APOL Objetiva 2 (Regular) - GEOMETRIA ANALÍTICA

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u×v=|ijkxuyuzuxvyvzv|
A(−1,0,−1)
B(2,3,−1)
v→=(−2,−1,0)
α
w→
α
u→=AB→
n→=i→
n→=j→
n→=i→+j→
k→ ou (0,0,1)
(0,0,1)
(0,0,3)
u→=AB→=B−A=(2,3.−1)−(−1,0,−1)=(3,3,0)
u→
v→
α
α
α
u×v=|i→j→k→330−2−10|=0i→+0j→−3k→+6k→−oj→−0i→=3k→=(0,0,3)
k→
(0,0,1)
(0,0,3)
n→=i→+j→+k→
u→
v→
S=12∥i→j→k→xuyuzuxvyvzv∥
A=(2,0,0)
B=(0,2,0)
C=(0,0,4)
u→
v→
16
6
u→=AB→=B−A=(0,2,0)−(2,0,0)=(−2,2,0)
v→=AC→=C−A=(0,0,4)−(2,0,0)=(−2,0,4)
u→
v→
S=12∥i→j→k→−220−204∥=|8i+8j+4k|2=1442=122=6
12
144
u→
v→
u→=AB→
v→=BC→
u→
v→
AC→
u→+v→=AB→+BC→=AC→
u→+v→
(1,−2,3)
u→
v→
u→=AB→=B−A=(3,4,5)−(2,2,2)=(1,2,3)
v→=BC→=C−B=(3,0,5)−(3,4,5)=(0,−4,0)
u→+v→
u→+v→=(1,2,3)+(0,−4,0)=(1,−2,3)
(1,1,1)
(0,−2,3)
(8,−1,0)
(0,0,1)
u→×v→=∥i→j→k→xuyuzuxvyvzv∥
u→=2i→+3j→−k→
v→=−i→−2j→+k→
S
S
22.
S
3.
u→×v→=|i→j→k→23−1−1−21|=(1,−1,−1)
S=|u→×v→|=12+(−1)2+(−1)2=3.
S
72.
S
73.
w→=(−9,−1)
w→=(3,6)
w→=(9,−1)
w→=7u→+2v→=7(3,−1)+2(−6,3)=(21,−7)+(−12,6)=(9,−1)
w→=(3,3)
w→=(−2,1)
Geometria Analítica
A=(−1,−1,0)
B=(3,5,0)
AP→=23AB→
P=(4,0,0)
P=(23,43,0)
P=(53,3,0)
AP→=23AB→P−A=23(B−A)P=A+23(B−A)P=(−1,−1,0)+23((3,5,0)−(−1,−1,0))P=(−1,−1,0)+23(4,6,0)P=(−1,−1,0)+(83,4,0)P=(53,3,0)
P=(13,2,0)
P=(3,53,0)
AB→
(A,B)
Após esta avaliação
Geometria analítica.
Geometria Analítica
u→=(4,1,−3)
v→=(6,a,b)
v→
u→=λv→
v→=(6,45,−13)
v→=(2,45,−13)
v→=(6,32,−92)
u→
v→
v→=λu→
v→=λu→⇒(6,a,b)=λ(4,1,−3)⇒6=λ⋅4⇒λ=64=32.
(6,a,b)=32(4,1,−3)
a=32
b=−92
v→=(6,32,−92)
v→=(6,2,−2)
v→=(6,0,−1)
u→=(3,−1)
v→=(−6,3)
w→=(9,−1)
w→
u→
v→
w→=k1u→+k2v→
k1
k2
k1=2ek2=1/2
k1=−1ek2=−1
k1=7ek2=2
w→=k1u→+k2v→
(9,−1)=k1(3,−1)+k2(−6,3){3k1−6k2=9−k1+3k2=−1⟹k1=7ek2=2.
k1=−1ek2=−2
k1=−1ek2=1
u→,v1→,v2→,v3→,⋯vn→
α1,α1,α2,α3,⋯αn
u→
u→,v1→,v2→,v3→,⋯vn→
u→=α1v1→+α2v2→+α3v3→+⋯+αnvn→
u→=4v→
0→=4u→+4v→
0→=u→+v→
0→=4u→−v→
0→=u→−4v→
u→=4v→
0→=u→−4v→
0→=2u→−2v→
u→
v→
w→
V=16∥xuyuzuxvyvzvxwywzw∥
u→=AB→
v→=AC→
w→=AD→
V=8
V=7
V=6
V=5
V=4
u→=AB→=B−A=(7,4,3)−(1,2,1)=(6,2,2)
v→=AC→=C−A=(4,6,2)−(1,2,1)=(3,4,1)
w→=AD→=D−A=(3,3,3)−(1,2,1)=(2,1,2)
V=16∥622341212∥=(48+4+6−6−12−16=58−34)/6=24/6=4
r:=x−x0a=y−y0b=z−z0c=λ
P0=(x0,y0,z0)
r→=(a,b,c)
r
P0=(2,−1,4)
r→=(2,4,5)
r
{x=2λy=−1+λz=4+5λ
r:x−22=y+14=z−45=λ
P0=(2,−1,4)
r→=(2,4,5)
r:x−22=y+14=z−45=λ
r:x−12=y−14=z+45=λ
r:x−22=y−5−1=z−54=λ
r:{x=10−2yz=21−4y
P
π
d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|a2+b2+c2
P
π
P=(2,1,−3)
π:2x−y−4z−6=0
921
P
π
d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|a2+b2+c2d(P,π)=|2.2+(−1).1+(−4).(−3)+(−6)|22+(−1)2+(−4)2d(P,π)=|4−1+12−6|4+1+16d(P,π)=921
226
2721
13523
3516
A=(3,2,4)
B=(1,2,3)
2
3
5
d(A,B)=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2d(A,B)=(3−1)2+(2−2)2+(3−4)2d(A,B)=(2)2+(0)2+(−1)2d(A,B)=4+0+1d(A,B)=5
7
8
AB→
AC→
AX→
4x−8y−z=0
4x−8y−4z−4=0
AX→=X−A=(x−2,y−1,z+1)AB→=B−A=(−3,−2,1)AC→=C−A=(1,2,−3)
AX→.(AB→×AC→)=|x−2y−1z+1−3−2112−3|=0
(x−2).(6−2)−(y−1).(9−1)+(z+1).(−6+2)=04x−8y−4z−8+8−4=04x−8y−4z−4=0
x−y−4z−4=0
4x−8y=0
x−y−z−1=0
π
P
P
π
d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|a2+b2+c2
P
π
P=(1,0,1)
π:2x+2y−2z+3=0
d(P,π)=2135
d(P,π)=924
d(P,π)=5122
d(P,π)=76
d(P,π)=124
P
π
d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|a2+b2+c2d(P,π)=|2.1+2.0−2.1+3|22+22+(−2)2d(P,π)=|2+0−2+3|4+4+4d(P,π)=312
d(P,π)=312.1212d(P,π)=312144d(P,π)=31212
d(P,π)=124
θ
θ=arcsin⁡|n→⋅r→|||n→||⋅||r→||
r→
n→
r:x−12=y+2−3=z+1−1
π:3x−y+z+4=0
π
θ=arcsin⁡1154
θ=arcsin⁡8151
θ=arcsin⁡8154
θ
α
n→=(3,−1,1)
r→=(2,−3,−1)
θ
θ=arcsin⁡|n→⋅r→|||n→||⋅||r→||
n→=32+(−1)2+12=9+1+1=11
r→=22+(−1)2+(−1)2=4+9+1=14
|n→⋅r→|=|3⋅2+(−1)⋅(−3)+1⋅(−1)|=|8|=8
θ=arcsin⁡811⋅14=arcsin⁡8154
θ=30∘
θ=arcsin⁡277
r→=(2,4,5)
P0=(2,−1,4)
r:x−x0a=y−y0b=z−z0c=λ
P0=(x0,y0,z0)
r→=(a,b,c)
r:x−22=y+4−1=z−54=λ
r:x−22=y+14=z−45=λ
P0=(x0,y0,z0)
r→=(a,b,c)
r:x−x0a=y−y0b=z−z0c=λ
r:x−22=y+14=z−45=λ
r:x−22=y−4−1=z−54=λ
r:x−22=y−44=z−55=λ
r:x2=y4=z5=λ
k
r
α
r:{x=2−3ty=4tz=1−2t
α:2x+3y+kz+5=0
1
0
−3
2
3
α
α
<r→⋅n→>=−3⋅2+4⋅3+(−2)⋅k=−6+12−2k=06=2kk=3
d(A,B)=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2
18
13
8
6
3
A=(x1,y1,z1)=(1,0,1)B=(x2,y2,z2)=(2,1,0)
x
A
x
y
z
r→
B
r→=B−A
{y=x+3z=2x−4
r
r→=(0,1,2)
r→=(0,1,0)
r→=(1,0,2)
r→=(1,0,0)
r→=(1,1,2)
P0
P1
P0
x=0
{y=0+3z=2⋅0−4⟹{y=3z=−4⟹P0=(0,3,−4)
P1
x=1
{y=1+3z=2⋅1−4⟹{y=4z=−2⟹P1=(1,4,−2)
r→.
r→=P1−P0=(1,4,−2)−(0,3,−4)=(1,1,2)
Questão 1/10 - Geometria Analítica
Leia o trecho a seguir:
O estudo das retas na geometria analítica oferece algumas formas de escrever suas equações, uma delas é a simétrica, ou seja, r:=x−x0a=y−y0b=z−z0c=λ, sendo P0=(x0,y0,z0) um ponto pertencente a reta e ⃗r=(a,b,c) seu vetor diretor. Quaisquer que sejam as equações escolhidas para representar a reta, é sempre necessário conhecer um vetor diretor e um ponto pelo qual passa a reta.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Considere o excerto de texto, os conteúdos do livro-base Geometria Analítica, a reta r que passa pelo ponto P0=(2,−1,4) e é paralela ao vetor ⃗r=(2,4,5). A equação simétrica de r é:
Nota: 10.0
	
	A
	⎧⎪⎨⎪⎩x=2λy=−1+λz=4+5λ
	
	B
	r:x−22=y+14=z−45=λ
Você acertou!
A equação simétrica da reta que passa pelo ponto P0=(2,−1,4) e é paralela ao vetor ⃗r=(2,4,5) é
r:x−22=y+14=z−45=λ.
(livro-base, p. 89)
	
	C
	r:x−12=y−14=z+45=λ
	
	D
	r:x−22=y−5−1=z−54=λ
	
	E
	r:{x=10−2yz=21−4y
Questão 2/10 - Geometria Analítica
Leia o trecho a seguir: 
"A medida da distância entre um ponto P e um plano π é dada por:"
d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|√a2+b2+c2
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: FERNANDES, L, F, D. Geometria Analítica. Curitiba: Intersaberes, 2016. p.118-119.
Marque a alternativa que apresenta, corretamente, a medida da distância do ponto P ao plano π, sendo P=(2,1,−3) e π:2x−y−4z−6=0:
Nota: 10.0
	
	A
	9√21
Você acertou!
Comentário:
A medida da distância entre P e π é dada por:
d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|√a2+b2+c2d(P,π)=|2.2+(−1).1+(−4).(−3)+(−6)|√22+(−1)2+(−4)2d(P,π)=|4−1+12−6|√4+1+16d(P,π)=9√21
(Livro-base p.119).
	
	B
	2√26
	
	C
	27√21
	
	D
	135√23
	
	E
	35√16
Questão 3/10 - Geometria Analítica
Leia o texto a seguir:
A distância relaciona todos os conceitos da Geometria Analítica, pois temos a relação de elementos geométricos com os algébricos.
Fonte: Texto elaborado pelo autor.
Assinale a alternativa que possui a medida da distância entre os pontos A=(3,2,4) e B=(1,2,3):
Nota: 10.0
	
	A
	√2
	
	B
	√3
	
	C
	√5
Você acertou!
Comentário:
A medida da distância entre os pontos A e B é dada por:
d(A,B)=√(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2d(A,B)=√(3−1)2+(2−2)2+(3−4)2d(A,B)=√(2)2+(0)2+(−1)2d(A,B)=√4+0+1d(A,B)=√5
(Livro-base, p. 116).
	
	D
	√7
	
	E
	√8
Questão 4/10 - Geometria Analítica
Nos estudos sobre o plano, temos que qualquer plano pode ser representado por uma equação, e uma das formas para determinar a equação desse plano é conhecendo três pontos desse plano, assim, escolhendo um ponto genérico do plano é possível escrever três vetores coplanares. Dados os pontos A, B e C a sequência é: 1º Calcular os vetores −−→AB (fazendo B-A) e −−→AC (fazendo C-A); 2º Montar o vetor  −−→AX genérico pertencente ao plano (fazendo X-A). 3º Calcular o produto misto destes três vetores e igualar a zero (calcular o determinante com os três vetores).
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Considerando o excerto de texto e os conteúdos do livro-base Geometria Analítica, assinale a alternativa que representa a equação do plano formado pelos pontos A(2,1-1), B(-1,-1,0) e C(3,3,-4):
Nota: 10.0
	
	A
	4x−8y−z=0
	
	B
	4x−8y−4z−4=0
Você acertou!
Comentário: Primeiro determinamos a equação do plano. Sabemos que três vetores são coplanares (pertencem ao mesmo plano) se o módulo do produto misto dos vetores é igual a zero. Os vetores são:
−−→AX=X−A=(x−2,y−1,z+1)−−→AB=B−A=(−3,−2,1)−−→AC=C−A=(1,2,−3)
 O produto misto é dado por:
−−→AX.(−−→AB×−−→AC)=∣∣ ∣∣x−2y−1z+1−3−2112−3∣∣ ∣∣=0(x−2).(6−2)−(y−1).(9−1)+(z+1).(−6+2)=04x−8y−4z−8+8−4=04x−8y−4z−4=0
(livro-base, p. 92)
	
	C
	x−y−4z−4=0
	
	D
	4x−8y=0
	
	E
	x−y−z−1=0
Questão 5/10 - Geometria Analítica
Leia o trecho de texto: 
Considerandoum plano π e um ponto P, a medida da distância entre P e π é dada por:
d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|√a2+b2+c2
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: FERNANDES, L, F, D. Geometria Analítica. Curitiba: Intersaberes, 2016. p.118-119.
Assinale a alternativa que possui a medida da distância do ponto P ao plano π, sendo P=(1,0,1) e π:2x+2y−2z+3=0.
Nota: 10.0
	
	A
	d(P,π)=2√135
	
	B
	d(P,π)=9√24
	
	C
	d(P,π)=5√122
	
	D
	d(P,π)=√76
	
	E
	d(P,π)=√124
Você acertou!
Comentário:
A medida da distância entre P e π é dada por:
d(P,π)=|ax0+by0+cz0+d|√a2+b2+c2d(P,π)=|2.1+2.0−2.1+3|√22+22+(−2)2d(P,π)=|2+0−2+3|√4+4+4d(P,π)=3√12
Racionalizando o denominador:
d(P,π)=3√12.√12√12d(P,π)=3√12√144d(P,π)=3√1212
Simplificando por 3, tem-se:
d(P,π)=√124
(Livro-base p.119).
Questão 6/10 - Geometria Analítica
Leia o trecho de texto a seguir:
Para calcular o ângulo θ entre uma reta e um plano aplicamos a fórmula  θ=arcsin|⃗n⋅⃗r|||⃗n||⋅||⃗r||  em que ⃗r é o vetor diretor da reta r e ⃗n é o vetor normal ao plano 
Fonte: Texto adaptado do livro-base, p. 114.
Dados a reta r:x−12=y+2−3=z+1−1 e o plano π:3x−y+z+4=0, calcule o ângulo entre a reta r e o plano π:
Nota: 10.0
	
	A
	θ=arcsin1√154
	
	B
	θ=arcsin8√151
	
	C
	θ=arcsin8√154
Você acertou!
O ângulo θ formado pelo plano \pi e pela reta r é o complementar do ângulo α formado pelo vetor normal ⃗n=(3,−1,1) do plano e o vetor diretor ⃗r=(2,−3,−1) da reta. Para calcular diretamente o ângulo θ utilizamos a fórmula θ=arcsin|⃗n⋅⃗r|||⃗n||⋅||⃗r||
Cálculos auxiliares:
⃗n=√32+(−1)2+12=√9+1+1=√11
⃗r=√22+(−1)2+(−1)2=√4+9+1=√14
|⃗n⋅⃗r|=|3⋅2+(−1)⋅(−3)+1⋅(−1)|=|8|=8
Aplicando estes valores na fórmula
θ=arcsin8√11⋅√14=arcsin8√154
(livro-base página 154).
	
	D
	θ=30∘
	
	E
	θ=arcsin2√77
Questão 7/10 - Geometria Analítica
Leia o trecho a seguir:
Uma das formas de escrever equações de retas é a equação simétrica. Para tanto, é necessário sempre conhecer um vetor diretor e um ponto pelo qual passa a reta. 
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Considerando o excerto de texto, os conteúdos do livro-base Geometria Analítica, a reta r com vetor diretor ⃗r=(2,4,5) e que o ponto P0=(2,−1,4) pertence a r, a equação simétrica de r é:
Dica: A equação simétrica tem a forma: r:x−x0a=y−y0b=z−z0c=λ, sendo P0=(x0,y0,z0) e ⃗r=(a,b,c).
Nota: 10.0
	
	A
	r:x−22=y+4−1=z−54=λ
	
	B
	r:x−22=y+14=z−45=λ
Você acertou!
Comentário: A equação simétrica da reta que passa pelo ponto P0=(x0,y0,z0) e é paralela ao vetor ⃗r=(a,b,c) é
r:x−x0a=y−y0b=z−z0c=λ
Aplicando os dados do problema na fórmula teremos
r:x−22=y+14=z−45=λ
(livro-base, p. 89)
	
	C
	r:x−22=y−4−1=z−54=λ
	
	D
	r:x−22=y−44=z−55=λ
	
	E
	r:x2=y4=z5=λ
Questão 8/10 - Geometria Analítica
Leia o trecho a seguir:
A posição relativa entre uma reta e um plano pode ser de três formas:  A reta é coincidente ao plano ou a reta é paralela ao plano ou a reta intercepta o plano. O produto interno do vetor diretor da reta pela normal do plano nos dá tal informação. Se ele for zero, a reta é coincidente ou paralela ao plano. Se for diferente de zero a reta intercepta o plano.
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Com base no texto e nos conteúdos do livro-base Geometria Analítica, determine o valor de k para que a reta r seja paralela ao plano α, dados:
r:⎧⎪⎨⎪⎩x=2−3ty=4tz=1−2t e o plano α:2x+3y+kz+5=0.
Nota: 10.0
	
	A
	1
	
	B
	0
	
	C
	−3
	
	D
	2
	
	E
	3
Você acertou!
Comentário: Para que a reta r seja paralela ao plano α é necessário que o produto interno entre o vetor diretor de r com o vetor normal de α seja nulo.
<⃗r⋅⃗n>=−3⋅2+4⋅3+(−2)⋅k=−6+12−2k=06=2kk=3
(livro-base, p. 121)
Questão 9/10 - Geometria Analítica
Leia o trecho de texto a seguir: 
"A distância entre os pontos A = (x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2) é d(A,B)=√(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: FERNANDES, L.F.D. Geometria Analítica. Curitiba: Editora Intersaberes, 2016. p. 116.
Calcule a distância entre os pontos A = (1, 0, 1) e B = (2, 1, 0) e assinale a resposta correta:
Nota: 10.0
	
	A
	√18
	
	B
	√13
	
	C
	√8
	
	D
	√6
	
	E
	√3
Você acertou!
Comentário:
A=(x1,y1,z1)=(1,0,1)B=(x2,y2,z2)=(2,1,0)
(Livro-base, p. 116)
Questão 10/10 - Geometria Analítica
Ao representar uma reta por quaisquer que sejam suas equações, sempre é possível determinar um vetor diretor e um ponto da reta. Na equação reduzida, temos duas funções em x (poderia ser outra incógnita). Para determinar um ponto A escolhe-se um valor para x e calcula-se y e depois z. Para descobrir o vetor diretor ⃗r,  determina-se outro ponto B e subtrai um do outro (⃗r=B−A).
Fonte: Texto elaborado pelo autor da questão.
Considere o excerto de texto, os conteúdos do livro-base Geometria Analítica e a reta r em sua forma reduzida {y=x+3z=2x−4. O vetor diretor de r é:
Nota: 10.0
	
	A
	⃗r=(0,1,2)
	
	B
	⃗r=(0,1,0)
	
	C
	⃗r=(1,0,2)
	
	D
	⃗r=(1,0,0)
	
	E
	⃗r=(1,1,2)
Você acertou!
Comentário: Como descrito no elemento base vamos escolher dois pontos P0 e P1.
Escolha de P0. Determinando x=0 temos:
{y=0+3z=2⋅0−4⟹{y=3z=−4⟹P0=(0,3,−4)
Escolha de P1. Determinando x=1 temos:
{y=1+3z=2⋅1−4⟹{y=4z=−2⟹P1=(1,4,−2)
Encontrando o vetor diretor ⃗r.
⃗r=P1−P0=(1,4,−2)−(0,3,−4)=(1,1,2)
(livro-base, p. 88 a 99)