Apol II - Noções de geometria analítica

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Questão 1/10 - Noções de Geometria Analítica
Leia o trecho de texto a seguir:
Para encontrar a equação de uma parábola (x−h)2=4p(y−k)(�−ℎ )2=4�(�−�)
com vértice em V(h,k)�(ℎ ,�) e que passa pelo ponto P(x0,y0)�(�0,�0), basta
substituir os valores de P� e de V� na equação. Ficamos com uma equação com
incógnita em p�. Resolvendo esta equação, temos todos os dados da parábola.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Geometria
Analítica em espaços de duas e três dimensões sobre parábola, responda: a
equação da parábola com vértice no ponto V(1,1)�(1,1) , com concavidade para cima
e que passa pelo ponto (7,4)(7,4) é:
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
A (x−1)2=4(y−1)(�−1)2=4(�−1)
Você assinalou essa alternativa (A)
B (x−1)2=12(y−1)(�−1)2=12(�−1)
Substituindo
h=k=1ℎ =�=1
e
x=7�=7
e
y=4�=4
naequação
(x−h)2=4p(y−k)(�−ℎ )2=4�(�−�)
,temos
(7−1)2=4p(4−1)⇒36=4p.3⇒p=3(7−1)2=4�(4−1)⇒36=4�.3⇒�=3
,entãoaequaçãotemaforma
(x−1)2=12(y−1)(�−1)2=12(�−1)
.(livro-base,p.91-95).
C (x−2)2=6(y−1)(�−2)2=6(�−1)
D (x−1)2=8(y−1)(�−1)2=8(�−1)
E (x+1)2=10(y+1)(�+1)2=10(�+1)
Questão 2/10 - Noções de Geometria Analítica
Leia o trecho de texto a seguir:
A equação da hipérbole na forma padrão, com centro na origem tem a
forma x2a2−y2b2=1�2�2−�2�2=1 ou y2a2−x2b2=1�2�2−�2�2=1. Considere a
equação da hipérbole de focos F1(5,0)�1(5,0) e F2(−5,0),�2(−5,0), sabendo que o
eixo imaginário mede 8 unidades de comprimento.
Fonte: Texto elaborado pelo autor.
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Geometria
Analítica em espaços de duas e três dimensões sobre hipérbole, assinale a
alternativa cuja expressão é a equação da hipérbole na forma padrão.
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
A x225−y216=1�225−�216=1
Você assinalou essa alternativa (A)
B x216−y29=1�216−�29=1
C x2√3−y2√6=1�23−�26=1
D x29−y216=1�29−�216=1
Temosumahipérbolecomosfocosnoeixodos
x�
,entãoaequaçãotemaforma
x2a2−y2b2=1.�2�2−�2�2=1.
Adistânciafocal
2c=10,c=5.2�=10,�=5.
Oeixoimagináriomede
2b=82�=8
,logo
b=4�=4
.Calculandoamedidadasdistânciasdosvértices:
c2=a2+b2⇒52=a2+42⇒a2=9,a=3,�2=�2+�2⇒52=�2+42⇒�2=9,�=3,
Entãoaequaçãotemaformapadrão
x232−y242=1⇒x29−y216=1�232−�242=1⇒�29−�216=1
.(livro-base,p.123).
E x23−y24=1�23−�24=1
Questão 3/10 - Noções de Geometria Analítica
Leia as informações a seguir:
1) O vetor −−→AB��→ é uma classe de segmentos orientados equipolentes ao
segmento orientado (A,B)(�,�). O vetor é obtido da seguinte
forma:→AB=B−A=(xB−xA,yb−yA,zB−zA)��→=�−�=(��−��,��−��,�
�−��) .
2) Dados os vetores u=(xu,yu,zu)�=(��,��,��),
v=(xv,yv,zv)�=(��,��,��), um modo conveniente de escrever o produto vetorial
de dois vetores é na notação de determinante
u×v=⎡ ⎢ ⎣ ijkxuyuzuxvyvzv⎤ ⎥ ⎦ �×�=[���������������]
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.Considerando o trecho de texto apresentado e os
conteúdos do livro-base Geometria Analítica em espaços de duas e três
dimensõesGeometria AnalíticaGeometria Analítica sobre produto de vetores,
respona: Dados os
pontos A(2,−1,2),B(1,2,−1)�(2,−1,2),�(1,2,−1) e C(3,2,1)�(3,2,1), assinale a
alternativa cujo vetor é resultante do produto
vetorial −−→CB×(−−→BC−2−−→CA).��→×(��→−2��→).
Nota: 10.0
A (1,4,−3) ou (−1,−4,3)(1,4,−3) �� (−1,−4,3)
B (5,−4,6) ou (−5,4,−6)(5,−4,6) �� (−5,4,−6)
C (6,−4,−7) ou (−6,4,7)(6,−4,−7) �� (−6,4,7)
D (2,−4,−2) ou (−2,4,2)(2,−4,−2) �� (−2,4,2)
E (12,−8,−12) ou (−12,8,12)(12,−8,−12) �� (−12,8,12)
Você assinalou essa alternativa (E)
Sejamosvetores
−−→CB=B−C=(−2,0,−2),−−→BC=C−B=(2,0,2)��→=�−�=(−2,0,−2),��→=�−�=(2,0,2)
e
−−→CA=A−C=(−1,−3,1)��→=�−�=(−1,−3,1)
.
Então
−−→BC−2.−−→CA=(2,0,2)−2(−1,−3,1)=(4,6,0)��→−2.��→=(2,0,2)−2(−1,−3,1)=(4,6,0)
.Agora
−−→CB×(−−→BC−2−−→CA)=��→×(��→−2��→)=
∣∣ ∣ ∣∣⃗ i⃗ j⃗ k460−20−2∣∣ ∣ ∣∣=(−12,8,12) ou (12,−8,−12)|�→�→�→460−20−2|=(−12,8,12) �� (12,−8,−12)
=
(−12,8,12)(−12,8,12)
ou
(12,−8,−12)(12,−8,−12)
,afirmativaverdadeira.
Questão 4/10 - Noções de Geometria Analítica
Leia o trecho de texto a seguir:
Parábola é
o conjunto dos pontos, tais que a distância de cada ponto à diretriz é igual à distância del
e até o foco. A equação da parábola com eixo de simetria coincidente com o eixo x, com
vértice na origem e concavidade voltada para a esquerda é
y2=−4px�2=−4��.
Outra informação importante é que a distância do vértice à diretriz é p�.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Considere o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Geometria
Analítica em espaços de duas e três dimensões sobre parábola, responda: qual é a
equação da diretriz da parábola de equação y2+20x=0�2+20�=0?
Nota: 10.0
A x=5�=5
Você assinalou essa alternativa (A)
Aequação
y2+20x=0�2+20�=0
podeserescritanaforma
y2=−20x�2=−20�
emaisprecisamente
(y−0)2=−4⋅ 5⋅ (x−0)(�−0)2=−4⋅ 5⋅ (�−0)
.Logo,p=5,V=(0,0)ex=-(p)quegerax=-(-5)=5.
B y=5�=5
C x=−5�=−5
D y=−5�=−5
E x=10�=10
Questão 5/10 - Noções de Geometria Analítica
Leia o trecho de texto a seguir:
"Seja (A,B)(�,�) um segmento orientado. A classe de equipolência de (A,B)(�,�) é
o conjunto −−→AB=(C,D)��→=(�,�) segmento
orientado: (C,D)∼ (A,B)(�,�)∼ (�,�)."
Após esta avaliaçãoApós esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: BEZERRA,
L. H. Geometria analitica.Geometria analitica. Florianópolis: UFSC/EAD/CED/CFM, 2010. p. 11.
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Geometria
Analítica em espaços de duas e três dimensões sobre Vetores, observe a figura (um
prisma de base regular, com vértices A, B e C inferior e superior D, E e F) a seguir:
Assinale a alternativa cujo vetor é soma dos
vetores −−→AC��→ e −−→FE��→ .
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
A −−→AE��→
B −−→AF��→
C −−→AB��→
−−→AC+−−→FE=−−→AC+−−→CB=−−→AB��→+��→=��→+��→=��→
D −−→AD+−−→DF��→+��→
Você assinalou essa alternativa (D)
E −−→FB��→
Questão 6/10 - Noções de Geometria Analítica
Leia o texto a seguir:
A equação da hipérbole na forma padrão, com centro em um ponto qualquer do sistema
cartesiano ortogonal, tem a
forma (x−h)2a2−(y−k)2b2=1(�−ℎ )2�2−(�−�)2�2=1 ou (y−k)2a2−(x−h)2b2=1.(�−�)2
�2−(�−ℎ )2�2=1. Em uma hipérbole a distância entre os focos F1�1 e F2�2 é
denominada distância focal.
Fonte: Texto elaborado pelo autor.
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Geometria
Analítica em espaços de duas e três dimensões sobre hipérbole, determine a
distância focal da hipérbole de equação (y+1)21−(x+1)21=1(�+1)21−(�+1)21=1.
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
A 2√222
Naequação
(y+1)21−(x+1)21=1(�+1)21−(�+1)21=1
,temosquea=b=1.
Calculandoadistânciafocal
c:c2=a2+b2⇒c2=12+12⇒c2=2⇒c=√2.�:�2=�2+�2⇒�2=12+12⇒�2=2⇒�=2.
Adistânciafocalé
2√2.22.
(livro-base,p.123).
B 22
Você assinalou essa alternativa (B)
C 2√323
D 3√232
E 4√242
Questão 7/10 - Noções de Geometria Analítica
Leia o trecho de texto a seguir:
A equação da hipérbole na forma padrão, com centro na origem tem a
forma x2a2−y2b2=1�2�2−�2�2=1 ou y2a2−x2b2=1�2�2−�2�2=1.
Fonte: Texto elaborado pelo autor.
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Geometria
Analítica em espaços de duas e três dimensões sobre hipérbole e
os vértices A1(5,0)�1(5,0), A2(−5,0),�2(−5,0), B1(0,4)�1(0,4) e B2(0,−4)�2(0,
−4), assinale a alternativa cuja expressão é a equação da hipérbole na forma padrão.
Nota: 10.0
A x225−y216=1�225−�216=1
Você assinalou essa alternativa (A)
Comooeixomaior2a=10,a=5eoeixomenor2b=8,b=4.Portantoaequaçãodahipérboleé
x225−y216=1�225−�216=1
.
B x25−y24=1�25−�24=1
C x24−y25=1�24−�25=1
D x236−y225=1�236−�225=1
E x21−y22=1�21−�22=1
Questão 8/10 - Noções de Geometria Analítica
Leia o trecho de texto as seguir:
Identificação da parábola:
Uma equação do tipo (x−h)2=4p(y−k)(�−ℎ )2=4�(�−�) ou
(x−h)2=−4p(y−k)(�−ℎ )2=−4�(�−�) representa uma parábola com vértice em
V(h,k)�(ℎ ,�) e eixo de simetria coincidente com o eixo y.
Uma equação do
tipo (y−k)2=4p(x−h)(�−�)2=4�(�−ℎ ) ou (y−k)2=−4p(x−h)(�−�)2=−4�(�
−ℎ ) representa uma parábolacom vértice em V(h,k)�(ℎ ,�) e eixo de simetria
coincidente com o eixo x.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Considerando o texto e os conteúdos do livro-base Geometria Analítica em espaços
de duas e três dimensões sobre parábola, determine a equação da parábola que tem
foco com coordenadas no ponto V(−1,3)�(−1,3), concavidade voltada para a
direita e p=3.
Nota: 10.0
A y=x2�=�2
B (x−1)2=12y(�−1)2=12�
C x2=12x�2=12�
D (y−3)2=12(x+1)(�−3)2=12(�+1)
Você assinalou essa alternativa (D)
SubstituindoosvaloresdadosdeVepnaequação
(y−k)2=4p(x−h)(�−�)2=4�(�−ℎ )
,poisévoltadaparaadireita.Então:
(y−3)2=4.3.(x−(−1))⇒(y−3)2=12(x+1).(�−3)2=4.3.(�−(−1))⇒(�−3)2=12(�+1).
E y2=12x�2=12�
Questão 9/10 - Noções de Geometria Analítica
Leia trecho de texto a seguir:
"Um vetor é um par ordenado de pontos, no plano ou no espaço, que denotamos
por −−→AB��→. Visualizamos o vetor como uma seta cujo ponto inicial é A� e o
ponto final B�."
Após esta avaliaçãoApós esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: AVERITZER, D. Geometria analítica e álgebra
linear: uma visão geométricaGeometria analítica e álgebra linear: uma visão geométrica. Belo Horizonte: Editora UFMG, 2009, p. 21.
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Geometria
Analítica em espaços de duas e três dimensões sobre vetores no R3�3 e que são
dados os pontos P� , Q� e R� do paralelogramo PQRS����. Se M é o ponto
médio do lado −−→SR��→, então assinale a alternativa cujo vetor é a soma dos
vetores −→PS+−−→SM.��→+��→.
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
A −−→MR��→
B −−→MQ��→
Você assinalou essa alternativa (B)
C −−→MP��→
D −−→PM��→
Como
M�
éopontomédiodolado
−−→SR��→
,então,pelaregradoparalelogramo
−→PS+−−→SM=−−→PM��→+��→=��→
E −−→PR��→
Questão 10/10 - Noções de Geometria Analítica
Leia trecho de texto a seguir:
"Dados os vetores v=(v1,v2,v3)�=(�1,�2,�3) e w=(w1,w2,w3)�=(�1,�2,�3),
definimos o produto vetorial (produto exterior) entre v e w, denotado por v×w, como o
vetor obtido pelo objeto matemático que não é um determinante mas que pode ser
calculado como se fosse um determinante.
∣∣ ∣∣ijkv1v2v3w1w2w3∣∣ ∣∣|����1�2�3�1�2�3|"
Após esta avaliaçãoApós esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: SODRÉ,
U. GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL :: Vetores no espaço R3 GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL :: Vetores no espaço �3 <
http://www.uel.br/projetos/matessencial/geometria/vetor3d/vetor3d.htm>. Acesso em 21 jan. 2020..
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Geometria
Analítica em espaços de duas e três dimensões sobre produto vetorial, assinale a
alternativa que dá o vetor unitário simultaneamente ortogonal aos
vetores ⃗ u=(2,−6,3)�→=(2,−6,3) e ⃗ v=(4,3,1)�→=(4,3,1).
Nota: 10.0
A 17(−3,2,6)17(−3,2,6)
Você assinalou essa alternativa (A)
u×v=∣∣ ∣∣ijka1a2a3b1b2b3∣∣ ∣∣=∣∣ ∣ ∣∣⃗ i ⃗ j ⃗ k2−63431∣∣ ∣ ∣∣=(−15,10,30)�×�=|����1�2�3�1�2�3|=|�→�→�→2−63431|=(−15,10,30)
Ovetorunitáriode(-15,10,30)é
w=(−15,10,30)|(−15,10,30)|=(−15,10,30)√225+100+900=(−15,10,30)35=17(−3,2,6)�=(−15,10,30)|(−15,10,30)|=(−15,10,30)225+100+900=(−15,10,30)35=17(−3,2,6)
.
Resposta:
±17(−3,2,6)±17(−3,2,6)
B 135(−3,2,6)135(−3,2,6)
C 23(−1,3,−2)23(−1,3,−2)
D (−6,4,12)(−6,4,12)
E 57(−2,2,3)57(−2,2,3)