecer equivalências.
• Explore as conexões aritméticas para construir tabuadas A tabuada do 2 é provavelmente a mais intuitiva. Não é difícil para as crianças imaginar ou representar o dobro de quantidades e objetos. Para sua construção, deve-se explorar a relação “dobro de” e mostrar que, cada vez que somamos duas vezes a mesma quantidade, estamos dobrando essa quantidade. Um recurso muito interessante para fazer as crianças visualizarem a duplicação de coisas é usar um espelho. Oriente os alunos a investigar que coisas são agrupadas aos pares, como sapatos, rodas da bicicleta, etc.
Perguntas, problemas e representações
• Chame a atenção dos alunos para a importância do registro e da organização na forma de tabelas. Espera-se que, ao final, os alunos percebam que a memorização os ajudará na resolução de problemas e na multiplicação de números maiores. 
• É recomendável introduzir a construção das tabuadas por meio das adições sucessivas e situações familiares e problematizáveis. Motive os alunos por meio de perguntas relacionadas e situações-problema significativas, factíveis, instigantes e familiares. 
Nos anos iniciais podem-se propor questões como: “Se os triciclos têm 3 rodas, então quantas rodas há em 4 triciclos?” Observe e registre as estratégias que os alunos utilizaram para resolver o problema proposto.
Mesmo depois de os alunos terem resolvido o problema por meio de desenhos e esquemas, continue a problematização variando as perguntas: “Quantas rodas há em 5 triciclos?”, “E em 6?”. Esse ainda não é o momento para iniciar a discussão da tabuada, peça que guardem o resultado e proponha mais problemas. Após uma sequência de problemas e resultados armazenados, é hora de discutir a necessidade de registrar os resultados das multiplicações de uma forma organizada. 
• Utilize imagens que possam ser associadas aos problemas e fatos da multiplicação. Estudos mostram que isso contribui para que os alunos desenvolvam uma memória visual, o que leva a uma memorização mais sólida da tabuada.
A argumentação no ensino da matemática
A argumentação faz parte do fazer matemático. Não basta que o aluno “resolva” um problema fazendo uma conta ou usando um determinado método, é fundamental que saiba justificar porque a resposta é a certa, porque escolheu o método ou porque usou determinada estratégia e, em alguns casos, porque o método funciona.
A autonomia, a justificativa e a fundamentação de nossas ações matemáticas faz parte do processo de aprendizagem. Não há lugar para a produção de respostas aos problemas sem reflexão e pensamento. Não devem ser aceitas as respostas como: “é assim porque eu acho”.
A argumentação matemática é um processo e desenvolve-se em níveis distintos dependendo de fatores como idade, conhecimento de conteúdos, experiência matemática, maturação cognitiva e emocional, entre outros.
O tipo de argumentação mais comum nos anos iniciais é a explicação, uma explicação ainda ingênua e sem uma visão do todo.
Os objetivos são distintos quando o assunto é argumentação e provas:
a. Num primeiro nível, os alunos devem ser expostos a processos argumentativos para entender o que é uma justificativa;
b. Num outro nível, os alunos devem poder acompanhar os passos de uma explicação ou justificativa com compreensão;
c. No nível seguinte, devem saber reproduzir justificativas que aprenderam com o professor ou através da leitura de um texto;
d. Num nível bem mais avançado, é esperado que os alunos criem justificativas pessoais e logicamente aceitáveis.
Para o desenvolvimento da argumentação matemática é necessário que as aulas de Matemática sejam problematizadoras e que, a cada etapa da aprendizagem, os alunos sejam provocados a explicar o que sabem, o que e como descobriram ou inventaram.
Sentido de número na educação matemática
Gérard Vergnaud: Teoria de Campos Conceituais (Nova Escola)
· Segundo Gérard, para Jean Piaget o conhecimento é uma adaptação a situações nas quais é necessário fazer algo. Por isso, é preciso confrontar as crianças com situações nas quais elas precisem desenvolver conceitos, ferramentas, limites. 
· É preciso propor situações nas quais as contas façam sentido para as crianças - e isso vale para a escolha dos dados. Propor situações que as crianças não sabem resolver para fazerevoluir em seus conhecimentos tem o propósito de desestabilizá-las. Mas se desestabilizarem demais, elas também não vão aprender. 
· É necessário ampliar as dificuldades, mas sabendo o que está fazendo e aonde quer chegar. De acordo com Gérard, em média, são dois anos para a criança passar do primeiro estágio para o segundo. 
· Para Vergnaud (1998), as questões sociais têm grande influência nas formas da matemática chegar a cada sala de aula, pois cada professor tem sua visão sobre o ensino e mesmo sobre a Matemática, e essas influências chegam aos alunos.
· O papel do professor é estimular e utilizar essas atividades da criança e, para isso, ele deve ter um conhecimento claro das noções a ensinar, pois só assim poderá compreender as dificuldades deparadas pela criança e as etapas pelas quais esta passa (VERGNAUD, 2009).
· Se o professor vê os alunos errarem sem entender o percurso que estão trilhando, todo o trabalho se perde.
· Sobre o contexto escolar, Vergnaud (2009) considera a atividade infantil sobre a realidade decisiva no processo educativo.
· Nos anos iniciais de escolarização, a noção de número é considerada a mais importante e, sobre ela, Vergnaud (2009) explicita que longe de ser uma noção elementar, ela se apoia em outras noções, tais como a de aplicação, de correspondência biunívoca, de relação de equivalência, de relação de ordem. Na criança pequena, ele é indissociável da noção de medida. Enfim, é a possibilidade de fazer adições que dá à noção de número seu caráter específico em relação às noções sobre as quais ela se baseia 
· Definição de conceito na TCC como um conjunto de outros três conjuntos:
- C={S,R,I};
- C= conceito em questão;
- S= situações em que este conceito se aplica;
- R= diferentes representações para/ este conceito;
- I=invariantes, ou seja, os procedimentos para aplicação do conceito às diferentes situações.
Por exemplo: o número seis pode ser representado de diversas maneiras: 6,VI, seis, ||||||, ****** (dependendo da situação, é usado para representar quantidade, hora, etc. Pode-se ter o mesmo número com todas as suas propriedades (cardinal de conjuntos de seis elementos, número par, múltiplo de três, sucessor de 5, antecessor de 7 etc.) em cada uma das diferentes representações, pois o número é um conceito do qual existem vários sistemas de escritas possíveis... (VERGNAUD, 2009).
· Vergnaud (1996) destacou que um dos problemas do ensino é desenvolver ao mesmo tempo a forma operatória do conhecimento ( saber-fazer), e a forma predicativa do conhecimento (saber explicitar os objetos e suas propriedades), e isto poderia ser uma das razões para a dificuldade que as pessoas têm em explicar suas ações: simplesmente fazem. 
· Nesse sentido, entendemos que o cálculo mental apresenta-se como uma estratégia didática pedagógica que pode favorecer o pensamento reflexivo e, consequentemente, levar o estudante a explicar suas ações.
Sentido de número e sentido de número e a educação matemática
Sentido de número, compreensão numérica, ou ainda, como compreensão de número (CRUZ, 2015).
· É uma forma de pensar matematicamente e não somente um conceito ou assunto.
· Pode ser entendido como uma boa intuição dos números e seus vários usos no cotidiano e significados.
· É um termo de difícil conceituação, sendo mais fácil identificar os indicadores a partir dos quais ele se manifesta.
Duas perspectivas para refletirmos sobre a inserção do tema sentido numérico na Educação Matemática:
· A primeira assume um caráter mais amplo, envolvendo a questão curricular. 
· A segunda assume um caráter mais específico, voltado para a dinâmica da sala de aula.
Dinâmica da sala de aula:
· O sentido numérico deve permear o ensino de todos os conteúdos de matemática abordados no ensino fundamental, de forma que o aluno se familiarize com o mundo dos números e seja capaz de raciocinar de forma flexível em diversas situações, mesmo sem realizar cálculos precisos e aplicar procedimientos algorítmicos.
· A elaboração de um sentido não se restringe apenas ao contexto escolar, pois se desenvolve a partir de situações matemáticas fora desse espaço. 
Indicadores de Sentido Numérico
Comportamentos que indicam se o sujeito possui ou não determinada habilidade.
· a) Realizar cálculo mental flexível.
· b) Realizar estimativas e usar pontos de referência.
· c) Fazer julgamentos quantitativos e inferências.
· d) Estabelecer relações matemáticas.
· e) Usar e reconhecer que um instrumento ou um suporte de representação pode ser mais útil ou apropriado que outro.
Indicadores de sentido numérico podem servir de base para a elaboração de atividades didáticas voltadas para o ensino de diversos conteúdos curriculares, conforme os pontos a seguir:
1. Saber qual o conhecimento anterior que o aluno traz sobre o conteúdo. 
2. Estabelecer, sempre que possível relações entre a matemática extraescolar e a matemática escolar. Em outras palavras, é necessário considerar que o conhecimento informal é relevante para a construção dos conhecimentos matemáticos escolares; 
3. Propor a resolução de problemas a partir de cálculos mentais e de estimativas, estimulando o uso de pontos de referência, arredondamentos e aproximações;
4. Levar o aluno a realizar julgamentos sobre situações matemáticas diversas, sem que seja necessário realizar cálculos ou realizar procedimentos algorítmicos;
5. Gerar situações didáticas que favoreçam o estabelecimento de relações entre os conteúdos ensinados, permitindo uma articulação entre conteúdos de um mesmo bloco e entre conteúdos de blocos diferentes;
6. Explorar e estimular o uso de uma grande variedade de representações (desenhos, tracinhos, números, linguagem natural, diagramas, tabelas, recursos tecnológicos, etc.);
7. Levar o aluno a reconhecer que há múltiplas estratégias e múltiplas representações na resolução das atividades escolares. Algumas tão apropriadas quantas outras e, às vezes, algumas mais apropriadas que outras.
· A sala de aula pode se tornar um ambiente de discussão a respeito de diferentes pontos de vista e das estratégias e métodos de resolução adotados (sejam eles corretos ou incorretos). Ao explicitar seu modo de pensar, os alunos têm a oportunidade de refletir sobre suas formas de raciocinar e de proceder, gerenciando suas ações e as ajustando quando necessário. Ao tomar conhecimento do modo de raciocinar dos colegas, o aluno terá a oportunidade de se deparar com outras formas de raciocinar, apreciando-as, comparando-as.
· Além disso, colocar o pensamento do aluno em evidência permite que o professor compreenda os processos de raciocínio dos aprendizes, sem o quais se torna difícil intervir de modo didaticamente apropriado.
Sentido de número e a questão curricular:
· Em uma perspectiva educacional é possível associar os objetivos para aprendizagem do sentido numérico a uma proposta de ensino delineada por um currículo.
· Os PCNs indicam quatro blocos de conteúdo que servem de base para o currículo referente à Educação Matemática nos anos iniciais do ensino fundamental: números e operações, grandezas e medidas, espaço e forma, e tratamento da informação.
· Segundo Mandarino (2009), os conteúdos dos anos iniciais se referem ao bloco dos números e operações e ao bloco das grandezas e medidas.
Diante da ênfase dada tanto pelos professores como pelos livros didáticos, serão considerados estes dois blocos para discutir a possibilidade de relacionar sentido de número à proposta dos PCN.
De acordo com os Parâmetros Curriculares de Matemática (BRASIL, 1997, pp. 38-39), o bloco relativo a números e operações é definido como:
· Conhecimento dos números naturais e números racionais (com representações fracionárias e decimais) como instrumentos eficazes para resolver determinados problemas e como objetos de estudo.
· Trabalho com as operações devendo valorizar a compreensão dos diferentes significados de cada uma delas, as relações existentes entre elas e o estudo reflexivo do cálculo, contemplando os tipos: exato, aproximado, mental e escrito.
Propriedades relevantes para desenvolvimentodo sentido de número.
· Perceber a regularidade da sequência numérica. Exemplo: A partir dos nomes dos números, a criança percebe a regularidade do sistema numérico com base dez (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9).
· Identificar o tamanho de um número, em termos de quantos algarismos ele tem, da posição e do tamanho dos algarismos que o constituem. Mesmo sem saber escrever ou ler números, a criança precisa intuir que um número com muitos algarismos é maior que um número com poucos algarismos e compreender que um número pode ser maior que o outro, ainda que ambos tenham a mesma quantidade de algarismos; entendendo que o fato de um número ser maior que outro depende também do tamanho dos algarismos que o constituem, assim como de sua posição no número;
· Compreender a magnitude relativa dos números, que está associada à capacidade de diferenciar o relativo do absoluto, ou seja, numa situação apresentada a uma criança, onde uma menina recebeu de mesada 4,00 e gastou 2,00, e um menino recebeu 10,00 e gastou 4,00, foi perguntado, qual gastou mais. A partir dos dados a criança respondeu que a menina gastou mais, porque gastou metade, enquanto o menino gastou menos da metade. Essa observação indica que a criança tem um entendimento da distinção entre quantidade absoluta e relativa e das relações parte-todo que são fundamentais para a compreensão de noções complexas como a proporção e a porcentagem.
· As propriedades das operações podem ser exploradas através de situações que levem o aluno a perceber, por exemplo, que o número 22 pode ser representado de diversas maneiras:
· 10x2 + 1x2 
· 9x2 + 2x2
· 11x2 ou 2x11
· 20+2 ou 2+20 etc.
· Além das propriedades das operações, é importante compreender o efeito das operações sobre os números. Uma compreensão básica é reconhecer que operação aritmética ocorreu em uma dada situação, como se observa em atividades conhecidas, como a máquina de fazer contas, muitas vezes presente em livros didáticos. Nessa máquina, entra um número e sai outro, tendo o aluno que identificar que operação a máquina fez. Spinillo (2006, p. 98-99) traz o seguinte exemplo:
· Tinha 9. A máquina secretamente fez alguma coisa com esse número e saiu o número 3. O que foi que a máquina fez? Que conta foi esta que a máquina fez?
· Aluno: – De menos. Ela fez menos 6, ficou 3.
· A relação entre unidade de medida e grandeza, sendo capaz de identificar uma unidade como apropriada para medir uma dada grandeza e,
· A relação inversa entre o tamanho da unidade de medida e o número de unidades necessário para medir uma dada grandeza, sendo capaz de compreender que, quanto maior a unidade, menor a quantidade de unidades obtida em uma medição.
O bloco relativo a grandezas e medidas é assim definido (BRASIL, 1997, p. 39-40):
· Este bloco caracteriza-se por sua forte relevância social, com evidente caráter prático e utilitário. [...] As atividades em que as noções de grandezas e medidas são exploradas proporcionam melhor compreensão de conceitos relativos e às formas [...] e dos significados dos números e das operações, e incluem a ideia de proporcionalidade e escala.
PENSAMENTO ALGÉBRICO: GENERALIZAÇÕES, PADRÕES E FUNÇÕES
O pensamento algébrico envolve diversas habilidades:
- Identificar e analisar padrões (conjunto de objetos, números ou formas geométricas que seguem alguma regra.)
- Saber analisar a estrutura de composição dos números no Sistema de Numeração Decimal.
- Conhecer e utilizar as propriedades das operações.
- Relações entre números e operações.
Nos dois exemplos para identificar o padrão que rege cada sequência é preciso utilizar habilidades importantes de pensamento:
- a observação é necessária para identificar o padrão de cada sequência.
- identificado o padrão, o que o pensamento faz é uma generalização a fim de saber qual é o próximo de cada sequência e poder deduzir algumas propriedades da organização da sequência.
Observar, identificar, generalizar, deduzir. Essas habilidades, importantes para aprender e em especial para aprender matemática estão envolvidas em atividades como dos exemplos anteriores, e por isso são consideradas atividades de natureza algébrica.
RELAÇÕES ENTRE NÚMEROS E OPERAÇÕES
· O que diferencia o pensamento algébrico da aritmética é a generalização, principal característica da álgebra.
· O Pensamento algébrico ou Raciocínio algébrico envolve formar generalizações a partir de experiências com números e operações, formalizar essas ideias com o uso de sistema de símbolos significativo e explorar os conceitos de padrão e de função.
O ensino que se organiza de modo intencional para desenvolver a observação de padrões e regularidades, a estrutura dos números em nosso sistema de numeração decimal e a análise de relações entre número e operações desenvolve um conjunto de habilidades cognitivas que é denominado de raciocínio algébrico. Dessa forma, o aluno se apropria de formas de pensar e de conhecimentos necessários para aprender álgebra formalizada que estudará nas séries mais altas.
PARA DESENVOLVER O PENSAMENTO ALGÉBRICO
O foco atual do ensino de álgebra está no tipo de pensamento e raciocínio que prepara os alunos a pensar matematicamente em todas as áreas da matemática.
Ideias Importantes
1. - A estrutura de nosso sistema de numeração e os métodos que utilizamos para calcular pode ser generalizada. Essas generalizações se tornam ideias poderosas para fazer matemática.
2. - O simbolismo, especialmente envolvendo equações e variáveis, é usado para expressas as generalizações aritméticas e a estrutura do sistema numérico. Por exemplo, a generalização de que (a+b)=(b+a) nos diz que 83+27=27+83 sem precisar calcular as somas em cada lado da igualdade.
3. - As são símbolos que tomam o lugar de números ou domínio de números. Eles são usados para representar quantidades que variam ou mudam (variáveis), valores desconhecidos específicos (incógnitas) e como parâmetros em expressões ou fórmulas generalizadas.
4. - Os padrões, uma ocorrência regular em toda matemática, podem ser reconhecidos, ampliados e generalizados.
5. - As funções são relações ou regras (leis) que associam exclusivamente os membros de um conjunto com os membros de outro conjunto.
6. - As relações funcionais podem ser representadas em contextos do mundo real, gráficos, equações simbólicas, tabelas e palavras. Cada representação fornece uma visão diferente da mesma relação. As representações diferentes servem a propósitos diferentes ao tornar a função útil.
CONEXÕES DE CONTEÚDOS MATEMÁTICOS
· Número, valor posicional, fatos fundamentais e computação: As generalizações mais importantes do pensamento algébrico são aquelas realizadas sobre números e cálculos aritméticos. 
· O pensamento algébrico trazem maior compreensão e facilidade aos cálculos.
· Podemos usar nossa compreensão da base 10 para adicionar 5+8 (5+8=3+2+8=3+10).
· Conceitos das operações: Conforme as crianças aprendem sobre as operações, também aprendem que existem regularidades no modo como as operações funcionam. Os exemplos de comutação (troca, permuta, substituição) (a+b)=(b+a) e (axb)=(bxa) como também o modo que as operações estão relacionadas uma à outra.
Raciocínio proporcional: Toda situação proporcional dá lugar a uma função linear (linha reta) com um gráfico que passa pela origem. A relação constante na proporção é a inclinação do gráfico.
Medidas: A medida é um dos principais modos de descrever as relações do mundo físico. Essas relações podem ser matematizadas de modo que as generalizações algébricas possam ser usadas para melhor compreendê-las. As fórmulas de medida são funções, uma forma especial de generalização algébrica.
Pensamento geométrico: Os padrões geométricos são alguns dos primeiros padrões que as crianças experimentam. Os padrões crescentes dão lugar a relações funcionais. Coordenadas são usadas para generalizar conceitos de distância e controlar transformações. E, é claro, as funções são plotadas no plano de coordenadas para mostrar visualmente as relações algébricas.
Análise de dados: Quando dados são coletados, um pensadoalgébrico pode examiná-los em busca de regularidades e de padrões numéricos. As funções são usadas para observar tendências aproximadas ou descrever as relações de modos matematicamente úteis.
Kaput (1999) descreve a álgebra como algo que envolve generalizar e expressar essa generalização usando linguagens cada vez mais formais, onde a generalização se inicia na aritmética, em situações de modelagem em geometria e virtualmente em toda a matemática que pode ou deve aparecer nas séries elementares.
Exemplo: Costume à primeira vista inocente, como sempre colocar a operação do lado direito do sinal de igual e o resultado do lado esquerdo, devem ser problematizados. "Se o aluno se acostumar com a representação conta = resultado, ele vai inferir que o igual é algo para ser lido da esquerda para a direita", diz Maria Ignez. Quando chegar ao Ensino Fundamental 2, haverá dificuldades para entender que o igual representa uma equivalência entre os termos. Observe a expressão 4 + 2 = 3 + 3. Essa sentença não pede um resultado, mas ela está correta. "Entender equivalência é compreender que os dois lados da igualdade não são idênticos, mas representam o mesmo valor, usando números diferentes” (Nova escola).
Cinco formas diferentes de raciocínio algébrico:
1. Generalização da aritmética e de padrões em toda a matemática.
2. Uso significativo de simbolismo.
3. Estudo da estrutura no sistema de numeração.
4. Estudo de padrões e funções.
5. Processo de modelagem matemática, que integra as quatro anteriores.
Generalizações numéricas e operatórias
A fim de fazer generalizações é útil usar simbolismo, pois assim as generalizações e uma compreensão de variáveis e do simbolismo são ambas desenvolvidas ao mesmo tempo.
O sinal de igualdade
É um dos símbolos mais importantes na aritmética, na álgebra e em toda matemática ao usar números e operações. Mas ele é mal compreendido, pois os estudantes acreditam que de um lado do sinal igual - normalmente lado esquerdo - é o problema e o outro lado é a resposta.
Quando os estudantes falham na compreensão do sinal de igual, eles em geral apresentam dificuldades ao lidar com expressões algébricas.
Carpenter, Franke e Levi (2003) sugerem que um bom ponto de partida para ajudar com o sinal de igualdade é explorar as equações como sentenças verdadeiras ou falsas. 
Pensamento Relacional
Quando um estudante observa e usam relações numéricas entre os dois lados do sinal de igualdade em vez de realmente calcular as quantidades, o pensamento envolvido é chamado pensamento relacional. 
Em um contexto mais amplo, o pensamento relacional é um primeiro passo em direção à generalização de relações encontradas na aritmética.
Não tente impor o pensamento relacional aos estudantes. Ao contrário, continue a explorar uma série cada vez mais complexa de sentenças verdadeiro/falso e sentenças abertas com sua turma.
Variáveis em equações
As variáveis são um dispositivo de representação poderoso que permite a expressão de generalizações. Um objetivo é os estudantes trabalharem com expressões envolvendo vaiáveis sem mesmo pensar sobre o número ou os números específicos que as letras possam valer. Kaput (1999) se refe a isso como manipulação de formalismos opcados - podemos observar e trabalhar com os próprios símbolos em vez de examinar ou procurar o que os símbolos poderiam representar. As letras podem ser usadas como valores desconhecidos simples (incógnitas) ou como quantidades que variam (variáveis).
Letras usadas como valor desconhecido
No início do ensino, usa-se um quadrado no lugar de valores desconhecidos. Depois é possível colocar letras no lugar.
Carpenter e colaboradores (2003), a regra do matemático: se o mesmo símbolo ou letra aparece mais de uma vez em uma equação, então ele deve representa o mesmo número em todo lugar que aparece. 
Letras usadas como quantidades que variam
Quando existirem símbolos ou variáveis diferentes em uma única equação, as variáveis diferentes podem ter valores diferentes. 
Nas séries iniciais, o uso de duas ou até três letras é um precursor das variáveis usadas para descrever tais funções tais como em y-=3x-5.
Resolvendo equações ou desigualdades
Por volta da 4ª série, é razoável permitir que os alunos encontrem soluções para sentenças abertas com uma ou mais variáveis simplesmente usando tentativa e erro e pensamento relacional. Por volta da 5ª ou 6ª série, os estudantes precisam desenvolver alguns procedimentos que lhes permitirão resolver equações quando esses métodos informais não forem mais adequados.
Explicitando a estrutura do sistema numérico
Características
· Possui símbolos diferentes para representar quantidades de 1 a 9 e um símbolo para representar a ausência de quantidade (zero).
· Como é um sistema posicional, mesmo tendo poucos símbolos, é possível representar todos os números.
· As quantidades são agrupadas de 10 em 10, e recebem as seguintes denominações:
10 unidades = 1 dezena
10 dezenas = 1 centena
10 centenas = 1 unidade de milhar, e assim por diante.
Compreender a estrutura decimal do sistema de numeração implica perceber que um determinado número pode ser composto e decomposto de diferentes maneiras, como por exemplo, que 36 são três dezenas e seis unidades, ou ainda, 3 dúzias.
Uma das características do sistema de numeração indo-arábico é que ele utiliza apenas dez símbolos para com eles escrever qualquer número: 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 0.
Regras do sistema de numeração: 
1) O sistema é decimal: funciona com agrupamentos de dez (base do sistema).
2) O sistema é posicional: o valor de um algarismo é determinado pela posição que ocupa no numeral; 
3) O sistema é multiplicativo: em um numeral cada algarismo representa um número que é múltiplo de um potência da base dez. 
4) O sistema é aditivo, isto é, o valor do numeral é dado pela soma dos valores individuais de cada símbolo de acordo com a regra anterior (NOGUEIRA; BELLINI; PAVANELLO, 2013, P. 84-85).
Propriedade das operações
Adição
1 – A ordem em que dois números são somados não altera o resultado da soma. Matematicamente: a + b = b + a
Essa propriedade é chamada de comutatividade.
2 – Em uma soma de três números: a + b + c, somar a + b e depois c tem o mesmo resultado que somar b + c e depois a. Matematicamente: (a + b) + c = a + (b + c)
Essa propriedade é chamada de associatividade.
3 – Existe um número, chamado de elemento neutro (nesse caso, zero), que não influencia o resultado da soma. Assim: a + 0 = 0 + a = a
4 – Para todo número x existe um número – x em que a soma entre eles é igual a 0.
x + (– x) = 0
Essa última propriedade permite compreender a subtração como uma adição de inversos aditivos. Isso, de certa forma, permite incluir a operação subtração na operação adição, tornando-as uma só. Contudo, para melhor compreensão dos alunos, esse detalhe é pouco mencionado em sala de aula.
Assim, a subtração 77 – 42 pode ser vista como a seguinte adição: 77 + (– 42)
Por isso, foram criadas regras de sinais para adição de números reais, que são as seguintes:
a) Se os sinais dos números forem positivos, o resultado da soma será positivo;
b) Se os sinais dos números forem negativos, o resultado da soma será negativo;
c) Se os sinais dos números forem diferentes, deveremos diminuí-los e manter no resultado o sinal daquele que possui o maior módulo, ou seja, aquele que é maior, independentemente do sinal.
Essas regras são muito substituídas em sala de aula pelo seguinte:
Sinais iguais, soma e conserva.
Sinais diferentes, subtrai e conserva o sinal do maior.
Multiplicação e divisão
A multiplicação é entendida como uma sequência de somas em que as parcelas são números iguais. Veja uma soma que contém 8 parcelas: 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4
A multiplicação substitui a notação da soma pela seguinte: 8·4
8 é o número de parcelas e 4 é o número que está sendo somado.
Observando que o resultado da multiplicação acima é 32, pois a soma de 8 parcelas do número 4 é igual a 32, podemos definir a divisão como operação inversa: 32 objetos divididos igualmente em 8