Física - Livro 4-065-068

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CAPÍTULO Estática
A construção de estruturas estáveis requer um equilíbrio de forças e de torques.
Neste capítulo, estudaremos as grandezas físicas relacionadas com a estabilidade dos
corpos que possibilitam a execução de belas construções aparentemente estáveis,
mas que se mantêm rmes, como é o caso das Torres Kio (também conhecidas como
“porta da Europa”), localizadas em Madri, na Espanha
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b
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c
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FÍSICA Capítulo 11 Estática66
Conceitos básicos de Estática
De maneira geral, a Estática é o ramo da Física que
estuda e analisa a estabilidade e o equilíbrio dos corpos.
Contudo, é preciso ressaltar que existem condições es-
pecíficas – que serão vistas nas próximas seções – para
que um corpo permaneça parado em equilíbrio translacio-
nal (sem aceleração linear) e em equilíbrio rotacional (sem
aceleração angular).
As leis da Estática podem ser equacionadas por meio
de simples medições geométricas e de forças. Seus prin-
cípios básicos foram desenvolvidos há milhares de anos, já
pelas primeiras civilizações, que utilizavam máquinas, como
alavancas e polias, para aprimorar a agricultura, construir
edifícios e confeccionar instrumentos de guerra.
Um dos grandes cientistas que contribuíram para o de-
senvolvimento dessa ciência foi Arquimedes (287-212 a.C.),
um matemático grego que realizou estudos sobre alavancas
e centro de gravidade de corpos, enunciando leis básicas
de equilíbrio. A Arquimedes é atribuída a frase: “Dê-me um
ponto de apoio e eu moverei o mundo.”
Fig. 1 Pintura da alavanca de Arquimedes feita por Giulio Parigi (1571-1635), por
volta de 1600, em uma das paredes da Galeria dos Ofícios, em Florença, Itália.
A formulação das regras de combinação vetorial de
forças, feita por Stevinus (1548 1620), também foi funda
mental para o desenvolvimento da Estática Muitos outros
cientistas forneceram contribuições importantes para o
avanço desse ramo da ciência, como Pierre Varignon,
Isaac Newton, Galileu Galilei, Leonardo da Vinci, Jean
Baptiste D’Alembert, Joseph Louis Lagrange e Pierre
Simon Laplace
As análises deste capítulo podem ser a base para estu
dos mais avançados de Ensino Superior, principalmente nas
áreas de Mecânica
de Corpos Rígidos,
Mecânica de Corpos
Deformáveis e Me
cânica dos Fluidos
Esses tópicos são
fundamentais em
projetos extrema
mente complexos e
importantes realiza
dos na arquitetura e
na engenharia, como
pontes, edifícios e
túneis
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Fig. 2 A Ponte Estaiada Octavio Frias de Oliveira,
em São Paulo, é uma bela construção da engenha-
ria e da arquitetura que usa aspectos da Estática.
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o
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Além disso, o estudo da Estática é significativo para
outros ramos das ciências O próprio corpo humano,
por exemplo, é composto de um sistema complexo de
alavancas e pontos de apoio, o que faz do estudo do
equilíbrio um conhecimento essencial para entender
também mecanismos aplicados aos campos do esporte
e da medicina
Fig. 3 Henrique Medina Flores, atleta brasileiro de ginástica artística. Nas argolas,
a execução de giros e exercícios estáticos requer grande força de musculatura
superior para suportar o peso corporal e manter o máximo de alinhamento entre
quadril e ombros.
Porém, para iniciar o estudo do equilíbrio dos corpos,
é necessário relembrar e definir alguns conceitos funda-
mentais, que serão trabalhados a seguir.
Ponto material e corpo extenso
Um corpo com dimensões desprezíveis, se comparadas
às outras dimensões envolvidas no movimento em estudo,
é considerado um ponto material Um ponto material não
sofre rotação. Assim, inicialmente, faremos análises de equi-
líbrio translacional, nas quais descartaremos a possibilidade
de movimentos rotacionais desses pontos materiais.
Já o corpo extenso é aquele cujas dimensões são
importantes nas análises de forças e de equilíbrio. Nesse
tipo de corpo, dependendo do ponto de aplicação da for
ça, pode ocorrer rotação. Por isso, nas seções posteriores,
quando os movimentos rotacionais forem importantes para
as análises, estudaremos uma grandeza física que mede
a capacidade que as forças têm de rotacionar corpos: o
torque, também chamado de momento de uma força.
Os corpos extensos serão considerados corpos rígi-
dos, ou seja, corpos que podem girar com todas as partes
ligadas rigidamente sem sofrer deformação, mesmo sob
a ação de forças externas. Embora o conceito de corpo
rígido seja uma idealização, pois todos os corpos reais são
de alguma forma elásticos e se deformam, para o nosso
estudo essa será uma consideração razoável.
Centro de massa (CM)
O centro de massa (CM) é definido como o ponto onde
é concentrada toda a massa de um corpo ou de um sistema
composto de um conjunto de corpos. Para muitas análises,
podemos considerar que as forças externas são aplicadas
no centro de massa.
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No lançamento oblíquo de uma chave-inglesa (Fig 4),
por exemplo, o movimento de pontos distintos nas duas
extremidades da chave não tem uma trajetória bem defi
nida Porém, o movimento do centro de massa segue uma
trajetória parabólica que é o esperado ao se realizar o
lançamento oblíquo de uma partícula Na verdade, o movi
mento desse corpo rígido é uma combinação do movimento
de translação do seu centro de massa e do de rotação do
corpo em torno de um eixo que passa por esse centro de
massa
Fig. 4 O movimento da chave-inglesa é uma combinação de translação do centro
de massa e de rotação do corpo em torno do centro de massa. A aceleração do
CM é igual à aceleração da gravidade em todos os pontos da trajetória.
g
v0
Centro
de massa
Já em um sistema de dois corpos, o centro de massa
está localizado em um ponto sobre a linha que os une, fi-
cando mais próximo do corpo de massa maior (Fig. 5). Para
o cálculo da posição do centro de massa (xCM), utilizamos
a seguinte média ponderada:
x
m x m x
m m
CM
1 1 2 2
1 2
=
⋅ + ⋅
+
y
xCM
x2
x
m1
x1
CM
m2
Fig. 5 O centro de massa de um sistema de dois corpos fica mais próximo do
corpo que tem maior massa.
Exercício resolvido
1 Determine a posição do centro de massa de um sis
tema de dois corpos de massas m1 = 1 kg e m2 = 9 kg,
separados por uma distância de 1 m.
Resolução:
x
CM
= ?
1 m
m
2
m
1
CM
Nesse caso, adotando como referencial o corpo de
1 kg, temos:
= ⋅ + ⋅
+
= ∴ =x 1 0 9 1
1 9
9
10
 m x 90 cm
CM CM
No caso de um conjunto de partículas, o cálculo da
posição do CM em relação ao eixo x é dado por:
x
m x m x m x
m m ... m
CM
1 1 2 2 n n
1 2 n
=
⋅ + ⋅ + + ⋅
+ + +
Essa média ponderada pode ser extrapolada para
quaisquer direções
y
m y m y m y
m m mCM
1 1 2 2 n n
1 2 n
=
⋅ + ⋅ ++ ⋅
+ +…+
z
m z m z m z
m m m
CM
1 1 2 2 n n
1 2 n
=
⋅ + ⋅ +…+ ⋅
+ +…+
Exercício resolvido
2 Quatro partículas, A, B, C e D, de massas respec-
tivamente m, 2m, 3m e 4m, estão posicionadas nos
vértices de um quadrado de lado d. Determine as
coordenadas do centro de massa do sistema nos ei-
xos x e y.
4m
D C
A B
y
m
3m
2m
x
Resolução:
Considerando os eixos horizontal (x) e vertical (y), te-
mos os seguintes dados para cada partícula:
FÍSICA Capítulo 11 Estática68
Partícula Massa Coordenada x Coordenada y
A m 0 0
B 2m d 0
C 3m d d
D 4m 0 d
Portanto, as coordenadas horizontal e vertical do cen
tro de massa do sistema são dadas por:
x
m 0 2m d 3m d 4m 0
m 2m 3m 4m
d
2
y
m 0 2m 0 3m d 4m d
m 2m 3m 4m
7d
10
CM
CM
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
+ + +
=
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
+ + +
=
Para corpos maciços, a determinação do CM é um
pouco mais complicada e deve ser feita utilizando cálculo
diferencial e integral. Porém, para alguns corpos simétri
cos e uniformes, o centro de massa coincide com o centro
geométrico que está sobre o ponto, a linha ou o plano de
simetria (Fig. 6).
O
O O
O
O
O
O
O
Fig. 6 Centro geométrico (O) de diferentes corpos.
Note que o centro de massa de um corpo pode estarlocalizado em uma região externa a ele. Por exemplo, o
centro de massa de uma ferradura não se localiza sobre
ela, assim como o centro de massa de uma rosquinha se
encontra no centro vazio.
Caso exista um corpo simétrico com algum buraco que
também tem simetria, podemos utilizar o princípio da su
perposição e considerar a área, o volume ou a massa do
buraco negativos. Entenda melhor esse caso por meio da
leitura do exemplo a seguir
Exercício resolvido
3 Determine o centro geométrico de um fino disco de
raio R que tem um buraco circular de raio R/2 que tan
gencia o centro do disco.
y
x
R
0 R
2
Resolução:
Considerando o buraco do disco como uma área ne-
gativa, temos:
=
⋅ − ⋅
−
⇒
⇒ =
π ⋅ π
π π
⇒ = −
x
x A x A
A A
x
0 R
R
2
R
4
R
R
4
x
R
6
o
disco disco buraco buraco
disco buraco
o
2
2
2
2 o
A inversão de Fosbury
Em 1968, o atleta americano Dick Fosbury ganhou a medalha de
ouro do salto em altura por meio de uma técnica inusitada e pouco
utilizada até então, conhecida hoje como inversão de Fosbury.
Diferente do estilo anteriormente utilizado, nessa nova técnica o atle-
ta encurva o corpo quando passa sobre a barra. Logo, seu centro
de massa passa efetivamente embaixo da barra, diminuindo, assim,
a necessidade de um grande aumento na energia potencial gravita-
cional, necessário na técnica antiga
Fig. 7 A imagem da esquerda é do salto em altura tradicional
utilizado antes da técnica da inversão de Fosbury, representada na foto
da direita. Na inversão de Fosbury, o centro de massa do atleta passa
efetivamente abaixo da barra.
Apesar de Fosbury ter sido ridicularizado na época, hoje em dia sua
técnica de inversão foi consagrada como a mais efetiva e é utilizada
por muitos atletas Essa técnica revolucionária chegou a ser exemplo
no mundo empresarial por ser um marco de inovação e criatividade,
rompendo regras e paradigmas previamente estabelecidos.
Saiba mais
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