Física - Livro 3-065-068

Prévia do material em texto

F
R
E
N
T
E
 1
65
Determine:
a) a potência desenvolvida por F entre 0 e 10 s.
b) a potência de F para o instante t = 8 s.
Resolução:
a) A potência desenvolvida entre 0 e 10 s é a potên
cia média nesse intervalo. Do gráco, vemos que
a aceleração é constante. Logo, F é constante e a
sua potência média pode ser escrita como:
Pm = F ⋅ vm
Mas:
F m a v
s
t
m
= ⋅ = e
D
D
Do gráco, temos:
a
v
t
= =
-
-
=
D
D
20 0
10 0
2 m/s
2
D Ds área s
N
= = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ =
1
2
1
2
10 20base altura 100 m
Logo:
F m a N
v
s
t
m
= ⋅ = ⋅ =
= = =
5 2 10
100
10
10 m/s
D
D
Assim:
Pm = 10 ⋅ 10 ⇒ Pm = 100 W
b) Como a força é constante, então a potência ins-
tantânea em 8 s pode ser escrita como:
P(8) = F ⋅ v(8)
Como a aceleração é constante, temos:
v(t) = v0 + a ⋅ t ⇒ v(8) = 0 + 2 ⋅ 8 = 16 m/s
Como F = 10 N:
P(8) = 10 ⋅ 16 ⇒ P(8) = 160 W
4 Uma bomba hidráulica deve retirar água de um poço
à razão de 3 L/s e levá la até a caixa-d’água de um
prédio, localizada a 30 m de altura em relação ao
poço. Sabendo que o rendimento da bomba é de
60%, a densidade da água é de 1 kg/L, g = 10 m/s2 e
1 hp ≅ 750 W, determine a potência da bomba em hp.
Resolução:
A potência média útil é dada por:
P
W
t
e W E mghU
U
U PG= = =
D
D
Logo:
P
mgh
t
m
t
ghU = =
D D
Sabemos que:
V
t
3 L/s
m
t
3 kg/s
D
= ⇒
D
=
Logo, como h = 30 m:
PU = 3 ⋅ 10 ⋅ 30 ⇒ PU = 900 W
Mas:
η
η
= ⇒ = = = ⇒ =
P
P
P
P
W P hpU
T
T
U
T
900
0 6
1 500 2
,
5 O motor da figura a seguir leva o bloco de 2 kg da
posição A para a posição B, com velocidade cons-
tante, em 6 s. O coeficiente de atrito entre o bloco e
o plano inclinado vale 0,5. Sabendo que cos a = 0,6 e
g = 10 m/s2, determine a potência do motor.
α
3
 m
A
B
Motor
Resolução:
A potência do motor é a potência da força de tração
no o. Como a velocidade é constante, então a acele-
ração é nula e a resultante é nula.
Para o cálculo de T, vamos isolar o bloco:
N
T
x
y
P · cosα
Fat
P · senα
Em y, há equilíbrio de forças:
N = P ⋅ cos a
Em x, há equilíbrio de forças:
T = P ⋅ sen a + Fat = P ⋅ sen a + µ ⋅ N = P ⋅ sen a + µ ⋅ P ⋅ cos a
T = mg(sen a + µ ⋅ cos a) = 2 ⋅ 10 ⋅ (0,8 + 0,5 ⋅ 0,6) = 22 N
Como a tração é constante, sua pontência pode ser
escrita como:
P = T ⋅ v
Como v é constante:
v
s
t
= = =
D
D
3
6
0,5 m/s
Logo:
P = 22 ⋅ 0,5 ⇒ P = 11 W
FÍSICA Capítulo 10 Trabalho, potência e energia66
6 O gráfico a seguir representa a força resultante que
atua sobre um corpo de massa 2 kg, em função de
sua posição.
8
F (N)
40 x (m)
Sabendo que, para x = 0, a velocidade do corpo vale
3 m/s, determine:
a) a posição em que a velocidade é máxima.
b) a velocidade máxima.
c) a velocidade para x = 7 m.
Resolução:
a) Se F é a resultante das forças, então:
WF = DEC = EC,nal - EC,inicial
A velocidade será máxima quando a energia ciné-
tica nal for máxima. Isso acontece para o máximo
trabalho de F, contado a partir de x = 0, que é o
ponto para o qual conhecemos a energia cinética
inicial. A partir de x = 0, a área do gráco, que
representa o trabalho de F, vai aumentando à me-
dida que x aumenta, até o limite em que x = 4 m,
pois, a partir daí, começa a diminuir.
Então, v é máxima para x = 4 m.
O gráco de x = 0 a x = 7 m é dado por:
A1
7
F (N)
8
−6
0 4
A2
x (m)
b) De x = 0 a x = 4 m:
W A J
F
= = ⋅ ⋅ =
1
1
2
4 8 16
E m v JC inicial inicial, = ⋅ = ⋅ ⋅ =
1
2
1
2
2 3 9
2 2
E m v v vC final final final final, = ⋅ = ⋅ ⋅ =
1
2
1
2
2
2 2 2
WF = EC,nal - EC,inicial ⇒ 16 = v
2
nal - 9 ⇒ vnal = 5 m/s
c) De x = 0 a x = 7 m:
W A A W J
F F
= = ⋅ ⋅ ⇒ =
1 2
16
1
2
3 6 7
WF = EC,nal EC,inicial ⇒ 7 = v
2
nal 9 ⇒ vnal = 4 m/s
7 A figura a seguir mostra um corpo de massa m, pre-
so por uma haste de comprimento L a um ponto O.
O sistema é abandonado do ponto A.
A
B
O
L
Determine a tração na haste quando o corpo passa
pelo ponto B, nos seguintes casos:
a) ausência de atritos.
b) quando, devido ao atrito, o sistema perde 50% de
sua energia mecânica inicial, de A até B, adotan-
do o referencial em B.
Resolução:
a) Na ausência de atritos, temos:
EM,A = EM,B
Com o referencial em B:
EM,A = EPG,A + EC,A = mghA + 0 = mg ⋅ 2L = 2 mgL
E E E mv mvMB PGB C B B B, , ,= + = + =0
1
2
1
2
2 2
Assim:
2
1
2
4
2 2
mgL mv v gLB B= ⇒ =
Isolando o corpo em B:
P
T
Como o corpo descreve um movimento circular:
F T P
mv
R
T P
mv
L
T mgR cp
B B
, = ⇒ = ⇒ =
2 2
T
m gL
L
mg T mg=
⋅
+ ⇒ =
4
5
b) Com atrito:
WF
nc
= DEM ⇒ WF
at
= EM,B EM,A
Mas:
WF
at
= -50% ⋅ EM,A = -0,5 ⋅ 2 mgL = -mgL
Assim:
- = - ⇒ = ⇒ =mgL mv mgL mgL mv v gLB B B
1
2
2
1
2
2
2 2 2
F
R
E
N
T
E
 1
67
Isolando o corpo em B, do mesmo modo como no item a:
F T P
mv
R
T P
mv
L
T mgR cp
B B
, = ⇒ = ⇒ = ⇒
2 2
⇒ =
⋅
+ ⇒ =T
m gL
L
mg T mg
2
3
8 Um carrinho de massa m percorre uma montanha-
-russa cujo trecho BCD é um arco de circunferência
de raio R, conforme a figura. Se o carrinho é solto do
repouso em A, de uma altura h = 1,25R, determine,
desprezando o atrito, a força feita pelos trilhos sobre
o carrinho no ponto C.
B
C
D
A
h
R
Resolução:
Entre A e C, não existe atrito:
EM,A = EM,C
Tomando o referencial na linha tracejada horizontal:
EM,A = EPG,A + EC,A = mghA + 0 = mg ⋅ 1,25R = 1,25 mgR
E E E mgh mv mgR mvMC PG C C C C C C, , ,= + = + = +
1
2
1
2
2 2
Assim:
1 25
1
2 2
0 25 0 5
2
2
2
, , ,mgR mgR mv
v
gR v gRC
C
C= + ⇒ = ⇒ =
Isolando o corpo em C:
N
P
Como o corpo descreve um movimento circular:
F P N
mv
R
mg NR cp
C
, = - ⇒ = - ⇒
2
⇒ = -
⋅
⇒ =N mg
m gR
R
N mg
0 5
0 5
,
,
9 Um corpo de massa 3 kg possui velocidade de 4 m/s
no ponto A. Sabe-se que o corpo percorre a trajetória
ABC, parando em C. O trecho AB é perfeitamente liso,
mas, a partir do ponto B, existe atrito, com µ = 0,5.
Dados: g = 10 m/s2
A
B C
1 m
Determine:
a) a velocidade do corpo ao atingir o ponto B.
b) o trabalho realizado pela força de atrito no trecho
BC.
c) a distância BC.
Resolução:
a) Entre A e B, não existe atrito:
EM,A = EM,B
Tomando o referencial em B:
E E E mgh mvMA PG A C A A A, , ,= + = +
1
2
2 ⇒
⇒ E JM A, = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =3 10 1
1
2
3 4 54
2
E E E mv
v
MB PGB C B B
B
, , ,= + = + =0
1
2
3
2
2
2
Assim:
3
2
54 36 6
2
2v
v v
B
B B
= ⇒ = ⇒ = m/s
b) Entre B e C, existe atrito:
WF
nc
= DEM ⇒ WF
at
= EM,C EM,B
Como EM,C = 0 e EM,B = EM,A = 54 J, então:
WF
at
= 0 54 ⇒ WF
at
= -54 J
c) Como a força de atrito é constante:
WF
at
= -Fat ⋅ BC = -µ ⋅ N ⋅ BC = -m ⋅ mg ⋅ BC ⇒
⇒ WF
at
= -54 J ⇒ -0,5 ⋅ 3 ⋅ 10 ⋅ BC = -54 ⇒
⇒ BC = 3,6 m
10 Na figura a seguir, o cilindro de 4 kg de massa, acopla-
do a uma barra, desliza sem atrito sobre ela. O cilindro
está ligado ao ponto O através de uma mola de cons-
tante elástica igual a 600 N/m e comprimento natural
de 10 cm Sabendo que o sistema foi solto do repouso
e que g = 10 m/s2, determine a velocidade do cilindro
ao passar pelo ponto B, 20 cm abaixo de A.
A
B
O
15 cm
20 cm
FÍSICA Capítulo 10 Trabalho, potência e energia68
Resolução:
Entre A e B, não existe atrito:
EM,A = EM,B
Tomando o referencial em B:
E E E E mgh kxM A PG A C A PEl A A, , , ,= + + = + +0
1
2
E E E E mvMB PG B C B PEl B B, , , ,= + + = + +0
1
2
1
2
2
kkxB
2
Como OA = 15 cm e hA = AB = 20 cm, então OB = 25 cm.
Se o comprimento natural da mola (l0) é 10 cm:
xA = OA - l0 = 15 cm - 10 cm = 5 cm
xB = OB - l0 = 25 cm - 10 cm = 15 cm
Assim:
mgh kx mv kxA A B B+ = + ⇒
1
2
1
2
1
2
2 2 2
⇒ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒4 10 0 2
1
2
600 0 05
1
2
4
1
2
600 0 15
2 2 2
, , ,vB
⇒ 8 + 0,75 = 2v2B + 6,75 ⇒ 2v
2
B = 2 ⇒ vB = 1 m/s
11 Um corpo de 1 kg de massa é solto do repouso de
uma altura de 1,5 m e desce uma rampa até atingir a
mola de constante elástica 500 N/m Sabe-se que o
atrito só atua no trecho AB e que o seu coeficiente
vale 0,5. Determine a deformação máxima da mola,
assumindo g = 10 m/s2
1,5 m
1 m
A B
Resolução:
Ao longo do percurso existe atrito:
WF
Nc
= DEM ⇒ WF
at
= EM,nalEM,inicial
Mas:
WF
at
= -Fat ⋅ d = -µ ⋅ N ⋅ d = -µ ⋅ mg ⋅ d = 0,5 ⋅ 1 ⋅ 10 ⋅ 1 = 5 J
Tomando o referencial em A:
EM,inicial = mgh = 1 ⋅ 10 ⋅ 1,5 = 15 J
E
1
2
kx
1
2
500x 250x
M,final
2 2 2= = ⋅ =
Assim:
-5 = 250x2 - 15 ⇒ 10 = 250x2 ⇒ x2 = 0,04 ⇒ x = 20 cm
12 Um corpo de massa 2 kg é solto do repouso de uma
altura de 15 cm em relação a uma mola não deforma-
da, de constante elástica igual a 200 N/m.
15 cm
Sabendo que g = 10 m/s2, determine:
a) a deformação da mola quando a velocidade do
corpo for máxima.
b) a velocidade máxima do corpo.
Resolução:
a) O corpo terá velocidade máxima na posição em
que a força elástica for igual ao peso, pois, a partir
deste ponto, com o aumento da deformação, a força
elástica, dirigida para cima, será maior que o peso, o
que começará a desacelerar o corpo. Chegamos à
mesma conclusão se soubermos que a velocidade
é máxima (ou mínima) quando a aceleração (que é
a derivada da velocidade em relação ao tempo) for
nula, o que implica em resultante nula.
Logo:
vmáx⇒ FR= 0⇒ kx= mg ⇒ = =
⋅
⇒ =x
mg
k
x cm
2 10
200
10
b) Analisando a posição inicial e a posição de máxi-
ma velocidade:
10 cm
15 cm
A B
Entre as situações A e B, há conservação de ener-
gia mecânica:
EM,A = EM,B
Com o referencial da gura:
EM,A = EPG,A + EC,A + EPEI,A = mghA + 0 + 0 ⇒
⇒ EM,A = 2 ⋅ 10 ⋅ 0,15 = 3 J
E E E E mgx mv kxMB PG B C B PEl B, , , ,= + + = - + +
1
2
1
2
2 2
máx ⇒
⇒ ⇒E vMB, , ,= - ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅2 10 0 10
1
2
2
1
2
200 0 10
2
máx
2
⇒ EM,B = -2 + v
2
máx + 1 = v
2
máx - 1
Assim:
3 = v2máx 1 ⇒ vmáx = 2 m/s
13 A figura a seguir ilustra um carrinho de massa m per-
correndo um trecho de montanha-russa, cujo trecho
circular tem raio R.
A
B
C
R
m
h